22353

Ряды Лорана

Лекция

Математика и математический анализ

Поэтому обе формулы можно объединить в одну: 7 Полученное разложение 6 функции fz по положительным и отрицательным степеням za с коэффициентами определяемыми по формулам 7 называется лорановским разложением функции fz с центром в точке a; ряд 2 называется правильной а ряд 4 – главной частью этого разложения. и в нашем рассуждении могут быть взяты сколь угодно близкими к r и R а q может сколь угодно мало отличаться от 1 то разложение 6 можно считать справедливым для...

Русский

2013-08-04

269.5 KB

20 чел.

Ряды Лорана.

Ряды Тейлора – удобный аппарат для представления функций, аналитичных в круговых областях. Для функций, аналитичных в кольцевых областях вида , где ,  можно построить разложения вида

,

являющиеся обобщением тейлоровских разложений.

Пусть функция f(z) аналитична в некотором кольце , где . Выберем произвольные числа  и  так, что , а также число q, 0 < q < 1, и рассмотрим кольцо . В произвольной внутренней точке z этого кольца мы можем представить f(z) по формуле Коши, которая для нашего случая принимает вид:

                                  ,                            (1)

где обе окружности  и  проходятся против часовой стрелки.

Для первого интеграла , имеем

,

следовательно, входящую в него дробь можно разложить в сходящуюся на  равномерно относительно  геометрическую прогрессию

Умножая это разложение на  и интегрируя его почленно по  (что возможно в силу равномерной сходимости), получим разложение первого члена формулы (1) в степенной ряд:

                     ,                                  (2)

где

                  (3)

Заметим, что выражение (3) нельзя представить как ранее в рядах Тейлора в виде , т.к. , вообще говоря, не аналитична в точке а.

Для второго интеграла имеем

,

следовательно, равномерно на  сходится прогрессия

Как и выше, получим разложение второго члена формулы (1) в ряд, но теперь по отрицательным степеням (z - a):

                       ,                                   (4)

где

                                                   (5)

Заменим в формулах (4) и (5) индекс –m на n, тогда, объединяя (2) и (4), получим:

                       .                                         (6)

Далее, согласно теореме Коши для многосвязных областей, в формулах (3) и (5) окружности  и  можно заменить любой окружностью , где . Поэтому обе формулы можно объединить в одну:

                                                      (7)

Полученное разложение (6) функции f(z) по положительным и отрицательным степеням (z-a) с коэффициентами, определяемыми по формулам (7), называется лорановским разложением функции f(z) с центром в точке a; ряд (2) называется правильной, а ряд (4) – главной частью этого разложения.

Т.к.  и  в нашем рассуждении могут быть взяты сколь угодно близкими к r и R, а q может сколь угодно мало отличаться от 1, то разложение (6) можно считать справедливым для всех точек z кольца аналитичности функции f(z).

Правильная часть ряда Лорана по теореме Абеля сходится всюду в круге , причем в любом круге  его сходимость равномерна. Главная часть представляет собой степенной ряд относительно переменной , следовательно, по той же теореме он сходится при , т.е. всюду вне круга , причем при , его сходимость также равномерна. Таким образом, доказана

Теорема 1 (Лорана). В любом кольце , в котором аналитична функция f(z), эта функция может быть представлена своим рядом Лорана (6), равномерно сходящимся в любой замкнутой области, принадлежащей кольцу K.

Из формул (7) для коэффициентов ряда Лорана получаем следующие неравенства Коши: если функция f(z) ограничена на окружности , пусть , тогда

                                                         .                                 (8)

Областью сходимости произвольного ряда вида

всегда служит некоторое круговое кольцо* , где . В этом легко убедиться с помощью теоремы Абеля, разбивая ряд на правильную и главную части. Для случая  имеет место

Теорема 2 . Если ряд

                                                                                                         (9)

сходится в кольце , то его сумма f(z) аналитична в этом кольце и разложение (9) является рядом Лорана для функций f(z).

