22354

Примеры особых точек

Лекция

Математика и математический анализ

Функции имеют в начале координат устранимую особую точку. Функции имеют начале координат существенную особую точку. Проверим справедливость теоремы Сохоцкого для функции . Целые функции.

Русский

2013-08-04

2.06 MB

7 чел.

Примеры особых точек.

1. Функции  имеют в начале координат устранимую особую точку. Это следует из тейлоровского разложения этих функций и теоремы 1 предыдущей лекции. В частности, при z0

 

2. Функция  имеет полюсы в точках , , в которых знаменатель обращается в нуль (эти точки располагаются на двух биссектрисах координатных углов). Все полюсы первого порядка, т.к. функция  имеет в них нули первого порядка (ее производная  отлична от нуля в этих точках).

3. Функции  имеют начале координат существенную особую точку. В этом легко убедиться, подставляя  вместо z в тейлоровском разложении этих функций и пользуясь теоремой №3 предыдущей лекции (в частности, при z0  ).

    Проверим справедливость теоремы Сохоцкого для функции . Для A= в качестве  берем , k = 1, 2, …, ибо очевидно ; для A = 0 можно принять , , т.к. . Для конечного  берем , k = 0,1,2, …, тогда  ( означает какое-нибудь значение логарифма).

Функция  имеет в начале координат неизолированную особую точку, т.к. ее полюсы  накапливаются к началу координат (см. пример 2).

По характеру особых точек выделяют следующие два класса однозначных аналитических функций.

1. Целые функции. Функция f(z) называется целой (или голоморфной), если она не имеет особых точек ни в какой конечной части плоскости. По теореме Коши всякая целая функция представима степенным рядом, сходящимся в любой конечной части плоскости. И, обратно, всякая функция, представимая степенным рядом , сходящимся в любой конечной части плоскости, является целой функцией. Примерами целых функций являются многочлены, показательная функция,  и др. Очевидно, сумма, разность и произведение целых функций суть снова целые функции.

2. Дробные функции. Функция f(z) называется дробной (или мероморфной), если она не имеет других особенностей, кроме полюсов. Из этого определения вытекает, что в любой ограниченной области мероморфная функция может иметь лишь конечное число полюсов. В самом деле, если бы в такой области было бы бесконечно много полюсов, то существовала бы их последовательность, сходящаяся к некоторой точке a, которая была бы неизолированной особой точкой, а не полюсом. Во всей плоскости полюсов может быть и бесконечно много. Примерами мероморфных функций являются все целые функции, дробно-рациональные функции, тригонометрические функции и др. Очевидно, сумма, разность, произведение и частное двух мероморфных функций и вообще любая дробно-рациональная функция  от мероморфных функций снова является мероморфной функцией.

Вычеты. Теорема о вычетах.

Вычетом функции f(z)  в изолированной особой точке a называется число

                                    ,                                    (1)

где  - достаточно малая (такая, чтобы внутри нее не было особых точек, кроме а) окружность, проходимая в положительном направлении.

Из формул для коэффициентов ряда Лорана при  непосредственно вытекает, что

                                                      ,                                                    (2)

т.е. что вычет функции f(z) в особой точке a равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении f(z) в окрестности a.

Отсюда следует, что в устранимой особой точке вычет функции равен нулю. В полюсе порядка n:

                                     .                        (3)

Для вывода этой формулы достаточно умножить лорановское разложение  на , продифференцировать полученное равенство (n-1) раз и затем перейти к пределу при .  

Для полюсов I порядка формула (3) принимает вид

                                                  .                                    (4)

Если при этом в окрестности точки a , причем , а  имеет в точке a нуль I порядка (т.е. ), то

                           .              (5)

 Теорема (Коши о вычетах). Пусть функция f(z) непрерывна на границе* C области D и аналитична внутри этой области всюду, кроме конечного числа особых точек . Тогда, если C обходится в положительном направлении, то

                                          .                                           (6)

 Доказательство. Доказательство вытекает из теоремы Коши для многосвязных областей. Заключим каждую точку  в кружок  столь малый, что все такие кружки лежат в области D и не пересекаются друг с другом (см. рис.).

