22355

Бесконечно удаленная точка

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть функция аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки кроме самой точки . В этом случае функция очевидно ограничена и в некоторой окрестности точки . Пусть функция аналитична в полной поскости. Но тогда функция ограничена во всей плоскости: для всех имеем .

Русский

2013-08-04

682.5 KB

14 чел.

Бесконечно удаленная точка.

Пусть функция  аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки (кроме самой точки ). Говорят, что  является устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой функции  в зависимости от того, конечен, бесконечен или вовсе не существует .

Положим  и , тогда  будет аналитиче-ской в некоторой окрестности точки  Последняя будет для  особой точкой того же типа, что и  для  ибо  . Лорановское разложение  в окрестности  можно получить простой заменой  в лорановском разложении  в окрестности . Но при такой замене правильная часть заменяется главной, и обратно. Таким образом, справедлива

Теорема 1. В случае устранимой особенности в бесконечно удалённой точке, лорановское разложение функции  в окрестности этой точки вовсе не содержит положительных степеней , в случае полюса содержит конечное их число, а в случае существенной особенности -  бесконечное.

Если  имеет в точке  устранимую особенность, то обычно говорят, что она аналитична в бесконечности, и принимают . В этом случае функция, очевидно, ограничена и в некоторой окрестности точки .

Пусть функция  аналитична в полной поскости. Из аналитичности функции в бесконечно удаленной точке следует её ограниченность в окрестности этой точки; пусть  при . С другой стороны, из аналитичности  в замкнутом круге  следует её ограниченность в этом круге; пусть в нём . Но тогда функция ограничена во всей плоскости: для всех имеем . Таким образом, теореме Лиувилля можно придать следующую форму.

Теорема 2. Если функция  аналитична в полной плоскости  , то она постоянна.

Введем теперь понятие вычета в бесконечно удаленной точке. Пусть функция  аналитична в некоторой окрестности точки  (кроме, быть может, самой этой точки); под вычетом функции в бесконечности понимают

где - достаточно большая окружность , проходимая по часовой стрелке (так что окружность точки остается слева).

Из этого определения непосредственно следует, что вычет функции в бесконечности равен коэффициенту при  в лорановском её разложении в окрестности точки , взятому с обратным знаком:

.

Теорема 3. Если функция имеет в полной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех её вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю.

Доказательство. В самом деле, пусть а1,…аn – конечные особые точки функции  и - окружность , содержащая их все внутри. По свойству интегралов, теореме о вычетах и определению вычета в бесконечно удаленной точке имеем:

.

Ч.т.д.

Приложения теории вычетов к вычислению интегралов.

Пусть требуется вычислить интеграл от действительной функции по какому-нибудь (конечному или бесконечному) отрезку (a,b) оси х. Дополним (a, b) некоторой кривой , ограничивающей вместе с (a,b) область , и аналитически продолжим  в .

        К построенному аналитическому продолжению  применяем теорему о вычетах:

                                                     (1)

Если интеграл по  удается вычислить или выразить через искомый интеграл , то задача вычисления решена.

В случае бесконечных отрезков (a,b) обычно рассматривают семейства неограниченно расширяющихся контуров интегрирования, которые строят так, чтобы в результате предельного перехода получить интеграл по (a,b). В этом случае интеграл по  в соотношении (1) можно не вычислять, а лишь найти его предел, который часто оказывается равен нулю.

Весьма полезной при этом оказывается следующая

Лемма (Жордана). Если на некоторой последовательности дуг окружностей  ,(, а фиксировано) функция  стремится к нулю равномерно относительно , то для

                                                     .                                   (2)

Доказательство. Обозначим

. По условиям леммы при также стремится к нулю, причем Пусть a>0; на дугах АВ и CD имеем .

Следовательно , и интеграл по дугам АВ,CD стремится к нулю при .

Поскольку при  справедливо неравенство , то на дуге ВЕ 

. Поэтому и, таким образом, также стремится к нулю при . Если на дуге СЕ полярный угол отсчитывать по часовой стрелке, то для  получится такая же оценка. В случае, когда  доказательство упрощается, т.к. будет излишней оценка интеграла по дугам АВ и CD. Лемма доказана.

Замечание 1. Последовательность дуг окружностей в лемме можно заменить семейством дуг

,,,

тогда, если функция  при стремится на  к нулю равномерно относительно  то для

.       (3)

Доказательство остается в силе.

