22351

Теоремы Лиувилля и Мореры

Лекция

Математика и математический анализ

По определению аналитическая функция – это функция комплексной переменной обладающая производной в каждой точке некоторой области D. Если функция fz аналитична в области D и непрерывна в то она обладает в каждой точке D производными всех порядков причем n я производная представляется формулой 1 где C – граница области D. По определению производной и формуле Коши имеем: Но очевидно что при функция равномерна для всех на C стремиться к и следовательно по теореме 2 предыдущей лекции для случая семейства функций...

Русский

2013-08-04

98 KB

9 чел.

Лекция №8.

Теоремы Лиувилля и Мореры.

По определению, аналитическая функция – это функция комплексной переменной, обладающая производной в каждой точке некоторой области D.

Покажем, что из аналитичности функции автоматически вытекает существование и аналитичность всех ее последовательных производных.

Теорема 1(Коши). Если функция f(z) аналитична в области D и непрерывна в , то она обладает в каждой точке D производными всех порядков, причем n- я производная представляется формулой

,        (1)

где C – граница области D.

Доказательство. Пусть z – произвольная внутренняя точка области D. По определению производной и формуле Коши имеем:

Но, очевидно, что при функция  равномерна для всех  на C стремиться к  и, следовательно, по теореме 2 предыдущей лекции (для случая семейства функций, зависящих от параметра h) предел существует, причем

           (2)

Для n = 1 теорема доказана. Предполагая ее верной для какого-либо n-1, точно также можно доказать ее справедливость для любого n, а тем самым доказать теорему.

Замечание 1. Как видно из доказательства, теорему можно сформулировать еще следующим образом:

Если функция непрерывна на границе C области D, то функция

     (3)

представленная формулой Коши (интегралом типа Коши), аналитична в этой области.

Замечание 2. Формулы (1) для производных получаются формальным дифференцированием формулы Коши по z; доказанная теорема утверждает законность этого дифференцирования.

Из формулы (1) вытекают важные неравенства Коши. Обозначим через M – максимум модуля функции f(z) в области D, через R - расстояние* точки z до границы D и через l – длину этой границы.

Из (1) имеем:

.    (4)

Если, в частности, f(z) аналитична в круге , то принимая в качестве D этот круг, получим:

           (5)

Это и есть неравенства Коши.

Полученные результаты позволяют доказать 2 важные теоремы теории аналитических функций.

Теорема 2(Лиувилля). Если функция f(z) аналитична во всей плоскости и ограничена, то она постоянна.

Доказательство. Пусть всюду . Для произвольной точки и для любого R неравенство (5) при n = 1 дает:

.

Т.к. здесь левая часть не зависит от R, а правая может быть сделана сколь угодно малой при увеличении R, то . Таким образом, т.к. - произвольная точка плоскости, то во всей плоскости . Отсюда по доказанной ранее теореме о первообразной заключаем, что

,

т.е. что функция f(z)=const. Ч.т.д.

Замечание. Теорема 2 допускает следующее обобщение.

Если функция f(z) аналитична во всей плоскости и ее модуль возрастает не быстрее чем , где n – целое число, а M – постоянная, то эта функция является многочленом степени не выше n.

Доказательство. Пусть - произвольная точка плоскости, из неравенства (5) имеем:

Заметим, что , после перехода к пределу при  получаем, что . Т.к.  - произвольная точка плоскости, то , а отсюда тем же методом, что и выше, нетрудно прийти к нужному результату.

 Докажем теперь теорему, которая обратна основной теореме Коши.

Теорема 3(Мореры). Если функция f(z) непрерывна в односвязной области D и интеграл  по любому замкнутому контуру C, лежащему в D, равен нулю, то f(z) аналитична в этой области.

Доказательство. Из условий теоремы следует, что в области D интеграл  не зависит от пути интегрирования, т.е. при фиксированном определяет некоторую функцию от z:

.         (6)

Повторяя дословно доказательство теоремы о первообразной, можно показать, что эта функция имеет производную** , т.е. аналитична. Но тогда по теореме 1 f(z) как производная аналитической функции в свою очередь является аналитической функцией. Ч.т.д.

