22356

Приложение теории вычетов

Лекция

Математика и математический анализ

Напомним что мероморфной называется функция fz все конечные особые точки которой являются полюсами. в любой ограниченной области такая функция может иметь лишь конечное число полюсов то все ее полюсы можно пронумеровать например в порядке не убывания модулей: Будем обозначать главную часть fz в точке т. Если мероморфная функция fz имеет лишь конечное число полюсов и кроме того является либо правильной регулярной ее точкой либо полюсом то эта функция представляется в виде суммы своих главных частей 3 и...

Русский

2013-08-04

797 KB

21 чел.

Приложение теории вычетов.

Разложение мероморфных функций на простейшие дроби.

Напомним, что мероморфной называется функция f(z), все конечные особые точки которой являются полюсами. Т.к. в любой ограниченной области такая функция может иметь лишь конечное* число полюсов, то все ее полюсы можно пронумеровать, например, в порядке не убывания модулей:  

Будем обозначать  главную часть f(z) в точке , т.е.

                                                                                            (1)

и через

                                                       -                                             (2)

ее главную часть в бесконечно удаленной точке (если последняя также является полюсом).

Функции  называются простейшими дробями, а g(z) – целой частью f(z).

Теорема 1. Если мероморфная функция f(z) имеет лишь конечное число полюсов  и, кроме того,  является либо правильной (регулярной) ее точкой, либо полюсом, то эта функция представляется в виде суммы своих главных частей

         (3)

и, следовательно, дробно рациональна.

(Функция g(z) входит в (3) лишь в том случае, если  является полюсом).

Доказательство. Для доказательства рассмотрим разность

.

Функция  регулярна в любой точке , ибо из разложения Лорана f(z) в окрестности  главная часть устранена вычитанием , а остальные члены  аналитичны в этой точке. То же рассуждение относится к точке , а в точках  все члены  регулярны.

Итак, функция  регулярна в замкнутой плоскости z и по теореме Лиувилля является постоянной.

Формула (3) доказана, а из нее вытекает после приведения всех дробей к общему знаменателю, что f(z) является отношением двух многочленов, т.е. является дробно рациональной функцией. Ч.т.д.

Такого рода разложение можно построить и для произвольной мероморфной функции. Однако в общем случае имеется бесконечно много главных частей, а конечная сумма в (3) заменяется рядом и возникает вопрос о сходимости этого ряда. Вообще говоря, ряд (3) оказывается расходящимся, и для обеспечения сходимости к главным частям приходится добавлять некоторые выражения.

Будем понимать под правильной системой контуров совокупность замкнутых кривых, удовлетворяющих следующим условиям: 1)  содержит внутри себя точку z = 0, каждый контур  находится внутри области, ограниченной контуром ; 2) кратчайшее расстояние  от точек  до начала координат неограниченно возрастает с ростом n; 3) отношение длины  кривой  к  остается ограниченным:

                                                                                      (4)

Имеет место

Теорема 2 (Коши). Пусть все полюсы  мероморфной функции f(z), регулярной в точке , являются простыми и занумерованы в порядке неубывания их модулей: . Если функция f(z) ограничена на некоторой правильной системе контуров  , т.е.

                                 ,                                          (5)

то

                             ,                                       (6)

где . Ряд (6) сходится равномерно в каждой ограниченной области с выколотыми в ней полюсами функции f(z).

Доказательство. Рассмотрим интеграл* 

,       (7)

где  ( - область внутри ) и . Обозначим . В области  функция  имеет простые полюсы ; точка  является либо простым полюсом, либо точкой регулярности (если f(0)=0) для функции .

По теореме о вычетах

.      (8)

Далее, имеем**

                                             ,                                              (9)

                                            ,                                      (10)

                     ;                            (11)

Подставляя (9) - (11) в (8), получим

,

откуда в силу равенства  находим

                                      (12)

Оценим . Пусть D – ограниченная область. Тогда существует круг  такой, что . Имеем

.

Здесь , ( - кратчайшее расстояние от начала координат до контура ), . Поэтому

,

т.к.  в силу (4). Из этой оценки и условия  при  вытекает, что  при  равномерно по .Переходя в равенстве (12) к пределу при , получаем

                          .                              (13)

Формулу (13) можно записать в виде (6) считая, что суммирование в (6) производится в следующем порядке: сначала берутся слагаемые, которые относятся к полюсам лежащим внутри , затем к этим слагаемым последовательно добавляются группы слагаемых, относящиеся к полюсам, лежащим между  и , между  и  и т.д. Теорема доказана.

Замечание 1. Если ряд в (6) сходится абсолютно, то порядок суммирования безразличен.

Замечание 2. Теорему 2 можно обобщить, заменив неравенство (5) следующим

                              ,                                        (14)

где  - целое (при сохранении остальных условий теоремы 2).В этом случае имеет место следующая формула

        .                        (15)

Для доказательства формулы (15) достаточно применить теорему о вычетах к интегралу

.

Разложение функции  на элементарные дроби.

