220

Факультативный курс Параметры в геометрии

Дипломная

Педагогика и дидактика

Общие вопросы организации и проведения факультативных курсов по математике. Анализ школьных учебников по геометрии федерального комплекта. Разработка факультативного курса Параметры в геометрии.

Русский

2012-11-14

644 KB

84 чел.

Московский городской педагогический университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа

и

методики его преподавания

Дипломная работа

Факультативный курс «Параметры в геометрии»

для учащихся восьмых классов общеобразовательной школы.

Выполнила:

студентка 5 курса 1 группы

дневного отделения

Пузакова Любовь

Владимировна

Научный руководитель:

старший преподаватель

Мирошин Владимир Васильевич.

Москва 2011.

 

Содержание

 

Введение_______________________________________________________3

Глава 1. Общие вопросы организации и проведения факультативных курсов по математике_____________________6

§1.история возникновения и развития факультативных занятий    по математике.____________________________________________6

§2.Особенности факультативных занятий и их цели.__________________11

§3. отбор содержания, выбор методов и форм проведения      факультативных занятий в восьмых классах________________15

§4 Психолого-физиологическая характеристика подростков____________19

               

Глава 2. разработка факультативного курса «Параметры в геометрии»_22

§1  Анализ школьных учебников по геометрии федерального комплекта_22

§2. Разработка факультативного курса «Параметры в геометрии»______29

§3. Тематическое планирование факультативного курса    «Параметры в геометрии»__________________________________30

заключение_________________________________________________65

библиография_______________________________________________67

приложения_________________________________________________70

Введение

Ещё на рубеже XIX-XX веков педагогическая общественность пришла к выводу, что преподавание  общеобразовательной школе какого-либо предмета по общегосударственной программе становится более успешным, если его дополнить групповыми занятиями, предназначенными только для желающих.  При разработке групповых занятий должны были учитываться запросы  и интересы учащихся, реальные возможности учителя, количественный и возрастной состав слушателей. Основной целью создания внепрограммных групповых занятий являлось развитие и поддержание интереса учащихся к конкретному предмету с помощью его углублённого изучения.

   Вторая половина XX века характеризуется бурным ростом научного знания и практической деятельности человека. Поэтому математическое образование стало считаться средством повышения уровня подготовки будущих специалистов как по естественно научным, так и по гуманитарным дисциплинам. В 1967-68 году в учебные планы общеобразовательных школ были включены факультативные занятия. В методике математики это время считают началом первого этапа введения факультативов по математике в школе, которые были введены с целью углубления и расширения научно-теоретических знаний, развития математического мышления, раскрытия приложения математики в практике. Второй этап в становлении факультативных занятий начался в 1980 году и был связан с переходом средней школы на новую программу по математике. Третий этап начался с проведения в съезда работников народного образования, который проходил в Москве в декабре 1988 года. Реформой предусматривалось дальнейшее развитие всех  форм дифференциации, в том числе и факультативов.

         В 1990 году была опубликована новая программа факультативных курсов. Основной целью программы является углубление знаний по основному курсу, получаемых на уроках, обучение решению более трудных и разнообразных задач. Методика проведения факультативных занятий по математике была раскрыта в работах Черкасова Р.С., Столяра А.А., Шварцбурда С.И.  и других, а основы организации и проведения факультативных занятий были изложены в работах Кашина М.П., Монахова В.М., Фирсова В.В и многих других.

        Отличительной чертой современного этапа развития факультативной формы обучения является то, что учитель имеет возможность не придерживаться тематики предусмотренных разделов и проявить творчество, составив свою программу проведения факультативных занятий. При таком подходе на учителе лежит большая ответственность, так как при составлении факультативного курса он должен учитывать особенности отбора содержания изучаемого материала, форм и методов проведения факультативных занятий, психолого-педагогические особенности конкретного класса, интересы и желания учеников, профильную направленность старшеклассников. Поэтому на сегодняшний день исследования, связанные с разработкой содержания и методикой проведения факультативов, являются актуальными.

   Объектом исследования является процесс организации обучения учащихся восьмых классов на факультативных занятиях по математике.

   Предмет исследования – построение системы факультативных занятий по математике для учащихся восьмых классов.

  Целью диплома является разработка факультативного курса «параметры в геометрии» и разработка методики его преподавания для учащихся восьмых классов.

    Для реализации поставленной цели необходимо было решить следующие задачи исследования:

- проанализировать методическую, педагогическую и психологическую литературу по теме дипломной работы;

- определить роль и место факультативных занятий в процессе обучения математике в школе;

- отобрать содержание факультативного курса «параметры в геометрии»;

- составить психолого-педагогическую характеристику учащихся восьмых классов;

- разработать план факультатива «параметры в геометрии» и конспекты конкретных занятий;

      В ходе работы применялись различные методы исследования: изучение и анализ методической и психологической литературы по теме работы, беседы.

  Дипломная работа состоит из введения, двух глав, результатов педагогического эксперимента, заключения, библиографии и приложений.

  Во введении обоснована актуальность исследования, даны основные его характеристики.

  Первая глава посвящена рассмотрению общих вопросов организации проведения факультативов по математике. В ней рассматриваются история возникновения и становления школьных факультативов; цели проведения факультативных занятий в зависимости от профильной ориентации старших классов; психолого-педагогическая характеристика подростков; особенности отбора содержания, форм и методов проведения факультативных занятий.

     Во второй главе представлен разработанный факультативный курс по теме «параметры в геометрии» для учащихся восьмых классов, состоящий из восьми занятий.

   С методической точки зрения изучение факультативного курса «параметры в геометрии» способствует развитию пространственного, логического и творческого мышления и математических способностей, воспитанию устойчивого интереса к математике, искусству и изучению окружающей среды.

Глава 1. Общие вопросы организации и проведения факультативных курсов по математике.

  1.  история возникновения и развития факультативных занятий по математике.

В начале ХХ века в средней общеобразовательной школе были созданы внепрограммные групповые занятия по математике с целью развития и поддержания интереса учащихся к этому предмету с помощью его углубленного изучения.

Групповые занятия предназначались только для желающих, при их разработке учитывались запросы и интересы учащихся, реальные возможности учителя, количественный и возрастной состав слушателей.

1-й Всероссийский съезд преподавателей математики, проходивший в Петербурге в 1913г, открыл новый этап в развитии математического образования русской школы. На съезде выступали такие знаменитые педагоги, как Кулишев А.Р., Лебединцев К.Ф., Поссе К.А. и многие другие. Среди обсуждаемых проблем наиболее остро выделялась проблема возможности сближения курса математики в средней школе с курсом математики в высших учебных заведениях.

Поссе К.А. отметил, что самым правильным решением будет создание двух курсов по математике в средней школе: общего и специального. Общий курс является обязательным для всех, а специальный – рассчитан на учеников, которые желают поступить в ВУЗы на физико-математический факультет и связать свою профессиональную деятельность с математикой.

На этом съезде в своём докладе Лермонтов В.В. также внес предложение об углублённом факультативном изучении математики способными ребятами с целью реализации принципов индивидуализации и дифференциации обучения.

В конце всех выступлений была предложена задача: подробно разработать такую методику преподавания математики в средней школе, которая бы сохраняла математический общеобразовательный характер и допускала бы специализацию в старших классах, учитывающую индивидуальные особенности учащихся.

В министерстве прислушались к мнению педагогов, и уже в 1915г. Были решены важнейшие проблемы реформы школьного образования. У учащихся  появилась возможность в зависимости от своих способностей и интересов выбрать одно из направлений, появившихся в старших классах: математическое, естественное, гуманитарно-классическое, ново-гуманитарное.

В 1957г. На собрании Академии педагогических наук с докладом выступил профессор Гончаров Н.К. Он предложил в 8-10 классы ввести отделение с преобладанием предметов физико-математического и технического, биолого-агрономического, социально-экономического и гуманитарного циклов. Это создало бы реальные условия для развития индивидуальных склонностей и способностей учащихся, сознательного выбора ими профессии, лучшей подготовки к занятиям, к учёбе в высших учебных заведениях.

В  1966 году 10 ноября было опубликовано правительственное постановление  «О мерах дополнительного улучшения работы средней общеобразовательной школы». В нем отмечалось, что уровень учебно-воспитательной работы школы не соответствует новым, более жестким требованиям, предъявляемым к качеству подготовки учащихся, и не отвечает запросам общества, остро нуждающегося в высококвалифицированных кадрах. Среди мер по ликвидации отставания была предложена такая важная для школы форма обучения, как факультативы. Под факультативами понимался учебный курс, изучаемый учащимися по их желанию для углубления и расширения научно-теоретических знаний. Факультативные занятия вводились с целью  углубления знаний по физико-математическим, естественным и гуманитарным наукам, для развития разносторонних интересов и способностей учащихся.

Таким образом, Факультативные занятия явились формой дифференциации обучения, учитывающие индивидуальные склонности и способности учащихся.

Внедрение в школьную практику Факультативных занятий помогло решить ряд актуальных задач, стоящих перед школой.

- Факультативные занятия стали также важны, как и уроки по обязательной программе;

- Факультативные занятия получили четкое место в расписании каждой школы;

- Факультативные занятия помогли тысячам школьников определить свой жизненный и трудовой путь, сделать правильный выбор профессии;

- Факультативные занятия помогли учителям поднять уровень преподавания на более высокий теоретический уровень;

- работа учителя по проведению Факультативных занятий стала оплачиваться наравне с проведением уроков (этот положительный моральный и материальный эффект способствовал повышению авторитета Факультативных занятий).

В практику работы школы Факультативные занятия вошли, начиная с 1967-1968 учебного года. В методике его считают началом первого из трех этапов введения факультативов по математике в школе.

Первые курсы назывались «Дополнительные главы и вопросы математики» и «Специальные курсы». Их программы были опубликованы в журнале «Математика в школе».

Некоторые темы, например, «Метод координат», «Геометрические преобразования», «Производная», «Интеграл» и другие после успешной апробации на Факультативных занятиях были включены в основной курс математики.

В течение следующего десятилетия (1966-1975гг) Факультативный курс по математике стал трактоваться как «Факультативный курс по единой общереспубликанской программе» («Единый Факультативный курс»). В 1975г было издано «Положение о Факультативных занятиях в общеобразовательных школах РСФСР». В силу этого положения преподавание Факультативного курса предписывался ряд черт, существенно сближавших его с преподаванием обязательных курсов.

С течением времени появились существенные недостатки «Единого Факультативного курса»:

-учителя не были подготовлены к проведению Факультативных занятий по причине отсутствия нужных учебных пособий, методики проведения Факультативных занятий и неподготовленности по большинству программных вопросов;

-жесткие количественные нормы для контингента слушателей (не менее 15 человек);

-запрет на чтение курса для непараллельных классов;

-наличие обязательной для всех школ программы по необязательному курсу;

-вытеснение факультативным курсом кружков.

