22353

Ряды Лорана

Лекция

Математика и математический анализ

Поэтому обе формулы можно объединить в одну: 7 Полученное разложение 6 функции fz по положительным и отрицательным степеням za с коэффициентами определяемыми по формулам 7 называется лорановским разложением функции fz с центром в точке a; ряд 2 называется правильной а ряд 4 – главной частью этого разложения. и в нашем рассуждении могут быть взяты сколь угодно близкими к r и R а q может сколь угодно мало отличаться от 1 то разложение 6 можно считать справедливым для...

Русский

2013-08-04

269.5 KB

20 чел.

Ряды Лорана.

Ряды Тейлора – удобный аппарат для представления функций, аналитичных в круговых областях. Для функций, аналитичных в кольцевых областях вида , где ,  можно построить разложения вида

,

являющиеся обобщением тейлоровских разложений.

Пусть функция f(z) аналитична в некотором кольце , где . Выберем произвольные числа  и  так, что , а также число q, 0 < q < 1, и рассмотрим кольцо . В произвольной внутренней точке z этого кольца мы можем представить f(z) по формуле Коши, которая для нашего случая принимает вид:

                                  ,                            (1)

где обе окружности  и  проходятся против часовой стрелки.

Для первого интеграла , имеем

,

следовательно, входящую в него дробь можно разложить в сходящуюся на  равномерно относительно  геометрическую прогрессию

Умножая это разложение на  и интегрируя его почленно по  (что возможно в силу равномерной сходимости), получим разложение первого члена формулы (1) в степенной ряд:

                     ,                                  (2)

где

                  (3)

Заметим, что выражение (3) нельзя представить как ранее в рядах Тейлора в виде , т.к. , вообще говоря, не аналитична в точке а.

Для второго интеграла имеем

,

следовательно, равномерно на  сходится прогрессия

Как и выше, получим разложение второго члена формулы (1) в ряд, но теперь по отрицательным степеням (z - a):

                       ,                                   (4)

где

                                                   (5)

Заменим в формулах (4) и (5) индекс –m на n, тогда, объединяя (2) и (4), получим:

                       .                                         (6)

Далее, согласно теореме Коши для многосвязных областей, в формулах (3) и (5) окружности  и  можно заменить любой окружностью , где . Поэтому обе формулы можно объединить в одну:

                                                      (7)

Полученное разложение (6) функции f(z) по положительным и отрицательным степеням (z-a) с коэффициентами, определяемыми по формулам (7), называется лорановским разложением функции f(z) с центром в точке a; ряд (2) называется правильной, а ряд (4) – главной частью этого разложения.

Т.к.  и  в нашем рассуждении могут быть взяты сколь угодно близкими к r и R, а q может сколь угодно мало отличаться от 1, то разложение (6) можно считать справедливым для всех точек z кольца аналитичности функции f(z).

Правильная часть ряда Лорана по теореме Абеля сходится всюду в круге , причем в любом круге  его сходимость равномерна. Главная часть представляет собой степенной ряд относительно переменной , следовательно, по той же теореме он сходится при , т.е. всюду вне круга , причем при , его сходимость также равномерна. Таким образом, доказана

Теорема 1 (Лорана). В любом кольце , в котором аналитична функция f(z), эта функция может быть представлена своим рядом Лорана (6), равномерно сходящимся в любой замкнутой области, принадлежащей кольцу K.

Из формул (7) для коэффициентов ряда Лорана получаем следующие неравенства Коши: если функция f(z) ограничена на окружности , пусть , тогда

                                                         .                                 (8)

Областью сходимости произвольного ряда вида

всегда служит некоторое круговое кольцо* , где . В этом легко убедиться с помощью теоремы Абеля, разбивая ряд на правильную и главную части. Для случая  имеет место

Теорема 2 . Если ряд

                                                                                                         (9)

сходится в кольце , то его сумма f(z) аналитична в этом кольце и разложение (9) является рядом Лорана для функций f(z).

Доказательство. В самом деле, аналитичность f(z) доказывается на основании теорем Абеля и Вейерштрасса так же, как в предыдущей лекции (для ряда Тейлора). Далее на любой окружности , где , ряд (9) сходится равномерно и остается таким после умножения на . Если проинтегрировать разложение

по окружности C и воспользоваться легко доказываемыми для любого целого n соотношениями:

                                                                          (10)

то получим для коэффициентов  ряда (9) выражения , совпадающие с выражениями (7). Следовательно, ряд (9) является рядом Лорана функции f(z). Ч.т.д.

Теорема 2 является теоремой единственности разложения в ряд Лорана, ибо из нее следует, что найденное любым способом разложение аналитической функции в ряд по положительным и отрицательным степеням  является лорановским разложением этой функции.

Особые точки однозначного характера.

Точка a называется особой точкой, если в ней функция f(z) не аналитична.

