22352

Представление аналитических функций рядами

Лекция

Математика и математический анализ

Ряды Тейлора. при каких условиях функция представима своим рядом Тейлора с центром в точке : 4 даёт Теорема 1 Коши. Функция представима своим рядом Тейлора 4 в любом открытом круге с центром в точке в котором она аналитична.

Русский

2013-08-04

464 KB

13 чел.

Представление аналитических функций рядами.

Ряды Тейлора.

Воспользуемся формулой для суммы членов геометрической прогрессии

,

перепишем её в виде:

                                     (1)

(формула справедлива и для комплексных ).

Зафиксируем некоторую точку  из области  аналитичности функции  и, воспользовавшись формулой (1), напишем

Умножим обе части этого равенства на  и проинтегрируем его по  вдоль некоторого замкнутого контура C, лежащего в  и охватывающего точки  и . Пользуясь формулой Коши и формулами для высших производных (), получим так называемую формулу Тейлора

,                     (2)

где остаточный член имеет вид

.                                     (3)

Ответ на вопрос о том, при каких условиях  при , т.е. при каких условиях функция  представима своим рядом Тейлора с центром в точке :

,                                             (4)

даёт

Теорема 1 (Коши). Функция  представима своим рядом Тейлора (4) в любом открытом круге с центром в точке , в котором она аналитична. Во всякой замкнутой области, принадлежащей этому кругу, ряд Тейлора сходится равномерно.

Доказательство. Обозначим через  радиус круга аналитичности функции  (с центром в точке ) и рассмотрим произвольное число ,  и круг , где  - произвольное положительное число. Пусть  - любая точка последнего круга и  - окружность . Имеем: , , следовательно,

,

поэтому формула (3) даёт:

;

где  - максимум модуля  в круге  (функция  аналитична в этом круге и, следовательно, ограничена). Т.к. , то отсюда видно, что  при , причём оценка  не зависит от ; таким образом, в любом круге , где , ряд Тейлора сходится равномерно.

Произвольную замкнутую область, лежащую в круге аналитичности функции , можно погрузить в некоторый круг , где , , следовательно, и в такой области ряд сходится равномерно. Ч.т.д.

Таким образом, всякая аналитическая в круге функция представляется в нём сходящимся степенным рядом.

Степенные ряды.

 

            Теорема 2 (Вейерштрасса). Если ряд

,                                                         (5)

составленный из функций, аналитических в односвязной области , равномерно сходится в этой области, то его сумма также является функцией, аналитической в .

Доказательство. В самом деле, согласно предыдущей лекции, сумма  ряда (5) непрерывна в . Пусть  - произвольный замкнутый контур, лежащий в ; в силу равномерной сходимости ряда (5) его можно почленно проинтегрировать вдоль  и мы получим, что

,

т.к. по теореме Коши интеграл от аналитической функции  по замкнутому контуру в односвязной области равен нулю. Теперь по теореме Мореры можно утверждать, что функция  аналитична в области . Ч.т.д.

Теорема 3 (Вейерштрасса).  Произвольный ряд (5), составленный из функций, аналитических в области  и непрерывных в , равномерно сходящийся в , можно почленно дифференцировать в  любое число раз.

Доказательство. Пусть  - произвольная точка границы  области , а  - произвольная внутренняя точка этой области. Т.к. разность  при фиксированном  ограничена снизу по модулю положительным числом, то ряд , где  - произвольное натуральное число, сходится равномерно относительно  на . Следовательно, его можно почленно интегрировать вдоль , и значит, сходится ряд

                                       (6)

(для каждого члена ряда мы воспользуемся формулой Коши для производных). Остаётся доказать, что сумма ряда (6) является -ой производной суммы  ряда (5). Но в силу равномерной сходимости левую часть формулы (6) можно записать в виде

.

Ч.т.д.

Замечание 1. Если ряд (5) из аналитических функций равномерно сходится на границе  области , то он равномерно сходится в . (Это непосредственно следует из принципа максимума модуля, согласно которому

).