* т.е.

** Т.к. интеграл в (6) справа не зависит от пути интегрирования, то для  имеем .


В силу непрерывности f(z) для , если . Теперь, полагая, что  из очевидного равенства , где интегрирование происходит вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки z и  и лежащего в D, будем иметь , т.е.


.     (7)

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65313. Заплавне ґрунтотворення і ґрунти заплави р. Західний Буг 157.5 KB
  Особливості формування ґрунтового покриву і властивості ґрунтів визначаються характером прояву елементарних ґрунтових процесів в заплаві, динамічністю алювіальних та седиментаційних процесів.
65314. ОБҐРУНТУВАННЯ ТА ПРИНЦИПИ ІНДИВІДУАЛЬНОГО ВИБОРУ ЗАСОБІВ ГІГІЄНИ ПОРОЖНИНИ РОТА ПРИ КАРІЄСІ ЗУБІВ 184 KB
  Карієс є основною причиною передчасної втрати зубів і тому це найбільш досліджувана стоматологічної патологія. Найсучасніші дані свідчать про те, що поширеність карієсу як і раніше залишається високою...
65315. УДОСКОНАЛЕННЯ ТЕХНОЛОГІЇ ФУНКЦІОНУВАННЯ ПЕРЕДАВАЛЬНИХ ЗАЛІЗНИЧНИХ СТАНЦІЙ В УМОВАХ ЗМІШАНИХ ТА ІНТЕРМОДАЛЬНИХ ПЕРЕВЕЗЕНЬ 713.65 KB
  Однак важливими ланками у забезпеченні перевізного процесу є залізничні станції. При виконанні змішаного перевезення в міждержавному сполученні вантажі крім технічних станцій проходять прикордонні передавальні станції де з ними виконується ряд технічних та організаційних операцій.
65316. ПРАВОВЕ РЕГУЛЮВАННЯ ПОДАТКОВОЇ ЗАСТАВИ В УКРАЇНІ 185 KB
  З метою забезпечення виконання податкового обов’язку платників податків в Україні на законодавчому рівні визначено право податкової застави. Серед цих пріоритетів всі з яких мають важливе значення особливу увагу приділено податковій реформі покращенню...
65317. Наукомісткість виробництва і структурні трансформації в промисловості 416.5 KB
  Сучасний етап розбудови глобальної економіки характеризується зміною укладної основи технологічного розвитку економічної системи. Важливим світовим науковим доробком стали результати ґрунтовного аналізу причин що індукують довгохвильову динаміку економічного розвитку...
65318. УДОСКОНАЛЕННЯ ПРОЕКТУВАННЯ ПОЗДОВЖНЬОГО ПРОФІЛЮ НА ОСНОВІ ЗАСТОСУВАННЯ КРИВИХ ЗМІННОГО РАДІУСА 3.52 MB
  Розробити метод проектування червоної лінії поздовжнього профілю автомобільних доріг на основі застосування кривих змінного радіуса з визначенням координат в межах від нескінченності...
65319. ПРАВОВЕ РЕГУЛЮВАННЯ ВИКОНАННЯ ПОДАТКОВОГО ОБОВ’ЯЗКУ 150 KB
  Забезпечення реальної можливості здійснення податкового обов’язку один із головних напрямків фінансової політики держави. Ефективність процедурноправового регулювання виконання податкового обов’язку безпосередньо впливає в першу чергу на забезпечення безумовної...
65321. МЕТОДИ ПРИСКОРЕНОГО КРИПТОАНАЛІЗУ БСШ НА ОСНОВІ АНАЛІЗУ ПОКАЗНИКІВ СТІЙКОСТІ ЗМЕНШЕНИХ МОДЕЛЕЙ ПРОТОТИПІВ 554 KB
  Відмічене визначає актуальність теми дисертаційної роботи направленої на вдосконалення методик оцінки показників стійкості БСШ до атак диференційного і лінійного криптоаналізу в інтересах в першу чергу підвищення якості і надійності...