22351

Теоремы Лиувилля и Мореры

Лекция

Математика и математический анализ

По определению аналитическая функция – это функция комплексной переменной обладающая производной в каждой точке некоторой области D. Если функция fz аналитична в области D и непрерывна в то она обладает в каждой точке D производными всех порядков причем n я производная представляется формулой 1 где C – граница области D. По определению производной и формуле Коши имеем: Но очевидно что при функция равномерна для всех на C стремиться к и следовательно по теореме 2 предыдущей лекции для случая семейства функций...

Русский

2013-08-04

98 KB

9 чел.

Лекция №8.

Теоремы Лиувилля и Мореры.

По определению, аналитическая функция – это функция комплексной переменной, обладающая производной в каждой точке некоторой области D.

Покажем, что из аналитичности функции автоматически вытекает существование и аналитичность всех ее последовательных производных.

Теорема 1(Коши). Если функция f(z) аналитична в области D и непрерывна в , то она обладает в каждой точке D производными всех порядков, причем n- я производная представляется формулой

,        (1)

где C – граница области D.

Доказательство. Пусть z – произвольная внутренняя точка области D. По определению производной и формуле Коши имеем:

Но, очевидно, что при функция  равномерна для всех  на C стремиться к  и, следовательно, по теореме 2 предыдущей лекции (для случая семейства функций, зависящих от параметра h) предел существует, причем

           (2)

Для n = 1 теорема доказана. Предполагая ее верной для какого-либо n-1, точно также можно доказать ее справедливость для любого n, а тем самым доказать теорему.

Замечание 1. Как видно из доказательства, теорему можно сформулировать еще следующим образом:

Если функция непрерывна на границе C области D, то функция

     (3)

представленная формулой Коши (интегралом типа Коши), аналитична в этой области.

Замечание 2. Формулы (1) для производных получаются формальным дифференцированием формулы Коши по z; доказанная теорема утверждает законность этого дифференцирования.

Из формулы (1) вытекают важные неравенства Коши. Обозначим через M – максимум модуля функции f(z) в области D, через R - расстояние* точки z до границы D и через l – длину этой границы.

Из (1) имеем:

.    (4)

Если, в частности, f(z) аналитична в круге , то принимая в качестве D этот круг, получим:

           (5)

Это и есть неравенства Коши.

Полученные результаты позволяют доказать 2 важные теоремы теории аналитических функций.

Теорема 2(Лиувилля). Если функция f(z) аналитична во всей плоскости и ограничена, то она постоянна.

Доказательство. Пусть всюду . Для произвольной точки и для любого R неравенство (5) при n = 1 дает:

.

Т.к. здесь левая часть не зависит от R, а правая может быть сделана сколь угодно малой при увеличении R, то . Таким образом, т.к. - произвольная точка плоскости, то во всей плоскости . Отсюда по доказанной ранее теореме о первообразной заключаем, что

,

т.е. что функция f(z)=const. Ч.т.д.

Замечание. Теорема 2 допускает следующее обобщение.

Если функция f(z) аналитична во всей плоскости и ее модуль возрастает не быстрее чем , где n – целое число, а M – постоянная, то эта функция является многочленом степени не выше n.

Доказательство. Пусть - произвольная точка плоскости, из неравенства (5) имеем:

Заметим, что , после перехода к пределу при  получаем, что . Т.к.  - произвольная точка плоскости, то , а отсюда тем же методом, что и выше, нетрудно прийти к нужному результату.

 Докажем теперь теорему, которая обратна основной теореме Коши.

Теорема 3(Мореры). Если функция f(z) непрерывна в односвязной области D и интеграл  по любому замкнутому контуру C, лежащему в D, равен нулю, то f(z) аналитична в этой области.

Доказательство. Из условий теоремы следует, что в области D интеграл  не зависит от пути интегрирования, т.е. при фиксированном определяет некоторую функцию от z:

.         (6)

Повторяя дословно доказательство теоремы о первообразной, можно показать, что эта функция имеет производную** , т.е. аналитична. Но тогда по теореме 1 f(z) как производная аналитической функции в свою очередь является аналитической функцией. Ч.т.д.

* т.е.

** Т.к. интеграл в (6) справа не зависит от пути интегрирования, то для  имеем .


В силу непрерывности f(z) для , если . Теперь, полагая, что  из очевидного равенства , где интегрирование происходит вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки z и  и лежащего в D, будем иметь , т.е.


.     (7)

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44345. СОЦИАЛЬНАЯ РЕАБИЛИТАЦИЯ ЛИЦ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ФИЗИЧЕСКИМИ ВОЗМОЖНОСТЯМИ 421.5 KB
  Социальная реабилитация инвалидов – актуальная проблема современности. Принцип комплексного подхода в социальной реабилитации инвалидов. Социально медицинские услуги как один из факторов социальной реабилитации инвалидов. Роль социального работника в реабилитации инвалидов.
44347. Изучение теоретических основ компенсационного менеджмента и разработка практических рекомендаций по его совершенствованию в АНО «Цент Развития Современного Дизайна» 853 KB
  Теория краткосрочных и долгосрочных стимулов Анализ компенсационной политики в АНО Центр Развития Современного Дизайна Краткая характеристика АНО Центр Развития Современного Дизайна Анализ организации и регулирования оплаты труда в АНО Центр Развития Современного Дизайна Анализ формирования поощрительного фонда в АНО Центр Развития Современного Дизайна Совершенствование организации компенсационной системы в АНО Центр Развития Современного Дизайна Рекомендации по формированию компенсационного пакета АНО Центр...
44348. Разработка мер по совершенствованию системы обязательного социального страхования в Российской Федерации 1.36 MB
  Обязательное социальное страхование появилось в Росси несколько позже, чем в западных странах. В 1889 году в Государственный совет был предложении проект закона, в котором предлагалось нести ответственность владельцам промышленных предприятий за причиненное увечье вплоть до случаев со смертельным исходом
44350. УПРАВЛЕНИЕ КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТЬЮ ПРЕДПРИЯТИЯ 671 KB
  Конкуренция является неотъемлемой компонентой рыночной экономики. Она побуждает предпринимателей и коммерсантов в наиболее сжатые сроки внедрять всё то новое, что является в результате научных исследований и достижений научно-технического прогресса
44351. Правовое регулирование материального обеспечения военнослужащих 405.5 KB
  Правовые основы материального обеспечения военнослужащих.1 Исторический аспект формирования нормативноправовой базы регулирующей материальное обеспечение военнослужащих.2 Понятие и виды материального обеспечения военнослужащих. Особенности медицинского и санаторнокурортного обеспечения военнослужащих.
44352. Оценка экономической эффективности инвестиций в систему защиты персональных данных в информационной системе персональных данных ООО «Информбюро» 1.46 MB
  Система должна обеспечивать безопасность всей информации подлежащей защите. Выявлены возможные угрозы безопасности информации и разработаны требования к системе защиты. ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ ПДн − персональные данные ИСПДн – информационная система персональных данных АС – автоматизированная система АРМ – автоматизированное рабочее место ЛВС – локально-вычислительная сеть НСД − несанкционированный доступ СЗИ − средство защиты информации МЭ – межсетевой экран ПО – программное обеспечение ООО – общество с ограниченной ответственностью КоАП –...