22348

Интегрирование функций комплексной переменной

Лекция

Математика и математический анализ

кривая с выбранным направлением движения вдоль нее и на ней функция комплексной переменной fz. Если C кусочногладкая а значит спрямляемая кривая а fz кусочнонепрерывная и ограниченная функция то интеграл 1 всегда существует. Если функция fz аналитична в односвязной области D то для всех кривых C лежащих в этой области и имеющих общие концы интеграл имеет одно и то же значение. fz аналитическая функция.

Русский

2013-08-04

1.52 MB

25 чел.

Лекция №5.

Интегрирование функций комплексной переменной.

Интеграл от функции комплексной переменной.

Пусть задана некоторая ориентированная кривая C (т.е. кривая с выбранным направлением движения вдоль нее) и на ней – функция комплексной переменной f(z).

По определению интегралом от  f(z) вдоль кривой C называют:

                                               

                                     (1)

 

         

                                            

где  - последовательные точки, разбивающие C на n участков; через a и b обозначены концы C, - произвольная точка лежащая на участке  кривой C, и предел берется в предположении, что .

Если C кусочно-гладкая (а значит, спрямляемая) кривая, а f(z) – кусочно-непрерывная и ограниченная функция, то интеграл (1) всегда существует.

В самом деле, положив

получим

                                    (3)

Суммы в правой части (3) являются интегральными суммами для соответствующих криволинейных интегралов. В наших условиях эти интегралы существуют, и, следовательно, существует

                                        (4)

С помощью формулы (4) вычисление интеграла от функции комплексной переменной сводится к вычислению действительных интегралов.

      Из введенных определений следует, что для комплексной функции действительной переменной справедливы соотношения

                                                                                            (5)

                                                                            (6)

Пусть  дает параметрическое представление кривой C, причем  тогда, пользуясь формулой (4), получим:

              (7)

Из формулы (4) вытекает также, что на интегралы от функций комплексной переменной  распространяются обычные свойства криволинейных интегралов:

                                       (8)      

                                                           (9)         

                                                                               (10)  

где a, b – комплексные постоянные, - кривая, состоящая из  и , - кривая, совпадающая с C, но проходящая в обратном направление.

Пусть на кривой C и l – длина C, тогда:

                                .                                (11)           

В самом деле,

где  - длина ломаной , вписанной в кривую C, и в пределе при  получаем (11).

 Теорема 1 (Коши). Если функция  f(z) аналитична в односвязной области D, то для всех кривых C, лежащих в этой области и имеющих общие концы, интеграл  имеет одно и то же значение.

Доказательство. Мы докажем эту теорему в дополнительном предполо-жении непрерывности производной 1 . В силу соотношения (4)

                                                  (4)

вопрос о независимости интеграла  от пути сводиться к вопросу о независимости от пути криволинейных интегралов:

                                                                            (12)     

Но, как известно, в односвязной области для независимости от пути криволи-нейного интеграла , где P и Q – функции, обладающие непрерывными частными производными, необходимо и достаточно2, чтобы выражение, стоящее под знаком этого интеграла, было полным дифференциалом, т.е. чтобы в каждой точке области D имело место соотношение . Для интегралов (4) эти соотношения имеют вид:

                                                                                         (13)

непрерывность же частных производных вытекает из предположения о непрерывности . Уравнения (13) совпадают с условиями Коши-Римана и удовлетворяются, т.к. f(z) – аналитическая функция. Ч.т.д.

 Теорема 2. Если функция  f(z) аналитична в односвязной области D, то интеграл

                                                       ,                                    (14)

рассматриваемый в зависимости от своего верхнего предела, также является аналитической в D функцией, причем

                                    .                                  (15)

 Доказательство. В самом деле, по  определению производной и свойствам интеграла (9) и (10) из предыдущего пункта имеем:

.

В силу непрерывности3 f(z) в точке z имеем:

где  при . Поэтому

                                                         (16)

Далее4,

Кроме того,

(путь интегрирования от z до z + h можно считать прямолинейным, поэтому его длина равна |h|). Таким образом, в (16) первый предел равен f(z), а второй – нулю, т.е. . Ч.т.д.

Функция, производная которой равна заданной функции f(z), называется первообразной этой функции.

Таким образом, интеграл от f(z), рассматриваемый как функция своего верхнего предела, является одной из первообразных функций f(z).