                                                   

                                                       

                                                                                     

                                                 

                                                                               С             

Т.к. f(z) аналитична в области , ограниченной кривой C и совокупностью окружностей  и непрерывна в , то по теореме Коши

,

где все  проходятся по часовой стрелке. Меняя направление обхода окружности  и пользуясь определением вычета, согласно которому

,

получаем доказываемый результат (6).

Принцип аргумента и теорема Руше.

Под логарифмическим вычетом аналитической функции f(z) в точке a понимают вычет ее логарифмической производной

.

Если точка а является нулем f(z) порядка n, то в окрестности этой точки

следовательно,

и логарифмическая производная

где  аналитична в точке а, т.к. , поэтому

                                                              (7)

Пусть теперь a является полюсом f(z) порядка n. Тогда функция  имеет в точке a нуль порядка n и по только что доказанному, для логарифмической производной  точка a является полюсом I порядка с вычетом, равным (-n). Таким образом доказана

 Теорема 1. В нулях и полюсах функции f(z) ее логарифмическая производная  имеет полюсы I порядка, причем в нуле функции логарифмический вычет равен порядку нуля, а в полюсе – порядку полюса со знаком минус.

Пусть функция f(z) аналитична внутри ограниченной области D всюду, кроме конечного числа полюсов  кратностей соответственно , непрерывна на границе C этой области и не обращается на C в нуль; пусть еще  непрерывна на C. Тогда функция f(z) имеет в D лишь конечное число нулей, ибо в противном случае существовала бы бесконечная последовательность нулей, сходящаяся к внутренней или граничной точке области D, но эта последовательность не может сходиться ни к внутренней точке (по теореме единственности), ни к граничной точке (т.к.  и непрерывна на C). Нули f(z) в области D мы обозначим через , а их кратности соответственно через . Применяя к логарифмической производной f(z) теорему о вычетах и теорему 1, мы получим:

                         (8)

где N и P обозначают соответственно полное число нулей и полюсов этой функции, причем каждый нуль и полюс считается столько раз, каков его порядок.

Выясним геометрический смысл левой части последнего равенства. Имеем:

                                                      (9)

где  и  обозначают какие-нибудь ветви (см. ниже) этих функций, непрерывные вдоль C. Пусть C ограничивает односвязную область. Т. к. при обходе замкнутого контура C функция  возвращается к своему первоначальному значению, то первый интеграл в правой части (9) равен нулю. С другой стороны, если точка w=0 лежит внутри контура, описываемого точкой w = f(z), когда z обходит C, то конечное значение  может отличаться от начального (см. рис.) и тогда второе слагаемое будет отличным от нуля. Величина

- полное изменение аргумента функции f(z) при обходе C, деленное на , - геометрически представляет собой число оборотов вокруг начала w = 0 вектора f(z) при полном обходе C, или, что тоже самое, вектора w при обходе кривой Г, соответствующей C при отражении w = f(z). Соотношения (8) и (9) выражают так называемый принцип аргумента.

Теорема 2. Пусть функция f(z) аналитична внутри односвязной области D всюду, кроме конечного числа полюсов, непрерывна на границе C этой области и не обращается на C в нуль; пусть еще  непрерывна на C. Тогда разность между полным числом нулей и полюсов этой функции внутри D равна числу оборотов вектора w при обходе кривой , соответсвующей C при отображении w=f(z), или, что тоже самое, - сумме логарифмических вычетов f(z) в области D:

                                  .                               (10)

Полезным следствием принципа аргумента является следующая

Теорема 3 (Руше). Если функции f(z) и g(z) аналитичны внутри C, а на C непрерывны, имеют непрерывные производные, и удовлетворяют условию

                                                             ,                                             (11)

то функции f(z) и f(z)+g(z) имеют внутри C одинаковое число нулей.

Доказательство. Для доказательства заметим, что в силу нашего условия на C | f(z)|>0 и . Следовательно, функции f(z) и f(z)+g(z) не обращаются на C в нуль и к ним применим принцип аргумента. Из соотношения

получаем:

Но т.к. при движении точки z по контуру C точка  все время остается внутри круга  (это следует из того, что  на C)**,то точка  не может обойти начала координат и, значит . Таким образом,

и остается воспользоваться формулой (10) при P = 0.

Теорема 4 (Основная теорема алгебры). Уравнение

                                                       (12)

имеет в комплексной плоскости n (конечных) корней.

