22357

Обращение степенных рядов

Лекция

Математика и математический анализ

Выберем число столь малым чтобы в круге функция обращалась в нуль только в точке . Каждое значение из круга функция принимает в круге только один раз. В самом деле на окружности выполняется неравенство и по теореме Руше функция имеет в круге столько же нулей сколько и функция т. Итак пусть тот круг в котором функция принимает каждое значение ровно один раз а область плоскости ограниченная кривой кривая является простой кривой т.

Русский

2013-08-04

217.5 KB

2 чел.

Обращение степенных рядов.

Пусть

.                                (1)

Для однозначного определения функции, обратной к функции  необходимо и достаточно, чтобы каждое значение , принимаемое функцией , принималось ею ровно один раз.

 Теорема 1. Если  (т.е. ), то существует достаточно малый круг с центром в точке , в котором ряд (1) каждое принимаемое им значение принимает ровно один раз.

 Доказательство. Пусть число  меньше радиуса сходимости ряда (1). Когда точка  обходит окружность , точка  обходит в плоскости  некоторую замкнутую кривую . Выберем число  столь малым, чтобы в круге  функция  обращалась в нуль только в точке . Тогда величина  будет положительна. Каждое значение  из круга  функция  принимает в круге  только один раз. В самом деле, на окружности  выполняется неравенство

и по теореме Руше функция  имеет в круге  столько же нулей, сколько и функция , т.е. ровно один (ибо ). Теперь выберем число , , столь малым, чтобы кривая  лежала внутри круга . Тогда все значения, принимаемые функцией  в круге , лежат в круге  и по доказанному принимаются этой функцией в круге  (а тем более в круге ) только один раз.

 Что и требовалось доказать.

Итак, пусть  - тот круг , в котором функция  принимает каждое значение ровно один раз, а  - область плоскости , ограниченная кривой  (кривая  является простой кривой, т.к. функция  и в точках окружности  каждое значение принимает только один раз). Каждой точке  из области  отвечает одна точка  из круга . Таким образом, в области  определена функция , для которой . Эту функцию называют обратной к функции .

Покажем, что построенная таким образом обратная функция  регулярна в некоторой окрестности точки .

Для доказательства рассмотрим интеграл

,

где  - произвольная функция, регулярная в замкнутом круге , а  - точка из области . По теореме о вычетах

,

где  - построенная выше функция, обратная к функции  (единственный полюс подынтегральной функции – это нуль знаменателя).

Обозначим

(круг  лежит, очевидно, в области ). При  можем написать

.

Ряд справа при  равномерно сходится на окружности , и его можно почленно интегрировать по этой окружности. Следовательно, для каждой точки  из круга  имеет место равенство

,

где

.                                      (2)

Тем самым доказано, что функция  регулярна в некоторой окрестности точки . В частности при  получаем наше утверждение о регулярности функции .

Функций, обратных к функции  и определённых в некоторой окрестности точки , может быть много. Наша функция  выделяется из всех таких обратных функций условием  (вместе с условием регулярности или хотя бы непрерывности в точке ).

Преобразуем выражения для коэффициентов . Так как в круге  функция  обращается в нуль только при , то по теореме о вычетах

.

Заметим далее, что при  функция  имеет простой нуль (ибо ). Поэтому функция

регулярна в некоторой окрестности точки . Следовательно

,                              (3)

Интегрируя выражение (2) по частям (при ) получим

                   (4)

Отсюда аналогично предыдущему имеем

,

При , очевидно, имеем (из(3))

.

Таким образом, имеет место

 Теорема 2 (Бюрмана-Лагранжа). Пусть  - определённая (и регулярная) в некоторой окрестности точки  функция, обратная к функции  (определённой рядом (1) с ) и удовлетворяет условию . Если функция  регулярна в окрестности точки , то для функции  в некоторой окрестности точки  имеет место разложение в степенной ряд

,                                     (5)

коэффициенты которого находят по формулам

,                             (6)

Ряд (5) называют рядом Бюрмана-Лагранжа.

При  имеем

,

где

.                                            (7)

Ясно, что точку  может заменить произвольной точкой , а точку  - произвольной точкой , т.е.

,

причём:

.

