21812

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Лекция

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Функция полезности при наличии риска 1. Поскольку нам предстоит формировать функцию полезности определим еще раз что мы будем понимать под термином полезность функция полезности. Полезность или показатель полезности – это число приписываемое конкретному результату например рабочей характеристике или состоянию системы и представляющее собой оценку значимости этого результата по восприятию определенного человека или группы людей. При наличии единственного критерия и определенной связи между вариантами решения и значением этого...

Русский

2013-08-03

196.5 KB

7 чел.

ТЕМА 8. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЕ В УСЛОВИЯХ

                НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Лекция 8. 

  1.  Случай известных вероятностей. Выбор в условиях риска

1.1. Полезность ожидаемых результатов

1.2. Функция полезности при наличии риска

1.3. Дерево решений

  1.  Энтропия системы. Принцип максимизации энтропии

  1.  Случай известных вероятностей. Выбор в условиях риска

Рассмотрим задачу выбора, когда решение может привести не к одному, а к нескольким результатам с разными вероятностями их осуществления. Если эти вероятности известны, то сложность задачи будет зависеть от количества показателей системы.

Рассмотрим процесс принятия решения в случае одного показателя. Поскольку нам предстоит формировать функцию полезности, определим еще раз, что мы будем понимать под термином «полезность», «функция полезности».

  1.  . Полезность ожидаемых результатов

В процессе выбора варианта решения нам часто бывает необходимо учитывать индивидуальное отношение людей к рассматриваемым показателям, и мы оцениваем полезность ожидаемых результатов. Полезность, или показатель полезности – это число, приписываемое конкретному результату, например, рабочей характеристике или состоянию системы, и представляющее собой оценку значимости этого результата по восприятию определенного человека или группы людей. Например, важными факторами являются финансовые затраты, экономический выигрыш, вес конструкции. При наличии единственного критерия и определенной связи между вариантами решения и значением этого критерия (целевой функции, или функции полезности) мы имеем задачу линейного (или нелинейного) программирования. В реальных задачах однозначно определить вид функции полезности часто не представляется возможным. Рассмотрим это на простом примере.

Более 200 лет назад Бернулли, рассматривая вопрос о полезности богатства, пришел к выводу, что заданное приращение богатства не обязательно принесет строго определенное приращение счастья (удовлетворения). Напротив, чем бóльшим богатством обладает человек, тем меньше будет добавка полезности на определенную величину  приращения богатства. Т.е. миллионер получит от подарка в 100 долларов гораздо меньшее удовлетворение, чем бедняк. Бернулли предположил, что приращение полезности обратно пропорционально богатству человека и вывел формулу

                

где u – полезность богатства, x – богатство, b  - коэффициент пропорциональности. Интегрируя, получим  u = bln x +C. Если положить b=C=1, то u =ln x, а если b = lg e, то

  

                 u =lg x.

Предположим, что приращение полезности пропорционально и приращению полезности, которого не хватает для «полного счастья», и приращению количества денег. Это значит, что если кто-то испытывает полное удовлетворение от имеющегося богатства, то приращение богатства уже не дает человеку приращение удовлетворения. Тогда мы можем записать следующую зависимость:

                        du = b(1-u)dx,

где u = 1 соответствует случаю полного удовлетворения. Приняв u = 0  для x = 0,     в результате интегрирования получим

                            

                          u = e-bx  .  

Эта функция также описывает более медленное изменение полезности, чем линейная.                   

Такие функции полезности могут использоваться для оценки предпочтительности той или иной альтернативы (варианта решения). различный вид функций полезности может отражать разные психологические установки людей,  условия окружающей среды, влияющие на решение и т.п.

  1.  . Функция полезности при наличии риска

Выше было сказано, что одним из важнейших факторов, учитываемых в процессе принятия решения, являются финансовые затраты. Выберем их в качестве показателя некоторой системы и сформулируем задачу выбора следующим образом:

необходимо определить программу действий при наличии риска в расходовании средств, который обусловлен возможностью получения нескольких результатов при осуществлении принятого решения.

Пусть возможный диапазон затрат на осуществление программы составляет 2107 - 3107 рублей. Если целью использования является выбор программы с минимальными затратами, то наиболее желательному случаю будут соответствовать затраты, составляющие 2107 рублей, а наименее желательному -3107 рублей. Здесь мы поступаем так же, как и при формировании функции полезности, или целевой функции  в условиях определенности. Принимаем полезность  при затратах 2107 – u2 = 1, а полезность при 3107 – u2 = 0.

Чтобы определить полезность решения для промежуточных затрат, используем следующий постулат:

если результат Ri имеет осуществления pi, то полезность решения при наличии риска определяется средним значением полезности (математическим ожиданием):

                                   ,       (1)

где ui – полезность результата Ri.