Точка a называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность  этой точки (с исключенной точкой a), в которой f(z) аналитична.

Здесь речь идет о точках, в окрестностях которых функция однозначна.

Различают три типа особых точек в зависимости от поведения функции f(z) в их окрестности.

  1.  Точка a называется устранимой особой точкой, если существует конечный .
  2.  Точка a называется полюсом, если  при , т.е если  .
  3.  Точка a называется существенно особой точкой, если  не существует.

Если a является изолированной особой точкой функции f(z), то по теореме Лорана эту функцию можно разложить в ряд Лорана в кольце ее аналитичности :

             (1)

Это разложение имеет различный вид в зависимости от характера особой точки.

Теорема 1. Для того чтобы a была устранимой особой точкой функции f(z) необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение f(z) в окрестности точки a не содержало главной части.

Доказательство. Ясно, что если лорановское разложение f(z) не содержит главной части, т.е.

                    ,                                 (2)

то существует конечный  (ибо правая часть (2) аналитична в точке a по теореме Вейерштрасса, следовательно, она непрерывна и ее предел при  равен сумме ряда в точке a, т.е. ) и a является устранимой особой точкой.

Обратно, пусть a является устранимой особой точкой функции f(z). Тогда в силу того, что  существует и конечен, функция f(z) ограничена в окрестности точки a; пусть , тогда соответствии с неравенствами Коши

,

причем число  в них можно выбрать сколь угодно малым. Поэтому ясно, что все коэффициенты cn с отрицательными индексами равны нулю, т.е. лорановское разложение f(z) не содержит главной части. Ч.т.д.

Замечание. По существу доказано более сильное утверждение: если функция f(z) ограничена в окрестности изолированной особой точки a, то a является устранимой особой точкой этой функции.

Название «устранимая особая точка» как теперь понятно, оправдывается тем, что такую особую точку можно «устранить», полагая ; после этого функция f(z) будет аналитической и в точке a, ибо во всем круге  она будет представляться сходящимся степенным рядом, т.е. устранимая особенность не является «дефектом» функции, а есть результат ее «неудачного» представления.

Перейдем к случаю полюса. Из определения полюса a следует, что f(z) отлична от нуля в некоторой окрестности этого полюса: , где . В такой окрестности аналитична функция , для которой, очевидно, . Следовательно, по определению, a является устранимой особой точкой  и, положив , мы получим, что a является нулем функции . Обратно, если  имеет в точке a нуль (и не равна тождественно нулю), то функция  аналитична в некоторой окрестности  точки a; очевидно,  имеет в точке a полюс.

Таким образом, нули и полюсы аналитических функций весьма просто связаны друг с другом. Будем называть порядком полюса a функции  порядок нуля a функции .

Теорема 2. Для того, чтобы точка a была полюсом функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения f(z) в окрестности a содержала лишь конечное число членов:

                          .                            (3)

При этом номер старшего отрицательного члена разложения совпадает с порядком полюса.

Доказательство. Пусть a является полюсом порядка n функции f(z). Тогда функция , , имеет в точке a нуль порядка n и поэтому, в соответствии с вышеизложенным, в окрестности точки a представляется в виде

,

где  аналитична и . В этой окрестности

                                    .                                         (4)

Но функция  аналитична в некоторой окрестности  точки a, следовательно, она разлагается там в ряд Тейлора

,

где . Подставляя это разложение в формулу (4), получим искомое разложение (3), справедливое в окрестности .

Пусть теперь, обратно, в некоторой окрестности  точки a имеет место разложение (3), причем . Тогда функция  , в круге  представляется рядом Тейлора

                                       ,                                  (5)

т.е. аналитична. Так как , то

и точка a является полюсом функции f(z). Функция  имеет, очевидно, в точке a нуль порядка n, следовательно, порядок полюса a равен n. Ч.т.д.

Из доказанных теорем непосредственно вытекает

Теорема 3. Точка a тогда и только тогда является существенно особой для функции f(z), когда главная часть лорановского разложения последней в окрестности точки a содержит бесконечно много членов.

Теорема 4 (Сохоцкого). Если a существенно особая точка функции f(z), то для любого комплексного числа A существует последовательность точек  такая, что .

Доказательство. Прежде всего, существует последовательность , для которой , ибо в противном случае f(z) была бы ограниченной в окрестности a и точка a была бы устранимой особой точкой. Пусть теперь задано произвольное комплексное число A. Имеет место один из двух случаев: 1) в любой окрестности точки a найдется точка z, в которой f(z) = A, тогда теорема доказана, ибо из таких точек z можно построить последовательность , так что , а значит, и , и 2) в некоторой окрестности точки a функция f(z) не принимает значения A.

