22351

Теоремы Лиувилля и Мореры

Лекция

Математика и математический анализ

По определению аналитическая функция это функция комплексной переменной обладающая производной в каждой точке некоторой области D. Если функция fz аналитична в области D и непрерывна в то она обладает в каждой точке D производными всех порядков причем n я производная представляется формулой 1 где C граница области D. По определению производной и формуле Коши имеем: Но очевидно что при функция равномерна для всех на C стремиться к и следовательно по теореме 2 предыдущей лекции для случая семейства функций...

Русский

2013-08-04

98 KB

11 чел.

Лекция №8.

Теоремы Лиувилля и Мореры.

По определению, аналитическая функция – это функция комплексной переменной, обладающая производной в каждой точке некоторой области D.

Покажем, что из аналитичности функции автоматически вытекает существование и аналитичность всех ее последовательных производных.

Теорема 1(Коши). Если функция f(z) аналитична в области D и непрерывна в , то она обладает в каждой точке D производными всех порядков, причем n- я производная представляется формулой

,        (1)

где C – граница области D.

Доказательство. Пусть z – произвольная внутренняя точка области D. По определению производной и формуле Коши имеем:

Но, очевидно, что при функция  равномерна для всех  на C стремиться к  и, следовательно, по теореме 2 предыдущей лекции (для случая семейства функций, зависящих от параметра h) предел существует, причем

           (2)

Для n = 1 теорема доказана. Предполагая ее верной для какого-либо n-1, точно также можно доказать ее справедливость для любого n, а тем самым доказать теорему.

Замечание 1. Как видно из доказательства, теорему можно сформулировать еще следующим образом:

Если функция непрерывна на границе C области D, то функция

     (3)

представленная формулой Коши (интегралом типа Коши), аналитична в этой области.

Замечание 2. Формулы (1) для производных получаются формальным дифференцированием формулы Коши по z; доказанная теорема утверждает законность этого дифференцирования.

Из формулы (1) вытекают важные неравенства Коши. Обозначим через M – максимум модуля функции f(z) в области D, через R - расстояние* точки z до границы D и через l – длину этой границы.

Из (1) имеем:

.    (4)

Если, в частности, f(z) аналитична в круге , то принимая в качестве D этот круг, получим:

           (5)

Это и есть неравенства Коши.

Полученные результаты позволяют доказать 2 важные теоремы теории аналитических функций.

Теорема 2(Лиувилля). Если функция f(z) аналитична во всей плоскости и ограничена, то она постоянна.

Доказательство. Пусть всюду . Для произвольной точки и для любого R неравенство (5) при n = 1 дает:

.

Т.к. здесь левая часть не зависит от R, а правая может быть сделана сколь угодно малой при увеличении R, то . Таким образом, т.к. - произвольная точка плоскости, то во всей плоскости . Отсюда по доказанной ранее теореме о первообразной заключаем, что

,

т.е. что функция f(z)=const. Ч.т.д.

Замечание. Теорема 2 допускает следующее обобщение.

Если функция f(z) аналитична во всей плоскости и ее модуль возрастает не быстрее чем , где n – целое число, а M – постоянная, то эта функция является многочленом степени не выше n.

Доказательство. Пусть - произвольная точка плоскости, из неравенства (5) имеем:

Заметим, что , после перехода к пределу при  получаем, что . Т.к.  - произвольная точка плоскости, то , а отсюда тем же методом, что и выше, нетрудно прийти к нужному результату.

 Докажем теперь теорему, которая обратна основной теореме Коши.

Теорема 3(Мореры). Если функция f(z) непрерывна в односвязной области D и интеграл  по любому замкнутому контуру C, лежащему в D, равен нулю, то f(z) аналитична в этой области.

Доказательство. Из условий теоремы следует, что в области D интеграл  не зависит от пути интегрирования, т.е. при фиксированном определяет некоторую функцию от z:

.         (6)

Повторяя дословно доказательство теоремы о первообразной, можно показать, что эта функция имеет производную** , т.е. аналитична. Но тогда по теореме 1 f(z) как производная аналитической функции в свою очередь является аналитической функцией. Ч.т.д.

