21939

Оцінювання точності геодезичних вимірювань

Лекция

География, геология и геодезия

Сукупність що впливають на результати вимірів називають комплексом умов: 1 об’єкт; 2 суб’єкт; 3 прилад; 4 метод; 5 зовнішнє середовище. При порушенні комплексу умов результати вимірів називають нерівноточними. Результати вимірів розглядають з точки зору кількісних та якісних характеристик. Математична обробка результатів вимірів дає можливість отримати як кількісні так і якісні характеристики.

Украинкский

2013-08-04

207.5 KB

5 чел.

Лекція 5. Оцінювання точності геодезичних вимірювань

На попередніх 3 і 4-й лекціях ми розглянули широке коло розв’язання інженерних задач при проектуванні інженерних споруд з використанням топографічних планів на карті. Ці задачі вкрай важливо знати і вміти використовувати їх в практичній діяльності інженерам-проектувальникам – тобто вам шановні студенти в вашій майбутній професійній діяльності.

 

РОЗДІЛ 4. ОЦІНЮВАННЯ ТОЧНОСТІ  ГЕОДЕЗИЧНИХ ВИМІРЮВАНЬ

24. Геодезичні вимірювання

Вимірюванням називають процес порівняння фізичної величини з іншою фізичною величиною того ж роду, прийнятою за одиницю виміру.  

Розрізняють абсолютні та дійсні значення фізичних величин.

В природі існують абсолютно точні (істинні) значення фізичних величин.

Дійсні значення фізичних величин отримують за результатами вимірювань.

За методикою вимірювання поділяють на види:

  •  прямі (безпосередні) вимірювання;
  •  непрямі (посередні) вимірювання.

При прямих вимірюваннях (рис. 4.1) шукану фізичну величину L отримують як результат прямого порівняння її з одиницею виміру l0 за формулою

                            L = nl0 + r,                                              (4.1)

де  п – число повних одиниць виміру;

     r – залишок.

Залишок r визначається по відліковим пристроям вимірювальних приладів.

      Рис. 4.1. Схема вимірювань фізичної величини

 

При непрямих вимірюваннях шукана фізична величина визначається в результаті обчислень з використанням інших безпосередньо виміряних величин.

 

Наприклад. Площу прямокутної ділянки S отримують як добуток двох виміряних сторін а і b, тобто  S = а · b.

Сукупність, що впливають на результати вимірів називають комплексом умов:  1) об’єкт; 2) суб’єкт; 3) прилад; 4) метод; 5) зовнішнє середовище.

Якщо комплекс умов (КУ) практично не змінюється в процесі вимірювань, або їх зміна незначна, то такі вимірювання називають рівноточними.

При порушенні комплексу умов результати вимірів називають нерівноточними.     

Результати вимірів розглядають з точки зору кількісних та якісних характеристик.

Кількісна – характеризує числове значення вимірюваної величини.

Якісна – характеризує її точність.

Для отримання кількісної характеристики виконують необхідні виміри.

Наприклад. Для визначення довжини лінії її можна виміряти лінійкою, рулеткою та ін. один раз.

 

Для отримання якісних характеристик виконують додаткові або надлишкові виміри.

         Математична обробка результатів вимірів дає можливість отримати як кількісні, так і якісні характеристики. Надлишкові виміри відіграють надзвичайно велику роль при обробці результатів геодезичних вимірів.

В геодезії вимірюють довжини, кути, площі, масу, температуру, тиск, вологість і т.і.

Довжина лінії може розміщуватися на горизонтальній або нахиленій поверхні землі, в просторі, на поверхні будівельних конструкцій, в вертикальній площині і т.д.

Лінії на поверхні землі або в просторі під кутом до горизонту називають нахиленими.  Спроектовані на площину або поверхню сфероїда – горизонтальними прокладаннями. Лінії, що проходять по напрямку прямовисних ліній називають висотами або перевищеннями. 

Результати вимірювань виражають в системі СІ (SІ). В геодезії історично використовується метрична система мір.

