22354

Примеры особых точек

Лекция

Математика и математический анализ

Функции имеют в начале координат устранимую особую точку. Функции имеют начале координат существенную особую точку. Проверим справедливость теоремы Сохоцкого для функции . Целые функции.

Русский

2013-08-04

2.06 MB

7 чел.

Примеры особых точек.

1. Функции  имеют в начале координат устранимую особую точку. Это следует из тейлоровского разложения этих функций и теоремы 1 предыдущей лекции. В частности, при z0

 

2. Функция  имеет полюсы в точках , , в которых знаменатель обращается в нуль (эти точки располагаются на двух биссектрисах координатных углов). Все полюсы первого порядка, т.к. функция  имеет в них нули первого порядка (ее производная  отлична от нуля в этих точках).

3. Функции  имеют начале координат существенную особую точку. В этом легко убедиться, подставляя  вместо z в тейлоровском разложении этих функций и пользуясь теоремой №3 предыдущей лекции (в частности, при z0  ).

    Проверим справедливость теоремы Сохоцкого для функции . Для A= в качестве  берем , k = 1, 2, …, ибо очевидно ; для A = 0 можно принять , , т.к. . Для конечного  берем , k = 0,1,2, …, тогда  ( означает какое-нибудь значение логарифма).

Функция  имеет в начале координат неизолированную особую точку, т.к. ее полюсы  накапливаются к началу координат (см. пример 2).

По характеру особых точек выделяют следующие два класса однозначных аналитических функций.

1. Целые функции. Функция f(z) называется целой (или голоморфной), если она не имеет особых точек ни в какой конечной части плоскости. По теореме Коши всякая целая функция представима степенным рядом, сходящимся в любой конечной части плоскости. И, обратно, всякая функция, представимая степенным рядом , сходящимся в любой конечной части плоскости, является целой функцией. Примерами целых функций являются многочлены, показательная функция,  и др. Очевидно, сумма, разность и произведение целых функций суть снова целые функции.

2. Дробные функции. Функция f(z) называется дробной (или мероморфной), если она не имеет других особенностей, кроме полюсов. Из этого определения вытекает, что в любой ограниченной области мероморфная функция может иметь лишь конечное число полюсов. В самом деле, если бы в такой области было бы бесконечно много полюсов, то существовала бы их последовательность, сходящаяся к некоторой точке a, которая была бы неизолированной особой точкой, а не полюсом. Во всей плоскости полюсов может быть и бесконечно много. Примерами мероморфных функций являются все целые функции, дробно-рациональные функции, тригонометрические функции и др. Очевидно, сумма, разность, произведение и частное двух мероморфных функций и вообще любая дробно-рациональная функция  от мероморфных функций снова является мероморфной функцией.

Вычеты. Теорема о вычетах.

Вычетом функции f(z)  в изолированной особой точке a называется число

                                    ,                                    (1)

где  - достаточно малая (такая, чтобы внутри нее не было особых точек, кроме а) окружность, проходимая в положительном направлении.

Из формул для коэффициентов ряда Лорана при  непосредственно вытекает, что

                                                      ,                                                    (2)

т.е. что вычет функции f(z) в особой точке a равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении f(z) в окрестности a.

Отсюда следует, что в устранимой особой точке вычет функции равен нулю. В полюсе порядка n:

                                     .                        (3)

Для вывода этой формулы достаточно умножить лорановское разложение  на , продифференцировать полученное равенство (n-1) раз и затем перейти к пределу при .  

Для полюсов I порядка формула (3) принимает вид

                                                  .                                    (4)

Если при этом в окрестности точки a , причем , а  имеет в точке a нуль I порядка (т.е. ), то

                           .              (5)

 Теорема (Коши о вычетах). Пусть функция f(z) непрерывна на границе* C области D и аналитична внутри этой области всюду, кроме конечного числа особых точек . Тогда, если C обходится в положительном направлении, то

                                          .                                           (6)

 Доказательство. Доказательство вытекает из теоремы Коши для многосвязных областей. Заключим каждую точку  в кружок  столь малый, что все такие кружки лежат в области D и не пересекаются друг с другом (см. рис.).

                                                   

                                                       

                                                                                     

                                                 

                                                                               С             

Т.к. f(z) аналитична в области , ограниченной кривой C и совокупностью окружностей  и непрерывна в , то по теореме Коши

,

где все  проходятся по часовой стрелке. Меняя направление обхода окружности  и пользуясь определением вычета, согласно которому

,

получаем доказываемый результат (6).

Принцип аргумента и теорема Руше.

Под логарифмическим вычетом аналитической функции f(z) в точке a понимают вычет ее логарифмической производной

.

Если точка а является нулем f(z) порядка n, то в окрестности этой точки

следовательно,

и логарифмическая производная

где  аналитична в точке а, т.к. , поэтому

                                                              (7)

Пусть теперь a является полюсом f(z) порядка n. Тогда функция  имеет в точке a нуль порядка n и по только что доказанному, для логарифмической производной  точка a является полюсом I порядка с вычетом, равным (-n). Таким образом доказана

 Теорема 1. В нулях и полюсах функции f(z) ее логарифмическая производная  имеет полюсы I порядка, причем в нуле функции логарифмический вычет равен порядку нуля, а в полюсе – порядку полюса со знаком минус.