Доказательство. В самом деле, аналитичность f(z) доказывается на основании теорем Абеля и Вейерштрасса так же, как в предыдущей лекции (для ряда Тейлора). Далее на любой окружности , где , ряд (9) сходится равномерно и остается таким после умножения на . Если проинтегрировать разложение

по окружности C и воспользоваться легко доказываемыми для любого целого n соотношениями:

                                                                          (10)

то получим для коэффициентов  ряда (9) выражения , совпадающие с выражениями (7). Следовательно, ряд (9) является рядом Лорана функции f(z). Ч.т.д.

Теорема 2 является теоремой единственности разложения в ряд Лорана, ибо из нее следует, что найденное любым способом разложение аналитической функции в ряд по положительным и отрицательным степеням  является лорановским разложением этой функции.

Особые точки однозначного характера.

Точка a называется особой точкой, если в ней функция f(z) не аналитична.

Точка a называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность  этой точки (с исключенной точкой a), в которой f(z) аналитична.

Здесь речь идет о точках, в окрестностях которых функция однозначна.

Различают три типа особых точек в зависимости от поведения функции f(z) в их окрестности.

  1.  Точка a называется устранимой особой точкой, если существует конечный .
  2.  Точка a называется полюсом, если  при , т.е если  .
  3.  Точка a называется существенно особой точкой, если  не существует.

Если a является изолированной особой точкой функции f(z), то по теореме Лорана эту функцию можно разложить в ряд Лорана в кольце ее аналитичности :

             (1)

Это разложение имеет различный вид в зависимости от характера особой точки.

Теорема 1. Для того чтобы a была устранимой особой точкой функции f(z) необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение f(z) в окрестности точки a не содержало главной части.

Доказательство. Ясно, что если лорановское разложение f(z) не содержит главной части, т.е.

                    ,                                 (2)

то существует конечный  (ибо правая часть (2) аналитична в точке a по теореме Вейерштрасса, следовательно, она непрерывна и ее предел при  равен сумме ряда в точке a, т.е. ) и a является устранимой особой точкой.

Обратно, пусть a является устранимой особой точкой функции f(z). Тогда в силу того, что  существует и конечен, функция f(z) ограничена в окрестности точки a; пусть , тогда соответствии с неравенствами Коши

,

причем число  в них можно выбрать сколь угодно малым. Поэтому ясно, что все коэффициенты cn с отрицательными индексами равны нулю, т.е. лорановское разложение f(z) не содержит главной части. Ч.т.д.

Замечание. По существу доказано более сильное утверждение: если функция f(z) ограничена в окрестности изолированной особой точки a, то a является устранимой особой точкой этой функции.

Название «устранимая особая точка» как теперь понятно, оправдывается тем, что такую особую точку можно «устранить», полагая ; после этого функция f(z) будет аналитической и в точке a, ибо во всем круге  она будет представляться сходящимся степенным рядом, т.е. устранимая особенность не является «дефектом» функции, а есть результат ее «неудачного» представления.

Перейдем к случаю полюса. Из определения полюса a следует, что f(z) отлична от нуля в некоторой окрестности этого полюса: , где . В такой окрестности аналитична функция , для которой, очевидно, . Следовательно, по определению, a является устранимой особой точкой  и, положив , мы получим, что a является нулем функции . Обратно, если  имеет в точке a нуль (и не равна тождественно нулю), то функция  аналитична в некоторой окрестности  точки a; очевидно,  имеет в точке a полюс.

Таким образом, нули и полюсы аналитических функций весьма просто связаны друг с другом. Будем называть порядком полюса a функции  порядок нуля a функции .

Теорема 2. Для того, чтобы точка a была полюсом функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения f(z) в окрестности a содержала лишь конечное число членов:

                          .                            (3)

При этом номер старшего отрицательного члена разложения совпадает с порядком полюса.

Доказательство. Пусть a является полюсом порядка n функции f(z). Тогда функция , , имеет в точке a нуль порядка n и поэтому, в соответствии с вышеизложенным, в окрестности точки a представляется в виде

,

где  аналитична и . В этой окрестности

                                    .                                         (4)

Но функция  аналитична в некоторой окрестности  точки a, следовательно, она разлагается там в ряд Тейлора

,

где . Подставляя это разложение в формулу (4), получим искомое разложение (3), справедливое в окрестности .

