22358

Аналитическое продолжение

Лекция

Математика и математический анализ

Представляет большой интерес вопрос нельзя ли расширить область определения этой функции сохранив регулярность. Функцию регулярную в области содержащей и совпадающую с регулярной в области называют аналитическим продолжением функции на область . Если аналитическое продолжение регулярной функции в данную более широкую область определения возможно то оно возможно лишь единственным образом. В самом деле пусть существуют два аналитических продолжения и функции регулярной в области в одну и туже область .

Русский

2013-08-04

680.5 KB

27 чел.

Аналитическое продолжение.

Пусть мы имеем функцию , регулярную (аналитическую и однозначную) в области . Представляет большой интерес вопрос, нельзя ли расширить область определения этой функции, сохранив регулярность.

1. Введём следующее понятие.

Определение 1. Функцию , регулярную в области , содержащей , и совпадающую с , регулярной в области , называют аналитическим продолжением функции  на область .

Теорема 1 (принцип аналитического продолжения). Если аналитическое продолжение регулярной функции в данную более широкую область определения возможно, то оно возможно лишь единственным образом.

Доказательство. В самом деле, пусть существуют два аналитических продолжения  и  функции , регулярной в области , в одну и туже область . Тогда функция  регулярна в области  и равна нулю в . По теореме единственности всюду в  , т.е. .

 Что и требовалось доказать.

2. Несколько расширим введённое выше понятие аналитического продолжения.

Определение 2. Пусть функция  регулярна в области , а функция  регулярна в области , и пусть пересечение областей  и  также является односвязной областью  (т.е. их пересечение состоит из одного связного куска). Если в области  функции  и  совпадают, то говорят, что функция  является аналитическим продолжением функции  на область .

Легко видеть, что и при таком определении аналитическое продолжение функции  на область  из области  единственно (если оно существует).

3. Пусть теперь  обладают следующим свойством: области  и   имеют своим пересечением область ; и пусть в каждой из областей  определена регулярная в этой области функция .

Определение 3. Если в каждой области   имеет место равенство , то такая функция  называется аналитическим продолжением функции  по цепочке областей .

Снова легко видеть, что аналитическое продолжение данной регулярной функции по данной цепочке областей если возможно, то лишь единственным образом.

При продолжении данной регулярной функции по цепочке областей мы можем вернуться после некоторого числа переходов в исходную область. При этом, вообще говоря, мы можем получить другую регулярную функцию.

4. Введём теперь понятие аналитического продолжения по кривой.

Определение 4. Пусть дана произвольная непрерывная кривая  и пусть на этой кривой определена функция  (функция должна быть определена именно на кривой; это означает, что при вторичном попадании точки кривой в одну и ту же точку плоскости значения функции не обязаны совпадать). Если с каждой точкой  кривой  связана функция , регулярная в некоторой окрестности точки  и совпадающая с функцией  на некотором участке кривой , содержащем точку , то говорят, что функция  доставляет аналитическое продолжение функции  (-начало кривой ) в конечную точку кривой . Результатом аналитического продолжения по кривой  будет функция , где  - конечная точка кривой . 

Как и раньше, легко видеть, что аналитическое продолжение по кривой если возможно, то только единственным образом.

Укажем на один способ аналитического продолжения.

Разлагаем заданную регулярную функцию  в окрестности точки  (начала заданной кривой ) в ряд Тейлора. Этот ряд сходится в некотором круге . Обозначим через  связный кусок кривой , содержащий точку  и лежащий в этом круге. Для  возьмём в качестве функции  ряд Тейлора для функции  в окрестности точки . Конец дуги  обозначим через . Могут представиться две возможности: либо ни один из рядов Тейлора  ,  не имеет точку  внутри своего круга сходимости, либо для какого-либо из таких рядов точка  лежит внутри круга сходимости. В первом случае аналитическое продолжение по кривой  дальше точки  невозможно. Во втором случае можно в качестве  взять

сумму того ряда , который сходится в точке . После этого повторяем все наши рассуждения с заменой точки  на . Если продолжение вдоль кривой  возможно, то мы дойдём таким образом до её конца в конечное число шагов.