Замечание 2. В теореме 3 можно утверждать сходимость ряда из производных лишь в , но не в . Например, ряд  равномерно сходится в замкнутом круге , т.к. он мажорируется там сходящимся числовым рядом . Однако, ряд производных  (сходящийся по теореме 3 при ) расходится в точке  границы круга.

Теорема 4 (Абеля). Если степенной ряд  сходится в точке , то он сходится и в любой точке , расположенной ближе к центру , чем , причём в любом круге , где  сходимость ряда равномерна.

Доказательство. Пусть  - произвольная точка этого круга. Представим -й член ряда в виде

.

В силу сходимости ряда в точке  его общий член стремится к нулю и, следовательно, ограничен в этой точке, т.е.  для всех . Кроме того, по условию . Таким образом, для всех

, .                                        (7)

Отсюда вытекает равномерная сходимость ряда в круге . Т.к. число  может быть взято сколь угодно близким к 1, то тем самым доказана сходимость ряда в любой точке круга  и доказательство теоремы Абеля закончено.

Из теоремы Абеля вытекает, что областью сходимости степенного ряда  является открытый круг с центром в точке  (который может вырождаться в точку или заполнять всю плоскость) и ещё, быть может, некоторые точки на границе круга. Радиус этого круга называется радиусом сходимости степенного ряда.

Теорема 5 (Формула Коши-Адамара). Для радиуса  сходимости степенного ряда  имеет место формула:

,                                                     (8)

где  означает верхний предел.

Доказательство. Нужно показать, что при любом , для которого ,  ряд сходится, а для всех , для которых  этот ряд расходится.

По определению верхнего предела для любого  существует  такое, что при :

.

Выберем  таким, чтобы было

(для этого нужно взять ). Тогда при  и  будем иметь:

.

Т.к. , то по теореме сравнения ряд, составленный из членов левой части, сходится.

Из определения верхнего предела далее имеем, что для любого  найдётся бесконечная последовательность , для которых , т.е.

.

Но при  всегда можно подобрать  так, чтобы было  (т.е. взять ). Тогда для нашей последовательности , соответствующей этому , члены  будут неограниченно возрастать и, следовательно, степенной ряд будет расходиться (его общий член не стремится к нулю). Ч.т.д.

Теорема 6. Сумма любого степенного ряда в круге его сходимости является аналитической функцией.

Доказательство. Пусть  - круг сходимости нашего степенного ряда. В любом круге , где , по теореме Абеля сходимость равномерна, а т.к. члены ряда  - аналитические функции, то по теореме Вейерштрасса его сумма аналитична в этом круге. Но т.к. любая внутренняя точка  круга сходимости может быть погружена в некоторый круг , где , то тем самым доказана аналитичность суммы ряда во всём круге его сходимости. Ч.т.д.

Теорема 7. Любой степенной ряд (в круге его сходимости) является рядом Тейлора своей суммы.

Доказательство. В самом деле пусть в некотором круге

.                                              (9)

Полагая здесь , получим . Последовательно дифференцируя ряд (9) почленно и полагая затем , найдём:

, , ,…,,…

Таким образом,

,                                                    (10)

т.е. ряд (9) действительно является рядом Тейлора функции . Ч.т.д.

Теорему 7 называют теоремой единственности разложения в ряд Тейлора, т.к. из неё следует, что найденное любым способом разложение аналитической функции  в степенной ряд является тейлоровским разложением этой функции.

Кроме того, из этой теоремы и теоремы Коши о разложении Тейлора следует, что радиус сходимости ряда (9) совпадает с расстоянием от центра  до ближайшей точки, в которой нарушается аналитичность суммы  этого ряда.

Теорема единственности.

 Нулём функции  называют любую точку , в которой  принимает значение 0, т.е. .