Таким образом «Единый Факультативный курс» с его жесткой системой запретов и практически обычной урочной методикой не принес результатов в развитии и популярности Факультативных занятий.

К 1980г. Был завершен переход средней школы на новую программу по математике, Факультативный курс был заменен на новый. Он предоставил учителям более широкие возможности в самостоятельном выборе программы для Факультативных курсов. Начался второй этап введения Факультативных занятий в школе.

Новый Факультативный курс включил в себя три раздела:

1 избранные вопросы математики(8-11классы);    

2 математика в приложениях(10-11классы);     

3 алгоритмы и программирование(9-11классы).

Основной целью программы было доведение материала, изучаемого на уроке до логического завершения и обнаружение его связи с наукой и ее приложениями.

Изучение раздела «Математика в приложениях» направлено на углубление знаний и умений, полученных при изучении основного курса математики, на применение этих знаний в решении практических задач, в прикладных математических вопросах и смежных науках.

В задачи курса «Алгоритмы и программирование» входило изучение учащимися элементов программирования на ЭВМ.

Началом третьего этапа введения Факультативных занятий по математике в школе можно считать съезд работников народного образования, который проходил в Москве в декабре 1988г. На нем была принята Концепция общего среднего образования, основным направлением которой была провозглашена широкая дифференциация обучения. Реформой предусматривалось дальнейшее  развитие всех форм дифференциации, в том числе и факультативной, основной целью которой является возможность углубленного изучения отдельного предмета, в том числе и математики.

В 1990г. Была опубликована новая программа Факультативных курсов, которые предусматривались с 7 класса.

Основной целью этой программы является углубление знаний по основному курсу, получаемых на уроках, обучение решению более трудных задач. В старших классах углубление основного курса носит систематический характер и подготавливает учащихся к продолжению образования и к сдаче вступительных экзаменов в ВУЗы.

Факультативный курс содержит следующие разделы:

-за страницами учебников математики(7-9);

-математическая мозаика(7-9);

-подготовительный факультатив(10-11).

Отличительной чертой современного этапа развития Факультативной формы обучения является то, что учитель имеет возможность не придерживаться тематики предусмотренных разделов и проявить творчество, составив свою программу проведения Факультативных занятий. При таком подходе на учителе лежит большая ответственность, так как при составлении Факультативного курса он должен учитывать особенности отбора содержания, формы и методы обучения, психолого-педагогические особенности конкретного класса, интересы и желания учеников, а также профильную направленность старшеклассников.

2.Особенности факультативных занятий и их цели.

Требования, предъявляемые учебной программой, рассчитаны на среднеуспевающего ученика. Но уже в начальной школе выделяются ученики, как с трудом овладевающие обязательными результатами обучения, так и ученики, проявляющие повышенный интерес и способности к учёбе.

Всё это приводит к необходимости использования дифференцированного  подхода в обучении. Но даже при таком подходе временные рамки урока не позволяют окончательно ликвидировать пробелы в знаниях отстающих учеников и наиболее полно раскрыть возможности и углубить знания способных. На помощь приходит внеклассная работа с учениками.

Под внеклассной работой понимаются необязательные систематические занятия учащихся с преподавателем во внеурочное время. Различают два вида внеклассной работы по математике:

дополнительные занятия с отстающими учениками, основной целью которых является ликвидация пробелов в знаниях по курсу математики;

внеклассная работа с учениками, проявляющими повышенный интерес и способности к изучению математики.

Существуют различные формы проведения внеклассных занятий: математические кружки, вечера или утренники, экскурсии, олимпиады, викторины, конкурсы; неделя или месячник математики, клубы весёлых математиков, внеклассное чтение научно-популярной литературы;  летние задания и другие.

Целями проведения внеклассной работы по математики являются:

- пробуждение и развитие интереса учащихся к математике;

- расширение знаний учеников по программному материалу;

- развитие математических способностей и культуры математического мышления;

- расширение представлений учащихся о значении математики в технике и жизни;

- воспитание чувства коллективизма.

Факультатив – учебный курс, изучаемый учащимися по их желанию для углубления и расширения научно теоретических знаний. В отличие от математического кружка и других форм внеклассной работы, факультативные занятия предусматриваются с восьмого класса.        Если в 5-7 классах интерес у учеников неустойчивый, и целью внеклассной работы является формирование интереса учеников к математике с помощью занимательных задач и игр, то в 8-9 классах ученики осознанно выбирают факультатив по математике, чтобы углубить знания, полученные на уроках, узнать новое, научиться решать трудные задачи.

Факультативные занятия, подобно занятиям по изучению обязательного курса, должны проводиться на основе государственных программ. Этими программами определяются тематика математических факультативов и фиксируется время, отведенное на рассмотрение той или иной темы. Тем самым определяется объем знаний и навыков, достигаемых учащимися при прохождении каждой темы.

Вместе с тем, сообразуясь с собственными возможностями, возможностями своих учеников, учитель может выбрать для факультативных занятий любой из рекомендованных Министерством Просвещения курсов. Программы предусматривают различные вариации содержания факультативных курсов. Поэтому каждый учитель может в какой-то степени варьировать содержание курса, не выходя за рамки программ факультатива. Сказанное выше в еще большей степени относится к специальным курсам по математике, которые вообще предполагают последовательное изучение определенной тематики в течении длительного времени.

Факультативные занятия не являются обязательными для учащихся. Их посещают школьники, которые выбрали данный факультатив по своему желанию.

Условие необязательного выбора накладывает определенные требования на систему факультативных занятий диктуя свои ограничения, относящиеся как к  содержанию, так и к методике этих занятий.

Во-первых, факультативные программы различных классов должны быть по возможности независимы друг от друга. Только в старших классах, учащиеся которых обладают уже сравнительно устойчивым сформировавшимся интересом к математике, возможна постановка специальных курсов, рассчитанных более чем на год. При этом желательно, чтобы такие курсы носили прикладной характер, давая учащимся возможность профориентации в области математики и ее приложений.

Во-вторых, содержание и методика проведения факультативных занятий должны привлекать учащихся.

Это обеспечивается включением в программу факультативов тем, имеющих большое общеобразовательное и прикладное значение. Изучение таких позволяет существенно повысить уровень математического развития учащихся, что и является главной задачей математических факультативов.

Для того, чтобы факультативные занятия по математике были эффективными, необходимо их организовать там, где есть:

  1.  высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные вести занятия на высоком научно-методическом уровне;
  2.  не менее 15 учащихся, желающих изучать данный факультативный курс.

Если школа имеет классы с небольшой наполняемостью, то группы учащихся для факультативных занятий можно комплектовать по параллелям или из учащихся смежных классов (8-9 классы, 10-11 классы).

Запись учащихся на факультативные занятия производится на добровольных началах в соответствии с их интересами. Требования к учащимся, участвующим в работе факультатива, такие же, как и в отношении любого учебного предмета: обязательное посещение занятий, выполнение домашних заданий, собранность, дисциплинированность в учебе.

Учитель математики несет полную ответственность за качество факультативных занятий; факультативные занятия вносят в расписание и оплачиваются учителю.

Выбор факультатива производится школьниками свободно, в соответствии со своими интересами. Требования к ученику участвующему в работе факультатива, такие же, как и в отношении любого учебного предмета: обязательное посещение занятий, выполнение домашнего задания и других поручений и т.д.

В школе факультативные занятия по математике вводятся с определёнными целями:

- расширение кругозора учащихся;

- развитие математического мышления;

- формирования активного познавательного интереса к предмету;

- развитие пространственного воображения;

- содействие профессиональной ориентации учащиеся;

- изучение сведений об истории развития науки.

В отличие от других форм внеклассных работ факультативный курс по математике снабжает учащихся большим объёмом научно-теоретических знаний, развивает способности, формирует мировоззрение, характеризует содержательной связью с историей науки. Факультатив включает учащихся в различные формы самостоятельной деятельности с помощью использования на занятиях эвристического, проблемного, частично-поискового методов, совмещает математическую строгость изложения материала с математической красотой и математической занимательностью, обладает большими возможностями в формировании культуры мышления учеников.

3. отбор содержания, выбор методов и форм проведения факультативных занятий в восьмых классах.

Методика проведения факультативных занятий не должна копировать методику обыкновенного урока. Так как в этом случае факультатив превратится в дополнительные занятия по математике.

Специфика факультативных занятий проявляется не в использовании каких-то особых методов обучения, а в нетрадиционном сочетании отбора содержания учебного материала, выборе методов и форм обучения. Состав учащихся  на факультативных занятиях позволяет более эффективно использовать эвристический метод обучения, заключающийся в самостоятельном раскрытии учащимися нового содержания.

       В методике выделяют психолого-педагогические особенности, которые необходимо учитывать при отборе содержания учебного материала, методов и форм проведения факультативных занятий по математике.

  1.  Соотношение факультативных занятий с основным курсом математики.

В методической литературе выделяют факультативы теоретического плана и факультативы, состоящие из большого числа разнородных математических разделов. Первые развивают и существенно дополняют обязательный курс математики в геометрическом, алгебраическом, теоретико-функциональном или комбинаторно-вероятностном направлении, вторые дают более полное, хотя и приближенное, представление о современном состоянии науки математики. Но каждые из них развивают некоторые из идей, понятий, методов, известных школьникам из учебной программы. Отсюда следует, что факультативные занятия необходимо соотносить с основным курсом математики. Это соотношение позволяет добиться большей эффективности, поскольку учащихся не надо вводить в круг основных понятий темы, знакомить с её терминологией и обозначениями. Углублённое изучение тем основного курса даёт возможность для обобщения и систематизации обязательных результатов обучения, позволяет применять их при решении более трудных задач.

2  Целостность содержания и соответствие форм и методов обучения содержанию, целям и задачам обучения.

Факультативный курс не может охватить всех основных направлений современной науки, по этому целостность содержания факультативного курса определяется целями и задачами проведения курса, внутренней взаимосвязью содержания, рассмотрением основных понятий, законов и методов. Это позволяет сосредоточить усилия учащихся в одном направлении, повышает доступность материала, позволяет за небольшой промежуток времени, отведённый на факультативы, добиться большей эффективности и качества обучения.

        Специфика факультативов – их необязательность. А потому в работе приходится выбирать наиболее привлекательные формы изложения нового материала, методов проведения занятий: лекции, практические работы, доклады учеников, экскурсии, семинары - дискуссии…

Использование тех или иных методов обучения на факультативных занятиях непосредственно зависит от содержания изучаемого материала. Различное содержание требует применения различных форм и методов обучения. Если учителю надо сообщить учащемуся много понятий и сведений, доказательств теорем – он прибегает к лекциям. Если новый материал содержит факты, которые должны быть известны учащимся, учитель ведёт беседу, а материал, имеющий преимущественно практический характер, можно оформить в систему задач, при решении которых используются проблемный или поисковый методы обучения.

