22351

Теоремы Лиувилля и Мореры

Лекция

Математика и математический анализ

По определению аналитическая функция это функция комплексной переменной обладающая производной в каждой точке некоторой области D. Если функция fz аналитична в области D и непрерывна в то она обладает в каждой точке D производными всех порядков причем n я производная представляется формулой 1 где C граница области D. По определению производной и формуле Коши имеем: Но очевидно что при функция равномерна для всех на C стремиться к и следовательно по теореме 2 предыдущей лекции для случая семейства функций...

Русский

2013-08-04

98 KB

11 чел.

Лекция №8.

Теоремы Лиувилля и Мореры.

По определению, аналитическая функция – это функция комплексной переменной, обладающая производной в каждой точке некоторой области D.

Покажем, что из аналитичности функции автоматически вытекает существование и аналитичность всех ее последовательных производных.

Теорема 1(Коши). Если функция f(z) аналитична в области D и непрерывна в , то она обладает в каждой точке D производными всех порядков, причем n- я производная представляется формулой

,        (1)

где C – граница области D.

Доказательство. Пусть z – произвольная внутренняя точка области D. По определению производной и формуле Коши имеем:

Но, очевидно, что при функция  равномерна для всех  на C стремиться к  и, следовательно, по теореме 2 предыдущей лекции (для случая семейства функций, зависящих от параметра h) предел существует, причем

           (2)

Для n = 1 теорема доказана. Предполагая ее верной для какого-либо n-1, точно также можно доказать ее справедливость для любого n, а тем самым доказать теорему.

Замечание 1. Как видно из доказательства, теорему можно сформулировать еще следующим образом:

Если функция непрерывна на границе C области D, то функция

     (3)

представленная формулой Коши (интегралом типа Коши), аналитична в этой области.

Замечание 2. Формулы (1) для производных получаются формальным дифференцированием формулы Коши по z; доказанная теорема утверждает законность этого дифференцирования.

Из формулы (1) вытекают важные неравенства Коши. Обозначим через M – максимум модуля функции f(z) в области D, через R - расстояние* точки z до границы D и через l – длину этой границы.

Из (1) имеем:

.    (4)

Если, в частности, f(z) аналитична в круге , то принимая в качестве D этот круг, получим:

           (5)

Это и есть неравенства Коши.

Полученные результаты позволяют доказать 2 важные теоремы теории аналитических функций.

Теорема 2(Лиувилля). Если функция f(z) аналитична во всей плоскости и ограничена, то она постоянна.

Доказательство. Пусть всюду . Для произвольной точки и для любого R неравенство (5) при n = 1 дает:

.

Т.к. здесь левая часть не зависит от R, а правая может быть сделана сколь угодно малой при увеличении R, то . Таким образом, т.к. - произвольная точка плоскости, то во всей плоскости . Отсюда по доказанной ранее теореме о первообразной заключаем, что

,

т.е. что функция f(z)=const. Ч.т.д.

Замечание. Теорема 2 допускает следующее обобщение.

Если функция f(z) аналитична во всей плоскости и ее модуль возрастает не быстрее чем , где n – целое число, а M – постоянная, то эта функция является многочленом степени не выше n.

Доказательство. Пусть - произвольная точка плоскости, из неравенства (5) имеем:

Заметим, что , после перехода к пределу при  получаем, что . Т.к.  - произвольная точка плоскости, то , а отсюда тем же методом, что и выше, нетрудно прийти к нужному результату.

 Докажем теперь теорему, которая обратна основной теореме Коши.

Теорема 3(Мореры). Если функция f(z) непрерывна в односвязной области D и интеграл  по любому замкнутому контуру C, лежащему в D, равен нулю, то f(z) аналитична в этой области.

Доказательство. Из условий теоремы следует, что в области D интеграл  не зависит от пути интегрирования, т.е. при фиксированном определяет некоторую функцию от z:

.         (6)

Повторяя дословно доказательство теоремы о первообразной, можно показать, что эта функция имеет производную** , т.е. аналитична. Но тогда по теореме 1 f(z) как производная аналитической функции в свою очередь является аналитической функцией. Ч.т.д.

* т.е.

** Т.к. интеграл в (6) справа не зависит от пути интегрирования, то для  имеем .


В силу непрерывности f(z) для , если . Теперь, полагая, что  из очевидного равенства , где интегрирование происходит вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки z и  и лежащего в D, будем иметь , т.е.


