22144

Решение дифференциальных уравнений равновесия совместно с условием пластичности

Реферат

Производство и промышленные технологии

Метод решения с использованием кинематических уравнений и уравнений связи между напряжениями и скоростями деформаций деформациями. Дифференциальные уравнения равновесия упрощают в результате число этих уравнений сокращается до одного которое обычно содержит простые производные взамен частных как в точных уравнениях. Напомним точные дифференциальные уравнения равновесия: Если напряжение на контактной поверхности не зависят от Z то и Если принять линейную зависимость: то в итоге в место двух уравнений получим одно: .

Русский

2013-08-04

171 KB

20 чел.

Тема №3 «Решение дифференциальных уравнений равновесия совместно с условием пластичности»

  1.  Метод решения без использования кинематических уравнений и уравнений связи между напряжениями и скоростями деформаций (деформациями).
  2.  Метод решения с использованием кинематических уравнений и уравнений связи между напряжениями и скоростями деформаций (деформациями).

Метод применяется для решения осесимметричных или плоских задач (плоского деформирования состояния; плоского напряженного состояния)

Основные допущения, приемы и алгоритм метода:

  1.  Задачу приводят к осесимметричной или плоской. При сложной форме деформируемого тела его разбивают на ряд объемов, которые считают пребывающими в осесимметричном или плоском деформированном состоянии.
  2.  Распределение нормальных напряжений определяют только для контактной поверхности при отказе от выявления напряжений внутри тела.
  3.  Дифференциальные уравнения равновесия упрощают, в результате число этих уравнений сокращается до одного, которое обычно содержит простые производные взамен частных, как в точных уравнениях.
  4.  Условия пластичности используют также приближенные.

Напомним точные дифференциальные уравнения равновесия:

Если напряжение на контактной поверхности не зависят от Z то

и

Если принять линейную зависимость:, то в итоге в место двух уравнений получим одно:

.                                                                (2)

Уравнение (2) есть приближенное уравнение равновесия, полученное путем применения упрощающих допущений.

Условия пластичности:

при плоской деформации- .

Приближенное условие:

=>

    или

=>

=>

Плоское деформированное состояние

=>

Уравнение (2) с учетом условия пластичности преобразуется к виду:

.                                                           (3)

Для решения последнего уравнения относительного ,  считают удовлетворяющим определенной зависимости.

Трение при пластическом формоизменении – есть процесс сложного взаимодействия упругодеформированного инструмента и упруго-пластически деформированного металлического тела.

Это взаимодействие может быть непосредственным или опосредованным третьими веществами, например смазками. При решении задач, трение, как взаимодействие тел выражают элементарными силами .

записывают различным образом:

Закон Амонтона-Кулона

, где σ – нормальное контактное напряжение, μн коэффициент трения

                      , где τs – напряжение течения металла при сдвиге

Закон Зибеля

            

В работах Гуляева Ю.Р., Друяна В.М.

, где

где  – скорость деформации сдвига в плоскости параллельной касательной к элементу поверхности, Н – интенсивность скорости деформации сдвига.

Формула Леванова

– коэффициент трения см. в книге:

Леванов А.Н., Колмогоров А.Л., Буркин С.П. и др.   Контактное трение в процессах ОМД;  Металлургия 1976, 416 с.

2.  Допущения метода решения приближенных уравнений равновесия, состояния пластичности, кинематических и связи между напряжениями и скоростями (деформаций).

см. книга А.Г. Овчинников

Основы теории штамповки выдавливанием на прессах М. Машиностроение 1983, 200 с., с ил.

  1.  Напряженно-деформированное состояние заготовки или ее частей представляется плоским или осесимметричным.
  2.  Очаг пластической деформации представляется в виде отдельных областей, так чтобы в каждой из них можно было применить гипотезу плоских сечений.

Благодаря этому упрощению одну из скоростей течения (пояснить) удается выразить в функции одной координаты (если скорость- функция двух и более координат, то решение получается громоздким и трудоемким).

Для определения другой составляющей скорости используют условие несжимаемости металла.

  1.  В каждой области определяют среднее значение интенсивности скоростей деформаций (деформаций при холодной), которое считается постоянным для области в процессе решения.

Напряжение течения выбирают по среднему значению интенсивности скоростей деформаций (интенсивности деформации при холодной).

  1.  На границах областей допускаются разрывы  скоростей сдвига, нормальных скоростей, при соблюдении условия постоянства расхода (отсутствие разрыва скоростей в интегральной форме).
  2.  Касательные напряжения  на контактных поверхностях заготовки и инструмента принимают в форме какого-либо закона.
  3.  Дифференциальные уравнения  интегрируют с использованием приближенных методов.
  4.  Размеры очага деформации в заготовке определяют с использованием приближенных методов на основе минимизации мощности или работы пластической деформации.

Условие несжимаемости для осесимметричного НДС:

или , или ;

или ;

для плоского НДС:

или ;

или .

Условия несжимаемости следуют из гипотезы постоянства объема при пластическом формоизменении металлической заготовки

где υz, υρ и т.д. функции описывающие составляющие скорости течения частиц  вдоль соответствующих осей координат.

uz, uρ – функции описывающие составляющие перемещения частиц вдоль соответствующих осей.

Пример:

Пусть

при  где

при

где a– коэффициент определяется граничными условиями и экспериментально.