  1.  Соответствие содержания воспитательным и развивающим задачам обучения.

Использование исторического материала на факультативных занятиях носит воспитательный и образовательный характер. История развития математики, сведения о жизни и творчестве великих ученых способствуют познавательному, творческому и нравственному развитию учеников.

Занятия носят развивающий характер, если они организованы с широким применением творческих методов обучения – проблемного, исследовательского, эвристического, самостоятельной работы учащихся. Такие занятия поддерживают устойчивый интерес  к математике, воспитывают стремление к знаниям, желание  не только выучить новый материал, но и самостоятельно исследовать новый.

Факультативный курс «Параметры в геометрии» предусматривает более углубленное решение геометрических задач с параметрами, чем в школьном курсе. Это позволит не только развивать пространственное мышление, но и интерес к устойчивый геометрии, поскольку задачи рассчитаны больше даже не на вычисления или на доказательства, а скорее на воображение и смекалку.

  1.  соответствие содержания учебно-методическому обеспечению. 

Учитель должен иметь всю необходимую научно-популярную литературу  и учебные пособия по изучаемому материалу.

Содержание факультатива должно сопровождаться наглядными пособиями и техническими средствами обучения в объёме, достаточным для успешного усвоения материала. Факультативные занятия должны быть интересными и увлекательными для школьников, так как это помогает наиболее просто понять различные идеи и методы математической науки, приемы творческой деятельности.

5.Направленность факультативных занятий по математике в сторону приложения математики.

При изучении всех тем курса необходимо предусмотреть обсуждение того значения, которое они имеют в различных областях науки и производства.

Цель учителя – заинтересовать учащихся своим предметом, научить применять полученные знания на практике, воспитать в них самостоятельность и любознательность.

Рассмотренные особенности отбора содержания форм и методов факультативных занятий, направленных на решение образовательных, воспитательных и развивающих задач обучения, позволили выделить основные этапы составления факультативного курса «параметры в геометрии»:

- произвести обзор литературы, в которую бы входили учебно-методические пособия, статьи из научно-популярных журналов, книги по теме факультативного курса;

- отобрать содержание факультативного курса, отвечающее названным особенностям и поставленным целям обучения;

- распределить содержание по занятиям;

- разработать программы каждого занятия с указанием содержания материала, рассматриваемого на занятии, форм и методов проведения занятий, домашнего задания.

§4 Психолого-физиологическая характеристика подростков.

Особенности проявлений подросткового возраста определяются конкретными социальными обстоятельствами, и, прежде всего, изменением места ребенка в обществе, когда подросток субъективно вступает в новые отношения с миром взрослых, что составляет новое содержание его сознания, формируя такое психологическое новообразование этого возраста, как самосознание.

Характерной чертой самосознания является проявление у подростка способности и   потребности познать самого себя как личность, с ее специфическими качествами. Это порождает у подростка стремление к самоутверждению, самовыражению и саморазвитию. Этому способствуют и те новые обстоятельства, которые отличают образ жизни подростка от образа жизни детей младшего школьного возраста. Прежде всего, это  повышенные требования к подростку со стороны взрослых, товарищей, общественное мнение которых определяется не столько успехами школьника в учении, но и другими чертами его личности, взглядами, способностями, характером. Все это порождает мотивы, побуждающие подростка обратиться к анализу самого себя и к сравнению себя с другими. Так, у него постепенно формируются ценностные ориентации, складываются относительно устойчивые образцы поведения, которые, в отличие от образцов детей младшего школьного возраста, представлены уже не столько в виде образа конкретного человека, сколько в определенных требованиях, которые подростки предъявляют к людям и к самому себе.

На определенном этапе развития прежнее место, занимаемое ребенком в системе окружающих его человеческих отношений, осознается им как не соответствующее его возможностям, и он стремится изменить его. Возникает открытое противоречие между образом жизни ребенка и его возможностями, уже определившими этот образ жизни. В соответствии с этим его деятельность перестраивается.

Появление первых признаков пубертата (у мальчиков в 12-13 лет, у девочек в 10-12 лет) влечет за собой ограничение в кровоснабжении, что отражается не только на работе мышц, но и других органов, включая головной мозг. Так, подростки этого возраста отличаются снижением двигательной активности и общей выносливости, их интеллектуальная активность временно снижается.

В дальнейшем, на третьей стадии пубертатного развития (13-15 лет у мальчиков и 12-14 лет у девочек) объемная скорость кровотока увеличивается и соответственно отмечается некоторое увеличение физических и интеллектуальных возможностей.

Свойственные подростку, на данном этапе адаптации, категоричность суждений, стремление во что бы то ни стало казаться взрослым, бравируя при этом своей мнимой самостоятельностью, лишь подчеркивает маргинальную природу подросткового этапа социализации. Резкие изменения, происходящие в этот период в организме и психике подростка, делают его раздражительным и легко ранимым. Он пытается сформировать собственную систему взглядов на мир, однако многое еще не продумано до конца, она основана лишь на случайных наблюдениях, и подросток довольно легко меняет свои взгляды либо под влиянием новых впечатлений, либо в ходе дальнейшего более глубокого осмысления.

Подростков в это время характеризует импульсивность, эмоциональность, чувствительность, негативизм, критический склад ума, максимализм, мечтательность. С одной стороны, несостоявшиеся социальные позиции, неусвоенные социальные роли, а с другой – стремление брать на себя самостоятельной решение вопросов. Этот возрастной этап часто называют «кризисным». Кризис подросткового возраста  обусловлен намечающимся разрывом между развитием внутреннего мира ребенка и теми отношениями с внешним миром, которые сформировались в предшествующей фазе.

В этом возрасте у подростков нередко падает успеваемость. Наблюдаются конфликты с окружающими, в том числе со старшими, сопровождаемые болезненными и мучительными переживаниями.

Этот возраст отличается коренными сдвигами, обусловленными перестройкой ранее сложившихся психологических структур. Здесь закладываются основы сознательного поведения, вырисовывается общая  направленность в  формировании нравственных представлений и социальных установок. Свертываются и отмирают  прежние интересы подростка, но интенсивно формируются новые на основе проявления  положительных факторов – возрастает его самостоятельность, значительно более многообразными содержательными становятся его отношения с другими людьми, взрослыми, он активно осваивает чужую социальную позицию, происходит переоценка ценностей.

В подростковом возрасте значительно расширяется объем деятельности ребенка, качественно изменяется ее характер. Существенные сдвиги происходят в интеллектуальной деятельности детей. Возрастает желание заниматься  сложными, требующими творческого напряжения видами деятельности.

К подростковому возрасту человек обладает достаточно зрелым мышлением, способностью анализировать те или иные явления действительности, способностью понимать их сложную противоречивость. Подростки стремятся понять логику явлений, отказываются чего-либо принимать на веру, требуют систему доказательств. Основной особенностью интеллектуальной деятельности 10-16 летнего подростка является нарастающая с каждым годом способность к абстрактному мышлению. При активизации абстрактного мышления подростков наглядные компоненты мышления не регрессируют,  не исчезают, а сохраняются и развиваются, продолжая играть существенную роль в общей структуре мышления. Важной особенностью этого возраста является формирование активного, самостоятельного, творческого мышления детей.

Внимание подростка характеризуется не только большим объемом и устойчивостью, но и специфической избирательностью. В эту пору развивается преднамеренное внимание. Избирательным, целенаправленным, анализирующим становится и восприятие. При значительной склонности к романтическому, воображение у подростков приобретает более реалистичный и критичный характер. Они более трезво оценивают свои возможности.

У подростков значительно увеличивается объем памяти, причем за счет не только лучшего запоминания материала, но и его логического осмысления. Память подростка, как и внимание, постепенно приобретает характер организованных, регулируемых и управляемых процессов.

В связи с учением, возмужанием, накоплением жизненного опыта и, следовательно, продвижением в общем, психологическом развитии у детей к началу переходного возраста формируются новые, более широкие интересы, возникают различные увлечения и появляется стремление занять иную, более самостоятельную позицию.

Глава 2. разработка факультативного курса «Параметры в геометрии»

§1 анализ школьных учебников по геометрии федерального комплекта

При подготовке факультативного курса «параметры в геометрии» я просмотрела три учебника:

  1.  Геометрия 7-9 Атанасяна Л.С. и д.р.
  2.  Геометрия 7-11 Погорелова А.В.
  3.  Геометрия 7-9 Шарыгин И.Ф.

Ни один из этих учебников не содержит вводной теоретической  информации о параметре в геометрии, то есть, нет определения, сравнения с алгебраическим, а следовательно и не уделяется особого внимания решению задач с параметрами.

1. Учебник по геометрии Л.С. Атанасяна и др. для общеобразовательных   школ построен на аксиоматическом подходе. В обращении к ученикам автор пишет, что геометрия является продолжением математики: «на уроках математики вы уже познакомились с некоторыми геометрическими фигурами и представляете себе, что такое точка, прямая, отрезок, луч, угол, как они могут быть расположены друг относительно друга. Вы знакомы с такими фигурами, как треугольник, прямоугольник, круг и др.; знаете как измеряются отрезки с помощью линейки … и как измеряются углы с помощью транспортира. Но всё это – лишь самые первые геометрические сведения. Теперь вам предстоит расширить и углубить ваши знания о геометрических фигурах. Вы познакомитесь с новыми фигурами и со многими важными и интересными свойствами уже известными вам фигур. Вы узнаете о том, как используются свойства геометрических фигур в практической деятельности.» таким образом, автор сам определяет изучение практической части геометрии в большем объеме, чем теоретической. Отсюда обилие задач на измерение и вычисление.  

В учебнике Атанасяна Л.С. И др. содержатся следующие задачи, решение которых требует использования геометрических параметров:

7 класс

Глава 1 – Начальные геометрические сведения.

§1 Прямая и отрезок.

Задача №3. Проведите три прямые так, что бы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.

§4 Измерение отрезков.

Задача №32. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно что АВ = 12см ВС = 13.5см. Какой  может быть длина отрезка АС?

Задача №33. Точки B, D и M лежат на одной прямой. Известно, что BD = 7см MD = 16см. Каким может быть расстояние BM?

Дополнительные задачи:

Задача №80. Известно, что АОВ = 35о, ВОС = 50о. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помощью линейки и транспортира.

Задача №81. Угол hk = 120о, а угол hm = 150о. Найти угол km. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж.

8 класс.

Глава 5 – Четырёхугольники.

§2 Параллелограмм и трапеция.

Задача №374. Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает сторону BC в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15см КС = 9см.