Рассмотрим ситуацию, когда надо выбрать из двух событий (это может быть, например, выбор между вариантами страховки или программами развития района), каждое из которых может привести к тем или иным затратам, величина которых носит вероятностный характер:

и .

Если группа лиц с общими интересами не отдает предпочтения ни одному из двух событий, то это означает, что (u1) = (u2) , где  (u1) - средняя полезность события 1, а (u2)  - средняя полезность результата 2.

Из этого условия можно определить полезность каждого из возможных результатов Ri. Пусть, например, событие 1 представляет собой затраты либо в сумме 2107 руб. с вероятностью р, либо в сумме 3107 с вероятностью 1-р. Тогда

             (u1) = pu2 + (1-p)u2                         (2)

Так как  = 1 и  = 0, получим (u1) = р.

Пусть событие 2 представляет собой затраты в 2,7107 руб. с вероятностью 1, то

            (u2) = 2,7107.

Условие отсутствия предпочтительности при выборе между событиями 1 и 2 записывается как (u1) = (u2), тогда получим, что u8,5 = р.

Из этого следует, что если можно найти такое значение р, при котором группа с общими интересами не отдает предпочтения ни одному из событий 1 или 2, то можно сказать, что полезность затрат в 2,7107 равна р.

Рис.2. Кривые полезности, характеризующие различное отношение к5 риску консервативного руководителя (1) и руководителя, склонного к риску (2).

Рис.1. Зависимость полезности от расходов для групп лиц, не склонных к риску (А), и для группы лиц, безразличной к риску (В).

Однако соответствующая шкала фактической стоимости реализации программы не обязательно будет прямо пропорциональна расходам.

Предположим, например, что принятое решение с одинаковой 50-%-й вероятностью может потребовать затрат в 2107 руб. и в 3107 руб. Если средние значения полезностей двух решений равны и, следовательно, эти решения эквивалентны, то при линейной зависимости между полезностью и затратами приемлемое решение было бы связано с определенной суммой затрат равной 2,5107 руб., которая реализуется с вероятностью, равной 1. Однако, чтобы избежать максимальных затрат в сумме 3107 руб., вероятность которых составляет 50%, некоторая группа лиц с общими интересами, скорее согласится на строго установленные затраты в 2,7107 руб. Это характерно для лиц, не желающих рисковать и готовых уплатить несколько больше, чем приемлемо для всей группы, чтобы избежать более нежелательного исхода. При этом полезность u2,7 оценивалась бы как 0,5, поскольку

  (u) =0,5u2 +0,5u3 = 0,5 (1) + 0,5 (0) = 0,5  = u2,8.

На рис.1 показаны кривые полезностей, отражающие разное отношение людей к риску. (Знак минус перед числами означает, что рассматриваются затраты, а не прибыль). Промежуточные точки кривой А можно рассчитать тем же методом, который использовался для оценки u2,7, т.е. путем приравнивания средних значений (u) для случая известных значений полезностей и случая известного результата при неизвестном значении полезности. Лицо, которое избегает риска, потребовало бы «разницу» возможных полезностей в свою пользу, и поэтому рискованной ситуации предпочитает вполне определенную (кривая А). Кривая В отражает линейную зависимость полезности от затрат, характерную для группы лиц, которые к риску относятся с безразличием.

На рис.2 показаны кривые полезностей для двух предпринимателей, один из которых склонен к риску (2), а другой – осторожный и консервативный (1).

Постулаты теории полезности. Рассмотренный выше метод основан на некоторых постулатах, которые можно назвать постулатами теории полезности. Для ряда вероятных событий А, В, С они сводятся к следующим.

1) условие транзитивности: если А > В (т.е. А предпочтительнее, чем В, и В > С, то А > С    и  если А = В (т.е. А эквивалентно В), и В = С, то А = С;

2) случайное событие предпочтительнее других только в том случае, когда вероятность связанного с ним более желательного результата выше, чем вероятность менее желательного результата;

3) при выборе решения может быть учтен дополнительный риск; это относится, например, к ситуации, когда событие А происходит с вероятностью р, а с вероятностью 1-р происходит либо событие В с вероятностью р, либо событие С  вероятностью 1-р.

Другими словами,

эквивалентно

4) если событие В по предпочтительности занимает промежуточное место между событиями А и С, то можно установить соотношение эквивалентности между событиями А или С; это означает, что если А>B>C, то существует такая вероятность р при  0 р 1, что

B [p, A; (1-p), C].

На основе этих четырех постулатов для некоторой переменной может быть определена единственная функция полезности, которая должна удовлетворять следующим условиям:

если А > В, то и u(A) > u(B), т.е. полезность события А больше чем полезность события В, когда А предпочтительнее В.

