22347

Непрерывность функций комплексной переменной

Лекция

Математика и математический анализ

Если то функция называется непрерывной в точке . Иными словами: непрерывна в точке если для любого сколь угодно малого существует положительное число такое что 2 для всех удовлетворяющих неравенству 3 короче . Геометрически это означает что для всех точек лежащих внутри круга с центром в точке достаточно малого радиуса соответствующие значения функции изображаются точками лежащими внутри круга с центром в точке сколь...

Русский

2013-08-04

468 KB

8 чел.

Лекция № 4

Непрерывность функций комплексной переменной.

Дифференцируемость и аналитичность.

1. Пусть дана однозначная функция  комплексной переменной, определённая в области .

Определение. Функция  стремится к пределу , когда  если для любого произвольно малого  существует такое , что для всех  , удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство .

Это записывают так:

                                                  (1)

2. Если , то функция  называется непрерывной в точке .

Иными словами:  непрерывна в точке , если для любого сколь угодно малого  существует положительное число , такое, что

                                             (2)

для всех , удовлетворяющих неравенству

,                                                   (3)

короче

.                                                (1а)

3. Геометрически это означает, что для всех точек , лежащих внутри круга  с центром в точке  достаточно малого радиуса , соответствующие значения функции  изображаются точками, лежащими внутри круга  с центром в точке  сколь угодно малого радиуса . Поэтому функция  называется непрерывной в точке , если для всех точек достаточно малой окрестности точки  соответствующие значения функции лежат в произвольно малой окрестности точки .

4. Отметим, что согласно определению функция  стремится к своему пределу независимо от способа приближения точки  к .

5. Очевидно, что для непрерывности  в точке  необходимо и достаточно, чтобы функции  и  были непрерывны в точке .

6. Функция, непрерывная в каждой точке области , называется непрерывной в этой области.

Например,  непрерывна в любой точке  плоскости. Действительно, полагая , имеем

,

т.е.

,

где , .

В -окрестности точки  имеем , поэтому .

Теперь ясно, что  можно выбрать столь малым, чтобы .

7. Т.к. определение непрерывности функции комплексной переменной формально аналогично соответствующему определению для функций действительной переменной, то остаются в силе теоремы вида:

 сумма, разность и произведение двух функций  и , непрерывных в точке  (в области ), есть функция, непрерывная в той же точке (в той же области); частное таких функций есть функция, непрерывная в точке  (в области ), если (если  в ).

 Таким образом, например, целая рациональная функция  непрерывна во всей плоскости ; рациональная функция  непрерывна всюду, кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль.

8. Пусть функция  определена на множестве  и  является предельной точкой этого множества. Предел  при  по множеству  определяется так же, как и выше, но к неравенству  нужно добавить условие, что .

Функция  называется непрерывной на множестве , если в любой предельной точке  предел по множеству

                                                 (4)

Лемма Гейне-Бореля. Если каждая точка  замкнутой и ограниченной области  есть центр круга Kz (т.е. область  покрыта бесконечной системой кругов), то существует конечное число этих кругов, покрывающих область, т.е. таких, что всякая точка области  лежит внутри, по крайней мере, одного из этих кругов. 

Доказательство. Заключим область  внутрь квадрата  со сторонами, параллельными осям координат, и разделим его на четыре конгруэнтных квадрата. Предполагая утверждение неверным для области, мы должны допустить, что оно неверно для множества точек области, лежащих хотя бы в одном из этих четырёх квадратов. Обозначим такой квадрат  и разделим его снова на четыре конгруэнтных квадрата; получим квадрат . Продолжая такое разделение дальше, мы получим последовательность вложенных квадратов , каждый из которых содержит часть области, для которой наше утверждение неверно, т.е. для которой необходимо покрытие бесконечно многими кругами .

Пусть  - точка, принадлежащая всем квадратам  (см. теорему Больцано-Вейерштрасса). Если  достаточно велико, то в произвольной окрестности точки  лежат квадраты  и, следовательно, точки области . Таким образом, точка  сама принадлежит области  и является, следовательно, центром круга . Обозначим радиус этого круга через . Выбирая  столь большим, чтобы диагональ квадрата  была меньше , мы видим, что все точки области , принадлежащие такому , покрываются с помощью одного круга , в то время как, по предположению, для покрытия этих точек необходимо бесконечное множество кругов системы .

Полученное противоречие доказывает справедливость леммы.

Замечание. Лемма, очевидно, остаётся верной, если вместо области  взять непрерывную кривую, либо вообще любое ограниченное замкнутое множество точек плоскости.

