22349

Формула Коши и теорема о среднем

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть функция аналитична в связной области и непрерывна в . Тогда для любой внутренней точки этой области имеет место так называемая формула Коши: 1 где граница области проходимая так что область остается всё время слева. Таким образом формула Коши позволяет вычислить значение аналитической функции в любой точке области если известны граничные значения этой функции. Выбросим из области кружок радиусом с центром в точке и заметим что в полученной...

Русский

2013-08-04

821.5 KB

25 чел.

Формула Коши и теорема о среднем.

Пусть функция  аналитична в - связной области  и непрерывна в . Тогда для любой внутренней точки  этой области имеет место так называемая формула Коши:

                                                                             (1)

где - граница области , проходимая так, что область  остается всё время слева.

Таким образом, формула Коши позволяет вычислить значение аналитической функции в любой точке области, если известны граничные значения этой функции.

Доказательство. Выбросим из области  кружок радиусом  с центром в точке  и заметим, что в полученной -связной области  подынтегральная функция аналитична относительно переменной , а так как она непрерывна в , то по теореме Коши (формула (24) предыдущей лекции):

 

где окружность  проходится по часовой стрелке. Отсюда следует, что

                         ,                           (2)

где  проходится против часовой стрелки. На : , поэтому

                                             (3)

Из (2) и (3) имеем:

                                    (4)

Оценим эту разность:

.

Отсюда видно, что при уменьшении  наша разность может быть сколь угодно малой (так как  равномерно непрерывна в ). С другой стороны, из левой части (4) следует, что эта разность не зависит от . Следовательно, рассмотренная разность равна нулю, и таким образом, формула Коши доказана.

Если, в частности, граница представляет собой окружность, то, полагая , из формулы Коши получим:

                                                            (5)

Эта формула выражает так называемую теорему о среднем для аналитических функций.

Теорема 1 (о среднем). Если функция  непрерывна в замкнутом круге и аналитична внутри этого круга,  то её значение в центре круга равно среднему арифметическому значений на окружности.

Принцип максимума и лемма  Шварца.

      Лемма. Если в некой области :

  1.  постоянна действительная часть аналитической функции  или

2) постоянен её модуль, то и сама функция постоянна.

Доказательство. При условии (1) утверждение вытекает непосредственно из условий Коши-Римана:  (т.к. u(x,y)=const), поэтому в силу условий Коши-Римана и . Таким образом, v(x,y), а значит и - постоянны в .

При условии (2) рассмотрим функцию . Её действительная часть постоянна, следовательно, по условию (1), постоянна функция , а значит, и . Ч.т.д.

Теорема 2 (принцип максимума модуля). 

Если функция , не равная тождественно постоянной, аналитична в области  (и непрерывна в ), то её модуль не может достигать наибольшего значения во внутренней точке области .

Доказательство. Предположим, что достигает своего максимального значения внутри , и обозначим через  множество всех точек , для которых .

1). Если , то всюду в имеем , т.е.  постоянен, отсюда следует, что и  постоянна в , что противоречит условиям теоремы.

2). Если  не совпадает с , то существует граничная точка  этого множества, которая является внутренней точкой . В силу непрерывности  имеем , ибо в любой окрестности  есть точки. Окружим такую точку  окружностью достаточно малого радиуса, чтобы она целиком лежала в . Тогда на части окружности, лежащей внутри, , а на остальной части , но тогда по теореме о среднем и в центре круга , что противоречит предположению, что . Полученное противоречие доказывает теорему.

В силу непрерывности функции , она достигает своего максимума на границе .

Замечание. Если функция    не постоянна, аналитична в  (и непрерывна в ) и, кроме того, не обращается в 0,  то и минимум не может достигаться внутри .

Для доказательства достаточно применить принцип максимума к функции .

Из принципа максимума вытекает полезная для дальнейших приложений лемма.

Лемма (Г.Шварца). Если функция  аналитична в круге  и непрерывна в замкнутом круге, причём , и если всюду в круге , то в том же круге

                                          .                                     (6)

При этом, если хотя  бы в одной внутренней точке круга , то последнее равенство имеет место во всем круге и

                                        ,                                               (7)

где - действительная постоянная.