Если аналитическая функция не равна тождественно нулю в окрестности своего нуля , то в её тейлоровском разложении с центром в  все коэффициенты не могут равняться нулю. Номер младшего отличного от нуля коэффициента этого разложения называется порядком нуля . Таким образом, в окрестности нуля порядка  тейлоровское разложение функции  имеет вид

,                                   (1)

где  и .

 Порядок нуля  можно определить также как порядок младшей отличной от нуля производной .

Очевидно, что в окрестности нуля порядка  аналитическая функция  допускает представление вида

,                                                 (2)

где функция

;                               (3)

также аналитична в окрестности точки  (т.к. она представима сходящимся степенным рядом).

В силу непрерывности (z) эта функция отлична от 0 и в некоторой окрестности точки . Отсюда следует

Теорема 1. Пусть функция  аналитична в окрестности своего нуля  и не равна тождественно 0 ни в какой его окрестности. Тогда существует окрестность точки , в которой  не имеет других нулей, кроме .

Из доказанной теоремы вытекает теорема единственности теории аналитических функций.

Теорема 2 (единственности). Если функции  и  аналитичны в области  и их значения совпадают на некоторой последовательности точек ,сходящейся к внутренней точке a области, то всюду в

.

Доказательство. Для доказательства рассмотрим функцию

.

Она аналитична в  и имеет своими нулями точки , а в силу непрерывности и точку , ибо . Отсюда следует, что  тождественно равна 0 в некоторой окрестности точки , т.к. в противном случае нарушалась бы теорема 1. Таким образом, множество всех нулей функции  имеет хотя бы одну внутреннюю точку.

Обозначим через  совокупность всех внутренних точек множества нулей функции . Если  совпадает с , то теорема доказана. Если же  составляет лишь часть области , то найдётся граничная точка  множества , являющееся внутренней точкой . Существует последовательность точек , сходящаяся к ; точка  в силу непрерывности  является нулём .

С другой стороны,  не равна тождественно нулю ни в какой окрестности точки , ибо тогда точка  была бы внутренней, а не граничной точкой множества . По теореме 1 отсюда вытекает, что в некоторой окрестности точки  нет ни одного нуля , но это противоречит тому, что  является граничной точкой . Полученное противоречие и доказывает теорему.

Из теоремы единственности вытекает, что аналитическая в некоторой области и не равная тождественно нулю функция  не может обращаться в нуль ни в какой подобласти из , ни на какой дуге, лежащей в , ни даже на последовательности точек , сходящейся к её внутренней точке.

Однако легко привести пример, когда бесконечная последовательность нулей функции сходится к граничной точке её области аналитичности: функция  обращается в нуль на последовательности точек

, ,

сходящейся к точке .

  

 

  Верхним пределом последовательности действительных чисел  называется число  такое, что: 1) существует подпоследовательность  и 2) каково бы ни было , найдётся такой номер , что  для всех .


Если , то условие 2) отпадает, а при  число  в нём заменяется произвольным числом (в последнем случае условие 1) выполняется автоматически и существует ). Можно доказать, что всякая последовательность  имеет единственный (конечный или бесконечный) верхний предел.

