2190

Системи обробки сигналів та зображень

Контрольная

Информатика, кибернетика и программирование

Цифрові методи обробки сигналів. Означення та класифікація сигналів. Спектри неперервних сигналів та їх властивості. Спектри типових дискретизованих необмежених у часі сигналів. Загальна характеристика методів цифрового згладжування даних.

Украинкский

2013-01-06

978.52 KB

81 чел.

Розділ 1. Цифрові методи обробки сигналів.

1.Основи теорії сигналів.

1.1 Означення та класифікація сигналів.

Термін сигнал походить від латинського слова signum – знак. Змістовно під сигналом розуміється певний фізичний процес, за допомогою якого відбувається перенесення у просторі та часі відомостей про той чи інший фізичний об’єкт або явище.

Значну роль в означенні сигналу має його математична модель, т.т. сукупність математичних виразів і формул, які описують (подають) той чи інший сигнал. Для опису сигналу використовуються різні форми математичних моделей у вигляді функцій однієї або декількох змінних, векторів та матриць. Сигнали можуть задаватися з використанням графіків, таблиць або аналітичних (формульних) виразів, що використовується у більшості випадків і є найбільш придатною формою подання при аналітичних дослідженнях.

Сигнали прийнято класифікувати за такими основими ознаками:

1. По кількості незалежних змінних (або аргументів функції), від яких залежить значення сигналу, розрізняють

 - одновимірні сигнали, що описуються функціями одного аргументу , де - функції незалежної змінної , можливі значення якої визначаються множиною . У більшості випадків аргументом функцій є час, тобто маємо залежності виду і тоді одновимірні сигнали є функціями часу. Тут - множина можливих значень аргументу .  

- багатовимірні сигнали, які описуються функціями декількох аргументів . Особливий інтерес викликають двовимірні сигнали виду , бо саме вони використовуються для подання зображень коли та є так звані просторові координати, а значення функції є, наприклад, яркістю зображення.

Багатовимірні сигнали виду задають так зване

сигнальне поле, а у разі, коли одна, із змінних розуміється як час , а три інших – як змінні простору , тобто , то такі моделі сигналів (сигнальних полів) звуться просторово-часовими.

 2. По кількості наявних сигналів виділяють скалярні (одиничні) сигнали, що подаються функціями виду або , , або векторні сигнали, які задаються упорядкованими наборами з одновимірних сигналів і описуються вектор-функціями виду , де - знак транспонування. Число зветься розмірністю вектор-функції і визначається кількістю компонент (складових) вектор-функції.

 3. По характеру зміни значень сигналів їх ділять на:

невипадкові (регулярні), коли з повною вірогідністю можна визначити значення сигналу при будь-якому значенні його аргументу. Такі сигнали ще називають детермінованими, тобто повністю визначеними.    

- випадкові (нерегулярні), для яких можна визначити значення тільки з певною ймовірністю для тих чи інших значень аргументу.

 В останньому випадку змістовно це можна пояснити як вплив різних випадкових факторів на формування значень сигналів.

 4. По характеру подання значень сигналів їх можна поділити на:

- неперервні (аналогові), які визначаються неперервним характером зміни значень як аргументу, так і сигналу виду .

- дискретні, коли значення сигналів визначенні лише при певних, ізольованих значеннях аргументу на його скінченній або нескінченній множині; тобто у вигляді . Тут зветься шагом (інтервалом) дискретизації, а самі значення сигналів звуться дискретами (відліками). Інколи для опису дискретних сигналів використовується термін цифрові сигнали, хоча останні формуються шляхом кодування дискретних сигналів з використанням таких числових систем, як двійкова, вісімкова, шістнадцяткова.

1.2. Множини неперервних сигналів.

Графічно неперервні сигнали зображуються як сукупність точок кривої у двовимірному просторі – аргументу та значень сигналу . На відміну від цього в теорії сигналів вводяться більш складні простори – простори сигналів, у яких кожний сигнал зображується найпростішим елементом – точкою, яка належить певній множині , тобто сигнал є елементом цієї множини . Сама ця множина визначається деякою властивістю , яка є істинною, тобто має місце (виконується) для усіх елементів множини . Умовно це позначається (зображується) таким чином: , тобто є множина усіх елементів , для яких виконується властивість . Ввівши додаткове позначення, запишемо це як , що означає: істинно для тих , що належать . Визначивши тим чи іншим способом властивість , можна тим самим задати множину сигналів , але вибір властивості - це досить складне завдання.

Наведемо декілька прикладів таких множин сигналів, які є у деякому розумінні є типовими (або стандартними).

 1. Гармонічні сигнали – це сигнали, значення яких змінюються по закону синуса (або косинуса) і які належать до множини усіх гармонічних (синусоїдальних) сигналів, тобто

            (1.2.1)

де - амплітуда гармонічного сигналу;

    - частота гармонічного сигналу;

    - початкова фаза гармонічного сигналу;

    - множина дійсних чисел;

 Remark. Якщо припустити, що аргумент це є час, тобто , то наведена в (1.2.1) функціональна залежність може бути записана так   

де  - кругова частота, що задає величину кута у одиницю часу – секунду і вимірюється у .

    - це, так звана, циклічна частота, яка задає число коливань (повних обертів) у одиницю часу – секунду і вимірюється в .

Твердження, що в (1) означає, що ці параметри можуть довільно вибиратися із множини усіх дійсних чисел , що власне і створює множину усіх гармонічних коливань з будь-якими амплітудами, фазами і частотами.

 2. Періодичні сигнали – це такі сигнали, у яких значення повторюються через певний проміжок (інтервал) значень аргументу. Мінімальне значення цього проміжку зветься періодом. Позначимо через множину усіх періодичних сигналів з періодом :  

                          (1.2.2)

Remark. Якщо знову прийняти, що аргумент є час , тобто , то для позначення періоду використовується , а співвідношення (1.2.2) виглядає так:

                           (1.2.3)

3. Обмежені сигнали. Множина сигналів, миттєві значення яких обмежені за значенням деяким дійсним додатним числом , позначається як

                            (1.2.4)

(миттєві значення сигналу – це його значення при ізольованому (точеному) значенні аргументу).

 4. Сигнали з обмеженою енергією. Про сигнали із множини виду

                                  (1.2.5)

кажуть, що їх енергія обмежена величиною , де - додатне дійсне число. Інтеграл в (1.2.5) фізично трактується як енергія, коли - це напруга на резисторі в 1 ОМ, а аргумент є час . Інтеграл по часу від квадрата цієї напруги є повна енергія, що виділяється на резисторі навантаження.

 5. Сигнали обмеженої тривалості. Якщо припустити, що незалежна змінна - це час , то множина сигналів, які дорівнюють нулю за межами інтервалу часу  визначає сигнали обмеженої тривалості виду:

                                   (1.2.6)

 6. Модульовані сигнали. Під модуляцією змістовно належить розуміти зміну сталих параметрів того чи іншого сигналу для передачі певних відомостей про фізичний об’єкт або процес. Найчастіше модуляція використовується у техніці зв’язку, коли будь-який сигнал – телеграфний, телефонний, телевізійний та інші, формуються шляхом модуляції.

При передаванні сигналів завжди застосовується деякий фізичний процес, так званий, фізичний агент, що називається переносником інформації і характеризується певним числом постійних параметрів. Той чи інший параметр переносника при модуляції змінюється у часі згідно з сигналом, що передається. У якості переносника може бути, в принципі, будь-який сигнал, що має певну кількість сталих параметрів. У найпростішому випадку як переносник застосовується синусоїдний сигнал

                             (1.2.7)

де - амплітуда, - кругова та циклічна частоти відповідно,

    - початкова фаза коливання.

У немодульованому сигналі ці три параметри, що повністю визначають коливання, постійні. Можна модулювати кожну з цих трьох постійних значень, маючи при цьому відповідно

-амплітудну модуляцію (АМ),коли змінюється амплітуда коливань ,

-частотну модуляцію (ЧМ) при зміні частоти сигналу ;

-фазову модуляцію (ФМ), де змінюється фаза коливань .

Розглянемо найпростішу з існуючих модуляцій – амплітудну. Вплив, що чинить модуляція, можна розглядати як множення величини, що модулюється, на множник , де - функція, що здійснює модулювання і яка задовольняю такій умові: ; - величина, що характеризує ступінь впливу і яка може набувати значень і називається глибиною модуляції.

Таким чином при амплітудній модуляції маємо такий сигнал

                              (1.2.8)

де - модульований сигнал.

Сигнал, що здійснює модуляцію може бути будь-яким – імпульсним, пилкоподібним, гармонічним і т.д. Найпростішим випадком є синусоїдальна модуляція, коли функція має вигляд

                                           (1.2.9)

де - амплітуда, - частота синусоїди, що модулює,і при цьому, як правило, діє таке обмеження:

                                               (1.2.10)

Цей сигнал власне і містить в собі інформацію, яку треба передати у часі та просторі.

Підставляючи (1.2.9) в (1.2.8), отримуємо таке:

 (1.2.10)

Частота немодульованого коливання називається несучою; частоти додаткових коливань, що виникли внаслідок модуляції дорівнюють і називаються бічними (або супутниками). Графічно амплітудна модуляція згідно з (1.2.10) виглядає так (Рис.1).