Теорема 1 (о равномерной непрерывности). Пусть функция  непрерывна в замкнутой ограниченной области , тогда каково бы ни было малое число , существует число  такое, что для любых двух точек , расстояние между которыми , разность соответствующих значений функций удовлетворяет неравенству

.

 Иными словами: всякая функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области  (т.е. непрерывная во всех точках области ), равномерно непрерывна в .

Доказательство. Рассмотрим для любой точки  круг с центром в  радиуса такой, что для любых двух точек , , лежащих внутри этого круга имеет место неравенство ; это следует непосредственно из непрерывности функции  в каждой точке  области :

Поставим теперь в соответствие каждой точке  области  круг с центром в этой точке и радиусом . На основании леммы Гейне-Бореля существует конечная подсистема таких кругов, покрывающая область . Пусть радиус наименьшего из этих кругов равен . Тогда это число  и удовлетворяет условиям теоремы. В самом деле, если  и точка  лежит внутри круга радиуса  с центром в некоторой точке , то  и, следовательно, точки  и  лежат внутри круга с центром в точке  радиуса  (); отсюда следует: . Ч.т.д.

9. Для функций, непрерывных на замкнутых ограниченных множествах остаются справедливыми обычные свойства функций, непрерывных на замкнутых интервалах. Именно, каждая функция , непрерывная на замкнутом ограниченном множестве :

1) ограничена на нём, т.е. существует такая постоянная , что для всех  из

;

2) достигает своего наибольшего и своего наименьшего по модулю значений, т.е. в  существуют такие точки  и , что для всех  из

, ;

3) равномерно непрерывна, т.е. для производного  найдётся число , зависящее лишь от , такое, что для любой пары точек  и  из , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство

(см. теорему 1).

10. Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что функция  дифференцируема в точке , если существует предел

.                                          (5)

Этот предел называется производной функции  в точке .

Имеет место следующая

Теорема 2. Пусть функция  определена в некото-рой окрестности точки,  причём в этой точке функции  и  дифференцируемы. Тогда для дифференцируемости функции комплексной переменной  в точке  необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место соотношения

;                                                 (6)

(условия Коши-Римана).

Необходимость. Пусть существует

.

Т.к. предел не зависит от способа приближения к точке , то пусть сначала точка  по прямой, параллельной действительной оси, т.е. , . Тогда:

.         (7)

Пусть теперь  параллельно мнимой оси, т.е. , , . В этом случае

.      (8)

Сравнивая выражения (7) и (8) для , получим

,

откуда и вытекают соотношение (6).

 Достаточность. По определению дифференциала функции двух действительных переменных имеют место равенства:

,

,                               (9)

где ,  вместе с . Тогда:

.

С использованием (6) получим

,          (10)

где  - вполне определённое число, не зависящее от , а  вместе с .

Поделив (10) на , мы видим, что:

.

Ч.т.д.

С учётом условий Коши-Римана, производную функции  можно представить в следующих эквивалентных формах:

;                    (11)

Т.к. обычные свойства алгебраических действий и предельного перехода сохраняются при переходе к функциям комплексной переменной, то сохраняются и обычные правила дифференцирования:

; ; ;

; .                         (12)

В последней формуле  и  - взаимно обратные функции, причём предполагается, что они осуществляют однолистные отображения окрестностей точек  и  соответственно.

11. Функция , дифференцируемая в каждой точке некоторой области , называется аналитической (регулярной, голоморфной) в этой области. Это определение аналитической функции предполагает её однозначность в области .

 

         Существование производной у функции комплексной переменной  эквивалентно её дифференцируемости в некотором специальном смысле (в смысле комплексного анализа).

 Определение 1. Функция  дифференцируема в точке  в смысле действительного анализа (в смысле ), если функции  и дифференцируемы как функции  в точке ; дифференциалом в точке  называется выражение:

.                                                    (13)

Иначе,

,                                               (14)

где

,  -

производные от комплексной функции по действительным переменным.

Рассмотрим переменные

, .

Их дифференциалами будут , . Отсюда имеем

,                                    (15)

Подставляя (15) в (14), получим

,                                               (16)

где введены обозначения

.                      (17)

Представление дифференциала  в виде (16) единственно:

если , то , .

В самом деле, подставляя , , получим, что . Отсюда, сравнивая с (14), найдём, что ,

. Решая эту систему, получим:

, .

Определение 2. Функция называется дифференцируемой в точке  в смысле комплексного анализа (в смысле ), если она дифференцируема в  в смысле  и её дифференциал пропорционален , т.е. в точке

                                                        (18)

Из (17) следует, что это условие эквивалентно условиям Коши-Римана:

, ,

что доказывает утверждение.

