22351
Теоремы Лиувилля и Мореры
Лекция
Математика и математический анализ
По определению аналитическая функция это функция комплексной переменной обладающая производной в каждой точке некоторой области D. Если функция fz аналитична в области D и непрерывна в то она обладает в каждой точке D производными всех порядков причем n я производная представляется формулой 1 где C граница области D. По определению производной и формуле Коши имеем: Но очевидно что при функция равномерна для всех на C стремиться к и следовательно по теореме 2 предыдущей лекции для случая семейства функций...
Русский
2013-08-04
98 KB
11 чел.
Лекция №8.
Теоремы Лиувилля и Мореры.
По определению, аналитическая функция это функция комплексной переменной, обладающая производной в каждой точке некоторой области D.
Покажем, что из аналитичности функции автоматически вытекает существование и аналитичность всех ее последовательных производных.
Теорема 1(Коши). Если функция f(z) аналитична в области D и непрерывна в , то она обладает в каждой точке D производными всех порядков, причем n- я производная представляется формулой
, (1)
где C граница области D.
Но, очевидно, что при функция равномерна для всех на C стремиться к и, следовательно, по теореме 2 предыдущей лекции (для случая семейства функций, зависящих от параметра h) предел существует, причем
(2)
Для n = 1 теорема доказана. Предполагая ее верной для какого-либо n-1, точно также можно доказать ее справедливость для любого n, а тем самым доказать теорему.
Замечание 1. Как видно из доказательства, теорему можно сформулировать еще следующим образом:
Если функция непрерывна на границе C области D, то функция
(3)
представленная формулой Коши (интегралом типа Коши), аналитична в этой области.
Замечание 2. Формулы (1) для производных получаются формальным дифференцированием формулы Коши по z; доказанная теорема утверждает законность этого дифференцирования.
Из формулы (1) вытекают важные неравенства Коши. Обозначим через M максимум модуля функции f(z) в области D, через R - расстояние* точки z до границы D и через l длину этой границы.
Из (1) имеем:
. (4)
Если, в частности, f(z) аналитична в круге , то принимая в качестве D этот круг, получим:
(5)
Это и есть неравенства Коши.
Полученные результаты позволяют доказать 2 важные теоремы теории аналитических функций.
Теорема 2(Лиувилля). Если функция f(z) аналитична во всей плоскости и ограничена, то она постоянна.
Доказательство. Пусть всюду . Для произвольной точки и для любого R неравенство (5) при n = 1 дает:
.
Т.к. здесь левая часть не зависит от R, а правая может быть сделана сколь угодно малой при увеличении R, то . Таким образом, т.к. - произвольная точка плоскости, то во всей плоскости . Отсюда по доказанной ранее теореме о первообразной заключаем, что
,
т.е. что функция f(z)=const. Ч.т.д.
Замечание. Теорема 2 допускает следующее обобщение.
Если функция f(z) аналитична во всей плоскости и ее модуль возрастает не быстрее чем , где n целое число, а M постоянная, то эта функция является многочленом степени не выше n.
Доказательство. Пусть - произвольная точка плоскости, из неравенства (5) имеем:
Заметим, что , после перехода к пределу при получаем, что . Т.к. - произвольная точка плоскости, то , а отсюда тем же методом, что и выше, нетрудно прийти к нужному результату.
Докажем теперь теорему, которая обратна основной теореме Коши.
Теорема 3(Мореры). Если функция f(z) непрерывна в односвязной области D и интеграл по любому замкнутому контуру C, лежащему в D, равен нулю, то f(z) аналитична в этой области.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что в области D интеграл не зависит от пути интегрирования, т.е. при фиксированном определяет некоторую функцию от z:
. (6)
Повторяя дословно доказательство теоремы о первообразной, можно показать, что эта функция имеет производную** , т.е. аналитична. Но тогда по теореме 1 f(z) как производная аналитической функции в свою очередь является аналитической функцией. Ч.т.д.