Рис. 1. Амплітудна модуляція

Різницю у формі модульованих коливань при АМ, ЧМ і ФМ добре видно при застосуванні іншого, ніж синусоїдального, закону модуляції. Припустимо, що модулююча функція становить імпульс вигляду

Тоді при амплітуда коливань при АМ, їх частота при ЧМ і фаза при ФМ змінюється стрибком, а зворотні зміни до вихідних (початкових) значень здійснюються при (Рис. 2).

1.3. Ряд Фур’є.

Кожна періодична функція може бути подана за допомогою ряду з тригонометричними функціями, тобто

           (1.3.1)

де - періодична функція, що визначена на відрізку ;

      - чисельні коефіцієнти, - початкові фази,

      - інтервал визначення періодичної функції .

Тобто періодична функція подається сумою доданків косинусного типу, коли кожен із них є гармонічним коливанням з амплітудою , частотою і початковою фазою . Для точного відтворення функції значення і повинні бути підібрані так, щоб рівність (1.3.1) виконувалася. Гармонічних коливання, що входять до складу періодичної функції , створюють гармонічну послідовність, коли частоти усіх складових кратні частоті . Ці окремі складові називаються гармоніками, а коливання з частотою - першою (основною) гармонікою (), а з частотою - другою гармонікою () і т.д.

Вираз (1.3.1) дуже часто подається в іншій формі, як то:

  (1.3.2)

відомий як ряд Фур’є.

де , так що  ; ; Коефіцієнти визначаються з наступних формул

             (1.3.3)

              (1.3.4)

і звуться коефіцієнтами Фур’є функції .

Коефіцієнт зветься постійною складовою і є подвійним середнім значенням функції на заданому інтервалі, обчислюючись по формулі

                                             (1.3.5)

Якщо в (1.3.2) взяти скінченне число членів ряду Фур’є, тобто у вигляді довільного тригонометричного многочлена степені

                      (1.3.6)

то якщо у якості коефіцієнтів многочлена взяти відповідні коефіцієнти Фур’є функції згідно з (1.3.3) – (1.3.5), то при кожному досягається мінімум середнє квадратичної похибки

                                  (1.3.7)

Дійсно, якщо в (1.3.7) замість підставити його вираз з (1.3.6) і використати необхідну умову екстремуму функціонала (1.3.7), так званої квадратичної міри близькості функції і тригонометричного многочлена , по коефіцієнтам :

                     (1.3.8)

то отримуємо систему алгебраїчних рівнянь, розв’язком якої і будуть співвідношення (1.3.3) – (1.3.5).

Це є нічим іншим, ніж наближенням (апроксимацією) тригонометричним многочленом неперервної функції , яка задана на відрізку . Звісно із збільшенням числа членів многочлена , що задається виразом (1.3.6), точність апроксимації (наближення) збільшується і при похибка досягає нуля.

Таким чином, ряд Фур’є розкладає періодичну неперервну функцію за тригонометричними функціями , які створюють систему ортогональних та нормованих функцій. Це розкладання можна узагальнити і на випадок неперіодичної функції.

1.4 Спектри неперервних сигналів та їх властивості.

 Спектром сигналу називаються гармонічні (синусоїдальні) складові, якими подається цей сигнал. Якщо використати для подання періодичної функції формулу (1.3.1)

то звідти слідує, що спектр визначається сукупністю амплітуд косинусоїд , початкових фаз і частот .

Розподілення значень амплітуд гармонічних коливань по частоті зветься амплітудним спектром (або амплітудно-частотною характеристикою), а розподілення початкових фаз – фазовим спектром (або фазо-частотною характеристикою ).

Для багатьох практичних застосувань достатньо знати амплітудним спектр, тому коли кажуть спектр, то розуміють звичайно саме спектр амплітуд. В інших випадках роблять відповідні застереження.

Спектр періодичної функції має вигляд, показаний на Рис.2. Це дискретний спектр, який називається також лінійчастим (термін із оптики), або ще гармонічним.

Рис.2. Спектр періодичної функції

Це означає, що він складається з рівновіддалених (еквідистантних) спектральних ліній, які відповідають певним гармонікам, частоти котрих знаходяться у простих кратних співвідношеннях відносно основної (першої) гармоніки. Звичайно, окремі гармоніки, у тому числі і перша, можуть дорівнювати нулю. Дискретний спектр мають не тільки періодичні функції, а й неперіодичні, спектр яких складається із довільно розташованих на шкалі частот спектральних ліній і є вже не гармонічним.

З поняттям рядів Фур’є тісно пов’язаний інтеграл Фур’є і перетворення Фур’є, коли останнє для дійсної функції , абсолютна величина якої інтегруєма на інтервалі , (тобто для якої існує інтеграл ) визначається так:

                                      (1.4.1)

де називається комплексним спектром функції . Будучи комплексною функцією має дійсну та уявну частини, відповідно та , інакше кажучи, модуль та фазу . Формулу (1.4.1) ще називають прямим перетворенням Фур’є, оскільки безпосередньо (прямо) із функції часу отримується її спектр (амплітудний та фазовий). І навпаки, коли маємо той чи інший спектр, а бажано отримати їм відповідні часові функції, то використовується, так зване, обернене перетворення Фур’є, що задається наступним виразом:

                                    (1.4.2)

Розглянемо основні властивості перетворення Фур’є, позначивши саме перетворення (1.4.1) як відповідний оператор , тобто (1.4.1) буде виглядати так:

Тоді співвідношення (1.4.2) може бути скорочено записано так:

де - символ оберненого Фур’є перетворення, тобто обернений оператор Фур’є перетворення. Основними властивостями Фур’є перетворення є такі:

1. Лінійність, що вказує на те, що перетворення Фур’є (оператор ) лінійне. Це означає, якщо є така сума функцій , де - чисельні константи, то:

         (1.4.3)

тобто спектр суми дорівнює сумі спектрів. Тут - Фур’є перетворення (або, як ще кажуть, Фур’є образи) функцій відповідно.

 2. Масштабованість, яка вказує на те, що якщо є зміна масштабу по часовій змінній, то це призводить до зміни масштабу по частоті і пропорційної зміни значень спектра, що виглядає так:

                                    (1.4.4)

де - масштабний коефіцієнт.

Тобто, стискання по часовій вісі дає розтягнення по вісі частоти, і навпаки з відповідною зміною значення спектру.

3. Зсув, тобто зміна координат функції у часі призводить до фазових змін у спектрі:

                                   (1.4.5)

В свою чергу зсув по частоті дає фазові зміни у вихідній часовій функції:

                                   (1.4.6)

4. Спектр похідної функції. Якщо для заданної функції комплексний спектр є , то комплексний спектр для похідної від функції - буде дорівнювати:

                                         (1.4.7)

5. Спектр інтеграла. Для інтегралу від заданої функції , спектр якої є , спектр буде:

                                    (1.4.8)

6. Згортка функцій. Якщо вихідна функція часу є згорткою двох заданих функцій та , спектри яких дорівнюють та відповідно, то шуканий спектр буде визначатися як добуток наявних спектрів та .

                    (1.4.9)

де - символ згортки, яка визначається таким співвідношенням.

            (1.4.10)

 7. Добуток функцій. Якщо вихідна функція є добутком двох заданих функцій та , спектри яких є та відповідно, то шуканий спектр визначається як згортка спектрів функцій і . Тобто маємо:

  (1.4.11)

Згідно з основним визначенням перетворення Фур’є комплексний спектр функції вираховується по формулі:

                                   (1.4.12)

Отже, для знаходження спектра необхідно виконати інтегрування функції у часі в необмежених границях і якщо функція задана та відома на всій безмежній протяжності осі часу, це не створює складності. Але якщо функція є відображенням деякого реального фізичного процесу, що є об’єктом спостереження, то відомості про функцію отримуються в результаті відповідних вимірювань. Тому інтегрування можна виконувати не в безмежних границях, як це вимагається в (1.4.12), а лише до якогось певного моменту .

Оскільки в принципі відносно функції розглядаються вже зафіксовані значення, то інтегрування можна виконувати і від до поточного часу . У такому разі означення спектра матиме вигляд:

                                 (1.4.13)

де - функція не тільки частоти але й часу і називається поточним спектром.

У реальних умовах саме спостереження (чи сам процес) може фактично починатися у деякий момент , що передує поточному моменту . У цьому випадку момент можна прийняти за початок відліку часу і поточний спектр визначається таким чином:

                                (1.4.14)

Враховуючи той факт, що спектр сигналу є по суті  його частковим поданням або, інакше кажучи, його частотною моделлю, то поняття поточного спектру є зв’язуючим ланцюжком між частотним і часовим описом сигналу.

Наступним поняттям із тієї ж таки категорії є поняття миттєвого спектра. Найпростіше означенням миттєвого спектра має такий вигляд

                              (1.4.15)

тобто миттєвий спектр – це спектр частини процесу з тривалістю , що безпосередньо передує даному моменту .

Переписавши співвідношення (1.4.15)  як

                    (1.4.16)

приходимо до висновку, що миттєвий спектр є різницею двох поточних спектрів чи, інакше кажучи, приростом, що отримує поточний спектр за проміжок часу .

1.5. Дискретизація неперервних сигналів.