Задача №375. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7см и 14см.

§3 Прямоугольник, ромб, квадрат.

Задача № 401. Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса угла А делит: а) сторону BC на отрезки 45,6см. и 7,85см.; б) сторону DC на отрезки 2,7дм и 4,5дм.

Глава 8 – Окружность.

§2 Центральные и вписанные углы.

Задача №655. Центральный угол АОВ на 30о больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.

Задача №656. Хорда АВ стягивает дугу, равную 115о, а хорда АС – дугу в 43о. Найти угол ВАС.

2.  Учебник по геометрии А.В. Погорелова для общеобразовательных   школ также построен на аксиоматическом подходе. Но в отличие от Учебника по геометрии Л.С. Атанасяна и др. в нем содержится больше задач на доказательство и есть всего четыре задачи, решение которых требует использования геометрических параметров:

7 класс

§4 Сумма углов треугольника.

Задача №25. Один из углов равнобедренного треугольника равен 70о. Найдите остальные углы. Сколько решений имеет задача?

8 класс

§6 Четырёхугольники.

Задача №32. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см.?

 

§7 Теорема Пифагора.

Задача №4. Две стороны прямоугольного треугольника равны 3м. и 4м. Найти третью сторону. (два случая)

§8 Декартовы координаты на плоскости.

Задача №27. Найдите центр окружности на оси Х, если известно, что окружность проходит через точку (1;4) и радиус окружности равен 5.

3. Новый учебник по геометрии для общеобразовательных школ реализует авторскую, наглядно – эмпирическую концепцию построения школьного курса геометрии. Это выражается прежде всего в отказе от аксиоматического подхода.

Больше внимания по сравнению с традиционными учебниками уделено методам решения геометрических задач. Система задач дифференцирована по уровням сложности.

Сам автор пишет в введении: «геометрия- это совсем не математика. Во всяком случае, это совсем не та математика, с которой до сих пор вам приходилось иметь дело. Геометрия- это предмет для тех, кому нравится фантазировать, рисовать и рассматривать картинки, кто умеет наблюдать, замечать и делать выводы.

Геометрия- необычайно важный и интересный предмет, и любой человек может найти в ней уголок по душе». Из такого подхода вытекает относительное обилие задач «на выбор», то есть с геометрическими параметрами.

В учебнике Шарыгина содержатся следующие задачи:

7 класс.

§2.1 Геометрия прямой линии.

Задача №8. в) На прямой расположены точки A,B,C и D. Найдите длину отрезка с концами в серединах AB и CD, если AC = 5, BD = 7.

Задача №19. Точка В лежит на отрезке АС, АВ = 2, ВС = 1. Укажите на прямой АВ все точки М, для которых АМ + ВМ = СМ.

§2.2. Основные свойства прямой на плоскости.

Задача №1. На сколько частей могут разделить плоскость две прямые?

§2.3 Плоские углы.

Задача №7. б)  Чему может быть равен угол АОС, если угол АОВ = 161о, угол ВОС = 172о?

Задача №9.  Чему может быть равен угол АОD, если угол АОВ = , угол BOC =  и угол COD = , где: а)  = 34о,  = 33о,  = 32о; б)  = 78о,  = 79о,  = 83о;  = 132о, = 161о,  = 141о?

§2.4 Плоские кривые, многоугольники, окружность.

Задача №1.б) В скольких точках прямая может пересечь границу четырёхугольника? (считаем, что прямая не проходит через вершины)

§3.3 Неравенства в треугольнике. Касание окружности с прямой и окружностью.

Задача №19. На плоскости имеются две окружности. Чему равен радиус окружности, касающейся данных окружностей и имеющей центр на прямой, проходящей через их центры, если радиусы данных окружностей и расстояния между их центрами соответственно равны: а) 1,3,5; б) 5,2,1; в) 3,4,5? Сколько решений имеет задача?

Задача №22. В вершинах треугольника расположены центры трёх попарно касающихся окружностей. Найдите радиусы этих окружностей, если стороны треугольника равны 5,6,7. Сколько решений имеет задача?

§4.4 О решении геометрических задач.

Задача №4. На прямой расположены точки АВС и D, при чём АВ = 2, CD = 3. Отрезки АС и BD являются диаметрами двух окружностей. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

Задача №7. Через точку на прямой а проведены прямые р и q. Известно, что угол между прямыми а и р равен 2о, а угол между прямыми а и q равен 80о. Чему равен угол между прямыми p и q?

 Задача №11. Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС, пересекающие прямые СВ и ВА в точках К и М. Найдите АВ, если ВМ = 8,   КС = 1.

8 Класс.

§5.1 Параллельные прямые на плоскости.

Задача №3. На плоскости изображено несколько многоугольников. Сумма углов этих многоугольников равна 540о. сколько и какие многоугольники изображены. (укажите все возможности)?

Задача №11 б) Найдите равнобедренного треугольника, если один из его углов равен 80о.

Задача №16 б)  Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов равен 100о.

Задача №22. Найдите угла треугольника АВС, если известно, что биссектриса угла А делит этот треугольник на два равнобедренных треугольника.

Задача №25. Угол АВС = . Чему равен угол КРМ, если прямая РК параллельна ВА, прямая РМ параллельна ВС.

§5.2 Измерение углов связанных с окружностью.

Задача №6. Чему может быть равен вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?

Задача №14. Диагонали четырёхугольника ABCD, вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке М, угол АВМ равен 80о. прямые АВ и CD пересекаются в точке К, при чём угол АКD равен 20о, а прямые ВC и DA – в точке N, угол АNВ равен 40о. найдите угла четырёхугольника ABCD. Сколько решений имеет задача?

§6.1 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.

Задача №15. О параллелограмме ABCD известно, что угол ABD равен 40о и что центр окружностей, описанных около треугольников  ABC и CDA, лежат на диагонали BD. Найдите угол DBC.

Задача №18. От параллелограмма с помощью прямой, пересекающей две его противоположные стороны, отрезали ромб. От оставшегося параллелограмма таким же образом вновь отрезали ромб. И от вновь оставшегося параллелограмма опять отрезали ромб. В результате остался параллелограмм со сторонами 1 и 2. Найдите стороны исходного параллелограмма.

§6.3 Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников.

Задача №31. а) Две окружности с диаметрами 3 и 5 касаются друг друга в точке А. Прямая, проходящая через А, вторично пересекает меньшую окружность в точке В, а большую – в точке С. Найдите хорды АВ и АС, если ВС равно.

§8.1 Замечательные точки треугольника.

Задача №10.  В треугольнике АВС угол А равен , Н – точка пересечения высот. Чему может быть равен угол BHC?

§8.7 Задачи для повторения.

Задача №15. В окружности радиуса  проведена хорда АВ, равная 2. Пусть М – некоторая точка окружности, отличная от А и В. Чему может быть равен угол АМВ?

В учебниках содержатся 10, 4 и 23 задачи соответственно, и данный курс можно предложить учащимся, проходящим основной курс геометрии по учебникам Погорелова А. В. и Атанасяна Л.С., так как в этих учебниках не только мало задач, но и в тексте каждой задачи внимание ученика обязательно обращается на то, что решений будет несколько. Поэтому, если такой ссылки нет, ученик даже и на подумает в ходе решения задачи о том ,что, возможно, имеются и другие варианты решения, и, остановившись на  первом, не полностью решит задачу.

§2. разработка факультативного курса «Параметры в геометрии».

Пояснительная записка.

В настоящее время в математике все больше проникает далекие от нее отрасли. Без математических знаний не возможно понимание принципов устройства современной техники, природных явлений, анализ социальных политических экономических и других перемен. Прослеживается влияние математического образования на гуманитарные предметы, так как в процессе математической деятельности учащиеся обучаются таким необходимым методам, как синтез и анализ, индукция и дедукция, классификация и аналогия. В ходе решения задач развивается творческое и теоретическое мышление, а при доказательстве фактов вырабатывается умение формулировать, обосновывать, логически рассуждать.

Факультативные занятия по математике позволяют расширить и углубить знания по выбранному вопросу. Данный факультатив рассчитан на 8 классы общеобразовательной школы.

Главной целью курса является:

-расширение кругозора;

-повышение уровня математической подготовки;

-формирование интереса к предмету;

-развитие творческого мышления;

-развитие пространственного мышления;

-развитие самостоятельности и культуры личности.

Требования к математической подготовке учащихся:

Что будут знать После изучения факультативного курса «Параметры в геометрии» учащиеся будут знать, что такое геометрический параметр, как решаются задачи с параметрами в геометрии.

Что будут уметь После изучения факультативного курса «Параметры в геометрии» учащиеся будут уметь решать задачи с геометрическими параметрами.

§3. Тематическое планирование факультативного курса

№ урока

Тема урока

Количество школьных часов

1

Знакомство с параметрами в геометрии, решение простейших задач.

2

2

Решение задач на построение в теме треугольники

2

3

Решение задач на тему окружность

2

4

Решение задач в теме четырёхугольники

2

5

Решение задач в теме четырёхугольники

2

6

Решение задач в теме окружности и т Пифагора

2

7

Решение задач на тему теорема Пифагора

2

8

Решение задачи Дидоны

2

Структура курса

На первом занятии проводится лекция, в ходе которой дается понятие параметра, параметра в геометрии, говорится о различии и сходстве геометрического и алгебраического параметров, а так же показывается презентация в PowerPoint, которая приводит простейший пример геометрического параметра (три возможных случая расположения трёх точек на прямой).

На втором занятии начинается непосредственное решение задач, причем при этом происходит активное повторение курса 7 класса. Это немаловажно, так как на повторение пройденного курса в начале года отводится очень мало времени (Жохов В.И., Карташева Г.Д., Крайнева Л.Б., Саакян С.М. Примерное планирование учебного материала и контрольные работы по математике, 5-11 классы), а дополнительные часы позволяют учащимся быстрее включиться в работу, а также вспомнить пройденный материал.

С четвертого занятия решаются задачи с использованием материала восьмого класса. В ходе занятий активно используется интегрированная среда «POWERPOINT». В ней строятся чертежи для решения задач, а некоторые задачи прямо в этой среде и решаются.  Это облегчает работу учителя, так как чертежей много и некоторые из них довольно сложные, поэтому их достаточно трудно воспроизвести на доске. Также можно использовать для самопроверки учеников.

Заканчивается курс решением задачи Дидоны, которая упоминалась на первом вводном занятии. Эта задача решается только на примере прямоугольников для тех групп, которые проходят основной курс по учебнику Погорелова А. В. Другие примеры здесь рассматривать не целесообразно, так как учащиеся еще не знакомы с формулами площадей треугольников, четырехугольников, и др.

