22355

Бесконечно удаленная точка

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть функция аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки кроме самой точки . В этом случае функция очевидно ограничена и в некоторой окрестности точки . Пусть функция аналитична в полной поскости. Но тогда функция ограничена во всей плоскости: для всех имеем .

Русский

2013-08-04

682.5 KB

16 чел.

Бесконечно удаленная точка.

Пусть функция  аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки (кроме самой точки ). Говорят, что  является устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой функции  в зависимости от того, конечен, бесконечен или вовсе не существует .

Положим  и , тогда  будет аналитиче-ской в некоторой окрестности точки  Последняя будет для  особой точкой того же типа, что и  для  ибо  . Лорановское разложение  в окрестности  можно получить простой заменой  в лорановском разложении  в окрестности . Но при такой замене правильная часть заменяется главной, и обратно. Таким образом, справедлива

Теорема 1. В случае устранимой особенности в бесконечно удалённой точке, лорановское разложение функции  в окрестности этой точки вовсе не содержит положительных степеней , в случае полюса содержит конечное их число, а в случае существенной особенности -  бесконечное.

Если  имеет в точке  устранимую особенность, то обычно говорят, что она аналитична в бесконечности, и принимают . В этом случае функция, очевидно, ограничена и в некоторой окрестности точки .

Пусть функция  аналитична в полной поскости. Из аналитичности функции в бесконечно удаленной точке следует её ограниченность в окрестности этой точки; пусть  при . С другой стороны, из аналитичности  в замкнутом круге  следует её ограниченность в этом круге; пусть в нём . Но тогда функция ограничена во всей плоскости: для всех имеем . Таким образом, теореме Лиувилля можно придать следующую форму.

Теорема 2. Если функция  аналитична в полной плоскости  , то она постоянна.

Введем теперь понятие вычета в бесконечно удаленной точке. Пусть функция  аналитична в некоторой окрестности точки  (кроме, быть может, самой этой точки); под вычетом функции в бесконечности понимают

где - достаточно большая окружность , проходимая по часовой стрелке (так что окружность точки остается слева).

Из этого определения непосредственно следует, что вычет функции в бесконечности равен коэффициенту при  в лорановском её разложении в окрестности точки , взятому с обратным знаком:

.

Теорема 3. Если функция имеет в полной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех её вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю.

Доказательство. В самом деле, пусть а1,…аn – конечные особые точки функции  и - окружность , содержащая их все внутри. По свойству интегралов, теореме о вычетах и определению вычета в бесконечно удаленной точке имеем:

.

Ч.т.д.

Приложения теории вычетов к вычислению интегралов.

Пусть требуется вычислить интеграл от действительной функции по какому-нибудь (конечному или бесконечному) отрезку (a,b) оси х. Дополним (a, b) некоторой кривой , ограничивающей вместе с (a,b) область , и аналитически продолжим  в .

        К построенному аналитическому продолжению  применяем теорему о вычетах:

                                                     (1)

Если интеграл по  удается вычислить или выразить через искомый интеграл , то задача вычисления решена.

В случае бесконечных отрезков (a,b) обычно рассматривают семейства неограниченно расширяющихся контуров интегрирования, которые строят так, чтобы в результате предельного перехода получить интеграл по (a,b). В этом случае интеграл по  в соотношении (1) можно не вычислять, а лишь найти его предел, который часто оказывается равен нулю.

Весьма полезной при этом оказывается следующая

Лемма (Жордана). Если на некоторой последовательности дуг окружностей  ,(, а фиксировано) функция  стремится к нулю равномерно относительно , то для

                                                     .                                   (2)

Доказательство. Обозначим

. По условиям леммы при также стремится к нулю, причем Пусть a>0; на дугах АВ и CD имеем .

Следовательно , и интеграл по дугам АВ,CD стремится к нулю при .

Поскольку при  справедливо неравенство , то на дуге ВЕ 

. Поэтому и, таким образом, также стремится к нулю при . Если на дуге СЕ полярный угол отсчитывать по часовой стрелке, то для  получится такая же оценка. В случае, когда  доказательство упрощается, т.к. будет излишней оценка интеграла по дугам АВ и CD. Лемма доказана.

Замечание 1. Последовательность дуг окружностей в лемме можно заменить семейством дуг

,,,

тогда, если функция  при стремится на  к нулю равномерно относительно  то для

.       (3)

Доказательство остается в силе.