Доказательство. Рассмотрим функцию

Из условий леммы следует, что  аналитична в кольце  и непрерывна в замкнутом круге  (непрерывность в точке  следует из того, что

).

Позже будет доказано, что отсюда вытекает аналитичность в точке . Таким образом, к применим принцип максимума модуля. Так как на окружности имеем , то по этому принципу и всюду в круге  , т.е. . Первая часть леммы доказана.

         Если теперь в какой-либо внутренней точке , то в этой точке

, но тогда по принципу максимума  во всех точках круга и по лемме , но т.к. , то (z) можно представить в виде , где - действительное постоянное число, следовательно, . Лемма Шварца доказана.

Геометрически лемма Шварца означает, что при любом отображении единичного круга на область , лежащую внутри единичного круга, с помощью аналитической функ-ции , образ произвольной точки  лежит ближе к началу координат, чем сама точка  (см. рисунок). Если же образ хотя бы одной точки  лежит на том же расстоянии, что и сама точка, то  совпадает с единичным кругом, а отображение сводится к повороту.

Равномерная сходимость.

Последовательность функций называется равномерно сходящейся к функции  в области (или на кривой ), если для любого найдется число , зависящее лишь от , такое , что при для всех  ( или ) имеет место неравенство:

                                                                (8)

Рассмотрим несколько теорем о равномерной сходимости.

Теорема 1. Предел последовательности непрерывных функций , равномерно сходящихся в некоторой области (или на кривой ), также является непрерывной функцией.

Доказательство. Выберем число и обозначим через  произвольную точку в области  (или на кривой ). В силу равномерной сходимости найдется номер  такой, что для любой (или )

                                                                               (9)

В силу непрерывности  в точке найдется такое число , что для всех  ( или ), удовлетворяющих неравенству ,

                                 .                                         (10)

Для таких и выбранного выше , из неравенств (9) и (10), имеем:

что и означает непрерывность . Ч.т.д.

Теорема 2. Если последовательность непрерывных функций   на кривой  равномерно сходится к , то справедливо предельное соотношение

                                                    (11)

Доказательство. Выберем число . В силу равномерной сходимости найдется , что для всех и всех на         

,

где  - длина . Для таких

,

а это и означает справедливость соотношения (11). Ч.т.д.

Доказанная теорема дает возможность переходить к пределу под знаком интеграла в случае равномерной сходимости последовательности функций.

Функциональный ряд  называется равномерно сходящимся в области (или на кривой ), если последовательность его частичных сумм равномерно сходится в этой области (на этой кривой).

Теорема 3. Если функциональный ряд  в области  мажори-руется некоторым сходящимся числовым рядом , то есть если для любой точки :

                                              ,                                 (12)

то данный функциональный ряд сходится в   равномерно.

Доказательство. В самом деле, по известной теореме сравнения данный ряд сходится в любой точке . Обозначим его сумму через . Для любого  остаток  этого ряда в силу неравенства (12) удовлетворяет следующему неравенству:

                     (13)

Справа здесь стоит остаток  сходящегося числового ряда, стремящегося к нулю при . Следовательно, для любого  можно найти номер , зависящий лишь от , начиная с которого  , и тогда в силу (13) для любой  и  имеет место неравенство:

,

что и означает равномерную сходимость данного ряда. Ч.т.д.

Из теорем (1) и (2) следует, что сумма равномерно сходящегося ряда, составленного из непрерывных функций, непрерывна, и что ряд можно почленно интегрировать, то есть справедливо предельное соотношение:

.

Рассмотрим теперь семейство функций , зависящих от (действительного или комплексного) параметра .

