21814

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. ИГРА С ПРИРОДОЙ

Лекция

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Системный анализ источников техногенной опасности 1. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ИСТОЧНИКОВ ТЕХНОГЕННОЙ ОПАСНОСТИ Системный анализ источников и факторов техногенной и экологической опасности может быть проведен на основе методологических принципов заимствованных из теории подготовки и обоснования решений по сложным проблемам. Системный анализ совокупности источников техногенной опасности целесообразно проводить с учетом определенного множества факторов в том числе факторов радиационной химической природы экономических...

Русский

2013-08-03

91.5 KB

42 чел.

ТЕМА 8. ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР.  ИГРА С ПРИРОДОЙ

Лекция 10

1. Примеры решения задач при парной игре с нулевой суммой

2. Понятие об игре с «природой».

3. Системный анализ источников техногенной опасности

1. Примеры решения задач при парной игре с нулевой суммой

   Задача 1.1.

Найти решение игры, заданной матрицей А

                         А=.

   

   Решение. Прежде всего проверим наличие седловой точки в данной матрице.

Для этого найдем нижнюю и верхнюю цену игры.

Минимальные элементы по строкам равны (2 и 3) тогда нижняя цена игры   = max (2; 3) = 3. Максимальные элементы по столбцам равны (3 и 6) тогда верхняя цена игры = min (3; 6) = 3. Отсюда видно, что = =3 и мы имеем седловую точку .= 3, т.е. задача имеет решение в чистых стратегиях.

Оптимальные чистые стратегии для первого и второго игроков равны соответственно U* = (0; 1),  Z* = (1; 0), а цена игры = 3.

   Задача 1.2.

Найти решение игры, заданной матрицей А

                         А=.

   Решение. Прежде всего проверим наличие седловой точки в данной матрице.

Для этого найдем нижнюю и верхнюю цену игры.

Минимальные элементы по строкам равны (2 и 3) тогда нижняя цена игры   = max (2; 3) = 3. Максимальные элементы по столбцам равны (4 и 6) тогда верхняя цена игры = min (4; 6) = 4. Отсюда видно, что    и мы имеем игру, которая имеет решение в смешанных стратегиях, а цена игры  .

Предположим, что для первого игрока смешанная стратегия задается вектором U = (u1; u2). Первый игрок, если придерживается своей оптимальной стратегии, независимо от стратегии второго игрока получает цену игры , т.е.

                       4u1* + 3u2* =                                     (1)

                       2u1* + 6u2* = .

 Кроме этого относительные частоты связаны условием:

                        u1* + u2* = 1.

Решаем полученную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Получим оптимальную стратегию первого игрока и цену игры:

U* = ( u1* ;  u2*) = (3/5; 2/5),   = 18/5.

Составим уравнения для нахождения оптимальной стратегии второго игрока, если при любой чистой стратегии первого, второй проигрывает цену игры:

                       4z1* + 2z2* = = 18/5                   (2)

                       3z1* + 6z2* = = 18/5.

Решаем полученную систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Получим оптимальную стратегию второго игрока:

Z* = ( z1* ;  z2*) = (4/5; 1/5).

Рассмотрим геометрическую интерпретацию этой задачи в смешанных стратегиях.  Для этого в плоскости  введем систему координат и на горизонтальной оси Ou отложим вероятность применения первым игроком его двух стратегий, сумма этих вероятностей равна 1, поэтому весь график расположится на отрезке единичной длины. В точках 0 стратегия (1; 0), а в 1 стратегия (0; 1).

                                          Рисунок 1.

По оси ординат в точке 0 отложим выигрыши первого игрока по первой его стратегии при обеих стратегиях второго, а в точке 1 при второй стратегии первого игрока.  Соединим эти платежи по столбцам, тогда пересечение прямых дадут решение системы уравнений (1), а ордината этой точки цену игры .

Аналогично можно построить график для нахождения оптимальной стратегии второго игрока.

Мы рассмотрели только самый простой вариант парной матричной игры с нулевой суммой, но она достаточно наглядно показывает, что иногда можно количественно оценить и выбрать оптимальный вариант поведения в конфликтной ситуации.

