22352

Представление аналитических функций рядами

Лекция

Математика и математический анализ

Ряды Тейлора. при каких условиях функция представима своим рядом Тейлора с центром в точке : 4 даёт Теорема 1 Коши. Функция представима своим рядом Тейлора 4 в любом открытом круге с центром в точке в котором она аналитична.

Русский

2013-08-04

464 KB

13 чел.

Представление аналитических функций рядами.

Ряды Тейлора.

Воспользуемся формулой для суммы членов геометрической прогрессии

,

перепишем её в виде:

                                     (1)

(формула справедлива и для комплексных ).

Зафиксируем некоторую точку  из области  аналитичности функции  и, воспользовавшись формулой (1), напишем

Умножим обе части этого равенства на  и проинтегрируем его по  вдоль некоторого замкнутого контура C, лежащего в  и охватывающего точки  и . Пользуясь формулой Коши и формулами для высших производных (), получим так называемую формулу Тейлора

,                     (2)

где остаточный член имеет вид

.                                     (3)

Ответ на вопрос о том, при каких условиях  при , т.е. при каких условиях функция  представима своим рядом Тейлора с центром в точке :

,                                             (4)

даёт

Теорема 1 (Коши). Функция  представима своим рядом Тейлора (4) в любом открытом круге с центром в точке , в котором она аналитична. Во всякой замкнутой области, принадлежащей этому кругу, ряд Тейлора сходится равномерно.

Доказательство. Обозначим через  радиус круга аналитичности функции  (с центром в точке ) и рассмотрим произвольное число ,  и круг , где  - произвольное положительное число. Пусть  - любая точка последнего круга и  - окружность . Имеем: , , следовательно,

,

поэтому формула (3) даёт:

;

где  - максимум модуля  в круге  (функция  аналитична в этом круге и, следовательно, ограничена). Т.к. , то отсюда видно, что  при , причём оценка  не зависит от ; таким образом, в любом круге , где , ряд Тейлора сходится равномерно.

Произвольную замкнутую область, лежащую в круге аналитичности функции , можно погрузить в некоторый круг , где , , следовательно, и в такой области ряд сходится равномерно. Ч.т.д.

Таким образом, всякая аналитическая в круге функция представляется в нём сходящимся степенным рядом.

Степенные ряды.

 

            Теорема 2 (Вейерштрасса). Если ряд

,                                                         (5)

составленный из функций, аналитических в односвязной области , равномерно сходится в этой области, то его сумма также является функцией, аналитической в .

Доказательство. В самом деле, согласно предыдущей лекции, сумма  ряда (5) непрерывна в . Пусть  - произвольный замкнутый контур, лежащий в ; в силу равномерной сходимости ряда (5) его можно почленно проинтегрировать вдоль  и мы получим, что

,

т.к. по теореме Коши интеграл от аналитической функции  по замкнутому контуру в односвязной области равен нулю. Теперь по теореме Мореры можно утверждать, что функция  аналитична в области . Ч.т.д.

Теорема 3 (Вейерштрасса).  Произвольный ряд (5), составленный из функций, аналитических в области  и непрерывных в , равномерно сходящийся в , можно почленно дифференцировать в  любое число раз.

Доказательство. Пусть  - произвольная точка границы  области , а  - произвольная внутренняя точка этой области. Т.к. разность  при фиксированном  ограничена снизу по модулю положительным числом, то ряд , где  - произвольное натуральное число, сходится равномерно относительно  на . Следовательно, его можно почленно интегрировать вдоль , и значит, сходится ряд

                                       (6)

(для каждого члена ряда мы воспользуемся формулой Коши для производных). Остаётся доказать, что сумма ряда (6) является -ой производной суммы  ряда (5). Но в силу равномерной сходимости левую часть формулы (6) можно записать в виде

.

Ч.т.д.

