22348

Интегрирование функций комплексной переменной

Лекция

Математика и математический анализ

кривая с выбранным направлением движения вдоль нее и на ней функция комплексной переменной fz. Если C кусочногладкая а значит спрямляемая кривая а fz кусочнонепрерывная и ограниченная функция то интеграл 1 всегда существует. Если функция fz аналитична в односвязной области D то для всех кривых C лежащих в этой области и имеющих общие концы интеграл имеет одно и то же значение. fz аналитическая функция.

Русский

2013-08-04

1.52 MB

27 чел.

Лекция №5.

Интегрирование функций комплексной переменной.

Интеграл от функции комплексной переменной.

Пусть задана некоторая ориентированная кривая C (т.е. кривая с выбранным направлением движения вдоль нее) и на ней – функция комплексной переменной f(z).

По определению интегралом от  f(z) вдоль кривой C называют:

                                               

                                     (1)

 

         

                                            

где  - последовательные точки, разбивающие C на n участков; через a и b обозначены концы C, - произвольная точка лежащая на участке  кривой C, и предел берется в предположении, что .

Если C кусочно-гладкая (а значит, спрямляемая) кривая, а f(z) – кусочно-непрерывная и ограниченная функция, то интеграл (1) всегда существует.

В самом деле, положив

получим

                                    (3)

Суммы в правой части (3) являются интегральными суммами для соответствующих криволинейных интегралов. В наших условиях эти интегралы существуют, и, следовательно, существует

                                        (4)

С помощью формулы (4) вычисление интеграла от функции комплексной переменной сводится к вычислению действительных интегралов.

      Из введенных определений следует, что для комплексной функции действительной переменной справедливы соотношения

                                                                                            (5)

                                                                            (6)

Пусть  дает параметрическое представление кривой C, причем  тогда, пользуясь формулой (4), получим:

              (7)

Из формулы (4) вытекает также, что на интегралы от функций комплексной переменной  распространяются обычные свойства криволинейных интегралов:

                                       (8)      

                                                           (9)         

                                                                               (10)  

где a, b – комплексные постоянные, - кривая, состоящая из  и , - кривая, совпадающая с C, но проходящая в обратном направление.

Пусть на кривой C и l – длина C, тогда:

                                .                                (11)           

В самом деле,

где  - длина ломаной , вписанной в кривую C, и в пределе при  получаем (11).

 Теорема 1 (Коши). Если функция  f(z) аналитична в односвязной области D, то для всех кривых C, лежащих в этой области и имеющих общие концы, интеграл  имеет одно и то же значение.

Доказательство. Мы докажем эту теорему в дополнительном предполо-жении непрерывности производной 1 . В силу соотношения (4)

                                                  (4)

вопрос о независимости интеграла  от пути сводиться к вопросу о независимости от пути криволинейных интегралов:

                                                                            (12)     

Но, как известно, в односвязной области для независимости от пути криволи-нейного интеграла , где P и Q – функции, обладающие непрерывными частными производными, необходимо и достаточно2, чтобы выражение, стоящее под знаком этого интеграла, было полным дифференциалом, т.е. чтобы в каждой точке области D имело место соотношение . Для интегралов (4) эти соотношения имеют вид:

                                                                                         (13)

непрерывность же частных производных вытекает из предположения о непрерывности . Уравнения (13) совпадают с условиями Коши-Римана и удовлетворяются, т.к. f(z) – аналитическая функция. Ч.т.д.

 Теорема 2. Если функция  f(z) аналитична в односвязной области D, то интеграл

                                                       ,                                    (14)

рассматриваемый в зависимости от своего верхнего предела, также является аналитической в D функцией, причем

                                    .                                  (15)

 Доказательство. В самом деле, по  определению производной и свойствам интеграла (9) и (10) из предыдущего пункта имеем:

.

В силу непрерывности3 f(z) в точке z имеем:

где  при . Поэтому

                                                         (16)

Далее4,

Кроме того,

(путь интегрирования от z до z + h можно считать прямолинейным, поэтому его длина равна |h|). Таким образом, в (16) первый предел равен f(z), а второй – нулю, т.е. . Ч.т.д.

Функция, производная которой равна заданной функции f(z), называется первообразной этой функции.

Таким образом, интеграл от f(z), рассматриваемый как функция своего верхнего предела, является одной из первообразных функций f(z).