Доказательство. Для доказательства примем  и выберем R столь большим, чтобы на окружности |z| = R было | f(z)| > |g(z)| - это можно сделать, т.к. , а , и  растет быстрее, чем любой многочлен степени (n-1). Тогда по теореме Руше число корней уравнения в круге  равно числу нулей , т.е. n. С другой стороны, т.к. , то, еще увеличивая в случае надобности R, мы можем считать, что вне круга уравнение не имеет корней.

* Непрерывность f(z) на границе области понимается в смысле непрерывности по области, т.е. в том смысле, что в любой точке  границы существует , причем  по точкам области  D. Если С имеет кратные точки, например, содержит двубережный разрез, то условие можно ослабить, потребовав существования предельных значений f(z) лишь при   с каждой из сторон разреза (при этом пределы с одной и с другой стороны не обязаны совпадать).

*                                                           *

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41584. Время отдыха. Понятие времени отдыха 51.5 KB
  Перерывы в течение рабочего дня ст. не зависимо от гражданства; Время отпуска засчитывается в стаж работы. Виды отпусков: ежегодные отпуска: основной дополнительный;
41585. ПРАВОВОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ОПЛАТЫ ТРУДА 55 KB
  Размер оплаты труда носит императивный характер но все же не может рассматриваться как правовое предписание прямого действия которое дает право работнику требовать корректировки условий оплаты труда.результатов его труда и хозяйственной деятельности предприятия; Поэтому ни в одной норме права не закреплен принцип равной оплаты за труд. Рынок труда и принцип равной оплаты за равный труд – явления взаимоисключающие друг друга т.
41586. Материальная ответственность. Понятие основания и условия возникновения материальной ответственности 40.5 KB
  Материальная ответственность является юридической обязанностью работника и состоит в возмещении ущерба причиненного предприятию своими виновными действиями причинил вред предприятию. Материальная ответственность – это вид ответственности который состоит в обязанности работника возместить в установленном порядке и размере вред причиненный предприятию на котором он работает вследствие не выполнения или ненадлежащего выполнения без уважительных причин своих трудовых обязанностей. В соответствии с нормами трудового права...
41587. Трудовые споры. Понятие трудовых споров и причины их возникновения 46 KB
  Понятие трудовых споров и причины их возникновения Индивидуальные трудовые споры Коллективные трудовые споры 1. Понятие трудовых споров и причины их возникновения Трудовые споры нельзя сводить к разногласиям между отдельными работниками и собственником. Понятие трудовые споры включает и непонимание между собственником предприятия и определенным трудовым коллективом.
41588. Политические режимы в зарубежных странах 68.5 KB
  Политический режим это важнейший структурный элемент формы государства все принципиальные изменения в природе государственной власти и способах ее организации неизбежно отражаются на политическом режиме. Политический режим это система методов способов и средств осуществления политической государственной власти. Основными чертами демократического режима являются следующие: решения принимаются большинством с учетом интересов меньшинства; существует правовое государство и гражданское общество; центральные и местные органы...
41589. Избирательное право и избирательные системы 127.5 KB
  Выборы совместное и независимое волеизъявление граждан в форме голосования в пользу тех или иных кандидатов на должности в публичных органах власти. 48 на выборах голосование личное и равное свободное и тайное. Если результат выборов устанавливается после однократного голосования избирателей считается что они проводятся в один тур а если для этого может потребоваться два голосования то в два тура. В конституциях зарубежных стран все чаще формулируются принципы активного избирательного права права избирать: всеобщее равное...
41590. Конституционно-правовой статус главы государства 67 KB
  Глава государства в системе органов государственной власти. Компетенция главы государства. Глава государства в системе органов государственной власти.
41591. Парламент в зарубежных странах 77 KB
  Внутренняя организация парламента и его палат.Правовое положение депутата парламента. Смысл деятельности парламента как общенационального представительного учреждения состоит в согласованном принятии государственных решений прежде всего законов после всестороннего обсуждения. В каждой стране по-своему решаются вопросы устройства и функционирования парламента но есть общие признаки которые учитываются в парламентской практике.
41592. Правительство в зарубежных странах 49.5 KB
  Место правительства в системе органов государственной власти. Порядок формирования и структура правительства. Полномочия правительства. Место правительства в системе органов государственной власти.