За рекомендацією комісії Паризької Академії Наук в   1791р. за одиницю довжини була прийнята одна десятимільйонна частка довжини чверті Паризького географічного меридіана визначеного за допомогою геодезичних вимірювань. Її довжину було названо метром.   

Сьогодні за  еталон метра приймають віддаль, яку проходить світло в вакуумі за 1/299792458 частку секунди. Він затверджений ХVІІІ Генеральною конференцією міри та ваги в Парижі в 1983 р.

Одиницею площі є квадратний метр. Відповідно:  один ар 1а = 100 м2, один гектар  1га = 100а = 10000 м2, а                100га – 1 км2.

Одиницею вимірювання кутів є кутові міри: радіанна, градусна та десятинна або градова.

Радіан – це центральний кут (), що спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу.

Градусна міра одержана поділом прямого кута на 90 рівних частин – градусів. Градус містить 60 мінут, а мінута –  60 секунд.

Градова міра отримана шляхом поділу прямого кута на 100 рівних частин або град. Один град (1q) має 100 градових мінут (сантиград – 100с),  а 1 градова мінута – 100 градових секунд (санти-сантиград – 100сс).

В геодезичних обчисленнях широко використовується зв’язок між радіанною та градусною мірами, так:

              о = 57о,3;   r= 3438;  r = 206265.

Одиницею вимірювання температури є кельвін (K) або градус за шкалою Цельсія (С).

Міжнародна система одиниць встановлює одиницею тиску – паскаль (Па).  В геодезії традиційно за одиницю тиску приймають фізичну атмосферу (атм) та міліметр ртутного стовпа (мм рт.ст.).

Одна фізична атмосфера на рівні моря на широті 45о при температурі 0оС дорівнює 760 мм рт.ст. (1 атм = 760 мм рт.ст. = 1013 гПа – геопаскалей).

25. Класифікація та властивості похибок вимірів

Результати високоточних вимірів не співпадають з істинними значеннями вимірюваних величин, а повторні вимірювання не дають однакові результати. Це виникає тому, що в кожному вимірюванні неможливо абсолютно точно дотриматись незмінності комплексу умов. Тобто  кожен результат вимірів обмежений похибками вимірювань.

Різницю між результатом вимірювань х і істинною величиною Х, або дійсною величиною  називають похибкою вимірів:

                  = х – Х;       .                                (4.2)

За своїм характером похибки діляться на:

Грубі похибки – величина яких недопустима при даному комплексі умов. Їх виявляють шляхом обчислень і такі результати в математичну обробку не включають, а вимірювання повторюють.

Систематичні похибки – похибки, які входять в кожен результат вимірів з одним знаком, однією величиною або змінюються за певним законом (функцією). Величину їх визначають шляхом експериментальних вимірювань і вводять в результати вимірів.

Якщо відомі істинне значення Х та дійсне значення , то систематичну похибку визначають за формулою:

                                                                   (4.3)

де  с,   систематична похибка.

Випадкові похибки  виникають внаслідок незначного порушення комплексу умов при кожному вимірюванні, причому їх величину і знак передбачити неможливо.

Випадкові похибки в свою чергу поділяють на:

- істинні                і = хі - Х ;                                           (4.4)

- імовірні               vi = xi -,                                           (4.5)

де  Х – істинне значення шуканої величини;

– дійсне, імовірне або середнє арифметичне значення вимірюваної величини;

 хі – результат вимірювання.

Імовірним значенням називають отримане за результатами обробки вимірів х1, х2, ..., хп значення шуканої величини найбільш близьке до істинного.

Вивченням властивостей та закономірності дії похибок вимірів, розробкою методів отримання найбільш точних значень виміряних величин та характеристик їх точності займається теорія похибок вимірів.

Випадкові істинні та імовірні похибки при заданому комплексі умов мають такі властивості.