 Теорема 3. Любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга не более чем на постоянную.

 Доказательство. Пусть  - эти две первообразные. Положим

По формуле для производной имеем

ибо по условию .

Отсюда следует, что ,

т.е. U(x,y) и V(x,y) постоянные. Ч.т.д.

 Теорема 4 (формула Ньютона-Лейбница). Если F(z) – произвольная перво-образная аналитической функции f(z), то

                                                .                                  (17)

 Доказательство. В самом деле, по теореме 2 функция  является одной из первообразных для f(z), функция F(z) по условию также первообразная, следовательно, по теореме 3:

,

где C – некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве , найдем, что . Ч.т.д.

Теореме Коши можно придать следующую форму.

 Теорема 1а. Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то ее интеграл вдоль любого замкнутого контура C, лежащего в D, равен нулю:

                                            .                                                     (18)

Доказательство. В самом деле, по свойствам интегралов:

        

                 .

Следовательно, равенство нулю интегралов вдоль C равносильно равенству между собой интегралов вдоль и .

Обобщение теоремы Коши.

 Теорема 5. Если функция f(z) аналитична в односвязной области D и непрерывна в замкнутой области , то интеграл от f(z), взятый вдоль границы C этой области, равен нулю:

                              .                                                                    (19)

      Доказательство.

      Пусть сначала C есть «звездный» контур, т.е. существует точка  такая, что любой луч с началом в этой точке пересекает C в одной и только одной точке. Без ограничения общности можно предполагать, что =0 (это достигается сдвигом плоскости z), тогда кривую C можно задать уравнением , где  - однозначная функция.

                                          

                                                                   

                                                                   

                                                                 

Через  обозначим контур, определяемый уравнением , . Т.к.  лежит внутри D, то по теореме Коши:

                                                                                             (20)

Но когда точка описывает , точка  () описывает C (см. рис.), поэтому равенство (20) можно переписать в виде

и следовательно,

.

Т.к. функция f(z) равномерно непрерывна в , то для любого  можно найти  такое, что для любой пары точек z, , удовлетворяющих неравенству , будет справедливо неравенство:

                                            .                                                  (22)

Пусть l – длина контура C и . Возьмем , тогда для любой пары точек z и  будем иметь

,

т.е. будет выполняться (22), тогда из (21) получим:

.

Т.к. здесь  произвольно мало, а интеграл не зависит от , то он равен 0. Таким образом, для звездных контуров теорема доказана.

      Пусть теперь C – произвольная кусочно-гладкая кривая.

                                                               

                                                                

                                                                     

                                                                     

Если C имеет точки возврата, то выбросим из D круги малого радиуса  с центром в этих точках так, чтобы граница полученной области  уже не имела таких точек. Проведя внутри  конечное число линий , эту область можно разбить на части , ограниченные звездными линиями . По доказанному выше

                                      .                                          (23)

Пусть все линии  проходят в одном и том же направлении. Сложим все уравнения (23). Все интегралы по  взаимно сокращаются (см. рис.). Остальные части границ  составляют границу  области  и, таким образом, . Но т. к. C и  отличаются лишь на конечное число малых дуг и т. к. функция f(z) ограничена, то ее интеграл вдоль этих дуг также мал (см. (11)). Таким образом, интеграл вдоль C сколь угодно мало отличается от интеграла вдоль, который равен 0, и, следовательно, сам равен нулю. Ч.т.д.

 Теорема 6 (теорема Коши для многосвязных областей). Если функция f(z) аналитична в области D и непрерывна в , то ее интеграл вдоль границы области, проходимой так, что область D все время остается с одной стороны, равен нулю.

Доказательство. Пусть функция f(z) аналитична в многосвязной области D, ограниченной кривыми  (см. рис.), и непрерывна в .

                                                    

                                                                         

                                                 

                                                                        

                                                              

                                                                                   

Проведем разрезы , превращающие D в односвязную область  и обозначим через  границу этой области – кривую, состоящую из участков кривых  и кривых , причем последние проходятся дважды в противоположных направлениях. Функция f(z) аналитична в  и непрерывна в . Следовательно, по теореме 5 и свойствам интегралов (9) и (10)

                                .                             (24)

При этом мы должны считать, что кривые  проходятся так, чтобы область D оставалась все время с одной стороны (например, слева). Ч.т.д.

1 Позже мы убедимся, что это предположение автоматически выполняется для гомоморфных функций.