Замечание 2. Заменим переменную: iz=p, тогда дуги окружностей леммы заменятся дугами , и мы получим, что для любой функции F(p), стремящейся на  к нулю при  равномерно относительно и для любого положительного t

            .                         (4)

Заменяя в (4) р на () мы получим, что в тех же условиях для                     

                                                          ,                                   (5)

где - дуга окружности (см. рис.).

Рассмотрим примеры вычисления интегралов.

Пример 1. .

Выберем вспомогательную функцию . Т.к. функция  на удовлетворяет неравенству , то она равномерно стремится к нулю при , и по лемме Жордана, при

.

Для имеем по теореме о вычетах

.

В пределе при  получаем:

.

Отделяя действительные части и используя четность функции, найдем

.

Пример 2. Для вычисления интеграла

возьмем вспомогательную функцию. Контур интегрирования обходит особую точку z=0. По теореме Коши

.

Из леммы Жордана видно, что . Для оценки рассмотрим лорановское разложение в окрестности точки z=0

,

где - регулярная в точке z=0 функция. Отсюда видно, что

.

Таким образом, теорему Коши можно переписать в виде

.

Заменяя в первом интеграле х на –х, получим, что он равен , поэтому имеем

.

В пределе при и  окончательно:

                                                        .                                        (7)

Пример 3. Вычислить интеграл

                  

Введем вспомогательную функцию  и выберем контур интегрирования таким же, как и в предыдущем примере. Внутри этого контура логарифм допускает выделение однозначной ветви. Пусть означает ту ветвь, которая определяется неравенством . Функция  имеет в точке z=i полюс второго порядка с вычетом

.

По теореме о вычетах                               .

При , начиная с некоторого достаточно большого R, , следовательно, .

Аналогично при , начиная с некоторого достаточно малого r, , следовательно

.

В первом интеграле после замены z=-x получим:

,

и, таким образом, в пределе при  имеем:

+.

Сравнение действительных и мнимых частей дает:

                                  ,         .

Пример 4. Для интеграла

выберем вспомогательную функцию  и контур, указанный на рисунке. Внутри контура однозначен, если считать, что .

На верхнем и нижнем берегах разреза, входящих в этот контур, принимает соответственно значения  и , поэтому интегралы от взаимно уничтожаются, что дает возможность вычислить искомый интеграл. Внутри контура лежат два полюса первого порядка  функции  с вычетами соответственно равными:

,,

где . Применяя теорему о вычетах, получим:

.

В соответствии со сказанным выше имеем:

.

Так же как и в предыдущем примере, докажем, что , и тогда в пределе, при будем иметь:

.

Отсюда, сравнивая мнимые части, получим:

.

Пример5. Вычислить главное значение особого интеграла

     .

Выберем вспомогательную функцию  и контур, изобра-женный на рисунке. Внутри контура функция  регулярна. На нижнем берегу разреза вдоль положительной полуоси . Таким образом, по теореме Коши:

                                          (8).

Очевидно, что  при  и  при . Вдоль ,  имеем соответственно  и , где меняется от 0 до   и от  до  соответственно. Следовательно,

.

Переходя в (8) к пределу при  получим, таким образом, ,

откуда искомый интеграл равен

.

Пример 6. Вычислить интеграл

.

Рассмотрим функцию . Проведем разрез*) .

Положим . При обходе против часовой стрелки замкнутого пути (см. рис., пунктир)  и  получают приращение ,

следовательно, argf(z)=(1+22)/3 получает также приращение . Таким образом, во внешности разреза  функция  распадается на 3 регулярные ветви, отличающиеся друг от друга выбором исходного элемента функции, т.е. значением в некоторой точке .

Будем рассматривать ту ветвь функции, , которая на верхнем берегу разреза (-1,1) принимает положительные значения, и возьмем контур,

___________________

*) На самом деле проведены два разреза:  и , однако, на оси х правее точки х=1 функция  непрерывна: над разрезом , под разрезом .

изображенный на рисмунке. На берегу I имеем , т.е. , на берегу II (после обхода точки z=1 по часовой стрелке)  ( т.е. ), т.е. , интегралы же по окружностям  и , очевидно, стремятся к нулю**) при . Следовательно, по теореме Коши для многосвязных областей

.

