22355

Бесконечно удаленная точка

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть функция аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки кроме самой точки . В этом случае функция очевидно ограничена и в некоторой окрестности точки . Пусть функция аналитична в полной поскости. Но тогда функция ограничена во всей плоскости: для всех имеем .

Русский

2013-08-04

682.5 KB

13 чел.

Бесконечно удаленная точка.

Пусть функция  аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки (кроме самой точки ). Говорят, что  является устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой функции  в зависимости от того, конечен, бесконечен или вовсе не существует .

Положим  и , тогда  будет аналитиче-ской в некоторой окрестности точки  Последняя будет для  особой точкой того же типа, что и  для  ибо  . Лорановское разложение  в окрестности  можно получить простой заменой  в лорановском разложении  в окрестности . Но при такой замене правильная часть заменяется главной, и обратно. Таким образом, справедлива

Теорема 1. В случае устранимой особенности в бесконечно удалённой точке, лорановское разложение функции  в окрестности этой точки вовсе не содержит положительных степеней , в случае полюса содержит конечное их число, а в случае существенной особенности -  бесконечное.

Если  имеет в точке  устранимую особенность, то обычно говорят, что она аналитична в бесконечности, и принимают . В этом случае функция, очевидно, ограничена и в некоторой окрестности точки .

Пусть функция  аналитична в полной поскости. Из аналитичности функции в бесконечно удаленной точке следует её ограниченность в окрестности этой точки; пусть  при . С другой стороны, из аналитичности  в замкнутом круге  следует её ограниченность в этом круге; пусть в нём . Но тогда функция ограничена во всей плоскости: для всех имеем . Таким образом, теореме Лиувилля можно придать следующую форму.

Теорема 2. Если функция  аналитична в полной плоскости  , то она постоянна.

Введем теперь понятие вычета в бесконечно удаленной точке. Пусть функция  аналитична в некоторой окрестности точки  (кроме, быть может, самой этой точки); под вычетом функции в бесконечности понимают

где - достаточно большая окружность , проходимая по часовой стрелке (так что окружность точки остается слева).

Из этого определения непосредственно следует, что вычет функции в бесконечности равен коэффициенту при  в лорановском её разложении в окрестности точки , взятому с обратным знаком:

.

Теорема 3. Если функция имеет в полной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех её вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю.

Доказательство. В самом деле, пусть а1,…аn – конечные особые точки функции  и - окружность , содержащая их все внутри. По свойству интегралов, теореме о вычетах и определению вычета в бесконечно удаленной точке имеем:

.

Ч.т.д.

Приложения теории вычетов к вычислению интегралов.

Пусть требуется вычислить интеграл от действительной функции по какому-нибудь (конечному или бесконечному) отрезку (a,b) оси х. Дополним (a, b) некоторой кривой , ограничивающей вместе с (a,b) область , и аналитически продолжим  в .

        К построенному аналитическому продолжению  применяем теорему о вычетах:

                                                     (1)

Если интеграл по  удается вычислить или выразить через искомый интеграл , то задача вычисления решена.

В случае бесконечных отрезков (a,b) обычно рассматривают семейства неограниченно расширяющихся контуров интегрирования, которые строят так, чтобы в результате предельного перехода получить интеграл по (a,b). В этом случае интеграл по  в соотношении (1) можно не вычислять, а лишь найти его предел, который часто оказывается равен нулю.

Весьма полезной при этом оказывается следующая

Лемма (Жордана). Если на некоторой последовательности дуг окружностей  ,(, а фиксировано) функция  стремится к нулю равномерно относительно , то для

                                                     .                                   (2)

Доказательство. Обозначим

. По условиям леммы при также стремится к нулю, причем Пусть a>0; на дугах АВ и CD имеем .

Следовательно , и интеграл по дугам АВ,CD стремится к нулю при .

Поскольку при  справедливо неравенство , то на дуге ВЕ 

. Поэтому и, таким образом, также стремится к нулю при . Если на дуге СЕ полярный угол отсчитывать по часовой стрелке, то для  получится такая же оценка. В случае, когда  доказательство упрощается, т.к. будет излишней оценка интеграла по дугам АВ и CD. Лемма доказана.

