22353

Ряды Лорана

Лекция

Математика и математический анализ

Поэтому обе формулы можно объединить в одну: 7 Полученное разложение 6 функции fz по положительным и отрицательным степеням za с коэффициентами определяемыми по формулам 7 называется лорановским разложением функции fz с центром в точке a; ряд 2 называется правильной а ряд 4 главной частью этого разложения. и в нашем рассуждении могут быть взяты сколь угодно близкими к r и R а q может сколь угодно мало отличаться от 1 то разложение 6 можно считать справедливым для...

Русский

2013-08-04

269.5 KB

22 чел.

Ряды Лорана.

Ряды Тейлора – удобный аппарат для представления функций, аналитичных в круговых областях. Для функций, аналитичных в кольцевых областях вида , где ,  можно построить разложения вида

,

являющиеся обобщением тейлоровских разложений.

Пусть функция f(z) аналитична в некотором кольце , где . Выберем произвольные числа  и  так, что , а также число q, 0 < q < 1, и рассмотрим кольцо . В произвольной внутренней точке z этого кольца мы можем представить f(z) по формуле Коши, которая для нашего случая принимает вид:

                                  ,                            (1)

где обе окружности  и  проходятся против часовой стрелки.

Для первого интеграла , имеем

,

следовательно, входящую в него дробь можно разложить в сходящуюся на  равномерно относительно  геометрическую прогрессию

Умножая это разложение на  и интегрируя его почленно по  (что возможно в силу равномерной сходимости), получим разложение первого члена формулы (1) в степенной ряд:

                     ,                                  (2)

где

                  (3)

Заметим, что выражение (3) нельзя представить как ранее в рядах Тейлора в виде , т.к. , вообще говоря, не аналитична в точке а.

Для второго интеграла имеем

,

следовательно, равномерно на  сходится прогрессия

Как и выше, получим разложение второго члена формулы (1) в ряд, но теперь по отрицательным степеням (z - a):

                       ,                                   (4)

где

                                                   (5)

Заменим в формулах (4) и (5) индекс –m на n, тогда, объединяя (2) и (4), получим:

                       .                                         (6)

Далее, согласно теореме Коши для многосвязных областей, в формулах (3) и (5) окружности  и  можно заменить любой окружностью , где . Поэтому обе формулы можно объединить в одну:

                                                      (7)

Полученное разложение (6) функции f(z) по положительным и отрицательным степеням (z-a) с коэффициентами, определяемыми по формулам (7), называется лорановским разложением функции f(z) с центром в точке a; ряд (2) называется правильной, а ряд (4) – главной частью этого разложения.

Т.к.  и  в нашем рассуждении могут быть взяты сколь угодно близкими к r и R, а q может сколь угодно мало отличаться от 1, то разложение (6) можно считать справедливым для всех точек z кольца аналитичности функции f(z).

Правильная часть ряда Лорана по теореме Абеля сходится всюду в круге , причем в любом круге  его сходимость равномерна. Главная часть представляет собой степенной ряд относительно переменной , следовательно, по той же теореме он сходится при , т.е. всюду вне круга , причем при , его сходимость также равномерна. Таким образом, доказана

Теорема 1 (Лорана). В любом кольце , в котором аналитична функция f(z), эта функция может быть представлена своим рядом Лорана (6), равномерно сходящимся в любой замкнутой области, принадлежащей кольцу K.

Из формул (7) для коэффициентов ряда Лорана получаем следующие неравенства Коши: если функция f(z) ограничена на окружности , пусть , тогда

                                                         .                                 (8)

Областью сходимости произвольного ряда вида

всегда служит некоторое круговое кольцо* , где . В этом легко убедиться с помощью теоремы Абеля, разбивая ряд на правильную и главную части. Для случая  имеет место

Теорема 2 . Если ряд

                                                                                                         (9)

сходится в кольце , то его сумма f(z) аналитична в этом кольце и разложение (9) является рядом Лорана для функций f(z).

Доказательство. В самом деле, аналитичность f(z) доказывается на основании теорем Абеля и Вейерштрасса так же, как в предыдущей лекции (для ряда Тейлора). Далее на любой окружности , где , ряд (9) сходится равномерно и остается таким после умножения на . Если проинтегрировать разложение

по окружности C и воспользоваться легко доказываемыми для любого целого n соотношениями:

                                                                          (10)

то получим для коэффициентов  ряда (9) выражения , совпадающие с выражениями (7). Следовательно, ряд (9) является рядом Лорана функции f(z). Ч.т.д.

