22357

Обращение степенных рядов

Лекция

Математика и математический анализ

Выберем число столь малым чтобы в круге функция обращалась в нуль только в точке . Каждое значение из круга функция принимает в круге только один раз. В самом деле на окружности выполняется неравенство и по теореме Руше функция имеет в круге столько же нулей сколько и функция т. Итак пусть тот круг в котором функция принимает каждое значение ровно один раз а область плоскости ограниченная кривой кривая является простой кривой т.

Русский

2013-08-04

217.5 KB

2 чел.

Обращение степенных рядов.

Пусть

.                                (1)

Для однозначного определения функции, обратной к функции  необходимо и достаточно, чтобы каждое значение , принимаемое функцией , принималось ею ровно один раз.

 Теорема 1. Если  (т.е. ), то существует достаточно малый круг с центром в точке , в котором ряд (1) каждое принимаемое им значение принимает ровно один раз.

 Доказательство. Пусть число  меньше радиуса сходимости ряда (1). Когда точка  обходит окружность , точка  обходит в плоскости  некоторую замкнутую кривую . Выберем число  столь малым, чтобы в круге  функция  обращалась в нуль только в точке . Тогда величина  будет положительна. Каждое значение  из круга  функция  принимает в круге  только один раз. В самом деле, на окружности  выполняется неравенство

и по теореме Руше функция  имеет в круге  столько же нулей, сколько и функция , т.е. ровно один (ибо ). Теперь выберем число , , столь малым, чтобы кривая  лежала внутри круга . Тогда все значения, принимаемые функцией  в круге , лежат в круге  и по доказанному принимаются этой функцией в круге  (а тем более в круге ) только один раз.

 Что и требовалось доказать.

Итак, пусть  - тот круг , в котором функция  принимает каждое значение ровно один раз, а  - область плоскости , ограниченная кривой  (кривая  является простой кривой, т.к. функция  и в точках окружности  каждое значение принимает только один раз). Каждой точке  из области  отвечает одна точка  из круга . Таким образом, в области  определена функция , для которой . Эту функцию называют обратной к функции .

Покажем, что построенная таким образом обратная функция  регулярна в некоторой окрестности точки .

Для доказательства рассмотрим интеграл

,

где  - произвольная функция, регулярная в замкнутом круге , а  - точка из области . По теореме о вычетах

,

где  - построенная выше функция, обратная к функции  (единственный полюс подынтегральной функции – это нуль знаменателя).

Обозначим

(круг  лежит, очевидно, в области ). При  можем написать

.

Ряд справа при  равномерно сходится на окружности , и его можно почленно интегрировать по этой окружности. Следовательно, для каждой точки  из круга  имеет место равенство

,

где

.                                      (2)

Тем самым доказано, что функция  регулярна в некоторой окрестности точки . В частности при  получаем наше утверждение о регулярности функции .

Функций, обратных к функции  и определённых в некоторой окрестности точки , может быть много. Наша функция  выделяется из всех таких обратных функций условием  (вместе с условием регулярности или хотя бы непрерывности в точке ).

Преобразуем выражения для коэффициентов . Так как в круге  функция  обращается в нуль только при , то по теореме о вычетах

.

Заметим далее, что при  функция  имеет простой нуль (ибо ). Поэтому функция

регулярна в некоторой окрестности точки . Следовательно

,                              (3)

Интегрируя выражение (2) по частям (при ) получим

                   (4)

Отсюда аналогично предыдущему имеем

,

При , очевидно, имеем (из(3))

.

Таким образом, имеет место

 Теорема 2 (Бюрмана-Лагранжа). Пусть  - определённая (и регулярная) в некоторой окрестности точки  функция, обратная к функции  (определённой рядом (1) с ) и удовлетворяет условию . Если функция  регулярна в окрестности точки , то для функции  в некоторой окрестности точки  имеет место разложение в степенной ряд

,                                     (5)

коэффициенты которого находят по формулам

,                             (6)

Ряд (5) называют рядом Бюрмана-Лагранжа.

При  имеем

,

где

.                                            (7)

Ясно, что точку  может заменить произвольной точкой , а точку  - произвольной точкой , т.е.

,

причём:

.

