22352

Представление аналитических функций рядами

Лекция

Математика и математический анализ

Ряды Тейлора. при каких условиях функция представима своим рядом Тейлора с центром в точке : 4 даёт Теорема 1 Коши. Функция представима своим рядом Тейлора 4 в любом открытом круге с центром в точке в котором она аналитична.

Русский

2013-08-04

464 KB

15 чел.

Представление аналитических функций рядами.

Ряды Тейлора.

Воспользуемся формулой для суммы членов геометрической прогрессии

,

перепишем её в виде:

                                     (1)

(формула справедлива и для комплексных ).

Зафиксируем некоторую точку  из области  аналитичности функции  и, воспользовавшись формулой (1), напишем

Умножим обе части этого равенства на  и проинтегрируем его по  вдоль некоторого замкнутого контура C, лежащего в  и охватывающего точки  и . Пользуясь формулой Коши и формулами для высших производных (), получим так называемую формулу Тейлора

,                     (2)

где остаточный член имеет вид

.                                     (3)

Ответ на вопрос о том, при каких условиях  при , т.е. при каких условиях функция  представима своим рядом Тейлора с центром в точке :

,                                             (4)

даёт

Теорема 1 (Коши). Функция  представима своим рядом Тейлора (4) в любом открытом круге с центром в точке , в котором она аналитична. Во всякой замкнутой области, принадлежащей этому кругу, ряд Тейлора сходится равномерно.

Доказательство. Обозначим через  радиус круга аналитичности функции  (с центром в точке ) и рассмотрим произвольное число ,  и круг , где  - произвольное положительное число. Пусть  - любая точка последнего круга и  - окружность . Имеем: , , следовательно,

,

поэтому формула (3) даёт:

;

где  - максимум модуля  в круге  (функция  аналитична в этом круге и, следовательно, ограничена). Т.к. , то отсюда видно, что  при , причём оценка  не зависит от ; таким образом, в любом круге , где , ряд Тейлора сходится равномерно.

Произвольную замкнутую область, лежащую в круге аналитичности функции , можно погрузить в некоторый круг , где , , следовательно, и в такой области ряд сходится равномерно. Ч.т.д.

Таким образом, всякая аналитическая в круге функция представляется в нём сходящимся степенным рядом.

Степенные ряды.

 

            Теорема 2 (Вейерштрасса). Если ряд

,                                                         (5)

составленный из функций, аналитических в односвязной области , равномерно сходится в этой области, то его сумма также является функцией, аналитической в .

Доказательство. В самом деле, согласно предыдущей лекции, сумма  ряда (5) непрерывна в . Пусть  - произвольный замкнутый контур, лежащий в ; в силу равномерной сходимости ряда (5) его можно почленно проинтегрировать вдоль  и мы получим, что

,

т.к. по теореме Коши интеграл от аналитической функции  по замкнутому контуру в односвязной области равен нулю. Теперь по теореме Мореры можно утверждать, что функция  аналитична в области . Ч.т.д.

Теорема 3 (Вейерштрасса).  Произвольный ряд (5), составленный из функций, аналитических в области  и непрерывных в , равномерно сходящийся в , можно почленно дифференцировать в  любое число раз.

Доказательство. Пусть  - произвольная точка границы  области , а  - произвольная внутренняя точка этой области. Т.к. разность  при фиксированном  ограничена снизу по модулю положительным числом, то ряд , где  - произвольное натуральное число, сходится равномерно относительно  на . Следовательно, его можно почленно интегрировать вдоль , и значит, сходится ряд

                                       (6)

(для каждого члена ряда мы воспользуемся формулой Коши для производных). Остаётся доказать, что сумма ряда (6) является -ой производной суммы  ряда (5). Но в силу равномерной сходимости левую часть формулы (6) можно записать в виде

.

Ч.т.д.

Замечание 1. Если ряд (5) из аналитических функций равномерно сходится на границе  области , то он равномерно сходится в . (Это непосредственно следует из принципа максимума модуля, согласно которому

).

Замечание 2. В теореме 3 можно утверждать сходимость ряда из производных лишь в , но не в . Например, ряд  равномерно сходится в замкнутом круге , т.к. он мажорируется там сходящимся числовым рядом . Однако, ряд производных  (сходящийся по теореме 3 при ) расходится в точке  границы круга.

Теорема 4 (Абеля). Если степенной ряд  сходится в точке , то он сходится и в любой точке , расположенной ближе к центру , чем , причём в любом круге , где  сходимость ряда равномерна.

Доказательство. Пусть  - произвольная точка этого круга. Представим -й член ряда в виде

.

В силу сходимости ряда в точке  его общий член стремится к нулю и, следовательно, ограничен в этой точке, т.е.  для всех . Кроме того, по условию . Таким образом, для всех

, .                                        (7)

Отсюда вытекает равномерная сходимость ряда в круге . Т.к. число  может быть взято сколь угодно близким к 1, то тем самым доказана сходимость ряда в любой точке круга  и доказательство теоремы Абеля закончено.