Описанный процесс аналитического продолжения практически не используется из-за громоздкости.

Аналитическое продолжение вдоль кривой можно рассматривать как предельный случай аналитического продолжения по цепочке областей: вместо конечной цепочки областей и функций, регулярных в этих областях, берётся непрерывное семейство тех и других.

Теорема 2. Пусть кривая  соединяет точки  и . Если вдоль кривой  возможно аналитическое продолжение функции, то возможно аналитическое продолжение этой функции по любой кривой , лежащей достаточно близко к кривой  и имеющей те же начало и конец, причём результат продолжения будет одним и тем же.

Доказательство. Для доказательства заменим аналитическое продолжение функции  вдоль кривой  аналитическим продолжением этой функции по цепочке областей  (область  содержит точку , а область Gn – точку ). В пределах каждой из областей мы можем произвольно деформировать участок кривой , лежащий в этой области, не меняя результата аналитического продолжения по этому участку кривой. Деформациями каждого отдельного участка мы можем превратить кривую  в любую, достаточно близкую к ней кривую .

 Что и требовалось доказать.

Теорема 3. Если при непрерывном изменении кривой (с фиксированными началом и концом) аналитическое продолжение данной функции вдоль этой кривой всё время остаётся возможным, то результат продолжения не меняется.

Доказательство. На время доказательства будем называть две кривые (с одинаковыми началом и концом) эквивалентными, если результат продолжения данной функции вдоль этих кривых один и тот же. Возьмём две кривые  и  из множества кривых, упомянутых в теореме. Согласно предположению теоремы существует семейство кривых , , непрерывно зависящих от параметра , которое обладает следующими свойствами:

  1.  Все кривые  имеют одинаковые начало и конец.
  2.  При  кривая  обращается в кривую , а при - в кривую .
  3.  Аналитическое продолжение данной функции по каждой из кривых ,  возможно.

Докажем, что все кривые ,  эквивалентны. Из теоремы-2 следует, что при достаточно малом  кривые  эквивалентны кривой . Обозначим через  точную нижнюю грань тех значений , (если они существуют), для которых кривая  не эквивалентна кривой . В силу только что сказанного . Кривая не может быть эквивалентна кривой , и не может быть не эквивалентна ей, т.к. в силу теоремы 2 все кривые  при , достаточно близких к , обладали бы тем же свойством, что и сама кривая , что невозможно в силу определения числа . Следовательно, число  не существует, и наше утверждение об эквивалентности всех кривых ,  доказано. Поскольку  и  - произвольные кривые из множества кривых, упомянутых в теореме, то доказана и сама теорема.

Её другая формулировка носит название теоремы о монодромии.

Теорема 4 (о монодромии). Пусть  - односвязная область, и пусть  функция, регулярная в некоторой точке . Если функция  можно аналитически продолжить по любой кривой (с началом в точке ), не выходящей за пределы области , то существует регулярная в области функция, совпадающая с  в окрестности точки .

Утверждение теоремы о монодромии означает, что результат аналитического продолжения функции  в каждую точку области  не зависит от пути продолжения, если только этот путь не выходит за пределы области . Поскольку все кривые с одинаковыми началом и концом, лежащие в односвязной области , можно непрерывно деформировать друг в друга, не выходя за пределы этой области, этот факт немедленно вытекает из теоремы 3.

Теорема о монодромии даёт указание на причины возникновения многозначности аналитического продолжения: многозначность может возникнуть лишь при обходе точек, через которые продолжение исходной функции невозможно.

Полная аналитическая функция и её ветви.

Введённое понятие аналитического продолжения позволяет дать определение полной аналитической функции (вообще говоря, многозначной). Пусть в некоторой области  задана однозначная функция . Может случиться, что  непродолжаема ни через одну дугу границы  области .

