22349

Формула Коши и теорема о среднем

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть функция аналитична в связной области и непрерывна в . Тогда для любой внутренней точки этой области имеет место так называемая формула Коши: 1 где граница области проходимая так что область остается всё время слева. Таким образом формула Коши позволяет вычислить значение аналитической функции в любой точке области если известны граничные значения этой функции. Выбросим из области кружок радиусом с центром в точке и заметим что в полученной...

Русский

2013-08-04

821.5 KB

24 чел.

Формула Коши и теорема о среднем.

Пусть функция  аналитична в - связной области  и непрерывна в . Тогда для любой внутренней точки  этой области имеет место так называемая формула Коши:

                                                                             (1)

где - граница области , проходимая так, что область  остается всё время слева.

Таким образом, формула Коши позволяет вычислить значение аналитической функции в любой точке области, если известны граничные значения этой функции.

Доказательство. Выбросим из области  кружок радиусом  с центром в точке  и заметим, что в полученной -связной области  подынтегральная функция аналитична относительно переменной , а так как она непрерывна в , то по теореме Коши (формула (24) предыдущей лекции):

 

где окружность  проходится по часовой стрелке. Отсюда следует, что

                         ,                           (2)

где  проходится против часовой стрелки. На : , поэтому

                                             (3)

Из (2) и (3) имеем:

                                    (4)

Оценим эту разность:

.

Отсюда видно, что при уменьшении  наша разность может быть сколь угодно малой (так как  равномерно непрерывна в ). С другой стороны, из левой части (4) следует, что эта разность не зависит от . Следовательно, рассмотренная разность равна нулю, и таким образом, формула Коши доказана.

Если, в частности, граница представляет собой окружность, то, полагая , из формулы Коши получим:

                                                            (5)

Эта формула выражает так называемую теорему о среднем для аналитических функций.

Теорема 1 (о среднем). Если функция  непрерывна в замкнутом круге и аналитична внутри этого круга,  то её значение в центре круга равно среднему арифметическому значений на окружности.

Принцип максимума и лемма  Шварца.

      Лемма. Если в некой области :

  1.  постоянна действительная часть аналитической функции  или

2) постоянен её модуль, то и сама функция постоянна.

Доказательство. При условии (1) утверждение вытекает непосредственно из условий Коши-Римана:  (т.к. u(x,y)=const), поэтому в силу условий Коши-Римана и . Таким образом, v(x,y), а значит и - постоянны в .

При условии (2) рассмотрим функцию . Её действительная часть постоянна, следовательно, по условию (1), постоянна функция , а значит, и . Ч.т.д.

Теорема 2 (принцип максимума модуля). 

Если функция , не равная тождественно постоянной, аналитична в области  (и непрерывна в ), то её модуль не может достигать наибольшего значения во внутренней точке области .

Доказательство. Предположим, что достигает своего максимального значения внутри , и обозначим через  множество всех точек , для которых .

1). Если , то всюду в имеем , т.е.  постоянен, отсюда следует, что и  постоянна в , что противоречит условиям теоремы.

2). Если  не совпадает с , то существует граничная точка  этого множества, которая является внутренней точкой . В силу непрерывности  имеем , ибо в любой окрестности  есть точки. Окружим такую точку  окружностью достаточно малого радиуса, чтобы она целиком лежала в . Тогда на части окружности, лежащей внутри, , а на остальной части , но тогда по теореме о среднем и в центре круга , что противоречит предположению, что . Полученное противоречие доказывает теорему.

В силу непрерывности функции , она достигает своего максимума на границе .

Замечание. Если функция    не постоянна, аналитична в  (и непрерывна в ) и, кроме того, не обращается в 0,  то и минимум не может достигаться внутри .

Для доказательства достаточно применить принцип максимума к функции .

Из принципа максимума вытекает полезная для дальнейших приложений лемма.

Лемма (Г.Шварца). Если функция  аналитична в круге  и непрерывна в замкнутом круге, причём , и если всюду в круге , то в том же круге

                                          .                                     (6)

При этом, если хотя  бы в одной внутренней точке круга , то последнее равенство имеет место во всем круге и

                                        ,                                               (7)

где - действительная постоянная.

Доказательство. Рассмотрим функцию

Из условий леммы следует, что  аналитична в кольце  и непрерывна в замкнутом круге  (непрерывность в точке  следует из того, что

).

