22347

Непрерывность функций комплексной переменной

Лекция

Математика и математический анализ

Если то функция называется непрерывной в точке . Иными словами: непрерывна в точке если для любого сколь угодно малого существует положительное число такое что 2 для всех удовлетворяющих неравенству 3 короче . Геометрически это означает что для всех точек лежащих внутри круга с центром в точке достаточно малого радиуса соответствующие значения функции изображаются точками лежащими внутри круга с центром в точке сколь...

Русский

2013-08-04

468 KB

8 чел.

Лекция № 4

Непрерывность функций комплексной переменной.

Дифференцируемость и аналитичность.

1. Пусть дана однозначная функция  комплексной переменной, определённая в области .

Определение. Функция  стремится к пределу , когда  если для любого произвольно малого  существует такое , что для всех  , удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство .

Это записывают так:

                                                  (1)

2. Если , то функция  называется непрерывной в точке .

Иными словами:  непрерывна в точке , если для любого сколь угодно малого  существует положительное число , такое, что

                                             (2)

для всех , удовлетворяющих неравенству

,                                                   (3)

короче

.                                                (1а)

3. Геометрически это означает, что для всех точек , лежащих внутри круга  с центром в точке  достаточно малого радиуса , соответствующие значения функции  изображаются точками, лежащими внутри круга  с центром в точке  сколь угодно малого радиуса . Поэтому функция  называется непрерывной в точке , если для всех точек достаточно малой окрестности точки  соответствующие значения функции лежат в произвольно малой окрестности точки .

4. Отметим, что согласно определению функция  стремится к своему пределу независимо от способа приближения точки  к .

5. Очевидно, что для непрерывности  в точке  необходимо и достаточно, чтобы функции  и  были непрерывны в точке .

6. Функция, непрерывная в каждой точке области , называется непрерывной в этой области.

Например,  непрерывна в любой точке  плоскости. Действительно, полагая , имеем

,

т.е.

,

где , .

В -окрестности точки  имеем , поэтому .

Теперь ясно, что  можно выбрать столь малым, чтобы .

7. Т.к. определение непрерывности функции комплексной переменной формально аналогично соответствующему определению для функций действительной переменной, то остаются в силе теоремы вида:

 сумма, разность и произведение двух функций  и , непрерывных в точке  (в области ), есть функция, непрерывная в той же точке (в той же области); частное таких функций есть функция, непрерывная в точке  (в области ), если (если  в ).

 Таким образом, например, целая рациональная функция  непрерывна во всей плоскости ; рациональная функция  непрерывна всюду, кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль.

8. Пусть функция  определена на множестве  и  является предельной точкой этого множества. Предел  при  по множеству  определяется так же, как и выше, но к неравенству  нужно добавить условие, что .

Функция  называется непрерывной на множестве , если в любой предельной точке  предел по множеству

                                                 (4)

Лемма Гейне-Бореля. Если каждая точка  замкнутой и ограниченной области  есть центр круга Kz (т.е. область  покрыта бесконечной системой кругов), то существует конечное число этих кругов, покрывающих область, т.е. таких, что всякая точка области  лежит внутри, по крайней мере, одного из этих кругов. 

Доказательство. Заключим область  внутрь квадрата  со сторонами, параллельными осям координат, и разделим его на четыре конгруэнтных квадрата. Предполагая утверждение неверным для области, мы должны допустить, что оно неверно для множества точек области, лежащих хотя бы в одном из этих четырёх квадратов. Обозначим такой квадрат  и разделим его снова на четыре конгруэнтных квадрата; получим квадрат . Продолжая такое разделение дальше, мы получим последовательность вложенных квадратов , каждый из которых содержит часть области, для которой наше утверждение неверно, т.е. для которой необходимо покрытие бесконечно многими кругами .

Пусть  - точка, принадлежащая всем квадратам  (см. теорему Больцано-Вейерштрасса). Если  достаточно велико, то в произвольной окрестности точки  лежат квадраты  и, следовательно, точки области . Таким образом, точка  сама принадлежит области  и является, следовательно, центром круга . Обозначим радиус этого круга через . Выбирая  столь большим, чтобы диагональ квадрата  была меньше , мы видим, что все точки области , принадлежащие такому , покрываются с помощью одного круга , в то время как, по предположению, для покрытия этих точек необходимо бесконечное множество кругов системы .