Например, пусть  - круг  и

                            (1)

Функция  имеет особенность в точке , ибо для действительного , как легко видеть . В самом деле, , следовательно, для любого  найдётся  такое, что при  имеем , а значит и подавно . Далее имеем

,

откуда видно, что и в точках  имеются особенности. Аналогично, для любого натурального

,

следовательно, и в точках , которые лежат в вершинах правильного -угольника, вписанного в окружность , функция  имеет особенности. Таким образом, множество особых точек функции  всюду плотно на окружности , и  действительно непродолжаема ни через какую дугу этой окружности.

В таких случаях говорят, что контур  является естественной границей функции ,  называют областью существования этой функции.

Пусть теперь  продолжаема за пределы . Рассмотрим всевозможные её аналитические продолжения по всевозможным цепочкам областей (по всевозможным кривым). Будем смотреть на значения всех таких продолжений как на значения одной функции . Такую функцию называют полной аналитической функцией, а однозначные аналитические функции, из которых она составлена – её ветвями. Область , получаемую объединением всех областей, составляющих цепочки, по которым осуществляется аналитические продолжения, и дуг, вдоль которых смыкаются эти части, называют областью существования .

Если функция  рассматривается не во всей области (существования), а лишь в её части, то  называют просто аналитической функцией.

Такое определение допускает, очевидно, и многозначные функции. Аналитические функции в смысле определения, данного в начале курса, будем называть однозначными аналитическими (или регулярными) функциями.

 Точку , принадлежащую области существования аналитической функции или её границе называют особой точкой функции , если в ней нарушается аналитичность хотя бы одной ветви функции .

Ограничимся рассмотрением лишь изолированных особых точек.

Точка  называется изолированной особой точкой функции  если существует такая окрестность , что  продолжаема вдоль любой цепочки областей, принадлежащих этой окрестности.

Рассмотрим цепочку, составленную из областей  (), представляющих собой кольца , разрезанные вдоль некоторого радиуса, например, . Пусть  - ветвь , однозначная и аналитическая (регулярная) в каком-либо кольце  с разрезом . Если значения  на обоих берегах разреза  совпадают, то говорят, что  - особая точка однозначного характера для данной ветви (в этом случае по теореме единственности аналитические продолжения ветви  в другие кольца совпадают с ). Такие особые точки мы рассматривали выше.

Если же значения  на берегах разреза не совпадают, то  называют особой точкой многозначного характера или точкой ветвления. Здесь возможны два случая:

1. Существует цепочка  колец, соединённых последовательно, например, против часовой стрелки (т.е. нижний берег разреза на  соединяется с верхним берегом разреза , нижний на  - с верхним на  и т.д.), такая, что на оставшихся свободными берегах разрезов  и  (верхний берег на  и нижний на ) значения  и  совпадают. Тогда по теореме единственности , , …,  и т.д., т.е. значения  при  изменяющемся от до  периодически повторяют значения . В этом случае говорят, что  - точка ветвления конечного порядка.

Если в рассматриваемом случае все ветви  при  стремятся к одному конечному или бесконечному пределу, то говорят, что  является алгебраической точкой ветвления.

Таковы, например, точки ,  для функции  или .

Если же предел  при  не существует, то точку  называют трансцендентной точкой ветвления.

Такова, например, точка  для функции  ( является для неё алгебраической точкой ветвления).

2. Во всех кольцах  цепочки значения функций различны. В этом случае  называют логарифмической точкой ветвления.

Таковы, например, точки  и  для многозначной функции .

Логарифмические точки ветвления относят к числу трансцендентных.

Теорема 6. В окрестности точки ветвления  конечного порядка  функция  допускает разложение в обобщённый степенной ряд (ряд Пюизо)

.                                              (2)

Доказательство. В самом деле, положим ; тогда цепочке областей  () в плоскости  будет соответствовать цепочка смежных секторов  кольца  с центральными углами . Рассмотрим сложную функцию , причём в каждом секторе  мы выбираем соответствующую ветвь  функции . Функция , очевидно, непрерывно продолжается из  в , и значения её на свободных берегах разрезов  и  совпадают. Поэтому точка  является для этой функции изолированной особой точкой однозначного характера и, следовательно,  может быть представлена в окрестности  рядом Лорана:

.