  1.  Обмеженості.  По абсолютній величині не перевищують граничної величини

                                       ||  гр.                                       (4.6)

  1.  Унімодальності. Малі по абсолютній величині випадкові похибки зустрічаються в ряду вимірів       х1, х2, ..., хп частіше великих

                                     Nmin  Nmax .                               (4.7)

3. Симетричності. В достатньо великому ряду вимірів кількість похибок з різними знаками приблизно однакова

                                N(+)  N(-).                                        (4.8)

4. Компенсації. Сума випадкових похибок розділена на їх число, при необмеженій кількості вимірів наближається до нуля

                                     .                                  (4.9)

Властивість компенсації випадкових похибок дозволяє визначити по ряду вимірів однієї і тієї ж величини результат, найбільш близький до істинного.

26. Математична обробка рівноточних вимірів

 

Виконано ряд вимірів х1, х2, ..., хп при практично незмінному комплексі умов. Тоді вимірі хі вважаються рівноточними [8].

Обчислимо істинні похибки за формулою 4.4, складемо їх, поділимо на п і отримаємо:

                   ;                                              (4.10)

                   ___________  

                   .                                                (4.11)

За четвертою властивістю при   n     .

Тоді                              .                                   (4.12)

Позначимо     і     отримаємо     = Х,    коли  n . Це означає, що при достатньо великій кількості вимірів, середнє арифметичне буде найбільш імовірним значенням, тобто найбільш близьким до істинного значення Х. Таку властивість називають принципом арифметичної середини.

Таким чином визначена кількісна характеристика вимірів, середнє арифметичне або ймовірне значення обчислюється за формулою

                        ,                               (4.13)

або                            ,                                          (4.14)

Критерієм (мірою) точності, або якісними характеристиками ряду вимірів є середні квадратичні похибки:

а) кожного окремого виміру хі:

  •  за формулою Гаусса

                   ,                                                   (4.15)

застосовується коли відоме істинне значення шуканої величини;

  •  за формулою Бесселя

                       ,                                            (4.16)

застосовується коли невідоме Х, а обчислене .

б) середнього арифметичного

                            .                                     (4.17)

Допустима (гранична) похибка в ряду вимірів х1, х2, ..., хп обчислюється за формулою

                                 гр = tm,                                        (4.19)

де параметр t обчислюється або вибирається із таблиці функції Лапласса в залежності від заданої довірчої ймовірності р. Відповідно маємо:

    р = 0,997        t = 3,0 – при високоточних вимірюваннях;

    р = 0,95          t = 2,5 – при вимірюваннях середньої точності;

    р = 0,90          t = 2,0 – при технічних вимірюваннях.

Систематичну похибку обчислюють за формулою:

          , або   .                                (4.20)

Якщо в ряду вимірів |Dі| > Dгр   або   |vi| > Dгр, то такий вимір вважається грубим, його відкидають і його вимірювання повторюють.

Для лінійних вимірювань визначають відносні похибки, які теж є мірою точності:

  •  відносна середня квадратична похибка

                                ;                                             (4.21)

  •   відносна гранична похибка

                               ;                                           (4.22)

На основі отриманих характеристик , m, M , Dгр  та    роблять остаточний висновок про якість вимірів.

Таблиця 4.1

№ виміру

хі (м)

vi (см)

Обчислення

1

181,32

+6

36

= 181,26 м

2

181,21

- 5

25

= 4,7 см

3

181,24

- 2

4

= 2,35 см

4

181,27

+1

1

Dгр = 2 4,7 = 9,4 см

625,04

0

66

1/Т = 9,4/181,26 = 1/1928

Оскільки  vi < Dгр, то вимірювання виконані правильно без грубих помилок.

27. Математична обробка нерівноточних вимірів

В ряду нерівноточних вимірів х1, х2, ..., хп будемо мати різні оцінки точності, тобто .

      За спеціальну міру відносної точності в ряду нерівноточних вимірів приймають коефіцієнт або вагу рі, яка обчислюється за формулою

;     ;      ,  або  ,            (4.23)

де С – умовно прийнятий постійний коефіцієнт з таким значенням, щоб ваги рі в ряду вимірів були близькі до одиниці;

В ряду вимірів ваги Pi можна пропорційно збільшити або зменшити в 10 ± n.

miсередня квадратична похибка окремого виміру;

Li – довжина вимірюваної величини;

Ni – число вимірювань, шуканої величини величини;

пі – число вимірів окремих величин хі.