Замечание 2. Заменим переменную: iz=p, тогда дуги окружностей леммы заменятся дугами , и мы получим, что для любой функции F(p), стремящейся на  к нулю при  равномерно относительно и для любого положительного t

            .                         (4)

Заменяя в (4) р на () мы получим, что в тех же условиях для                     

                                                          ,                                   (5)

где - дуга окружности (см. рис.).

Рассмотрим примеры вычисления интегралов.

Пример 1. .

Выберем вспомогательную функцию . Т.к. функция  на удовлетворяет неравенству , то она равномерно стремится к нулю при , и по лемме Жордана, при

.

Для имеем по теореме о вычетах

.

В пределе при  получаем:

.

Отделяя действительные части и используя четность функции, найдем

.

Пример 2. Для вычисления интеграла

возьмем вспомогательную функцию. Контур интегрирования обходит особую точку z=0. По теореме Коши

.

Из леммы Жордана видно, что . Для оценки рассмотрим лорановское разложение в окрестности точки z=0

,

где - регулярная в точке z=0 функция. Отсюда видно, что

.

Таким образом, теорему Коши можно переписать в виде

.

Заменяя в первом интеграле х на –х, получим, что он равен , поэтому имеем

.

В пределе при и  окончательно:

                                                        .                                        (7)

Пример 3. Вычислить интеграл

                  

Введем вспомогательную функцию  и выберем контур интегрирования таким же, как и в предыдущем примере. Внутри этого контура логарифм допускает выделение однозначной ветви. Пусть означает ту ветвь, которая определяется неравенством . Функция  имеет в точке z=i полюс второго порядка с вычетом

.

По теореме о вычетах                               .

При , начиная с некоторого достаточно большого R, , следовательно, .

Аналогично при , начиная с некоторого достаточно малого r, , следовательно

.

В первом интеграле после замены z=-x получим:

,

и, таким образом, в пределе при  имеем:

+.

Сравнение действительных и мнимых частей дает:

                                  ,         .

Пример 4. Для интеграла

выберем вспомогательную функцию  и контур, указанный на рисунке. Внутри контура однозначен, если считать, что .

На верхнем и нижнем берегах разреза, входящих в этот контур, принимает соответственно значения  и , поэтому интегралы от взаимно уничтожаются, что дает возможность вычислить искомый интеграл. Внутри контура лежат два полюса первого порядка  функции  с вычетами соответственно равными:

,,

где . Применяя теорему о вычетах, получим:

.

В соответствии со сказанным выше имеем:

.

Так же как и в предыдущем примере, докажем, что , и тогда в пределе, при будем иметь:

.

Отсюда, сравнивая мнимые части, получим:

.

Пример5. Вычислить главное значение особого интеграла

     .

Выберем вспомогательную функцию  и контур, изобра-женный на рисунке. Внутри контура функция  регулярна. На нижнем берегу разреза вдоль положительной полуоси . Таким образом, по теореме Коши:

                                          (8).

Очевидно, что  при  и  при . Вдоль ,  имеем соответственно  и , где меняется от 0 до   и от  до  соответственно. Следовательно,

.

Переходя в (8) к пределу при  получим, таким образом, ,

откуда искомый интеграл равен

.

Пример 6. Вычислить интеграл

.

Рассмотрим функцию . Проведем разрез*) .

Положим . При обходе против часовой стрелки замкнутого пути (см. рис., пунктир)  и  получают приращение ,

следовательно, argf(z)=(1+22)/3 получает также приращение . Таким образом, во внешности разреза  функция  распадается на 3 регулярные ветви, отличающиеся друг от друга выбором исходного элемента функции, т.е. значением в некоторой точке .

Будем рассматривать ту ветвь функции, , которая на верхнем берегу разреза (-1,1) принимает положительные значения, и возьмем контур,

___________________

*) На самом деле проведены два разреза:  и , однако, на оси х правее точки х=1 функция  непрерывна: над разрезом , под разрезом .

изображенный на рисмунке. На берегу I имеем , т.е. , на берегу II (после обхода точки z=1 по часовой стрелке)  ( т.е. ), т.е. , интегралы же по окружностям  и , очевидно, стремятся к нулю**) при . Следовательно, по теореме Коши для многосвязных областей

.

Для вычисления воспользуемся разложением ветви 1/ в окрестности бесконечно удаленной точки. Вынесем из-под знака корня , тогда получим , где  и - ветви этих функций,  положи-тельные на отрезке (1, ) действительной оси.

