22144

Решение дифференциальных уравнений равновесия совместно с условием пластичности

Реферат

Производство и промышленные технологии

Метод решения с использованием кинематических уравнений и уравнений связи между напряжениями и скоростями деформаций деформациями. Дифференциальные уравнения равновесия упрощают в результате число этих уравнений сокращается до одного которое обычно содержит простые производные взамен частных как в точных уравнениях. Напомним точные дифференциальные уравнения равновесия: Если напряжение на контактной поверхности не зависят от Z то и Если принять линейную зависимость: то в итоге в место двух уравнений получим одно: .

Русский

2013-08-04

171 KB

20 чел.

Тема №3 «Решение дифференциальных уравнений равновесия совместно с условием пластичности»

  1.  Метод решения без использования кинематических уравнений и уравнений связи между напряжениями и скоростями деформаций (деформациями).
  2.  Метод решения с использованием кинематических уравнений и уравнений связи между напряжениями и скоростями деформаций (деформациями).

Метод применяется для решения осесимметричных или плоских задач (плоского деформирования состояния; плоского напряженного состояния)

Основные допущения, приемы и алгоритм метода:

  1.  Задачу приводят к осесимметричной или плоской. При сложной форме деформируемого тела его разбивают на ряд объемов, которые считают пребывающими в осесимметричном или плоском деформированном состоянии.
  2.  Распределение нормальных напряжений определяют только для контактной поверхности при отказе от выявления напряжений внутри тела.
  3.  Дифференциальные уравнения равновесия упрощают, в результате число этих уравнений сокращается до одного, которое обычно содержит простые производные взамен частных, как в точных уравнениях.
  4.  Условия пластичности используют также приближенные.

Напомним точные дифференциальные уравнения равновесия:

Если напряжение на контактной поверхности не зависят от Z то

и

Если принять линейную зависимость:, то в итоге в место двух уравнений получим одно:

.                                                                (2)

Уравнение (2) есть приближенное уравнение равновесия, полученное путем применения упрощающих допущений.

Условия пластичности:

при плоской деформации- .

Приближенное условие:

=>

    или

=>

=>

Плоское деформированное состояние

=>

Уравнение (2) с учетом условия пластичности преобразуется к виду:

.                                                           (3)

Для решения последнего уравнения относительного ,  считают удовлетворяющим определенной зависимости.

Трение при пластическом формоизменении – есть процесс сложного взаимодействия упругодеформированного инструмента и упруго-пластически деформированного металлического тела.

Это взаимодействие может быть непосредственным или опосредованным третьими веществами, например смазками. При решении задач, трение, как взаимодействие тел выражают элементарными силами .

записывают различным образом:

Закон Амонтона-Кулона

, где σ – нормальное контактное напряжение, μн коэффициент трения

                      , где τs – напряжение течения металла при сдвиге

Закон Зибеля

            

В работах Гуляева Ю.Р., Друяна В.М.

, где

где  – скорость деформации сдвига в плоскости параллельной касательной к элементу поверхности, Н – интенсивность скорости деформации сдвига.

Формула Леванова

– коэффициент трения см. в книге:

Леванов А.Н., Колмогоров А.Л., Буркин С.П. и др.   Контактное трение в процессах ОМД;  Металлургия 1976, 416 с.

2.  Допущения метода решения приближенных уравнений равновесия, состояния пластичности, кинематических и связи между напряжениями и скоростями (деформаций).

см. книга А.Г. Овчинников

Основы теории штамповки выдавливанием на прессах М. Машиностроение 1983, 200 с., с ил.

  1.  Напряженно-деформированное состояние заготовки или ее частей представляется плоским или осесимметричным.
  2.  Очаг пластической деформации представляется в виде отдельных областей, так чтобы в каждой из них можно было применить гипотезу плоских сечений.

Благодаря этому упрощению одну из скоростей течения (пояснить) удается выразить в функции одной координаты (если скорость- функция двух и более координат, то решение получается громоздким и трудоемким).

Для определения другой составляющей скорости используют условие несжимаемости металла.

  1.  В каждой области определяют среднее значение интенсивности скоростей деформаций (деформаций при холодной), которое считается постоянным для области в процессе решения.

Напряжение течения выбирают по среднему значению интенсивности скоростей деформаций (интенсивности деформации при холодной).

  1.  На границах областей допускаются разрывы  скоростей сдвига, нормальных скоростей, при соблюдении условия постоянства расхода (отсутствие разрыва скоростей в интегральной форме).
  2.  Касательные напряжения  на контактных поверхностях заготовки и инструмента принимают в форме какого-либо закона.
  3.  Дифференциальные уравнения  интегрируют с использованием приближенных методов.
  4.  Размеры очага деформации в заготовке определяют с использованием приближенных методов на основе минимизации мощности или работы пластической деформации.

Условие несжимаемости для осесимметричного НДС:

или , или ;

или ;

для плоского НДС:

или ;

или .

Условия несжимаемости следуют из гипотезы постоянства объема при пластическом формоизменении металлической заготовки

где υz, υρ и т.д. функции описывающие составляющие скорости течения частиц  вдоль соответствующих осей координат.

uz, uρ – функции описывающие составляющие перемещения частиц вдоль соответствующих осей.

Пример:

Пусть

при  где

при

где a– коэффициент определяется граничными условиями и экспериментально.

Рис.1 Схема продольной осадки цилиндра:

1 – зона затрудненной деформации; υд – скорость деформирования.

Выбранное выражение для υz удовлетворяет граничным условиям. При z=0, υz=0, при , .

