22359

Римановы поверхности

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть дана многозначная аналитическая функция fz определенная в области D комплексной плоскости. Условимся рассматривать области Dk из которых в процессе аналитического продолжения строится область D как отдельные листы изготовленные в таком количестве экземпляров сколько значений имеет функция в данной области D. Пусть области D0 и D1 имеют общие части причем в одних из этих частей значения f0z и f1z совпадают а в других различны. Поверхность образованную из отдельных областей определения ветвей многозначной аналитической...

Русский

2013-08-04

55 KB

32 чел.

Римановы поверхности.

Рассмотрим на плоскости (x,y) окружность x2+y2=1. Если мы захотим записать уравнение этой окружности в виде y=f(x), то нам придется использовать многозначную функцию f(x)=(1-x2)0.5. Эту функцию мы сможем рассматривать как однозначную, если будем рассматривать ее не как функцию точки отрезка (-1,1), а как функцию точки кривой, которая состоит из этого отрезка, проходимого дважды: на одной половине кривой корню приписываются положительные значения, на другой – отрицательные.

Аналогичное рассуждение можно провести и для многозначных аналитических функций. Пусть нам дана какая-либо многозначная аналитическая функция w=f(z). Изобразим все ее значения точками в четырехмерном пространстве (z,w). Множество всех точек вида (z,f(z)) образует в этом пространстве некоторую двумерную поверхность. Эта поверхность в силу теоремы о единственности не имеет самопересечений по линиям, однако в изолированных точках различные «куски» этой поверхности могут склеиваться.

Множество всех точек вида (z,f(z)), где f(z) – все значения функции в точке z называется графиком аналитической функции f(z).

По аналогии с разобранным выше примером кривой на плоскости мы можем попытаться сделать нашу многозначную функцию однозначной, рассматривая ее не на плоскости, а на некотором множестве, состоящем из многократно проходимых листов плоскости.

Рассмотрим это подробнее. Пусть дана (многозначная) аналитическая функция f(z), определенная в области D комплексной плоскости. Условимся рассматривать области Dk, из которых в процессе аналитического продолжения строится область D, как отдельные листы, изготовленные в таком количестве экземпляров, сколько значений имеет функция в данной области D.

Рассмотрим в плоскости z некоторую цепочку областей D0,D1,…,Dn с общими участками границ 01,12,…n-1,n. Пусть области D0 и D1 имеют общие части, причем в одних из этих частей значения f0(z) и f1(z) совпадают, а в других различны. Возьмем листы, соответствующие D0 и D1 и склеим их по линии, соответствующей 01. Расположим эти листы над D0+01+D1 так, чтобы каждый лист лежал над соответствующей областью, и склеим их части, расположенные над теми общими частями D0 и D1, в которых f0(z) и f1(z) совпадают; склеенные части будем рассматривать как один слой. Над теми же общими частями областей D0 и D1, в которых значения f0(z) и f1(z) различаются, мы расположим соответствующие части листов друг над другом, так что над такими частями будет лежать по два слоя. Условимся относить значение f0(z) к точке первого листа, расположенной над z, а значение f1(z) – к такой же точке второго листа; тогда функция

будет однозначной на совокупности склеенных таким образом листов.

Точно такие же операции проделаем над листом, соответствующим D2 и т.д. При этом может случиться так, что надлежащая склейка листов невозможна (в трехмерном пространстве) без их пересечения; мы условимся такие пересечения не принимать во внимание (см. рис., где изображена окрестность точки разветвления третьего порядка, склеенная из трех колец 0<z-z0<R с разрезами; мы не принимаем во внимание пересечения, возникающие при склейке колец D0 и D2). В результате получим кусок, вообще говоря, многолистной поверхности, расположенный над областью D0+01+D1+…+n-1,n+Dn.

Если проделать описанные операции для всевозможных цепочек областей, определяющих аналитическую функцию f(z), то получим, вообще говоря, многолистную поверхность R, расположенную над областью D. Эту поверхность и называют римановой поверхностью функции f(z).

Любую аналитическую функцию можно рассматривать как однозначную на ее римановой поверхности. Для этого достаточно относить различные значения, принимаемые функцией в какой-либо точке z, к различным листам римановой поверхности, расположенным над этой точкой. Например, три значения корня  в точке zz0 из окрестности z0 мы условимся относить к трем точкам поверхности, на рис. лежащим над точкой z.

