2206

Управление в биомедицинских системах

Конспект

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Основные принципы управления. Управление по отклонению (принцип обратной связи). Характеристика компаундирования. Математическое описание систем управления. Линейные детерминированные системы. Правила преобразования структурных схем.

Русский

2013-01-06

831.22 KB

3 чел.

Кафедра ИИБМТ

Управление в биомедицинских системах

(Мелехин В.П.)

Курс лекций

Рязань – 2006


Основные понятия и определения

Задача управления появляется тогда, когда объект управления не обладает достаточной устойчивостью по отношению к внешним воздействиям.

Объект управления (ОУ) – технические средства, реализующие функции получения необходимых веществ, энергии, транспортные средства и т.п. Объектами управления являются и естественные системы, входящие в состав живых организмов.

Задача управления – формирование таких управляющих воздействий, которые обеспечивают достижение цели.

Управляющими воздействиями в ОУ могут быть переменные, значениями которых можно управлять (изменять). Любой объект всегда имеет 2 группы переменных: управляющие и управляемые.

ОУ

U

X

Z

U – вектор (совокупность) управляющих переменных; входы; управление;

X – вектор состояния; выходы; параметры состояния.

Связь x = f(u) – модель объекта управления ОУ. Иногда в уравнении связи вводят дополнительную группу переменных.

Z – возмущение воздействия. Переменные Z от нас не зависят. Обычно это параметры среды. Переменные Z в общем случае могут быть измерены, т.е. могут контролироваться.

Цели управления:

  1.  стабилизация (поддержание постоянства) значений параметров ОУ (физических переменных);
  2.  отслеживание значений физических переменных, задаваемых программным методом;
  3.  поддержание экстремальных (максимальных / минимальных) значений физических переменных;
  4.  поддержание экстремального (максимального / минимального) значения критерия качества управления. Критерием обычно является интегральный показатель (функционал), включающий несколько переменных. Переменными могут быть наряду с переменными X стоимостные показатели, затраты, ограничения. Критерий качества управления – характеристики процесса управления.

Характеристиками процесса управления могут быть:

  1.  точность стабилизации, т.е. разность x-x0, где x0 – установка или стабилизирующий уровень, x – реально полученное значение переменной;
  2.  интегральная оценка типа , где x0 = x0(t) и x = x(t);
  3.  уровень экстремума
  4.  уровень оптимума (минимальное значение интегрального критерия)

В зависимости от задачи, цели, вида ОУ могут быть выбраны различные способы формирования значений управляющего воздействия u(t). Способ формирования – результат выбора принципа управления. Выбор принципа управления определяется в первую очередь степенью детерминизма ОУ – уровнем априорных знаний о нем, характером возмущений, адекватностью модели.

U

U0

x

x0

f(K)

ОУ

U

U0

x0

x

Такой способ формирования U соответствует принципу разомкнутого управления.

Основные принципы управления

Любая задача в управлении решается с использованием определенных принципов. Они универсальны как в живой системе, так и в искусственной.

Принципы управления:

  1.  разомкнутое (прямое) управление
  2.  управление по возмущению (инвариантное)
  3.  управление по отклонению (с обратной связью)

1. Разомкнутое управление

Сущность разомкнутого управления базируется на следующих предположениях:

а) функция связи управляемой переменной x и управляющей величиной U известна и постоянна x = F(U)

б) чтобы получить необходимое значение x = x необходимо найти соответствующее значение u и подать его на вход объекта управления

Z

U

U

x

x

ОУ

Функция передачи объекта F никогда не бывает постоянной, т.к. реальные объекты всегда находятся под действием возбуждений Z.

Обычно выделяют 2 класса возмущений: аддитивные и мультипликативные.

Для аддитивных:

x = k0u + kzz,

где F = k0 (идеальная функция передачи), kz – чувствительность ОУ к возмущению (коэффициент передачи по возмущению)

kzz = x

x = k0u + x

где x – ошибка управления.

Для мультипликативных:

x = (k0 + k)u = (k0 + z)u

где k = z – чувствительность коэффициента передачи к возмущению. Ошибка управления x = zu,  - чувствительность коэффициента передачи к возмущению.

Разомкнутое управление можно использовать, если x не превышает некоторой заранее заданной величины. Если x выходит за допустимые пределы, то можно использовать другие принципы.

Тогда x = f(u, z)

xmin

xmax

x

x0

u0

u

zmax

zmin

zпот

Принцип разомкнутого управления можно использовать только если = xx0 не превышает заранее оговоренного значения.

Если возмущение является контролируемым, то в качестве модели О можно использовать семейство характеристик

x1

x

x0

u0

u

z2

z = z0

z1

u1

Измерив возмущение z, можно найти текущее (фактическое) положение характеристики z = f(u) и использовать ее для нахождения соответствующего управления u. Такой способ получения управления воздействия называется принципом управления по возмущению. Если по каким-то причинам возмущения не можем измерить или их много, или они неизвестны, можно воспользоваться принципом управления по отношению. Сущность его заключается в сравнении текущего значения x с уставкой, определении разности = xx0 и изменении уравнения u до тех пор, пока  не станет равной 0 или применяемому значению. Существуют комбинированные уравнения, сочетающие принципы уравнения по отношению и возмущению.