 В системах цифрової обробки сигналів зазвичай використовуються дані, що отримані в результаті дискретизації відповідних неперервних сигналів. Процес перетворення неперервного сигналу на дискретний і зветься його дискретизацією, коли значення заданого сигналу визначається періодично через постійний проміжок часу . Тоді і кажуть, що здійснена дискретизація неперервного сигналу з частотою дискретизації

а сам дискретний сигнал описується так званою решітчастою функцією  значення якої визначенні тільки при дискретних рівновіддалених один від одного значеннях незалежної змінної . На Рис.3 подані графічні зображення аналогового сигналу і відповідного дискретного сигналу . Значення дискретного сигналу звуться відліками сигналу і є вибірками заданого аналогового сигналу в моменти часу

                             (1.5.1)  

                                 а)                                                       б)

Рис.3. Неперервний та дискретизований сигнали

 

Оскільки дискретний сигнал визначається послідовністю (масивом) чисел, то термін «решітчаста функція » замінюється терміном «дискретна послідовність »:

                               (1.5.2)

вважаючи, що параметр (інтервал, період дискретизації) фіксований.

Важливим параметром гармонічного сигналу є нормована частота , яка визначається як відношення частоти сигналу до частоти дискретизації :

                                           (1.5.3)

 

Приклад 1: Заданий аналоговий сигнал (Рис. 1.5.2).

 

Рис.4. Формування дискретного сигналу.

Відповідний дискретний сигнал при заданій частоті дискретизації має такий вигляд:

Припустимо, що а . Тоді , . Отже,

Дискретні послідовності можуть бути скінченної та нескінченної довжини. Їх називають відповідно скінченними та нескінченними послідовностями.

Для опису послідовностей використовуються різні способи. Наприклад послідовність із приклада 1 можна подати у аналітичному вигляді або у вигляді сукупності відліків , де і т.д. При цьому припускається, що .

Затриманою на інтервалів (періодів) дискретизації послідовністю називається послідовність . При цьому має місце така умова: при  (Рис.5.  при ).

Рис.5. Затримання послідовності.

Важливе значення в теорії та практиці цифрової обробки сигналів мають такі дві послідовності, які подані на Рис.6

  1.  одиничний імпульс , який визначається наступним чином:

                                          (1.5.4)

  1.  одиничний стрибок , який підкоряється такій залежності:

                                      (1.5.5)

 

Рис.6. Одиничний імпульс та одиничний стрибок

Використовуючи одиничний імпульс можна у ряді випадків подати довільну послідовність у такому вигляді

                              (1.5.6)

що є зручною формою при теоретичних дослідженнях.

Дійсно, якщо, наприклад надати то з (1.5.6) маємо:

оскільки тільки , а решта .

Розглянемо, як дискретизація впливає на спектр неперервного сигналу , припускаючи, що має місце так званий ідеальний процес дискретизації з частотою . В цьому випадку дискрети (відліки) дискретизованого сигналу отримуються в результаті перемноження вихідної неперервної функції з,так званою, дискретизуючою функцією вигляду

                                   (1.5.7)  

Вона є нескінченною послідовністю спеціальних функцій, так званих одновимірних дельта-функцій (або функцій Дірака), які мають такі властивості

                                     (1.5.8)

                                 (1.5.9)

                            (1.5.10)

                                 (1.5.11)

і задані на вісі часу у рівновіддалених вузлах з кроком . Тоді в силу вказаних в (1.5.8)-(1.5.11) властивостей дельта-функції дискретизований сигнал описується таким співвідношенням:

                   (1.5.12)

Спектр дискретизованого сигналу отримується в результаті використання до (1.5.12) неперервного Фур’є перетворення, що дає:  

   (1.5.13)

У відповідності до властивостей Фур’є перетворення спектр добутку функцій дорівнює згортці їх спектрів, то згідно з (1.4.11) маємо:

                          (1.5.14)

де - спектр дискретизованої функції ,

     - спектр вихідної неперервної функції .

     - спектр дискретизуючої функції .

Доведено, що Фур’є перетворення дискретизуючої функції дає нескінченну послідовність дельта-функцій у частотній області з кроком , тобто спектр має такий вигляд:

                          (1.5.15)

Підставивши цей вираз до (1.5.14) і записавши згортку без символьного позначення, отримуємо таке:

              (1.5.16)

Змінюючи порядок операцій додавання та інтегрування, а також враховуючи основну властивість (1.5.9) дельта-функцій, отримуємо підсумковий вираз для спектру дискретизованого сигналу у такому вигляді:

 

                               (1.5.17)

Таким чином, спектр дискретизованого сигналу є періодичною функцією і отримується в результаті накладання одної на одну (суперпозиції) нескінченного числа точних копій спектра неперервного сигналу із зсувом на величина кратні . При цьому кожна копія спектра центрована в одній з точок послідовності . Якщо величина інтервалу (періоду) дискретизації , а значить і частота дискретизації обрані не у відповідності з теоремою Найквіста-Котельнікова (яка свідчить, що частота дискретизації щонайменше повинна бути в два рази більше частоти найвищої гармоніки неперервного сигналу, що дискретизується), то сусідні копії спектрів будуть перекриватися один з одним. Це призводить до спотворення підсумкового спектра, а значить і до втрати інформації, що містилась у неперервному сигналі.

1.6. Дискретне перетворення Фур’є

Дискретне перетворення Фур’є (ДПФ) дозволяє визначити спектр дискретизованого, обмеженого по тривалості сигналу, який зафіксований своїми вибірковими (дискретними) значеннями. Звісно, що це неможливо зробити за допомогою неперервного Фур’є перетворення, що задається співвідношенням (1.4.1), бо сигнал не має аналітичного (формульного) виразу.

Нехай треба знайти відповідний спектр (амплітудний та фазовий) з дискретних значень сигналу , де - період дискретизації. Відповідно співвідношення (формулу) для ДПФ отримуємо з неперервного перетворення Фур’є виду (1.4.1) в результаті наступних змін:

  1.  замінюємо поточний час на  , коли і .
  2.  неперервну, обмежену в часі функцію замінюємо на дискретизовану виду .
  3.  множник (ядро інтегрального перетворення) замінюємо на  
  4.  інтеграл від функції , що входить до складу перетворення Фур’є, замінюємо сумою

що у підсумку призводить до такого виразу:

      (1.6.1)

Тут для спрощення виразу опущений множник перед сумою і експоненціальна форма запису ДПФ замінена тригонометричною згідно з формулою Ейлера (тобто ).

Обидва перетворення, як неперервне так і дискретне, мають такі загальні характеристики:

  1.  якщо вихідна дискретизована функція дійсною і парною (тобто ), що умовно записується, як , де  , то спектральна функція також є дійсною і парною.
  2.  якщо вихідна дискретизована функція є дійсною так непарною (тобто , або ), то спектральна функція є уявною і непарною.
  3.  комплексний неперервний спектр як і дискретний спектр є комплексно-спряженими функціями.

Крім того, ДПФ має і такі відмінності від неперервного перетворення Фур’є:

  1.  спектр дискретизованого сигналу є періодичною функцією аргументу , тобто частоти з періодом (або при аргументі з періодом ).
  2.  по значенню і одиниці вимірювання комплексний спектр   буде дорівнювати неперервному спектру лише після множення на інтервал дискретизації .
  3.  значення спектра дискретизованого сигналу враховуються лише для дискретних значень частоти , тобто формула (1.6.1) приймає такий вигляд:

        (1.6.2)

Періодичність спектру доводиться наступним чином. Так згідно з (1.6.1) експоненціальна функція, яка входить до складу ДПФ, дійсно має період , що дає таке співвідношення:

                                  (1.6.3)

Це і приводить до твердження

                                       (1.6.4)

про періодичність ДПФ з періодом

де - число періодів спектра.

Із періодичності спектру і отримана вимога відносно значення частоти дискретизації; оскільки спектри ДПФ, що повторюються, не повинні перекриватися, щоб не накладатися один на одного. Це має місце, якщо:

де - найбільша частота гармоніки, що присутня в заданому сигналі.

Це і є змістом, як звісно, теореми Найквіста-Котельнікова або, так званої, теореми відліків.

У підсумку алгоритм розрахунку ДПФ для дискретизованого, обмеженого в часі сигналу можна подати у такому вигляді:

1. Розраховується частота, дискретизації (кругова або циклічна ), яка визначає величину періоду (частотного інтервалу) на якому буде заданий шуканий спектр:

де - інтервал дискретизації вихідної функції ;

2. Використовуючи співвідношення (1.6.2) вираховуються комплексні значення спектру для кожної лінії спектру при таких значеннях частоти

           (1.6.5)

тобто з кроком між сусідніми лініями спектру

         (1.6.6)

Кожна спектральна лінія складається з однієї дійсної та однієї уявної частини, тобто

3. Для узгодження значень і розмірності величин ДПФ з відповідним неперервним спектром сигналу необхідно помножити на період дискретизації , тобто  .

4. Розрахунки амплітудного та фазового спектрів виконуються згідно з наступними формулами:

      (1.6.7)

     (1.6.8)

Графічною ілюстрацією періодичності ДПФ можуть служити такі спектри (Рис. 1.6.1).