* т.е.
** Т.к. интеграл в (6) справа не зависит от пути интегрирования, то для имеем .
В силу непрерывности f(z) для , если . Теперь, полагая, что из очевидного равенства , где интегрирование происходит вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки z и и лежащего в D, будем иметь , т.е.
. (7)
2
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
84320. | Расчет многокаскадного усилителя с ООС | 224.41 KB | |
Исходные данные и цель работы. Структура и свойства выбранного типа ООС. Разработка структурной и принципиальной схемы усилителя Разработка структурной схемы. Разработка принципиальной схемы. Обозначения элементов принципиальной схемы. Расчет элементов принципиальной схемы усилителя... | |||
84321. | Расчет параметров солянокислотной обработки, выбор рабочих жидкостей, реагентов и оценка потенциального дебита скважины до и после проведения СКО | 318.17 KB | |
Проведение профилактических мероприятий по улучшению работы внутрискважинного, насосного и устьевого оборудования. Оптимизация работы насосного оборудования и оснащения (Замена типоразмера и изменение глубины подвески насосного оборудования). Ликвидация аварий обсадной колонны. | |||
84322. | Технология и организация механизированного строительства трубопровода комбинированной конструкции | 155.2 KB | |
Согласно исходным данным трубопровод прокладывается в условиях чередования участков вечномерзлых грунтов и участков болот, водоемов и сухих грунтов. В связи с этим чередоваться будет и конструктивная схема прокладки трубопровода. | |||
84323. | Культура речи и стилистика лекции | 506 KB | |
Предмет и задачи культуры речи. Языковая норма, её роль в становлении и функционировании литературного языка. Нормы современного русского литературного языка и речевые ошибки. Функциональные стили современного русского литературного языка. Научный стиль. Официально-деловой функциональный стиль. Основы риторики. Основы полемического мастерства. Принципы организации и проведения деловой беседы... | |||
84324. | Расчет параметров технологии горно-строительных работ | 143.05 KB | |
Талнахский рудный узел включает Октябрьское месторождение, расположенное к западу от Норильско-Хараелахского разлома, и Талнахское, охватывающее зону грабена Норильско-Хараелахского разлома и еговосточное крыло.Тектонические нарушения обусловливают в свою | |||
84325. | Совершенствование управления капиталом на ООО «Камешкирский комбикормовый завод» | 113.91 KB | |
Основные производственные фонды состоящие из зданий сооружений машин оборудования и других средств труда которые участвуют в процессе производства являются самой главной основой деятельности предприятия. Основной капитал предприятия состоит из следующих элементов: основные средства нематериальные... | |||
84326. | Анатомо-физиологические механизмы ощущений. Рецепторы и анализаторы | 110.5 KB | |
Анализатор состоит из трех частей: 1. Периферического отдела (рецептора), трансформирующего внеййннэю энергию в нервный процесс; 2. Проводящих нервных путей, соединяющих периферические отделы анализатора с его центром: афферентных (направленных к центру) и эфферентных (идущих к периферии); 3. Подкорковых и корковых отделов анализатора, где происходит переработка нервных импульсов, приходящих из периферических отделов. | |||
84327. | Методичні рекомендації: Економіко-математичне моделювання | 173.5 KB | |
Написання курсової роботи з математичних методів повинно полегшити студентам вибір математичного апарата для рішення фінансових і економічних проблем при виконанні дипломної роботи, тому тему курсової роботи із запропонованого переліку студент вибирає самостійно, відповідно до напрямку своїх досліджен... | |||
84328. | Развитие творческого воображения у детей старшего дошкольного возраста в процессе лепки | 408.5 KB | |
Развитие воображения у детей старшего дошкольного возраста в процессе занятий лепкой. Развитие творческого воображения у детей экспериментальной группы посредствам лепки. Конспект по изобразительной деятельности по лепке на тему: «Медведь»... | |||