2. Управление по возмущению (инвариантное)

Сущность управления по возмущению заключается в использовании информации о значении возмущающего воздействия. Принцип реализуется путем коррекции управляющего воздействия u в зависимости от возмущения z.

z

k0

x

u

u2

u1

x0

задатчик

устройство упр-ия

ОУ

корректор

u2 – корректирующий сигнал

Функция передачи ОУ x = k0u + kzz,

u – скорректируемая величина

u = u1 + u2 (адаптивная коррекция управляющего сигнала),

,

u2 – некоторый коэффициент передачи по z,

u2 = z

В итоге получим

Задача x = x0, т.е. x = (k0 + kz)z = 0, т.е. – коэффициент передачи корректора.

k0 – известная величина

kz – неуправляемая, но контролируемая величина

Принцип управления по возмущению можно использовать, если kz известен и достаточно стабилен в течение некоторого времени. При изменении kz ошибка x вновь появится. Если при всех колебаниях kz относительно номинального значения (положенного в основу расчета ) ошибка управления x не выходит за допустимые пределы, то принцип управления по возмущению можно использовать. Если нет, то переходим к другому отношению.

3. Управление по отклонению (принцип обратной связи)

Обратная связь по управляемой величине x

x0

x

u

ОУ

УУ

Единичная обратная связь

x

k0+k=k

z

x

u

x

x0

задатчик

УУ

ОУ

kp

Получим функцию передачи системы управления

x = ku

где k = k0 + k;

u = xkp

где x = x0x,  x = kkp(x0x) x + kpkx = kkpx0, т.е.

Найдем x, полагая мультипликативный характер возмущения, т.е. k – переменная величина, x = Fk, где F – функция связи

Перейдем к относительным отношениям

 

kp   x  0

Обратная связь по управляемой переменное не всегда возможна. Ограничения накладываются природой величин, т.е. не все величины можно сравнить.

uос

u0

u

k0

z

x

u

x0

задатчик

УУ

ОУ

регул-р кр

x0

u

u

xu

ОУ

Предположим аддитивный характер возмущения, т.е. x = k0u + kzz

u = kpu, u = u0uос,  uос = x

x = k0kp(u0 - x)+ kzx  

x + k0kpx = kpx + kzz  

  k0 = 1,  т.е. x  x0,  если kp   и

Существуют комбинированные системы, которые используют одновременно принцип обратной связи и управление по возбуждению.

Виды управления

1. Стабилизация

Задача – поддержание постоянства (относительного) значения физической переменной. В технических системах управления эта задача решается с использованием принципа обратной связи или принципа управления по возмущению. В таких системах классическая структура включает: датчики стабилизируемой величины в электрическую, средства сравнения с уставкой, средства управления интересующей нас физической переменной величиной. В живых системах используются современные механизмы реализации данного вида управления (стабилизации). Эти механизмы реализуются без использования специальных средств измерения, управления. Т. н. пассивные механизмы.

Рассмотрим пример задачи стабилизации – система управления скоростью вращения электрического двигателя. ОУ – электродвигатель постоянного тока.

n = KдUд - Kм

Kд – управляемая переменная

Uд – управляющая переменная

M - возмущение

n

n1

n0

U0

Uд (В)

U1

M = M1

M = 0

U=U0

U=U2<U0

U=U1>U0

n0

n

M

При изменении момента в любую сторону от номинального обороты изменяются в положительную или отрицательную сторону.

Чувствительность измеряемой величины к возмущению

Из графика видно, что с увеличением возмущения М обороты падают.

Если M = M1 – 0, то n = n1n0. Для того, чтобы при изменившемся моменте вернуть управляемую величину к прежнему значению, нужно увеличить U до U1. Тогда обороты станут n0.

Система управления с обратной связью будет выглядеть следующим образом

Uос

Uг = Uос

n

Ген

насос

вал

Дв

Uд

U

__

+

U0

Задатчик

Ку

; ; ; ;

Т.е. если Uд = U0, M = 0, то n0 соответствует Uос = U0

n = KдKу(U0KГn) - KMM

n = KдKуU0 - KдKуKГn - KMM

n(1 + KдKуKГ) = KдKуU - KMM

- управляемая

- управляющая

Коэффициент передачи по уставке

- функция передачи идеального объекта

Коэффициент передачи по возмущению

Использование принципа обратной связи позволяет уменьшить чувствительность к воздействию в Kу раз.

Рассмотрим реализацию задачи стабилизации на примере использования пассивных механизмов управления в живых организмах.

В живых организмах для доставки веществ используются канальные системы транспорта к органам. Транспорт веществ в клетку реализуется за счет механизма диффузии.

y

w

мембрана

среда 1

среда 2

канал

Y

x

Среда 1 – межклеточная среда

Y – концентрация вещества (мг/л)

Среда 2 – внутриклеточная среда

x – концентрация вещества внутри клетки (мг/л)

у – скорость диффузии

w – скорость потребления вещества внутри клетки

Y обычно стабилизируется активными системами

y = k(Yx)

Концентрация x уменьшается с ростом  и увеличивается с ростом y.

x = f(w, y)  

Напишем функцию преобразования, связывающую основные переменные, среди которых:

x – управляемая переменная;

w - возмущение;

Y – уставка;

у – управляющая переменная.

Если система находится в состоянии равновесия динамического, то y = w,  y = k(Yx) = w для равновесного состояния.