Рис. 1.6.1 Залежність між неперервним та дискретним перетвореннями Фур’є

1.7. Спектри типових дискретизованих необмежених у часі сигналів.

Спектральний (гармонічний) аналіз необмежених у часі сигналів має певні труднощі, які обумовлені в першу чергу, тим, що інтеграл перетворення Фур’є виду

                                        (1.7.1)

для необмеженого часу (тобто при ) не збігається.

Ці труднощі намагаються обійти тим, що розглядають цей сигнал на кінцевому інтервалі часу (або, як кажуть, розглядають необмежений у часі сигнал через вікно), а це рівнозначно множенню сигналу на функцію (так звану вагову) вікна. При цьому вважається, що сигнал існує в межах вікна і дорівнює нулю поза них. Таким чином, після множення на функцію вікна необмежений у часі сигнал перетворюється в сигнал обмежений у часі. Звісно, що така операція повинна вплинути на спектр сигналу, бо множення у часовій області відповідає згортці спектра сигналу зі спектром вікна.

1.7.1. Спектр необмеженого у часі сталого сигналу

Вважаємо для спрощення наступних викладок, що задана функція для є одинична, тобто . На цей сигнал накладаємо часове вікно, ширина якого пропорційна часу спостереження (тобто прямокутне), і тим самим сигнал множиться на функцію вікна . Вибірки (дискрети) сигналу, як і раніше, беруться в дискретних точках , змінна у даному випадку приймає значення з симетричного відносно початку координат відрізка:

,

тобто має місце таке подання значень сигналу (рис. 1.7.2)

Рис.1.7.2. Вимірювання необмеженого у часі сигналу за допомогою прямокутного вікна

 

Збіжність інтегралу Фур’є досягається за допомогою наступних припущень відносно функції вікна:

                     (1.7.2)

Використовуючи вираз (1.7.1) для ДПФ при умові, що , знаходимо з урахуванням властивості (1.7.2), що ДПФ заданого сигналу у прямокутному вікні буде:

               (1.7.3)

Оскільки права частина виразу (1.7.3) є сумою членів геометричної прогресії з складовими, то перетворивши і вирахувавши цю суми, приходимо до наступного виразу:

                                 (1.7.4)

Помноживши чисельник і знаменник виразу (1.7.4) на і використавши формулу Ейлера, остаточно маємо:

                          (1.7.5)

Таким чином, ДПФ дискретизованого одиничного сигналу в межах прямокутного вікна (тобто при часі спостереження ) є функцією виду , де .

Враховуючи, що спектр у даному випадку можна вирахувати лише для дискретних значень частот то вираз (1.7.5) описує обвідну амплітуд спектра при відповідних значеннях . Характеристика спектру згідно з виразом (1.7.5) подана на рис.1.7.3.

Рис.1.7.3. Обвідна спектра одиночного сигналу в межах прямокутного вікна

Максимальне значення такого спектру дорівнює при значенні кругової частоти , а з урахуванням періодичності ДПФ відносно , це максимальне значення повторюється при , де . Функція

проходить через нуль при рівності нулю аргументу у чисельнику, що має місце при

, що дає                       (1.7.6)

Перший нуль функції буде при у точках , а другий при у точках і т.д.

З виразу (1.7.2) для ДПФ витікає, що розрахунок амплітуд спектра виконується в точках  , , тобто з кроком , що співпадає зі значеннями згідно з (1.7.6).  Винятком є лише амплітуда лінії спектра при , , яка дорівнює .

1.7.2. Спектр періодичного сигналу.

У якості періодичного сигналу візьмемо періодичну функцію з круговою частотою:

                                             (1.7.7)

яку множимо на функцію прямокутного вікна при тих же самих обмеженнях, що і раніше, тобто

                    (1.7.8)

Тепер в межах вікна амплітуди в дискретних точках часу будуть мати такі значення

,                                         (1.7.9)

підставивши які у вираз для ДПФ з урахуванням (1.7.7) та (1.7.8) отримуємо:

               (1.7.10)

Рівняння (1.7.10) подібно до (1.7.3) за тією лише різницею, що замість в (1.7.10) входить різниця . Перетворивши (1.7.10) так само, як і у попередньому випадку, у підсумку отримуємо:

                                   (1.7.11)

Це знову ж таки функція виду , але її максимум знаходиться тепер не у точці , а в , тобто функція зміщена праворуч. Максимальне значення амплітуди дорівнює , і отже, залежить від числа точок вимірювання сигналу (або ширини вікна, бо воно дорівнює ).

Нулі функції (1.7.11), тобто ДПФ даного сигналу, знаходяться в точках, де різниця кратна , а знаменник відмінний від нуля, тобто в точках:

                              (1.7.12)

де - циклічні частоти.

1.7.3. Спектр синусоїдного сигналу

У цьому випадку сигнал буде таким:

                                              (1.7.13)

і може бути поданий з використанням формул Ейлера як різниця експоненціальних функцій, тобто як

                                    (1.7.14)

а ДПФ обох функцій в (1.7.14) вираховується окремо для кожної з них. Для першої складової в (1.7.14) спектр визначається згідно з виразом (1.7.11), а для другої складової рівняння  отримуємо із тих же міркувань, але як зміщену ліворуч функцію, тобто:

                                  (1.7.15)

Таким чином, спектр синусоїди, вибірки якої подані у межах прямокутного вікна, визначається як різниця рівнянь (1.7.11) та (1.7.15):

                    (1.7.16)

і яке знову дає обвідну дискретного спектру. Амплітуди ліній спектру визначаються двома способами:

1) із рівняння (1.7.16) розраховують обвідну і далі з кроком по ній будують окремі лінії спектру;

2) обвідна ігнорується, а розрахунки безпосередньо виконуються по формулі для ДПФ при конкретних значеннях :

Графіки обвідних спектрів, згідно з формулами (1.7.11), (1.7.15) та (1.7.16) мають такий вигляд відповідно (рис.1.7.4 - 1.7.6)

Рис. 1.7.4. Спектр обмеженої у часі періодичної дискретизованої функції .

Рис. 1.7.5. Спектр обмеженої у часі дискретизованої функції .

Рис. 1.7.6. Амплітудний спектр обмеженої у часі дискретизованої синусоїди .

Розділ 2. Методи та засоби цифрового згладжування даних

2.1. Загальна характеристика методів цифрового згладжування даних.

 Експериментальні дані зазвичай подаються значеннями вхідної змінної (аргументу) і вихідного сигналу  . Як правило, зашумленого, що створюють пар наборів . При згладжуванням даних розуміється спеціальне перетворення значень цих даних с метою максимального усунення наявної перешкоди зі значень сигналу на основі побудови відповідних аналітичних залежностей між входом та виходом і її використанню для розрахунку бажаних значень сигналу. В математичному розумінні це є задачі наближення експериментальних даних аналітичними залежностями, які можуть бути такими :

 1) інтерполяція, коли експериментальні дані повинні в точності співпадати зі значеннями функції наближення, тобто

                               (2.1.1)

де - функція наближення;

Це дозволяє по отриманій аналітичній залежності визначити значення сигналу поза даних, так званих, вузлів (точок) інтерполяції . Вигляд аналітичної залежності, число і значення експериментальних даних повинні бути такими, щоб задача наближення мала однозначне рішення згідно умові (2.1.1)

2) апроксимація, коли шукану функцію необхідно збудувати між парами величин , відповідно до певної стратегії (наприклад, мінімізація деякої міри близькості) згладжування (або наближення), не намагаючись виконати умову (2.1.1).

В свою чергу, розв’язок задачі апроксимації можна виконати різними способами в залежності від вибраної міри близькості (критерія) і точності.

При цьому розрізняють:

1) мінімізацію абсолютного значення похибки між експериментальними даними і функцією згладжування (наближення):

                              (2.1.2)

що зветься лінійною апроксимацією;

 2) мінімізації суми квадратів відхилень між експериментальними даними і функцією згладжування (наближення), тобто квадрата евклідової норми.

                            (2.1.3)

так звана квадратична апроксимація, а метод розв’язку задачі наближення – метод найменших квадратів (МНК); 

3) максимальне значення відхилень (різностей) між експериментальними даними і функцією згладжування не перевищує заздалегідь заданої величини :

                              (2.1.4)

так звана апроксимація (апроксимація Чебишева).

При вирішені задачі згладжування зазвичай використовують різні типи апроксимуючих функцій, як то поліноміальні ряди Фур’є, експоненціальні, дробово-функціональні та інші.

Розглянемо основні з них.

2.1.1. Поліноміальне згладжування.

Даний тип функцій використовується, як правило, для згладжування неперіодичних, монотонних, що не мають екстремумів, сигналів , . У загальному випадку згладжуючий поліном степені для експериментальних даних визначається у вигляді:

                                    (2.1.5)

Використовуючи набір вихідних даних , сформуємо похибку (відхилення) згладжування:

                       (2.1.6)

сума квадратів якої згідно з МНК повинна бути мінімізована:

             (2.1.7)

по невідомим коефіцієнтам полінома .

Значення шуканих коефіцієнтів полінома знаходяться з необхідної умови мінімуму заданої квадратичної міри близькості (критерія) (2.1.7), тобто:

                                         (2.1.8)

що дає систему, так званих, нормальних рівнянь (лінійних алгебраїчних рівнянь) відносно невідомих коефіцієнтів , які у даному випадку будуть оптимальними у розумінні вибраної квадратичної міри близькості (2.1.7).