2 Достаточность.


Если , то .


Необходимость. Пусть интеграл  не зависит от пути C, соединяющего точки  и . Тогда является однозначной функцией от , которая может обозначаться . Тогда в любой внутренней точке области D , где C – любая кусочно-гладкая кривая от  до , а  - любая кусочно-гладкая кривая в D от M до , например, отрезок прямой : . Следовательно,  Аналогично . (По теореме о среднем).

3 Непрерывность f(z) является следствием ее аналитичности.


                             

4                               

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21978. Англия в XVI-XVII вв. 121 KB
  XVI век занимает особое место в истории Англии хмель лавр пиво и реформация пришли в Англию одновременно. Особенности этого периода заключаются в аграрном перевороте совпадавшем с мануфактурной стадией развития капитализма в промышленности что способствовало ускорению генезиса капитализма в Англии. Эти особенности экономического развития наложили свой отпечаток на социальную и политическую историю Англии. в связи с коммутацией в Англии исчезло крепостничество.
21979. Аравия к началу VII в. Арабские завоевания и арабский халифат (VII-X вв.) 87.5 KB
  Завоевания арабов новых территорий сопровождалось перераспределением земельного фонда: к ним перешли земли Хосроев т. Сасанидских царей и земли убитых в сражении дехканов. Остальные земли были присвоены арабской знатью. Так семейство Али зятя Мухаммеда получило земли в Ираке сыновья халифов Абу Бекра и Омара тоже в Ираке Омейяды в Сирии.
21980. Болгария в XIII-XV вв. 62 KB
  как и в предшествующий период основной отраслью хозяйства Болгарии являлось земледелие. Особенно животноводство процветало в ЮгоЗападной Болгарии. Письменные источники упоминают о наличии в Болгарии городов причем большого числа. Во внешнеторговых связях Болгарии главное место было отдано Дубровнику.
21981. История средних веков 54 KB
  Историки эпохи Просвещения рассматривали феодализм как строй господствовавший в средние века в Европе и объясняли его как политическую или правовую систему и выделяли главные черты феодализма политическую раздробленность папскую теократию; по другой концепции Монтескье Мабли феодализм это система феодов и феодальной иерархии. концепции сущности феодализма упорядочились: германисты романисты система государственнополитических институтов марковая вотчинная система ленных связей личных бенефициальных в XX в. возникла...
21982. Великие географические открытия 75 KB
  захватил царя страны инков Атахуальпу вмешавшись на его стороне в войну между ним и его братом брат погиб потом за Атахуальпу потребовал выкуп и получил золота на 1 1 3 млн. на 3 млн. 19 млн. 23 млн.
21983. Великое переселение народов (II-(375 г.) – VII вв. Варварские королевства 86.5 KB
  Земли населенные ими составляли значительную часть Римской империи. часть свевов переселилась на Пиренейский полуостров. переправилась и часть племени свевов. Испанский автор Идаций писал что в конечном итоге после опустошений и вандалыхасдинги и свевы заняли Галисию причем свевы получили западную часть этой территории аланы Лузитанию и Картахену а вандалы силинги Бетику прочие территории Пиренейского полуострова осталась у испаноримлян.
21984. Венгрия, Валашские, Молдавские княжества в IX-XV вв. 71 KB
  замковые люди зависимые крестьяне. Особую категорию крестьян XIIXIII вв. магнатам принадлежало 33 населения жупов 34 крестьянских хозяйств; средним и мелким феодалам 39 поселений; церковным феодалам 121 ; королю 15 . Происходит унификация категорий зависимых крестьян исчезают либертины сервы замковые люди и удворники все они теперь частновладельческие крестьяне.
21985. Византийская культура 39.5 KB
  Но для культуры Византии характерно единство языковое конфессиональное. В Византии были популярны и исторические сочинения. Отличительной чертой системы образования в ранней Византии было сохранение в значительных масштабах античных традиций. В ранней Византии происходило накопление эмпирических знаний по географии навигационному делу ботанике зоологии картографии.
21986. Византия в IV-XI вв. 123.5 KB
  Географическое положение Византии делало империю как бы связующим звеном между Востоком и Западом. В состав Византии в этот период входила вся восточная половина Римской империи. Территория Византии по данным источников в это время превышала 750 тыс. Латинское население западных областей Византии было немногочисленно.