Для тех групп, которые проходят основной курс по учебнику Атанасяна Л.С. и др. задача Дидоны может быть рассмотрена на примерах треугольников и четырехугольников.

 

Содержание курса

1 занятие (вводная лекция)

Сам термин «параметр» в переводе с греческого означает «отмеривающий». Он обычно применяется в сочетании с другими математическими терминами, например, параметр уравнения, параметр неравенства, параметр функции и т.д. Под задачами с параметрами понимаются задачи, в которых технический и логический ход решения и форма результата зависят от входящих в условие величин, значения которых не заданы конкретно, но должны считаться известными.

Параметр- переменная величина, значение которой позволяет отличить один элемент некоторого множества от других элементов этого множества.

Под геометрическим параметром мы будем понимать любой элемент или элементы геометрической фигуры от величины, расположения или взаимного расположения которых зависит решение задачи, его существование или количество.

Примером одной из первых задач с параметром является знаменитая задача Дидоны. В IX в. до н.э. финикийская царевна Дидона, спасаясь от преследований своего брата, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище, ей приглянулось одно место на побережье Тунисского залива. Дидона повела переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она участок совсем небольшой — «столько, сколько можно окружить бычьей шкурой». Дидоне удалось уговорить Ярба, и сделка состоялась. Тогда Дидона изрезала шкуру быка на мелкие тесемки, связала их воедино и окружила большую территорию, на которой основала крепость и город Карфаген. Эта легенда содержится в поэме «Энеида» римского поэта Публия Вергилия Марона, а также в трактате «Об изопериметрических фигурах» древнегреческого ученого Зенодора, жившего между III в. до н.э. и началом н.э.

Задачу по отысканию среди всех замкнутых кривых с данным периметром той, которая охватывает максимальную площадь, называют задачей Дидоны.

Что же в этой задаче является параметром? Сформулируем задачу Дидоны в таком виде: «у какой фигуры Р, при заданном периметре, площадь будет наибольшей?». В данном случае параметром выступают не числовые данные, а фигура; при различных значениях этого параметра, то есть при различных фигурах задача будет иметь различные решения.

Математика оперирует строго определенными понятиями, а в окружающем нас мире на каждом шагу встречаются сплошные неопределенности, условности. «Если будет дождь, то праздник «День знаний» проходит по программе А, а если дождя не будет, то — по программе Б». Можно ли рассматривать условие «будет - не будет идти дождь» как параметр? Или математике нужны только числовые параметры? Для алгебры — это естественно. Но геометрия включает в себя не только числовые соотношения между фигурами или элементами фигуры, но и геометрические. Следовательно, для геометрии параметрами могут быть и классические «алгебраические» параметры, и сугубо специфические «геометрические» параметры.

В нашем курсе мы будем рассматривать задачи с геометрическими параметрами, а с некоторыми из них вы уже встречались в прошлом году:

1. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно что АВ = 12см ВС = 13.5см. Какой  может быть длина отрезка АС?

Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Поскольку речь идет о трех точках, то каждая из них может лежать между двумя другими, и потому мы имеем три различных случая.

                                   AC=AB+BC=12+13,5=22,5(см)

                                   AC=BC-AB=13,5-12=1,5(см)

                                   AC=AB-BC=12-13,5=-1,5(см)

                                 Отрицательное число не является

                                 решением, так как длина-

                                 положительное число.

Ответ: 22,5см или 1,5см.         

2. Известно, что АОВ = 35о, ВОС = 50о. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помощью линейки и транспортира.

                       AOC=AOB+BOC=35о+50о=85o

                       AOC=BOC-AOB=50о+35о=15o

                       AOC=AOB-BOC=35о-50о=-15o  

                              Отрицательное число не является

                                 решением, так как градусная мера угла - положительное число.

Ответ: 15o или 85o.

                                 

Домашнее задание

1) Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно что АВ = 10см ВС = 25см. Какой  может быть длина отрезка АС? (ответ: 35см или 15см).

    2)Известно, что АОВ = 45о, ВОС = 25о. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помощью линейки и транспортира. (Ответ 700 или 20о).

3) На прямой расположены точки A,B,C и D. Найдите длину отрезка с концами в серединах AB и CD, если AC = 5, BD = 7.

AD=AC+CB+BD=12+CB

AM=MB B CN=ND

AD=AM+MN+ND=2NM+BC

12+CB=2NM+BC

MN=6

2) AD=AC+CD=5+CD

AM=MB B CN=ND

AD=AM+ND-NM=MB+CN-NM=MD+7+CN-NM=

=7+CD-2NM

5+CD=7+CD-2NM

MN=1

Ответ: 6 или 1.

2 занятие.(задачи в теме треугольники)

(обобщение задач домашнего задания)

1. На прямой, содержащей отрезок АВ, взята точка С так, что АС=с, АВ=а. Найдите длину отрезка ВС. 

Решение.

1) Пусть точка А лежит между точками С и В. Тогда по аксиоме измерения отрезков ВС = АВ + АС, откуда ВС = а + с.

2) Пусть точка В лежит между точками А и С. Тогда АС = АВ + ВС и ВС = с - а.

3) Если же точка С лежит между точками А и В, то АВ = АС + ВС и ВС= а - с.

Очевидно, что случаи 2) и 3) несовместимы, поскольку значения длины отрезка ВС будут противоположны, а длина отрезка - число положительное. Таким образом, один из этих случаев не дает ответа.

Ответ: ВС = а + с или ВС = \а – с\.

2. Луч с выходит из вершины (аЬ). Найти (ас), если (аb) = а, (Ьс) = .

решение:            

                                                               

                                 

                                                  

(ас)=а-               (ас)=а+             (ас)=-а

ответ: /а-/ или а+

основная часть

1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен 80о.

решение:

1) пусть В=800, тогда С=800,

так как треугольник АВС - равнобедренный.

Так как сумма углов треугольника 1800, то

А+В+С=1800

А+1600=1800

А=200

2) пусть А=800, тогда

А+В+С=1800

В+С=1000

так как В=С, поскольку АВС – равнобедренный,

то В=С=500

ответ: 200 , 800, и 800 или 500, 500, и 800.

  1.  Найдите стороны равнобедренного треугольника, если одна из его сторон равна 10, а периметр 26.

1) пусть АВ=10, тогда АС=10,

так как треугольник АВС - равнобедренный.

Тогда

АВ+АС+ВС=26

ВС=26-10-10=6.

2)пусть ВС=10,

тогда

АВ+АС+ВС=26

АВ+АС=16

так как АВ=АС, поскольку АВС – равнобедренный,

то АВ=АС=8.

Ответ: 10, 10 и 6 или 8, 8, и 10.

3.Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС, пересекающие прямые СВ и ВА в точках К и М. Найдите АВ, если ВМ = 8,   КС = 1.

Дано:

АВС, ABL=LBC,AKBL,CMBL,BM=8,KC=1.

Найти АВ.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВК:

Равнобедренный, так как ВО - высота

И биссектриса одновременно, следовательно,

АВ=ВК.

Рассмотрим треугольник ВМС:

Равнобедренный, так как ВQ - высота

И биссектриса одновременно, следовательно,

ВМ=ВС.

  1.  допустим, что АВ<BC, тогда

BK=BC=KC=8-1=7

AB=BK=7

              2) допустим, что АВ>BC, тогда

BK=BC=KC=8+1=9

AB=BK=9

 

Ответ: 7 или 9.

4. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника пересекает боковую сторону под острым углом а. Найдите углы треугольника. При каких значениях параметра а задача имеет два решения?                        

Решение. Обозначим угол ВАС через 2х.

В зависимости от того, который из углов –

ВЕС или АЕС - принять равным а,

получатся различные решения.

1) Если АЕС = а, то х + + а = 180°, откуда

х=60°- и В= 120°— . Но поскольку В<90°,

то а>45°. При этом С=-60°.

2) Если АЕС = а, то этот угол как внешний для треугольника АЕС равен сумме двух внутренних

углов, не смежных с ним. То есть а = Зх, а х = .

Тогда В= , С=180°- . Но поскольку

В< 90°, то а < 135°, что уже оговорено в условии задачи (угол а - острый).

Ответ: при а > 45° задача имеет два решения:

А=В=120°- , С=-60°,

или А=В=, С=180°-.

Домашняя работа:

  1.  Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов равен 100о.

решение:

  1.  пусть внешний угол при вершине А=1000,

тогда С+В=1000,

по теореме о внешнем угле треугольника.

так как треугольник АВС – равнобедренный,

то В=С=500

В=1800-1000=800

2) пусть внешний угол при вершине В=1000, тогда

В=800, следовательно, С=800,

так как треугольник АВС - равнобедренный.

Так как сумма углов треугольника 1800, то

А+В+С=1800

А+1600=1800

А=200

ответ: 200 , 800, и 800 или 500, 500, и 800.

  1.  Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них  равен а.

            если угол В равен а, то  А=С=,

            Если же А=С=а, то В=1800-2а.

ответ: ,и а или 1800-2а, 1800-2а и а.

3. Периметр равнобедренного треугольника равен Р, одна из его сторон равна а. Найдите вторую сторону треугольника.

решение:

1) пусть АВ=а, тогда АС=а,

так как треугольник АВС - равнобедренный.

Тогда АВ+АС+ВС=р, ВС=р-а-а=р-2а.

2)пусть ВС=а, тогда АВ+АС+ВС=р, АВ+АС=р-а

так как АВ=АС, поскольку АВС – равнобедренный,

то АВ-АС=.

Ответ: р-2а, р-2а и а или , , и а.

3  занятие. (задачи в теме окружность)

1. Даны две окружности с общим центром и радиусами 3 и 7. Найдите радиус окружности, касающейся каждой из этих окружностей.

решение:

1. АВ=ОВ-ОА=7-3=4

CВ=АВ=2.

АС=АО+ОС==3+7=10,

МС=АС=5.

Ответ: 2 или 5.

2. На плоскости имеются две окружности. Чему равен радиус окружности, касающейся данных окружностей и имеющей центр на прямой, проходящей через их центры, если радиусы данных окружностей и расстояния между их центрами соответственно равны: а) 1,3,5; б) 5,2,1; в) 3,4,5? Сколько решений имеет задача?

Решение:

В каждом пункте может быть 4 возможных расположения третьей окружности относительно двух данных, так как центры данных окружностей не совпадают.

                                      пусть В-центр окружности            с радиусом 1,

                                            N-центр окружности            с радиусом 3,

Е-радиус искомой окружности.

Тогда

AB=BC=1,ND=MN=3,BN=5.

1) BN=BC+CN,

CN=5-1=4,

CM=CN+NM=4+3=7

EM=CM=3,5.

2) BN=BC+CD+DN,

CD=BN-BC-DN=5-1-3=1,

AD=AC+CD=2+1=3,

ED=AD=1,5.