Говорят, что  стремится при  к функции  равномерно относительно  в области  (или на кривой ), если для любого найдется такое , что при  для всех  (или ) имеет место неравенство:

                              .                               (14)

Точно так же, как для последовательностей, можно показать, что предел равномерно сходящегося семейства непрерывных функций является непрерывной функцией, и что для такого семейства справедливо пред. соотношение:

        .                             (15)

 z = 0 – устранимая особая точка

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12691. ИЗМЕРЕНИЕ ВИБРАЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРИБОРА ВШВ–003–М2 251 KB
  Закрепить основные теоретические положения о производственной вибрации как об опасном и вредном производственном факторе; научиться оценивать вибрации на рабочих местах и определять эффективность виброизоляции
12692. Порядок измерения и оценка шума. Измерение и уменьшение производственного шума 82.5 KB
  Измерение и уменьшение производственного шума Цель работы: Закрепить знания о физической сущности шума научиться измерять шум на рабочем месте овладеть с практическими навыками работы с прибором ВШВ003М2 для измерения шума....
12693. ЗАЩИТА ОТ СВЧ - ИЗЛУЧЕНИЙ 478 KB
  Лабораторная работа №1 ЗАЩИТА ОТ СВЧ ИЗЛУЧЕНИЙ по дисциплине Безопасность жизнедеятельности в чрезвычайных ситуациях Цель работы. 1 ознакомить студентов с характеристиками электромагнитного излучения и нормативными требованиями к его уровням; ...
12694. ОЦЕНКА И КОНТРОЛЬ ОСВЕТИТЕЛЬНЫХ УСЛОВИЙ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПОМЕЩЕНИЙ 115.5 KB
  Лабораторная работа №3 ОЦЕНКА И КОНТРОЛЬ ОСВЕТИТЕЛЬНЫХ УСЛОВИЙ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПОМЕЩЕНИЙ по дисциплине Безопасность жизнедеятельности в чрезвычайных ситуациях Цель работы 1 ознакомиться с устройством и порядком применения имеющихся приборов для и...
12695. АНАЛИЗ УСЛОВИЙ ЭЛЕКТРОБЕЗОПАСНОСТИ В ТРЕХФАЗНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЯХ НАПРЯЖЕНИЕМ ДО 1кВ 313.5 KB
  АНАЛИЗ УСЛОВИЙ ЭЛЕКТРОБЕЗОПАСНОСТИ В ТРЕХФАЗНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЯХ НАПРЯЖЕНИЕМ ДО 1кВ Отчет по лабораторной работе № 1 по дисциплине безопасность жизнедеятельности в чрезвычайных ситуациях Цель работы – исследовать опасность прикосновения человека к фазно
12696. Исследовать опасность прикосновения человека к фазному проводу электрической сети напряжением до 1 кВ 393.5 KB
  Цель работы – исследовать опасность прикосновения человека к фазному проводу электрической сети напряжением до 1 кВ в ее нормальном и аварийном состояниях в зависимости от режима нейтрали источника питания сети активного сопротивления изоляции и емкости проводов относ...
12697. Стенд лабораторный Защита от СВЧ-излучения БЖ 5м 527.5 KB
  Цель работы: 1 ознакомить студентов с характеристиками электромагнитного излучения и нормативными требованиями к его уровням; 2 провести измерения интенсивности электромагнитного излучения СВЧдиапазона на различных расстояниях от источника; 3 оценить эффективн
12698. Расчет эффективности и паспортизации механической вентиляционной установки 1.2 MB
  Цель работы: получить навыки проведения измерений необходимых для испытания оценки эффективности и паспортизации механической вентиляционной установки. 1. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1.1. Определить производительность вентилятора по замерам статического ско...
12699. ИЗМЕРЕНИЕ ВИБРАЦИИ С ПОМОЩЬЮ ИЗМЕРИТЕЛЯ ШУМА И ВИБРАЦИИ ВШВ-003-М2 802.5 KB
  Цель работы: 1 закрепить основные теоретические положения о вибрации как об опасном и вредном производственном факторе; 2 научиться оценивать вибрации на рабочих местах и определять эффективность виброизоляции. ИЗМЕРЕНИЕ ВИБРАЦИИ С ПОМОЩЬЮ ИЗМЕРИТЕЛЯ ШУМА И ВИ...