2.1.2. Згладжування даних рядами Фур’є

Якщо дискретизована функція, що згладжується є періодичною, то використання поліномів може не дати бажаного результату, бо вимога застосування чи то високої степені поліномів, чи то має місце відсутність рішення задачі апроксимації (тобто виродження задачі апроксимації).

В цьому випадку корисним може бути використання рядів Фур’є для згладжування даних, заданих наборами , , де з обсягом вибірки і періодом дискретизації , а загальний інтервал визначення сигналу дорівнює

                                            (2.1.9)

Через пари величин , де , проводимо періодичну функцію, що подається рядом Фур’є наступного виду:

                       (2.1.10)

Ця функція включає в себе гармоніки основної частоти до включно.

Згідно із загальною методикою апроксимації необхідно знати значення коефіцієнтів , які подаються як амплітуди гармонічних коливань. Для цього треба скласти незалежних рівнянь, які будуть збудовані на основі наявних вибірок даних, тобто за інтервал визначення сигналу , який є періодом основної гармоніки необхідно зробити вибірок значень вихідної функції, а це означає, що повинно задовольняти умові :.

Для визначення коефіцієнтів згідно МНК використовується квадратична функція близькості виду:

       (2.1.11)

а необхідна умова її екстремуму дає:

                    (2.1.12)

Звідси отримується система лінійних відносно невідомих алгебраїчних рівнянь, розв’язком якої є:

      (2.1.13)

Співвідношення (2.1.13) незалежні через ортогональність функцій , які задані на точечній множені, обсягом , тобто:

   (2.1.14)

2.1.3. Згладжування даних експоненціальними функціями

 В тих випадках коли поліноміальне згладжування даних не дає позитивних результатів можна використати експоненціальні функції виду:

                                                        (2.1.15)

                                                  (2.1.16)

                                                          (2.1.17)

серед яких найбільш поширеною є функція (2.1.14).

 Застосування МНК при згладжування цими функціями приводить до того, що для визначення шуканих коефіцієнтів і необхідно розв’язати систему нелінійних алгебраїчних рівнянь, а оскільки вихідні дані є довільними, то розв’язок такої системи не завжди буде існувати.

Але, використовуючи відповідні перетворення координат (змінних), можна вирішення даної задачі звести до розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що виконується наступним чином:

Випадок 1.  ;

Якщо для згладжування застосовується функція (2.1.15), то схема дій буде такою:

1) логарифмується функція  виду (2.1.15), що згладжує дані, і власне самі дані :

                                     (2.1.18)

2) на основі отриманих згідно з (2.1.18) даних формується квадратична міра близькості:

                           (2.1.19)

3) з необхідної умови екстремуму (мінімуму) функції по шуканим параметрам і формується система лінійних алгебраїчних рівнянь, що дає шуканий розв’язок:

                                           (2.1.20)

4) Умова (2.1.20) призводить до такої системи:

                               (2.1.21)

що має такий аналітичний розв’язок:

                                       (2.1.22)

 

Випадок 2.

Якщо для згладжування використовується функція виду (2.1.16), то схема вирішення задачі згладжування буде такою:

1) диференціюється функція , що згладжує дані, а також вихідні дані для яких знаходять відповідні скінченні різниці, тобто:

                                (2.1.23)

З наявних дискретних значень можна вирахувати похідну.

2) логарифмуємо отримані згідно з (2.1.23) дані, тобто здійснюється наступний перехід до перетворених змінних та :

                      (2.1.24)

де .

3) здійснюється перетворення незалежної змінної (аргументу) для кращого прив’язування знайденої похідної (а значить і ) до середини відрізка , тобто до середнього значення:

                               (2.1.25)

4) формується квадратична міра близькості

                                     (2.1.25)

5) з необхідної умови екстремуму міри близькості (2.1.25) по шуканим коефіцієнтам і формується система нормальних рівнянь, розв’язок якої має такий же вигляд, як і попередні співвідношення (2.1.22), але вже при кількості дискретних значень :

                               (2.1.27)

6) маючи знайдені значення коефіцієнтів і переходимо оберненим перетворенням до параметрів та експоненти, тобто:

                                           (2.1.28)

7) Згідно з виразом (2.1.16) згладжуючої функції при заданих значеннях аргументу розраховується значення згладжуваного сигналу.

Якщо в результаті похибок вимірювання , то похідна згідно з (2.1.22) буде дорівнювати і логарифмування не може бути виконано. В цих випадках екстремальні дані повинні попереднє тим або іншим способом оброблені перед експоненціальним згладжуванням.

 Випадок 3. .

 В цьому випадку схема вирішення задачі згладжування включає такі кроки:

1) в експоненті (2.1.17)  замінюється на змінну з вираховуванням відповідних значень , чим створюються нова функція .

2) логарифмуванням нової функції здійснюється її лінеаризація (тобто перетворення в лінійну функцію):

                             (2.1.29)  

де ; .

3) логарифмуванням значень експериментальних даних здійснюється перехід до координат , тобто

                                          (2.1.30)

 4) із умови мінімуму квадратичної міри близькості

                             (2.1.31)

по шуканим коефіцієнтам і знаходяться їх оптимальні значення по таким формулам:

                                (2.1.31)

5) здійснюється перехід від коефіцієнтів і до параметрів і згідно з (2.1.29) на основі яких формується вихідна функція згладжування виду (2.1.17), по якій при заданих значеннях аргументу   знаходяться згладжені значення сигнала.

2.2. Метод цифрового ковзаючого згладжування даних.

Змістовно метод ковзаючого згладжування можна визначити як покрокову квадратичну апроксимацію (поліноміальну або експоненціальну) вихідних даних, коли на кожному кроці обробляється тільки певна частина масиву вихідних експериментальних даних.

2.2.1. Метод ковзаючого середнього

 Найпростішим випадком використання даного методу є такий, коли із трьох вибраних величин вихідного масиву для функції вираховується згладжена величина як середнє арифметичне значення:

                              (2.2.1)

Цей вираз був отриманий наступним чином.

Вибираємо в даному випадку для згладжування степенний поліном нульової степені , а для його побудови вибираємо з вихідного масиву значень на кожному кроці згладжування сукупність з трьох точок (тобто мінімальної кількості точок для апроксимації за допомогою прямої лінії) . У якості міри близькості застосовуємо квадратичний функціонал:

                 (2.2.2)

із необхідної умови екстремуму (мінімуму) якого знаходимо оптимальне значення шуканого коефіцієнта :

                           (2.2.3)

                          (2.2.4)

де - згладжене поліном нульової степені значення сигналу.

Звісно, що при такій процедурі згладжування втрачаються два крайні значення (нульове та ) з масиву вихідних даних. Уся сукупність кроків таких розрахунків зветься однократним згладжуванням (або одним проходом згладжування). Можна повторити цю процедуру обробки, але вже з отриманим результатом у вигляді масиву даних , що дає вже двократне згладжування:

                                         (2.2.5)

Підставивши вираз (2.2.1) для кожної складової співвідношення (2.2.1) отримуємо у підсумку:

(2.2.6)

що безпосередньо зв’язує значення другого проходу згладжування з вихідними значеннями сигналу. Наприклад: зафіксовані вихідні значення сигналу (табл.2.1) які послідовно згладжені за два проходи, що дає два масиви :

0

0.0

5

---

---

1

0.1

5.4

5.63

---

2

0.2

6.5

5.97

5.89

3

0.3

6.0

6.07

6.02

4

0.4

5.7

6.03

6.14

5

0.5

6.4

6.33

6.39

6

0.6

6.9

6.80

6.80

7

0.7

7.1

7.26

7.18

8

0.8

7.8

7.47

---

9

0.9

7.5

---

---

                                                                                                    Табл.2.1.

2.2.2. Лінійне поліноміальне згладжування.