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26293. Контроль исполнения документов и поручений 18.04 KB
  11 Контроль исполнения документов и поручений Контроль это одна из важнейших делопроизводственных операций которая обеспечивает эффективность управления дисциплину и культуру труда. Контролю подлежат все зарегистрированные документы Цель контроля состоит в обеспечении своевременного и качественного исполнения поручений и решения вопросов.Контроль за исполнением документов по срокам исполнения. В ГСДОУ указано что Контроль исполнения включает постановку на контроль проверку своевременного доведения документа до исполнителя...
26294. Признаки заведения дел. Номенклатуры дел и их назначение. Формирование дел 117.5 KB
  Номенклатуры дел и их назначение. Формирование дел Определение дело. Дело совокупность документов или документ относящихся к одному вопросу или участку деятельности помещенных в отдельную обложку ГОСТ Р 5114198 Делопроизводство и архивное дело.
26295. Обеспечение сохранности и подготовка документов организации к последующему хранению 20.04 KB
  Социологический – опрос членов ЭК Номинальный – принцип вида документов Подготовка к передаче в архив: ЭЦД Составление описей постоянного и временного сроков хранения Передача дел в архив организации 13 года Уничтожение дел с истекшим сроком хранения Ценность документов не равнозначна она оценивается при: Составлении НД при формировании дел при подготовке к передаче в архив. Отбор документов имеющих политическую хозяйственную научную значимость Отбор документов не имеющих таковой значимости но имеющих практическую значимость Выделение...
26296. Делопроизводственная служба 20.05 KB
  Задачи службы ДОУ: установление единого порядка работы с документами; создание условий обеспеих эффект использование компьютерных технологий при работе с докми; обеспечение сохранности документов. ведение контроля за исполнением документов информирование руководителя о состоянии исполнительской дисциплины организация изготовления документов копирования и проектирование бланков доков; разработка сводной номенклатуры дел организации обеспечение подготовки номенклатур дел структурных подразделений; организация работы архива...
26297. Организация архивного дела в РФ в 1991-2004 гг 21.09 KB
  Организация архивного дела в РФ в 19912004 гг. В 1990е гг в России была проведена Архивная реформа. В июне 1993 – Основы архивного законодательства. Закрепили дальнейшую централизацию архивного дела АД Бывшие партахривы интегрированы в архивную систему бывшие архивы СССР стали принадлежать РФ объем архивного фонда увеличился в 2 раза.
26298. Организация архивного дела в РФ в 2000-е годы 17.95 KB
  На Росохранкультуру и ее территориальную сеть возложены: государственный контроль за вывозом из Российской Федерации и ввозом на ее территорию культурных ценностей и обеспечение экспертизы культурных ценностей соблюдение законодательства Российской Федерации в сфере архивного дела выдача лицензий разрешений на право деятельности по реставрации объектов культурного наследия памятников истории и культуры; оказание содействия законным собственникам в восстановлении их прав на культурные ценности при их незаконных вывозе и ввозе а также...
26299. Взаимоотношения органов управления архивным делом и госархивов с архивами организаций 46.5 KB
  Архив организации – это структурное подразделение организации осуществляющее прием и хранение архивных документов учет и их использование. Все это отразилось на состоянии организации ведомственного хранения документов. Перед архивистами стояли задачи: разработки и обоснования критериев определения источников комплектования уточнение профильности установление состава документов архивов. Новый критерий источников комплектования – форма собственности с государственными: на основе законодательства об архивном деле на основе...
26300. Использование документов АФ РФ и других архивных документов в архиве 30.29 KB
  Использование документов АФ РФ и других архивных документов в архиве. В современном архивоведении важнейшими направлениями использования архивных документов являются: укрепление российской государственности удовлетворение информационных потребностей общества обеспечения законных прав и интересов граждан. В процессе использования архивных документов участвуют 2 стороны – архив хранящий информацию и пользователь которому нужна информация. Использование документов в управленческих целях предполагает информационное обеспечение работы данного...
26301. Архивное законодательство в 1990-е 50.5 KB
  правовые основы архивного дела – иерархическая классификация архивного законодательства: федеральное законодательство: Конституция РФ ФЗ об архивном деле н р ФЗ Об обязательном экземпляре документов 1994г. норма архивного права воздействует на все сферы общественных отношений возникающих в области архивного дела: организация и фондирование документов АФ РФ комплектование и экспертиза ценности н р приказ Росархива Об утверждении примерного положения о центральноэкспертных комиссиях министерств и ведомств РФ...