3) BM=BC+CD+DN,

CD=BM-BC-DN=5-1-3=1

ED=CD=0,5

4) AM=AB+BN+NM=1+5+3=9

EM=AM=4,5.

Б)

Пусть  A-центр окружности  

с радиусом 2,

B-центр окружности  

с радиусом 5,

C-искомой окружности.

тогда

AN=AM=2,BD=BK=5,AB=1.

                               1) CK=?

DN=DB-BA-AN=5-1-2=2,

KM=KD-DN-NM=10-2-4=4,

CK=KM=2.

                                   

                                   2) CD=?

DN=DB-BA-AN=5-1-2=2,

CD=DN=1.

 

                                3) CK=?

DN=DB-BA-AN=5-1-2=2,

KN=DK-DN=10-2=8,

CK=KN=4.

                               4) CM=?

DM=DN+NM=2+4=6,

CM=DM=3.

Пусть  A-центр окружности  

с радиусом 3,

B-центр окружности  

с радиусом 4,

C-искомой окружности.

Тогда

AD=AM=3,BN=BK=4,AB=5.

                             1) CN=?

BM=AB-AM=5-3=2,

AN=AB-BN=5-4=1,

MN=AB-BM-AN=5-2-1=2,

CN=MN=1.

                           2) CK=?

KM=KN-NM=8-2=6,

CK=KM=3.

                           3) CD=?

CD=DM-NM=6-2=4,

CD=DM=2.

                             4) CK=?

DK=DM+NK-NM=6+8-2=12

CD=DK=6.

Ответ: а) 3,5 или 0,5 или 1,5 или 4,5;

      Б) 1 или 2 или 3 или 4;

       В) 1 или 2 или 3 или 6.

3. В вершинах треугольника расположены центры трёх попарно касающихся окружностей. Найдите радиусы этих окружностей, если стороны треугольника равны 5,6,7. Сколько решений имеет задача?

РЕШЕНИЕ:

Точки касания располагаются на прямых,

соединяющих центры, то есть на АВ, ВС и АС.

 

  1.  пусть АС=5, ВС=6, АВ=7

АО=х, тогда

ОС=СР=5-х, ВМ=РВ=7-х, но

СР+РВ=6, 5-х+7-х=6

АО=х=3,СР=5-х=2,РВ=7-х=4.

  1.  пусть АС=5, ВС=7, АВ=6

ВМ=х, тогда

АМ=АО=х-6, СО=СР=х-7, но

СО+АО=5, х-7+х-6=5

ВМ=х=9,АО=х-6=3,РВ=Х-7=2.

  1.  пусть АС=7, ВС=6, АВ=5

ВМ=х, тогда

АМ=АО=х-5, СО=СР=х-6, но

СО+АО=7,х-7+х-6=7

ВМ=х=9,АО=х-5=4, РВ=Х-6=3.

  1.  пусть АС=6, ВС=5, АВ=7

ВМ=х, тогда

АМ=АО=х-7, СО=СР=х-5, но

СО+АО=6,х-7+х-5=6

ВМ=х=9,АО=х-7=2, РВ=Х-5=4.

ОТВЕТ: 2,3,4 или 2,3,9 или 3,4,9 или 2,4,9.

домашнее задание.

1. Даны две окружности с общим центром и радиусами к и К. (к). Найдите радиус окружности, касающейся каждой из этих окружностей.  (Решение аналогично решению задачи в классе.)

Ответ:  или .

2 . На прямой расположены точки А,В,С и D, при чём АВ = 2,

CD = 3. Отрезки АС и BD являются диаметрами двух окружностей. Найдите расстояние между центрами этих окружностей

Решение:

AD=AB+CB+CD=5+CB

AM=MC B BN=ND

AD=AM+MN+ND=2NM+BC

5+CB=2NM+BC

MN=2,5

2) AD=AB+BD=2+BD

AM=MC B BN=ND

AD=AM+ND-NM=MC+BN-NM=MD+3+BN-NM=

=3+BD-2NM

2+BD =3+BD-2NM

MN=.

Ответ: 2,5 или .

  

4 занятие(четырехугольники)

1. Даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Построить точку М такую, чтобы точки А, В, С, М были вершинами параллелограмма.

параметром в данной задаче является неопределенность, какой из трех отрезков: АВ, АС или ВС принять за диагональ параллелограмма.

Построение:

  1.  АС
  2.  О –середина АС
  3.  ВО
  4.  М: МВО, ВО=ВМ
  5.  АВ, АМ, ВС, СМ.

Четырехугольник АВСМ параллелограмм по определению. Построение в двух других случаях аналогично первому.

2. Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает сторону BC в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15см КС = 9см.

решение:

треугольник АВК равнобедренный из равенства

углов при основании. Следовательно, АВ=ВК=15см.

  1.  пусть точка К находится между точками В и С,

тогда ВС=ВК+КС=15+9=24(см)

Р=2(АВ+ВС)=2(15+24)=78(см)

  1.  пусть точка К находится вне отрезка ВС,

тогда ВС=ВК-КС=15-9=6(см)

Р=2(АВ+ВС)=2(15+6)=42(см)

Ответ: 78см или 42см.

3. О параллелограмме ABCD известно что угол ABD равен 40о и что центры окружностей, описанных около треугольников  ABC и CDA, лежат на диагонали BD. Найдите угол DBC.

решение:

так как центры окружностей,

описанных около треугольников  ABC и CDA,

лежат на диагонали BD, то точки

пересечения серединных перпендикуляров

лежат на BD, получаем, что BDАС,

следовательно, ABCD - ромб или центры окружностей лежат в точке пересечения диагоналей, и тогда ABCD - прямоугольник.

Если ромб, то угол DBC=400, так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Если прямоугольник, то угол DBC=500, так как угол АВС=900.

Ответ:   400 или 500.

Домашняя работа.

1. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7см и 14см.

(ответ: 70см или 42см).

2. От параллелограмма с помощью прямой, пересекающей две его противоположные стороны, отрезали ромб. От оставшегося параллелограмма таким же образом вновь отрезали ромб. И от вновь оставшегося параллелограмма опять отрезали ромб. В результате остался параллелограмм со сторонами 1 и 2. Найдите стороны исходного параллелограмма.

  1.  пусть AO=1, AM=2.

MF=MN=DN=DP=AO=1

AD=AM+MN+DN=2+1+1=4=OP=OB

AB=AO+OB=1+4=5

2) пусть AO=2, AM=1.

MF=MN=DN=DP=AO=2

AD=AM+MN+DN=1+2+2=5=OP=OB

AB=AO+OB=2+5=7

3) пусть AN=2, AD=1.

MN=MK=KB=CB=AD=1

AB=AN+MN+MK+KB=2+1+1+1=5

4) пусть AN=1, AD=2.

MN=MK=KB=CB=AD=2

AB=AN+MN+MK+KB=1+2+2+2=7

  1.  пусть AN=1, AM=2.

MF=MD=DS=AN=1

AD=AM+MD=2+1=3=NS=NK=KB

AB=AN+NK+KB=1+3+3=7

  1.  пусть AN=2, AM=1.

MF=MD=DS=AN=2

AD=AM+MD=1+2=3=NS=NK=KB

AB=AN+NK+KB=2+3+3=8

Ответ: 4 и 5, или 5 и 7, или 1 и 5, или 2 и 7, или 3 и 7, или3 и 8.

5 занятие(четырехугольники)

1. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см.?

решение:

треугольники АКМ и РОВ- равнобедренные,

из равенства углов при основании.

Следовательно АК=КМ и ОР=ОВ.

  1.  пусть , тогда

МК=5х, а КО=2х.

АВ=АК+КО+ОВ=МК+КО+ОВ=5х+2х+5х

45=12х

х=3,75

МК=5х=18,75 а КО=2х=7.5  

  1.  пусть , тогда

МК=2х, а КО=5х.

АВ=АК+КО+ОВ=МК+КО+ОВ=2х+5х+2х

45=9х

х=5

МК=5х=25 а КО=2х=10

Ответ: 18,75 и 7.5, или 25 и 10.

2. Диагональ трапеции делит её на два равнобедренных треугольника. Угол при основании одного из этих треугольников равен 40о. найти углы трапеции.

Решение:

Очевидно, что в треугольнике ВСК ВК-основание,

Так как  угол С-тупой, в треугольнике АВК

все углы острые, следовательно

можно рассмотреть 3 случая:

  1.  АВ=ВК

тогда  КВС=СКВ=40о, С=1000,

ВКА=КВС как внутренние накрест лежащие,

ВКА=ВАК=400, АВК=1000.

А=400, В=1400, С=1000, К=800.

2) ВК=АК, тогда  КВС=СКВ=40о, С=1000,

ВКА=КВС как внутренние накрест лежащие,

АВК=ВАК=700.

А=700, В=1100, С=1000, К=800.

  1.  АВ=АК, КВС=СКВ=40о, С=1000,

ВКА=КВС как внутренние накрест лежащие,

тогда АВК=ВКА=400, ВАК=1000.

А=1000, В=800, С=1000, К=800.

Получился параллелограмм, а по условию дана

трапеция, значит такого случая быть не может.

Ещё одно решение получается, если рассмотреть трапецию, у которой при большем основании один угол острый, а другой – тупой.

ВС=ВК, АВ=ВК. А=400, тогда ВКА=400

ВКА=КВС как внутренние накрест лежащие,

ВКС=С=700.

А=400, В=1400, С=700, К=1100.

Ответ: 400, 1400, 1000, 800 или 700, 1100, 1000, 800 или           400, 1400, 700, 1100.

3. Биссектрисы углов А и D параллелограмма АВСD пересекают прямую ВС в точках Е и F соответственно. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен p и известно, что .

Решение: 1.рассмотрим сначала случай, когда точка пересечения биссектрис лежит внутри параллелограмма.

                                      AB=BE=CF=CD, так как                треугольники ABE и FDC равнобедренные,    

             AD=CD как стороны

                                  параллелограмма, BAD=BEA 

            Как внутренние  

             Накрест лежащие при

                          BC||AB и AC биссектриса.

Пусть EF=х

=AB+BE+FC-EF

=3BE-x=

Отсюда x=*.

AB=BE=

BC=BE+CF-x=.

2.  теперь рассмотрим случай, когда точка пересечения биссектрис лежит вне параллелограмма.

                      

      

Здесь решение аналогично предыдущему: AB=BE=CF=CD аналогично.

Пусть EF=x

=AB+BE+FC+EF

=3BE+x=

Отсюда х=

AB=BE= 

BC=BE+CF+x=.

Ответ: если точка пересечения биссектрис лежит вне параллелограмма, то AB= , BC=;  

если точка пересечения биссектрис - внутри параллелограмма, то AB=, BC=

Домашняя работа:

1. отношение углов А и В, прилежащих к боковой стороне трапеции АВСК, равно 2:3. диагональ АС делит трапецию на два равнобедренных треугольника. Найти углы трапеции.

