22354

Примеры особых точек

Лекция

Математика и математический анализ

Функции имеют в начале координат устранимую особую точку. Функции имеют начале координат существенную особую точку. Проверим справедливость теоремы Сохоцкого для функции . Целые функции.

Русский

2013-08-04

2.06 MB

7 чел.

Примеры особых точек.

1. Функции  имеют в начале координат устранимую особую точку. Это следует из тейлоровского разложения этих функций и теоремы 1 предыдущей лекции. В частности, при z0

 

2. Функция  имеет полюсы в точках , , в которых знаменатель обращается в нуль (эти точки располагаются на двух биссектрисах координатных углов). Все полюсы первого порядка, т.к. функция  имеет в них нули первого порядка (ее производная  отлична от нуля в этих точках).

3. Функции  имеют начале координат существенную особую точку. В этом легко убедиться, подставляя  вместо z в тейлоровском разложении этих функций и пользуясь теоремой №3 предыдущей лекции (в частности, при z0  ).

    Проверим справедливость теоремы Сохоцкого для функции . Для A= в качестве  берем , k = 1, 2, …, ибо очевидно ; для A = 0 можно принять , , т.к. . Для конечного  берем , k = 0,1,2, …, тогда  ( означает какое-нибудь значение логарифма).

Функция  имеет в начале координат неизолированную особую точку, т.к. ее полюсы  накапливаются к началу координат (см. пример 2).

По характеру особых точек выделяют следующие два класса однозначных аналитических функций.

1. Целые функции. Функция f(z) называется целой (или голоморфной), если она не имеет особых точек ни в какой конечной части плоскости. По теореме Коши всякая целая функция представима степенным рядом, сходящимся в любой конечной части плоскости. И, обратно, всякая функция, представимая степенным рядом , сходящимся в любой конечной части плоскости, является целой функцией. Примерами целых функций являются многочлены, показательная функция,  и др. Очевидно, сумма, разность и произведение целых функций суть снова целые функции.

2. Дробные функции. Функция f(z) называется дробной (или мероморфной), если она не имеет других особенностей, кроме полюсов. Из этого определения вытекает, что в любой ограниченной области мероморфная функция может иметь лишь конечное число полюсов. В самом деле, если бы в такой области было бы бесконечно много полюсов, то существовала бы их последовательность, сходящаяся к некоторой точке a, которая была бы неизолированной особой точкой, а не полюсом. Во всей плоскости полюсов может быть и бесконечно много. Примерами мероморфных функций являются все целые функции, дробно-рациональные функции, тригонометрические функции и др. Очевидно, сумма, разность, произведение и частное двух мероморфных функций и вообще любая дробно-рациональная функция  от мероморфных функций снова является мероморфной функцией.

Вычеты. Теорема о вычетах.

Вычетом функции f(z)  в изолированной особой точке a называется число

                                    ,                                    (1)

где  - достаточно малая (такая, чтобы внутри нее не было особых точек, кроме а) окружность, проходимая в положительном направлении.

Из формул для коэффициентов ряда Лорана при  непосредственно вытекает, что

                                                      ,                                                    (2)

т.е. что вычет функции f(z) в особой точке a равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении f(z) в окрестности a.

Отсюда следует, что в устранимой особой точке вычет функции равен нулю. В полюсе порядка n:

                                     .                        (3)

Для вывода этой формулы достаточно умножить лорановское разложение  на , продифференцировать полученное равенство (n-1) раз и затем перейти к пределу при .  

Для полюсов I порядка формула (3) принимает вид

                                                  .                                    (4)

Если при этом в окрестности точки a , причем , а  имеет в точке a нуль I порядка (т.е. ), то

                           .              (5)

 Теорема (Коши о вычетах). Пусть функция f(z) непрерывна на границе* C области D и аналитична внутри этой области всюду, кроме конечного числа особых точек . Тогда, если C обходится в положительном направлении, то

                                          .                                           (6)

 Доказательство. Доказательство вытекает из теоремы Коши для многосвязных областей. Заключим каждую точку  в кружок  столь малый, что все такие кружки лежат в области D и не пересекаются друг с другом (см. рис.).

                                                   

                                                       

                                                                                     

                                                 

                                                                               С             

Т.к. f(z) аналитична в области , ограниченной кривой C и совокупностью окружностей  и непрерывна в , то по теореме Коши

,

где все  проходятся по часовой стрелке. Меняя направление обхода окружности  и пользуясь определением вычета, согласно которому

,

получаем доказываемый результат (6).

Принцип аргумента и теорема Руше.

Под логарифмическим вычетом аналитической функции f(z) в точке a понимают вычет ее логарифмической производной

.