Замечание 1. Если ряд (5) из аналитических функций равномерно сходится на границе  области , то он равномерно сходится в . (Это непосредственно следует из принципа максимума модуля, согласно которому

).

Замечание 2. В теореме 3 можно утверждать сходимость ряда из производных лишь в , но не в . Например, ряд  равномерно сходится в замкнутом круге , т.к. он мажорируется там сходящимся числовым рядом . Однако, ряд производных  (сходящийся по теореме 3 при ) расходится в точке  границы круга.

Теорема 4 (Абеля). Если степенной ряд  сходится в точке , то он сходится и в любой точке , расположенной ближе к центру , чем , причём в любом круге , где  сходимость ряда равномерна.

Доказательство. Пусть  - произвольная точка этого круга. Представим -й член ряда в виде

.

В силу сходимости ряда в точке  его общий член стремится к нулю и, следовательно, ограничен в этой точке, т.е.  для всех . Кроме того, по условию . Таким образом, для всех

, .                                        (7)

Отсюда вытекает равномерная сходимость ряда в круге . Т.к. число  может быть взято сколь угодно близким к 1, то тем самым доказана сходимость ряда в любой точке круга  и доказательство теоремы Абеля закончено.

Из теоремы Абеля вытекает, что областью сходимости степенного ряда  является открытый круг с центром в точке  (который может вырождаться в точку или заполнять всю плоскость) и ещё, быть может, некоторые точки на границе круга. Радиус этого круга называется радиусом сходимости степенного ряда.

Теорема 5 (Формула Коши-Адамара). Для радиуса  сходимости степенного ряда  имеет место формула:

,                                                     (8)

где  означает верхний предел.

Доказательство. Нужно показать, что при любом , для которого ,  ряд сходится, а для всех , для которых  этот ряд расходится.

По определению верхнего предела для любого  существует  такое, что при :

.

Выберем  таким, чтобы было

(для этого нужно взять ). Тогда при  и  будем иметь:

.

Т.к. , то по теореме сравнения ряд, составленный из членов левой части, сходится.

Из определения верхнего предела далее имеем, что для любого  найдётся бесконечная последовательность , для которых , т.е.

.

Но при  всегда можно подобрать  так, чтобы было  (т.е. взять ). Тогда для нашей последовательности , соответствующей этому , члены  будут неограниченно возрастать и, следовательно, степенной ряд будет расходиться (его общий член не стремится к нулю). Ч.т.д.

Теорема 6. Сумма любого степенного ряда в круге его сходимости является аналитической функцией.

Доказательство. Пусть  - круг сходимости нашего степенного ряда. В любом круге , где , по теореме Абеля сходимость равномерна, а т.к. члены ряда  - аналитические функции, то по теореме Вейерштрасса его сумма аналитична в этом круге. Но т.к. любая внутренняя точка  круга сходимости может быть погружена в некоторый круг , где , то тем самым доказана аналитичность суммы ряда во всём круге его сходимости. Ч.т.д.

Теорема 7. Любой степенной ряд (в круге его сходимости) является рядом Тейлора своей суммы.

Доказательство. В самом деле пусть в некотором круге

.                                              (9)

Полагая здесь , получим . Последовательно дифференцируя ряд (9) почленно и полагая затем , найдём:

, , ,…,,…

Таким образом,

,                                                    (10)

т.е. ряд (9) действительно является рядом Тейлора функции . Ч.т.д.

Теорему 7 называют теоремой единственности разложения в ряд Тейлора, т.к. из неё следует, что найденное любым способом разложение аналитической функции  в степенной ряд является тейлоровским разложением этой функции.

Кроме того, из этой теоремы и теоремы Коши о разложении Тейлора следует, что радиус сходимости ряда (9) совпадает с расстоянием от центра  до ближайшей точки, в которой нарушается аналитичность суммы  этого ряда.

Теорема единственности.

 Нулём функции  называют любую точку , в которой  принимает значение 0, т.е. .