  1.  Дерево решений

  •  точка, в которой необходимо принять решение
  •  точка, в которой может быть получен случайный результат

Рис.3.   Дерево решений

Процесс выбора при наличии риска может быть представлен в виде графа – так называемого дерева решений. Дерево решений показывает решения, которые могут быть приняты, возможные результаты и вероятности получения этих результатов при осуществлении каждого из этих решений.

Пример. Предположим, что предприниматель рассматривает вопрос о разработке и выпуске новой продукции. Если продукция будет принята покупателем, предприниматель получит прибыль, но если продукция не будет пользоваться спросом, он не оправдывает своих затрат. Предприниматель исходит из того, что его новая продукция будет распродана с вероятностью 50%. Ему поступило предложение поручить другой фирме обследование рыночного спроса с соответствующей оплатой этой работы. Анализируя предшествующие отчеты, предприниматель может быть уверен на 90%, что если эта фирма даст рекомендацию на освоение новой продукции, то она будет принята покупателем. Следовательно он имеет следующие варианты выбора решения:

  •  оставить ассортимент продукции прежним;
  •  разрабатывать новую продукцию;
  •  прежде заплатить за изучение рыночного спроса и затем последовать рекомендациям фирмы.

Дерево решения, соответствующее этой задаче, представлено на рис. 3. Здесь на концах ветвей проставлены значения возможной прибыли при каждом из трех решений при условии, что в случае изучения рыночного спроса фирме, проводящей такое исследование надо заплатить 2106 руб.

Если сопоставить каждой из ветвей (решению), соответствующей определенному результату некоторую вероятность, то можно рассчитать полезность каждого решения.

2. Энтропия системы. Принцип максимизации энтропии

В рассмотренном примере существовала возможность дать рекомендации для выбора решения, поскольку были известны вероятности случайных событий. Однако часто возникают ситуации, когда эти вероятности неизвестны.

Ранее в курсе рассматривались 3 вида неопределенностей в системах: а) из-за недостаточного знания; б) расплывчатость; в) случайная неопределенность.

Для неопределенности случайного объекта существует количественная мера (неопределенности), называется энтропией.

Рассмотрим простейший вариант – случайное событие. Пусть некоторое событие может произойти с вероятностью Р1 = 0,99 и не произойти с вероятностью Р2 = 0,01, а другое событие имеет вероятности Р1 = Р2 = 0,5. Очевидно, что в 1-м случае результатом опыта «почти наверняка» является наступление события, во втором случае неопределенность исхода так велика, что от прогноза лучше воздержаться.

Если мы имеем дело со случайной числовой величиной, то для характеристики различности распределений используется дисперсия или доверительный интервал.

Дх =  для дискретной величины и

Дх =

Однако эти величины имеют смысл лишь для случайных числовых величин и не могут применяться к случайным объектам, состояния которых различаются качественно (например, выбор тех или иных команд или спортсменов при жеребьевке и т.п.).

Следовательно, мера неопределенности, связанной с распределением случайного события должна быть некоторой его числовой характеристикой, функционалом от распределения, но никак не связанным с тем, в какой шкале измеряются реализации случайного объекта.

Такой мерой неопределенности случайного объекта А с конечным множеством возможных состояний А1 …Аn с соответствующими вероятностями р1…рn величину,

Н = -

которая называется энтропией случайного объекта А (или распределения рi).  

Действительно, любая большая система может рассматриваться как система, которая принимает некоторое множество состояний S1, S2, …Sn с вероятностями Р1, Р2, ….Pn соответственно. Энтропия системы, будучи, как видно из формулы, математическим ожиданием логарифма вероятности пребывания системы в некотором состоянии S, рассматривается в качестве меры разнообразия для множества возможных состояний S.

Эта функция соответствует выделенной К.Шенноном в теории информации «мере неопределенности». Если выбор любого состояния равновероятен, то неопределенность выбора максимальна и определяется общим числом возможных вариантов:

Н = - .

Величина Н(n) эквивалентна понятию энтропии в статистической физике H = klnW, где W (Е) – статистический вес системы, или количество возможных квантовых состояний физической системы, внутренняя энергия которой не превосходит Е.

В связи со всем сказанным выше можно записать и еще одно утверждение в отношении энтропии:

Энтропия Н рассматриваемой системы является мерой ее неупорядоченности.

Пример с голосованием: если n кандидатов имеют одинаковую вероятность получения голоса любого заданного избирателя, то, очевидно, что Pi =  - вероятность того, что избиратель выберет i-го кандидата.  Если все избиратели голосуют за какого-то определенного кандидата, то можно с определенностью сказать, за какого избирателя подает голос любой  произвольно выбранный избиратель. Такое распределение будет полностью упорядоченным ( Н = Нmin).