После подстановки (1) в условие несжимаемости и его интегрирования с граничным условием ρ=0 υд=0 получим:

.                                               (2)

(1) и (2) вместе так называемое кинематически возможное поле скоростей течения. Оно удовлетворяет условию несжимаемости и граничным условиям.

Функции υz и υρ – называются подходящими функциями.

Уравнения связи:

и т.д.

Кинематические уравнения:

; ;

  1.  

 

и т.д.

Алгоритм применения метода.

  1.  Формулировка и определение кинематически возможного поля скоростей для области тела
  2.  Определение по кинематическим уравнениям функций: , ,  или , ,  и т.д. и среднего значения для каждой области интенсивности  скоростей деформаций ( или ).
  3.  Выбор        по диаграмме деформирования.
  4.   Запись уравнений связи.
  5.  Запись и решение дифференциальных уравнений равновесия. Последние решают относительно .
  6.  Окончательная запись уравнений связи.
  7.  Расчет напряжений для отдельных частиц и построение эпюр нормальных контактных напряжений.
  8.  Расчет силы деформирования
  9.  Расчет полей напряжений , , ,  и т.д.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80499. Ринкове господарство країн Європейської цивілізації в період монополістичної конкуренції (друга половина XIX - початок ХХ ст.) 128 KB
  Основним його змістом були структурні зрушення в національних господарствах окремих країн внаслідок яких зявились нові й модернізувалися старі галузі виробництва змінювалась їхня роль в економіці. Почалася електрифікація виробництва транспорту побуту. Зростання продуктивних сил виникнення нових капіталомістких технологій вимагали значного укрупнення виробництва і великих капіталовкладень. Посилився процес концентрації виробництва і централізації капіталу.
80500. Предмет і методи історії економіки та економічної думки 57.5 KB
  Предмет і методи історії економіки та економічної думки 1. Предмет історії економіки та економічної думки. Періодизація історії економіки та економічної думки. Предмет історії економіки та економічної думки Економічне життя суспільства є надзвичайно багатогранним.
80501. Господарство первісного суспільства та його еволюція на етапі ранніх цивілізацій 74 KB
  Кожному із цих етапів світової історії були притаманні певні риси особливості здобутки матеріальної культури заняття та знаряддя праці. Для нього були характерними примітивні знаряддя праці збиральництво мисливство рибальство як основні види господарювання що свідчило про привласнювальний характер цієї епохи. У мезоліті середньому кам\'яному віці вдосконалювалися знаряддя праці первісних людей. Визначальними рисами міднобронзового віку були існування відтворюючого господарства швидкий розвиток орного землеробства тваринництва...
80502. Особливості господарського розвитку та економічної думки періоду формування світових цивілізацій (VІІІ ст. до н.е. – V ст. н.е.) 57 KB
  Особливості господарського розвитку та економічної думки періоду формування світових цивілізацій VІІІ ст. Це виявилося в економічному розвитку Греції і Риму. прогрес у землеробстві привів до відокремлення ремесла від сільського господарства й розвитку торгівлі між окремими районами Греції. Господарство Спарти було відсталим грошовий обмін не набув розвитку.
80503. Розроблення інвестиційної стратегії підприємства 199 KB
  Поняття інвестиційної стратегії її звязок із загальною стратегією економічного розвитку підприємства порядок розроблення. Принципи і послідовність розробки інвестиційної стратегії підприємств. Основні підходи до обґрунтування стратегічних цілей напрямів та форм інвестиційної діяльності.
80504. Управління фінансовими інвестиціями підприємства 140.5 KB
  Учасники ринку цінних паперів та їх функції. Ринок цінних паперів. Порядок формування портфеля цінних паперів. Боргові цінні папери формують кредитнопозикові відносини власника та емітента цінних паперів і характеризуються чіткою прогнозованістю інвестиційного доходу розмір якого можна визначити в будьякий момент їх обертання.
80505. Управління інноваційними інвестиціями підприємства 181 KB
  Управління інноваційними інвестиціями підприємства План лекції: Економічна сутність інновацій та інноваційного процесу Інструменти державної підтримки інноваційної діяльності в Україні. Економічна сутність інновацій та інноваційного процесу Основною формою реальних інвестицій є інноваційні інвестиції які реалізуються в процесі інноваційної діяльності підприємства.
80506. СУТНІСТЬ, МЕТА ТА ФУНКЦІЇ ІНВЕСТИЦІЙНОГО МЕНЕДЖМЕНТУ В УМОВАХ РИНКУ 249 KB
  Економічна сутність інвестицій та інвестиційної діяльності підприємств Поняття інвестиція виступає первинною категорією яка є базою побудови ієрархії решти категорій що відображають відтворення основного та оборотного капіталів. В різних розділах науки і різних галузях практичної діяльності зміст поняття інвестиції має свої особливості а саме: в макроекономіці інвестиції є частиною сукупних витрат що складаються з витрат на нові засоби виробництва інвестицій в житло і приросту товарних запасів. Категорія інвестиції входить...
80507. УПРАВЛІННЯ РЕАЛЬНИМИ ІНВЕСТИЦІЯМИ ПІДПРИЄМСТВА 99 KB
  На більшості підприємств реальне інвестування є основною формою інвестиційної діяльності. Реальне інвестування має ряд особливостей які обумовлені економічною потребою їх здійснення а саме: Процес стратегічного розвитку підприємства є сукупністю реалізованих інвестиційних проектів які повязані з успішним проникненням на товарні і регіональні ринки збільшенням операційних активів і зростання ефективності їх використання підвищенням ринкової вартості підприємств; Тісний звязок з операційною діяльністю через необхідність забезпечення...