.     (7)

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26857. Мочевой пузырь и мочеточник 4.31 KB
  В тазовой полости в мочеполовой складке брюшины он переходит на дорсальную стенку мочевого пузыря и на границе серозной оболочки и адвентиции прободает мышечную оболочку следуя на коротком расстоянии до 3 5 см у крупных животных между мышечной и слизистой оболочками и открывается в полость мочевого пузыря. Такое взаимоотношение мочеточника с оболочками мочевого пузыря препятствует обратному поступлению мочи из мочевого пузыря в мочеточники но не мешает току мочи от почек в пузырь. Он представляет собой мешок грушевидной формы на...
26858. Основные данные фило- и онтогенеза органов размножения 4.26 KB
  Рядом с протоком промежуточной почки одновременно с возникновением половых складок появляется особый клеточный тяж одной стороной примыкающий к протоку промежуточной почки. В дальнейшем этот тяж обособляется от протока промежуточной почки И становится мюллеровым каналом половой системы самок.Передние мочеотделительные трубочки промежуточной почки образуют прямые канальцы и семенниковую сеть.Задние мочеотделительные трубочки промежуточной почки сохраняются в виде сильно редуцированных остатков в области придатка семенника.
26859. Анатомический состав и морфофункциональная хар-ка органов размножения самцов и самок 2.9 KB
  В целом морфология органов половой системы самца и самки паренхиматозного и трубчатого строения обеспечивает два вида процессов: 1 трофику развитие гонады и плода и 2 проведение половых клеток введение половых органов самца в половые пути самки и выведение по ним развившегося плода.Половой аппарат самца и самки имеет общие принципы строения и состоит из нескольких отделов: а половые железы парные: у самцов семенники у самок яичники вырабатывающие половые клеткиб половые протоки про водящие половые клетки семяпроводы у...
26860. Семенниковый мешок 1.88 KB
  Состоит семенниковый мешок из мошонки и влагалищных оболочек. Кожа мошонки cutis scroti покрыта мелкими волосами содержит потовые и сальные железы. По средней сагитталь'ной линии на ней выделяется шов мошонки. Она очень прочно сращена с кожей мошонки образуя одну оболочку.
26861. Семенники и придатки 4.39 KB
  Семенник подвешен на семенном канатике в семенниковом мешке; по форме он напоминает эллипсоид; с ним тесно связан придаток семенника . Головчатый конец extremitas capitata характеризуется наличием на нем головки придатка семенника которая бывает то плоская то толстая почти такая же как и хвост придатка . На придаточном крае семенника margo epididymidis прикрепляется брыжейка семенника и располагается тело придатка. Край семенника противоположный придатковому называется свободным краем .
26862. Семенной канатик и семяпровод 3.07 KB
  Семенной канатик и семяпровод. Семяпровод ductus deferens представляет собой семя проводящую трубку из слизистой мышечной и серозной оболочек; он служит продолжением канала придатка и выходит из его хвоста В составе семенного канатика с его медиальной стороны семяпровод направляется через. паховый канал в брюшную полость и затем идет в семяпроводной складке plica ductus deferentis в тазовую полость. Позади шейки последнего семяпровод соединяется с выводным протоком пузырьковидной железы в семяизвергающий проток ductus...
26863. Мочеполовой канал и придаточные половые железы 4.84 KB
  Мочеполовой канал начинается внутренним отверстием уретры ostium urethrae internum : из шейки мочевого пузыря и оканчивается наружным отверстием уретры ostium urethrae externum на головке полоеого члена. Губчатая часть pars spongiosa начинается от перешейка уретры и заканчивается на переднем конце головки полового члена образуя здесь отросток уретры processus urethrae. Кавернозный слой мужской уретры stratum cavernosum в своей основе имеет соединительнотканный остов. bulbourethral парная; размещается в каудальной части...
26864. Половой член и препуций 3.74 KB
  Половой член penis состоит из пещеристого тела полового члена и удовой части мочеполового канала. Пещеристое тело полового члена corpus cavernosum penis в области седалищной дуги прикрепляется к седалищным костям двумя ножками crus penis. Ножки формируют непарное тело corpus penis. Корень полового члена radix penis образован ножками кавернозного тела и началом удовой части мужской уретры.
26865. Яичники и яйцеводы домашних животных 3.89 KB
  Передний конец яйцепровода формирует воронкообразное расширение. В глубине воронки находится брюшное отверстие яйцепровода ostium abdominale tubae uterinae. Брюшное отверстие ведет в краниальную часть яйцепровода ампулу ampulla tubae uterinae.