22351

Теоремы Лиувилля и Мореры

Лекция

Математика и математический анализ

По определению аналитическая функция это функция комплексной переменной обладающая производной в каждой точке некоторой области D. Если функция fz аналитична в области D и непрерывна в то она обладает в каждой точке D производными всех порядков причем n я производная представляется формулой 1 где C граница области D. По определению производной и формуле Коши имеем: Но очевидно что при функция равномерна для всех на C стремиться к и следовательно по теореме 2 предыдущей лекции для случая семейства функций...

Русский

2013-08-04

98 KB

11 чел.

Лекция №8.

Теоремы Лиувилля и Мореры.

По определению, аналитическая функция – это функция комплексной переменной, обладающая производной в каждой точке некоторой области D.

Покажем, что из аналитичности функции автоматически вытекает существование и аналитичность всех ее последовательных производных.

Теорема 1(Коши). Если функция f(z) аналитична в области D и непрерывна в , то она обладает в каждой точке D производными всех порядков, причем n- я производная представляется формулой

,        (1)

где C – граница области D.

Доказательство. Пусть z – произвольная внутренняя точка области D. По определению производной и формуле Коши имеем:

Но, очевидно, что при функция  равномерна для всех  на C стремиться к  и, следовательно, по теореме 2 предыдущей лекции (для случая семейства функций, зависящих от параметра h) предел существует, причем

           (2)

Для n = 1 теорема доказана. Предполагая ее верной для какого-либо n-1, точно также можно доказать ее справедливость для любого n, а тем самым доказать теорему.

Замечание 1. Как видно из доказательства, теорему можно сформулировать еще следующим образом:

Если функция непрерывна на границе C области D, то функция

     (3)

представленная формулой Коши (интегралом типа Коши), аналитична в этой области.

Замечание 2. Формулы (1) для производных получаются формальным дифференцированием формулы Коши по z; доказанная теорема утверждает законность этого дифференцирования.

Из формулы (1) вытекают важные неравенства Коши. Обозначим через M – максимум модуля функции f(z) в области D, через R - расстояние* точки z до границы D и через l – длину этой границы.

Из (1) имеем:

.    (4)

Если, в частности, f(z) аналитична в круге , то принимая в качестве D этот круг, получим:

           (5)

Это и есть неравенства Коши.

Полученные результаты позволяют доказать 2 важные теоремы теории аналитических функций.

Теорема 2(Лиувилля). Если функция f(z) аналитична во всей плоскости и ограничена, то она постоянна.

Доказательство. Пусть всюду . Для произвольной точки и для любого R неравенство (5) при n = 1 дает:

.

Т.к. здесь левая часть не зависит от R, а правая может быть сделана сколь угодно малой при увеличении R, то . Таким образом, т.к. - произвольная точка плоскости, то во всей плоскости . Отсюда по доказанной ранее теореме о первообразной заключаем, что

,

т.е. что функция f(z)=const. Ч.т.д.

Замечание. Теорема 2 допускает следующее обобщение.

Если функция f(z) аналитична во всей плоскости и ее модуль возрастает не быстрее чем , где n – целое число, а M – постоянная, то эта функция является многочленом степени не выше n.

Доказательство. Пусть - произвольная точка плоскости, из неравенства (5) имеем:

Заметим, что , после перехода к пределу при  получаем, что . Т.к.  - произвольная точка плоскости, то , а отсюда тем же методом, что и выше, нетрудно прийти к нужному результату.

 Докажем теперь теорему, которая обратна основной теореме Коши.

Теорема 3(Мореры). Если функция f(z) непрерывна в односвязной области D и интеграл  по любому замкнутому контуру C, лежащему в D, равен нулю, то f(z) аналитична в этой области.

Доказательство. Из условий теоремы следует, что в области D интеграл  не зависит от пути интегрирования, т.е. при фиксированном определяет некоторую функцию от z:

.         (6)

Повторяя дословно доказательство теоремы о первообразной, можно показать, что эта функция имеет производную** , т.е. аналитична. Но тогда по теореме 1 f(z) как производная аналитической функции в свою очередь является аналитической функцией. Ч.т.д.

