22349

Формула Коши и теорема о среднем

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть функция аналитична в связной области и непрерывна в . Тогда для любой внутренней точки этой области имеет место так называемая формула Коши: 1 где граница области проходимая так что область остается всё время слева. Таким образом формула Коши позволяет вычислить значение аналитической функции в любой точке области если известны граничные значения этой функции. Выбросим из области кружок радиусом с центром в точке и заметим что в полученной...

Русский

2013-08-04

821.5 KB

27 чел.

Формула Коши и теорема о среднем.

Пусть функция  аналитична в - связной области  и непрерывна в . Тогда для любой внутренней точки  этой области имеет место так называемая формула Коши:

                                                                             (1)

где - граница области , проходимая так, что область  остается всё время слева.

Таким образом, формула Коши позволяет вычислить значение аналитической функции в любой точке области, если известны граничные значения этой функции.

Доказательство. Выбросим из области  кружок радиусом  с центром в точке  и заметим, что в полученной -связной области  подынтегральная функция аналитична относительно переменной , а так как она непрерывна в , то по теореме Коши (формула (24) предыдущей лекции):

 

где окружность  проходится по часовой стрелке. Отсюда следует, что

                         ,                           (2)

где  проходится против часовой стрелки. На : , поэтому

                                             (3)

Из (2) и (3) имеем:

                                    (4)

Оценим эту разность:

.

Отсюда видно, что при уменьшении  наша разность может быть сколь угодно малой (так как  равномерно непрерывна в ). С другой стороны, из левой части (4) следует, что эта разность не зависит от . Следовательно, рассмотренная разность равна нулю, и таким образом, формула Коши доказана.

Если, в частности, граница представляет собой окружность, то, полагая , из формулы Коши получим:

                                                            (5)

Эта формула выражает так называемую теорему о среднем для аналитических функций.

Теорема 1 (о среднем). Если функция  непрерывна в замкнутом круге и аналитична внутри этого круга,  то её значение в центре круга равно среднему арифметическому значений на окружности.

Принцип максимума и лемма  Шварца.

      Лемма. Если в некой области :

  1.  постоянна действительная часть аналитической функции  или

2) постоянен её модуль, то и сама функция постоянна.

Доказательство. При условии (1) утверждение вытекает непосредственно из условий Коши-Римана:  (т.к. u(x,y)=const), поэтому в силу условий Коши-Римана и . Таким образом, v(x,y), а значит и - постоянны в .

При условии (2) рассмотрим функцию . Её действительная часть постоянна, следовательно, по условию (1), постоянна функция , а значит, и . Ч.т.д.

Теорема 2 (принцип максимума модуля). 

Если функция , не равная тождественно постоянной, аналитична в области  (и непрерывна в ), то её модуль не может достигать наибольшего значения во внутренней точке области .

Доказательство. Предположим, что достигает своего максимального значения внутри , и обозначим через  множество всех точек , для которых .

1). Если , то всюду в имеем , т.е.  постоянен, отсюда следует, что и  постоянна в , что противоречит условиям теоремы.

2). Если  не совпадает с , то существует граничная точка  этого множества, которая является внутренней точкой . В силу непрерывности  имеем , ибо в любой окрестности  есть точки. Окружим такую точку  окружностью достаточно малого радиуса, чтобы она целиком лежала в . Тогда на части окружности, лежащей внутри, , а на остальной части , но тогда по теореме о среднем и в центре круга , что противоречит предположению, что . Полученное противоречие доказывает теорему.

В силу непрерывности функции , она достигает своего максимума на границе .

Замечание. Если функция    не постоянна, аналитична в  (и непрерывна в ) и, кроме того, не обращается в 0,  то и минимум не может достигаться внутри .

Для доказательства достаточно применить принцип максимума к функции .

Из принципа максимума вытекает полезная для дальнейших приложений лемма.

Лемма (Г.Шварца). Если функция  аналитична в круге  и непрерывна в замкнутом круге, причём , и если всюду в круге , то в том же круге

                                          .                                     (6)

При этом, если хотя  бы в одной внутренней точке круга , то последнее равенство имеет место во всем круге и

                                        ,                                               (7)

где - действительная постоянная.

Доказательство. Рассмотрим функцию

Из условий леммы следует, что  аналитична в кольце  и непрерывна в замкнутом круге  (непрерывность в точке  следует из того, что

).

