22357

Обращение степенных рядов

Лекция

Математика и математический анализ

Выберем число столь малым чтобы в круге функция обращалась в нуль только в точке . Каждое значение из круга функция принимает в круге только один раз. В самом деле на окружности выполняется неравенство и по теореме Руше функция имеет в круге столько же нулей сколько и функция т. Итак пусть тот круг в котором функция принимает каждое значение ровно один раз а область плоскости ограниченная кривой кривая является простой кривой т.

Русский

2013-08-04

217.5 KB

9 чел.

Обращение степенных рядов.

Пусть

.                                (1)

Для однозначного определения функции, обратной к функции  необходимо и достаточно, чтобы каждое значение , принимаемое функцией , принималось ею ровно один раз.

 Теорема 1. Если  (т.е. ), то существует достаточно малый круг с центром в точке , в котором ряд (1) каждое принимаемое им значение принимает ровно один раз.

 Доказательство. Пусть число  меньше радиуса сходимости ряда (1). Когда точка  обходит окружность , точка  обходит в плоскости  некоторую замкнутую кривую . Выберем число  столь малым, чтобы в круге  функция  обращалась в нуль только в точке . Тогда величина  будет положительна. Каждое значение  из круга  функция  принимает в круге  только один раз. В самом деле, на окружности  выполняется неравенство

и по теореме Руше функция  имеет в круге  столько же нулей, сколько и функция , т.е. ровно один (ибо ). Теперь выберем число , , столь малым, чтобы кривая  лежала внутри круга . Тогда все значения, принимаемые функцией  в круге , лежат в круге  и по доказанному принимаются этой функцией в круге  (а тем более в круге ) только один раз.

 Что и требовалось доказать.

Итак, пусть  - тот круг , в котором функция  принимает каждое значение ровно один раз, а  - область плоскости , ограниченная кривой  (кривая  является простой кривой, т.к. функция  и в точках окружности  каждое значение принимает только один раз). Каждой точке  из области  отвечает одна точка  из круга . Таким образом, в области  определена функция , для которой . Эту функцию называют обратной к функции .

Покажем, что построенная таким образом обратная функция  регулярна в некоторой окрестности точки .

Для доказательства рассмотрим интеграл

,

где  - произвольная функция, регулярная в замкнутом круге , а  - точка из области . По теореме о вычетах

,

где  - построенная выше функция, обратная к функции  (единственный полюс подынтегральной функции – это нуль знаменателя).

Обозначим

(круг  лежит, очевидно, в области ). При  можем написать

.

Ряд справа при  равномерно сходится на окружности , и его можно почленно интегрировать по этой окружности. Следовательно, для каждой точки  из круга  имеет место равенство

,

где

.                                      (2)

Тем самым доказано, что функция  регулярна в некоторой окрестности точки . В частности при  получаем наше утверждение о регулярности функции .

Функций, обратных к функции  и определённых в некоторой окрестности точки , может быть много. Наша функция  выделяется из всех таких обратных функций условием  (вместе с условием регулярности или хотя бы непрерывности в точке ).

Преобразуем выражения для коэффициентов . Так как в круге  функция  обращается в нуль только при , то по теореме о вычетах

.

Заметим далее, что при  функция  имеет простой нуль (ибо ). Поэтому функция

регулярна в некоторой окрестности точки . Следовательно

,                              (3)

Интегрируя выражение (2) по частям (при ) получим

                   (4)

Отсюда аналогично предыдущему имеем

,

При , очевидно, имеем (из(3))

.

Таким образом, имеет место

 Теорема 2 (Бюрмана-Лагранжа). Пусть  - определённая (и регулярная) в некоторой окрестности точки  функция, обратная к функции  (определённой рядом (1) с ) и удовлетворяет условию . Если функция  регулярна в окрестности точки , то для функции  в некоторой окрестности точки  имеет место разложение в степенной ряд

,                                     (5)

коэффициенты которого находят по формулам

,                             (6)

Ряд (5) называют рядом Бюрмана-Лагранжа.

При  имеем

,

где

.                                            (7)

Ясно, что точку  может заменить произвольной точкой , а точку  - произвольной точкой , т.е.

,

причём:

.

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77558. Розробка інформаційної системи для дослідження реосигналів на основі ортогонального базису ДЕФ і власних чисел з метою підвищення ефективності та інформативності імпедансної плетизмографії 1.34 MB
  Мета роботи: розробити інформаційну систему для дослідження реосигналів на основі ортогонального базису ДЕФ і власних чисел з метою підвищення ефективності та інформативності імпедансної плетизмографії.
77559. Градостроительный комплекс в Екатеринбурге в Границах улиц Челюскинцев -Шевченко - Еремина - Братьев Быковых 36.86 KB
  Основной идеей данного проекта было воплотить актуальные на сегодняшний день государственные программы по расширению территорий детских садов, и благоустройству дворовых пространств.
77561. РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО РАСЧЕТА ПЛАНИРОВАНИЯ УСТАНОВКИ СИСТЕМЫ ВИДЕОНАБЛЮДЕНИЯ 2.65 MB
  В зависимости от типа используемого оборудования системы видеонаблюдения делят на аналоговые и цифровые. Аналоговые системы видеонаблюдения используют там, где необходимо организовать видеонаблюдение в небольшом числе помещений и информацию с видеокамер записывать на видеомагнитофон.
77562. Реабилитационные процедуры в процессе несостоятельности по законодательству Великобритании и России: сравнительный анализ 414.5 KB
  Отсутствие действительно оригинальных исследований зарубежных нормативных актов и зарубежной доктрины служит причиной ошибок в юридической литературе, в частности, в исторических и сравнительно-правовых экскурсах.
77563. Розробка імпульсного блоку живлення з цифровою індикацією 810.72 KB
  Transformer 3000 це програма яка розраховує один з основних елементів імпульсного блоку живлення (ІБЖ) — імпульсний трансформатор Від точності його розрахунку і якості виготовлення залежать найважливіші параметри ІБЖ: ККД, маса, габарити, надійність.
77566. Модернизации части оборудования ЦРП-3 ОАО «Орскнефтеоргсинтез» 2.4 MB
  Данный проект позволит расширить возможности ЦРП-3, тем самым позволив подключить потребителей вновь строящегося объекта и догрузить имеющиеся трансформаторы рассматриваемой подстанции до необходимого показателя, повысить надежности электроснабжения всех потребителей подстанции...