22349

Формула Коши и теорема о среднем

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть функция аналитична в связной области и непрерывна в . Тогда для любой внутренней точки этой области имеет место так называемая формула Коши: 1 где граница области проходимая так что область остается всё время слева. Таким образом формула Коши позволяет вычислить значение аналитической функции в любой точке области если известны граничные значения этой функции. Выбросим из области кружок радиусом с центром в точке и заметим что в полученной...

Русский

2013-08-04

821.5 KB

27 чел.

Формула Коши и теорема о среднем.

Пусть функция  аналитична в - связной области  и непрерывна в . Тогда для любой внутренней точки  этой области имеет место так называемая формула Коши:

                                                                             (1)

где - граница области , проходимая так, что область  остается всё время слева.

Таким образом, формула Коши позволяет вычислить значение аналитической функции в любой точке области, если известны граничные значения этой функции.

Доказательство. Выбросим из области  кружок радиусом  с центром в точке  и заметим, что в полученной -связной области  подынтегральная функция аналитична относительно переменной , а так как она непрерывна в , то по теореме Коши (формула (24) предыдущей лекции):

 

где окружность  проходится по часовой стрелке. Отсюда следует, что

                         ,                           (2)

где  проходится против часовой стрелки. На : , поэтому

                                             (3)

Из (2) и (3) имеем:

                                    (4)

Оценим эту разность:

.

Отсюда видно, что при уменьшении  наша разность может быть сколь угодно малой (так как  равномерно непрерывна в ). С другой стороны, из левой части (4) следует, что эта разность не зависит от . Следовательно, рассмотренная разность равна нулю, и таким образом, формула Коши доказана.

Если, в частности, граница представляет собой окружность, то, полагая , из формулы Коши получим:

                                                            (5)

Эта формула выражает так называемую теорему о среднем для аналитических функций.

Теорема 1 (о среднем). Если функция  непрерывна в замкнутом круге и аналитична внутри этого круга,  то её значение в центре круга равно среднему арифметическому значений на окружности.

Принцип максимума и лемма  Шварца.

      Лемма. Если в некой области :

  1.  постоянна действительная часть аналитической функции  или

2) постоянен её модуль, то и сама функция постоянна.

Доказательство. При условии (1) утверждение вытекает непосредственно из условий Коши-Римана:  (т.к. u(x,y)=const), поэтому в силу условий Коши-Римана и . Таким образом, v(x,y), а значит и - постоянны в .

При условии (2) рассмотрим функцию . Её действительная часть постоянна, следовательно, по условию (1), постоянна функция , а значит, и . Ч.т.д.

Теорема 2 (принцип максимума модуля). 

Если функция , не равная тождественно постоянной, аналитична в области  (и непрерывна в ), то её модуль не может достигать наибольшего значения во внутренней точке области .

Доказательство. Предположим, что достигает своего максимального значения внутри , и обозначим через  множество всех точек , для которых .

1). Если , то всюду в имеем , т.е.  постоянен, отсюда следует, что и  постоянна в , что противоречит условиям теоремы.

2). Если  не совпадает с , то существует граничная точка  этого множества, которая является внутренней точкой . В силу непрерывности  имеем , ибо в любой окрестности  есть точки. Окружим такую точку  окружностью достаточно малого радиуса, чтобы она целиком лежала в . Тогда на части окружности, лежащей внутри, , а на остальной части , но тогда по теореме о среднем и в центре круга , что противоречит предположению, что . Полученное противоречие доказывает теорему.

В силу непрерывности функции , она достигает своего максимума на границе .

Замечание. Если функция    не постоянна, аналитична в  (и непрерывна в ) и, кроме того, не обращается в 0,  то и минимум не может достигаться внутри .

Для доказательства достаточно применить принцип максимума к функции .

Из принципа максимума вытекает полезная для дальнейших приложений лемма.

Лемма (Г.Шварца). Если функция  аналитична в круге  и непрерывна в замкнутом круге, причём , и если всюду в круге , то в том же круге

                                          .                                     (6)

При этом, если хотя  бы в одной внутренней точке круга , то последнее равенство имеет место во всем круге и

                                        ,                                               (7)

где - действительная постоянная.