Для ряду нерівноточно виміряної величини Х  ймовірним або найближчим значенням (найбільш точним) буде загальне середнє арифметичне .                            

              ,                         (4.24)

або                     ,                                                        (4.25)

де хі – результати вимірів;

   рі – ваги вимірів обчислені за однією із формул (4.23).

Мірами або критерієм точності нерівноточних вимірів приймають:

а) середня квадратична похибка (СКП) одиниці ваги або СКП того виміру, вага якого дорівнює одиниці (рі = 1)

  •  за формулою Гаусса

                              ,                                       (4.26)

  •  за формулою Бесселя

                              ,                                       (4.27)

де Dі, viвипадкові похибки, які обчислюються за формулами (4.4; 4.5).

б) середня квадратична похибка загального середнього арифметичного

                       ;                                      (4.28)

в) середні квадратичні похибки окремих вимірів 

                            .                                           (4.29)

Систематичну похибку обчислюють за формулою

                         ,     або   .               (4.30)

Гранична похибка за окремим завданням обчислюється для заданого або кожного виміру за формулою

                         .                                           (4.31)

Приклад визначення висоти точки місцевості А (рис.4.2) від чотирьох вихідних реперів наведено в табл. 4.2.

Таблиця 4.2

ходу

НА

(м)

L

(км)

р =

Н =

Ні – Н0

(см)

рН 

V

cм

pv

pv2

1

204,36

10

1,0

+14

+14

-2

-2

4,0

2

204,22

16

0,6

0

0

-16

-9,6

153,6

3

204,46

6

1,7

+24

+40,8

+8

+13,6

108,8

4

204,35

12

0,8

+13

10,4

-3

-2,4

7,2

H0

204,22

4,1

+65,2

-0,4

273,6

Рис. 4.2. Схема визначення висоти точки А 

Вага р  при С = 10 обчислені за формулою (4.23).

Загальне середнє арифметичне обчислене за формулою

,

де Н0 – мінімальне значення із отриманих висот по ходу 2.

Середні квадратичні похибки одиниці ваги та загального середнього арифметичного дорівнюють:

    9,5 см;  4,6 cм.

Середня квадратична похибка визначення висоти точки А по третьому ходу складе

                    7,3 см.

28. Оцінка точності функцій виміряних величин

При виконанні посередніх вимірів безпосередньо вимірюють декілька величин  х1,х2,...,хп.  Шукана величина обчислюється за функцією

                              у = f(х1, х2, ..., хп).                               (4.32)

Рис. 4.3. Схема визначення недоступної відстані

Тоді шукану відстань визначають за формулою                          

                                  LAB = bctg.                                               (4.33)

Якщо відомі середні квадратичні похибки m1, m2, ..., mп  безпосередньо виміряних величин х1, х2, ..., хп для визначення функції у (формула 4.32), то середня квадратична похибка функції my буде дорівнювати корню квадратному із суми квадратів добутку часткових похідних функцій по кожному  із аргументів   на середні квадратичні похибки відповідних

аргументів , тобто

         ,       (4.34)

де - часткові похідні функції у по наближеним (виміряним) значенням аргументів хі.

Для функції  у = х1  х2  ...  хп =      

отримаємо  

                                     (4.35)

       Для функції  у  = с1х1  с2х2  ... сnхп =     

Тоді

                       (4.36)

Приклад. При визначені на місцевості площі S  прямокутної ділянки виміряні сторонами а = 40м та b = 20 м з середніми квадратичними похибками ma = 2 см ;  mb = 1см.

Розв’язання. Площа ділянки обчислюється за формулою  S = a b.

За формулою (4.34) визначимо середню квадратичну похибку площі ділянки

           

       оскільки             ;    ,

Тоді        .


. . .

l0

l0

0

l0

r

n

А

В

3

2

1

Rp1

Rp4

Rp3

Rp2

1

2

3

4

A

A

C

B

b

L

<

90o