2. Понятие об игре с «природой»

Неопределенность в ситуации принятия решения далеко не всегда связана с сознательным противодействием партнера. Часто бывает, что мы не распологаем точной информацией о поведение партнера и это вызывает неопределенность в игре с ним. В таких случаях данная матричная игра будет называтся игрой с природой .

В этих условиях игроку (лицу принимающему решение)  казалось бы легче найти решение, но даже в условиях отсутствия активного противодействия, его выбор должен быть обоснован.

В матричной игре с «природой» ставится задача поиска оптимальной стратегии в условиях риска. Введем четкое математическое определение риска в матричной игре с «природой».

Риском rij  игрока при выборе стратегии Аi в условиях Hj называется разность

               rij = bj - ai ,                                                                       

где bj - максимальный элемент в j - м столбце.

Другими словами риск при выборе стратегии Аi  это проигрыш по сравнению с тем случаем, когда игрок знал бы условие при котором он может получить выигрыш bj .

Пример:

    Найдем матрицу риска R для следующей матрицы игры А.  

A= ;   R=

Рассмотрим наиболее распространенные критерии выбора стратегии при условии неопределенности в матричной игре с «природой».

1. Критерий максимального математического ожидания выигрыша.

Предположим, что неопределенность состояний природы (доброкачест-венная ), то есть вероятности состояний Pj известны, вычислим математическое ожидание выигрыша первого игрока, то есть  выбрать стратегию удовлетворяющую условию

ai =  Pj aij   max.

Следует отметить, что точно та же стратегия соответствует минимальному математическому ожиданию риска

ri =  Pj rij   min.

 Пример:

  Пусть распределение вероятности состояний природы в последней задаче равны:

P(H1)=2/5;  P(H2)=1/5;  P(H3)=1/5;  P(H4)=1/5;

Тогда

a1 = 13/5;   a2 = 69/5;   a3 = 13; a = max (13/5, 69/5, 13) = 69/5 = 13,8.

Следовательно оптимальной по этому критерию является стратегия А3.

Далее расмотрим критерий минимального математического ожидания риска

r1 = 78/5;   r2 = 22/5;   r3 = 26/5; r = min (78/5, 22/5, 26/5) = 22/5 = 4,4.

2. Критерий Вальда (максиминный).

Критерий Вальда совпадает с крайне осторожной максиминной стратегией

                         .

3. Критерий минимального риска Севиджа.

Критерий рекомендует выбирать стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной сетуации

                        

Игрок, применяющий критерий Севиджа, также придерживается позиции пессимизма, ориентирующийся на минимально возможный риск

4. Критерий Гурвица.

Критерий Гурвица соответствует всем промежуточным стратегиям между пессимизмом и крайним оптимизмом. Выигрыш рассчитывается по формуле:

,   0    1,

где - коэффициент пессимизма ; чем больше игрок хочет подстраховаться тем большее значение он выбирает. При = 1 критерий Гурвица соответствует критерию крайнего пессимизма, критерию Вальда.


ТЕМА 9. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ИСТОЧНИКОВ

               ТЕХНОГЕННОЙ ОПАСНОСТИ

Системный анализ источников и факторов техногенной и экологической опасности может быть проведен на основе методологических принципов, заимствованных из теории подготовки и обоснования решений по сложным проблемам.

При этом совокупность источников опасности, находящихся в регионе или на отдельных его территориях, следуя системному подходу, нужно рассматривать как сложную систему. 

В свою очередь каждый из источников может также рассматриваться в качестве системы, но системы, находящейся на более низком иерархическом уровне.

Системный анализ совокупности источников техногенной опасности целесообразно проводить с учетом определенного множества факторов, в том числе факторов радиационной, химической природы, экономических, психологических и др.

В качестве альтернативного варианта может рассматриваться каждый из источников техногенной опасности. Применяя математические методы выбора и обоснования решений в условиях неопределенности, неизбежно возникающей при многофакторном анализе, представляется возможным провести ранжировку опасных объектов по наперед заданным признакам и свойствам. При этой ранжировке предполагается последовательное повторение процедур выбора объектов по мере их вывода из принятой для анализа совокупности и перевода в ранжировочный ряд.

Системный анализ отдельного источника техногенной опасности  также должен основываться на применении процедур выбора и быть многофакторным.