Если аналитическая функция не равна тождественно нулю в окрестности своего нуля , то в её тейлоровском разложении с центром в  все коэффициенты не могут равняться нулю. Номер младшего отличного от нуля коэффициента этого разложения называется порядком нуля . Таким образом, в окрестности нуля порядка  тейлоровское разложение функции  имеет вид

,                                   (1)

где  и .

 Порядок нуля  можно определить также как порядок младшей отличной от нуля производной .

Очевидно, что в окрестности нуля порядка  аналитическая функция  допускает представление вида

,                                                 (2)

где функция

;                               (3)

также аналитична в окрестности точки  (т.к. она представима сходящимся степенным рядом).

В силу непрерывности (z) эта функция отлична от 0 и в некоторой окрестности точки . Отсюда следует

Теорема 1. Пусть функция  аналитична в окрестности своего нуля  и не равна тождественно 0 ни в какой его окрестности. Тогда существует окрестность точки , в которой  не имеет других нулей, кроме .

Из доказанной теоремы вытекает теорема единственности теории аналитических функций.

Теорема 2 (единственности). Если функции  и  аналитичны в области  и их значения совпадают на некоторой последовательности точек ,сходящейся к внутренней точке a области, то всюду в

.

Доказательство. Для доказательства рассмотрим функцию

.

Она аналитична в  и имеет своими нулями точки , а в силу непрерывности и точку , ибо . Отсюда следует, что  тождественно равна 0 в некоторой окрестности точки , т.к. в противном случае нарушалась бы теорема 1. Таким образом, множество всех нулей функции  имеет хотя бы одну внутреннюю точку.

Обозначим через  совокупность всех внутренних точек множества нулей функции . Если  совпадает с , то теорема доказана. Если же  составляет лишь часть области , то найдётся граничная точка  множества , являющееся внутренней точкой . Существует последовательность точек , сходящаяся к ; точка  в силу непрерывности  является нулём .

С другой стороны,  не равна тождественно нулю ни в какой окрестности точки , ибо тогда точка  была бы внутренней, а не граничной точкой множества . По теореме 1 отсюда вытекает, что в некоторой окрестности точки  нет ни одного нуля , но это противоречит тому, что  является граничной точкой . Полученное противоречие и доказывает теорему.

Из теоремы единственности вытекает, что аналитическая в некоторой области и не равная тождественно нулю функция  не может обращаться в нуль ни в какой подобласти из , ни на какой дуге, лежащей в , ни даже на последовательности точек , сходящейся к её внутренней точке.

Однако легко привести пример, когда бесконечная последовательность нулей функции сходится к граничной точке её области аналитичности: функция  обращается в нуль на последовательности точек

, ,

сходящейся к точке .

  

 

  Верхним пределом последовательности действительных чисел  называется число  такое, что: 1) существует подпоследовательность  и 2) каково бы ни было , найдётся такой номер , что  для всех .


Если , то условие 2) отпадает, а при  число  в нём заменяется произвольным числом (в последнем случае условие 1) выполняется автоматически и существует ). Можно доказать, что всякая последовательность  имеет единственный (конечный или бесконечный) верхний предел.