Метод ковзаючого середнього має один суттєвий недолік – зростаюча втрата даних при збільшені числа проходів згладжування. Цей недолік можна усунути якщо замість полінома нулевої степені використати поліном першої степені , який має вже два шуканих коефіцієнта та ; тобто він подається у такому вигляді і задає пряму лінію. Знову ж таки вибираємо для побудови цього поліному мінімально можливу кількість даних з вихідного масиву - три, записуючи квадратичну міру близькості і поліном у такому вигляді:      

     (2.2.7)

Оптимальні значення шуканих коефіцієнтів на -тому кроці згладжування знаходиться із умови екстремуму (мінімуму) міри близькості (2.2.7), тобто:

                                 (2.2.8)

що дає після перетворення таку систему алгебраїчних рівнянь:

      (2.2.9)

Припускаючи, що дискрети рівновіддалені одна від одної з інтервалом , маємо:

а в системі рівнянь (2.2.9) отримуємо такі коефіцієнти:

В результаті система рівнянь (2.2.9) перетворюється в таку:

                       (2.2.10)

що дає наступний розв’язок:  

                     (2.2.11)

Оскільки значення згладжених даних тепер розраховуються по поліному у точці , то і у виразі

(2.2.12)  

зникає різниця і тому залишається тільки , тобто необхідно використати тільки коефіцієнт ,  , а значить і вирахувати тільки наступне:

                      (2.2.13)

Якщо поставити за мету не втрачати по два значення – одне на початку, а друге – в кінці масиву даних, то потрібно скористатися повним виразом для поліному з коефіцієнтами при і , а також і відповідно, що дає:   

(2.2.14)

Підставивши (2.2.11) в (2.2.14) отримуємо таке:

   (2.2.15)

2.2.3. Згладжуючий ковзаючий поліном третього порядку

Згладжування лінійним поліномом є досить ефективною процедурою фільтрації, яка у частотному поданні є низько-частотною, з досить вузькою полосою пропускання. Якщо є необхідність розширити полосу пропускання при згаджуванні, то треба використати поліном більш високої степені; наприклад третьої, що має такий вигляд:

В цьому випадку необхідно вже знайти чотири коефіцієнта . Трьох точок для розрахунку МНК вже не достатньо і вибирають п’ять (на одиницю більше, ніж кількість невідомих коефіцієнтів полінома). Тепер маючи вихідний масив функції розраховуємо значення цього поліному в точці , яке і буде виступати як згладжена величина , тобто:

                                           (2.2.16)

Для побудови аналітичних розрахункових залежностей зручніше згладжуючий поліном подати у такому вигляді

          (2.2.17)

Квадратична міра близькості (сума квадратів відхилень між вихідними та згладженими даними) буде такою:

(2.2.18)

умова екстремуму (мінімуму) якої дає систему алгебраїчних рівнянь для знаходження оптимальних значень шуканих коефіцієнтів згладжуючого поліному:

звідки витікає:

          (2.2.20)

Тут для спрощення записів використане таке позначення: .

Оскільки нас цікавить тільки величина згладжую чого поліному в точці , тобто при , то у (2.2.17) зникають усі різниці і тому залишається , . Це і визначає згладжену величину :

                           (2.2.21)

для знаходження якої потрібно лише визначити коефіцієнт поліному на кожному кроці згладжування. Припускаючи, що дискрети рівновіддалені з кроком і виконавши усі необхідні перетворення і розрахунки, подібні до тих, що були зроблені у попередньому випадку, знаходимо вираз для розрахунку значень коефіцієнтів і відповідно згладженої величини:

      (2.2.22)  

За допомогою (2.2.22) не можна згладити дві точки на початку і дві в кінці вихідного масиву даних. У тих випадках, коли має сенс зберегти їх, потрібно визначити всі коефіцієнти полінома (2.2.17), а вже маючи їх, розрахувати шукані згладжені дані по цьому поліному. Формули для таких розрахунків мають вигляд:

                     (2.2.23)

                      (2.2.24)

3. Цифрова фільтрація сигналів

3.1. Загальна характеристика задачі і методів фільтрації

 Під фільтрацією розуміють перетворення вихідного сигналу з метою поліпшення його якісних показників, які виступають як бажані характеристики сигналу.

Remark. Наприклад, є сигнал, що спотворений перешкодою і треба цю перешкоду звести до нуля.

Фільтрацію виконують за допомогою цифрових фільтрів, у якості яких виступають реальні фізичні пристрої або процедури, що реалізують певний алгоритм фільтрації. В залежності від того з якими даними оперує той чи інший фільтр, він може бути неперервним (аналоговим), коли обробляється неперервний сигнал, та дискретним (цифровим), коли обробляються цифрові масиви. По характеру алгоритму (процедури) обробки даних при фільтрації розрізняють:

1) нерекурсивні фільтри, коли поточне значення вихідного сигналу фільтру формується на основі поточного значення вхідного сигналу і його відповідного числа попередніх значень.

2) рекурсивні фільтри, коли в процедурі обробки даних реалізується так звана рекурсія, тобто використання попередньо знайдених значень величини при вираховуванні поточного значення цієї величини. В цьому випадку вихідна величина фільтру у будь-який момент часу вираховується на основі поточних і минулих значень вхідного сигналу, а також минулих значень вихідного сигналу на певній кількості кроків.

Обидва типа фільтрів можуть бути як аналоговими, так і цифровими, а сам факт використання попередніх значень вихідної величини вказує на наявність функціонального зв'язку між виходом і входом. фільтру. Такий зв'язок з відповідним знаком зветься зворотнім зв’язком.

Рис. 2.3.1. Зворотній зв'язок

Таким чином нерекурсивні фільтри це фільтри без зворотного зв’язку, а рекурсивні – з зворотним зв’язком. Зворотній зв'язок один із ефективних засобів підвищення точності і якості системи, але він суттєво впливає на стійкість системи.  

    

     а) вихідний сигнал         б)    вихідний сигнал              в)  вихідний сигнал

        стійкої системи          «нейтральної» системи        нестійкої системи

Рис. 2.3.2. Графічна характеристика поняття стійкості.

Функція носить коливальний характер і є затухаючою функцією. Функція є незатухаючою з постійною амплітудою функцією. - коливання, амплітуда яких з часом зростає до нескінченності, що відповідає так званому розбіжному процесу.   характеризує стаціонарні (постійні) незбігаючі коливання. Для кажуть, що цей процес є стійкий. Для кажуть, що він є нестійкий.

 Задачею побудови (створення) фільтру є розрахунок його параметрів (відповідних коефіцієнтів) з метою отримання бажаних характеристик фільтра. Способи розрахунку звуться методами проектуванням фільтрів. Існують різні методи проектування фільтрів будь-якої природи (дискретних, неперервних), які використовують різний математичний опис фільтрів. Математичний опис прийнято називати моделлю фільтру. Взагалі, моделлю будь-якої системи є ії опис з використанням тієї чи іншої мови (математичної, функціональної, лінгвістичної, природної). Існує декілька математичних описів цифрових фільтрів, які базуються на тому чи іншому математичному апараті (як кажуть у математиці - формалізмі). Існують такі види математичних моделей фільтрів:

1) імпульсна перехідна характеристика (вагова функція), яка для аналогового неперервного фільтру позначається , а для цифрового . Ця характеристика є реакцією (вихідним сигналом) фільтра при подачі на його вхід одиничного імпульсу (так званої функції Дірака у неперервному варіанті). Ця характеристика є часовою, що характеризує фільтр у часі.

Рис. 2.3.3. Імпульсна перехідна характеристика

2) диференціальне рівняння відповідного порядку.

   (3.1)

неперервний (аналоговий) фільтр описується диференційним рівнянням при відповідних початкових умовах:

крім того задається вхідна функція .

Для цифрових фільтрів ці рівняння дискретизуються, коли похідні замінюються відповідними скінченними різницями, відповідно до порядку диференційного рівняння. Скінченною різницею першого порядку в точці є

де

Похідна першого порядку при дискретизації замінюється наступним співвідношенням.:

коли , .

Рис. 2.3.4. Наочне зображення похідної

Після заміни неперервної похідної на відповідні скінченні різниці отримуємо скінчено різницеве рівняння наступного вигляду:

 Припустимо, що :

На практиці використовують інше подання скінчено різницевого рівняння, яке витікає з іншої моделі фільтру – передаточної функції.

3) передаточна функція цифрового фільтру. Використовується як для неперервного так и для цифрового фільтру. Для неперервного варіанту передаточна функція визначається як відношення зображення по Лапласу вихідного сигналу фільтру до зображення по Лапласу вхідного сигналу фільтру.

Застосовується для того щоб складні операції, що пов’язані з розв’язком диференціальних рівнянь звести до алгебраїчних операцій (множення, ділення на відповідну комплексну змінну) відносно зображень Лапласа. Якщо використати перетворення Лапласа відносно неперервного звичайного диференційного рівняння, що описує фільтр, то отримуємо замість похідних відповідні поліноми відносно змінної наступного вигляду:

що є вже алгебраїчним рівнянням.

Воно скорочено записується:

де

і це дозволяє замість розв'язку диференційного рівняння використати більш зручні алгебраїчні методи розв'язків рівнянь. Після цього здійснюється повернення до часового простору (перехід до часових функцій).

                                                     (1)

де, - оператор Лапласа (комплексних змінних).

                                (2)

де поліноми і - це поліноми, які відповідають диференційним рівнянням, що описує неперервний фільтр, а , яким було замінено в диференційному рівнянні.

Взагалі, для отримання моделі у вигляді (2), коли передаточна функція є дробово-раціональна від змінної ,  коректним є перетворення Лапласа для лівої і правої частини диференційного рівняння.

                                              (3)

де - ядро.

- зображення по Лапласу заданої функції . Для того щоб існувало таке перетворення, повинна бути неперервною, неперервно-деференційовною і обмеженою.

Якщо взяти модель фільтра у вигляді диференційного рівняння 2-го порядку:

                           (4)

порядок фільтру – 2

- відома функція.

Використовуємо перетворення Лапласа для лівої і правої частини (4):

               (5)

Базуючись на цьому рівняння (5) замінюється:

                                   (6)

Крім того здійснюється перетворення початкових умов, що в кінці кінців дає нам алгебраїчне рівняння:

                                    (7)

де .

Можна зробити висновок, що передаточна функція – це дробово-раціональна функція, в якій в чисельнику знаходиться поліном, що визначається правою частиною диференційного рівняння, а в знаменнику поліном, що визначається лівою частиною.