на отрезке  действительной оси. Разлагая последние по формуле бинома:

,

находим вычет выбранной ветви 1/ в бесконечно удаленной точке: (коэффициент при 1/z  с обратным знаком). Но интеграл равен этому вычету, помноженному на , т.е. имеем , откуда окончательно

.

Пример 7. Рассмотрим интеграл      .

__________________

**) Рассмотрим, например интеграл по . На  имеем  , т.е.  

Положим , тогда , таким образом,

. Внутри окружности   подинтегральная функция имеет один полюс II порядка  с вычетом

.

По теореме о вычетах имеем

.

Пример 8. Аналогично вычислим интеграл

.

После подстановки  имеем:

.

Один из полюсов подынтегральной функции  лежит внутри единичной окружности, а другой - вне её, ибо по свойству корней квадратного уравнения , при этом в силу условия  , эти корни действительны и различны. Таким образом, по теореме о вычетах

                           (9)

где - полюс, лежащий внутри окружности. Т.к. правая часть (9) действительна, то она дает искомый интеграл

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13304. Siemens. Каскадне регулювання Ручна установка параметрів регулювання без знання характеристики обладнання 681 KB
  Siemens. Каскадне регулювання Ручна установка параметрів регулювання без знання характеристики обладнання Параметри регулювання для оптимального регулювання устаткування в цьому випадку ще невідомі. Для утримання регулюючого контура в стабільному стані є наступні з...
13305. Вивчення і дослідження автоматичної системи позиційного регулювання 872.5 KB
  Лабораторна робота №1 Вивчення і дослідження автоматичної системи позиційного регулювання Тема: Вивчення і дослідження автоматичної системи позиційного регулювання Мета: Навчитись працювати з універсальним локальним регулятором ТРМ138 в якості системи позиційно...
13306. Анализ комплекса геодезических работ выполняемых на объекте Многоквартирный жилой дом в р.п. Ванино 4.51 MB
  Рассмотрены вопросы проектирования и строительства инженерных сооружений. Раскрыт состав геодезических работ. На примере данного объекта рассмотрен комплекс инженерно-геодезических изысканий. Затронут вопрос геодезического контроля и сроках сдачи исполнительных съёмок.
13307. Розробка програмного забезпечення для візуалізації управління технологічною ділянкою 1.32 MB
  Лабораторна робота №5 Розробка програмного забезпечення для візуалізації управління технологічною ділянкою Тема: Дослідження мікропроцесорного контролера МІК51 для керування технологічною ділянкою Мета: Навчитись працювати з мікропроцесорного контролера МІК5...
13308. Дослідження автоматичної системи регулювання на базі регуляторів ТРМ-101 548 KB
  Лабораторна робота №4 Дослідження автоматичної системи регулювання на базі регуляторів ТРМ101 Тема: Вивчення і дослідження автоматичної системи позиційного регулювання Мета: Навчитись працювати з універсальним локальним регулятором ТРМ101 в якості системи пози
13309. Вивчення і дослідження автоматичної системи позиційного та ПИД регулювання 1.5 MB
  Тема: Вивчення і дослідження автоматичної системи позиційного та ПИД регулювання. Мета: Навчитись працювати з регуляторами температури одно канальний РТпозиційний та двоканальний РТПИД фірми ТЕРА. Вступ Автоматизація повсюдно рахується головним найбільш персп...
13310. Дослідження мікропроцесорного контролера МІК-51 для каскадного керування технологічною ділянкою 1.19 MB
  Лабораторна робота №1 Дослідження мікропроцесорного контролера МІК51 для каскадного керування технологічною ділянкою Тема: Дослідження мікропроцесорного контролера МІК51 для керування технологічною ділянкою Мета: Навчитись працювати з мікропроцесорного контр
13311. Дослідження локального регулятора SIPARD DR21 для керування технологічною ділянкою 1.8 MB
  Тема: Дослідження локального регулятора SIPARD DR21 для керування технологічною ділянкою Мета: Навчитись працювати з локальними регуляторами SIPARD DR21 для керування технологічною ділянкою 1. Вступ Автоматизація виробництва завжди була однією з основних складових
13312. Исследование взаимосвязи содержания Я-концепция ребёнка с ДЦП с характером отношения родителей к болезни ребёнка 197.5 KB
  Очевидно, что семья играет важную роль в адаптации и интеграции ребенка в общество. Для гармоничного развития ребенка большое значение имеет и психологический микроклимат в семье. Семья, в которой живет «особый» ребенок, оказывается особой группой