Подставляя сюда , получим искомое разложение (2).

В случае алгебраической точки  разложение (2) содержит конечное число членов с отрицательным  (быть может, эти члены и вовсе отсутствуют), а в случае трансцендентной точки – бесконечное. Ч.т.д.

Пример. 

; ,

;

,

.

     

Принцип симметрии Римана-Шварца.

 Число  (число ) называется точной верхней (точной нижней) гранью ограниченного сверху (снизу) множества , если выполнены следующие два требования:


1) каждый элемент  удовлетворяет неравенству  ();


2) каково бы ни было вещественное число , меньшее  (большее ), найдётся хотя бы один                  элемент множества , удовлетворяющий неравенству  ().

  Пусть две области   и  без общих точек имеют общий участок границы  и в этих областях заданы аналитические функции  и  соответственно.


Говорят, что функция , является непосредственным аналитическим продолжением функции  в область , если существует аналитическая в области   функция , равная , если  и , если .


Теорема-5. Пусть даны две односвязные области  и  без общих точек, такие, что их границы имеют один общий кусок , и в этих областях соответственно заданы аналитические функции и . Если кроме того, эти функции непрерывны в  и  и совпадают во всех точках , то функция  является непосредственным аналитическим продолжением функции  в область .


Доказательство основано на теоремах Мореры и Коши. Рассмотрим функцию .

PAGE  6


EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57889. Урок-ділова гра на тему: Похідна та її застосування 345 KB
  Нехай функція u = ut відображає кількість виробленої продукції u за час t і необхідно знайти продуктивність праці в момент часу t0. За період часу від t0 до t0Δt кількість виробленої продукції зміниться від значення u0 = uto до значення u0 Δu = ut0Δt.
57890. Розв’язування текстових задач 133 KB
  Сьогодні на уроці ми будемо розвязувати задачі за допомогою систем рівнянь; відпрацювати навички розвязування задач на прямолінійний рівномірний рух та використання графіків при розвязуванні задач.
57891. Додавання і віднімання натуральних чисел 450.5 KB
  Мета: узагальнити і систематизувати знання учнів з теми: «Додавання і віднімання натуральних чисел», повторити правила та закони додавання та віднімання; навчити учнів використовувати набуті знання до розв’язування задач...
57892. Розв’язування квадратних рівнянь 162.08 KB
  Вдосконалювати вміння і навички учнів отримані при вивченні теми «Квадратні рівняння», розвивати логічне мислення, культуру мовлення культуру записів, уважність, терпіння, уміння зосереджуватись, виховувати інтерес до математики, вміння оцінювати свої знання...
57893. Підсумковий урок по темі «Функція» 2.56 MB
  Кожна група отримує функцію яку повинна охарактеризувати за таким планом: а означення функції; б властивості; в графік. I група Лінійна функція II група...
57894. Звичайні дроби. Додавання та віднімання з однаковими знаменниками 208 KB
  Гра Хто запалить Олімпійський вогонь Серед цих 9 відповідей ви знайдете числа які допоможуть вам відповісти на запитання повязані із нагородами спортсменів України на Іграх Олімпіад та зимових Олімпійських іграх.
57895. Координатна площина 299 KB
  Скільки чисел треба вказати щоб задати положення точки на координатній площині Як називаються числащо задають положення точки на координатній площині Як називаються першедруге з чиселщо задають положення точки на координатній площині...
57896. Дійсні числа та дії над ними 239 KB
  Мета: освітня: розширити уявлення учнів про число числові множини; закріпити поняття натуральних цілих раціональних та ірраціональних чисел. Ввести поняття дійсного числа розкрити обєктивну необхідність вивчення дійсних чисел.
57897. Додавання натуральних чисел 1.78 MB
  Мета навчальна: удосконалення вміння виконувати додавання натуральних чисел, формувати вміння застосовувати переставну та сполучну властивості додавання, розв’язувати задачі на додавання натуральних чисел.