Из теоремы Абеля вытекает, что областью сходимости степенного ряда  является открытый круг с центром в точке  (который может вырождаться в точку или заполнять всю плоскость) и ещё, быть может, некоторые точки на границе круга. Радиус этого круга называется радиусом сходимости степенного ряда.

Теорема 5 (Формула Коши-Адамара). Для радиуса  сходимости степенного ряда  имеет место формула:

,                                                     (8)

где  означает верхний предел.

Доказательство. Нужно показать, что при любом , для которого ,  ряд сходится, а для всех , для которых  этот ряд расходится.

По определению верхнего предела для любого  существует  такое, что при :

.

Выберем  таким, чтобы было

(для этого нужно взять ). Тогда при  и  будем иметь:

.

Т.к. , то по теореме сравнения ряд, составленный из членов левой части, сходится.

Из определения верхнего предела далее имеем, что для любого  найдётся бесконечная последовательность , для которых , т.е.

.

Но при  всегда можно подобрать  так, чтобы было  (т.е. взять ). Тогда для нашей последовательности , соответствующей этому , члены  будут неограниченно возрастать и, следовательно, степенной ряд будет расходиться (его общий член не стремится к нулю). Ч.т.д.

Теорема 6. Сумма любого степенного ряда в круге его сходимости является аналитической функцией.

Доказательство. Пусть  - круг сходимости нашего степенного ряда. В любом круге , где , по теореме Абеля сходимость равномерна, а т.к. члены ряда  - аналитические функции, то по теореме Вейерштрасса его сумма аналитична в этом круге. Но т.к. любая внутренняя точка  круга сходимости может быть погружена в некоторый круг , где , то тем самым доказана аналитичность суммы ряда во всём круге его сходимости. Ч.т.д.

Теорема 7. Любой степенной ряд (в круге его сходимости) является рядом Тейлора своей суммы.

Доказательство. В самом деле пусть в некотором круге

.                                              (9)

Полагая здесь , получим . Последовательно дифференцируя ряд (9) почленно и полагая затем , найдём:

, , ,…,,…

Таким образом,

,                                                    (10)

т.е. ряд (9) действительно является рядом Тейлора функции . Ч.т.д.

Теорему 7 называют теоремой единственности разложения в ряд Тейлора, т.к. из неё следует, что найденное любым способом разложение аналитической функции  в степенной ряд является тейлоровским разложением этой функции.

Кроме того, из этой теоремы и теоремы Коши о разложении Тейлора следует, что радиус сходимости ряда (9) совпадает с расстоянием от центра  до ближайшей точки, в которой нарушается аналитичность суммы  этого ряда.

Теорема единственности.

 Нулём функции  называют любую точку , в которой  принимает значение 0, т.е. .

Если аналитическая функция не равна тождественно нулю в окрестности своего нуля , то в её тейлоровском разложении с центром в  все коэффициенты не могут равняться нулю. Номер младшего отличного от нуля коэффициента этого разложения называется порядком нуля . Таким образом, в окрестности нуля порядка  тейлоровское разложение функции  имеет вид

,                                   (1)

где  и .

 Порядок нуля  можно определить также как порядок младшей отличной от нуля производной .

Очевидно, что в окрестности нуля порядка  аналитическая функция  допускает представление вида

,                                                 (2)

где функция

;                               (3)

также аналитична в окрестности точки  (т.к. она представима сходящимся степенным рядом).

В силу непрерывности (z) эта функция отлична от 0 и в некоторой окрестности точки . Отсюда следует

Теорема 1. Пусть функция  аналитична в окрестности своего нуля  и не равна тождественно 0 ни в какой его окрестности. Тогда существует окрестность точки , в которой  не имеет других нулей, кроме .

Из доказанной теоремы вытекает теорема единственности теории аналитических функций.

Теорема 2 (единственности). Если функции  и  аналитичны в области  и их значения совпадают на некоторой последовательности точек ,сходящейся к внутренней точке a области, то всюду в

.

Доказательство. Для доказательства рассмотрим функцию

.

Она аналитична в  и имеет своими нулями точки , а в силу непрерывности и точку , ибо . Отсюда следует, что  тождественно равна 0 в некоторой окрестности точки , т.к. в противном случае нарушалась бы теорема 1. Таким образом, множество всех нулей функции  имеет хотя бы одну внутреннюю точку.

Обозначим через  совокупность всех внутренних точек множества нулей функции . Если  совпадает с , то теорема доказана. Если же  составляет лишь часть области , то найдётся граничная точка  множества , являющееся внутренней точкой . Существует последовательность точек , сходящаяся к ; точка  в силу непрерывности  является нулём .

С другой стороны,  не равна тождественно нулю ни в какой окрестности точки , ибо тогда точка  была бы внутренней, а не граничной точкой множества . По теореме 1 отсюда вытекает, что в некоторой окрестности точки  нет ни одного нуля , но это противоречит тому, что  является граничной точкой . Полученное противоречие и доказывает теорему.

