22357

Обращение степенных рядов

Лекция

Математика и математический анализ

Выберем число столь малым чтобы в круге функция обращалась в нуль только в точке . Каждое значение из круга функция принимает в круге только один раз. В самом деле на окружности выполняется неравенство и по теореме Руше функция имеет в круге столько же нулей сколько и функция т. Итак пусть тот круг в котором функция принимает каждое значение ровно один раз а область плоскости ограниченная кривой кривая является простой кривой т.

Русский

2013-08-04

217.5 KB

3 чел.

Обращение степенных рядов.

Пусть

.                                (1)

Для однозначного определения функции, обратной к функции  необходимо и достаточно, чтобы каждое значение , принимаемое функцией , принималось ею ровно один раз.

 Теорема 1. Если  (т.е. ), то существует достаточно малый круг с центром в точке , в котором ряд (1) каждое принимаемое им значение принимает ровно один раз.

 Доказательство. Пусть число  меньше радиуса сходимости ряда (1). Когда точка  обходит окружность , точка  обходит в плоскости  некоторую замкнутую кривую . Выберем число  столь малым, чтобы в круге  функция  обращалась в нуль только в точке . Тогда величина  будет положительна. Каждое значение  из круга  функция  принимает в круге  только один раз. В самом деле, на окружности  выполняется неравенство

и по теореме Руше функция  имеет в круге  столько же нулей, сколько и функция , т.е. ровно один (ибо ). Теперь выберем число , , столь малым, чтобы кривая  лежала внутри круга . Тогда все значения, принимаемые функцией  в круге , лежат в круге  и по доказанному принимаются этой функцией в круге  (а тем более в круге ) только один раз.

 Что и требовалось доказать.

Итак, пусть  - тот круг , в котором функция  принимает каждое значение ровно один раз, а  - область плоскости , ограниченная кривой  (кривая  является простой кривой, т.к. функция  и в точках окружности  каждое значение принимает только один раз). Каждой точке  из области  отвечает одна точка  из круга . Таким образом, в области  определена функция , для которой . Эту функцию называют обратной к функции .

Покажем, что построенная таким образом обратная функция  регулярна в некоторой окрестности точки .

Для доказательства рассмотрим интеграл

,

где  - произвольная функция, регулярная в замкнутом круге , а  - точка из области . По теореме о вычетах

,

где  - построенная выше функция, обратная к функции  (единственный полюс подынтегральной функции – это нуль знаменателя).

Обозначим

(круг  лежит, очевидно, в области ). При  можем написать

.

Ряд справа при  равномерно сходится на окружности , и его можно почленно интегрировать по этой окружности. Следовательно, для каждой точки  из круга  имеет место равенство

,

где

.                                      (2)

Тем самым доказано, что функция  регулярна в некоторой окрестности точки . В частности при  получаем наше утверждение о регулярности функции .

Функций, обратных к функции  и определённых в некоторой окрестности точки , может быть много. Наша функция  выделяется из всех таких обратных функций условием  (вместе с условием регулярности или хотя бы непрерывности в точке ).

Преобразуем выражения для коэффициентов . Так как в круге  функция  обращается в нуль только при , то по теореме о вычетах

.

Заметим далее, что при  функция  имеет простой нуль (ибо ). Поэтому функция

регулярна в некоторой окрестности точки . Следовательно

,                              (3)

Интегрируя выражение (2) по частям (при ) получим

                   (4)

Отсюда аналогично предыдущему имеем

,

При , очевидно, имеем (из(3))

.

Таким образом, имеет место

 Теорема 2 (Бюрмана-Лагранжа). Пусть  - определённая (и регулярная) в некоторой окрестности точки  функция, обратная к функции  (определённой рядом (1) с ) и удовлетворяет условию . Если функция  регулярна в окрестности точки , то для функции  в некоторой окрестности точки  имеет место разложение в степенной ряд

,                                     (5)

коэффициенты которого находят по формулам

,                             (6)

Ряд (5) называют рядом Бюрмана-Лагранжа.

При  имеем

,

где

.                                            (7)

Ясно, что точку  может заменить произвольной точкой , а точку  - произвольной точкой , т.е.

,

причём:

.

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9443. Плеврит (Pleuritis). Абсцесс легкого 27.81 KB
  Плеврит Плеврит (Pleuritis) - воспаление плевральных листков (инфекционное или неифекционное) с образованием выпота - выпотной экссудативный плеврит. Или - реже - с отложением фибрина - сухой, фибринозный плеврит. Этиология:...
9444. Бронхиальная астма 29.68 KB
  Бронхиальная астма БА - заболевание, в основе которого лежит хроническое воспаление дыхательных путей, сопровождающееся изменением чувствительности и реактивности бронхов и проявляющееся приступами удушья вследствие спазма бронхов, отека их сли...
9445. Ревматизм. Ревматический эндокардит. Ревматический перикардит... 31.89 KB
  Ревматизм Ревматизм - это системное, воспалительное заболевание соединительной ткани, с преимущественной локализацией в ССС, развивающееся в связи с инфицированием гемолитичсеким стрептококком группы А у предрасположенных лиц, преимущественно...
9446. Митральные пороки сердца 22.99 KB
  Митральные пороки сердца Классификация: Недостаточность митрального клапана Митральный стеноз Митральный порок с преобладанием недостаточности Митральный порок с преобладанием стеноза Митральный порок без четкого преобл...
9447. Инфекционный (септический) эндокардит 28.47 KB
  Инфекционный (септический) эндокардит Это заболевание при котором инфекционный очаг локализуется на клапанах сердца или пристеночном эндокарде, откуда инфекция распространяется (в результате развития бактериемии) по всему организму. При отсутствии а...
9448. Артериальные гипертензии 31.99 KB
  Артериальные гипертензии Это патологическое состояние при котором систолическое АД составляет 140мм.рт.ст и выше и/или диастолическое АД 90мм.рт.ст и выше при том условии, что эти значения получены в результате как минимум трех измерений, произведен...
9449. Ишемическая болезнь сердца 19.31 KB
  Ишемическая болезнь сердца Это обусловленное расстройством коронарного кровообращения поражение миокарда, возникающее в результате нарушения равновесия между коронарным кровотоком и метаболическими потребностями сердечной мышцы, в следствие атероскл...
9450. Недостаточность кровообращения 28.65 KB
  Недостаточность кровообращения Это патологическое состояние при котором ССС не способна доставлять необходимое количество крови к органам и системам. Различают: Сердечная недостаточность - это патологическое состояние обусловленное недост...