22357

Обращение степенных рядов

Лекция

Математика и математический анализ

Выберем число столь малым чтобы в круге функция обращалась в нуль только в точке . Каждое значение из круга функция принимает в круге только один раз. В самом деле на окружности выполняется неравенство и по теореме Руше функция имеет в круге столько же нулей сколько и функция т. Итак пусть тот круг в котором функция принимает каждое значение ровно один раз а область плоскости ограниченная кривой кривая является простой кривой т.

Русский

2013-08-04

217.5 KB

2 чел.

Обращение степенных рядов.

Пусть

.                                (1)

Для однозначного определения функции, обратной к функции  необходимо и достаточно, чтобы каждое значение , принимаемое функцией , принималось ею ровно один раз.

 Теорема 1. Если  (т.е. ), то существует достаточно малый круг с центром в точке , в котором ряд (1) каждое принимаемое им значение принимает ровно один раз.

 Доказательство. Пусть число  меньше радиуса сходимости ряда (1). Когда точка  обходит окружность , точка  обходит в плоскости  некоторую замкнутую кривую . Выберем число  столь малым, чтобы в круге  функция  обращалась в нуль только в точке . Тогда величина  будет положительна. Каждое значение  из круга  функция  принимает в круге  только один раз. В самом деле, на окружности  выполняется неравенство

и по теореме Руше функция  имеет в круге  столько же нулей, сколько и функция , т.е. ровно один (ибо ). Теперь выберем число , , столь малым, чтобы кривая  лежала внутри круга . Тогда все значения, принимаемые функцией  в круге , лежат в круге  и по доказанному принимаются этой функцией в круге  (а тем более в круге ) только один раз.

 Что и требовалось доказать.

Итак, пусть  - тот круг , в котором функция  принимает каждое значение ровно один раз, а  - область плоскости , ограниченная кривой  (кривая  является простой кривой, т.к. функция  и в точках окружности  каждое значение принимает только один раз). Каждой точке  из области  отвечает одна точка  из круга . Таким образом, в области  определена функция , для которой . Эту функцию называют обратной к функции .

Покажем, что построенная таким образом обратная функция  регулярна в некоторой окрестности точки .

Для доказательства рассмотрим интеграл

,

где  - произвольная функция, регулярная в замкнутом круге , а  - точка из области . По теореме о вычетах

,

где  - построенная выше функция, обратная к функции  (единственный полюс подынтегральной функции – это нуль знаменателя).

Обозначим

(круг  лежит, очевидно, в области ). При  можем написать

.

Ряд справа при  равномерно сходится на окружности , и его можно почленно интегрировать по этой окружности. Следовательно, для каждой точки  из круга  имеет место равенство

,

где

.                                      (2)

Тем самым доказано, что функция  регулярна в некоторой окрестности точки . В частности при  получаем наше утверждение о регулярности функции .

Функций, обратных к функции  и определённых в некоторой окрестности точки , может быть много. Наша функция  выделяется из всех таких обратных функций условием  (вместе с условием регулярности или хотя бы непрерывности в точке ).

Преобразуем выражения для коэффициентов . Так как в круге  функция  обращается в нуль только при , то по теореме о вычетах

.

Заметим далее, что при  функция  имеет простой нуль (ибо ). Поэтому функция

регулярна в некоторой окрестности точки . Следовательно

,                              (3)

Интегрируя выражение (2) по частям (при ) получим

                   (4)

Отсюда аналогично предыдущему имеем

,

При , очевидно, имеем (из(3))

.

Таким образом, имеет место

 Теорема 2 (Бюрмана-Лагранжа). Пусть  - определённая (и регулярная) в некоторой окрестности точки  функция, обратная к функции  (определённой рядом (1) с ) и удовлетворяет условию . Если функция  регулярна в окрестности точки , то для функции  в некоторой окрестности точки  имеет место разложение в степенной ряд

,                                     (5)

коэффициенты которого находят по формулам

,                             (6)

Ряд (5) называют рядом Бюрмана-Лагранжа.

При  имеем

,

где

.                                            (7)

Ясно, что точку  может заменить произвольной точкой , а точку  - произвольной точкой , т.е.

,

причём:

.

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14684. ИССЛЕДОВАНИЕ ПИД-РЕГУЛЯТОРОВ 173 KB
  Лабораторная работа № 7 ИССЛЕДОВАНИЕ ПИДРЕГУЛЯТОРОВ Цель работы: изучить способы оптимизации параметров типовых регуляторов П И ПД ПИПИД с использованием пакета MatLab NCD Blokset. Исходные данные: Таблица 1 №...
14685. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ СИНТЕЗИРОВАННОЙ МЕТОДОМ СИММЕТРИЧНОГО ОПТИМУМА 108 KB
  абораторная работа №7 4 ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ СИНТЕЗИРОВАННОЙ МЕТОДОМ СИММЕТРИЧНОГО ОПТИМУМА Цель работы: Получение практических навыков синтеза системы автоматического регулирования методом симметричного оптимума.
14686. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ, СИНТЕЗИРОВАННОЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ КОНТУРОВ 132.5 KB
  абораторная работа №8 4 ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ СИНТЕЗИРОВАННОЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ КОНТУРОВ. Цель работы: изучение и практическое использование метода последовательной оптимизации контуров. 1. ОСН...
14687. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ СИНТЕЗИРОВАННОЙ МЕТОДОМ МОДАЛЬНОГО ОПТИМУМА 166.5 KB
  абораторная работа №6 7 ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ СИНТЕЗИРОВАННОЙ МЕТОДОМ МОДАЛЬНОГО ОПТИМУМА Цель работы: Получение практических навыков синтеза систем автоматического регулирования АСР методом модального оптимума. Ана...
14688. Определение параметров и основных характеристик однофазного трансформатора 1.13 MB
  Лабораторная работа №4 Определение параметров и основных характеристик однофазного трансформатора. Цель работы. Изучение устройства и принципа действия однофазного трансформатора. Изучение схемы замещения трансформатора и опреде
14689. Исследование асинхронного трехфазного электродвигателя с короткозамкнутым ротором 1.48 MB
  Лабораторная работа №5 Исследование асинхронного трехфазного электродвигателя с короткозамкнутым ротором. Цель работы. Изучение принципа действия трехфазного асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором. Изучение основных сво
14690. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПОГЛОЩЕНИЯ γ – ИЗЛУЧЕНИЯ ВЕЩЕСТВОМ 85 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №27 ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПОГЛОЩЕНИЯ γ – ИЗЛУЧЕНИЯ ВЕЩЕСТВОМ Поток γ излучения проходя через толщу вещества ослабляется. Пусть на поверхность пластинки падает N0 γ – квантов определенной энергии. Найдем число γ – квантов прошедших через образ...
14691. ОСНОВЫ ДОЗИМЕТРИИ 119 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №26 ОСНОВЫ ДОЗИМЕТРИИ Дозиметрия радиоактивного излучения есть один из разделов прикладной физики ядра и элементарных частиц. Дозиметрия первоначально возникла в связи с открытием рентгеновских лучей и их вредным воздействием на живой организм. ...
14692. ИЗУЧЕНИЕ РАБОТЫ СЦИНТИЛЛЯЦИОННОГО СЧЕТЧИКА ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ 59 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №25 ИЗУЧЕНИЕ РАБОТЫ СЦИНТИЛЛЯЦИОННОГО СЧЕТЧИКА ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ Задание для подготовки к лабораторной работе: По указанной литературе изучите устройство и принцип работы сцинтилляционного счетчика иониз