Замечание 1. Последовательность дуг окружностей в лемме можно заменить семейством дуг

,,,

тогда, если функция  при стремится на  к нулю равномерно относительно  то для

.       (3)

Доказательство остается в силе.

Замечание 2. Заменим переменную: iz=p, тогда дуги окружностей леммы заменятся дугами , и мы получим, что для любой функции F(p), стремящейся на  к нулю при  равномерно относительно и для любого положительного t

            .                         (4)

Заменяя в (4) р на () мы получим, что в тех же условиях для                     

                                                          ,                                   (5)

где - дуга окружности (см. рис.).

Рассмотрим примеры вычисления интегралов.

Пример 1. .

Выберем вспомогательную функцию . Т.к. функция  на удовлетворяет неравенству , то она равномерно стремится к нулю при , и по лемме Жордана, при

.

Для имеем по теореме о вычетах

.

В пределе при  получаем:

.

Отделяя действительные части и используя четность функции, найдем

.

Пример 2. Для вычисления интеграла

возьмем вспомогательную функцию. Контур интегрирования обходит особую точку z=0. По теореме Коши

.

Из леммы Жордана видно, что . Для оценки рассмотрим лорановское разложение в окрестности точки z=0

,

где - регулярная в точке z=0 функция. Отсюда видно, что

.

Таким образом, теорему Коши можно переписать в виде

.

Заменяя в первом интеграле х на –х, получим, что он равен , поэтому имеем

.

В пределе при и  окончательно:

                                                        .                                        (7)

Пример 3. Вычислить интеграл

                  

Введем вспомогательную функцию  и выберем контур интегрирования таким же, как и в предыдущем примере. Внутри этого контура логарифм допускает выделение однозначной ветви. Пусть означает ту ветвь, которая определяется неравенством . Функция  имеет в точке z=i полюс второго порядка с вычетом

.

По теореме о вычетах                               .

При , начиная с некоторого достаточно большого R, , следовательно, .

Аналогично при , начиная с некоторого достаточно малого r, , следовательно

.

В первом интеграле после замены z=-x получим:

,

и, таким образом, в пределе при  имеем:

+.

Сравнение действительных и мнимых частей дает:

                                  ,         .

Пример 4. Для интеграла

выберем вспомогательную функцию  и контур, указанный на рисунке. Внутри контура однозначен, если считать, что .

На верхнем и нижнем берегах разреза, входящих в этот контур, принимает соответственно значения  и , поэтому интегралы от взаимно уничтожаются, что дает возможность вычислить искомый интеграл. Внутри контура лежат два полюса первого порядка  функции  с вычетами соответственно равными:

,,

где . Применяя теорему о вычетах, получим:

.

В соответствии со сказанным выше имеем:

.

Так же как и в предыдущем примере, докажем, что , и тогда в пределе, при будем иметь:

.

Отсюда, сравнивая мнимые части, получим:

.

Пример5. Вычислить главное значение особого интеграла

     .

Выберем вспомогательную функцию  и контур, изобра-женный на рисунке. Внутри контура функция  регулярна. На нижнем берегу разреза вдоль положительной полуоси . Таким образом, по теореме Коши:

                                          (8).

Очевидно, что  при  и  при . Вдоль ,  имеем соответственно  и , где меняется от 0 до   и от  до  соответственно. Следовательно,

.

Переходя в (8) к пределу при  получим, таким образом, ,

откуда искомый интеграл равен

.

Пример 6. Вычислить интеграл

.

Рассмотрим функцию . Проведем разрез*) .

Положим . При обходе против часовой стрелки замкнутого пути (см. рис., пунктир)  и  получают приращение ,

следовательно, argf(z)=(1+22)/3 получает также приращение . Таким образом, во внешности разреза  функция  распадается на 3 регулярные ветви, отличающиеся друг от друга выбором исходного элемента функции, т.е. значением в некоторой точке .

Будем рассматривать ту ветвь функции, , которая на верхнем берегу разреза (-1,1) принимает положительные значения, и возьмем контур,

___________________

*) На самом деле проведены два разреза:  и , однако, на оси х правее точки х=1 функция  непрерывна: над разрезом , под разрезом .