Если точка а является нулем f(z) порядка n, то в окрестности этой точки

следовательно,

и логарифмическая производная

где  аналитична в точке а, т.к. , поэтому

                                                              (7)

Пусть теперь a является полюсом f(z) порядка n. Тогда функция  имеет в точке a нуль порядка n и по только что доказанному, для логарифмической производной  точка a является полюсом I порядка с вычетом, равным (-n). Таким образом доказана

 Теорема 1. В нулях и полюсах функции f(z) ее логарифмическая производная  имеет полюсы I порядка, причем в нуле функции логарифмический вычет равен порядку нуля, а в полюсе – порядку полюса со знаком минус.

Пусть функция f(z) аналитична внутри ограниченной области D всюду, кроме конечного числа полюсов  кратностей соответственно , непрерывна на границе C этой области и не обращается на C в нуль; пусть еще  непрерывна на C. Тогда функция f(z) имеет в D лишь конечное число нулей, ибо в противном случае существовала бы бесконечная последовательность нулей, сходящаяся к внутренней или граничной точке области D, но эта последовательность не может сходиться ни к внутренней точке (по теореме единственности), ни к граничной точке (т.к.  и непрерывна на C). Нули f(z) в области D мы обозначим через , а их кратности соответственно через . Применяя к логарифмической производной f(z) теорему о вычетах и теорему 1, мы получим:

                         (8)

где N и P обозначают соответственно полное число нулей и полюсов этой функции, причем каждый нуль и полюс считается столько раз, каков его порядок.

Выясним геометрический смысл левой части последнего равенства. Имеем:

                                                      (9)

где  и  обозначают какие-нибудь ветви (см. ниже) этих функций, непрерывные вдоль C. Пусть C ограничивает односвязную область. Т. к. при обходе замкнутого контура C функция  возвращается к своему первоначальному значению, то первый интеграл в правой части (9) равен нулю. С другой стороны, если точка w=0 лежит внутри контура, описываемого точкой w = f(z), когда z обходит C, то конечное значение  может отличаться от начального (см. рис.) и тогда второе слагаемое будет отличным от нуля. Величина

- полное изменение аргумента функции f(z) при обходе C, деленное на , - геометрически представляет собой число оборотов вокруг начала w = 0 вектора f(z) при полном обходе C, или, что тоже самое, вектора w при обходе кривой Г, соответствующей C при отражении w = f(z). Соотношения (8) и (9) выражают так называемый принцип аргумента.

Теорема 2. Пусть функция f(z) аналитична внутри односвязной области D всюду, кроме конечного числа полюсов, непрерывна на границе C этой области и не обращается на C в нуль; пусть еще  непрерывна на C. Тогда разность между полным числом нулей и полюсов этой функции внутри D равна числу оборотов вектора w при обходе кривой , соответсвующей C при отображении w=f(z), или, что тоже самое, - сумме логарифмических вычетов f(z) в области D:

                                  .                               (10)

Полезным следствием принципа аргумента является следующая

Теорема 3 (Руше). Если функции f(z) и g(z) аналитичны внутри C, а на C непрерывны, имеют непрерывные производные, и удовлетворяют условию

                                                             ,                                             (11)

то функции f(z) и f(z)+g(z) имеют внутри C одинаковое число нулей.

Доказательство. Для доказательства заметим, что в силу нашего условия на C | f(z)|>0 и . Следовательно, функции f(z) и f(z)+g(z) не обращаются на C в нуль и к ним применим принцип аргумента. Из соотношения

получаем:

Но т.к. при движении точки z по контуру C точка  все время остается внутри круга  (это следует из того, что  на C)**,то точка  не может обойти начала координат и, значит . Таким образом,

и остается воспользоваться формулой (10) при P = 0.

Теорема 4 (Основная теорема алгебры). Уравнение

                                                       (12)

имеет в комплексной плоскости n (конечных) корней.

Доказательство. Для доказательства примем  и выберем R столь большим, чтобы на окружности |z| = R было | f(z)| > |g(z)| - это можно сделать, т.к. , а , и  растет быстрее, чем любой многочлен степени (n-1). Тогда по теореме Руше число корней уравнения в круге  равно числу нулей , т.е. n. С другой стороны, т.к. , то, еще увеличивая в случае надобности R, мы можем считать, что вне круга уравнение не имеет корней.

* Непрерывность f(z) на границе области понимается в смысле непрерывности по области, т.е. в том смысле, что в любой точке  границы существует , причем  по точкам области  D. Если С имеет кратные точки, например, содержит двубережный разрез, то условие можно ослабить, потребовав существования предельных значений f(z) лишь при   с каждой из сторон разреза (при этом пределы с одной и с другой стороны не обязаны совпадать).

