22347

Непрерывность функций комплексной переменной

Лекция

Математика и математический анализ

Если то функция называется непрерывной в точке . Иными словами: непрерывна в точке если для любого сколь угодно малого существует положительное число такое что 2 для всех удовлетворяющих неравенству 3 короче . Геометрически это означает что для всех точек лежащих внутри круга с центром в точке достаточно малого радиуса соответствующие значения функции изображаются точками лежащими внутри круга с центром в точке сколь...

Русский

2013-08-04

468 KB

8 чел.

Лекция № 4

Непрерывность функций комплексной переменной.

Дифференцируемость и аналитичность.

1. Пусть дана однозначная функция  комплексной переменной, определённая в области .

Определение. Функция  стремится к пределу , когда  если для любого произвольно малого  существует такое , что для всех  , удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство .

Это записывают так:

                                                  (1)

2. Если , то функция  называется непрерывной в точке .

Иными словами:  непрерывна в точке , если для любого сколь угодно малого  существует положительное число , такое, что

                                             (2)

для всех , удовлетворяющих неравенству

,                                                   (3)

короче

.                                                (1а)

3. Геометрически это означает, что для всех точек , лежащих внутри круга  с центром в точке  достаточно малого радиуса , соответствующие значения функции  изображаются точками, лежащими внутри круга  с центром в точке  сколь угодно малого радиуса . Поэтому функция  называется непрерывной в точке , если для всех точек достаточно малой окрестности точки  соответствующие значения функции лежат в произвольно малой окрестности точки .

4. Отметим, что согласно определению функция  стремится к своему пределу независимо от способа приближения точки  к .

5. Очевидно, что для непрерывности  в точке  необходимо и достаточно, чтобы функции  и  были непрерывны в точке .

6. Функция, непрерывная в каждой точке области , называется непрерывной в этой области.

Например,  непрерывна в любой точке  плоскости. Действительно, полагая , имеем

,

т.е.

,

где , .

В -окрестности точки  имеем , поэтому .

Теперь ясно, что  можно выбрать столь малым, чтобы .

7. Т.к. определение непрерывности функции комплексной переменной формально аналогично соответствующему определению для функций действительной переменной, то остаются в силе теоремы вида:

 сумма, разность и произведение двух функций  и , непрерывных в точке  (в области ), есть функция, непрерывная в той же точке (в той же области); частное таких функций есть функция, непрерывная в точке  (в области ), если (если  в ).

 Таким образом, например, целая рациональная функция  непрерывна во всей плоскости ; рациональная функция  непрерывна всюду, кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль.

8. Пусть функция  определена на множестве  и  является предельной точкой этого множества. Предел  при  по множеству  определяется так же, как и выше, но к неравенству  нужно добавить условие, что .

Функция  называется непрерывной на множестве , если в любой предельной точке  предел по множеству

                                                 (4)

Лемма Гейне-Бореля. Если каждая точка  замкнутой и ограниченной области  есть центр круга Kz (т.е. область  покрыта бесконечной системой кругов), то существует конечное число этих кругов, покрывающих область, т.е. таких, что всякая точка области  лежит внутри, по крайней мере, одного из этих кругов. 

Доказательство. Заключим область  внутрь квадрата  со сторонами, параллельными осям координат, и разделим его на четыре конгруэнтных квадрата. Предполагая утверждение неверным для области, мы должны допустить, что оно неверно для множества точек области, лежащих хотя бы в одном из этих четырёх квадратов. Обозначим такой квадрат  и разделим его снова на четыре конгруэнтных квадрата; получим квадрат . Продолжая такое разделение дальше, мы получим последовательность вложенных квадратов , каждый из которых содержит часть области, для которой наше утверждение неверно, т.е. для которой необходимо покрытие бесконечно многими кругами .

Пусть  - точка, принадлежащая всем квадратам  (см. теорему Больцано-Вейерштрасса). Если  достаточно велико, то в произвольной окрестности точки  лежат квадраты  и, следовательно, точки области . Таким образом, точка  сама принадлежит области  и является, следовательно, центром круга . Обозначим радиус этого круга через . Выбирая  столь большим, чтобы диагональ квадрата  была меньше , мы видим, что все точки области , принадлежащие такому , покрываются с помощью одного круга , в то время как, по предположению, для покрытия этих точек необходимо бесконечное множество кругов системы .

Полученное противоречие доказывает справедливость леммы.

Замечание. Лемма, очевидно, остаётся верной, если вместо области  взять непрерывную кривую, либо вообще любое ограниченное замкнутое множество точек плоскости.