6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84561. Особливості кровообігу у судинах серця i його регуляція 43.46 KB
  Високий рівень кровотоку в стані спокою – 250 мл хв 5 від ХОК маса серця – 05 від маси тіла. Високий тонус вінцевих судин в стані спокою незважаючи на високий рівень метаболізму – ця умова забезпечує здатність вінцевих судин до розширення та збільшення кровотоку під час посиленої діяльності 5. Залежність кровотоку від фаз СЦ: він знижується під час систоли артерії стискуються міокардом та збільшується під час діастоли. Головна особливість в регуляції серцевого кровотоку полягає у перевазі місцевих механізмів над центральними.
84562. Особливості легеневого кровообігу його регуляція 43.31 KB
  В легенях розрізняють дві групи судин: одні виконують трофічну функцію живлять тканину легень бронхів та відносяться до судин великого кола кровообігу інші – функцію газообміну та відносяться до судин малого кола. Далі мова піде про судини малого кола кровообігу. Артеріальні судини за своїми властивостями та будовою нагадують венозні судини – вони легко розтягуюються та реагують зміною об’єму на зміну трансмурального тиску. В артеріальних судинах легень відсутні спеціальні судини опору.
84563. Механізми лімфоутворення. Рух лімфи посудинах 43.75 KB
  Рух лімфи посудинах. Утворення лімфи відбувається за участі судин гемомікроциркулярного русла. Утворення лімфи. Головну роль в утворенні лімфи відіграють лімфатичні капіляри: на відміну від кровоносних вони сліпі більш широкі у них ширші міжклітинні щілини відсутня базальна мембрана проникність стінок лімфатичних капілярів дуже висока.
84564. Загальна характеристика системи дихання. Основні етапи дихання. Біомеханіка вдиху і видиху 49.56 KB
  Основні етапи дихання. Дихання – процес обміну газів О2 та СО2 між атмосферним повітрям та тканинами організму. СИСТЕМА ДИХАННЯ ВИКОНАВЧІ ОРГАНИ МЕХАНІЗМИ РЕГУЛЯЦІЇ Грудна клітина Нервові Гуморальні Дихальні м’язи Плевра Забезпечення оптимального газообміну між атмосферним повітрям та тканинами організму.
84565. Еластична тяга легень, негативний внутрішньоплевраль-ний тиск 43.41 KB
  Еластична тяга легень є сумою трьох сил: 1 сила поверхневого натягу шару рідини води яка вистеляє альвеоли зсередини. Це основна сила яка примушує альвеоли зменшувати свій розмір а легені спадатися; вона складає 2 3 від всієї еластичної тяги легень. Сурфактант вистелає альвеоли зсередини на кордоні з повітряним середовищем. Питома активність сурфактанту тобто його властивість зменшувати силу поверхневого натягу залежить від товщини його шару на поверхні альвеоли – чим більша його товщина тим більша питома активність.
84566. Зовнішнє дихання. Показники зовнішнього дихання та їх оцінка 46.93 KB
  Показники зовнішнього дихання та їх оцінка. ПОКАЗНИКИ ЗОВНІШНЬОГО ДИХАННЯ СТАТИЧНІ ДИНАМІЧНІ ОБ’ЄМИ ЧДР ХОД АВЛ КВЛ МВЛ КРД РД ЄМНОСТІ ДО РОвд РОвид ЗО ЖЄЛ Євд ФЗЄ ЗЄЛ Характеризують реалізацію резервів зовнішнього дихання в умовах спокійного та форсованого дихання Характеризують резерви можливості звнішнього дихання Основними методами дослідження показників зовнішнього дихання є спірометрія та спірографія. Спірографія – метод графічної реєстрації дихальних рухів в умовах спокійного та форсованого дихання.
84568. Дифузія газів у легенях. Дифузійна здатність легень і фактори, від яких вона залежить 56 KB
  Обмін газів О2 та СО2 між альвеолярним повітрям та кров’ю проходить тільки пасивно за механізмом дифузії. Дифузія газів в легенях підкоряється закону Фіка: об’єм дифузії газу V прямо пропорційний площі дифузії S коефіцієнту дифузії К градієнту тиску газу по обидві сторони альвеолокапілярної мембрани Р1 – Р2 і обернено пропорційний товщині цієї мембрани L: Площа дифузії в легенях S – це площа альвеол які вентилюються та кровопостачаються. Збільшення площі дифузії може зумовити збільшення глибини дихання і об’ємної швидкості...
84569. Транспорт кисню кров’ю. Киснева ємкість крові 36.49 KB
  Киснева ємкість крові. Розчинений у плазмі крові. в 1л крові розчиняється 3 мл кисню. Виходячи з цього розраховують кисневу ємкість крові – максимальну кількість О2 котру може зв’язати 1л крові.