Рассмотрим функцию . Эта функция является мероморфной, имеет простые полюсы в точках , не имеет других конечных особых точек и . Покажем, что функция f(z) ограничена на правильной системе контуров , где  - квадрат  (см. рис.) с центром в точке , стороны которого параллельны координатным осям, а их длины равны

                                                             

                                                                 

                                                                        

 

Пусть , тогда , где , и, следовательно, , откуда получаем

                                                                      (16)

Пусть теперь , тогда , где

,

откуда находим

                            .                                 (17)

Так как , то неравенства (16) и (17) имеют место соответственно и на сторонах  и  квадрата , т.е. на контуре .

Итак,

Отсюда следует, что функция  также ограничена на системе контуров . Далее , так как функция , регулярная в точке , нечетна. Итак, в формуле (6),  и, следовательно,

                                     ,                                       (18)

где штрих означает, что .

Заметим, что между контурами  и  лежат ровно два полюса функции , а именно  и . Объединяя в сумме (18) слагаемые, соответствующие этим полюсам, получаем

.

Таким образом, справедлива формула

                                      .                                            (19)

Заменяя в (18) и (19) z на , получим

                 .                         (20)

Заменяя в (19) z на  и сокращая на

                                               .                                 (21)

Отсюда следует

                   .                     (22)

Из формулы  и из (19) получаем

   .              (23)

Аналогично, из формулы , выводим

      .        (24)

Так как , то, дифференцируя равномерно сходящийся ряд (18), получаем

                       .                        (25)

Разложение целых функций в бесконечные произведения.

Известно, что всякий многочлен n-ой степени  можно представить в виде произведения

                  ,                        (1)

где  - корни этого многочлена (среди них могут быть и кратные).

Формулу (1) можно обобщить (при некоторых условиях) на целые функции. Действительно, пусть, например, целая функция  отлична от нуля во всей комплексной плоскости, тогда функция , где взята одна из регулярных ветвей логарифма, также является целой, причем

                                                       .                                                    (2)

Если теперь целая функция  имеет лишь конечное число нулей   - кратность нуля , то функция , где , нигде не обращается в нуль и, следовательно, представима в виде (2), откуда получаем формулу:

              ,                    (3)

где  - некоторая целая функция, причем.

В случае, когда  имеет счетное число нулей в формуле, обобщающей (3), появится бесконечное произведение.

Определение 1. Бесконечное произведение

                                                                                                          (4)

называется сходящимся, если все его множители отличны от нуля и существует конечный и отличный от нуля предел A последовательности:

.

Отметим, что необходимым и достаточным условием* сходимости бесконечного произведения (4) является сходимость рядов

                                             ,                                    (5)

где . .

Определение 2. Бесконечное произведение (4) называется абсолютно сходящимся, если ряды (5) сходятся абсолютно.

Можно показать**, что абсолютная сходимость бесконечного произведения (4) равносильна сходимости ряда .

Понятие сходимости бесконечного произведения обобщается на случай, когда его множители – функции комплексной переменной. Рассмотрим бесконечное произведение

                                                       ,                                              (6)

где  - функции, регулярные в области D.

Определение 3. Бесконечное произведение (6) называется сходящимся в области D, (если его множители за исключением, быть может, конечного их числа, не обращаются в нуль в этой области и если произведение отличных от нуля множителей сходится в каждой точке области D.

Определение 4. Бесконечное произведение (6) (множители которого отличны от нуля в области D) называется равномерно сходящимся в этой области, если последовательность функций  равномерно сходится в области D.

Если бесконечное произведение (6) равномерно сходится в области D, то

функция  регулярна в области D в силу теоремы Вейерштрасса.

Из теоремы 2 о разложении мероморфной функции на элементарные дроби можно получить следующую теорему о представлении целой функции в виде бесконечного произведения*.

Теорема 3. Если целая функция f(z) такова, что мероморфная функция  удовлетворяет условиям теоремы 2, то

               ,                          (7)

где - кратность нуля  функции f(z).

Бесконечное произведение (7) равномерно сходится в каждой ограниченной части плоскости.

Доказательство. Функция  имеет простые полюсы в точках , где - нули функции , и не имеет других полюсов. Тогда , где - кратность нуля  функции . По теореме 2 имеем:

                                  .                                      (8)

Т.к. , где для логарифма выбрана аналитическая ветвь, то интегрируя ряд (8) по некоторой кривой, соединяющей точки 0 и z и не проходящей через нули функции , получим

                    .                              (9)

Потенцируя (9), находим , где , и формула (7) доказана.

Замечание 3. В условиях, указанных в замечании 2, формула (7) заменяется следующей

,

где ,  - многочлен степени не выше p.

Разложение синуса в бесконечное произведение.

Рассмотрим целую функцию . Эта функция имеет простые нули в точках . Далее, функция  удовлетворяет условиям теоремы 3 и, следовательно, можно применить формулу (7). Т.к. , то  и по формуле (7) имеем:

                            .                                      (10)

В этой формуле сгруппированы множители, относящиеся к нулям  и   синуса. Преобразуя выражение в квадратных скобках, окончательно получим:

                                               .                                         (11)

Пример.

