22347

Непрерывность функций комплексной переменной

Лекция

Математика и математический анализ

Если то функция называется непрерывной в точке . Иными словами: непрерывна в точке если для любого сколь угодно малого существует положительное число такое что 2 для всех удовлетворяющих неравенству 3 короче . Геометрически это означает что для всех точек лежащих внутри круга с центром в точке достаточно малого радиуса соответствующие значения функции изображаются точками лежащими внутри круга с центром в точке сколь...

Русский

2013-08-04

468 KB

8 чел.

Лекция № 4

Непрерывность функций комплексной переменной.

Дифференцируемость и аналитичность.

1. Пусть дана однозначная функция  комплексной переменной, определённая в области .

Определение. Функция  стремится к пределу , когда  если для любого произвольно малого  существует такое , что для всех  , удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство .

Это записывают так:

                                                  (1)

2. Если , то функция  называется непрерывной в точке .

Иными словами:  непрерывна в точке , если для любого сколь угодно малого  существует положительное число , такое, что

                                             (2)

для всех , удовлетворяющих неравенству

,                                                   (3)

короче

.                                                (1а)

3. Геометрически это означает, что для всех точек , лежащих внутри круга  с центром в точке  достаточно малого радиуса , соответствующие значения функции  изображаются точками, лежащими внутри круга  с центром в точке  сколь угодно малого радиуса . Поэтому функция  называется непрерывной в точке , если для всех точек достаточно малой окрестности точки  соответствующие значения функции лежат в произвольно малой окрестности точки .

4. Отметим, что согласно определению функция  стремится к своему пределу независимо от способа приближения точки  к .

5. Очевидно, что для непрерывности  в точке  необходимо и достаточно, чтобы функции  и  были непрерывны в точке .

6. Функция, непрерывная в каждой точке области , называется непрерывной в этой области.

Например,  непрерывна в любой точке  плоскости. Действительно, полагая , имеем

,

т.е.

,

где , .

В -окрестности точки  имеем , поэтому .

Теперь ясно, что  можно выбрать столь малым, чтобы .

7. Т.к. определение непрерывности функции комплексной переменной формально аналогично соответствующему определению для функций действительной переменной, то остаются в силе теоремы вида:

 сумма, разность и произведение двух функций  и , непрерывных в точке  (в области ), есть функция, непрерывная в той же точке (в той же области); частное таких функций есть функция, непрерывная в точке  (в области ), если (если  в ).

 Таким образом, например, целая рациональная функция  непрерывна во всей плоскости ; рациональная функция  непрерывна всюду, кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль.

8. Пусть функция  определена на множестве  и  является предельной точкой этого множества. Предел  при  по множеству  определяется так же, как и выше, но к неравенству  нужно добавить условие, что .

Функция  называется непрерывной на множестве , если в любой предельной точке  предел по множеству

                                                 (4)

Лемма Гейне-Бореля. Если каждая точка  замкнутой и ограниченной области  есть центр круга Kz (т.е. область  покрыта бесконечной системой кругов), то существует конечное число этих кругов, покрывающих область, т.е. таких, что всякая точка области  лежит внутри, по крайней мере, одного из этих кругов. 

Доказательство. Заключим область  внутрь квадрата  со сторонами, параллельными осям координат, и разделим его на четыре конгруэнтных квадрата. Предполагая утверждение неверным для области, мы должны допустить, что оно неверно для множества точек области, лежащих хотя бы в одном из этих четырёх квадратов. Обозначим такой квадрат  и разделим его снова на четыре конгруэнтных квадрата; получим квадрат . Продолжая такое разделение дальше, мы получим последовательность вложенных квадратов , каждый из которых содержит часть области, для которой наше утверждение неверно, т.е. для которой необходимо покрытие бесконечно многими кругами .

Пусть  - точка, принадлежащая всем квадратам  (см. теорему Больцано-Вейерштрасса). Если  достаточно велико, то в произвольной окрестности точки  лежат квадраты  и, следовательно, точки области . Таким образом, точка  сама принадлежит области  и является, следовательно, центром круга . Обозначим радиус этого круга через . Выбирая  столь большим, чтобы диагональ квадрата  была меньше , мы видим, что все точки области , принадлежащие такому , покрываются с помощью одного круга , в то время как, по предположению, для покрытия этих точек необходимо бесконечное множество кругов системы .

Полученное противоречие доказывает справедливость леммы.