Полученное противоречие доказывает справедливость леммы.

Замечание. Лемма, очевидно, остаётся верной, если вместо области  взять непрерывную кривую, либо вообще любое ограниченное замкнутое множество точек плоскости.

Теорема 1 (о равномерной непрерывности). Пусть функция  непрерывна в замкнутой ограниченной области , тогда каково бы ни было малое число , существует число  такое, что для любых двух точек , расстояние между которыми , разность соответствующих значений функций удовлетворяет неравенству

.

 Иными словами: всякая функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области  (т.е. непрерывная во всех точках области ), равномерно непрерывна в .

Доказательство. Рассмотрим для любой точки  круг с центром в  радиуса такой, что для любых двух точек , , лежащих внутри этого круга имеет место неравенство ; это следует непосредственно из непрерывности функции  в каждой точке  области :

Поставим теперь в соответствие каждой точке  области  круг с центром в этой точке и радиусом . На основании леммы Гейне-Бореля существует конечная подсистема таких кругов, покрывающая область . Пусть радиус наименьшего из этих кругов равен . Тогда это число  и удовлетворяет условиям теоремы. В самом деле, если  и точка  лежит внутри круга радиуса  с центром в некоторой точке , то  и, следовательно, точки  и  лежат внутри круга с центром в точке  радиуса  (); отсюда следует: . Ч.т.д.

9. Для функций, непрерывных на замкнутых ограниченных множествах остаются справедливыми обычные свойства функций, непрерывных на замкнутых интервалах. Именно, каждая функция , непрерывная на замкнутом ограниченном множестве :

1) ограничена на нём, т.е. существует такая постоянная , что для всех  из

;

2) достигает своего наибольшего и своего наименьшего по модулю значений, т.е. в  существуют такие точки  и , что для всех  из

, ;

3) равномерно непрерывна, т.е. для производного  найдётся число , зависящее лишь от , такое, что для любой пары точек  и  из , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство

(см. теорему 1).

10. Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что функция  дифференцируема в точке , если существует предел

.                                          (5)

Этот предел называется производной функции  в точке .

Имеет место следующая

Теорема 2. Пусть функция  определена в некото-рой окрестности точки,  причём в этой точке функции  и  дифференцируемы. Тогда для дифференцируемости функции комплексной переменной  в точке  необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место соотношения

;                                                 (6)

(условия Коши-Римана).

Необходимость. Пусть существует

.

Т.к. предел не зависит от способа приближения к точке , то пусть сначала точка  по прямой, параллельной действительной оси, т.е. , . Тогда:

.         (7)

Пусть теперь  параллельно мнимой оси, т.е. , , . В этом случае

.      (8)

Сравнивая выражения (7) и (8) для , получим

,

откуда и вытекают соотношение (6).

 Достаточность. По определению дифференциала функции двух действительных переменных имеют место равенства:

,

,                               (9)

где ,  вместе с . Тогда:

.

С использованием (6) получим

,          (10)

где  - вполне определённое число, не зависящее от , а  вместе с .

Поделив (10) на , мы видим, что:

.

Ч.т.д.

С учётом условий Коши-Римана, производную функции  можно представить в следующих эквивалентных формах:

;                    (11)

Т.к. обычные свойства алгебраических действий и предельного перехода сохраняются при переходе к функциям комплексной переменной, то сохраняются и обычные правила дифференцирования:

; ; ;

; .                         (12)

В последней формуле  и  - взаимно обратные функции, причём предполагается, что они осуществляют однолистные отображения окрестностей точек  и  соответственно.

11. Функция , дифференцируемая в каждой точке некоторой области , называется аналитической (регулярной, голоморфной) в этой области. Это определение аналитической функции предполагает её однозначность в области .

 

         Существование производной у функции комплексной переменной  эквивалентно её дифференцируемости в некотором специальном смысле (в смысле комплексного анализа).