РЕШЕНИЕ:

, тогда А=2х, В=3х.

так как сумма внутренних односторонних углов

равна 1800, то 2х+3х=1800, х=360, тогда

А=720, а В=1080.

ВАС=ВСА=360, и САК=360.

  1.  АС=СК  СКА=САК=360, АСК=1080

А=720, В=1080, С=1440, К=360.

  1.   АС=АК  АСК=АКС=720,

А=720, В=1080, С=1080, К=720.

  1.  в случае, когда СК=АК получается параллелограмм.

Ответ: 720, 1080, 1440, 360 или 720, 1080, 1080, 720.

2. Боковые стороны трапеции равны 17см и 10см, найти основания трапеции, если известно, что её высота равна 8см, а средняя линия 30см.

Решение:

рассмотрим АВЕ иСРН.

Прямоугольные. По теореме Пифагора в АВЕ:

АЕ2=100-64=36,

АЕ=6.

По теореме Пифагора в СРН:

РН2=289-64=225,

АЕ=15.

ВС=ЕН, так как ВСНЕ- параллелограмм  

(противолежащие стороны параллельны).

1) МК=(ВС+АР)= (ВС+АЕ+ЕН+НР)=

=(ВС+АЕ+ВС+НР)=(2ВС+6+15)=30

ВС=19,5СМ

АР=40,5СМ

2) МК=(ВС+АР)= (ВС+ЕН+НР-АЕ)=

=(ВС+ВС+НР-АЕ)=(2ВС-6+15)=30

ВС=25,5СМ

АР=34,5СМ

Ответ: 25,5СМ и 34,5СМ или 19,5СМ и 40,5СМ.

6 занятие( окружность и т Пифагора)

1. Две стороны прямоугольного треугольника равны 3м. и 4м. Найти третью сторону.

1) пусть АС=4м, ВС=3м.

по теореме Пифагора в треугольнике АВС:

АВ2=16+9=25

АВ=5

2) пусть АВ=4м, ВС=3м.

по теореме Пифагора в треугольнике АВС:

АС2=16-9=7

АС=

Ответ:5 или

2. Расстояние между центрами двух окружностей равно 10к. Одна из окружностей имеет радиус 5к, вторая — 6к. Прямая пересекает меньшую окружность в точках А и В и касается большей в точке С. Найдите длину хорды АВ, если известно, что АВ = 2 • ВС.

решение:

О1О=10к,О1М=5к, О2С=6к

Следовательно, СМ=1к,

а О1С=4к

по теореме Пифагора

в треугольнике О1АС:

АС2=25к-16к=9к,

АС=3к,

АВ=6к.

2.пусть АВ=2х

по теореме Пифагора

в треугольнике О2ЕВ  

О2Е2=25к22

О2Е=

по теореме Пифагора

в треугольнике О1МО2 

О1М2=100к2-4х2

О1М=2

О1М=2О2Е

СО1=6к=СМ+МО1=ЕО2+МО1

6к= ЕО2+МО1=3О2Е

О2Е=2к

х=к

АВ=2к.

Ответ: 2к или 6к.

3. Периметр трапеции равен 112. Точка касания вписанной в трапецию окружности делит одну из боковых сторон на отрезки длины 8 и 18. Найдите основания трапеции.

решение:

 NC=CE=8, из равенства по гипотенузе и

катету треугольников NOC и EOC.

ED=MD=18, из равенства по гипотенузе и

катету треугольников DOE и DOM.

 KD=MD-МК=18-8=10,

По теореме Пифагора для треугольника СКD:

СК= r=12

AB=BN+AМ (также как СD=NC+MD)  

BN+AМ+AB=60(так как 112-8-8-18-18=60),

  Тогда AB=30.

По теореме Пифагора для треугольника АВL:

AL=

1.P=AB+BN+NC+CD+DM+ML+AL=

=30+BN+8+26+18+ML+18=112

ML=BN=6, BC=8+6=14, AD=18+6+18=42.

  1.  P=AB+BN+NC+CD+DM+ML-AL=30+BN+8+26+18+ML-18=112

      ML=BN=24, BC=24+8=32, AD=24-18+18=24.

Ответ: 14 и 42 или 24 и 32.

Домашняя работа:

1. Две стороны треугольника равны 25см и 30см. Найти третью сторону, если высота, проведённая к ней равна 24см.

РЕШЕНИЕ:

АВ=30см, ВС=25см, ВН=24см.

Треугольники АВН и ВСН – прямоугольные.

По теореме Пифагора в АВН:

АН2=900-576=324

АН=18(см)

По теореме Пифагора в ВСН:

СН2=625-576=49

СН=7(см).

Поскольку не сказано, остроугольный или тупоугольный треугольник, то можно рассмотреть 2 случая:

  1.  остроугольный:

АС=АН+СН=18+7=25(см).

  1.  тупоугольный:

АС=АН-СН=18-7=11(см).

Ответ: 25см или 11см.  

7 занятие( окружность и т Пифагора)

1. Длины соседних сторон вписанного в окружность четырехугольника отличаются на 1. Длина наименьшей из них так же равна I. Найдите радиус окружности.

решение:

1) ВС=1, тогда АВ=ВС=2, АD=1

АС=

ОС=

2) ВС=1, тогда АВ=ВС=2, АD=3

к-радиус

ВТ=, пусть ОМ=а

По теореме Пифагора из тр-ка АОМ

К=

Из тр-ка ОРС:

К=

2.25=0.25+3-2а

а=, к=

ответ:

2. Дан отрезок длины 20. Три окружности с радиусами 4 имеют центры в концах отрезка или в его середине. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся трех данных.

1. решение:

к-искомый радиус.

ОО1О2-равнобедренный,

с боковыми сторонами, равными (к-4),

тогда высота ОА является

также и медианой.

По теореме Пифагора:

Из  АОО2

ОА2=(К-4)2-25

Из  АОО3

ОА2=(К+4)2-225

-8К-25=8К-225, 16К=200, К=12.5

2. пусть к- искомый радиус, ОО2=а, тогда

к=4+а,

по теореме Пифагора для треугольника ОО2О3

а2=((а+4)+4)2-100

16а=36,

а=2.25,

к=6.25.

 Ответ: 6,25 или 12,5.

Домашняя работа:

1. Найти высоту равнобедренного треугольника с основанием а и радиусом описанной окружности R. 

Решение.

Поскольку вершина, противолежащая основанию,

может лежать на одной из двух дуг описанной  

окружности (т.е. в разных полуплоскостях

относительно прямой, содержащей основание

треугольника), то задача будет иметь

два различных решения:

1) Если угол, противолежащий основанию, острый (В), то расстояние от центра окружности до основания ОМ=Н—R, где Н — высота ВМ, проведенная к основанию. Тогда по теореме Пифагора для треугольника АОМ: АО2=R2=()2+(H-R)2, откуда получаем квадратное   уравнение относительно H: H2-2HR+=0. Корни этого уравнения числа Н1,2=R±.

Если же угол, противолежащий основанию, тупой(Р), то расстояние от центра окружности до основания

равно ОМ=R-Н, а следовательно, R2 = ()2+(R-H)2

что приведет к тому же самому квадратному уравнению. Таким образом, квадратное уравнение само предусмотрело два различных решения этой задачи.

Ответ: R±.

  1.  Задача Дидоны.(на примере прямоугольников).

(для учащихся по учебнику Погорелова А.В.)

На последнем занятии посмотрим, какой все-таки участок приобрела Дидона. Легенда состояла в следующем:

В IX в. до н.э. финикийская царевна Дидона, спасаясь от преследований своего брата, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище, ей приглянулось одно место на побережье Тунисского залива. Дидона повела переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она участок совсем небольшой — «столько, сколько можно окружить бычьей шкурой». Дидоне удалось уговорить Ярба, и сделка состоялась. Тогда Дидона изрезала шкуру быка на мелкие тесемки, связала их воедино и окружила большую территорию, на которой основала крепость и город Карфаген.

Задачу по отысканию среди всех замкнутых кривых с данным периметром той, которая охватывает максимальную площадь, называют задачей Дидоны.

Задача Дидоны формулируется в таком виде: «у какой фигуры Р, при заданном периметре, площадь будет наибольшей?»

Допустим, что Дидона получила веревку, длиной р м.

Ей предложили на выбор несколько участков земли прямоугольной формы.

Это все участки прямоугольной формы с периметром р. Какой из них будет иметь наибольшую площадь?  

Для начала, допустим, что верёвка получилась длиной 100м, тогда

Если одна из сторон – х, То другая- 50-х.

Подсчитав площадь, получим:

Х(50-х) = 50х-х2 = 625-(х2-50х+625) = 625-(25-х)2

Разность будет наибольшей, если (25-х)2=0, т.е х=25, т.е если четырехугольник- квадрат.

Теперь рассмотрим общий случай, когда периметр р.

Если одна из сторон – х, То другая- -х.

Подсчитав площадь, получим:

Х(-х) = х-х2 = ()2-(х2-х+()2) = ()2-(-х)2

Разность будет наибольшей, если (-х)2=0, т.е х=, т.е если четырехугольник - квадрат.

Таким образом получается, что из всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

  1.  Задача Дидоны.(на примере параллелограммов).

(для учащихся по учебнику Атанасяна Л.С. и др.)

На последнем занятии посмотрим, какой все-таки участок приобрела Дидона. Легенда состояла в следующем:

В IX в. до н.э. финикийская царевна Дидона, спасаясь от преследований своего брата, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище, ей приглянулось одно место на побережье Тунисского залива. Дидона повела переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она участок совсем небольшой — «столько, сколько можно окружить бычьей шкурой». Дидоне удалось уговорить Ярба, и сделка состоялась. Тогда Дидона изрезала шкуру быка на мелкие тесемки, связала их воедино и окружила большую территорию, на которой основала крепость и город Карфаген.

Задачу по отысканию среди всех замкнутых кривых с данным периметром той, которая охватывает максимальную площадь, называют задачей Дидоны.

Задача Дидоны формулируется в таком виде: «у какой фигуры Р, при заданном периметре, площадь будет наибольшей?»

Рассмотрим данную задачу на примере параллелограммов.

Рассмотрим различные виды параллелограммов с равными длинами сторон.

Поскольку площадь параллелограмма равна а*b*sin a^b, то наибольшая площадь получается, если sin a^b=0, то есть угол прямой. То есть наибольшую площадь имеет прямоугольник.

Рассмотрим различные виды прямоугольников:

Это все участки прямоугольной формы с периметром р. Какой из них будет иметь наибольшую площадь?  