изображенный на рисмунке. На берегу I имеем , т.е. , на берегу II (после обхода точки z=1 по часовой стрелке)  ( т.е. ), т.е. , интегралы же по окружностям  и , очевидно, стремятся к нулю**) при . Следовательно, по теореме Коши для многосвязных областей

.

Для вычисления воспользуемся разложением ветви 1/ в окрестности бесконечно удаленной точки. Вынесем из-под знака корня , тогда получим , где  и - ветви этих функций,  положи-тельные на отрезке (1, ) действительной оси.

на отрезке  действительной оси. Разлагая последние по формуле бинома:

,

находим вычет выбранной ветви 1/ в бесконечно удаленной точке: (коэффициент при 1/z  с обратным знаком). Но интеграл равен этому вычету, помноженному на , т.е. имеем , откуда окончательно

.

Пример 7. Рассмотрим интеграл      .

__________________

**) Рассмотрим, например интеграл по . На  имеем  , т.е.  

Положим , тогда , таким образом,

. Внутри окружности   подинтегральная функция имеет один полюс II порядка  с вычетом

.

По теореме о вычетах имеем

.

Пример 8. Аналогично вычислим интеграл

.

После подстановки  имеем:

.

Один из полюсов подынтегральной функции  лежит внутри единичной окружности, а другой - вне её, ибо по свойству корней квадратного уравнения , при этом в силу условия  , эти корни действительны и различны. Таким образом, по теореме о вычетах

                           (9)

где - полюс, лежащий внутри окружности. Т.к. правая часть (9) действительна, то она дает искомый интеграл

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43587. Развитие наследственного законодательства в Российской Федерации 381 KB
  Наследование характеризуется универсальным правопреемством. Это означает, что права и обязанности умершего выступают, как единое целое и переходят в этой совокупности к наследнику.
43590. Синтез математической модели для расчета газонасыщенности потока (расход жидкости (5-35) м3/сут) по показаниям датчиков прибора «Ультрафлоу» и выбор вида модели с низкой погрешностью 1.02 MB
  В связи с этим возникла необходимость разработки математической модели для расчета газонасыщенности потока по показаниям датчиков прибора «Ультрафлоу».
43591. Безопасность и экологичность проектных решений к дипломному проекту 65.09 KB
  В этом разделе описаны некоторые рекомендации по организации труда при работе с ЭВМ а также требования представленные в СанПиН Опасные и вредные производственные факторы На рабочем месте инженерапрограммиста можно выделить следующие опасные факторы: повышенная или пониженная температура воздуха рабочей зоны; повышенная или пониженная влажность воздуха – обычно пониженная; повышенная или пониженная подвижность воздуха – скорость воздушного потока – может возникнуть переохлаждение или перегрев; повышенный уровень шума на рабочем...
43592. Обучение аппликации соломкой на занятиях изобразительной деятельности с детьми старшего дошкольного возраста 87.09 KB
  В работе с соломкой есть какая – то магическая притягательность. Сохранить традиции восстановить недостающее звено в цепи преемственности ремесленного и художественного опыта в какой – то мере помогут методические рекомендации поэтому крайнее важно обеспечить методическими рекомендациями по работе с соломкой учреждения дополнительного образования детей. Селивон не раз отмечали в своих трудах что ознакомление дошкольников с таким традиционным видом белорусского...
43593. Разработка модели платье для вечеринки «Баска» 113.1 KB
  На сегодняшний же день баску заслуженно считают одним из главных модных трендов 2012г - 2013г. Женственные образы с таким элементом были замечены во многих коллекциях Giorgio Armani, Christian Dior, Elie Saab, Chanel, Nina Ricci, Vera Vang, YSL, Loewe и других модных дизайнеров.
43595. Исследование стартовых культур LV1 и LV4 в производстве хлеба из пшеничной и ржаной муки 2.73 MB
  Традиционная технология приготовления ржаных сортов хлеба основана на приготовлении заквасок. Данная технология длительна и трудоемка. Кроме того имеет место развитие малых предприятий, которые часто работают по одно- или двусменному графику, и поэтому использовать традиционную технологию затруднительно.