22351

Теоремы Лиувилля и Мореры

Лекция

Математика и математический анализ

По определению аналитическая функция это функция комплексной переменной обладающая производной в каждой точке некоторой области D. Если функция fz аналитична в области D и непрерывна в то она обладает в каждой точке D производными всех порядков причем n я производная представляется формулой 1 где C граница области D. По определению производной и формуле Коши имеем: Но очевидно что при функция равномерна для всех на C стремиться к и следовательно по теореме 2 предыдущей лекции для случая семейства функций...

Русский

2013-08-04

98 KB

16 чел.

Лекция №8.

Теоремы Лиувилля и Мореры.

По определению, аналитическая функция – это функция комплексной переменной, обладающая производной в каждой точке некоторой области D.

Покажем, что из аналитичности функции автоматически вытекает существование и аналитичность всех ее последовательных производных.

Теорема 1(Коши). Если функция f(z) аналитична в области D и непрерывна в , то она обладает в каждой точке D производными всех порядков, причем n- я производная представляется формулой

,        (1)

где C – граница области D.

Доказательство. Пусть z – произвольная внутренняя точка области D. По определению производной и формуле Коши имеем:

Но, очевидно, что при функция  равномерна для всех  на C стремиться к  и, следовательно, по теореме 2 предыдущей лекции (для случая семейства функций, зависящих от параметра h) предел существует, причем

           (2)

Для n = 1 теорема доказана. Предполагая ее верной для какого-либо n-1, точно также можно доказать ее справедливость для любого n, а тем самым доказать теорему.

Замечание 1. Как видно из доказательства, теорему можно сформулировать еще следующим образом:

Если функция непрерывна на границе C области D, то функция

     (3)

представленная формулой Коши (интегралом типа Коши), аналитична в этой области.

Замечание 2. Формулы (1) для производных получаются формальным дифференцированием формулы Коши по z; доказанная теорема утверждает законность этого дифференцирования.

Из формулы (1) вытекают важные неравенства Коши. Обозначим через M – максимум модуля функции f(z) в области D, через R - расстояние* точки z до границы D и через l – длину этой границы.

Из (1) имеем:

.    (4)

Если, в частности, f(z) аналитична в круге , то принимая в качестве D этот круг, получим:

           (5)

Это и есть неравенства Коши.

Полученные результаты позволяют доказать 2 важные теоремы теории аналитических функций.

Теорема 2(Лиувилля). Если функция f(z) аналитична во всей плоскости и ограничена, то она постоянна.

Доказательство. Пусть всюду . Для произвольной точки и для любого R неравенство (5) при n = 1 дает:

.

Т.к. здесь левая часть не зависит от R, а правая может быть сделана сколь угодно малой при увеличении R, то . Таким образом, т.к. - произвольная точка плоскости, то во всей плоскости . Отсюда по доказанной ранее теореме о первообразной заключаем, что

,

т.е. что функция f(z)=const. Ч.т.д.

Замечание. Теорема 2 допускает следующее обобщение.

Если функция f(z) аналитична во всей плоскости и ее модуль возрастает не быстрее чем , где n – целое число, а M – постоянная, то эта функция является многочленом степени не выше n.

Доказательство. Пусть - произвольная точка плоскости, из неравенства (5) имеем:

Заметим, что , после перехода к пределу при  получаем, что . Т.к.  - произвольная точка плоскости, то , а отсюда тем же методом, что и выше, нетрудно прийти к нужному результату.

 Докажем теперь теорему, которая обратна основной теореме Коши.

Теорема 3(Мореры). Если функция f(z) непрерывна в односвязной области D и интеграл  по любому замкнутому контуру C, лежащему в D, равен нулю, то f(z) аналитична в этой области.

Доказательство. Из условий теоремы следует, что в области D интеграл  не зависит от пути интегрирования, т.е. при фиксированном определяет некоторую функцию от z:

.         (6)

Повторяя дословно доказательство теоремы о первообразной, можно показать, что эта функция имеет производную** , т.е. аналитична. Но тогда по теореме 1 f(z) как производная аналитической функции в свою очередь является аналитической функцией. Ч.т.д.

* т.е.

** Т.к. интеграл в (6) справа не зависит от пути интегрирования, то для  имеем .


В силу непрерывности f(z) для , если . Теперь, полагая, что  из очевидного равенства , где интегрирование происходит вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки z и  и лежащего в D, будем иметь , т.е.


.     (7)

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8779. VLAN (Virtual Local Area Network) и VPN (Virtual Private Network) 38 KB
  VLAN, VPN. VLAN(Virtual Local Area Network) иVPN(Virtual Private Network)- два популярных способа решения задачи построения независимых сетей, использующих общие физические линии связи в локальны...
8780. Сети ФЭУ 47 KB
  Сети ФЭУ Серверы сети Novell (Net Ware 5.0): S1FEM, S2FEM, S3FEM Серверысети Microsoft (MS Windows 2000 server): NTS1, NTS2 Серверы приложений: TS (MSWindows 2000 server) – терминальный сервер Appsrv (MS Windows...
8781. Адресация в IP сети 51.5 KB
  Адресация в IP сети В IP сетях используют три типа: физические адреса узлов – MAC адреса (физический уровень) сетевые адреса - IP адреса (сетевой/транспортный уровень) символьные адреса - DNS (Domain Name...
8782. SIP (Session Initiation Protocol) - ориентированный на операторов глобальной сети Internet протокол IEFT для IP-телефонии 54 KB
  SIP SIP(Session Initiation Protocol)- ориентированный на операторов глобальной сети Internet протокол IEFT для IP-телефонии. IEFT (Internet Engineering Task Force) - тактическая группа проектирования Interne...
8783. Файловая система UNIX 57.5 KB
  Файловая система UNIX. Одними из базовых принципов UNIX являются: представление всех объектов, включая устройства, как файлов взаимодействие с файловыми системами разных типов, в том числе NFS. Сетевая файловая система NF...
8784. Меж сетевой экран (МСЭ) или firewall 59 KB
  МСЭ Другим популярным методом защиты сетей является использование МежСетевого Экрана (МСЭ) илиfirewall. МСЭ или брандмауэр (перевод на немецкий язык англ. Firewall) осуществляет фильтрацию IP пакетов для защиты внутренней информационной среды ...
8785. Протоколы SLIP и PPP 62 KB
  Протоколы SLIP и PPP. В качестве протоколов канального уровня для удалённого доступа используются протоколы SLIP и РРР. Протокол SLIP (SerialLineIP) один из старейших (1984 г.) протоколов стека TCP/IP, используемый для соединения с компь...
8786. Задачи курса. Классификация компьютерных сетей 68 KB
  Задачи курса. Классификация компьютерных сетей Под термином сеть будем понимать систему связи со многими источниками и/или получателями сообщений. Места, где пути распространения сигналов в сети разветвляются или оканчиваются, называются узлами сети...
8787. Безопасность компьютерных сетей 64.5 KB
  Безопасность компьютерных сетей. Безопасность компьютерных сетей (информационных систем) - комплексная проблема, решаемая системными методами. Это означает, что никакие, даже самые продвинутые методы защиты, не могут гарантировать безопасност...