Позже будет доказано, что отсюда вытекает аналитичность в точке . Таким образом, к применим принцип максимума модуля. Так как на окружности имеем , то по этому принципу и всюду в круге  , т.е. . Первая часть леммы доказана.

         Если теперь в какой-либо внутренней точке , то в этой точке

, но тогда по принципу максимума  во всех точках круга и по лемме , но т.к. , то (z) можно представить в виде , где - действительное постоянное число, следовательно, . Лемма Шварца доказана.

Геометрически лемма Шварца означает, что при любом отображении единичного круга на область , лежащую внутри единичного круга, с помощью аналитической функ-ции , образ произвольной точки  лежит ближе к началу координат, чем сама точка  (см. рисунок). Если же образ хотя бы одной точки  лежит на том же расстоянии, что и сама точка, то  совпадает с единичным кругом, а отображение сводится к повороту.

Равномерная сходимость.

Последовательность функций называется равномерно сходящейся к функции  в области (или на кривой ), если для любого найдется число , зависящее лишь от , такое , что при для всех  ( или ) имеет место неравенство:

                                                                (8)

Рассмотрим несколько теорем о равномерной сходимости.

Теорема 1. Предел последовательности непрерывных функций , равномерно сходящихся в некоторой области (или на кривой ), также является непрерывной функцией.

Доказательство. Выберем число и обозначим через  произвольную точку в области  (или на кривой ). В силу равномерной сходимости найдется номер  такой, что для любой (или )

                                                                               (9)

В силу непрерывности  в точке найдется такое число , что для всех  ( или ), удовлетворяющих неравенству ,

                                 .                                         (10)

Для таких и выбранного выше , из неравенств (9) и (10), имеем:

что и означает непрерывность . Ч.т.д.

Теорема 2. Если последовательность непрерывных функций   на кривой  равномерно сходится к , то справедливо предельное соотношение

                                                    (11)

Доказательство. Выберем число . В силу равномерной сходимости найдется , что для всех и всех на         

,

где  - длина . Для таких

,

а это и означает справедливость соотношения (11). Ч.т.д.

Доказанная теорема дает возможность переходить к пределу под знаком интеграла в случае равномерной сходимости последовательности функций.

Функциональный ряд  называется равномерно сходящимся в области (или на кривой ), если последовательность его частичных сумм равномерно сходится в этой области (на этой кривой).

Теорема 3. Если функциональный ряд  в области  мажори-руется некоторым сходящимся числовым рядом , то есть если для любой точки :

                                              ,                                 (12)

то данный функциональный ряд сходится в   равномерно.

Доказательство. В самом деле, по известной теореме сравнения данный ряд сходится в любой точке . Обозначим его сумму через . Для любого  остаток  этого ряда в силу неравенства (12) удовлетворяет следующему неравенству:

                     (13)

Справа здесь стоит остаток  сходящегося числового ряда, стремящегося к нулю при . Следовательно, для любого  можно найти номер , зависящий лишь от , начиная с которого  , и тогда в силу (13) для любой  и  имеет место неравенство:

,

что и означает равномерную сходимость данного ряда. Ч.т.д.

Из теорем (1) и (2) следует, что сумма равномерно сходящегося ряда, составленного из непрерывных функций, непрерывна, и что ряд можно почленно интегрировать, то есть справедливо предельное соотношение:

.

Рассмотрим теперь семейство функций , зависящих от (действительного или комплексного) параметра .

Говорят, что  стремится при  к функции  равномерно относительно  в области  (или на кривой ), если для любого найдется такое , что при  для всех  (или ) имеет место неравенство:

                              .                               (14)

Точно так же, как для последовательностей, можно показать, что предел равномерно сходящегося семейства непрерывных функций является непрерывной функцией, и что для такого семейства справедливо пред. соотношение:

        .                             (15)