Следовательно

Y/k

xуст

x0 уст

x1 уст

w

w0

w1

- характеризует эффективность механизма стабилизации

Найдем чувствительность  к возмущению

где F – статическая функция преобразования

 

Условием эффективности стабилизации является значение коэффициента связи относительного изменения переменных. Если С < 1, то определенным изменением w в % соответствует меньшее изменение x.

, т.е.  w < Ykw  и получим Yk > 2w 

- условие эффективности механизма стабилизации

Оценим чувствительность механизма по отношению Y

, где , т.е. x = Y

, тогда и

Механизм эффективен только по возмущению.

2. Программное управление

x0 = x0(t) – изменяется по заранее заданному закону

x(t)

u(t)

x0(t)

Задатчик

УУ

ОУ

Программное управление как правило используется в многошаговых процессах.

3. Следящее управление

Закон изменения уставки x0(t) не известен.

4. Экстремальное управление

Задача экстремального управления – поддержание значения физической переменной на минимально возможном (максимально возможном) уровне в условиях непрерывно действующих возмущений.

Уровни, которые достигаются при экстремальном управлении заранее не известны, т.е. их можно считать практически достижимыми. Необходимым условием возможности организации экстремального управления является унимодальность характеристики x = F(u, z), где z – возмущение. Если положение экстремума при изменении возмущения не меняется, необходимости в экстремальном управлении нет.

z3

z2

z1

U

U1

U2

U3

z1

U1

U2

U3

U

z2

z3

z

Характеристика компаундирования

Характеристика позволяет использовать принцип компенсации / управления по возмущению. Для его реализации обязательно должна быть возможность измерения z. В противном случае следует использовать поисковые методы. Если положение экстремума не изменяется, то экстремальное управление нецелесообразно.

U

x

x3

x2

x1

z3

 z2

z1

Uэкст

Если при любом возмущении положение точки экстремума по оси U остается постоянным, то необходимости в экстремальном управлении нет. Для организации управления можно использовать принцип разомкнутого управления, установив на входе управления U = Uэкс, обеспечим при любом возмущении точки x. Следовательно можно сформулировать 2-ое необходимое условие экстремального управления. Если точка экстремума не является функцией z, то экстремальное управление не используют.

Для объекта, имеющего несколько координат вектора управления и возмущения, задача формируется следующим образом.

а) существует физическая переменная xi  X или функция Ф нескольких переменных, которая может использоваться в качестве критерия управления. Ф = Ф(x?, xи, z?, zм) – критерий. Среди переменных x всегда есть управляемые (u) и неуправляемые (z и u)/

Ф = Ф(u, x, z)

б) условием достижения экстремума функции Ф является равенство нулю частных производных

 

Для того, чтобы убедиться, что вы находитесь в точке экстремума, необходимо определять значения частных производных, т.е. осуществлять такие экстремальные точки. Существуют две различные группы методов поиска экстремальной точки, отличающихся алгоритмом перебора координат ui, выбором направления движения, размера и числа шагов. 1-я группа включает методы детерминированного поиска, 2-я – методы случайного поиска.

Детерминированный поиск

При детерминированном поиске обычно стратегия перебора ui строго оговорена. Величина шага либо постоянна, либо меняется в зависимости от степени приближения к экстремальной точке, т.е. пропорционально от величины частной производной. Критерием окончания поиска по каждой из координат является попадание в зону , где I – малое число.

Случайный поиск

При достаточно большой размерности задачи / быстром изменении возмущения целесообразно использовать случайную стратегию поиска. Как правило, выбор координаты ui, по которой ищется экстремум осуществляется случайным образом, но без повторений. Направление движения может быть случайным. Оценка результатов производится по приращению Ф. Размер шага может быть постоянным или меняться случайным образом. Критерием окончания поиска является величина Ф. Случайный поиск позволяет уменьшить результаты задачи или сократить время поиска.

На практике используют чаще модификации детерминированных методов поиска: Гаусса-Зейделя, наискорейшего спуска, градиента.

Математическое описание систем управления

На этапах разработки и исследования систем управления необходимо иметь ее формальное описание – модель.

В основе разработки модели системы управления лежит т.н. «структурный метод». Сущность структурного метода заключается в представлении системы в виде совокупности отношений между физическими переменными – характеристиками процессов, происходящих в системе управления. Основой для количественных и качественных представлений отношений между переменными является понятие «динамической системы». Понятие динамической системы возникло по аналогии с механическими объектами, для описания которых использовались дифференциальные уравнения. Современные представления включают в понятие динамической системы не только механические процессы, но и тепловые, химические и т.п. Главным признаком является использование дифференциальных уравнений связи.

Свойства динамических систем

1. В динамической системе присутствуют три вида величин (физических переменных):

  1.  входные величины – величины, независящие от переменных состояния и входных величин; для систем входными являются управляемые величины u(t) и контролируемые возмущения z(t);
  2.  выходные величины – физические переменные, являющиеся функциями входных и промежуточных x(t);
  3.  промежуточные величины – с одной стороны они являются функциями входных, а с другой – от них пропорциональных переменных x(t).

2. В динамических системах отсутствует влияние выходных величин на входные, т.е. все связи, которыми мы отображаем влияние одних величин на другие, являются однонаправленными. Следует, что подключение к выходу одной цепочки отнесенной к другой цепочке не влияет на общий характер хода процесса.

