22356

Приложение теории вычетов

Лекция

Математика и математический анализ

Напомним что мероморфной называется функция fz все конечные особые точки которой являются полюсами. в любой ограниченной области такая функция может иметь лишь конечное число полюсов то все ее полюсы можно пронумеровать например в порядке не убывания модулей: Будем обозначать главную часть fz в точке т. Если мероморфная функция fz имеет лишь конечное число полюсов и кроме того является либо правильной регулярной ее точкой либо полюсом то эта функция представляется в виде суммы своих главных частей 3 и...

Русский

2013-08-04

797 KB

21 чел.

Приложение теории вычетов.

Разложение мероморфных функций на простейшие дроби.

Напомним, что мероморфной называется функция f(z), все конечные особые точки которой являются полюсами. Т.к. в любой ограниченной области такая функция может иметь лишь конечное* число полюсов, то все ее полюсы можно пронумеровать, например, в порядке не убывания модулей:  

Будем обозначать  главную часть f(z) в точке , т.е.

                                                                                            (1)

и через

                                                       -                                             (2)

ее главную часть в бесконечно удаленной точке (если последняя также является полюсом).

Функции  называются простейшими дробями, а g(z) – целой частью f(z).

Теорема 1. Если мероморфная функция f(z) имеет лишь конечное число полюсов  и, кроме того,  является либо правильной (регулярной) ее точкой, либо полюсом, то эта функция представляется в виде суммы своих главных частей

         (3)

и, следовательно, дробно рациональна.

(Функция g(z) входит в (3) лишь в том случае, если  является полюсом).

Доказательство. Для доказательства рассмотрим разность

.

Функция  регулярна в любой точке , ибо из разложения Лорана f(z) в окрестности  главная часть устранена вычитанием , а остальные члены  аналитичны в этой точке. То же рассуждение относится к точке , а в точках  все члены  регулярны.

Итак, функция  регулярна в замкнутой плоскости z и по теореме Лиувилля является постоянной.

Формула (3) доказана, а из нее вытекает после приведения всех дробей к общему знаменателю, что f(z) является отношением двух многочленов, т.е. является дробно рациональной функцией. Ч.т.д.

Такого рода разложение можно построить и для произвольной мероморфной функции. Однако в общем случае имеется бесконечно много главных частей, а конечная сумма в (3) заменяется рядом и возникает вопрос о сходимости этого ряда. Вообще говоря, ряд (3) оказывается расходящимся, и для обеспечения сходимости к главным частям приходится добавлять некоторые выражения.

Будем понимать под правильной системой контуров совокупность замкнутых кривых, удовлетворяющих следующим условиям: 1)  содержит внутри себя точку z = 0, каждый контур  находится внутри области, ограниченной контуром ; 2) кратчайшее расстояние  от точек  до начала координат неограниченно возрастает с ростом n; 3) отношение длины  кривой  к  остается ограниченным:

                                                                                      (4)

Имеет место

Теорема 2 (Коши). Пусть все полюсы  мероморфной функции f(z), регулярной в точке , являются простыми и занумерованы в порядке неубывания их модулей: . Если функция f(z) ограничена на некоторой правильной системе контуров  , т.е.

                                 ,                                          (5)

то

                             ,                                       (6)

где . Ряд (6) сходится равномерно в каждой ограниченной области с выколотыми в ней полюсами функции f(z).

Доказательство. Рассмотрим интеграл* 

,       (7)

где  ( - область внутри ) и . Обозначим . В области  функция  имеет простые полюсы ; точка  является либо простым полюсом, либо точкой регулярности (если f(0)=0) для функции .

По теореме о вычетах

.      (8)

Далее, имеем**

                                             ,                                              (9)

                                            ,                                      (10)

                     ;                            (11)

Подставляя (9) - (11) в (8), получим

,

откуда в силу равенства  находим

                                      (12)

Оценим . Пусть D – ограниченная область. Тогда существует круг  такой, что . Имеем

.

Здесь , ( - кратчайшее расстояние от начала координат до контура ), . Поэтому

,

т.к.  в силу (4). Из этой оценки и условия  при  вытекает, что  при  равномерно по .Переходя в равенстве (12) к пределу при , получаем

                          .                              (13)

Формулу (13) можно записать в виде (6) считая, что суммирование в (6) производится в следующем порядке: сначала берутся слагаемые, которые относятся к полюсам лежащим внутри , затем к этим слагаемым последовательно добавляются группы слагаемых, относящиеся к полюсам, лежащим между  и , между  и  и т.д. Теорема доказана.