Если функция w=f(z) обратна к однозначной функции z=(w), то она, очевидно, реализует взаимно однозначное отображение своей римановой поверхности на полную плоскость w или ее часть. В общем же случае w=f(z) отображает одну риманову поверхность на другую.

Поверхность, образованную из отдельных областей определения ветвей многозначной аналитической функции, соединенных (склеенных) друг с другом так, чтобы одна ветвь непрерывно переходила в другую, и в совокупности составляющих всю область существования функции, будем называть римановой поверхностью этой функции, а отдельные области определения ее ветвей, из которых составлена риманова поверхность – ее листами.

Простейшие примеры римановых поверхностей.

Пример 1. Риманова поверхность корня .

В качестве областей Dk возьмем плоскости с вырезанной положительной полуосью: Dk характеризуется неравенствами 2k<argz<2(k+1) (k=0,1,2,…). В начальной области D0 возьмем ветвь f0(z), определяемую условием 0<argz<2 и будем продолжать ее в области D1,D2,…,Dn-1. В соответствии с этим заготовим n экземпляров листов, имеющих тот же вид, что и Dk и будем склеивать нижний берег разреза области D0 с верхним берегом разреза области D1, нижний берег разреза области D1 с верхним берегом разреза области D2 и т.д. Значения f0(z) и fn(z) на положительной полуоси (и во всей области Dn=D0) совпадают. Следовательно, мы должны склеить между собой (не учитывая пересечений, которые при этом возникают) оставшиеся свободными верхний берег разреза на листе D0 c нижним берегом разреза на Dn-1. Значения  в остальных областях Dk лишь повторяют выделенные значения f0,f1,…,fn-1, следовательно, построенная n-листная поверхность и является римановой поверхностью функции . Над точками z=0 и z=.она имеет алгебраические точки ветвления порядка n (см. рис. для n=4).

Пример 2. Риманова поверхность логарифма w=lnz.

Области Dk те же, что и в предыдущем примере. В D0 выбирается ветвь w=lnz+iargz, где 0<argz<2 и эта ветвь неограниченно продолжается в области Dk для k=1,2,... Это соответствует тому, что бесчисленное множество экстремумов листов, имеющих тот же вид, что и Dk, соединенных между собой по следующему закону: нижний берег разреза каждого листа Dk склеивается с верхним берегом разреза листа Dk+1. Получившаяся риманова поверхность логарифма показана на рис. Над z=0 и z=. она имеет точки ветвления логарифмического типа.

Другие примеры рассмотрим позднее.

Риманова поверхность логарифма.

Элементом в точке z0 называют функцию f(z), регулярную в некоторой окрестности этой точки.

Пусть D – произвольная односвязная область, не содержащая точек 0 и . Фиксируем точку z0D и значение lnz0 в этой точке. Аналитически продолжив элемент f(z) логарифма (f(z0)=lnz0) по всем путям, которые выходят из точки z0 и лежат в области D, получим однозначную в области D функцию f(z). Это следует из теоремы о монодромии и из того, что в односвязной области любые две кривые, имеющие общее начало и общий конец, гомотопны (т.е. могут быть непрерывно деформированы одна в другую, не выходя за пределы области).

Полученная однозначная аналитическая функция называется регулярной ветвью логарифма в области D. Выбрав в точке z0 другое значение логарифма, получим другую регулярную ветвь логарифма в этой области.

Выберем в качестве D плоскость с разрезом по лучу [0,+). Функция lnz в этой области распадается на бесконечное число однозначных ветвей. Эти ветви имеют вид:

fk(z)=lnz+i(argz)0+2ki, k=0,1,2,…

где (argz)0 – однозначная ветвь аргумента, такая что 0<(argz)0<2.

Возьмем бесконечно много экземпляров области D. Обозначим их Dk, k=0,1,2,…и будем считать, что в области Dk задана регулярная функция fk(z).

Теперь склеим области Dk (листы) в одну поверхность. Если обозначить через lk разрез на месте Dk, то lk+ и lk- - соответствуют верхний и нижний берега разреза. Если z=x>0, то

fk(x)=lnx+2ki,          x lk+

fk(x)=lnx+2(k+1)i,   x lk-

т.к. (argx)0=2, xlk. Следовательно, .