3. Любая система управления может быть представлена в виде структурных элементов, отображающих вид (характер) попарных связей переменных и соединений между этими элементами.

Система управления скорости двигателя

Физические переменные, характеризующие процесс управления:

u – скорость двигателя;

Uд – напряжение питания;

U – входное напряжение усилителя;

u0 – уставка;

UГ – напряжение генератора

_

+

U0

UГ

n

Uд

U

Kу

KГ

Физические переменные для пассивного механизма.

Y – установка (концентрация вещества во межклеточном пространстве); y – поток (диффузия); w – скорость расхода вещества; x – концентрация вещества во внутриклеточном пространстве.

y = К( Y – x );

x = x0 +  1/Q0∫(y – w)dt

В зависимости от сложности объекта управления, полноты априорной информации о процессах, происходящие в нем, используют различные виды моделей: детерминированные, вероятностные, индетерминированные.

Детерминированными объекты считаются в случае, если характер процессов в них полностью совпадают с расчетными. Реальные объекты могут в той или иной степени приближаться к детерминированным. Для детерминированных объектов определяется вид уравнения связи и величины коэффициентов в этих уравнениях. Если характер реальных процессов отличается от расчета, следует предположить, что это является результатом действия неучтенных возмущений.  В этом случае можно считать известным уравнение связи и случайными – значения коэффициентов этого уравнения. (вероятностная модель).

Для большинства биологических объектов бывает достаточно сложно, - выделить характерные переменные, установить вид связей между ними, классифицировать переменные на входные и выходные. В этом случае используют другой подход к построению модели. На первом этапе формируют список переменных. Предполагают характер деления их на входные и выходные. На втором – формируют гипотезу и несколько о виде аналитической связи между переменными. Обычно используют полиномиальное уравнение связи. Далее наблюдают за поведением системы в течение некоторого времени и аппроксимируют результаты наблюдения одним из предлагаемых уравнением связи. Критерием для расчета коэффициентов уравнения обычно является среднеквадратичное отклонение между ожидаемым вектором состояния и фактическим состоянием объекта.

Линейные детерминированные системы

Наиболее простой вид систем, и к которому относится большинство систем технического управления. Попарные связи интерпретируются гипотетическими структурными элементами – элементарными звеньями. Уравнения связи, соответствующее таким звеньям, обычно очень просты. Поскольку большинство реально существующих связей являются нелинейными, используют операцию линеаризации.

Для нелинейностей, типа ограничение предполагают ограничения на входные переменные

Для нелинейностей общего вида обычно используют следующие приемы линеаризации. Смещают ноль системы в точку, соответствующую номинальному значению переменных xн и Uн и аппроксимируют реальную функцию касательной  новой точке н.к., полагая отклонения переменных от номинального незначительными, можно считать звено или структурный элемент линейным.

Общее уравнение связи  для линеаризованных систем имеет вид

 

 

N = a0pn + a1pn-1 +…+ an, а M = b0pm + b1pm-1 +…+ bm.

Для статических объектов, кроме an и  bm, равны нулю.

 anx(t) = bmu(t);

 

Для решения дифференциальных уравнений описывающих системы используют операторный метод.

Сущность операторного метода заключается в замене функции времени t на функцию переменной  p = a + jb. Переход осуществляется с помощью преобразования Лапласа.

                                                                                          Обычно в теории управления используют преобразования Карсона – Хевисайда.

                                                                                                     Функция f(t) – оригинал, а F(p) – изображение.

f(t) = F(p);

A = A(p) = A

где f(0), f’(0) – начальные условия.

N(p)X(p) = M(p)U(p), где p – оператор Лапласа.

Выход                             Вход

Характеристики линейных систем

1. Уравнение движения в общем виде

N(p)X(p) = M(p)U(p)      (в операторном виде)

2. Передаточная функция

   W(p) – отношение оператора воздействия к собственному воздействию W(p) = M(p)/N(p).

   С другой стороны – W(p) = X(p) / U(p), где X(p) – выход, U(p) – вход.

3. Частотные характеристики

Отображают движение систем при гармоническом входном воздействии. Если в передаточной функции                                                                                                                                                                                                                                                                                                            ,                                                                           заменить p на , то полученная функция W() - частотная передаточная функция.

W() = B(ω) + C(ω), где В(ω) вещественная  частотная функция, а ее график – вещественная частотная характеристика. С(ω) – мнимая частотная Функция.

 A() = A(ω)e(ω), где А(ω) – амплитудно-частотная функция.

Соответственно φ(ω) – фазовая частотная характеристика

(справедливо если модуль отношения меньше 90˚)

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции. Он означает, что сумма гармонических воздействий на входе системы порождают движение, являющееся суммой реакций на каждое из них.

4. Временные характеристики

Обычно рассматривают движение систем, как реакцию на стандартные входные воздействия: единичный скачок 1(t), дельта функцию, гармонический сигнал.

а) переходная функция 

h(t) – реакция системы на единичный скачек 1(t)

1(t) = 1(p)

X(p) = W(p)*U(p), т.е. U(p) → 1(p)

X(p) = W(p)*1(p) – изображение переходной  функции.

H(p) = h(t)

H(p) = W(p)*1(p) = W(p) => изображение переходной функции – передаточная функция. Чтобы найти h(t) достаточно найти оригинал W(p).

Характер реакции на единичный скачок системы определяется видом передаточной функции W(p).