Замечание. Лемма, очевидно, остаётся верной, если вместо области  взять непрерывную кривую, либо вообще любое ограниченное замкнутое множество точек плоскости.

Теорема 1 (о равномерной непрерывности). Пусть функция  непрерывна в замкнутой ограниченной области , тогда каково бы ни было малое число , существует число  такое, что для любых двух точек , расстояние между которыми , разность соответствующих значений функций удовлетворяет неравенству

.

 Иными словами: всякая функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области  (т.е. непрерывная во всех точках области ), равномерно непрерывна в .

Доказательство. Рассмотрим для любой точки  круг с центром в  радиуса такой, что для любых двух точек , , лежащих внутри этого круга имеет место неравенство ; это следует непосредственно из непрерывности функции  в каждой точке  области :

Поставим теперь в соответствие каждой точке  области  круг с центром в этой точке и радиусом . На основании леммы Гейне-Бореля существует конечная подсистема таких кругов, покрывающая область . Пусть радиус наименьшего из этих кругов равен . Тогда это число  и удовлетворяет условиям теоремы. В самом деле, если  и точка  лежит внутри круга радиуса  с центром в некоторой точке , то  и, следовательно, точки  и  лежат внутри круга с центром в точке  радиуса  (); отсюда следует: . Ч.т.д.

9. Для функций, непрерывных на замкнутых ограниченных множествах остаются справедливыми обычные свойства функций, непрерывных на замкнутых интервалах. Именно, каждая функция , непрерывная на замкнутом ограниченном множестве :

1) ограничена на нём, т.е. существует такая постоянная , что для всех  из

;

2) достигает своего наибольшего и своего наименьшего по модулю значений, т.е. в  существуют такие точки  и , что для всех  из

, ;

3) равномерно непрерывна, т.е. для производного  найдётся число , зависящее лишь от , такое, что для любой пары точек  и  из , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство

(см. теорему 1).

10. Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что функция  дифференцируема в точке , если существует предел

.                                          (5)

Этот предел называется производной функции  в точке .

Имеет место следующая

Теорема 2. Пусть функция  определена в некото-рой окрестности точки,  причём в этой точке функции  и  дифференцируемы. Тогда для дифференцируемости функции комплексной переменной  в точке  необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место соотношения

;                                                 (6)

(условия Коши-Римана).

Необходимость. Пусть существует

.

Т.к. предел не зависит от способа приближения к точке , то пусть сначала точка  по прямой, параллельной действительной оси, т.е. , . Тогда:

.         (7)

Пусть теперь  параллельно мнимой оси, т.е. , , . В этом случае

.      (8)

Сравнивая выражения (7) и (8) для , получим

,

откуда и вытекают соотношение (6).

 Достаточность. По определению дифференциала функции двух действительных переменных имеют место равенства:

,

,                               (9)

где ,  вместе с . Тогда:

.

С использованием (6) получим

,          (10)

где  - вполне определённое число, не зависящее от , а  вместе с .

Поделив (10) на , мы видим, что:

.

Ч.т.д.

С учётом условий Коши-Римана, производную функции  можно представить в следующих эквивалентных формах:

;                    (11)

Т.к. обычные свойства алгебраических действий и предельного перехода сохраняются при переходе к функциям комплексной переменной, то сохраняются и обычные правила дифференцирования:

; ; ;

; .                         (12)

В последней формуле  и  - взаимно обратные функции, причём предполагается, что они осуществляют однолистные отображения окрестностей точек  и  соответственно.

11. Функция , дифференцируемая в каждой точке некоторой области , называется аналитической (регулярной, голоморфной) в этой области. Это определение аналитической функции предполагает её однозначность в области .

 

         Существование производной у функции комплексной переменной  эквивалентно её дифференцируемости в некотором специальном смысле (в смысле комплексного анализа).

 Определение 1. Функция  дифференцируема в точке  в смысле действительного анализа (в смысле ), если функции  и дифференцируемы как функции  в точке ; дифференциалом в точке  называется выражение:

.                                                    (13)

Иначе,

,                                               (14)

где

,  -

производные от комплексной функции по действительным переменным.

Рассмотрим переменные

, .

Их дифференциалами будут , . Отсюда имеем

,                                    (15)

Подставляя (15) в (14), получим

,                                               (16)

где введены обозначения

.                      (17)

Представление дифференциала  в виде (16) единственно:

если , то , .

В самом деле, подставляя , , получим, что . Отсюда, сравнивая с (14), найдём, что ,

. Решая эту систему, получим:

, .