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52380. Побудова зображення будинку у кутовій перспективі 11.81 MB
  Поглибити знання учнів про просторові відношення на основі використання законів лінійної перспективи розширити знання про лінію горизонту. Обладнання: відеоряд картин художників різних епох і фотографій архітектурних споруд плакати з прикладами визначення різних видів перспективи і побудови геометричних предметів у перспективі презентація до уроку; альбоми графітові олівці гумки. Лінійна перспектива вид перспективи що показує у скільки разів зменшиться віддалена частина предмета в порівнянні з наближеною завдяки чому з'являється...
52381. Будова речовини. Атоми та молекули. Взаємодія молекул. Явище дифузії 74 KB
  Мета: вдосконалити уявлення та знання учнів про атоми та молекули та взаємодію; сформувати знання учнів про явище дифузії та дослідити залежність швидкості процесу дифузії від температури; формувати в учнів науковий світогляд інтерес до фізики розвивати уяву учнів спонукати їх до самовдосконалення та самореалізації. Учитель фізики. Формування нових знань Учитель фізики. Учитель фізики.
52382. Розробка бінарного уроку на тему: «Вплив податкової системи на формування державного бюджету» 534 KB
  Згідно даних динаміки доходів Держбюджету України за 2003-2010 роки найбільшим джерелом доходів держбюджету є податок на додану вартість. Другим за величиною джерелом надходжень до бюджету є податок на прибуток підприємств. Вплив держбюджету на розвиток економіки Підприємство сплачує до дохідної частини держбюджету три основних види податків: акцизний збір податок на додану вартість податок на прибуток. Є ціле розмаїття податків про яких багато хто навіть і не чули 1 ведучий – Податок на...
52383. Сімейний бюджет. Доходи і витрати сім’ї 138 KB
  Доходи і витрати сім’ї. Мета: поглибити знання про доходи сім’ї як джерело збільшення її багатства; види доходів витрати обов’язкові платежі бюджет родини; вчити планувати бюджет родини раціонально розраховувати витрати і співставляти їх з доходами; усвідомити свою роль у формуванні сімейного бюджету; виховати грамотного споживача та дбайливого господаря. Основні поняття: доходи витрати бюджет сім’ї збалансований бюджет надлишковий бюджет дефіцитний бюджет....
52384. Відбитки готових природних форм (листя, трава). Композиція «Букет осіннього листя у вазі» 156.5 KB
  Актуалізація опорних знань Читання загадки вчителем Скажіть про яку пору року говориться в загадці Загадка Дрібненький дощик сумно плаче І листячко жовтогаряче З дерев повільно опадає Яка пора це наступає Осінь Чим вам подобається осінь А чи любите ви збирати листочки А що з ними можна зробити скласти букет зробити віночок ІІІ. Робота над темою уроку Вступна бесіда Ось і прийшла золота осінь. додаток 1 Вирушаючи з вами на осінню прогулянку до лісу ми уважно...
52385. Полуфабрикаты 294.5 KB
  В зависимости от источников образования и целевого назначения имущество организаций разделяют на собственное собственный капитал и заемная. Собственный капитал это вложения собственников и прибыль накопленная за время деятельности организации. Собственный капитал.Заемный капитал.
52387. Сценарий праздника “Прощанье с букварем” 65.5 KB
  Учитель. Дорогие гости! Сегодня мы проводим традиционный праздник в первом классе – Праздник Букваря. Говорят, Азбука – к мудрости ступенька. Вот вы и одолели самую трудную, самую важную первую ступеньку на пути к знаниям! Много праздников прекрасных На листках календаря, А меж ними тоже праздник Школьный – праздник Букваря.
52388. Праздник «Прощай, Букварик» 101.5 KB
  Многие из вас не умели читать и писать знали только некоторые буквы. Мы при расставании скажем на прощанье: Тебе за всё спасибо наш дорогой Букварь Буквы мы узнали слоги прочитали И сложили в слоги целые слова После в предложенье. Вдруг на удивленье сразу получилось Родина моя А потом и мама та что моет раму Дети в мяч играют Речка небо лес А ещё в программе прочитали сами Буквы на экране Поле из чудес. Напишу в тетради не оценки ради Буквы алфавита и пример решу.