Позже будет доказано, что отсюда вытекает аналитичность в точке . Таким образом, к применим принцип максимума модуля. Так как на окружности имеем , то по этому принципу и всюду в круге  , т.е. . Первая часть леммы доказана.

         Если теперь в какой-либо внутренней точке , то в этой точке

, но тогда по принципу максимума  во всех точках круга и по лемме , но т.к. , то (z) можно представить в виде , где - действительное постоянное число, следовательно, . Лемма Шварца доказана.

Геометрически лемма Шварца означает, что при любом отображении единичного круга на область , лежащую внутри единичного круга, с помощью аналитической функ-ции , образ произвольной точки  лежит ближе к началу координат, чем сама точка  (см. рисунок). Если же образ хотя бы одной точки  лежит на том же расстоянии, что и сама точка, то  совпадает с единичным кругом, а отображение сводится к повороту.

Равномерная сходимость.

Последовательность функций называется равномерно сходящейся к функции  в области (или на кривой ), если для любого найдется число , зависящее лишь от , такое , что при для всех  ( или ) имеет место неравенство:

                                                                (8)

Рассмотрим несколько теорем о равномерной сходимости.

Теорема 1. Предел последовательности непрерывных функций , равномерно сходящихся в некоторой области (или на кривой ), также является непрерывной функцией.

Доказательство. Выберем число и обозначим через  произвольную точку в области  (или на кривой ). В силу равномерной сходимости найдется номер  такой, что для любой (или )

                                                                               (9)

В силу непрерывности  в точке найдется такое число , что для всех  ( или ), удовлетворяющих неравенству ,

                                 .                                         (10)

Для таких и выбранного выше , из неравенств (9) и (10), имеем:

что и означает непрерывность . Ч.т.д.

Теорема 2. Если последовательность непрерывных функций   на кривой  равномерно сходится к , то справедливо предельное соотношение

                                                    (11)

Доказательство. Выберем число . В силу равномерной сходимости найдется , что для всех и всех на         

,

где  - длина . Для таких

,

а это и означает справедливость соотношения (11). Ч.т.д.

Доказанная теорема дает возможность переходить к пределу под знаком интеграла в случае равномерной сходимости последовательности функций.

Функциональный ряд  называется равномерно сходящимся в области (или на кривой ), если последовательность его частичных сумм равномерно сходится в этой области (на этой кривой).

Теорема 3. Если функциональный ряд  в области  мажори-руется некоторым сходящимся числовым рядом , то есть если для любой точки :

                                              ,                                 (12)

то данный функциональный ряд сходится в   равномерно.

Доказательство. В самом деле, по известной теореме сравнения данный ряд сходится в любой точке . Обозначим его сумму через . Для любого  остаток  этого ряда в силу неравенства (12) удовлетворяет следующему неравенству:

                     (13)

Справа здесь стоит остаток  сходящегося числового ряда, стремящегося к нулю при . Следовательно, для любого  можно найти номер , зависящий лишь от , начиная с которого  , и тогда в силу (13) для любой  и  имеет место неравенство:

,

что и означает равномерную сходимость данного ряда. Ч.т.д.

Из теорем (1) и (2) следует, что сумма равномерно сходящегося ряда, составленного из непрерывных функций, непрерывна, и что ряд можно почленно интегрировать, то есть справедливо предельное соотношение:

.

Рассмотрим теперь семейство функций , зависящих от (действительного или комплексного) параметра .

Говорят, что  стремится при  к функции  равномерно относительно  в области  (или на кривой ), если для любого найдется такое , что при  для всех  (или ) имеет место неравенство:

                              .                               (14)

Точно так же, как для последовательностей, можно показать, что предел равномерно сходящегося семейства непрерывных функций является непрерывной функцией, и что для такого семейства справедливо пред. соотношение:

        .                             (15)

 z = 0 – устранимая особая точка

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84519. Складно-рефлекторна (цефалічна) фаза регуляції шлункової секреції 42.2 KB
  Кількість та склад шлункового соку змінюється особливо після вживання їжі. В значній мірі кількість та склад соку залежить від характеру подразника кількість та склад їжі. Натще секретується невелика кількість шлункового соку до 10 мл на годину. Після прийому їжі виділення шлункового соку значно збільшується росте його кислотність та вміст ферментів.
84520. Нейро-гуморальна (шлункова і кишкова) фаза регуляції шлункової секреції. Ентеральні стимулятори і інґібітори шлункової секреції 43.73 KB
  Ентеральні стимулятори і інґібітори шлункової секреції. Хімічна стимуляція секреції здійснюється посередництвом гастрину що виділяється Gклітинами. Основні стимулятори секреції гастрину продукти переварювання білків пептиди олігопептиди амінокислоти особливо триптофан і фенілаланін а також кальцій магній алклголь та кофеїн.
84521. Рухова функція шлунку та її регуляція. Механізми переходу хімуса із шлунку в дванадцятипалу кишку 41.86 KB
  Механізми переходу хімуса із шлунку в дванадцятипалу кишку. В регуляції моторики шлунку беруть участь нервові та гуморальні механізми. Деякі мязові клітини внутрішнього шару мязової оболонки шлунку мають пейсмейкерну активність тобто періодично генерують ПД з частотою 32 на секунду що спричиняє періодичне підвищення внутрішньошлункового тиску.
84522. Методи дослідження зовнішньосекреторної функції підшлункової залози у людини. Склад і властивості підшлункового соку 44.04 KB
  Основні аніони підшлункового соку – Cl- та HCO3- , катіони – Na+ та K+. На відміну від слини, сік ізотонічний плазмі крові незалежно від ступеня стимуляції. Концентрація катіонів при стимуляції лишається сталою, аніонів – змінюється в протилежному напрямку. Карбонат утворюється в ацинусах у більш високій концентрації, а при проходженні через протоки частково обмінюється на хлор
84523. Фази регуляції секреторної функції підшлункової залози 44.07 KB
  Секреція підшлункового соку під час цієї фази повязана з реалізацією складнорефлекторних механізмів регуляції тобто умовних рефлексів вигляд запах їжі і з реалізацією безумовних рефлексів подразнення їжею рецепторів ротової порожнини.Обєм соку невеликий 20 від загального обєму соку який виділяється при їді; 3.Сік містить багато ферментів і має високу перетравлюючу силу. Він викликає виділення великої кількості підшлункового соку багатого бікарбонатами але бідного на ферменти так як основна його дія спрямована на протокові...
84524. Методи дослідження жовчовиділення у людини. Склад і властивості жовчі 48.34 KB
  Склад і властивості жовчі. Для збільшення надходження жовчі в дуоденум підшкірно можна вводити гормон ХЦКПЗ або через зонд концентрований розчин MgSO2 яєчний жовток чи глюкозу які стимулюють секрецію та виділення жовчі. В жовчі досліджують вміст жовчних кислот та інших компонентів. Даний метод базується на тому що у випадку порушення функції виділення жовчі в крові та в сечі концентрація жовчних пігментів підвищується а в калі навпаки понижується.
84525. Регуляція утворення і виділення жовчі. Механізми надходження жовчі в дванадцятипалу кишку 39.8 KB
  Механізми надходження жовчі в дванадцятипалу кишку. Механізм жовчоутворення та жовчовиділення: Утворення жовчі іде постійно але збільшується під час травлення під впливом складнорефлекторних механізмів які відносяться до 1ї фази жовчоутворення вигляд запах їжі звуки що супроводжують їду а також нейрогуморальних впливів які діють під час 2ї фази жовчоутворення та жовчовиділення. Механізм надходження жовчі в дванадцятипалу кишку: Вихід жовчі з жовчного міхура та її рух по жовчовивідних шляхах зумовлений різницею тисків в...
84526. Склад і властивості кишкового соку. Регуляція його секреції. Порожнинне і пристінкове травлення 42.9 KB
  Порожнинне і пристінкове травлення. Поняття про порожнинне та пристінкове травлення: Порожнинне травлення проходить в порожнині кишкового каналу за рахунок ферментів. Порожнинне травлення може забезпечити гідроліз до кінцевих продуктів але його тривалість дуже велика. Пристінкове травлення проходить на мембрані глікокалікса мікроворсинок ентероцитів за допомогою фіксованих ферментів активні центри яких направлені на субстрат.
84527. Всмоктування в травному каналі. Механізми всмоктування йонів натрію, води, вуглеводів, білків, жирів 44.89 KB
  Механізми всмоктування йонів натрію води вуглеводів білків жирів. Всмоктування це процес транспорту речовин із порожнини травного каналу у внутрішні середовища організму кров та лімфу. Найінтенсивніше процеси всмоктування проходять в верхніх відділах тонкого кишківника. Всмоктування в шлунку.