Теорема 1 (о равномерной непрерывности). Пусть функция  непрерывна в замкнутой ограниченной области , тогда каково бы ни было малое число , существует число  такое, что для любых двух точек , расстояние между которыми , разность соответствующих значений функций удовлетворяет неравенству

.

 Иными словами: всякая функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области  (т.е. непрерывная во всех точках области ), равномерно непрерывна в .

Доказательство. Рассмотрим для любой точки  круг с центром в  радиуса такой, что для любых двух точек , , лежащих внутри этого круга имеет место неравенство ; это следует непосредственно из непрерывности функции  в каждой точке  области :

Поставим теперь в соответствие каждой точке  области  круг с центром в этой точке и радиусом . На основании леммы Гейне-Бореля существует конечная подсистема таких кругов, покрывающая область . Пусть радиус наименьшего из этих кругов равен . Тогда это число  и удовлетворяет условиям теоремы. В самом деле, если  и точка  лежит внутри круга радиуса  с центром в некоторой точке , то  и, следовательно, точки  и  лежат внутри круга с центром в точке  радиуса  (); отсюда следует: . Ч.т.д.

9. Для функций, непрерывных на замкнутых ограниченных множествах остаются справедливыми обычные свойства функций, непрерывных на замкнутых интервалах. Именно, каждая функция , непрерывная на замкнутом ограниченном множестве :

1) ограничена на нём, т.е. существует такая постоянная , что для всех  из

;

2) достигает своего наибольшего и своего наименьшего по модулю значений, т.е. в  существуют такие точки  и , что для всех  из

, ;

3) равномерно непрерывна, т.е. для производного  найдётся число , зависящее лишь от , такое, что для любой пары точек  и  из , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство

(см. теорему 1).

10. Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что функция  дифференцируема в точке , если существует предел

.                                          (5)

Этот предел называется производной функции  в точке .

Имеет место следующая

Теорема 2. Пусть функция  определена в некото-рой окрестности точки,  причём в этой точке функции  и  дифференцируемы. Тогда для дифференцируемости функции комплексной переменной  в точке  необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место соотношения

;                                                 (6)

(условия Коши-Римана).

Необходимость. Пусть существует

.

Т.к. предел не зависит от способа приближения к точке , то пусть сначала точка  по прямой, параллельной действительной оси, т.е. , . Тогда:

.         (7)

Пусть теперь  параллельно мнимой оси, т.е. , , . В этом случае

.      (8)

Сравнивая выражения (7) и (8) для , получим

,

откуда и вытекают соотношение (6).

 Достаточность. По определению дифференциала функции двух действительных переменных имеют место равенства:

,

,                               (9)

где ,  вместе с . Тогда:

.

С использованием (6) получим

,          (10)

где  - вполне определённое число, не зависящее от , а  вместе с .

Поделив (10) на , мы видим, что:

.

Ч.т.д.

С учётом условий Коши-Римана, производную функции  можно представить в следующих эквивалентных формах:

;                    (11)

Т.к. обычные свойства алгебраических действий и предельного перехода сохраняются при переходе к функциям комплексной переменной, то сохраняются и обычные правила дифференцирования:

; ; ;

; .                         (12)

В последней формуле  и  - взаимно обратные функции, причём предполагается, что они осуществляют однолистные отображения окрестностей точек  и  соответственно.

11. Функция , дифференцируемая в каждой точке некоторой области , называется аналитической (регулярной, голоморфной) в этой области. Это определение аналитической функции предполагает её однозначность в области .

 

         Существование производной у функции комплексной переменной  эквивалентно её дифференцируемости в некотором специальном смысле (в смысле комплексного анализа).

 Определение 1. Функция  дифференцируема в точке  в смысле действительного анализа (в смысле ), если функции  и дифференцируемы как функции  в точке ; дифференциалом в точке  называется выражение:

.                                                    (13)

Иначе,

,                                               (14)

где

,  -

производные от комплексной функции по действительным переменным.

Рассмотрим переменные

, .

Их дифференциалами будут , . Отсюда имеем

,                                    (15)

Подставляя (15) в (14), получим

,                                               (16)

где введены обозначения

.                      (17)

Представление дифференциала  в виде (16) единственно:

если , то , .

В самом деле, подставляя , , получим, что . Отсюда, сравнивая с (14), найдём, что ,

. Решая эту систему, получим:

, .

Определение 2. Функция называется дифференцируемой в точке  в смысле комплексного анализа (в смысле ), если она дифференцируема в  в смысле  и её дифференциал пропорционален , т.е. в точке

                                                        (18)

Из (17) следует, что это условие эквивалентно условиям Коши-Римана:

, ,

что доказывает утверждение.