Теорема 2 является теоремой единственности разложения в ряд Лорана, ибо из нее следует, что найденное любым способом разложение аналитической функции в ряд по положительным и отрицательным степеням  является лорановским разложением этой функции.

Особые точки однозначного характера.

Точка a называется особой точкой, если в ней функция f(z) не аналитична.

Точка a называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность  этой точки (с исключенной точкой a), в которой f(z) аналитична.

Здесь речь идет о точках, в окрестностях которых функция однозначна.

Различают три типа особых точек в зависимости от поведения функции f(z) в их окрестности.

  1.  Точка a называется устранимой особой точкой, если существует конечный .
  2.  Точка a называется полюсом, если  при , т.е если  .
  3.  Точка a называется существенно особой точкой, если  не существует.

Если a является изолированной особой точкой функции f(z), то по теореме Лорана эту функцию можно разложить в ряд Лорана в кольце ее аналитичности :

             (1)

Это разложение имеет различный вид в зависимости от характера особой точки.

Теорема 1. Для того чтобы a была устранимой особой точкой функции f(z) необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение f(z) в окрестности точки a не содержало главной части.

Доказательство. Ясно, что если лорановское разложение f(z) не содержит главной части, т.е.

                    ,                                 (2)

то существует конечный  (ибо правая часть (2) аналитична в точке a по теореме Вейерштрасса, следовательно, она непрерывна и ее предел при  равен сумме ряда в точке a, т.е. ) и a является устранимой особой точкой.

Обратно, пусть a является устранимой особой точкой функции f(z). Тогда в силу того, что  существует и конечен, функция f(z) ограничена в окрестности точки a; пусть , тогда соответствии с неравенствами Коши

,

причем число  в них можно выбрать сколь угодно малым. Поэтому ясно, что все коэффициенты cn с отрицательными индексами равны нулю, т.е. лорановское разложение f(z) не содержит главной части. Ч.т.д.

Замечание. По существу доказано более сильное утверждение: если функция f(z) ограничена в окрестности изолированной особой точки a, то a является устранимой особой точкой этой функции.

Название «устранимая особая точка» как теперь понятно, оправдывается тем, что такую особую точку можно «устранить», полагая ; после этого функция f(z) будет аналитической и в точке a, ибо во всем круге  она будет представляться сходящимся степенным рядом, т.е. устранимая особенность не является «дефектом» функции, а есть результат ее «неудачного» представления.

Перейдем к случаю полюса. Из определения полюса a следует, что f(z) отлична от нуля в некоторой окрестности этого полюса: , где . В такой окрестности аналитична функция , для которой, очевидно, . Следовательно, по определению, a является устранимой особой точкой  и, положив , мы получим, что a является нулем функции . Обратно, если  имеет в точке a нуль (и не равна тождественно нулю), то функция  аналитична в некоторой окрестности  точки a; очевидно,  имеет в точке a полюс.

Таким образом, нули и полюсы аналитических функций весьма просто связаны друг с другом. Будем называть порядком полюса a функции  порядок нуля a функции .

Теорема 2. Для того, чтобы точка a была полюсом функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения f(z) в окрестности a содержала лишь конечное число членов:

                          .                            (3)

При этом номер старшего отрицательного члена разложения совпадает с порядком полюса.

Доказательство. Пусть a является полюсом порядка n функции f(z). Тогда функция , , имеет в точке a нуль порядка n и поэтому, в соответствии с вышеизложенным, в окрестности точки a представляется в виде

,

где  аналитична и . В этой окрестности

                                    .                                         (4)

Но функция  аналитична в некоторой окрестности  точки a, следовательно, она разлагается там в ряд Тейлора

,

где . Подставляя это разложение в формулу (4), получим искомое разложение (3), справедливое в окрестности .

Пусть теперь, обратно, в некоторой окрестности  точки a имеет место разложение (3), причем . Тогда функция  , в круге  представляется рядом Тейлора

                                       ,                                  (5)

т.е. аналитична. Так как , то

и точка a является полюсом функции f(z). Функция  имеет, очевидно, в точке a нуль порядка n, следовательно, порядок полюса a равен n. Ч.т.д.