Определение 2. Функция называется дифференцируемой в точке  в смысле комплексного анализа (в смысле ), если она дифференцируема в  в смысле  и её дифференциал пропорционален , т.е. в точке

                                                        (18)

Из (17) следует, что это условие эквивалентно условиям Коши-Римана:

, ,

что доказывает утверждение.

            

 В противном случае существовала бы последовательность точек , на которой значения  неограниченно возрастают. Эта последовательность должна иметь предельную точку . Но тогда в любой окрестности точки  имелись бы точки последовательности , для которых  (и даже сколь угодно велика), т.е.  была бы в точке  разрывной.

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70345. Финансовый менеджмент: содержание и механизм функционирования 160.5 KB
  Целью финансового менеджмента являются выработка и применение методов, средств и инструментов для достижения целей деятельности фирмы в целом или ее отдельных производственно-хозяйственных звеньев – центров прибыли...
70346. МАРШРУТИЗАЦИЯ В ГОРОДСКИХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ НА БАЗЕ МОБИЛЬНЫХ ИНТЕРФЕЙСОВ 2.63 MB
  Цель работы – расширение электронной туристической карты до «электронного туристического гида» для мобильных устройств на платформе Android. В процессе работы были проведены теоретические исследования средств информационной визуализации для мобильных приложений, изучены возможности практического применения GPS-навигации в информационных системах.
70347. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРОБЛЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ КОММУНИКАТИВНЫХ УМЕНИЙ У ДОШКОЛЬНИКОВ С ТЯЖЕЛЫМИ НАРУШЕНИЯМИ РЕЧИ В УСЛОВИЯХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ИНТЕГРАЦИИ 82 KB
  Проанализированы различные теоретические подходы к определению сущности общения и коммуникации; определены группы наиболее значимых для дошкольников коммуникативных умений; обоснованы исходные теоретические предпосылки констатирующего эксперимента.
70348. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ КОММУНИКАТИВНОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКОГО ВУЗА В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ СОЦИАЛЬНО-ГУМАНИТАРНЫХ ДИСЦИПЛИН 95.5 KB
  Проблема формирования коммуникативной компетентности студентов не является совершенно новой. Представляется целесообразным целостно на междисциплинарном уровне исследовать проблему формирования коммуникативной компетентности студентов посредством выявления дидактического...
70349. СОСТАВ И СОДЕРЖАНИЕ ДОКУМЕНТАЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ КАК ИСТОЧНИКОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ РАЗВИТИЯ СИСТЕМЫ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ В РЕСПУБЛИКЕ БЕЛАРУСЬ 67 KB
  Статья посвящена актуальной проблеме - системному анализу документальной источниковедческой базы материалов учет которых чрезвычайно важен при изучении процесса развития системы высшего образования в нашей стране.
70350. МАРКЕТИНГ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УСЛУГ В ФИЛИАЛЕ РГСУ В Г. МИНСКЕ 144.5 KB
  Базируясь на учете специфики образовательных услуг, анализе внешнего, внутреннего и интерактивного маркетинга, автор исследует сущность образовательных услуг, их качество, предлагает модель маркетинга на рынке образовательных услуг, ориентированную на потенциал, процесс, результат.
70351. МАТРИЦА КОНСТРУИРОВАНИЯ УЧЕБНОГО ДИАЛОГА: ЕДИНСТВО ПРОЦЕССА И РЕЗУЛЬТАТА 79.5 KB
  В статье рассматривается вопрос конструирования учебного диалога с позиций матричного анализа. Данные параметры закладываются в матрицу конструирования учебного диалога как основные факторы по горизонтали и вертикали.
70352. ТВОРЧЕСКОЕ РАЗВИТИЕ СТУДЕНТА В КОНТЕКСТЕ СОВРЕМЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 82.5 KB
  В статье с позиций философского психологического педагогического знания проанализирована сущность творчества; обоснована новизна социальная ценность и оригинальность продукта творчества; структура творческой личности рассмотрена как совокупность творческой направленности творческих...
70353. ОРГАНИЗАЦИЯ СОЗДАНИЯ КРЕАТИВНЫХ ПРОДУКТОВ В ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРАКТИКЕ СТАРШЕКЛАССНИКОВ 64.5 KB
  В статье представлен экспериментально подтвержденный опыт подготовки старшеклассников к созданию креативных продуктов посредством взаимосвязи соответствующих ситуаций и педагогических технологий. Предлагаемый опыт педагогического руководства созданием...