* т.е.

** Т.к. интеграл в (6) справа не зависит от пути интегрирования, то для  имеем .


В силу непрерывности f(z) для , если . Теперь, полагая, что  из очевидного равенства , где интегрирование происходит вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки z и  и лежащего в D, будем иметь , т.е.


.     (7)

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29840. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 122.5 KB
  АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ. Предмет и задачи курса теории управления. Принципы управления. Классификация систем управления.
29841. Дискретные системы управления. Математическое описание дискретных сигналов 325.5 KB
  Свойства спектра дискретного сигнала и погрешности восстановления непрерывного сигнала. Аналитическое представление такого сигнала Аналитическое представление АИМ сигнала формула При представлении дискретного сигнала в виде числовой последовательности отсутствует время t поэтому к числовым последовательностям не применимы интегральные преобразования.
29842. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 252 KB
  МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ. Моделирование объектов и систем управления начинается с их выделения из окружающей среды что всегда приводит к изучению принципов т.
29843. Физический смысл коэффициентов дифференциального уравнения 295 KB
  Вывод: Звено 2ого порядка характеризуется либо двумя постоянными времени T1 и T2 либо постоянной времени и степенью затухания. Типовое звено это звено процессы в котором описываются дифференциальным уравнением не выше 2ого порядка. Рассмотрим классификацию типовых динамических звеньев: статические звенья: Пзвено идеальное усилительное звено пропорциональное . Азвено 1ого порядка инерционное апериодическое звено 1ого порядка .
29844. Экономические модели финансового роста 21.51 KB
  Экономические модели финансового роста. внимание общества привлекли разрабатывавшиеся в рамках неоклассических теорий модели экономического роста авторы которых широко используя математический аппарат пытались решить проблемы потенциального и устойчивого роста экономики определить условия достижения динамического равновесия. Данный подход характерен и для нашей страны: российские экономисты успешно разрабатывают модели межотраслевого баланса на базе которых рассчитывают межотраслевые пропорции валовой и конечный продукт личное и...
29845. Формирование политики бюджетного регулирования,принципы организации и направления её совершенствования 22.9 KB
  Для проведения рациональной бюджетной политики важно правильное понимание бюджетной системы. Бюджетная система Российской Федерации представляет собой целостную совокупность бюджетов всех уровней основанную на принципах построения бюджетной системы федеративного государства. Бюджетная система РФ является составной частью финансовой системы РФ и включает: 21 республиканский бюджет республик в составе РФ; 55 краевых и областных бюджетов; бюджеты 2 городов Москвы и СанктПетербурга; 1 бюджет автономной области; 10 бюджетов автономных округов;...
29846. Инвестиционный проект:содержание,классификация,фазы развития.Критерии и методы оценки 94 KB
  Временной фактор играет ключевую роль в оценке инвестиционного проекта. На этом этапе проект разрабатывается готовится его техникоэкономическое обоснование проводятся маркетинговые исследования осуществляется выбор поставщиков сырья и оборудования ведутся переговоры с потенциальными инвесторами и участниками проекта. Также здесь может осуществляться юридическое оформление проекта регистрация предприятия оформление контрактов и т. Как правило в конце предынвестиционной фазы должен быть получен развернутый бизнесплан инвестиционного...
29847. Резервы повышения развития средств хозяйствования 18.46 KB
  В масштабах всего народного хозяйства создаются общегосударственные резервы средств производства и ведется подготовка трудовых резервов т. Это направление анализа резервов имеет очень важное значение для расчета обоснованных норм резервных запасов их ограничения действительно необходимыми для обеспечения непрерывности и ритмичности производства. Выявление резервов в таком понимании и определение реальных путей и сроков их мобилизации являются основными задачами экономического анализа деятельности хозяйствующих субъектов. Для...