Замечание 1. Если ряд в (6) сходится абсолютно, то порядок суммирования безразличен.

Замечание 2. Теорему 2 можно обобщить, заменив неравенство (5) следующим

                              ,                                        (14)

где  - целое (при сохранении остальных условий теоремы 2).В этом случае имеет место следующая формула

        .                        (15)

Для доказательства формулы (15) достаточно применить теорему о вычетах к интегралу

.

Разложение функции  на элементарные дроби.

Рассмотрим функцию . Эта функция является мероморфной, имеет простые полюсы в точках , не имеет других конечных особых точек и . Покажем, что функция f(z) ограничена на правильной системе контуров , где  - квадрат  (см. рис.) с центром в точке , стороны которого параллельны координатным осям, а их длины равны

                                                             

                                                                 

                                                                        

 

Пусть , тогда , где , и, следовательно, , откуда получаем

                                                                      (16)

Пусть теперь , тогда , где

,

откуда находим

                            .                                 (17)

Так как , то неравенства (16) и (17) имеют место соответственно и на сторонах  и  квадрата , т.е. на контуре .

Итак,

Отсюда следует, что функция  также ограничена на системе контуров . Далее , так как функция , регулярная в точке , нечетна. Итак, в формуле (6),  и, следовательно,

                                     ,                                       (18)

где штрих означает, что .

Заметим, что между контурами  и  лежат ровно два полюса функции , а именно  и . Объединяя в сумме (18) слагаемые, соответствующие этим полюсам, получаем

.

Таким образом, справедлива формула

                                      .                                            (19)

Заменяя в (18) и (19) z на , получим

                 .                         (20)

Заменяя в (19) z на  и сокращая на

                                               .                                 (21)

Отсюда следует

                   .                     (22)

Из формулы  и из (19) получаем

   .              (23)

Аналогично, из формулы , выводим

      .        (24)

Так как , то, дифференцируя равномерно сходящийся ряд (18), получаем

                       .                        (25)

Разложение целых функций в бесконечные произведения.

Известно, что всякий многочлен n-ой степени  можно представить в виде произведения

                  ,                        (1)

где  - корни этого многочлена (среди них могут быть и кратные).

Формулу (1) можно обобщить (при некоторых условиях) на целые функции. Действительно, пусть, например, целая функция  отлична от нуля во всей комплексной плоскости, тогда функция , где взята одна из регулярных ветвей логарифма, также является целой, причем

                                                       .                                                    (2)

Если теперь целая функция  имеет лишь конечное число нулей   - кратность нуля , то функция , где , нигде не обращается в нуль и, следовательно, представима в виде (2), откуда получаем формулу:

              ,                    (3)

где  - некоторая целая функция, причем.

В случае, когда  имеет счетное число нулей в формуле, обобщающей (3), появится бесконечное произведение.

Определение 1. Бесконечное произведение

                                                                                                          (4)

называется сходящимся, если все его множители отличны от нуля и существует конечный и отличный от нуля предел A последовательности:

.

Отметим, что необходимым и достаточным условием* сходимости бесконечного произведения (4) является сходимость рядов

                                             ,                                    (5)

где . .

Определение 2. Бесконечное произведение (4) называется абсолютно сходящимся, если ряды (5) сходятся абсолютно.

Можно показать**, что абсолютная сходимость бесконечного произведения (4) равносильна сходимости ряда .

Понятие сходимости бесконечного произведения обобщается на случай, когда его множители – функции комплексной переменной. Рассмотрим бесконечное произведение

                                                       ,                                              (6)

где  - функции, регулярные в области D.

Определение 3. Бесконечное произведение (6) называется сходящимся в области D, (если его множители за исключением, быть может, конечного их числа, не обращаются в нуль в этой области и если произведение отличных от нуля множителей сходится в каждой точке области D.

Определение 4. Бесконечное произведение (6) (множители которого отличны от нуля в области D) называется равномерно сходящимся в этой области, если последовательность функций  равномерно сходится в области D.

Если бесконечное произведение (6) равномерно сходится в области D, то

функция  регулярна в области D в силу теоремы Вейерштрасса.

Из теоремы 2 о разложении мероморфной функции на элементарные дроби можно получить следующую теорему о представлении целой функции в виде бесконечного произведения*.