 z = 0 – устранимая особая точка

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45191. Законодательные и методические документы, регулирующие градостроительную деятельность и вопросы определения стоимости строительства 14.37 KB
  Методика определения стоимости строительной продукции на территории Российской Федерации МДС 81-365.2004 (внесена в Федеральный реестр сметных нормативов, подлежащих применению при определении сметной стоимости объектов капитального строительства, под регистрационным номером 94 от 15.12.2009)
45192. Определение сметных норм и единичных расценок, перечислить виды ГЭСН, ТЕР, ФЭР 16.71 KB
  Индивидуальные новые технологии разработанные для отдельного объекта Элементные расценки цены Абсолютные укрупненные показатели и нормативы Сметная норма совокупность ресурсов материальных трудовых технологических установленная на принятый измеритель в строительных монтажных ремонтностроительных и пусконаладочных работах. Государственные сметные нормативы: Государственные элементные сметные нормативы на строительные и специальные работыГЭСН2001 Государственные элементные сметные нормативы на ремонтностроительные...
45193. Определение понятий: стройка, объект капитального строительства, реконструкция 13.89 KB
  Определение понятий: стройка объект капитального строительства реконструкция. Стройка комплекс объектов капитального строительства различного назначения строительство капитальный ремонт реконструкция которых осуществляется по единой проектной документации объединенной свободным сметным расчетом. Объект капитального строительства здания строения сооружения строительство которого может быть не завершено. строительства относятся: непроизводственные объекты объекты производственного назначения линейные объекты траншеи мосты...
45194. Определение понятий: сметная стоимость строительства, капитальный ремонт, заказчик, подрядчик, инвестор 14.58 KB
  Определение понятий: сметная стоимость строительства капитальный ремонт заказчик подрядчик инвестор. Сметная стоимость строительства – стоимостная оценка полного перечня затрат Заказчика Инвестора на реализацию проектных решений по объектам капитального строительства строящимся реконструируемым в границах принадлежащего Застройщику земельного участка а также в случае проведения капитального ремонта объекта капитального строительства в уровне цен определенном Заказчиком в Техническом задании на разработку Проектной в том числе...
45195. Смета на строительство объектов капитального строительства» в соответствии с постановлением Правительства РФ №87 от 16.02.2008 14.7 KB
  Содержание раздела 11 проектной документации Смета на строительство объектов капитального строительства в соответствии с постановлением Правительства РФ №87 от 16. №87 О СОСТАВЕ РАЗДЕЛОВ ПРОЕКТНОЙ ДОКУМЕНТАЦИИ И ТРЕБОВАНИЯ К ИХ СОДЕРЖАНИЮ Извлечения Раздел 11 Смета на строительство объектов капитального строительства должен содержать текстовую часть в составе пояснительной записки к сметной документации и сметную документацию. Пояснительная записка к сметной документации должна содержать следующую информацию: а сведения о месте...
45196. Определение стоимости проектных работ 19.42 KB
  Определение стоимости проектных работ Расчет на основании Справочника базовых цен на проектные работы для строительства на территории Самарской области 2я редакция Спр=Срасчед Уарх К1арх.КnобщSобщ 100 где Срасч ед стоимость строительства единицы мощности площади объёма объектов различного функционального назначения из журнала укрупнённых показателей стоимости строительства Уарх Уконстр. удельный показатель стоимости отдельных разделов проектаПриложение 2 таблица 3 и повышающих коэффициентов к ним табл. учитывающий...
45197. Определение затрат на проведение строительного контроля 15.51 KB
  Установить что в отношении объектов капитального строительства финансируемых полностью или частично с привлечением средств федерального бюджета: а если подготовка проектной документации завершена до вступления в силу настоящего Постановления заказчик проектной документации вправе направить ее на государственную экспертизу без проведения дополнительных работ связанных с осуществлением расчета размера затрат на проведение строительного контроля; б отсутствие расчета размера затрат на проведение строительного контроля в проектной...
45198. Размер платы за проведение государственной экспертизы 30 KB
  Размер платы за проведение государственной экспертизы результатов инженерных изысканий выполняемых для строительства реконструкции капитального ремонта жилых объектов капитального строительства РПиж определяется по формуле: РПиж = БСиж x Kiгде: БСиж базовая стоимость государственной экспертизы результатов инженерных изысканий Ki коэффициент отражающий инфляционные процессы по сравнению с 1 января 2001 г. Базовая стоимость государственной экспертизы результатов инженерных изысканий выполняемых для строительства реконструкции...
45199. Порядок определения размера арендной платы, условий и сроков ее внесения за использование земельных участков, предоставляемых для строительства 30.5 KB
  Размер арендной платы за один квадратный метр земельного участка в год рассчитывается по формуле: А = Скад х Ки х Ка х Кс х Кв х Кпр где: Скад – среднее значение удельного показателя кадастровой стоимости земель в городском округе Самара; Ки – коэффициент инфляции рассчитываемый как произведение индексов-дефляторов инвестиций предусмотренных в рамках прогноза социально-экономического развития Самарской области Ка – коэффициент категории арендатора определяемый в соответствии с приложением № 1 к настоящему Порядку; Кс – коэффициент сроков...