22357

Обращение степенных рядов

Лекция

Математика и математический анализ

Выберем число столь малым чтобы в круге функция обращалась в нуль только в точке . Каждое значение из круга функция принимает в круге только один раз. В самом деле на окружности выполняется неравенство и по теореме Руше функция имеет в круге столько же нулей сколько и функция т. Итак пусть тот круг в котором функция принимает каждое значение ровно один раз а область плоскости ограниченная кривой кривая является простой кривой т.

Русский

2013-08-04

217.5 KB

3 чел.

Обращение степенных рядов.

Пусть

.                                (1)

Для однозначного определения функции, обратной к функции  необходимо и достаточно, чтобы каждое значение , принимаемое функцией , принималось ею ровно один раз.

 Теорема 1. Если  (т.е. ), то существует достаточно малый круг с центром в точке , в котором ряд (1) каждое принимаемое им значение принимает ровно один раз.

 Доказательство. Пусть число  меньше радиуса сходимости ряда (1). Когда точка  обходит окружность , точка  обходит в плоскости  некоторую замкнутую кривую . Выберем число  столь малым, чтобы в круге  функция  обращалась в нуль только в точке . Тогда величина  будет положительна. Каждое значение  из круга  функция  принимает в круге  только один раз. В самом деле, на окружности  выполняется неравенство

и по теореме Руше функция  имеет в круге  столько же нулей, сколько и функция , т.е. ровно один (ибо ). Теперь выберем число , , столь малым, чтобы кривая  лежала внутри круга . Тогда все значения, принимаемые функцией  в круге , лежат в круге  и по доказанному принимаются этой функцией в круге  (а тем более в круге ) только один раз.

 Что и требовалось доказать.

Итак, пусть  - тот круг , в котором функция  принимает каждое значение ровно один раз, а  - область плоскости , ограниченная кривой  (кривая  является простой кривой, т.к. функция  и в точках окружности  каждое значение принимает только один раз). Каждой точке  из области  отвечает одна точка  из круга . Таким образом, в области  определена функция , для которой . Эту функцию называют обратной к функции .

Покажем, что построенная таким образом обратная функция  регулярна в некоторой окрестности точки .

Для доказательства рассмотрим интеграл

,

где  - произвольная функция, регулярная в замкнутом круге , а  - точка из области . По теореме о вычетах

,

где  - построенная выше функция, обратная к функции  (единственный полюс подынтегральной функции – это нуль знаменателя).

Обозначим

(круг  лежит, очевидно, в области ). При  можем написать

.

Ряд справа при  равномерно сходится на окружности , и его можно почленно интегрировать по этой окружности. Следовательно, для каждой точки  из круга  имеет место равенство

,

где

.                                      (2)

Тем самым доказано, что функция  регулярна в некоторой окрестности точки . В частности при  получаем наше утверждение о регулярности функции .

Функций, обратных к функции  и определённых в некоторой окрестности точки , может быть много. Наша функция  выделяется из всех таких обратных функций условием  (вместе с условием регулярности или хотя бы непрерывности в точке ).

Преобразуем выражения для коэффициентов . Так как в круге  функция  обращается в нуль только при , то по теореме о вычетах

.

Заметим далее, что при  функция  имеет простой нуль (ибо ). Поэтому функция

регулярна в некоторой окрестности точки . Следовательно

,                              (3)

Интегрируя выражение (2) по частям (при ) получим

                   (4)

Отсюда аналогично предыдущему имеем

,

При , очевидно, имеем (из(3))

.

Таким образом, имеет место

 Теорема 2 (Бюрмана-Лагранжа). Пусть  - определённая (и регулярная) в некоторой окрестности точки  функция, обратная к функции  (определённой рядом (1) с ) и удовлетворяет условию . Если функция  регулярна в окрестности точки , то для функции  в некоторой окрестности точки  имеет место разложение в степенной ряд

,                                     (5)

коэффициенты которого находят по формулам

,                             (6)

Ряд (5) называют рядом Бюрмана-Лагранжа.

При  имеем

,

где

.                                            (7)

Ясно, что точку  может заменить произвольной точкой , а точку  - произвольной точкой , т.е.

,

причём:

.

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55669. Робота з обдарованими дітьми, спрямована на розвиток академічної обдарованості молоді 190 KB
  У Державній національній програмі Освіта Україна XXI століття серед пріоритетних напрямків реформування шкільної освіти визначено: своєчасне виявлення ранньої обдарованості забезпечення умов для розвитку талановитих дітей а також удосконалення...
55670. Творча робота «Робота з обдарованими дітьми у Донецькому НВК № 91» 1.9 MB
  Удосконалення психологопедагогічного супроводу обдарованих дітей Завдання проекту Сприяти духовноморальному розвитку обдарованих вихованців шляхом самовдосконалення методом залучення особистості в інноваційні форми роботи...
55671. Роль педагога-організатора у створенні сприятливих умов для саморозвитку та самореалізації учнів – членів дитячої організації 568.5 KB
  Саме вона дає змогу учням відчути себе справжніми господарями школи і разом з тим зрозуміти настільки це важливо організувати роботу брати на себе відповідальність приймати рішення. Важлива також варіативність у діяльності педагогаорганізатора в залежності від вікової групи учнів підлітки чи юнацтво типу школи. У своїй роботі педагогорганізатор керується державними документами про школу освіту виховання Положенням про посадові обовязки педагогаорганзітора Статутом школи інструкціями та наказами вищестоячих органів та...
55672. Вивчення схильностей учнів до небажаних вчинків 7.01 MB
  Вивчити причини, що спонукають підлітків до вчинення протиправних дій та найбільш поширені шкідливі звички. За основу даного дослідження взято анкету «Молодь і протиправна поведінка» (автор Пачковський, І. Корнієнко).
55674. Натхненна спадщина. З історії розвитку культури м.Сміли Черкаської області 291 KB
  Факти такі. У 19 ст. в містечку існувало дві типографії, в одній із них 1885 року граф Олександр Олексійович Бобринський надрукував своє генеалогічне дерево. 1895 року почала діяти публічна бібліотека при Смілянському народному училищі. На ці ж роки припадає розквіт театру Бобринських.
55675. Використання міжпредметних зв’язків, як один із за 251.5 KB
  Специфіка викладання іноземної мови відкриває широкі можливості у використанні міжпредметних зв’язків з метою підвищення зацікавленості учнів до вивчення іноземної мови. Коли учні вчать іноземну мову, вони мимохідь знайомляться з новою для них країною, з її культурою, історією, літературою, новим способом життя.
55676. Розробка системи уроків геометрії у 9 класі профільної школи з теми: «Геометричні перетворення» 275.5 KB
  При вивченні цієї теми розглядаються деякі конкретні приклади перетворення фігур а також загальне питання руху. Перетворення геометрії є основою для введення подібності фігур. Поняття про перетворення фігур...