            

 В противном случае существовала бы последовательность точек , на которой значения  неограниченно возрастают. Эта последовательность должна иметь предельную точку . Но тогда в любой окрестности точки  имелись бы точки последовательности , для которых  (и даже сколь угодно велика), т.е.  была бы в точке  разрывной.

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82251. Объективное и субъективное время. Социальное и культурно-историческое время 32.58 KB
  Социальное и культурноисторическое время. В наст вр отмечает Микешина происходит концептуальная революция наука вновь открывает для себя время. В текстах проявляются и формируются и проявляются представления о времени социсторическое время.
82252. Переосмысление категорий пространства и времени в гуманитарном контексте (М.М. Бахтин). Введение понятия хронотопа как конкретного единства пространственно-временных характеристик 32.05 KB
  Бахтин. В гуманитарном познании Бахтина П и В проявляются как совершенно новая идея. Зная идеи о П и В Канта и Бергсона Бахтин находит свое видение этих категорий значимое для современного понимания природы темпоральности и пространственности в познании. Бахтин соединяет действующее сознание и все мыслимые пространственные и временные отношения в единый центр архетектоническое целое.
82253. Коммуникативность (общение учёных) как условие создания нового социально-гуманитарного знания и выражение социально –культурной природы научного познания 34.79 KB
  Нормальная фаза. Эта фаза в истории специальности конструируется ретроспективно только в тех случаях когда новая специальность сформировалась. Нормальная фаза часто завершается опубликованием манифеста в котором содержатся в общих чертах программа разработки проблематики и оценки ее перспективности. Фаза формированиям развития сети характеризуется интеллектуальными и организационными сдвигами приводящими к объединению исследователей в единой системе коммуникаций.
82254. Научные конвенции как необходимость и следствие коммуникативной природы познания 308.25 KB
  Проблемы общения в науке Интерес к структуре формальным моделям диалога и их содержательным возможностям возродившийся в семидесятых годах постепенно привел к формированию такого направления логико-методологических исследований которое со временем получает название...
82255. Рождение знания в процессе взаимодействия коммуницирующих индивидов. Распространение и борьба научных идей. Индоктринация 32.16 KB
  Важную роль в развитии социальногуманитарных науках играет коммуникация ученых диалог между ними. Механизмом их преодоления является постоянный диалог ученых представителей разных школ в социальногуманитарных науках. Диалог является важнейшим видом коммуникации и представляет собой попеременный обмен высказываниями репликами между двумя или более ученымигуманитариями. Диалог может представлять собой определенную дискуссию беседу диспут и т.
82256. Рациональное, объективное, истинное в социально-гуманитарных науках 28.02 KB
  Социальное познание является частным видом научного познания подчиняющимся его критериям и законам. Социальное познание неразрывно связано с предметными справедливо несправедливо добро зло субъективными установки взгляды нормы цели ценностями на основе которых осуществляется познание объекта. Таким образом социальное познание объективно так как изучение объекта общества на определенном этапе развития происходит на основе объективных критериев и законов характерных для научного познания в целом. Социальное познание рационально...
82257. Классическая и неклассическая концепция истины. Экзистенциальная истина, истина и правда 39.28 KB
  Стержень классической концепции истины принцип соответствия знания действительности. Исследования показали возможность применения классической концепции истины к любым мыслимым мирам но в этом случае она должна быть уточнена следующим образом. Для классической концепции истины характерны следующие принципы: действительность не зависит от мира знания; между нашими мыслями и действительностью можно установить однозначное соответствие; существует критерий установления соответствия мыслей действительности; сама теория соответствия...
82258. Проблемы истины в свете практичкского применения. Плюрализм и социологическое требование отсутствия монополии на истину 38.38 KB
  Так что же такое истина Имеются разные понимания истины. Вот некоторые из них: Истина это соответствие знаний действительности; Истина это опытная подтверждаемость; Истина это свойство самосогласованности знаний; Истина это полезность знания его эффективность; Истина это соглашение. Первое положение согласно которому истина есть соответствие мыслей действительности является главным в классической концепции истины.
82259. Объяснение и понимание как следствие коммуникативности науки. Природа и типы объяснений. Объяснение как функция теории и её результат 37.73 KB
  Понимание нельзя смешивать с тем что называют озарением инсайтом интуицией хотя все это есть в процессе понимания. Наряду с описанием объяснением истолкованием интерпретацией понимание относится к основным процедурам функционирования научного знания. Поэтому понимание не следует отождествлять с познанием понять значит выразить в логике понятий или смешивать с процедурой объяснения хотя они и связаны между собой.