Переходная функция определяется при нулевых начальных условиях.

Если входное воздействие подается не в нулевой момент, то используют функцию 1( t – t0 )

б) импульсная переходная функция (весовая функция)

w(t) – реакция системы на входное воздействие δ(t) – дельта функцию.

Свойства δ-функции

δ(t) – предел, к которому стремится импульс единичной площади и конечной амплитуды, если его длительность стремится к нулю.

S = Um * τ = 1

если τ → 0, то картина → δ-функции.

Если воздействие не совпадает с началом координат, то =>

δ(T) = p => если X(p) = W(p) * U(p) = W(p) * p = H(p) * p    =>

если умножаем функцию на p, то это дифференцирование. Следовательно, w(t) – производная h’(t).

в) реакция на гармонический сигнал единичной амплитуды

Для нахождения оригинала переходной функции можно использовать следующую формулу

pк – корни уравнения  N(p) = 0, а N’(pк) -   dN(p)/dp, при p = pк

Типовые структурные звенья и их характеристики

1. Безынерционное звено (пропорциональное)

x(t) = K*U(t);

W(p) = К; W(jω) = K; B(ω) = K; C(ω) = 0   =>  

A(ω) = K; φ(ω) = 0;

h(t) = W(p); h(t) = 1(t)

2. Интегрирующее звено

Частотная передаточная функция

B(ω) = 0; C(ω) = - 1/(ωT)   =>

φ(ω) = arctgC(ω)/B(ω) = −π/2

t = 1/p   => H(p) = h(p)

                   h(t) = t*1/T

3. Дифференцирующее звено

Уравнение движения:

x(t) = K*du(t)/dt; X(p) = KpU(p)  =>

W(p) = X(p)/U9P0 = Kp

Частотная передаточная функция: 

W() = jkω; B(ω) = 0; C9ω) = : =>

A(ω) = Kω; φ(ω) = π/2

4. Форсирующее звено

x(t) = K ( T*du(t)/dt + U(t) )

Передаточная функция  x(p)=K( TpU(p) + U(p) )=KU(p)(Tp + 1)

W(p) = X(p)/U(p) = K(tp + 1)

Частотная передаточная функция:

W(jω)=K(jωT + 1); B(ω) = K; C(ω) = KωT

При ω = 1/T = ω1  ;

            

φ(ω) = π/4

φ(ω) = arctg(KωT/K) = arctg(ωT)

ω = 0  =>  φ = 0;ω = 1/T  => φ = π/4; ω = ∞  => φ =π/2

h(t) = H(p); H(p) = K(Tp + 1) = KTp + K

p = δ(t)

5. Апериодическое звено

T*dx(t)/dt + x(t) = Ku(t)

Периодическая функция: Tpx(p) = x(p) = KU(p)

x(p)*(Tp + 1) = KU(p)

W(p) = X(p)/U(p) = K/(Tp +  1) - инерционное звено первого порядка

Частотная передаточная функция

W() = K/(jωT + 1)

W() = K(1 – jωT)/(1 + ω2T2)

B(ω) = K/(1 + ω2T2)

C(ω) =  - KωT/(1 + ω2T2)

ω = 1/T: B(ω) = K/2 ; C(ω) = - K/2

φ(ω): ω = 0   φ = 0; ω = ∞  φ = -π/2; ω = 1/T   φ = - π/4

h(t) = W(p) = K(1 – e–t/T)

T – постоянная времени

К – статический коэффициент передачи

при  t → ∞   h(t) → К * 1(t)

6. Звено чистого запаздывания

x(t) = U( t – τ )

W(p) = e ;

Частотная передаточная функция

W() = ejωτ = cos ωτ  - j*sin ωτ;

B(ω) = cos ωτ

C(ω) = sin ωτ 

φ = arctg(sin ωτ/cos ωτ)

φ = ωτ

7. Колебательное звено

W(p) = K/(T2p2 + 2d0Tp + 1);

W(p) = 02/(p2 + 2d0ω0p + ω02),

если T = 1/ω0

Характер поведения звена зависит от корней знаменателя

p2 + d0ω0p + ω02 = 0

Корни уравнения:

P1,2 = - 2d0ω0 ±   4d02ω02 - 4ω02

Возможные варианты корней:

1) d0 > 1 => корни вещественные, разные;

2) d0 = 1 => корни вещественные, отрицательные, равные;

3) d0 € (0; 1) => комплексные сопряженные;

4) d0 = 0  => комплексные.

1) d0 > 1 ;

Решение представляет собой разность экспонент. Так как передаточная функция представляет собой два последовательно включенных апериодических звена.

2) d0 = 1 ;

W(p) = Kω02/(p2 + 2d0ω0p + ω02)  => W(p) = Kω02/(p + ω0)

при t = 0  => h(t) = 0;

при t → ∞  => h(t) = 1/ω02

3)d0 € (0;1) :

W(jω) = K/( - T2ω2 + 2d0tjω + 1) =

4) d0 = 0 ;

p1,2 = ± jω0;

W(p) = K/(1 - T2ω2) = Kω02/(ω02ω – ω2)

B(ω) = K2/(1ω2T2) ; C(ω) = 0

W(p) = h(t) = Kω02/(P2 + ω02) = 1/ω02 *(1 – cos ω02t)

Звено второго порядка (колебательное звено) в зависимости от декремента затухания d0 ведет себя по-разному. При больших значениях d0 переходная функция представляет собой реакцию двух апериодических звеньев с разными постоянными времени. В интервале d € (0;1) – звено является колебательным и устойчивым одновременно, так как колебания с течением времени затухают. При d0 = 0 звено становится консервативным. Отсутствие потерь приводит незатухающим колебаниям  - около линии К.