* т.е.

** Т.к. интеграл в (6) справа не зависит от пути интегрирования, то для  имеем .


В силу непрерывности f(z) для , если . Теперь, полагая, что  из очевидного равенства , где интегрирование происходит вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки z и  и лежащего в D, будем иметь , т.е.


.     (7)

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84320. Расчет многокаскадного усилителя с ООС 224.41 KB
  Исходные данные и цель работы. Структура и свойства выбранного типа ООС. Разработка структурной и принципиальной схемы усилителя Разработка структурной схемы. Разработка принципиальной схемы. Обозначения элементов принципиальной схемы. Расчет элементов принципиальной схемы усилителя...
84321. Расчет параметров солянокислотной обработки, выбор рабочих жидкостей, реагентов и оценка потенциального дебита скважины до и после проведения СКО 318.17 KB
  Проведение профилактических мероприятий по улучшению работы внутрискважинного, насосного и устьевого оборудования. Оптимизация работы насосного оборудования и оснащения (Замена типоразмера и изменение глубины подвески насосного оборудования). Ликвидация аварий обсадной колонны.
84322. Технология и организация механизированного строительства трубопровода комбинированной конструкции 155.2 KB
  Согласно исходным данным трубопровод прокладывается в условиях чередования участков вечномерзлых грунтов и участков болот, водоемов и сухих грунтов. В связи с этим чередоваться будет и конструктивная схема прокладки трубопровода.
84323. Культура речи и стилистика лекции 506 KB
  Предмет и задачи культуры речи. Языковая норма, её роль в становлении и функционировании литературного языка. Нормы современного русского литературного языка и речевые ошибки. Функциональные стили современного русского литературного языка. Научный стиль. Официально-деловой функциональный стиль. Основы риторики. Основы полемического мастерства. Принципы организации и проведения деловой беседы...
84324. Расчет параметров технологии горно-строительных работ 143.05 KB
  Талнахский рудный узел включает Октябрьское месторождение, расположенное к западу от Норильско-Хараелахского разлома, и Талнахское, охватывающее зону грабена Норильско-Хараелахского разлома и еговосточное крыло.Тектонические нарушения обусловливают в свою
84325. Совершенствование управления капиталом на ООО «Камешкирский комбикормовый завод» 113.91 KB
  Основные производственные фонды состоящие из зданий сооружений машин оборудования и других средств труда которые участвуют в процессе производства являются самой главной основой деятельности предприятия. Основной капитал предприятия состоит из следующих элементов: основные средства нематериальные...
84326. Анатомо-физиологические механизмы ощущений. Рецепторы и анализаторы 110.5 KB
  Анализатор состоит из трех частей: 1. Периферического отдела (рецептора), трансформирующего внеййннэю энергию в нервный процесс; 2. Проводящих нервных путей, соединяющих периферические отделы анализатора с его центром: афферентных (направленных к центру) и эфферентных (идущих к периферии); 3. Подкорковых и корковых отделов анализатора, где происходит переработка нервных импульсов, приходящих из периферических отделов.
84327. Методичні рекомендації: Економіко-математичне моделювання 173.5 KB
  Написання курсової роботи з математичних методів повинно полегшити студентам вибір математичного апарата для рішення фінансових і економічних проблем при виконанні дипломної роботи, тому тему курсової роботи із запропонованого переліку студент вибирає самостійно, відповідно до напрямку своїх досліджен...
84328. Развитие творческого воображения у детей старшего дошкольного возраста в процессе лепки 408.5 KB
  Развитие воображения у детей старшего дошкольного возраста в процессе занятий лепкой. Развитие творческого воображения у детей экспериментальной группы посредствам лепки. Конспект по изобразительной деятельности по лепке на тему: «Медведь»...