В этом случае в упомянутой окрестности аналитична функция . Точка a не может быть для нее ни полюсом, ни устранимой особой точкой, ибо в этих случаях существовал бы (конечный или бесконечный) предел . Следовательно, a является существенно особой точкой функции g(z) и по доказанному существует последовательность , для которой . Для этой последовательности, очевидно,

.

Ч.т.д.

Теорема Сохоцкого и предыдущие теоремы позволяют утверждать, что в окрестности изолированной особой точки аналитическая функция либо стремится к определенному (конечному или бесконечному) пределу, либо вполне неопределенна, т.е. стремится (по различным последовательностям) к любому наперед заданному пределу. Никаких промежуточных случаев быть не может.

* Это кольцо может оказаться пустым, если , а в случае  множеством сходимости может служить любое множество на окружности .

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38756. Осторожно! Вредные продукты 2.96 MB
  Когда начинаешь говорить о последствиях наступивших в результате употребления некоторых продуктов питания которых и продуктамито назвать затруднительно люди часто отмахиваются: Да ведь живем же. Вообще история развития диетологии напоминает политический детектив: различные виды продуктов то подвергались гонениям то возводились на пьедестал. Но ныне диетология остепенилась и окончательно стала тем чем собственно она всегда и была мощным средством одурачивания в руках недобросовестных производителей продуктов питания. Но На...
38757. Отношение человека к собственному телу 155.5 KB
  Что происходило в Ваших отношениях с другими вследствие этой травмы Как изменились Ваши отношения с коллегами друзьями родителями любимыми в ситуации травмы Какой у Вас появился опыт преодоления травмы Изменилось ли Ваше обращение с собственным телом Какой способ обхождения с травмами и болью Вы получили Изменились ли Ваши цели планы надежды в связи с травмой Обратитесь к своему телу или части тела которая была повреждена и причиняла страдания. Что бы Вы могли сказать этой части тела Мысленно осмотрите свое тело и...
38758. Ораторское искусство 411 KB
  Критерием качества усвоения той или иной темы является умение подмечать ошибки допускаемые в собственной речи и или в речах других людей глубоко и всесторонне анализировать язык и стиль публичных выступлений ярко образно аргументированно и убедительно излагать те или иные положения. Тема 1Предмет и функции ораторского искусства В научной литературе понятия риторика красноречие мастерство публичного выступления ораторское искусство нередко используются как родственные. Разделяет ее в частности отечественная философская...
38759. Экономика и управление на предприятии ОАО «Новосибирская макаронная фабрика» 126.5 KB
  Королева Отчет по преддипломной практике по предприятию ОАО Новосибирская макаронная фабрика по специальности Экономика и управление на предприятие Выполнила: Детюченко В. Данную работу можно разделить на несколько разделов: 1 Уставные характеристики организации 2 История предприятия ОАО Новосибирская макаронная фабрика 3 Приоритетные направления деятельности ОАО Новосибирская макаронная фабрика 4 Анализ структуры предприятия 5 Анализ системы закупок Заключение Список использованной литературы Содержание...
38760. Социальная психология и психотерапия 456.5 KB
  психика это системное качво мозга которое реализуется чз функциональные сисмы мозга кторые формируются у Ч в прцессе жизни и овладения им истор сложившихся форм Дти и опыта человва чз собственную активную Дть. Фрейд определял генезис психического как одну из важных детерминант полноценного функционирования взрослого человека Принцип субъекта предполагает рассматривать человека как автономную инициативную личность способную в определенных пределах изменять себя и окружающий мир. Формы взаимодействия чел в миром. Выполняя...
38761. Ответы по географии для 9 класса 251 KB
  Географические различия в хозяйственной деятельности населения России привести конкретные примеры. Культурноисторические особенности народов России. Особенности природы населения и хозяйства отдельных территорий России привести примеры. Часовые пояса на территории России.
38763. Коммуникативная концепция права: Проблемы генезиса и теоретико-правового обоснования 294 KB
  Задачей диссертационного исследования является исследование и обоснование узловых аспектов коммуникативной теории права как одного из возможных вариантов интегрального правопонимания. Согласно такому целостному подходу право, как интерсубъективная правовая реальность, рассматривается в коммуникативно-деятельном, ценностном, семиотическом и психологическом аспектах и соответственно онтологически интерпретируется и феноменологически....
38764. Изучение городского пространства Исследование Витебского вокзала по заданному алгоритму 6.42 MB
  Список группы: Белова Елена Витальевна Веснина Мария Воробьёва Марина Евгеньевна Гайдукова Екатерина Владимировна Гусейнова Дина Денисова Ирина Михайловна Иванова Людмила Валентиновна Иванова Светлана Ильинична Киселёва Татьяна Станиславовна Группа за работой в музее Задание №1 Изучение городского пространства Исследование Витебского вокзала по заданному алгоритму. Задание №2 Исследование картин. Кроме работы на курсах было дано задание провести фасилитированное обсуждение...