 Определение 1. Функция  дифференцируема в точке  в смысле действительного анализа (в смысле ), если функции  и дифференцируемы как функции  в точке ; дифференциалом в точке  называется выражение:

.                                                    (13)

Иначе,

,                                               (14)

где

,  -

производные от комплексной функции по действительным переменным.

Рассмотрим переменные

, .

Их дифференциалами будут , . Отсюда имеем

,                                    (15)

Подставляя (15) в (14), получим

,                                               (16)

где введены обозначения

.                      (17)

Представление дифференциала  в виде (16) единственно:

если , то , .

В самом деле, подставляя , , получим, что . Отсюда, сравнивая с (14), найдём, что ,

. Решая эту систему, получим:

, .

Определение 2. Функция называется дифференцируемой в точке  в смысле комплексного анализа (в смысле ), если она дифференцируема в  в смысле  и её дифференциал пропорционален , т.е. в точке

                                                        (18)

Из (17) следует, что это условие эквивалентно условиям Коши-Римана:

, ,

что доказывает утверждение.

            

 В противном случае существовала бы последовательность точек , на которой значения  неограниченно возрастают. Эта последовательность должна иметь предельную точку . Но тогда в любой окрестности точки  имелись бы точки последовательности , для которых  (и даже сколь угодно велика), т.е.  была бы в точке  разрывной.

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28632. Структурный тип - Строка 37 KB
  m] of char; где: m максимальная длина строки число диапазона 0 . Строки длины до 255 соответствуют типу string без указания длины строки. Нулевая позиция строки является специальной позицией в которой хранится текущая длина строки код ASCII представляющий длину строки. Доступ к компоненту строки символу строки осуществляется также как к элементу массива т.
28633. Структурный тип - Множество 45.5 KB
  Понятие о типе Множество в Турбо Паскале. Описание типа Множество и константымножества . Понятие о типе Множество в Турбо Паскале.
28634. Структурный тип - Запись 49.5 KB
  Запись как объединение неоднородных данных. Запись как объединение неоднородных данных. Объединение таких данных общий структурный типанкета затруднительно сделать в рамках массива или множества. Этот структурный тип специально введен для объединения любого конечного числа неоднородных данных.
28635. Структурный тип - Файл 48 KB
  Концепция файла в Паскале. Стандартные процедуры и функции работы с файлами. Особенности работы с типизированными файлами. Концепция файла в Паскале.
28636. Динамическая память и указатели 54 KB
  Все рассмотренные ранее типы данных (кроме типа file) представляли статические структуры. Память выделялась под переменные этих типов до выполнения программы, а размер выделяемой памяти определялся по описаниям соответствующих переменных (например, для переменной типа byte выделялся 1 байт оперативной памяти). Такая память является статической, поскольку её размер не может изменяться при выполнении программы.
28637. Базисные конструкции языка 89.5 KB
  Структура программы. Для этого в структуре программы предусмотрен раздел описаний. Необходимо научиться читать программы понимая смысл написанного а затем и писать собственные пусть вначале и несложные программы. научиться читать программы .
28638. Простые операторы и программы с линейной структурой 61.5 KB
  Простые операторы ввода и вывода. Простые операторы ввода и вывода. Эти операторы Турбо Паскаля обеспечивают простейшие формы ввода с клавиатуры и вывода на экран дисплея в текстовом режиме. К простым операторам ввода и вывода относятся операторы read readln write writeln реализующие так называемый потоковый вводвывод при котором ввод и вывод рассматриваются как непрерывный поток символов и строк протекающий через экран дисплея.
28639. Процедуры и функции в Турбо Паскале 90 KB
  Концепция подпрограммы в Турбо Паскале. Концепция подпрограммы в Турбо Паскале. Понятие подпрограммы одно из фундаментальных понятий в программировании возникшее фактически вместе с понятием программы. Одна подпрограмма может включать в себя другие подпрограммы и т.
28640. Модули и их использование 83.5 KB
  Рассмотренный ранее механизм подпрограмм (процедур и функций) действует только внутри одной программы. Поэтому такие процедуры и функции называются внутренними подпрограммами. Ограниченность применения внутренних подпрограмм очевидна