Рассмотрим следующую задачу.

Рассчитать энтропию системы, состоящей из избирателей и 5 кандидатов на государственный пост для следующих вариантов:

  1.  результаты социологического опроса произвольно выбранных 1000 избирателей говорят о том, что за каждого из 5 кандидатов выступает приблизительно 200 опрошенных;
  2.  в пользу 1-го кандидата высказалось  400 опрошенных

   2-го     500             

 3-го      50

 4-го      40

 5-го    всего  10 опрошенных

  1.  в пользу 1-го кандидата высказалось  700 опрошенных

в пользу 2-го      250

 3-го       30

 4-го       15

 5-го        5

Пример:

n = 5  неупорядоченная    более упорядоченная система

система

Pi =  lnPi = -1,609   P1 = 0,4 lnp1 = - 0,916

      P2 = 0,5 lnp2 = - 0,693

      P3 = 0,05 lnp3 = - 2,996

      P4 = 0,04 lnp4 = - 3,219

      P5 = 0,01 lnp5 = - 4,605

Полностью упорядоченная система

Р1 = 1

Р2…Р5 = 0.

Принцип максимизации энтропии заключается в том, что в ситуациях, когда распределение вероятностей или значения вероятностей нам неизвестны, мы задаем их, исходя из следующего утверждения:

Система находится в равновесии, когда энтропия максимальна, что соответствует полному беспорядку. В рассмотренном примере это соответствует ситуации, когда нам ничего неизвестно о распределении пристрастий избирателей, и мы принимаем вероятность избрания любого кандидата равной Pi = , что будет соответствовать максимуму энтропии. Это также соответствует равновесному и наиболее вероятному состоянию системы.

Энтропия системы, таким образом,  является весьма полезной величиной при моделировании систем в условиях случайной неопределенности.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18687. Области применения математических методов в экономике 15.2 KB
  Области применения математических методов в экономике Применение математических методов в экономике идет по трем направлениям: математическая экономика математическое моделирование экономики и экономикоматематические методы. При этом математическая экономика пон...
18688. Эталонные (базисные) стратегии развития 14.19 KB
  Эталонные базисные стратегии развития. Эталонными базисными стратегиями развития бизнеса обычно называют наиболее распространенные выверенные практикой и широко освещенные в литературе стратегии. Они отражают 4 различных подхода к росту фирмы и связаны с изменени
18689. Информация для инвестора в интернете 14.32 KB
  Информация для инвестора в интернете. Связи с инвесторами или IR акроним от англ. Investor Relations сфера деятельности организации находящаяся на пересечении финансов коммуникационной политики маркетинга и права имеющая целью построение максимально эффективной двусторо...
18690. Иерархические модели данных 15.32 KB
  Иерархические модели данных. Иерархическая структура представляет совокупность элементов связанных между собой по определенным правилам. Объекты связанные иерархическими отношениями образуют ориентированный граф. основным понятиям: уровень элемент узел связь. У...
18691. Автоматизированное рабочее место 15.32 KB
  Автоматизированное рабочее место. Для реализации идеи распределенного управления потребовалось создание для каждого уровня управления и каждой предметной области автоматизированных рабочих мест на базе профессиональных персональных компьютеров. Например в с...
18692. Механистические организационные структуры 26.63 KB
  Механистические организационные структуры. Способность организации быстро реагировать на внешние угрозы и сохранять положительный баланс между входом и выходом зависит от ее структуры. Структура организации это совокупность предписанных ролей и взаимоотноше
18693. Схематичная конструкция жесткого диска (понятия цилиндр, дорожка, поверхность, сектор) 67.39 KB
  Схематичная конструкция жесткого диска понятия цилиндр дорожка поверхность сектор Говоря о магнитных дисках и жестких и гибких нельзя не сказать об их внутренней структуре. Ее составляют дорожки цилиндры и сектора. Дорожки tracks это концентрические окружности п
18694. Учет труда и заработной платы, регистры учета, среднемесячная заработная плата 16.41 KB
  Учет труда и заработной платы регистры учета среднемесячная заработная плата. Заработная плата это вознаграждение за труд в зависимости от квалификации работника сложности количества качества и условий выполняемой работы а также выплаты компенсационного и сти...
18695. Применение CASE-технологий при создании информационной системы 13.87 KB
  Применение CASEтехнологий при создании информационной системы. CASEтехнология представляет собой совокупность методологий анализа проектирования разработки и сопровождения сложных систем и поддерживается комплексом взаимоувязанных средств автоматизации. CASEтехноло...