Теорема 3. Если целая функция f(z) такова, что мероморфная функция  удовлетворяет условиям теоремы 2, то

               ,                          (7)

где - кратность нуля  функции f(z).

Бесконечное произведение (7) равномерно сходится в каждой ограниченной части плоскости.

Доказательство. Функция  имеет простые полюсы в точках , где - нули функции , и не имеет других полюсов. Тогда , где - кратность нуля  функции . По теореме 2 имеем:

                                  .                                      (8)

Т.к. , где для логарифма выбрана аналитическая ветвь, то интегрируя ряд (8) по некоторой кривой, соединяющей точки 0 и z и не проходящей через нули функции , получим

                    .                              (9)

Потенцируя (9), находим , где , и формула (7) доказана.

Замечание 3. В условиях, указанных в замечании 2, формула (7) заменяется следующей

,

где ,  - многочлен степени не выше p.

Разложение синуса в бесконечное произведение.

Рассмотрим целую функцию . Эта функция имеет простые нули в точках . Далее, функция  удовлетворяет условиям теоремы 3 и, следовательно, можно применить формулу (7). Т.к. , то  и по формуле (7) имеем:

                            .                                      (10)

В этой формуле сгруппированы множители, относящиеся к нулям  и   синуса. Преобразуя выражение в квадратных скобках, окончательно получим:

                                               .                                         (11)

Пример.

Целая функция :

.

Т.к. , то с использованием (11) получим

.

* Во всей плоскости полюсов может быть бесконечно много.

* )      

** В простом полюсе ;

* Из определения следует, что необходимым условием является , т.е. . Т.к. произведение  сходится, то существует . В соответствии с критерием Коши ;

** Т.к. , то, учитывая, что , имеем . Т.е. для любого положительного  существует такое N, зависящее от , что выполняются неравенства , ибо ряд для знакопеременный.

* Для простоты покажем, что . Если же  является нулем кратности m для , то нужно рассмотреть функцию ;

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

299. β-радиометрия объектов окружающей среды: определение содержания стронция 90 и калия 40 66.5 KB
  В ходе лабораторной работы я изучил взаимодействие β -частиц с веществом, способы защиты от β - излучения, принцип действия β -радиометра, методику приготовления проб для проведения измерений β –излучения радионуклидов.
300. Проектное предложение по реконструкции жилого района Арбеково 55.5 KB
  Сохранение ландшафтно-пространственного зонирования существующей территории. Обеспечение удобных пешеходных связей между новым строительством и уже существующими на данной территории. Освоение свободных территорий под жилую застройку, зданий и сооружений общественного назначения.
301. Ознакомление школьников с культурными особенностями страны изучаемого языка при работе с иллюстративным материалом 162.5 KB
  Иллюстрации на уроках лингвострановедения. Формирования лингвострановедческой компетенции школьников на занятиях по немецкому языку. Методические пошаговые действия при работе с иллюстрациями.
302. Теория права и ее особенности. Понятия общество, государство и право 60.63 KB
  Понятия общество, государство и право. Правоотношение и юридические факты. Юридические лица как субъекты гражданских правоотношений. Право собственности и другие вещные права. Брак и условия его заключения. Алиментные отношения между членами семьи.
303. Исследование характеристик объекта регулирования 113.5 KB
  Получение переходной характеристики объекта регулирования в виде инерционного звена II порядка с помощью пакета Vissim. Моделирование переходных процессов одноконтурной САР.
304. Правовая деятельность судебного пристава 49.5 KB
  Ответственность судебных приставов, а также надзор и контроль за их деятельностью. Судебный пристав несет ответственность за проступки и правонарушения в соответствии с законодательством Российской Федерации.
305. Поняття та види земельних правовідносин 129.5 KB
  Підстави виникнення, зміни і припинення земельних правовідносин. Визначення та наукове обґрунтування земельних правовідносин на сучасному етапі. Підстави виникнення, зміни і припинення земельних правовідносин.
306. Информационное обеспечение удержания из заработной платы 139 KB
  Характеристика существующей организации обработки информации. Классификация и кодирование информации. Характеристика промежуточной информации. Схема взаимосвязи программных модулей и файлов.
307. Значение Киевской Руси 91 KB
  Становление древнерусской духовной культуры отличалось значительным своеобразием. Она формировалась в результате синтеза славянской языческой культуры с культурой, доступ к которой открылся Руси с принятием христианства.