 Теорема 3. Любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга не более чем на постоянную.

 Доказательство. Пусть  - эти две первообразные. Положим

По формуле для производной имеем

ибо по условию .

Отсюда следует, что ,

т.е. U(x,y) и V(x,y) постоянные. Ч.т.д.

 Теорема 4 (формула Ньютона-Лейбница). Если F(z) – произвольная перво-образная аналитической функции f(z), то

                                                .                                  (17)

 Доказательство. В самом деле, по теореме 2 функция  является одной из первообразных для f(z), функция F(z) по условию также первообразная, следовательно, по теореме 3:

,

где C – некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве , найдем, что . Ч.т.д.

Теореме Коши можно придать следующую форму.

 Теорема 1а. Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то ее интеграл вдоль любого замкнутого контура C, лежащего в D, равен нулю:

                                            .                                                     (18)

Доказательство. В самом деле, по свойствам интегралов:

        

                 .

Следовательно, равенство нулю интегралов вдоль C равносильно равенству между собой интегралов вдоль и .

Обобщение теоремы Коши.

 Теорема 5. Если функция f(z) аналитична в односвязной области D и непрерывна в замкнутой области , то интеграл от f(z), взятый вдоль границы C этой области, равен нулю:

                              .                                                                    (19)

      Доказательство.

      Пусть сначала C есть «звездный» контур, т.е. существует точка  такая, что любой луч с началом в этой точке пересекает C в одной и только одной точке. Без ограничения общности можно предполагать, что =0 (это достигается сдвигом плоскости z), тогда кривую C можно задать уравнением , где  - однозначная функция.

                                          

                                                                   

                                                                   

                                                                 

Через  обозначим контур, определяемый уравнением , . Т.к.  лежит внутри D, то по теореме Коши:

                                                                                             (20)

Но когда точка описывает , точка  () описывает C (см. рис.), поэтому равенство (20) можно переписать в виде

и следовательно,

.

Т.к. функция f(z) равномерно непрерывна в , то для любого  можно найти  такое, что для любой пары точек z, , удовлетворяющих неравенству , будет справедливо неравенство:

                                            .                                                  (22)

Пусть l – длина контура C и . Возьмем , тогда для любой пары точек z и  будем иметь

,

т.е. будет выполняться (22), тогда из (21) получим:

.

Т.к. здесь  произвольно мало, а интеграл не зависит от , то он равен 0. Таким образом, для звездных контуров теорема доказана.

      Пусть теперь C – произвольная кусочно-гладкая кривая.

                                                               

                                                                

                                                                     

                                                                     

Если C имеет точки возврата, то выбросим из D круги малого радиуса  с центром в этих точках так, чтобы граница полученной области  уже не имела таких точек. Проведя внутри  конечное число линий , эту область можно разбить на части , ограниченные звездными линиями . По доказанному выше

                                      .                                          (23)

Пусть все линии  проходят в одном и том же направлении. Сложим все уравнения (23). Все интегралы по  взаимно сокращаются (см. рис.). Остальные части границ  составляют границу  области  и, таким образом, . Но т. к. C и  отличаются лишь на конечное число малых дуг и т. к. функция f(z) ограничена, то ее интеграл вдоль этих дуг также мал (см. (11)). Таким образом, интеграл вдоль C сколь угодно мало отличается от интеграла вдоль, который равен 0, и, следовательно, сам равен нулю. Ч.т.д.

 Теорема 6 (теорема Коши для многосвязных областей). Если функция f(z) аналитична в области D и непрерывна в , то ее интеграл вдоль границы области, проходимой так, что область D все время остается с одной стороны, равен нулю.

Доказательство. Пусть функция f(z) аналитична в многосвязной области D, ограниченной кривыми  (см. рис.), и непрерывна в .

                                                    

                                                                         

                                                 

                                                                        

                                                              

                                                                                   

Проведем разрезы , превращающие D в односвязную область  и обозначим через  границу этой области – кривую, состоящую из участков кривых  и кривых , причем последние проходятся дважды в противоположных направлениях. Функция f(z) аналитична в  и непрерывна в . Следовательно, по теореме 5 и свойствам интегралов (9) и (10)

                                .                             (24)

При этом мы должны считать, что кривые  проходятся так, чтобы область D оставалась все время с одной стороны (например, слева). Ч.т.д.