4) частотні характеристики:

- амплітудно-частотні (АЧХ), які дають залежність модуля від частоти.

- фазово-частотні (ФЧХ), а сама модель подається у експоненціальній формі. Вона може бути легко отримана із передаточної функції  неперервного сигналу заміною на .

                             (8)

де - АЧХ (модуль), -ФЧХ (фаза).

Ці характеристики дуже зручні для задання технічних вимог до фільтру, який створюється, тобто сформулювати технічне завдання по розрахунку параметрів фільтру.

3.2.Дискретні (цифрові) фільтри.

Мають ті ж самі  моделі, але всі вони є дискретними.

1) імпульсна перехідна функція.

- період дискретизації, і оскільки він фіксований, його можна опустити, і тоді : - імпульсна перехідна функція.

є реакцією системи при подачі на його вхід одиничного імпульсу:

У випадку (а) , вагова функція є скінченною на скінченному інтервалі і фільтр називається: фільтр із скінченною імпульсною характеристикою.

У випадку (б) вагова функція є нескінченною і фільтр називається:  фільтр із нескінченною імпульсною характеристикою.

2) скінченно-різницеве рівняння.

Дискретний аналог відповідного диференційного рівняння для відповідного фільтра (див. вище).

3) передаточна функція дискретного фільтру.

Визначається як відношення - перетворення вихідного сигналу до

- образу вхідного сигналу.

                                                       (9)

Коли - перетворення дискретизованого сигналу

                            (10)

- образ аналітично заданого сигналу буде алгебраїчним виразом (поліномом від із від'ємними степенями)

Передаточну функцію вигляду (9) легко отримати маючи відповідне різницеве рівняння. Наприклад, скінченно-різницеве рівняння, що описує фільтр:

           (11)

Поява змінних з від'ємним номером кроку відповідно до порядку змінних примушує задати для однозначного розв’язку цих рівнянь початкові умови у точках :

                      (12)

Рівняння (12) розв’язується відносно шуканої змінної при наявності початкових умов:

              (13)

Завдання: Вхідним сигналом є одиничний імпульс, а вихідним сигналом буде:

Розглядаються нульові початкові умови. Отримати формули на 5 кроків.

 

Маючи, те чи інше зображення (по Лапласу або - зображення) певної величини можна отримати її значення або функцію (тобто аналітичний вираз) у часі. Для цього використовуються відповідні оберненні перетворення Лапласа:

                                        (1)

зображення .

Подібно до цього визначається і обернене - перетворення:

                                   (2)

Використовувати обернені перетворення досить складно. Але можна, використовуючи властивості відповідних перетворень легко змінювати математичний опис задачі, яка розв’язується.

Приклад. Розглядається задача дослідження і моделювання процесу цифрової фільтрації сигналів, коли модель цифрового фільтру задана відповідною передаточною функцією.

де - відповідні поліноми кінцевої степені від комплексної змінної .

- чисельні коефіцієнти.

Максимальне значення степені полінома визначає порядок фільтру.

Знайти:

1) імпульсну перехідну характеристику (вагову функцію).

2) отримати математичну модель фільтру у вигляді скінченно-різницевого рівняння.

3) розрахувати значення вихідного сигналу фільтру при подачі на його вхід сигналу , що заданий у наступній таблиці:

n

0

1

2

9

x(n)

1.5

1.2

0.8

0.5

 

Розв'язок задачі.

1) Отримати опис у вигляді передаточної функції, знаючи, що передаточна функція є відношенням зображення вихідного до вхідного сигналу при нульових початкових умовах, використовуємо задані значення передаточної функції і створюємо відповідне алгебраїчне рівняння , тобто маємо:

                      (3)

Якщо тепер взяти обернене перетворення від лівої і правої частини, то мі можемо отримати оригінал:

Згідно з властивістю - перетворення - властивість, що стосується зсуву значень змінних в області зображень, яка свідчить, що - обернене перетворення:

тобто оригінал зсунутий на кроків відносно поточного значення. Тому:

і нарешті отримуємо остаточний результат:

                      (4)

що є виразом для всіх величин , що отримані з відповідного скінченно-різницевого рівняння і яке повинно мати відповідні початкові умови, якщо

послідовно призначаючи змінній значення отримуємо:

2) Для отримання диференційного рівняння повертаємось назад на декілька кроків нашого міркування.

                          (*)

1. Розкриваємо дужки і знаходимо відповідні добутки.

2. Діємо оберненим - перетворенням на ліву і праву частини, враховуючи, що - перетворення від суми складає сума  - перетворень від кожної складової.  

3. Враховуючи властивість зсуву на певну кількість кроків в області зображення отримуємо наступні оригінали функції, що входять в наші рівняння.

В результаті цього ми отримуємо скінченно-різницеве рівняння наступного вигляду:

3) Знайти імпульсно-перехідну функцію. Найпростіше знаходити по скінченно-різницевому рівнянню, по його математичній моделі. Звісно при заданих чисельних коефіцієнтах фільтру .

При цьому враховуються означення імпульсної перехідної характеристики: імпульсна перехідна характеристика фільтра (будь-якої динамічної системи) є його значення сигналу на виході, коли на його вхід надається одиничний імпульс при нульових початкових умовах фільтру

4) чисельний розрахунок:

3.3. Методи цифрової фільтрації сигналів.

Усі наявні методи цифрової фільтрації можна поділити на 3 групи:

1. Фільтрація за допомогою процедури згортки, тобто у неперервному випадку з використанням так званого інтеграла згортки, коли

                                         (1)

де - імпульсна перехідна або вагова характеристика.

     - вхідний сигнал, ,   - зсунутий вхідний сигнал на момент .

рис.3.3.1. Зсунутий сигнал на момент .

Лінійно дискретна згортка:

                       (2)

Якщо , то

                           (3)

Існують процедури швидкої лінійної згортки, тобто методи швидкого вираховування цієї згортки, що прискорює процес цифрової фільтрації.

 2. Фільтрація за допомогою перетворення спектру з метою отримання потрібних якісних характеристик.

1) полягає у тому, що для сигналу , що фільтрується, знаходиться спектр за допомогою дискретного перетворення Фурє, який подається у вигляді амплітудного спектру і фазового і цей спектр є періодичним. Цей же спектр може бути поданий у вигляді ,.

2) проводиться аналіз спектру і зясовується, який характер перетворення треба привнести в нього, тобто, що залишити, що вилучити. Що змінити і як саме змінити. На основі цього аналізу будуть сформований так званий корегуючий спектр.

3) формування корегую чого спектру у вигляді масиву значень з тим же кроком, яким заданий вхідний спектр.

Якщо спектр заданий у вигляді та   (або амплітудним та фазовим), то корегування виконується обох складових за допомогою спектра двох корегуючих складових.

 Наприклад: аналіз вихідного спектру показав, що треба вилучити деяку частотну складову і залишити іншу частотну складову, то корегуючий спектр буде поданий у вигляді складових спектру з одиничними значеннями на тих частотах, які треба зберегти і нулями на тих, які треба вилучити.  

рис.3.3.2.Вилучення певних частот спектру.

Ці значення 0 і 1 відповідають задачі відновлення корисного сигналу із зашумленого без зміни його амплітуди і фази, якщо ж треба змінити показники сигналу, то множник приймає відповідне значення у корегуючому спетрі ().

4) виконується табличне перемноження (перемноження масиву вихідного і корегуючих спектрів в результаті чого отримуємо перетворений спектр сигналу).

5) виконується обернене перетворення Фурє в результаті чого отримуємо часові значення відфільтрованого сигналу на заданому відрізку часу - .

 3. Цифрова фільтрація, яка здійснюється відповідною процедурою у вигляді розв’язку відповідного скінченно-різницевого рівняння при заданому дискретизованому вхідному сигналі.

Узагальнена схема використання цього методу виглядаю так:

1) проводиться спектральний аналіз вихідного сигналу і зясовується, який вид фільтрації потрібний.

Взагалі, відносно частотних властивостей фільтрів можна сказати, що існує:

 - НЧФ, для яких бажана частотна характеристика виглядає так:

рис.3.3.3. Бажана частотна характеристика НЧФ.

і розглядається задача відновлення сигналу, а не змінення.

Полоса частот від до зветься полосою пропускання сигналу. Поза нею – полоса подавлення.

 Для коректності вважається, що існує ще третя область, бо реальна характеристика виглядає наступним чином:

рис.3.3.4. Реальна частотна характеристика НЧФ.

Перехідна область, де значення АЧХ змінюється від до , коли розглядається задача простого відновлення сигналу.

 - ВЧФ, який характеризується тим, що на низьких і середніх АЧХ = 0, а на високих = 1. Бажана характеристика має такий вигляд:

рис.3.3.5. Бажана частотна характеристика ВЧФ.

і в цьому випадку існує 3-и області для реальних фільтрів:

рис.3.3.6. Реальна частотна характеристика ВЧФ.

ВЧФ є інверсним до НЧФ.

- ПФ, полосовий фільтр, який характеризується тим, що у нього існує низькочастотна область, де сигнали подавляються і високочастотна область, де сигнали подавлюються, а середні частоти – пропускаються.

рис.3.3.7. Бажана частотна характеристика ПФ.

У полосі пропускання в області середніх частот АЧХ=1, в інших =0.