Рис.1 Схема продольной осадки цилиндра:

1 – зона затрудненной деформации; υд – скорость деформирования.

Выбранное выражение для υz удовлетворяет граничным условиям. При z=0, υz=0, при , .

После подстановки (1) в условие несжимаемости и его интегрирования с граничным условием ρ=0 υд=0 получим:

.                                               (2)

(1) и (2) вместе так называемое кинематически возможное поле скоростей течения. Оно удовлетворяет условию несжимаемости и граничным условиям.

Функции υz и υρ – называются подходящими функциями.

Уравнения связи:

и т.д.

Кинематические уравнения:

; ;

  1.  

 

и т.д.

Алгоритм применения метода.

  1.  Формулировка и определение кинематически возможного поля скоростей для области тела
  2.  Определение по кинематическим уравнениям функций: , ,  или , ,  и т.д. и среднего значения для каждой области интенсивности  скоростей деформаций ( или ).
  3.  Выбор        по диаграмме деформирования.
  4.   Запись уравнений связи.
  5.  Запись и решение дифференциальных уравнений равновесия. Последние решают относительно .
  6.  Окончательная запись уравнений связи.
  7.  Расчет напряжений для отдельных частиц и построение эпюр нормальных контактных напряжений.
  8.  Расчет силы деформирования
  9.  Расчет полей напряжений , , ,  и т.д.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49979. Изучение линейчатых спектров атомов 423.5 KB
  Согласно современной квантовой теории возможные значения энергии системы атомов полностью определяются ее внутренними свойствами: числом и свойствами атомов ядер и электронов в ней и характером взаимодействия между ними. Те значения энергии. которые могут быть реализованы в данной системе принято называть ее уровнями энергии. Совокупность всех возможных значений энергии или уровней энергии носит название энергетического спектра или спектра возможных значений энергии.
49980. Измерение и анализ спектров свечения газоразрядных ламп 184.5 KB
  Просматривая видимый диапазон 400 750 нм измерили длины волн всех спектральных линий лампы №1. Обработка результатов измерений Измеренные длины волн линий занесите в табл. Измерение длин волн спектральных линий. Используя данные о длинах волн спектральных линий атомов некоторых элементов из табл.
49981. Ознайомитись з явищем поляризації світла, експериментально перевірити закон Малюса і закон Брюстера 578 KB
  Прилади і обладнання Джерело світла поляризатор аналізатор набір скляних пластин чорне дзеркало прилад для вимірювання інтенсивності світла Опис установки Експериментальна лабораторна установка рис.1 дозволяє: отримати лінійно поляризоване світло за допомогою поляризатора; експериментально перевірити закон Малюса і закон Брюстера...
49982. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНОГО ФОКУСНОГО РАССТОЯНИЯ ТОНКИХ ЛИНЗ 266 KB
  Приборы и принадлежности: оптическая скамья с набором рейтеров осветитель с источником питания экран собирающая и рассеивающая линзы. Ее вершины О1 и О2 в этом случае можно считать совпадающими в точке О называемой оптическим центром линзы. Причем ось проходящая через оптический центр линзы и центры кривизны ее преломляющих поверхностей называется главной оптической осью линзы прямая РР рис. Если направить луч света параллельно главной оптической оси вблизи нее то преломившись он пройдет через точки F1 или F2 в зависимости от...
49983. ИССЛЕДОВАНИЕ ЯВЛЕНИЯ ДИСПЕРСИИ 472.5 KB
  В качестве диспергирующих элементов используются спектральные призмы действие которых основано на явлениях преломления и дисперсии света дисперсионные призмы. Ширина спектральной линии определяется дифракцией света на оправе призмы или на краях диафрагмы ограничивающей световой поток падающий на призму. Качество спектра определяется угловой дисперсией и разрешающей способностью призмы.
49984. ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ СВЕТА ПРИ НАБЛЮДЕНИИ КОЛЕЦ НЬЮТОНА 747 KB
  Приборы и принадлежности: микроскоп МБС10 светофильтры источник белого света микрометр окулярный винтовой МОВ116Х или окуляр со шкалой объект микрометр ячейка для получения колец Ньютона блок питания для лампы осветителя. Оно окружено системой чередующихся светлых и темных колец ширина и интенсивность которых постепенно убывают по мере удаления от центрального пятна. Светлые кольца соответствуют d для которых...
49986. ИССЛЕДОВАНИЕ ЯВЛЕНИЯ ДИФРАКЦИИ СВЕТА 252.5 KB
  Световые лучи испытывают дифракцию на щели S2 или на нити находящейся в этой же плоскости. Ширину щели S2 можно регулировать микровинтом. Выберите для начала ширину щели S2 достаточно большую например 1 2 мм. Поместите микроскоп М в такое положение которое позволяет наблюдать резкое изображение щели S2 находящееся в центре шкалы.
49987. ИЗУЧЕНИЕ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ 337 KB
  Рассчитать основанные характеристики решетки: период d число штрихов N дисперсию D и разрешающую способность R. Если через обозначить ширину щели а через b ширину непрозрачного промежутка то величину d = b называют периодом или постоянной дифракционной решетки. Из теории колебаний известно что для тех направлений для которых в разности хода укладывается целое число длин волн  = k возникают максимумы интенсивности которые называют главными и тогда основная формула для дифракционной решетки имеет вид...