            

 В противном случае существовала бы последовательность точек , на которой значения  неограниченно возрастают. Эта последовательность должна иметь предельную точку . Но тогда в любой окрестности точки  имелись бы точки последовательности , для которых  (и даже сколь угодно велика), т.е.  была бы в точке  разрывной.

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33816. Первый церковный собор 18.11 KB
  Для выработки единого мнения по важнейшим вопросам по инициативе императора Константина был созван 1 церковный собор который должен был заложить основы единой христианской церкви. 1 Собор прошел в г. Постановления собора были приняты не только от имени святых отцов но и от лица императора Константина что закрепило особую роль императора во взаимоотношениях с церковью.
33817. Монофизитство 14.14 KB
  В настоящее время существует шесть нехалкидонских церквей или семь если Армянский Эчмиадзинский и Киликийский католикосаты рассматривать как две дефакто автокефальных церкви. Древние Восточные церкви можно разделить на три группы: 1 Сирояковиты копты и малабарцы Маланкарская церковь Индии. 3 Эфиопы Эфиопская и Эритрейская церкви. Армянская церкви в прошлом отличалась от остальных нехалкидонских церквей даже сам Севир Антиохийский был анафематствован армянами в IV в.
33818. Несторианство 14.18 KB
  В то же время как и в халкидонских церквах различаются действия во Христе одни действия Христа рождение от Марии страдания смерть на кресте несторианство относит к его человечеству другие творение чудес к Божеству. Несторианство особо подчеркивает важность подвигов Христа как человека. Как оппозиционное византийскому христианству направление Несторианство закрепилось в церкви Персидской империи в результате чего эта церковь обособилась от всего остального христианского мира. Усилиями миссионеров Сироперсидской церкви АЦВ в...
33819. Суфии и суфизм 16.21 KB
  В отличие от рационалистовмутазилитов суфии мистики ислама. Суфии от слова суф означающего грубую шерстяную накидку в которую они облачались это своеобразные мусульманские монахи. Подавляя а то и пугая правоверных своим необычным видом и странным поведением суфии особенно нищие дервиши вначале вызывали настороженное к себе отношение подозрение и даже преследование властей. Посвятив себя Аллаху стремясь уйти от мирских дел отказываясь от имущества и от земных привязанностей усмиряя свои чувства и страсти суфии как бы...
33820. Бахаизм 19.62 KB
  Городом в котором сформировалась первая бахаистская община был Багдад сейчас столица Ирака. Бабизм от имени своего основателя Баба став важным идейным источником бахаизма в дальнейшем прекратил своё существование причём именно его последователи и образовали первые общины бахаи. Главная идея бабизма унаследованная бахаизмом состояла в утверждении что Мухаммад был последним пророком Бога не для всей истории человечества а только для определённого исторического этапа что после него новый этап открывают два пророка одним из...
33821. Синтоизм 13.96 KB
  В японской религии синто или синтоизме как называют её европейцы к числу божеств именуемых ками относятся божественные предки японского народа; духи гор рек камней деревьев огня ветра; божествапокровители отдельных местностей и ремёсел; божества олицетворяющие человеческие добродетели; духи умерших. Само название религии синто состоит из двух иероглифов: син и то . Таким образом дословный перевод синто путь богов . Что же стоит за столь необычным названием Строго говоря синто языческая религия.
33822. Шаманизм 15.02 KB
  Шаманизм особенно широко распространен в племенных культурах которые развиваясь на значительных удалениях друг от друга создали системы поверий поразительно схожие между собой. Шаманом называется человек который погружаясь в особое исступленное состояние сознания обретает способность общаться с оберегающими и помогающими духами и черпать из потусторонних источников значительную силу. Главной целью шаманизма является лечение тела и рассудка. Шаманизм представляет собой сложное явление и его часто ошибочно приравнивают к магии...
33823. Рели́гия 16.96 KB
  С усложнением общества изменялись формы компенсации: обращаясь к религии и твердо веря в ее догматы человек стремился найти в ней утешение избавиться с ее помощью от несправедливостей и обид социального неустройства и политических преследований. Но суть функции оставалась неизменной: в религии люди и особенно религиозно активные слои населения отшельники аскеты монахи суфии и т. Компенсирующая функция религии тесно связана с другой ее функцией интегрирующей.
33824. Подходы к происхождению человека 14.81 KB
  История религии. История религии начиная с ее самых простых примитивных форм представляет собой этот длинный путь человеческого богопознания. Все предшествующие формы религии представляют собой ни что иное как подготовительные формы на пути человечества к истинной религии.