Доказательство. Рассмотрим функцию

Из условий леммы следует, что  аналитична в кольце  и непрерывна в замкнутом круге  (непрерывность в точке  следует из того, что

).

Позже будет доказано, что отсюда вытекает аналитичность в точке . Таким образом, к применим принцип максимума модуля. Так как на окружности имеем , то по этому принципу и всюду в круге  , т.е. . Первая часть леммы доказана.

         Если теперь в какой-либо внутренней точке , то в этой точке

, но тогда по принципу максимума  во всех точках круга и по лемме , но т.к. , то (z) можно представить в виде , где - действительное постоянное число, следовательно, . Лемма Шварца доказана.

Геометрически лемма Шварца означает, что при любом отображении единичного круга на область , лежащую внутри единичного круга, с помощью аналитической функ-ции , образ произвольной точки  лежит ближе к началу координат, чем сама точка  (см. рисунок). Если же образ хотя бы одной точки  лежит на том же расстоянии, что и сама точка, то  совпадает с единичным кругом, а отображение сводится к повороту.

Равномерная сходимость.

Последовательность функций называется равномерно сходящейся к функции  в области (или на кривой ), если для любого найдется число , зависящее лишь от , такое , что при для всех  ( или ) имеет место неравенство:

                                                                (8)

Рассмотрим несколько теорем о равномерной сходимости.

Теорема 1. Предел последовательности непрерывных функций , равномерно сходящихся в некоторой области (или на кривой ), также является непрерывной функцией.

Доказательство. Выберем число и обозначим через  произвольную точку в области  (или на кривой ). В силу равномерной сходимости найдется номер  такой, что для любой (или )

                                                                               (9)

В силу непрерывности  в точке найдется такое число , что для всех  ( или ), удовлетворяющих неравенству ,

                                 .                                         (10)

Для таких и выбранного выше , из неравенств (9) и (10), имеем:

что и означает непрерывность . Ч.т.д.

Теорема 2. Если последовательность непрерывных функций   на кривой  равномерно сходится к , то справедливо предельное соотношение

                                                    (11)

Доказательство. Выберем число . В силу равномерной сходимости найдется , что для всех и всех на         

,

где  - длина . Для таких

,

а это и означает справедливость соотношения (11). Ч.т.д.

Доказанная теорема дает возможность переходить к пределу под знаком интеграла в случае равномерной сходимости последовательности функций.

Функциональный ряд  называется равномерно сходящимся в области (или на кривой ), если последовательность его частичных сумм равномерно сходится в этой области (на этой кривой).

Теорема 3. Если функциональный ряд  в области  мажори-руется некоторым сходящимся числовым рядом , то есть если для любой точки :

                                              ,                                 (12)

то данный функциональный ряд сходится в   равномерно.

Доказательство. В самом деле, по известной теореме сравнения данный ряд сходится в любой точке . Обозначим его сумму через . Для любого  остаток  этого ряда в силу неравенства (12) удовлетворяет следующему неравенству:

                     (13)

Справа здесь стоит остаток  сходящегося числового ряда, стремящегося к нулю при . Следовательно, для любого  можно найти номер , зависящий лишь от , начиная с которого  , и тогда в силу (13) для любой  и  имеет место неравенство:

,

что и означает равномерную сходимость данного ряда. Ч.т.д.

Из теорем (1) и (2) следует, что сумма равномерно сходящегося ряда, составленного из непрерывных функций, непрерывна, и что ряд можно почленно интегрировать, то есть справедливо предельное соотношение:

.

Рассмотрим теперь семейство функций , зависящих от (действительного или комплексного) параметра .

Говорят, что  стремится при  к функции  равномерно относительно  в области  (или на кривой ), если для любого найдется такое , что при  для всех  (или ) имеет место неравенство:

                              .                               (14)

Точно так же, как для последовательностей, можно показать, что предел равномерно сходящегося семейства непрерывных функций является непрерывной функцией, и что для такого семейства справедливо пред. соотношение:

        .                             (15)

 z = 0 – устранимая особая точка

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79726. Право и государство, их соотношение и взаимодействие. Понятие источников (форм) права 58 KB
  Какое выражение вам кажется более правильным: «Где общество, там и право» или «Где государство, там и право?». Сделаем вывод, что право существует далеко не во всяком обществе, в то время как ни одно государство не может существовать без установленных им правовых норм
79727. Реализация продукции 86 KB
  Реализация продукции Учет реализации продукции по мере оплаты Учет реализации продукции по мере отгрузкиУчет реализации по договору мены Учет реализации продукции ниже себестоимости Реализация продукции осуществляется в соответствии с заключенными с покупателями договорами в которых указан ассортимент срок отгрузки количество и качество продукции цена форма расчетов. Целью отражения хозяйственных операций по реализации продукции на счетах бухгалтерского учета является выявление финансового результата от реализации продукции. Расчет...
79728. Розничная торговля 63.5 KB
  Розничная торговля Поступление товаров на предприятие розничной торговли Бухгалтерский учет скидок на предприятии розничной торговлиСинтетический и аналитический учет реализации в розницу Расчет торговой наценки Учет продажи населению товаров в кредит Поступление товаров на предприятие розничной торговли Учет товаров разрешается вести по покупным или продажным ценам. Так как в розничной торговле нет возможности вести учет по конкретному ассортименту и количеству проданного товара то целесообразно применять способ учета товаров по...
79729. Учет валютных операций 113 KB
  В соответствии с ПБУ 3 95 валютные операции отражаются в учете в двух оценках: в валюте расчетов; в рублях. Технически это достигается разными способами: составлением двух комплектов учетных регистров один в валюте другой в рублях; указанием каждой суммы дробью: в числителе указывается валюта а в знаменателе рубли и др. Пересчет иностранной валюты в рубли осуществляется на основании соответствующих валютных курсов: официального котируемого Центральным банком Российской Федерации валютных бирж коммерческих банков и др....
79730. Учет долгосрочных и краткосрочных финансовых вложений 100.5 KB
  Учет долгосрочных и краткосрочных финансовых вложений Понятие ценных бумаг Приобретение ценных бумаг Доведение покупной стоимости до номинала Увеличение размера уставного капитала АО в связи с увеличением номинальной стоимости акций Резервы под обесценение вложений в ценные бумаги Доходы по ценным бумагам Учет реализации погашение выбытие Учет операций с векселями 1. Понятие ценных бумаг В соответствии с действующим законодательством ценная бумага это документ удостоверяющий при соблюдении установленной формы и обязательных...
79731. Учет долгосрочных инвестиций 81.5 KB
  Долгосрочные инвестиции предприятия связаны с осуществлением капитального строительства в форме нового строительства а также реконструкции и технического перевооружения действующих предприятий и объектов непроизводственной сферы с приобретением зданий сооружений оборудования и других отдельных объектов основных средств с приобретением земельных участков и объектов природопользования с приобретением и созданием объектов нематериального характера. Для выполнения строительномонтажных работ подрядным способом предприятие заключает договор...
79732. Учет затрат на производство и калькулирование себестоимости продукции 105.5 KB
  Учет затрат на производство и калькулирование себестоимости продукции Задачи учета затрат на производство и калькулирование себестоимости продукции. Варианты учета затрат. Характеристика учет и распределение затрат вспомогательных производств. Методы учета затрат на производство продукции и калькулирование себестоимости продукции.
79733. Учет издержек обращения 60 KB
  Учет издержек обращения Задачи и классификация издержек обращения Учет транспортных расходов Учет расходов связанных с товарными запасами Учет расходов связанных с основными средствами Учет расходов на оплату труда и социальные нужды. Учет издержек обращения относящихся к реализованным товарам Задачи и классификация издержек обращения Издержки обращения это затраты материальных денежных и трудовых ресурсов связанные с переводом товаров из сферы производства в сферу потребления. Издержки обращения относятся к категории затрат...
79734. Учет реализации товаров в организации оптовой торговли 43 KB
  Учет реализации товаров в организации оптовой торговли Формы оптовой реализации товаров Учет реализации в момент оплаты товаров. Учет реализации в момент отгрузки товаров. Учет реализации товаров транзитом Формы оптовой реализации товаров Различают две основные формы оптовой реализации товаров: реализация товаров со складов складской оборот; реализация товаров транзитом транзитный оборот. Реализация товаров транзитом в свою очередь применяется как с участием так и без участия оптового предприятия в расчетах.