Для начала, допустим, что верёвка получилась длиной 100м, тогда

Если одна из сторон – х, То другая- 50-х.

Подсчитав площадь, получим:

Х(50-х) = 50х-х2 = 625-(х2-50х+625) = 625-(25-х)2

Разность будет наибольшей, если (25-х)2=0, т.е х=25, т.е если четырехугольник- квадрат.

Теперь рассмотрим общий случай, когда периметр р.

Если одна из сторон – х, То другая- -х.

Подсчитав площадь, получим:

Х(-х) = х-х2 = ()2-(х2-х+()2) = ()2-(-х)2

Разность будет наибольшей, если (-х)2=0, т.е х=, т.е если четырехугольник - квадрат.

Таким образом получается, что из всех параллелограммов с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

Заключение.

• Начинать применять задачи с геометрическими параметрами можно уже с самого раннего периода изучения геометрии.

• Применение подобных задач не позволяет ученикам «закостенеть» в своих умениях и навыках применения геометрических знаний.

• Задачи с геометрическими параметрами носят творческий характер и не могут быть включены в обязательный минимум; их необходимо отнести к задачам «продвинутого» уровня.

Чаще всего ученику по-настоящему подумать на уроке просто некогда. Уроки идут по схеме: «разогрев» учащихся, проверка домашнего задания, повторение пройденного на прошлых уроках, объяснение нового материала, первичное закрепление, применение полученных знаний при решении задач с привлечением ранее изученного материала. Ограниченность учителя временными рамками урока (нужно успеть сделать всё запланированное) и временем изучения темы (нужно помнить, что опоздание на этом уроке повлечет дальнейшее отставание), нацеленность учителя и ученика на достижение ближайших целей (успешно написать самостоятельную или контрольную работу, сдать зачет) — всё это никак не способствует появлению на уроке задач творческого или трудного в техническом плане характера. Тем не менее, именно такие задачи дают возможность ученику глубже понять изучаемый материал, увидеть «изюминку» в решении геометрических задач.

         На факультативных занятиях учитель имеет возможность не придерживаться тематики предусмотренных разделов и проявить творчество, составив свою программу проведения факультативных занятий.

 Поэтому на сегодняшний день исследования, связанные с разработкой содержания и методикой проведения факультативов, являются актуальными.

Представленная дипломная работа предоставляет практический курс по решению задач с геометрическими параметрами. Данный факультатив рассчитан на учащихся общеобразовательных школ, в которых геометрия преподаётся по учебникам Погорелова А. В. и Атанасяна Л. С.

Во второй части дипломной работы содержатся весь необходимый теоретический материал, план факультатива «параметры в геометрии» и конспекты конкретных занятий. Факультатив рассчитан на восемь занятий по 2 часа. Задачи подобраны по темам (знакомство с параметрами в геометрии, решение простейших задач; решение задач на построение в теме треугольники; решение задач на тему окружность; решение задач в теме четырёхугольники (2 занятия); решение задач в теме окружности и т Пифагора (2 занятия); решение задачи Дидоны), и соотносятся с обязательным курсом геометрии восьмого класса, то есть учителю не придется заранее рассказывать учащимся факультатива сведения из геометрии восьмого класса. Задачи в каждой теме  располагаются от простого к сложному. На завершающем занятии курса решается задача Дидоны, которая упоминалась на первом уроке.

Изучение факультативного курса «параметры в геометрии» способствует развитию пространственного, логического и творческого мышления и математических способностей.

Данный курс также рассчитан на воспитание устойчивого интереса к геометрии, так как решаемые в нем задачи отличаются от задач, решаемых в ходе изучения геометрии по учебникам Погорелова А. В. и Атанасяна Л. С.

В ходе решения таких задач больше необходимости не только проявлять специфические знания по  геометрии, но и умение строить правильные чертежи, видеть, как по-разному могут располагаться фигуры друг относительно друга, и не останавливаться на одном варианте, так как могут быть и другие.

Таким образом, решение задач с геометрическими параметрами ставит перед учениками проблему рассмотрения различных последствий при рассмотрении разных вариантов, что является актуальной проблемой и в нашей повседневной жизни.

библиография

1. Феоктистов И.Е.  «Задачи с параметрами в геометрии» «Математика в школе» 2002. №5 –с 63-67.

2. Ястребинецкий К.А. «Задачи с параметрами»

3. Горнштейн, Полонский «Задачи с параметрами»

4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9. : учебник для общеобразовательных учебных заведений – 6-е издание. Москва.        Издательство «Дрофа» 2002г.

5. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. 9-е издание. Москва «Просвещение», 1999г.

6. Погорелов А.В. Геометрия: учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений. 5-е издание. Москва «Просвещение», 1995г.

7. Балк М.Б. Балк Г.Д. «Математический факультатив – вчера, сегодня, завтра»  «Математика  в школе» 1987. №5 – с 14-17.

8. Кашин М.П. Эпштейн Д.А. «Развитие и роль факультативов в ср. школе» (В сборнике Факультативные занятия в ср. школе под ред. Кашина М.П. Эпштейна Д.А.) Педагогика 1976

9. программа ср. общеобразовательной школы: Факультативные курсы сборник 3 часть 1: математика, биология, химия. Москва просвещение 1990

10. Роль и место математики в формировании базовой культуры личности школьника. Наука и школа. 2000 №6 с. 8-11.

11. Рязановский А.Р., Фролова О.В. Геометрия. 7-9 кл.: Дидактические материалы. – Москва, изд. Дрофа, 1999.

12. Шарыгин И.Ф., Гордин Р.К. Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами.-Москва, ООО «Издательство Астрель»: ООО «издательство АСТ», 2001.

13. Жохов В.И., Карташева Г.Д., Крайнева Л.Б., Саакян С.М. Примерное планирование учебного материала и контрольные работы по математике, 5-11 классы. – Москва: Вербум-М, 2003. 8 класс, геометрия с.104-124.

14. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и её преподавание. Москва: Наука 1985.

15. Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой. Москва: Просвещение, 1981.


A

A

A

B

C

B

B

C

C

A

A

A

B

B

B

C

C

C

O

O

O

A

M

C

B

N

D

N

C

A

B

M

D

N

C

A

M

a

c

b

a

a

b

c

c

A

B

C

A

B

C

B

M

A

Q

K

P

L

C

O

B

P

C

K

A

M

O

Q

L

А

В

Е

С

А

В

Е

С

A

B

C

A

B

C

A

B

C

О

А

С

В

С

В

А

О

М

N

M

A

B

E

D

C

N

E

M

D

C

B

A

A

B

C

E

D

N

M

M

E

N

D

C

B

A

D

A

N

B

K

M

C

B

N

A

D

K

C

M

D

C

B

A

N

M

K

A

K

D

M

N

B

C

A

B

D

N

M

K

C

A

B

D

N

M

K

C

A

B

D

N

M

K

C

A

B

D

N

M

K

C

А

М

Р

В

О

С

Р

В

С

О

М

А

D

A

M

C

B

N

M

C

A

B

N

D

А

В

О

С

М

В

K

А

D

С

А

K

C

B

D

M

А

D

С

В

O

N

M

А

D

B

P

C

1

4

3

2

1

4

3

2

S

F

M

N

А

S

D

B

K

C

L

F

1

2

3

4

M

B

K

N

D

S

L

C

А

F

1

3

4

2

А

М

Р

К

О

С

В

А

К

С

В

А

К

С

В

А

К

С

В

А

К

С

В

B

F

E

C

D

A

A

F

C

E

D

B

А

К

С

В

М

К

С

Р

А

В

Н

Е

В

С

М

К

А

Р

Н

Е

А

С

В

А

С

М

В

О2

О1

А

М

О2

В

Е

О1

С

B

N

C

E

A

L

M

K

O

D

B

L

A

K

D

C

M

N

O

E

С

В

А

Н

Н

В

С

А

B

C

D

A

C

P

B

O

D

M

T

A

А

О

О3

О2

О1

О

О3

О1

О2

А

О

Р

С

В

М


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79802. Технология DVD в курсе мультимедиа лекций по дисциплине Компьютерная графика 8.37 MB
  Существует достаточно много интерактивных обучающих курсов, как правило, лабораторные работы, или различные виды материалов для дистанционного обучения. Особенностью данной работы является то, что подготовленный материал предназначается для очного образования и для потоковых лекций. Конечный продукт данной работы –DVD диск, который служит как вспомогательный материал для проведения лекций, но никак самостоятельный обучающий курс. Данный продукт повышает интерес студентов к читаемой дисциплине и повышает качество образовательного процесса.
79804. Создание общей дизайн-концепции полиграфии для Ивангородской детской музыкальной школы 1.55 MB
  Первый слой в файле – символ Ивангорода – крепость обернутая в клавиши фортепиано – прозрачное объяснение названия музыкальной школы – Ивангородская. Далее идет слой с текстом обтекающим лиру со всех сторон. Слой Lyer 12 находится ниже остальных и отвечает за нотный стан. Поскольку размер изображения очень большой первый слой был залит белым цветом а не оставлен прозрачным так как это визуально осложнило бы работу над элементами в целом.
79805. Создание интерактивного тренажера «Видеостудия» 4.24 MB
  Создание интерактивного тренажера «Видеостудия», необходимого для иллюстрирования лекционного материала, а так же для дополнения к практическим работам со средствами съемочной студии.
79806. Разработка устройства для измерения освещенности и коэффициента пульсации светового потока 4.02 MB
  Задача дипломного проекта заключается в разработке функциональной и принципиальной схем устройства, позволяющего произвести измерение освещенности в установленных пределах, а также коэффициента пульсации светового потока с погрешностью
79807. Разработка Программы-Робота для автоматического выполнения Биржевых операций с ценными бумагами 2.74 MB
  Разработка торгового робота (автомата), работающего в связке с торговой платформой QUIK, генерирующего сигналы для входа и/или выхода в короткие и/или длинные позиции, с возможностью установки стоп-заявок.
79808. Разработка программного средства криптографической защиты файлов и исследования современных подходов к построению блочных алгоритмов шифрования 3.45 MB
  В данной работе представлен обзор методов зашифрования и расшифрования файлов, методов аутентификации и противодействие атакам на зашифрованные данные. Приводится структура и тестирование рассматриваемого алгоритма шифрования, построенного на основе современных тенденций построения блочных алгоритмов шифрования.
79809. Фестиваль бардовской песни «Зелёные Сростки» 585 KB
  Открытие фестиваля. Итак цели исследования: Обобщение и систематизация теоретических и практических наработок в области режиссуры неофициальных элитарных празднеств на примере организации и режиссуры фестиваля АП; Исследование воздействия на сознание личности карнавальных ситуаций и методов воздействия ведущих к карнавализации сознания участников неофициальных празднеств.