*                                                           *

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33533. Отражение истории в судьбе Г.Мелехова (по роману М.Шолохова «Тихий Дон») 14.64 KB
  Григорий Мелехов – это главный герой романа. На войне герой возмужал заслужил четыре георгиевских креста и четыре медали стал офицером поддержал казачью честь и славу но стал злым. После знакомства с большевистской философией герой чувствует себя зрячим. Трех коней убили под Григорием в пяти местах продырявлена его шинель но геройство оказывается напрасным – поток Красной армии затопляет Донскую землю.
33534. Проблематика и жанровые особенности романа М.Шолохова «Тихий Дон» 16.39 KB
  Действительно Шолохов в отличие от автора “Войны и мира†не дает в романе теоретического обоснования своей исторической концепции несмотря на то что его трактовка исторических событий нередко отличается от главенствовавшей тогда в исторической науке. В своем романе Шолохов рисует жизнь русского донского казачества. В этом романе Шолохов освещает проблемы связанные с войной и революцией начала 20 века. Но есть в романе и другое.
33535. Политическая лирика В.Маяковского 18.44 KB
  Февральская и Октябрьская революции явились для Маяковского началом реального воплощения его идей о новом свободном человеке и счастливом мироустройстве. Отныне романтический индивидуализм присущий лирическому герою Маяковского уступил место соборности единению с миллионами я сменилось на мы конфликт личности и общества был снят самой историей. Футуристическая эстетика Маяковского сменилась доктриной коммунистического футуризма и Левого фронта искусств с его идеями искусства как жизнестроения. Знаменитые Окна РОСТА регулярно...
33536. Идейно-тематические особенности рассказов М.Зощенко. Герои, конфликты 15.7 KB
  Несмотря на то что герой не считает себя удачливым в жизни так как выходит ему время от времени перетык и прискорбный случай он философствует Жизнь штука не простая а сложная имеет на все свои взгляды: и на мужицкую жизнь блекота и слабое развитие техники и на культуру иностранную которую он знает. Я всегда стремился к изображению положительных сторон жизни. которые проповедовали свободу искусства от политики изображали действительность исходя из фактов жизни быта. Главным фактом в то время была революция которую...
33537. Повесть В.Распутина «Прощание с Матерой» как итоговое произведение «деревенской» прозы 17.11 KB
  Жанр повести можно определить как философскую притчу. Таким образом один из основных философских смыслов повести заключается в том что не нами начинается жизнь на земле и не нашим уходом заканчивается. В повести двадцать две главы в которых воспроизводится быт жителей Матеры в последние три месяца их пребывания на острове. Трагическая развязка повести проявляет авторскую позицию.
33538. «Матренин двор» А. Солженицына как начало второго этапа развития «деревенской прозы. Особенности этого этапа 17.23 KB
  Хозяйка дома Матрена одинокая женщина лет шестидесяти. Матрена Васильевна избу не жалела ни для мышей ни для тараканов ибо в шуршании мышей непрерывном как далекий шум океана шорохе тараканов не было ничего злого не было лжи. Матрена отличалась трудолюбием: вставала в четырепять утра тихо вежливо стараясь не шуршать топила русскую печь ходила доить козу по воду ходила и варила в трех судочках . Матрена никому не могла отказать: без нее ни одна пахота не обходилась.
33539. Основные конфликты «деревенской» прозы 50-х гг 15.2 KB
  Деревенская проза ведет свое начало с 50х годов. Очеркистыдеревенщики 50 60х годов не позволяли себе сомневаться в необходимости колхозов не поднимали руку на то как осуществлялось партийное руководство ими но показывали сколько вреда наносят бездумные директивы галочная система. 50е ГОДЫ – овечкинский этап – МОМЕНТ ПРОЗРЕНИЯ после лакировочнобесконфликтного наваждения 40х годов. Овечкинское направление в литературе 50х годов было: резкой реакцией на литературную мифологию 40х годов; возвращением деревенской прозы...
33540. «Василий Теркин» А.Твардовского. Образ героя, художественные особенности 20.78 KB
  Твардовский возобновил работу над образом Василия Теркина которую он начал еще в 1940 г. Твардовский развертывает биографию Теркина как судьбу многих бойцов как обобщение тяжелого и славного пути всей Советской Армии. Создавая образ Теркина автор типизировал массовые явления действительности и прямо указывал на распространенность таких героев: Парень в этом роде В каждой роте есть всегда Да и в каждом взводе. Твардовский по его признанию освобождал ее от всего что сводит книгу к какойто частной истории мельчит ее лишает ее той...
33541. Тип героя и конфликты в рассказах В.Шукшина 16.71 KB
  Автор настойчиво подчеркивает его чудаковатость которая отличает героя от других правильных людей. Создается проблемная для героя ситуация: тайком присвоить бумажку или объявить всем о находке и отдать ее владельцу ведь она этакая зеленая дурочка лежит себе никто ее не видит. Употребляя по отношению к неодушевленному предмету слово дурочка Шукшин передает нюансы душевного состояния героя: радость от находки и от сознания того что никто кроме него не видит бумажку.