В качестве альтернативных вариантов в этом случае можно принять различные состояния опасного объекта и окружающей среды, характеризуемые значениями определенного параметра или соотношениями параметров. В качестве такого параметра целесообразно рассматривать уровень безопасности, выраженный, например, через величину риска. Примером соотношения параметров является соотношение "польза - затраты". Под пользой здесь имеется в виду степень достижения безопасности (предотвращенный ущерб), под затратами - расходы на принятие мер безопасности.

В число факторов, принимаемых во внимание при осуществлении принятия решения в условиях неопределенности) наиболее при
емлемого состояния объекта и окружающей среды, следует включить
экономические расходы на достижение того или иного уровня безопас
ности
(если этот фактор не учитывается в упоминавшемся выше параметре), психологическое устрашающее воздействие  на население, воздействие на социальную среду и экономику  и.т.д. Результатом системного анализа отдельного источника техногенной опасности может быть оптимальный, с учетом всех принимаемых факторов, вариант. Могут быть и целесообразные варианты состояния объекта и окружающей среды, обоснованные при условии введения тех или иных ограничений,  например, на экономические затраты, связанные с обеспечением безопасности.

В конечном счете, при системном анализе источника техногенной опасности может быть получен целый ряд вариантов, отличающихся введенными ограничениями, которые далее могут включаться для экспертной оценки. Таким образом, результатом системного анализа отдельного источника может также быть ранжирование состояний объекта и окружающей среды по уровню техногенной опасности или другому признаку при заданных ограничениях.

Методология системного анализа совокупности техногенно опасных объектов и отдельного объекта имеет много общего. Поэтому дальнейшее ее рассмотрение будет проведено в едином ключе.

Принятие решений. Как известно, процесс принятия решения представляет собой действие над множеством альтернатив, в результате которого находится одна альтернатива или подмножество альтернатив (когда невозможно остановить выбор на одной альтернативе), удовлетворяющая (удовлетворяющее) определенным условиям или цели,

Существует несколько способов сравнения альтернатив между собой и определения наиболее предпочтительных из них. Наиболее развитым и чаще других применяемым является способ, основанный на критериальном языке выбора. При этом способе каждая отдельная альтернатива оценивается конкретным числом, являющимся значением критерия.

Выбор оптимального варианта в соответствии с приведенным пра-шлом не является, вообще говоря, однозначным, поскольку максимальный результат может достигаться в множестве всех результатов многократно.

.

Задачи, решаемые методом системного анализа источников техногенной опасности, являются многокритериальными. Поэтому задача выбора приобретает практический смысл лишь в том случае, когда используется метод выбора решения, при котором многокритериальная задача сводится к однокритериальной.

Многокритериальные задачи, связанные с ранжированием техногенно и экологически опасных объектов и состояний одного из них, могут решаться с помощью двухмерной матрицы.

Факторы при ранжировании источников техногенной опасности. Множество факторов, принимаемых во внимание при ранжировании источников техногенной опасности, на наш взгляд, должно включать по крайней мере:

факторы воздействия на людей, их здоровье и жизнедеятельность;

факторы воздействия источников опасности на экосистемы и другие объекты биосферы;

социально-экономические факторы, проявляющиеся в воздействии источников опасности на социальную среду и экономику;

факторы психологического устрашающего воздействия на население, обусловленного наличием источников опасности в том или ином районе;

экономические затраты на установление и поддержание риска на
приемлемом социально осознанном уровне.

При системном анализе отдельного источника техногенной опасности и выборе состояния объекта и окружающей среды могут быть приняты те же самые факторы. Однако их перечень, в зависимости от целей анализа, может и должен быть изменен.

Состав множества источников техногенной опасности или состояния объекта и окружающей среды особых комментариев не требует.

Анализ способов и процедур, используемых для выхода из состояния неопределенности при решении многокритериальных задач, дает возможность выбрать те из них, которыми можно было бы воспользоваться три системном анализе источников техногенной опасности. К числу этих способов можно отнести:

- способ выбора с использованием оценочной (целевой) функции;

способ выбора с использованием функции предпочтения (функции полезности) при сведении многокритериальной задачи к однокритериальной, основанной на свертывании множества критериев в один;

способ выбора с использованием функции предпочтительности и
выделением приоритетного критерия;