1 Позже мы убедимся, что это предположение автоматически выполняется для гомоморфных функций.

2 Достаточность.


Если , то .


Необходимость. Пусть интеграл  не зависит от пути C, соединяющего точки  и . Тогда является однозначной функцией от , которая может обозначаться . Тогда в любой внутренней точке области D , где C – любая кусочно-гладкая кривая от  до , а  - любая кусочно-гладкая кривая в D от M до , например, отрезок прямой : . Следовательно,  Аналогично . (По теореме о среднем).

3 Непрерывность f(z) является следствием ее аналитичности.


                             

4                               

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35571. Физика. Конспект лекций 1.43 MB
  Статическое электромагнитное поле электростатика Общие свойства электростатического поля Потенциал разумная выборка Поля создаваемые распределениями зарядов с хорошей симметрией Центральная сферическая симметрия. Поле создаваемое равномерно заряженной плоскостью. Поле создаваемое произвольным распределением заряда.
35572. Описание микропроцессора MC68HC908GP32 56 KB
  МК содержат на кристалле резидентное ПЗУ программ режим адресации внешней памяти у большинства моделей отсутствует. Интеграция на кристалле МК трех типов памяти: памяти программ maskROM FLASH оперативной памяти данных статическое ОЗУ и энергонезависимой памяти данных ЕЕPROM которая программируется и стирается в рабочем режиме МК под управлением программы пользователя без подключения дополнительных источников питания. В первой группе следует выделить команду пересылки данных между двумя ячейками памяти минуя регистры центрального...
35573. Транспортная и автомобильная система. ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 3.42 MB
  В учебном пособии содержатся краткие сведения по обязательным дисциплинам формирующим профессиональные навыки у специалистов в области сервиса автомобильного транспорта: типаж подвижного состава эксплуатационные материалы единая транспортная система и автомобильные перевозки техническая эксплуатация и ремонт автомобилей предприятия автомобильного сервиса и системы фирменного обслуживания.2] Общая компоновка автомобилей [4.3] Типаж автомобилей [4.13] Производственнотехническая база автосервиса [5] Автомобильные эксплуатационные материалы...
35574. ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ТЯГИ 3.27 MB
  Построить электромеханические характеристики на ободе колеса VI FI I для всех схем соединений двигателей и всех степеней ослабления поля используя нагрузочные характеристики характеристики магнитных и механических потерь характеристику потерь мощности в механической передаче. Режим пуска нанести на электромеханические характеристики двигателя VI на ободе колеса. Построить тяговые характеристики поезда FV для всех режимов включения двигателей. Нанести на эти характеристики ограничения по сцеплению максимальной скорости и...
35576. Проектирование и эксплуатация газо- и водоочистки 1.88 MB
  Более того десульфурацию проводили вдувая каустическую соду в контур охлаждающей воды рис. В процессе Эрфайн можно выделить три основные стадии: охлаждения отделения пыли и обработки воды. Крупные частицы фракцией 10мкм удаляются в результате вспрыскивания распыленной циркуляционной воды в противоток отходящему газу посредством форсунок работающих на одном виде жидкости. На стадии обработки воды взвешенные твердые частицы и тяжелые металлы удаляют из сбросовых стоков данного процесса в установке обработки воды в три этапа: отделяют...
35577. АНТИПРИГОЖИН. УПРАВЛЯЕМЫЙ ХАОС 1.69 MB
  Вместо физического времени в ней использовался обратимый эрзац. Человек будучи вне времени становится богоподобным или намного ближе к квазибожественному состоянию.Ньютон же считал что вмешательство бога требуется в каждый момент времени отсюда эпигенез и гениальное предвидение И. Это вернуло прежний интерес к конструктивной роли времени.
35578. Социология. Курс лекций в схемах 2.05 MB
  Предмет и история социологии. Общество как социокультурная система. Социальные группы и общности. Массовое сознание и общественное мнение. Методология социологических исследований.
35579. История Белоруссии 492 KB
  В истории Белоруси выявлено много белых пятенБНРВКЛсоздание БССР и т.Полоцкая земля находилась на терр сев Белорусии в землях кривичейвключала в себя современную Вит обл.На границе 1314в Полоцкое княжество вошло в состав ВКЛ.В конце 13начале14 веков Туровская земля была включена в состав ВКЛ.