22357

Обращение степенных рядов

Лекция

Математика и математический анализ

Выберем число столь малым чтобы в круге функция обращалась в нуль только в точке . Каждое значение из круга функция принимает в круге только один раз. В самом деле на окружности выполняется неравенство и по теореме Руше функция имеет в круге столько же нулей сколько и функция т. Итак пусть тот круг в котором функция принимает каждое значение ровно один раз а область плоскости ограниченная кривой кривая является простой кривой т.

Русский

2013-08-04

217.5 KB

2 чел.

Обращение степенных рядов.

Пусть

.                                (1)

Для однозначного определения функции, обратной к функции  необходимо и достаточно, чтобы каждое значение , принимаемое функцией , принималось ею ровно один раз.

 Теорема 1. Если  (т.е. ), то существует достаточно малый круг с центром в точке , в котором ряд (1) каждое принимаемое им значение принимает ровно один раз.

 Доказательство. Пусть число  меньше радиуса сходимости ряда (1). Когда точка  обходит окружность , точка  обходит в плоскости  некоторую замкнутую кривую . Выберем число  столь малым, чтобы в круге  функция  обращалась в нуль только в точке . Тогда величина  будет положительна. Каждое значение  из круга  функция  принимает в круге  только один раз. В самом деле, на окружности  выполняется неравенство

и по теореме Руше функция  имеет в круге  столько же нулей, сколько и функция , т.е. ровно один (ибо ). Теперь выберем число , , столь малым, чтобы кривая  лежала внутри круга . Тогда все значения, принимаемые функцией  в круге , лежат в круге  и по доказанному принимаются этой функцией в круге  (а тем более в круге ) только один раз.

 Что и требовалось доказать.

Итак, пусть  - тот круг , в котором функция  принимает каждое значение ровно один раз, а  - область плоскости , ограниченная кривой  (кривая  является простой кривой, т.к. функция  и в точках окружности  каждое значение принимает только один раз). Каждой точке  из области  отвечает одна точка  из круга . Таким образом, в области  определена функция , для которой . Эту функцию называют обратной к функции .

Покажем, что построенная таким образом обратная функция  регулярна в некоторой окрестности точки .

Для доказательства рассмотрим интеграл

,

где  - произвольная функция, регулярная в замкнутом круге , а  - точка из области . По теореме о вычетах

,

где  - построенная выше функция, обратная к функции  (единственный полюс подынтегральной функции – это нуль знаменателя).

Обозначим

(круг  лежит, очевидно, в области ). При  можем написать

.

Ряд справа при  равномерно сходится на окружности , и его можно почленно интегрировать по этой окружности. Следовательно, для каждой точки  из круга  имеет место равенство

,

где

.                                      (2)

Тем самым доказано, что функция  регулярна в некоторой окрестности точки . В частности при  получаем наше утверждение о регулярности функции .

Функций, обратных к функции  и определённых в некоторой окрестности точки , может быть много. Наша функция  выделяется из всех таких обратных функций условием  (вместе с условием регулярности или хотя бы непрерывности в точке ).

Преобразуем выражения для коэффициентов . Так как в круге  функция  обращается в нуль только при , то по теореме о вычетах

.

Заметим далее, что при  функция  имеет простой нуль (ибо ). Поэтому функция

регулярна в некоторой окрестности точки . Следовательно

,                              (3)

Интегрируя выражение (2) по частям (при ) получим

                   (4)

Отсюда аналогично предыдущему имеем

,

При , очевидно, имеем (из(3))

.

Таким образом, имеет место

 Теорема 2 (Бюрмана-Лагранжа). Пусть  - определённая (и регулярная) в некоторой окрестности точки  функция, обратная к функции  (определённой рядом (1) с ) и удовлетворяет условию . Если функция  регулярна в окрестности точки , то для функции  в некоторой окрестности точки  имеет место разложение в степенной ряд

,                                     (5)

коэффициенты которого находят по формулам

,                             (6)

Ряд (5) называют рядом Бюрмана-Лагранжа.

При  имеем

,

где

.                                            (7)

Ясно, что точку  может заменить произвольной точкой , а точку  - произвольной точкой , т.е.

,

причём:

.

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22861. Роль таможенных органов в защите отечественного рынка от контрафактной продукции 18.37 KB
  По официальным данным, доля контрафактной продукции в ряде секторов российского рынка составляет от 30% до 90%. При этом нередко контрафактный товар одновременно является еще и фальсификатом, то есть содержание товара не соответствует тому, что указано на его упаковке
22862. Градации товаров по качеству. Дефекты продукции. Классификация дефектов 21.67 KB
  Градации качества - категория одноименного товара, отличающая между собой установленными значениями показателей качества. Товары разных градаций качества, за исключением опасных могут обеспечивать удовлетворенность потребителей разных сегментов
22863. Глобальные сети. ISDN - сети с интегральными услугами 125.5 KB
  Глобальные сети (Wide Area Networks), которые также называют территориальными компьютерными сетями, служат для того, чтобы предоставлять свои сервисы большому количеству конечных абонентов, разбросанных по большой территории — в пределах области, региона, страны, континента или всего земного шара.
22864. Право потребителя на качество товара в соответствии с Законом РФ «О защите прав потребителей» 16.78 KB
  При отсутствии в договоре условий о качестве товара (работы, услуги) продавец (исполнитель) обязан передать потребителю товар (выполнить работу, оказать услугу), соответствующий обычно предъявляемым требованиям и пригодный для целей
22865. Сортамент товаров природный и товарный. Принципы деления на товарные сорта 18.98 KB
  Сортамент товаров. Одной из важных задач оценки качества является установление градаций качества стандартной продукции, которые представлены сортами. Как уже указывалось ранее, сорт - категория качества продукции одного наименования, но отличающаяся от другой категории значениями показателей.
22866. Оценка качества товаров. Способы выражения результатов оценки 19.94 KB
  Уровень качества продукции – важнейшая характеристика ее конкурентоспособности. Нередко ставится знак равенства между конкурентоспособностью товара и его качеством.
22867. Обеспечение качества и количества товаров. Сохраняющие факторы 21.91 KB
  Хранение - это этап технологического цикла товародвижения от выпуска готовой продукции до потребления или утилизации, цель которого - обеспечение стабильности исходных свойств или их изменение с минимальными потерями.
22868. Виды и формы товарной информации. Требования к товарной информации. Средства информации 23.39 KB
  Первичными источниками товарной информации и одновременно исполнителями услуг по информированию продавцов и/или потребителей о продаваемых товарах являются производители
22869. Иммунитет, факторы его формирующие. Общее представление об иммунной системе и её работе 69 KB
  Иммунитет: определение понятия. Виды иммунитета. Факторы риска иммунитета.