Для вычисления воспользуемся разложением ветви 1/ в окрестности бесконечно удаленной точки. Вынесем из-под знака корня , тогда получим , где  и - ветви этих функций,  положи-тельные на отрезке (1, ) действительной оси.

на отрезке  действительной оси. Разлагая последние по формуле бинома:

,

находим вычет выбранной ветви 1/ в бесконечно удаленной точке: (коэффициент при 1/z  с обратным знаком). Но интеграл равен этому вычету, помноженному на , т.е. имеем , откуда окончательно

.

Пример 7. Рассмотрим интеграл      .

__________________

**) Рассмотрим, например интеграл по . На  имеем  , т.е.  

Положим , тогда , таким образом,

. Внутри окружности   подинтегральная функция имеет один полюс II порядка  с вычетом

.

По теореме о вычетах имеем

.

Пример 8. Аналогично вычислим интеграл

.

После подстановки  имеем:

.

Один из полюсов подынтегральной функции  лежит внутри единичной окружности, а другой - вне её, ибо по свойству корней квадратного уравнения , при этом в силу условия  , эти корни действительны и различны. Таким образом, по теореме о вычетах

                           (9)

где - полюс, лежащий внутри окружности. Т.к. правая часть (9) действительна, то она дает искомый интеграл

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16855. 10 опасностей теистической эволюции 70.5 KB
  PAGE 1 10 опасностей теистической эволюции Вернер Гитт Атеистическая формула для эволюции выглядит следующим образом: Эволюция = материя эволюционные факторы случай и необходимость мутации отбор изоляция смерть очень долгие периоды времени. ...
16856. Биостратиграфия. Геохронологическая шкала 91.81 KB
  Биостратиграфия Вертьянов С. Ю. Для подтверждения или опровержения гипотезы макроэволюции как и любой научной концепции необходимы теоретическая разработка и экспериментальные исследования. Что могло бы подтвердить факт происшедшей эволюции Безусловно останки...
16857. Нервная система человека: Свидетельство Разумного Замысла 214 KB
  Нервная система человека: Свидетельство Разумного Замысла [Часть I] Брэд Хараб Данная статья является первой из серии статей Доктора Хараба. Разумный замысел человеческого тела является научным свидетельством о Боге. При оценивании сложности и дизайна различных сис...
16858. Нервная система человека: Свидетельство Разумного Замысла [Часть II] 237.5 KB
  Нервная система человека: Свидетельство Разумного Замысла [Часть II] Брэд Хараб Соматическая нервная система Соматическая нервная система иннервирует возбуждает скелетные мышцы и регулирует деятельность которая находится под сознательным контролем. Такие...
16859. Система кровообращения – не продукт эволюции 232.5 KB
  Система кровообращения не продукт эволюции Брэд Хараб ВВЕДЕНИЕ Система кровообращения выполняет много различных функций в организме. Мало того что она отвечает за перенос кислорода ко всем клеткам тела но она также поставляет питательные вещества которые и
16860. В отличие от знания, образованности, информированности мудрость есть способность принимать и усваивать опыт жизни предыдущих поколений, без чего невозможно развитие науки и культуры, а значит, и цивилизации 38 KB
  Наука и жизнь 200601 В отличие от знания образованности информированности мудрость есть способность принимать и усваивать опыт жизни предыдущих поколений без чего невозможно развитие науки и культуры а значит и цивилизации. Виктор Садовничий Мн...
16861. КОНЦЕПЦИЯ «ПОТОПА» КАК НОВАЯ ПАРАДИГМА ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ НАУКИ 434.28 KB
  Голубчиков Ю. Н. КОНЦЕПЦИЯ ПОТОПА КАК НОВАЯ ПАРАДИГМА ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ НАУКИ Юрий Николаевич Голубчиков кандидат географических наук ведущий научный сотрудник географического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Преп
16862. Дизайн в живых организмах: моторы 117 KB
  Дизайн в живых организмах: моторы Джонатан Сарфати Из нашего ежедневного опыта мы обычно можем сказать было ли чтото спроектировано или нет. Основным доказательством является высокое информационное содержание.Информационное содержание любой последовательности
16863. Чудеса воды 67 KB
  PAGE 1 Чудеса воды Джонатан Сарфати Вода Мы пьем ее готовим с ней пищу моемся и плаваем в ней и в основной принимаем ее как данное. Эта прозрачная и безвкусная жидкость является настолько неотъемлемой частью нашей жизни что мы редко задумываемся над е...