Пусть теперь, обратно, в некоторой окрестности  точки a имеет место разложение (3), причем . Тогда функция  , в круге  представляется рядом Тейлора

                                       ,                                  (5)

т.е. аналитична. Так как , то

и точка a является полюсом функции f(z). Функция  имеет, очевидно, в точке a нуль порядка n, следовательно, порядок полюса a равен n. Ч.т.д.

Из доказанных теорем непосредственно вытекает

Теорема 3. Точка a тогда и только тогда является существенно особой для функции f(z), когда главная часть лорановского разложения последней в окрестности точки a содержит бесконечно много членов.

Теорема 4 (Сохоцкого). Если a существенно особая точка функции f(z), то для любого комплексного числа A существует последовательность точек  такая, что .

Доказательство. Прежде всего, существует последовательность , для которой , ибо в противном случае f(z) была бы ограниченной в окрестности a и точка a была бы устранимой особой точкой. Пусть теперь задано произвольное комплексное число A. Имеет место один из двух случаев: 1) в любой окрестности точки a найдется точка z, в которой f(z) = A, тогда теорема доказана, ибо из таких точек z можно построить последовательность , так что , а значит, и , и 2) в некоторой окрестности точки a функция f(z) не принимает значения A.

В этом случае в упомянутой окрестности аналитична функция . Точка a не может быть для нее ни полюсом, ни устранимой особой точкой, ибо в этих случаях существовал бы (конечный или бесконечный) предел . Следовательно, a является существенно особой точкой функции g(z) и по доказанному существует последовательность , для которой . Для этой последовательности, очевидно,

.

Ч.т.д.

Теорема Сохоцкого и предыдущие теоремы позволяют утверждать, что в окрестности изолированной особой точки аналитическая функция либо стремится к определенному (конечному или бесконечному) пределу, либо вполне неопределенна, т.е. стремится (по различным последовательностям) к любому наперед заданному пределу. Никаких промежуточных случаев быть не может.

* Это кольцо может оказаться пустым, если , а в случае  множеством сходимости может служить любое множество на окружности .

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64945. Чингисхан - неожиданный ракурс 1.48 MB
  Основным парадоксальным выводом в историографии евразийцев стал абсолютно новый взгляд на ту роль которую сыграло военно-политическое наследие Чингисхана в русской истории. Правильнее будет однако утверждать что подлинные предпосылки миссии Чингиса заключались не в умах общества а в...
64947. УЧЕНЫЙ ЗОЛОТОЙ ОРДЫ АЛА-ЭД-ДИН ЭННОМАН ЭЛЬХАРЕЗМИ, КАК ПРЕДСТАВИТЕЛЬ ОРДЫНСКОЙ КУЛЬТУРНОЙ ТРАДИЦИИ 46 KB
  В представлении современного образованного человека наличие какой-либо научной деятельности в степных кочевых государствах абсолютно не возможно. Известно что Алаэд Дин Энноман Эльхарезми родился в начале сентября 1259 г. Алаэд Дин Энноман вернулся в Хорезм в 701 г.
64948. «МАМАЕВА ОРДА» 139 KB
  Временная самоизоляция этой провинции происходит на фоне дальнейшего возвышения на политической авансцене золотоордынского государства небезызвестного эмира Мамая. Следует также отметить что в историографии деятельность Мамая характеризуется как правило...
64950. Ярлыки ордынских ханов русским митрополитам 71.5 KB
  Золотоордынские ханы стремясь обеспечить себе поддержку русской церкви давали русскому духовенству льготы которые были строго определены в их льготных имущественных грамотах-ярлыках. Ярлыки освобождали духовенство от поборов в пользу ханов и их ставленников.
64951. ВЕЛИКАЯ ЯСА 549 KB
  В сохранившихся фрагментах Ясы лишь одна статья рассматривающая императорский титул касается этого предмета. Однако одна важная статья относительно наследования была включена в Ясу: У умершего человека не имеющего наследника ничего не изымается в пользу хана...