Пусть функция f(z) аналитична внутри ограниченной области D всюду, кроме конечного числа полюсов  кратностей соответственно , непрерывна на границе C этой области и не обращается на C в нуль; пусть еще  непрерывна на C. Тогда функция f(z) имеет в D лишь конечное число нулей, ибо в противном случае существовала бы бесконечная последовательность нулей, сходящаяся к внутренней или граничной точке области D, но эта последовательность не может сходиться ни к внутренней точке (по теореме единственности), ни к граничной точке (т.к.  и непрерывна на C). Нули f(z) в области D мы обозначим через , а их кратности соответственно через . Применяя к логарифмической производной f(z) теорему о вычетах и теорему 1, мы получим:

                         (8)

где N и P обозначают соответственно полное число нулей и полюсов этой функции, причем каждый нуль и полюс считается столько раз, каков его порядок.

Выясним геометрический смысл левой части последнего равенства. Имеем:

                                                      (9)

где  и  обозначают какие-нибудь ветви (см. ниже) этих функций, непрерывные вдоль C. Пусть C ограничивает односвязную область. Т. к. при обходе замкнутого контура C функция  возвращается к своему первоначальному значению, то первый интеграл в правой части (9) равен нулю. С другой стороны, если точка w=0 лежит внутри контура, описываемого точкой w = f(z), когда z обходит C, то конечное значение  может отличаться от начального (см. рис.) и тогда второе слагаемое будет отличным от нуля. Величина

- полное изменение аргумента функции f(z) при обходе C, деленное на , - геометрически представляет собой число оборотов вокруг начала w = 0 вектора f(z) при полном обходе C, или, что тоже самое, вектора w при обходе кривой Г, соответствующей C при отражении w = f(z). Соотношения (8) и (9) выражают так называемый принцип аргумента.

Теорема 2. Пусть функция f(z) аналитична внутри односвязной области D всюду, кроме конечного числа полюсов, непрерывна на границе C этой области и не обращается на C в нуль; пусть еще  непрерывна на C. Тогда разность между полным числом нулей и полюсов этой функции внутри D равна числу оборотов вектора w при обходе кривой , соответсвующей C при отображении w=f(z), или, что тоже самое, - сумме логарифмических вычетов f(z) в области D:

                                  .                               (10)

Полезным следствием принципа аргумента является следующая

Теорема 3 (Руше). Если функции f(z) и g(z) аналитичны внутри C, а на C непрерывны, имеют непрерывные производные, и удовлетворяют условию

                                                             ,                                             (11)

то функции f(z) и f(z)+g(z) имеют внутри C одинаковое число нулей.

Доказательство. Для доказательства заметим, что в силу нашего условия на C | f(z)|>0 и . Следовательно, функции f(z) и f(z)+g(z) не обращаются на C в нуль и к ним применим принцип аргумента. Из соотношения

получаем:

Но т.к. при движении точки z по контуру C точка  все время остается внутри круга  (это следует из того, что  на C)**,то точка  не может обойти начала координат и, значит . Таким образом,

и остается воспользоваться формулой (10) при P = 0.

Теорема 4 (Основная теорема алгебры). Уравнение

                                                       (12)

имеет в комплексной плоскости n (конечных) корней.

Доказательство. Для доказательства примем  и выберем R столь большим, чтобы на окружности |z| = R было | f(z)| > |g(z)| - это можно сделать, т.к. , а , и  растет быстрее, чем любой многочлен степени (n-1). Тогда по теореме Руше число корней уравнения в круге  равно числу нулей , т.е. n. С другой стороны, т.к. , то, еще увеличивая в случае надобности R, мы можем считать, что вне круга уравнение не имеет корней.

* Непрерывность f(z) на границе области понимается в смысле непрерывности по области, т.е. в том смысле, что в любой точке  границы существует , причем  по точкам области  D. Если С имеет кратные точки, например, содержит двубережный разрез, то условие можно ослабить, потребовав существования предельных значений f(z) лишь при   с каждой из сторон разреза (при этом пределы с одной и с другой стороны не обязаны совпадать).

*                                                           *

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72738. Английский язык – визитная карточка современного человека 152 KB
  Значение английского языка как языка межкультурной коммуникации и международного языка имеет в настоящее время неоспоримую значимость. Вся современная мировая общественность общается на английском языке, поскольку наибольшая часть коммуникаций самого различного характера...
72740. Возможности исследовательской работы в детском объединении художественно-эстетического направления (на примере детского театра моды «Виктория») 89 KB
  Детский театр моды - форма работы с детьми в дополнительном образовании предполагающая интеграцию декоративно-прикладной художественно-эстетической и театральной деятельности детей. Главным результатом работы в объединении конечным продуктом совместной деятельности является создание коллективной коллекции.
72743. Исторический вечер «России верные сыны» 127.5 KB
  Сценарий составлен таким образом, что его можно проводить как в классе, так и в актовом зале школы как внеклассное или школьное мероприятие, посвященное 200-летию Отечественной войны 1812 года. Форма музыкально-поэтической композиции с элементами театрализации способна увлечь и заинтересовать учеников, проявить свои актёрские и поэтические таланты.
72744. Исследование жизни божьих коровок 40 KB
  1 слайд «Божья коровка, улети на небо, принеси нам хлеба!» - кто из нас не приговаривал так, посадив на палец этого красивого жучка? И крошка, добравшись до кончика пальца, улетала. Куда? Чем она занимается? Сейчас мы постараемся ответить, на эти и другие вопросы о божьей коровке.
72745. Отражение национального характера немцев в немецкой фразеологии 100 KB
  Особенности национального характера немцев. Фразеологизмы отражающие национальные особенности немцев. В связи с этим я выбрала фразеологизмы отражающие особенности национального характера немцев.
72746. Правдивая история о соли 96.5 KB
  Если предположить, что значение соли в жизни человека очень велико и значимо, её исчезновение несёт неминуемую гибель человечеству, то становится понятным, почему соль ценили с древних времен и дорожат ею в наше время, остаются актуальными используемые в речи народные пословицы, поговорки и приметы.