Из теоремы единственности вытекает, что аналитическая в некоторой области и не равная тождественно нулю функция  не может обращаться в нуль ни в какой подобласти из , ни на какой дуге, лежащей в , ни даже на последовательности точек , сходящейся к её внутренней точке.

Однако легко привести пример, когда бесконечная последовательность нулей функции сходится к граничной точке её области аналитичности: функция  обращается в нуль на последовательности точек

, ,

сходящейся к точке .

  

 

  Верхним пределом последовательности действительных чисел  называется число  такое, что: 1) существует подпоследовательность  и 2) каково бы ни было , найдётся такой номер , что  для всех .


Если , то условие 2) отпадает, а при  число  в нём заменяется произвольным числом (в последнем случае условие 1) выполняется автоматически и существует ). Можно доказать, что всякая последовательность  имеет единственный (конечный или бесконечный) верхний предел.

6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48055. МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО МЕДИЦИНСКОЙ ГЕНЕТИКЕ 667.5 KB
  УКАЖИТЕ ПРАВИЛЬНЫЕ ОТВЕТЫ Английский биолог Glton ввел в науку и практику следующие методы генетики человека и медицинской генетики: Близнецовый Дерматоглифический Популяционно-статистический Статистический Цитогенетический Генеалогический
48056. Регіональна економіка 747.5 KB
  Господарський комплекс України 7 Тема 1.1 Природноресурсний потенціал України 7 Тема 1.2 Трудовий потенціал України 8 Тема 1.4 Економічне районування та територіальна організація господарства України.
48057. Логістика. Парктичні роботи 383.5 KB
  Порядок приймання товарів регламентується нормативними актами держави а також умовами договору. У господарській практиці в Україні в даний час використовуються такі нормативні документи що регламентують порядок приймання товарів: Інструкція про порядок приймання продукції виробничотехнічного призначення і товарів народного споживання за кількістю інструкція № П6. Інструкція про порядок приймання продукції виробничотехнічного призначення і товарів народного споживання за якістю інструкція № П7.
48058. Логістика. Методичні вказівки 702 KB
  тонн умови діяльності якого відповідають нижченаведеним а також рівень впливу на загальні витрати тих факторів які визначаються умовами договорів оптового підприємства з постачальниками товарів. Таблиця 1 Фактори які впливають на розмір загального матеріального потоку на складі Позначення фактора Назва фактора Значення фактора за варіантами 1 2 3 4 5 А1 Частка товарів які надходять на склад в неробочий час і проходять через приймальну експедицію 20 15 15 20 15 А2 Частка товарів які проходять через дільницю приймання складу 25 25 20...
48059. Взаємозвязок діалогічного та монологічного мовлення 40.5 KB
  Взаємозвязок діалогічного та монологічного мовлення. Показати взаємозвязок діалогічного та монологічного мовлення на конкретних прикладах; ознайомити з видами опор при навчанні звязного мовлення молодших школярів; навчити складати структурні схемиопори для монологічних висловлювань розповідного та описового характеру. Вивчіть схему Види опор в навчанні звязного мовлення та дайте відповідь на питання: Які опори доцільно використати для навчання монологічного мовлення а які для діалогічного мовлення Види опор в навчанні звязного...
48060. Методика подготовки к семинарским занятиям 37.5 KB
  Приступая к подготовке к семинару по конкретной теме студент должен подробно изучить соответствующий раздел программы курса где в самом сжатом виде определены основные вопросы дана их последовательность а также указана рекомендованная учебная литература основная и дополнительная. Завершающий этап подготовки к семинарам это ответы на проверочные вопросы и выполнение тестовых заданий которые помогут правильно осмыслить изученный материал и проверить приобретенные знания. Если пройдены все этапы самостоятельной работы то на семинаре Вы...
48061. РОДОСЛОВНАЯ 41.5 KB
  Аягуз Национальность по матери и по отцу фактическая а не паспортная Образование Профессия место работы занимаемая должность Рост пробанда Вес пробанда Дата составления родословной Метод сбора информации: со слов указать с чьих анкетирование личное обследование родственников ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ РОДОСЛОВНОЙ После сбора генеалогической информации переходят к графическому изображению семейного древа рис. При составлении родословной используют общепринятые условные обозначения...
48062. Методика виховної роботи у військових підрозділах 1.48 MB
  Методика виховної роботи у військових підрозділах Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів Суми Видво СумДУ 2008 УДК 355.2072 П 30 Рекомендовано Міністерством освіти і науки України лист № 1.2 Воєнна доктрина України
48063. Методичні вказівки. Програмування 1023 KB
  Містить методичні рекомендації щодо основних етапів виконання курсової роботи її структури та складу.050102 Компютерна інженерія передбачено вивчення на першому курсі дисципліни Програмування та виконання курсової роботи з цього предмету. Курсова робота призначена для придбання практичних навичок розробки алгоритмів та програм на мові Сі для розвязання найбільш важливих та поширених задач програмування необхідних для кожного програміста Метою курсової роботи є закріплення та поглиблення знань отриманих студентами на лекційних...