22357

Обращение степенных рядов

Лекция

Математика и математический анализ

Выберем число столь малым чтобы в круге функция обращалась в нуль только в точке . Каждое значение из круга функция принимает в круге только один раз. В самом деле на окружности выполняется неравенство и по теореме Руше функция имеет в круге столько же нулей сколько и функция т. Итак пусть тот круг в котором функция принимает каждое значение ровно один раз а область плоскости ограниченная кривой кривая является простой кривой т.

Русский

2013-08-04

217.5 KB

3 чел.

Обращение степенных рядов.

Пусть

.                                (1)

Для однозначного определения функции, обратной к функции  необходимо и достаточно, чтобы каждое значение , принимаемое функцией , принималось ею ровно один раз.

 Теорема 1. Если  (т.е. ), то существует достаточно малый круг с центром в точке , в котором ряд (1) каждое принимаемое им значение принимает ровно один раз.

 Доказательство. Пусть число  меньше радиуса сходимости ряда (1). Когда точка  обходит окружность , точка  обходит в плоскости  некоторую замкнутую кривую . Выберем число  столь малым, чтобы в круге  функция  обращалась в нуль только в точке . Тогда величина  будет положительна. Каждое значение  из круга  функция  принимает в круге  только один раз. В самом деле, на окружности  выполняется неравенство

и по теореме Руше функция  имеет в круге  столько же нулей, сколько и функция , т.е. ровно один (ибо ). Теперь выберем число , , столь малым, чтобы кривая  лежала внутри круга . Тогда все значения, принимаемые функцией  в круге , лежат в круге  и по доказанному принимаются этой функцией в круге  (а тем более в круге ) только один раз.

 Что и требовалось доказать.

Итак, пусть  - тот круг , в котором функция  принимает каждое значение ровно один раз, а  - область плоскости , ограниченная кривой  (кривая  является простой кривой, т.к. функция  и в точках окружности  каждое значение принимает только один раз). Каждой точке  из области  отвечает одна точка  из круга . Таким образом, в области  определена функция , для которой . Эту функцию называют обратной к функции .

Покажем, что построенная таким образом обратная функция  регулярна в некоторой окрестности точки .

Для доказательства рассмотрим интеграл

,

где  - произвольная функция, регулярная в замкнутом круге , а  - точка из области . По теореме о вычетах

,

где  - построенная выше функция, обратная к функции  (единственный полюс подынтегральной функции – это нуль знаменателя).

Обозначим

(круг  лежит, очевидно, в области ). При  можем написать

.

Ряд справа при  равномерно сходится на окружности , и его можно почленно интегрировать по этой окружности. Следовательно, для каждой точки  из круга  имеет место равенство

,

где

.                                      (2)

Тем самым доказано, что функция  регулярна в некоторой окрестности точки . В частности при  получаем наше утверждение о регулярности функции .

Функций, обратных к функции  и определённых в некоторой окрестности точки , может быть много. Наша функция  выделяется из всех таких обратных функций условием  (вместе с условием регулярности или хотя бы непрерывности в точке ).

Преобразуем выражения для коэффициентов . Так как в круге  функция  обращается в нуль только при , то по теореме о вычетах

.

Заметим далее, что при  функция  имеет простой нуль (ибо ). Поэтому функция

регулярна в некоторой окрестности точки . Следовательно

,                              (3)

Интегрируя выражение (2) по частям (при ) получим

                   (4)

Отсюда аналогично предыдущему имеем

,

При , очевидно, имеем (из(3))

.

Таким образом, имеет место

 Теорема 2 (Бюрмана-Лагранжа). Пусть  - определённая (и регулярная) в некоторой окрестности точки  функция, обратная к функции  (определённой рядом (1) с ) и удовлетворяет условию . Если функция  регулярна в окрестности точки , то для функции  в некоторой окрестности точки  имеет место разложение в степенной ряд

,                                     (5)

коэффициенты которого находят по формулам

,                             (6)

Ряд (5) называют рядом Бюрмана-Лагранжа.

При  имеем

,

где

.                                            (7)

Ясно, что точку  может заменить произвольной точкой , а точку  - произвольной точкой , т.е.

,

причём:

.

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17682. Принцип Гюйгенса-Френеля. Побудова Гюйгенса 449.41 KB
  Принцип ГюйгенсаФренеля. Побудова Гюйгенса. За Гюйгенсом кожна точка хвильового фронту наприклад сферичної хвилі яка виходить з точкового джерела є джерелом вторинних хвиль. Базуючись на цьому Гюйгенс запропоновав метод геометричної побудови фронтів вторинних хв
17683. Принцип дії лазера інверсія населеностей 49.35 KB
  Принцип дії лазера: інверсія населеностей. Дія лазера базується на підсиленні світлового потоку середовищем через яке він проходить. Якщо привести систему атомів у нерівноважний стан достатньо сильно порушивши розподіл Больцмана то можна досягти зміни концентрації...
17684. Принцип Ферма. Закон заломлення 49.85 KB
  Принцип Ферма. Закон заломлення. Світло при поширенні з однієї точки в іншу вибирає шлях якому відповідає найменший час поширення. Припустимо що показник заломлення середи змінюється у просторі неперервно і достатньо повільно так що умови використання геометричної о
17685. Принципи дії поляризаторів двопроменезаломлюючі, відбиваючі, інтерференційні дихроїчні 323.4 KB
  Принципи дії поляризаторів: двопроменезаломлюючі відбиваючі інтерференційні дихроїчні. Поляризатори виділяють лінійну складову ел. маг. хвилі. Якість поляризатора визначається за степеню поляризації p=ImaxImin/ImaxImin. Двопроменезаломлюючі. Двоякопреломля...
17686. Роздільна здатність телескопу та мікроскопу 523.26 KB
  Роздільна здатність телескопу та мікроскопу. Границі роздільної здатності оптичних приладів. Роздільна здатність оптичних приладів обмежується дифракцією Фраунгофера на їх вхідній апертурі оскільки при цьому кожна точка обєкта зображується дифракційною карти
17687. Розсіювання світла в мутних середовищах (αλ, α ~λ, αλ,) 88.38 KB
  Розсіювання світла в мутних середовищах. Мутне середовище середовище в якому містяться завислі частинки. Розсіювання світла у мутному середовищі можна описати на основі теорії дифракції світла на діелектричних частинках. Розглянемо три випадки відн
17688. Розсіяння Мендельштама-Брілюена 25.17 KB
  Розсіяння МендельштамаБрілюена Розсіюванням Мандельштама Брілюена називають розсіювання оптичного випромінювання конденсованими середовищами твердими тілами і рідинами в результаті його взаємодії з власними пружними коливаннями цих середовищ. Воно супроводжує...
17689. Самофокусування світла 33.92 KB
  Самофокусування світла Самофокусування світла це ефект самовпливу що виникає при розповсюдженні в нелінійному середовищі інтенсивного світлового пучка що має обмежений поперечний переріз. Розглянемо феноменологічне матеріальне рівняння де поляризованість...
17690. Скін-ефект. Аномальний скін-ефект 18.65 KB
  Скінефект. Аномальний скінефект Проникнення єлектронномагнітної хвилі в тонкий поверхневий шар металу є частковим випадком скінефекту. Сам шар у який проникає електромагнітне поле називається скіншаром. Напруженість поля в скіншар зменшується експоненційно таки