способ выбора с отборов недоминируемых альтернатив и исполь-
зованием множеств Парето.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47029. Теории игры (К.Гроос, Ф.Бойтендайк). Проблемы детской игры в теориях: В.Штерна, 3.Фрейда, Ж.Пиаже, К.Коффки, К.Левина, Л.С. Выготского) 46 KB
  Теории игры К. Проблемы детской игры в теориях: В. период развития и роста когда оно не может самостоятельно поддерживать свою жизнь г это время детства имеет целью сделать возможным приобретение приспособлений необходимых для жизни но не развивающихся непосредственно из прирожденных реакций д унаследованные реакции в связи с импульсивной потребностью в деятельности сами стремятся к проявлению и таким образом сами дают повод к новоприобретениям так что над прирожденной основой образуются приобретенные навыки е выработка...
47030. РЕАЛИЗАЦИЯ БИОЛОГИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ В КЛЕТКЕ 46 KB
  Функция рибосом заключается в узнавании трехнуклеотидных кодонов мРНК сопоставлении им соответствующих антикодонов тРНК несущих аминокислоты и присоединении этих аминокислот к растущей белковой цепи. Для узнавания аминокислот в клетке имеются специальные молекулы тРНК. Присоединение аминокислот к тРНК осуществляется в энергозависимой реакции ферментами аминоацилтРНКсинтетазами а получившаяся молекула называется аминоацилтРНК. Таким образом специфичность трансляции определяется взаимодействием между кодоном мРНК и антикодоном тРНК а...
47032. Генетика человека. Малярийный плазмодий 55.3 KB
  Близнецовые данные оказываются полезными для количественной оценки степени генетической детерминированности отдельных признаков в связи с чем близнецовый метод можно считать одним из важных методов количественной генетики. Близнецовый метод позволяет установить наследственный характер признаков и это единственный метод выявляющий соотносительную роль удельный вес генетических наследственных и средовых факторов в формировании признака. Близнецовый метод был предложен Ф.
47033. Восстановление изношенной поверхности методом металлизации, принцип, технология металлизации 46.69 KB
  Процесс металлизации заключается в нанесении расплав ленного металла на специально подготовленную поверхность детали распылением его струей воздуха или газа. Схема электродуговой металлизации Примечание. Ппреимущества электрометаллизации: высокая производительность процесса.
47034. Виды ожогов. Классификация 47 KB
  Требования пожарной безопасности в учебных заведениях. В учебных классах и кабинетах следует размещать только необходимые для обеспечения учебного процесса мебель приборы которые должны храниться в шкафах на стеллажах; Число парт столов в учебных классах и кабинетах не должно превышать количества установленного нормами проектирования; С учащимися и студентами должны быть организованы занятия беседы по изучению правил пожарной безопасности в быту; Противопожарные системы и установки зданий должны постоянно содержаться в исправном...
47035. Проблема предметной деятельности и ее развития в развития в раннем детстве 47 KB
  Основное противоречие возраста: способ действия с предметом образец действия принадлежит взрослому а ребенок в то же время должен выполнять индивидуальное действие. Ведущий тип деятельности: предметная деятельность направленная на усвоение общественно выработанных способов действия с предметами. Цель возникает только в результате осуществления самого предметного действия. только после того как ребенок выпьет из чашки воду у него возникает цель пить из чашки воду Структура предметного действия: Действие состоит из ориентировочной и...
47036. Теория налогообложения 47.36 KB
  Теория Стоимость основных средств безвозмездно полученных от других предприятий налогом на прибыль: облагается не облагается если оборудование получено для разработки нефтяных и газовых месторождений не облагается если основные средства переданы с баланса на баланс предприятий потребительской кооперации по решению собственников не облагаются в любом случае Налоговая база по налогу на прибыль исчисляется: @нарастающим итогом с начала года по итогам каждого квартала по итогам года нарастающим итогом с начала каждого квартала ежемесячно...
47037. Определение адекватности построенной модели регрессии 47.5 KB
  Анализ остаточной компоненты остаточного ряда позволяет оценить качество полученнного уравнения регрессии. Модель считается адекватной исследуемому процессу если: 1 математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю; 2 значения остаточного ряда случайны; 3 независимы; 4 подчинены нормальному закону распределения. Равенство нулю математического ожидания ряда остатков означает выполнение следующего соотношения: Однако в случае применения метода наименьших квадратов такая проверка является излишней поскольку...