Правила преобразования структурных схем

Понятие передаточной функции позволяет строить удобные графические представления математических моделей математического управления. Существует две формы графических представлений: структурные схемы и структурные графы.

Структурная схема – совокупность частей (элементов, звеньев), полученных путем декомпозиции (разложения), и соединений между ними, отражающих направления воздействий (взаимодействий).

Элементами структуры являются:

– динамические звенья; отображают связи между физическими переменными, характеризуются передаточными функциями.

– безынерционные функциональные преобразования; отражают функциональную зависимость между переменными.

или

–  сумматоры; изображаются окрестностью с секторами, которые могут заштриховываться

–  линии связи (соединения)

Виды соединений и правила преобразования схем

Различают следующие виды соединений:

1. Последовательное

Вход предыдущего соединяется с входом последующего

передаточная функция W(p) = W1 * W2 * … * Wn = ПiWi 

2. Параллельное

W(p) = W1 + W2 + … + Wn = ∑iWi

3. Встречное 

y1 = ( y0 + y2)W1 

y2 = y1 * W2   =>

y1 = (y0 + y1W2)W1  = W1y0 + y1W1W2  

y1(1 – W1W2) = y0W1 =>

y1 = (W1y0) / (1 – W1W2); если y2«–»  =>   y1 = (W1y0) / (1 + W1W2)

1 – W1W2 – коэффициент передачи.

Для упрощения структурных схем используют основные виды преобразований:

1. Разделение (декомпозиция) передаточной функции на несколько более простых звеньев, соединенных параллельно или последовательно

-параллельное соединение

2. Объединение (агрегатирование) нескольких звеньев, соединенных параллельно или последователбно в одно звено. Функции преобразования см выше

3. Замена встречно включенных звеньев одним звеном

4. Перенос сумматора с выхода звена на вход

5. Перенос сумматора со входа звена на выход

6. Перенос узла со входа звена на выход

7. Перенос узла с выхода звена на вход

Структурные графы.

Математическая модель системы управления, как совокупность (точек) может быть графически представлена в виде совокупности ориентированных графов.

Граф G – совокупность множества точек V, линий E, между элементами которых определены отношения инцидентности. G=(V,E); V={υ1,υ2,...,υn)}– вершины графа. E={e1,e2,...,en} - ребра (дуги для ориентированных графов). Каждой вершине инцидентны несколько ребер, каждому ребру инциденты две вершины. Граф задан, если перечислены вершины, ребра (дуги) и заданы отношения инцидентности. Отношения инцидентности могут быть заданы разными способами.

Матрицы смежности

υ1

υ2

υn

υ1

1

Υ2

1

...

υn

1

Для ориентированных графов указывают начало и конец ребра. Для этого все начала находятся в столбце, а концы в строчке.

Свойства структурного графа.

1 Каждой дуге графа соответствует передаточная функция, связывающая две физические величины.

2. Каждая вершина отображает физическую переменную.

3. Если к вершине подходит несколько дуг, то соответствующая ей физическая величина равна сумме переменных на выходе..

Правила построения структурного графа.

1. Каждой переменной приводим в соответствие вершину графа.

2. Между любой парой связанных переменных (вершин) строим направленную дугу, отображающую соответствующую функцию передачи.

3. Сумматоры соответствуют вершинам, имеющим столько входящих дуг, сколько входов у сумматора.

Замечание: структурному графу соответствуют все характеристики системы (частотные временные); конечная цель построения графическое представление – упрощение моделей и приведение их к виду, удобному для анализа.

Устойчивость линейных систем.

Под устойчивостью обычно понимают способность системы возвращаться в состояние равновесия после того, как снято воздействие, которое её из этого состояния вывело.

Неустойчивая система не возвращается в соответствующее равновесие, а удаляется от него как угодно далеко или совершает недопустимые колебания относительно него.

Координатами системы могут считаться значения переменных любой физической природы, механической в том числе.

Характеристики устойчивости

Существует понятие устойчивости в целом, когда при любых значениях возмущений система возвращается в состояние равновесия. Под устойчивостью в малом понимают ситуацию, когда определены границы возмущений, при которых система устойчива. Если же система устойчива, границы возмущений определены и реальные возмущения не превышают этих границ, то говорят об устойчивости в большом.

Механическая аналогия.

в целом

в малом           - в большом

консервативная неустойчивая

Понятие устойчивости можно обобщить, если за невозмущенное состояние принять движение системы по определенной (невозмущенной) траектории (динамические системы).

В этом случае говорят о невозмущенном движении. Движение по закону: y10(t), y20(y),...,yn0(t)

Если во время движения на систему подействует возмущение в t0, она будет двигаться по другой траектории: y1(t), y2(y),...,yn(t). Итак, система является устойчивой, если после снятия возмущения через некоторое время будут выполняться условие:

|yi(t)-yi0(t) | < εi, где εi – заранее заданное малое число.