Из доказанных теорем непосредственно вытекает

Теорема 3. Точка a тогда и только тогда является существенно особой для функции f(z), когда главная часть лорановского разложения последней в окрестности точки a содержит бесконечно много членов.

Теорема 4 (Сохоцкого). Если a существенно особая точка функции f(z), то для любого комплексного числа A существует последовательность точек  такая, что .

Доказательство. Прежде всего, существует последовательность , для которой , ибо в противном случае f(z) была бы ограниченной в окрестности a и точка a была бы устранимой особой точкой. Пусть теперь задано произвольное комплексное число A. Имеет место один из двух случаев: 1) в любой окрестности точки a найдется точка z, в которой f(z) = A, тогда теорема доказана, ибо из таких точек z можно построить последовательность , так что , а значит, и , и 2) в некоторой окрестности точки a функция f(z) не принимает значения A.

В этом случае в упомянутой окрестности аналитична функция . Точка a не может быть для нее ни полюсом, ни устранимой особой точкой, ибо в этих случаях существовал бы (конечный или бесконечный) предел . Следовательно, a является существенно особой точкой функции g(z) и по доказанному существует последовательность , для которой . Для этой последовательности, очевидно,

.

Ч.т.д.

Теорема Сохоцкого и предыдущие теоремы позволяют утверждать, что в окрестности изолированной особой точки аналитическая функция либо стремится к определенному (конечному или бесконечному) пределу, либо вполне неопределенна, т.е. стремится (по различным последовательностям) к любому наперед заданному пределу. Никаких промежуточных случаев быть не может.

* Это кольцо может оказаться пустым, если , а в случае  множеством сходимости может служить любое множество на окружности .

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82680. Робота з колективом учнів 124 KB
  Народна педагогіка зосереджувала увагу на тому, щоб соціальний колектив виступав джерелом всебічного розвитку кожного його члена, був надійним захисником інтересів, прав особистості. Оскільки характерними рисами менталітету українців були гуманізм, демократизм, не допускалось використання колективу...
82681. Особые экономические зоны 41 KB
  Для мировых хозяйственных связей особые экономические зоны предстают в основном как фактор ускоренного экономического роста за счет активизации международного товарооборота мобилизации инвестиций углубления интеграционных экономических процессов.
82682. Организационное поведение 56.47 KB
  При всей сложности и противоречивости происходящих общественно-политических процессов мы имеем и принципиально важные достижения: переход от административно-командных методов к рыночным отношениям, от тоталитаризма к демократическим принципам управления.
82683. Приемы развития познавательного интереса на уроках закрепления изучаемого материала по биологии 99.91 KB
  В системе уроков, составляющих единство в раскрытии содержания темы, имеется большое разнообразие. Учителю важно знать, чем один урок отличается от другого и какие закономерности он должен учитывать в построении того или иного урока. Чтобы разобраться в этом, необходимо знать типологию уроков.
82684. Реинжиниринг и бизнес-процессы 37.61 KB
  Принципы, сформулированные Смитом и революционные для его времени, не соответствуют требованиям современной индустрии, так как продукция в наше время должна быть ориентирована в основном на узкие группы потребителей, исполнители хорошо образованны, не боятся ответственности и стремятся...
82685. Производство текстильных материалов 128.5 KB
  Цель этапа: настрой учащихся на предстоящие исследования на получение новых знаний создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебный процесс приветствие проверка явки учащихся заполнение учителем классно журнала проверка готовности учащихся к уроку настрой учащихся...
82686. Нахождение дроби от числа. Нахождение числа по его части, выраженной дробью 87 KB
  Закрепить понятия: обыкновенная дробь, числитель дроби, знаменатель дроби; сформировать умение записывать и читать обыкновенные дроби, изучить правила нахождения дроби от числа и числа по его дроби. Создавать у школьников положительную мотивацию к выполнению умственных и практических занятий.
82687. Действия над многочленами 88 KB
  Задачи: систематизировать материал по данной теме. провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень. развивать познавательные процессы, память, мышление, внимание...
82688. Добрые дела живут на белом свете 28.9 KB
  Цель: закреплять представления детей о добрых делах, понимать, что вежливые слова помогают людям в общении; упражнять в грамотном построении ответов на заданные вопросы. Развивать способность детей к сопереживанию, устанавливать причинно-следственные связи. Упражнять в подборе слов-антонимов, воспитывать чувство доброты.