Целая функция :

.

Т.к. , то с использованием (11) получим

.

* Во всей плоскости полюсов может быть бесконечно много.

* )      

** В простом полюсе ;

* Из определения следует, что необходимым условием является , т.е. . Т.к. произведение  сходится, то существует . В соответствии с критерием Коши ;

** Т.к. , то, учитывая, что , имеем . Т.е. для любого положительного  существует такое N, зависящее от , что выполняются неравенства , ибо ряд для знакопеременный.

* Для простоты покажем, что . Если же  является нулем кратности m для , то нужно рассмотреть функцию ;

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22755. Участь делегації УРСР в роботі Дунайської конференції 73 KB
  право України було відновлено. У 19941996 роках ЄС ухвалив Спільну позицію щодо України 28 листопада 1994 р. Указом Президента України було затверджено Стратегію інтеграції України до ЄС€ розраховану на період до 2007 року. на Гельсінському самміті Євросоюзу була ухвалена Спільна стратегія ЄС щодо України яка спрямована на зміцнення стратегічного партнерства з Україною.
22756. Участь УРСР в роботі конференції в Сан-Франциско 55.5 KB
  Політика ЄС стосовно України. Основні проблеми безпеки України зовнішній аспект та механізми їх гарантування. Політика ЄС стосовно України. У 19941996 роках ЄС ухвалив Спільну позицію щодо України 28 листопада 1994 р.
22757. VI сесія (1944р.) Верховної Ради УРСР щодо формування союзного Наркомату закордонних справ 37 KB
  Наслідки розширення ЄС для зовнішньої політики України. питання про утворення НКЗС Українибуло розглянуто на Політбюро ЦК КПб України. Поперше було вирішено встановити дипломатичні відносини України з Великою Британією і США подруге з іншими країнами антигітлерівської коаліції. Наслідки розширення ЄС для зовнішньої політики України Розширення Європейського Союзу яке відбулося 1 травня 2004 року призвело до історичних змін політичних географічних та економічних умов для України та Євросоюзу.
22758. Діяльність УРСР в ООН 1945 - 1990 рр 38 KB
  Економічне співробітництво України та Росії: стан проблеми та механізми їх вирішення. Європейська політика України: концептуальні засади та практика. Виступивши проти зосередженості ЮНЕСКО тільки на фінансуванні та інших формах розв'язання проблеми встановлення причин ракових захворювань делегат від України Тульчинська порушила питання про негайне впровадження у життя вже одержаних результатів її пропозиція була схвалена більшістю делегацій 21 проти 18 при 7 що утрималися. Економічне співробітництво України та Росії: стан проблеми та...
22759. Участь УРСР в обговоренні ООН грецького та індонезійського питань 35.5 KB
  Питання делімітації та демаркації кордонів кордону України: досягнення і проблеми. Інтереси України в Балканському регіоні та механізми їх реалізації. Півстоліття назад саме міністр закордонних справ України Мануїльский із трибуни ООН проголосив Руки геть від Індонезії . Погана спадщина радянськоіндонезійських відносин що повністю дісталося Росії абсолютно не стосується України той самий випадок коли не варто шкодувати про усіх без винятку боргах й активах колишнього СРСР.
22760. Участь делегації УРСР в конференції в Сан-Франциско 43 KB
  На території РФ функціонують Посольство України м. На території України здійснюють діяльність Посольство Російської Федерації м. розстрілу Білого дому та зміцнення позицій реформаторів у Кремлі курс щодо України став жорсткішим що виявилось у намаганнях на дострокових виборах 1994 р. У першу чергу це стосується умов тимчасового перебування та функціонування Чорноморського Флоту РФ на території України договірноправового оформлення українськоросійського державного кордону тощо.
22761. Участь УРСР в роботі міжнародних організацій 1950-ті- 1980-тірр 41 KB
  Політика ЄС стосовно України. Питання зовнішньої політики в роботі Верховної Ради України. 202 пропозиції поправки резолюції що вносилися представниками України у міжнародних організаціях та конференціях. Політика ЄС стосовно України.
22762. Зміст і значення конституційних змін в УРСР 1944 р 50 KB
  Міжнародне правова база співробітництва України та ЄС. Відносини України з державами Близького та Середнього Сходу. Міжнародно правова база співробітництва України та ЄС. Відносини між Україною та Європейським Союзом були започатковані в грудні 1991 року коли Міністр закордонних справ Нідерландів як головуючої в ЄС у своєму листі від імені Євросоюзу офіційно визнав незалежність України.
22763. Питання звичайних озброєнь в зовнішній політиці України 58.5 KB
  Основні напрямки і принципи зовнішньої політики України. Питання звичайних озброєнь в зовнішній політиці України. Напередодні краху СРСР Останніми роками перед розпадом СРСР змінився характер західних наукових підходів до проблем України. Як показав подальший перебіг подій більшість дипломатів Української РСР виявилася готовою до плідної роботи в ім'я незалежної України.