Критерии устойчивости линейных систем

Линейная система, на которую действуют внешние воздействия описывается уравнением: (a1pn+a2pn-1+...+an).x(t)=(b1pm+b2pm-1+...+bm).g(t), где p – оператор дифференцирования, а g(t) – внешнее воздействие, либо управление U, либо возмущение Z.

Решения , где - решение однородного уравнения без правой части , где xв - решение неоднородного уравнения  

; ;

В качестве внешнего воздействия g(t) возьмем 1(t).

Свободная составляющая в виде:  

α=S – комплексное число.

; ,

где ,

Подействуем на систему возмущением δ- функция

; ; тогда

Система является асимптотически устойчивой, если при t→∞   x→0

За устойчивое состояния обычно принимают вынужденную составляющую. Характер свободной составляющей определяется корнями уравнения

S=α+

1. α1 – действительный > 0

2. α2±1 – комплексные сопряженные

3. 0

4. -α4

5. α5±2– комплексные сопряженные

1.

2.

3. 0. - неустойчивое

4.

5.

Вывод: система является устойчивой, если корни уравнения без правой части левые, то есть α<0.

eсли корни уравнения действительные, то свободная составляющая экспоненциальная

eсли корни комплексные сопряженные – в системе затухающие колебания

Система управления углеводным обменом.

Углеводы, выполняя метаболическую и структурную функции, являются строительным материалом и источником энергии. Потребление глюкозы клетками относительно стабильно и обеспечивается механизмами диффузии из межклеточного пространства. Для стабильности всех реакций необходима стабильная концентрация углеводов в крови. Источниками нестабильности для системы являются колебания потребления, вызываемые изменениями физической и умственной нагрузки, неравномерность поступления извне.

Баланс глюкозы

Упрощенная структура модели иллюстрирует баланс.

Источниками глюкозы являются:

- приток глюкозы извне: А – поступление глюкозы с пищей;

- распад гликогена в печени: В – химическая реакция превращения гликогена в глюкозу.

Расход глюкозы идет на:

- покрытие потребностей клеток в структурных компонентах и энергии: С

- синтез гликогена в печени: F – реакция полимеризации;

- удаление глюкозы из организма через почки: D.

Концентрации глюкозы в крови const тогда, когда ∑ потоков y=∑ потоков ω, то есть .

Для того, чтобы выполнялось условие стабильности концентрации необходимо, чтобы некоторые потоки были управляемыми, так как  ya, ωc - неуправляемые потоки. Управляемые yв - поток глюкозы из печени; и ωf - глюкоза, задерживаемая в печени из воротной вены. В – реакция распада глюкозы, управляется глюкогоном (фермент). F – реакция синтеза, управляется инсулином.

Процесс D используется в «аварийных» случаях, когда остальные механизмы плохо выполняют свою функцию и не обеспечивают поддержание концентрации V в допустимых пределах – прямой механизм управления.

Функционирование системы поддержания концентрации V в пределах физиологической нормы [80-100 мг%] обеспечивается специальной системой управления, основанной на использовании резерва углеводов в виде гликогена печени. Этот резерв образуется при избыточном поступлении углеводов (ya) и тратится при прекращении их поступления. При балансе поступления и расхода углеводов концентрация V не превышает верхнего предела нормы и не снижается ниже нижнего. Механизмы управления выключены, кроме пассивного механизма нижнего уровня. При превышении V верхнего Nв, включается реакция синтеза гликогена.

Через 2,5 часа наступает момент, когда приток глюкозы ya не покрывает потребности ωс yaс. Уровень V глюкозы снижается и после достижения значения Nн включается процесс распада гликогена печени. Новое уравнение баланса : . В зоне Nв>V>Nн – оба механизма выключены.

Если скорость синтеза гликогена недостаточна, концентрация может выйти за пределы. Образуется поток ωd.

На рисунке представлена III-х уровневая система управления. I – реализует пассивный механизм, с помощью которого расход глюкозы во внутриклеточном объеме x, ωc компенсируется притоком её из объема V:

Таким образом по возмущению ωc I уровень – система стабилизации. Для уровня II расход ωc является возмущением, вычитающимся из суммарного притока . Стабилизируемая переменная V II уровня является уставкой уровня I. Если   глюкозы ниже уставки Система включает реакцию распада гликогена уровень V ↑. Если , то концентрация V больше нормы. Включается другой канал системы, то есть синтез гликогена, что обеспечивает сток ωf. Суммарный приток уменьшается и концентрация V↓. При нарушениях на II уровне систем управление концентрацией V может выйти за пределы Vм. Тогда включается механизм управления III уровня (Vм<V). При этом фильтрации плазмы крови в почках некоторая часть глюкозы не будет возвращаться при реабсорбции 150 мг%.

Для системы возмущениями являются ya и ωс. Для I уровня уставкой является V. Для II уровня возмущением является yx= ωс, а уставкой V0. Для III уровня уставка - Vм.

Структура второго уровня системного управления.

Идея, заложенная во второй уровень системного управления, заключается в создании резервов углеводов при избыточном поступлении и использовании резерва при недостатке поступления извне.

Основные переменные, участвующие в процессе управления:

V – концентрация глюкозы в крови

x1 – сток

y1исток

;

Чтобы сделать концентрацию V постоянной, необходимо стремиться к выполнению равенства .

Перечень физических переменных.