6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75758. Характеристика производственных помещений по степени пожарной опасности 13.33 KB
  Все помещения и здания подразделяются на 5 категорий. Б помещения где осуществляются технологические процессы с использованием ЛВЖ с температурой вспышки свыше 28 С способные образовывать взрывоопасные и пожароопасные смеси. В помещения и здания где обращаются технологические процессы с использованием горючих и трудногорючих жидкостей твердых горючих веществ которые при взаимодействии друг с другом или кислородом воздуха способны только гореть. Г помещения и здания где обращаются технологические процессы с использованием негорючих...
75759. Пожарная сигнализация, ее виды 12.36 KB
  Пожарная связь и сигнализация играют важную роль в мероприятиях для предупреждения пожаров способствуют своевременному их обнаружению и вызову пожарных подразделений к месту возникшего пожара а также обеспечивают управление и оперативное руководство работами на пожаре. Пожарную связь можно подразделить на связь извещения своевременный прием вызовов на пожары диспетчерскую связь управление силами и средствами для тушения пожаров и связь на пожаре руководство пожарными подразделениями. Наиболее надежное и быстродействующее средство...
75760. Понятие системы «Человек-среда обитания» 14.32 KB
  Человеку эти потоки необходимы для удовлетворения своих потребностей в пище воде воздухе солнечной энергии информации об окружающей среде и т. В то же время человек в жизненное пространство выделяет потоки механической и интеллектуальной энергии потоки масс в виде отходов биологического процесса потоки тепловой энергии и др. Естественная среда обеспечивает поступление на нашу планету потоков солнечной энергии что создает в свою очередь потоки растительной и животной масс в биосфере потоки абиотических веществ воздух вода...
75761. Причины региональной деградации биосферы. Формирование техносферы-нового типа среды обитания 15.71 KB
  Этим изменениям во многом способствовали: высокие темпы роста численности населения на Земле демографический взрыв и его урбанизация; рост потребления и концентрация энергетических ресурсов; интенсивное развитие промышленного и сельскохозяйственного производства; массовое использование транспорта; рост затрат на военные цели и ряд других процессов. Достижения в медицине повышение комфортности деятельности и быта интенсификация и рост продуктивности сельского хозяйства во многом способствовали увеличению продолжительности...
75762. Взаимодействие человека и техносферы 12.42 KB
  Взаимодействие человека и техносферы Человек и окружающая его среда гармонично взаимодействуют и развиваются лишь в условиях когда потоки энергии вещества и информации находятся в пределах благоприятно воспринимаемых человеком и природной средой. Любое превышение привычных уровней потоков сопровождается негативными воздействиями как на человека так и природную среду. и действиями человека. комфортное оптимальное когда потоки соответствуют оптимальным условиям взаимодействия: создают оптимальные условия деятельности и отдыха;...
75763. Понятие опасных и вредных производственных факторов 42.64 KB
  Понятие опасных и вредных производственных факторов По степени и характеру действия на организм все факторы условно делят на вредные и опасные. К вредным относятся такие факторы которые становятся в определенных условиях причиной заболеваний или снижения работоспособности. Опасными называют такие факторы которые приводят в определенных условиях к травматическим повреждениям или внезапным и резким нарушениям здоровья. И опасные и вредные факторы могут быть естественного или природного и антропогенного характера т.
75764. Теоретические основы и практические функции БЖД 21.59 KB
  Иначе говоря традиционно в данном научном направлении рассматривается преимущественно лишь локальная система жизнедеятельности как образующая своего рода фундамент безопасности для системы более высокого уровня так называемой глобальной системы жизнедеятельности. Соответственно можно выделить пространство локальной безопасности жизнедеятельности которое составляет часть более общего пространства глобальной безопасности жизнедеятельности. Кроме того говоря о локальной безопасности жизнедеятельности следует учитывать что в последнее время...
75765. Индивидуальный и социальный риск 15.64 KB
  Индивидуальный и социальный риск Наиболее распространенной оценкой опасности является риск. Риск частота реализации опасностей. Риск расценивается или как опасное условие при котором выполняется деятельность или же как действие совершаемое в условиях неопределенности. Различают индивидуальный и социальный риск.
75766. Основные задачи БЖД 12.77 KB
  Основные задачи БЖД Безопасность жизнедеятельности представляет собой область научных знаний охватывающих теорию и практику защиты человека от опасных и вредных факторов во всех сферах человеческой деятельности сохранение безопасности и здоровья в среде обитания. Эта дисциплина решает следующие основные задачи: идентификация распознавание и количественная оценка негативных воздействий среды обитания; защита от опасностей или предупреждение воздействия тех или иных негативных факторов на человека; ликвидация отрицательных последствий...