Реальна характеристика виглядає так:

рис.3.3.8. Реальна частотна характеристика ПФ.

коефіцієнт передачі будь-якого пристрою є відношення сталого значення на виході до сталого значення на вході.

 - Режекторний фільтр, характеризується тим, що має АЧХ з одиничним значенням в області високих і низьких частот, а в дуже вузькій області середніх частот АЧХ=0. Інакше кажучи, цей тип фільтру є інверсним для ПФ.

рис.3.3.9. Бажана частотна характеристика Рефекторного фільтру.

Реальна частотна характеристика має дві перехідні області, де АЧХ змінюється від 0 до 1.

рис.3.3.10. Реальна частотна характеристика Рефекторного фільтру.

2) вибирається відповідний тип фільтру – рекурсивний чи не рекурсивний, що обумовлюється характером процедури фільтрації.

3) виконується розрахунок параметрів (коефіцієнтів відповідного скінченно-різницевого рівняння, бо воно є моделлю фільтру, що використовується при фільтрації). Ці розрахунки виконуються згідно з тим чи іншим методом, бо існує декілька.

4) моделювання процесу фільтрації. Розрахунок вихідного сигналу на основі розв’язку відповідного скінченно-різницевого рівняння.

3.4. Основні поняття і положення проектування цифрових фільтрів.

 Існує декілька методів проектування, як рекурсивних, так і не рекурсивних фільтрів, в основи яких покладена така ідея:

1) на основі аналізу вихідного сигналу визначається напрямок і показники перетворення заданого сигналу з метою поліпшення його якості.

2) встановлюються технічні вимоги, які визначають показники цифрового фільтру для тієї чи іншої моделі ЦФ, яка використовується у даному методі проектування, як то коефіцієнт передачі на певних частотах, фазовий зсув, вид і параметри вагової функції, коефіцієнти передаточної функції.

3) виконується процедура розрахунку параметрів фільтру згідно з обраним методом.

4) здійснюється моделювання процесу фільтрації на відповідному тестовому сигналі.

Одним із розповсюджених методів проектування рекурсивних фільтрів є метод аналогового прототипу. Згідно з цим методом вимоги до фільтру формуються з використанням його частотної моделі, коли задаються параметри бажаних частотних характеристик, які включають в себе тип фільтру (ВЧФ, НЧФ, ПФ, РФ) і його параметри: частоту зрізу , коефіцієнт передачі (величину затухання) на певних частотах в полосі пропускання і подавлення. Таким чином цим вимогам повинні задовольняти спроектовані ЦФ.

В цьому методі відтворення бажаних частотних характеристик здійснюється за допомогою їх апроксимації з використанням відповідної системи функцій (поліномів), у якості яких використовуються поліноми Баттерворда, Чебишева, Бесселя, Кауера та ін. При цьому розглядається аналоговий фільтр відповідного порядку, а сам процес проектування зводиться до наближення з відповідною степеню точності до бажаного еквівалентного нормованого НЧ.

Нормованим НЧ зветься НЧ у якого полоса пропускання АЧХ задана від 0 до 1 , а полоса подавлення до нескінченності.

рис. 3.4.1. Нормований НЧ

При цьому розглядається квадрат модуля частотної характеристики.

Потім, отримавши частотну модель спроектованого фільтру відповідного порядку нормованого НЧ, здійснюється побудова іншої моделі у вигляді передаточної функції аналогового прототипу , яка у певній мірі наближає до бажаної характеристики. Далі здійснюється відповідне функціонально-масштабне перетворення. ().

Відповідним - перетворенням здійснюється перехід від аналогового до цифрового фільтру. (). Маючи передаточну функцію спроектованого цифрового фільтру, здійснимо побудову відповідного скінчено-різницевого рівняння, що використовується у розрахунках функції.

Розглянемо процес проектування ЦФ на прикладі фільтрів Баттерворда.

При проектуванні фільтрів цього типу в якості апроксимуючого поліному використовуються поліноми типу Баттерворда:

- кругова частота.

Для будь-якого  поліноми Баттерворда мають такі властивості:

1) є поліномами степені , маючи дійсні коефіцієнти і .

2) при будь-якому здійснюється апроксимація квадрата модуля АЧХ  поліномом Баттерворда:

3) має місце співвідношення при  будь-якому :

рис.3.4.2. Поліноми Баттерворда.

4) АЧХ фільтру типу Баттерворда має монотонний характер (відсутні коливання) і характеризується своєю пласкістю.

5) при збільшені порядку поліному степінь наближення до бажаної характеристики зростає, але полоса пропускання від 0 до 1 , тобто НЧ є нормованою.

Процедура проектування ЦФ згідно з методом аналогового прототипу зводиться до виконання наступних кроків:

 

1. Задання бажаних частотних характеристик (або амплітудних, або фазових)  для відповідного типу фільтру.

рис. 3.4.3

Цим задається степінь точності для відтворення бажаних характеристик полінома Баттерворда.

 Remark. Якщо тип фільтру є ВЧ, ми використовуємо ті ж самі показники:                                               

рис. 3.4.4

2. Здійснюється перерахунок заданих бажаних характеристик до нормованих НЧ характеристик фільтра:

рис. 3.4.5

Таке масштабно-функціональне перетворення здійснюється за допомогою наступних залежностей:

 

- НЧ Нормований НЧ.

               , де .

Припустимо, що =10 Гц, тоді = .

Таке перетворення зветься масштабуванням по частоті, бо не змінюється тип фільтру НЧ.

- ВЧ Нормований НЧ.

               .

Тут здійснюється масштабно-функціональне перетворення.

Припустимо, що =100 Гц, =120 Гц, =80 Гц.

- ПФ Нормований НЧ.

- РФ Нормований НЧ.

3. Виконуються розрахунки, аналітичні, або методом підбору, знаходиться степінь поліному Баттерворда, який наближує бажану частотну характеристику Н. НЧ.

4. Маючи порядок поліному здійснюється перехід до передаточної функції нормованого аналогового НЧ фільтру виду:

5. Маючи передаточну функцію аналогового нормованого НЧ, використовуємо функціонально-масштабний перехід до бажаного типу фільтру з заданими частотними показниками за допомогою наступних залежностей:

- Нормований НЧ НЧ.

                              

що відповідає масштабуванню по комплексній змінній . Це перетворення змінює коефіцієнти параметрів передаточної функції.

- Нормований НЧ ВЧ.

                              

що відповідає не тільки масштабуванню , але й і інверсії типу фільтру, що принципово змінює вигляд передаточної функції.

- Нормований НЧ ПФ.

- Нормований НЧ РФ.

6. Маючи передаточну функцію аналогового фільтру бажаного типу, з заданими частотними властивостями, здійснюється перехід до передаточної функції ЦФ, що здійснюється заміною комплексних змінних на відповідну функцію . Функціональне перетворення, що витікає з того чи іншого перетворення.

7. Маючи передаточну функцію ЦФ, оберненим перетворенням здійснюємо перехід до скінченно-різницевого рівняння відповідного порядку, що є моделлю ЦФ у часовій області.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2283. Зведення і групування статистичних даних 18.04 KB
  Суть статистичного зведення та його види. Основні завдання і види групувань. Принципи і техніка побудови статистичних групувань. Ряди розподілу. Вторинне групування. Класифікація статистичних зведень.
2284. Політична ситуація в Україні 17.77 KB
  Характеризуючи політичну ситуацію в Україні, яка склалася на даний момент, можна сказати багато чого. Насамперед, головна зміна (а тепер і проблема міжнародного масштабу – не побоюсь цього виразу) – це зміна суспільного ладу на території нашої держави.
2285. Особенности благодарности и извинения в английском языке 20.16 KB
  Совершенствование навыка диалогической речи; Знакомство с страноведческим материалом, сравнение русской культуры с культурой англоговорящих стран, совершенствование навыка работы с текстом.
2286. Философия античности 21.51 KB
  Философия Платона. Философия Аристотеля. Концепция общества и государства в философии Платона и Аристотеля. Проблема мира, человека, познания в философии Эпикура, Стоиков и скептиков. Неоплатонизм.
2287. Конспект воспитательного мероприятия на тему Знакомство с ребятами 20.48 KB
  Цель: познакомиться с ребятами. найти к ним подход. заинтересовать детей в своей работе. Задача: узнать как можно больше о ребятах, о их интересах и предпочтениях.
2288. Особенности составления диалогов в английском языке 18.68 KB
  Повторение и представление диалогов, активизация стандартных языковых фраз. Работа с текстом домашнего задания. Проверяем лексические единицы текста. Работа с текстом Euro currency.
2289. Внеклассное мероприятие по теме Friends and Friendship 18.92 KB
  Внеклассное мероприятие провели студенты исторического факультета, IV курса. Внеклассное мероприятие проводилось на тему: Friends and Friendship.
2290. Акустические свойства звука. 16.69 KB
  Звуки речи, произнесенные человеком в результате процессов взаимодействия ЦНС и периферийных органов речи, представляют собой, как и любой звук в природе колебательное движение упругой среды.
2291. Звуковые явления 18.23 KB
  Потеря взрыва. Фразы, состоящие из 2х и более интонационных групп. Нисходящий терминальный тон в развернутых побудительных высказываниях.