V – концентрация глюкозы в крови (стабиллизируемая переменная)

y1 - cкорость поступления глюкозы извне возмущение для системы

ω1 – расход глюкозы на внутренние нужды. Суммарная примерно – постоянная величина. Нагрузка;

x1 – концентрация в клетках;

x2 – гликогены печени;

ω2 – скорость полимеризации глюкозы(преобразование в гликогены(управляемая величина);

y2 – скорость поступления глюкозы из печени(управляемая величина)

x4 – концентрация инсулина;

y3 – скорость синтеза инсулина (управляемая величина);

ω3 – скорость распада инсулина;

x5 – концентрация глюкогона;

y4 – скорость синтеза глюкогона;

ω4 – скорость распада глюкогона.

II. ;

III. ;

Система – система с изменяющейся структурой. При  VoV >0 действует канал А, обеспечивающий компенсацию недостатка Y2. При VoV<0 , т.е. при избытке углеводов, работает канал В – канал синтеза гликогена. В норме , т.е в интервале V=80–120 обратная связь выключена.

Рассмотрим динамику системы в режиме роста поступления глюкозы извне.

Нарисуем следующую структуру синтеза гликогена. Y2 – входное воздействие.

;

 =>

=> ;

Характер переходного процесса определяется корнями знаменателя знаменателя.

, а,в – корни ;

;

1. – корни действительные,

,  ; («=» cсоответствие оригинала изображению)

;
(«=»
cсоответствие оригинала изображению)

 оригиналов

2. ;

;

;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24974. Идеальный газ. Основное уравнение МКТ идеального газа. Температура и ее измерение. Абсолютная температура 26.5 KB
  Основное уравнение МКТ идеального газа. Понятие идеального газа свойства. Объяснение давления газа. Для объяснения свойств вещества в газообразном состоянии используется модель идеального газа.
24975. Уравнение состояния идеального газа. (Уравнение Менделеева—Клапейрона.) Изопропессы 41.5 KB
  Процессы в газах. Эти величины называют параметрами состояния газа. Для произвольной массы газа единичное состояние газа описывается уравнением Менделеева Клапейрона: pV = mRT M где р давление V объем т масса М молярная масса R универсальная газовая постоянная.
24976. Испарение и конденсация. Насыщенные и ненасыщенные пары. Влажность воздуха. Измерение влажности воздуха 23.5 KB
  Поэтому атмосферное давление представляет собой сумму давления сухого воздуха и находящегося в нем водяного пара. Давление водяного пара будет максимальным при насыщении воздуха паром. Так давление насыщенного пара не зависит от объема но зависит от температуры. Эта зависимость не может быть выражена простой формулой поэтому на основе экспериментального изучения зависимости давления насыщенного пара от температуры составлены таблицы по которым можно определить его давление при различных температурах.
24977. Кристаллические и аморфные тела. Упругие и пластические деформации твердых тел 24 KB
  Твердые тела. Кристаллические тела. Аморфные тела.
24978. Работа в термодинамике. Внутренняя энергия. Первый закон термодинамики. Применение первого закона к изопроцессам. Адиабатный процесс 29.5 KB
  Существуют два способа изменения внутренней энергии: теплопередача и совершение механической работы например нагревание при трении или при сжатии охлаждение при расширении. Теплопередача это изменение внутренней энергии без совершения работы: энергия передается от более нагретых тел к менее нагретым. Теплопередача бывает трех видов: теплопроводность непосредственный обмен энергией между хаотически движущимися частицами взаимодействующих тел или частей одного и того же тела; конвекция перенос энергии потоками жидкости или газа и...
24979. Взаимодействие заряженных тел. Закон Кулона. Закон сохранения электрического заряда 31 KB
  Способность электрических зарядов как к взаимному притяжению так и к взаимному отталкиванию объясняется существованием двух видов зарядов. алгебраическая сумма зарядов всех тел остается постоянной: q1 q2 . Появление и исчезновение электрических зарядов на телах в большинстве случаев объясняется переходами элементарных заряженных частиц электронов от одних тел к другим. Законы взаимодействия неподвижных электрических зарядов изучает электростатика.
24980. Работа и мощность в цепи постоянного тока. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи 26 KB
  Работа тока. В электрическом поле из формулы определения напряжения U = A q легко получить выражение для расчета работы переноса электрического заряда А = Uq так как для тока заряд q = It то работа тока: А = Ult или А = I2R t = U2 R t. При прохождении тока по проводнику количество теплоты выделившейся в проводнике прямо пропорционально квадрату силы тока сопротивлению проводника и времени прохождения тока.
24981. Магнитное поле, условия его существования. Действие магнитного поля на электрический заряд и опыты, подтверждающие это действие. Магнитная индукция 54 KB
  Магнитное взаимодействие движущихся электрических зарядов согласно представлениям теории близкодействия объясняется следующим образом: всякий движущийся электрический заряд создает в окружающем пространстве магнитное поле. Магнитное поле особый вид материи который возникает в пространстве вокруг любого переменного электрического поля. С современной точки зрения в природе существует совокупность двух полей электрического и магнитного это электромагнитное поле оно представляет собой особый вид материи т.
24982. Полупроводники. Собственная и примесная проводимость полупроводников. Полупроводниковые приборы 31.5 KB
  Собственная и примесная проводимость полупроводников. Полупроводниковые приборы План ответа 1. Полупроводниковые приборы. Применение полупроводников.