Поэтому будем склеивать нижний берег разреза lk- с верхним берегом разреза lk+1+, k=0, 1, 2,…, тогда функция lnz будет однозначна на полученной бесконечнолистной поверхности. Она называется римановой поверхностью логарифма. Эта поверхность односвязна.

Замечание. Можно иначе «разрезать» логарифм на регулярные ветви. Именно, в качестве D можно взять плоскость с разрезом по любой простой кривой , соединяющей точки 0 и . Выбор разреза диктуется конкретной задачей.

Риманова поверхность функции.

Пусть D – плоскость с разрезом по лучу (-,0]. Тогда функция  распадается на однозначные ветви f1(z) и f2(z), такие что f1(1)=1, f2(z)-f1(z). Возьмем 2 экземпляра области D: D1 и D2 и будем считать, что функция fj определена в области Dj (j=1,2). Тогда при zDj; fj(rei)=r1/2ei/2(+(j-1)2).

f1,2(rei)=r1/2ei/2, -<<.

Пусть lj – разрез на листе Dj, а lj+ и lj- - соответственно верхний и нижний берега разреза, т.к. = на lj, то

F1(z)zl1+=f2(z)zl2-;     f1(z)zl1-=f2(z)l2+.

Поэтому для того, чтобы получить поверхность, на которой функция  однозначна, необходимо склеить верхний берег разреза l1+ с нижним берегом разреза l2- и, аналогично, склеить l1- с l2+ (крест-накрест). Получится риманова поверхность функции , имеющая самопересечение.

Аналогично строится риманова поверхность функции .Возьмем n экземпляров D0,…,Dn-1 области D. В области Dk рассмотрим регулярную функцию:

fk(z)=r1/ne(i/n)(+2k), -<<,

тогда fk(z)zlk+=fk+1(z)zlk-.

Склеим берег l0+ с берегом l1-, l1+ с l2- и т.д., и, наконец, ln-1+ с l0-; получим риманову поверхность функции . Риманова поверхность функции  односвязна.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82139. НАШІ ДРУЗІ – ДИТЯЧІ ЖУРНАЛИ 38.5 KB
  Ознайомити учнів із дитячими журналами розвивати пізнавальні інтереси розширювати читацький кругозір сприяти вихованню доброзичливості товариськості шани до рідного слова. Ми прийшли, малята, щоб вас привітати, Щастя, успіху усім радо побажати! Ви не можете, малята, все про все на світі знати.
82140. Журнали для дітей (Бібліотечний урок для 3-4 класи) 41.5 KB
  Обладнання: Сумка листоноши; виставка З поштової скриньки дитячі газети та журнали; словники папір олівці. Девіз уроку: Читай журнали та газети І подолай усі тенета Дізнаєшся про Всесвіт гарний Труди твої не будуть марні Хід уроку: Бібліотекар: Добрий день діти Сьогодні у нас незвичайний урок.
82141. ВЕЛИКА ВІТЧИЗНЯНА ВІЙНА 177.5 KB
  Учні заздалегідь готують фломастер або олівець і чистий аркуш паперу, розкреслений на декілька пронумерованих прямокутників. У кожному прямокутнику учасники повинні по порядку замалювати асоціативні тлумачення. Можуть бути запропоновані, наприклад, такі слова: відплата, смуток, горе, жах, сльози, печаль...
82142. Шкідливі звички 89.5 KB
  Мета: Дати поняття про погані звички і про їх наслідки розвивати бажання не вживати їх а якщо вони виникли то позбутися; виховувати культуру поведінки старанне ставлення й дбайливе ставлення до свого здоровя. Життєздатність і здоровя людей великою мірою залежить від самої людини.
82143. КОРИСНІ ТА ШКІДЛИВІ ЗВИЧКИ 53.5 KB
  Мета: Викликати прагнення у дітей зберігати й зміцнювати здоров’я. Довести до їх відома інформацію, що шкідливі звички є основною причиною порушення здоров’я. Формувати вміння піклуватися про своє здоров’я. Виховувати бажання підтримувати тпрадиції здорового способу життя.
82144. Голосні та приголосні звуки. Зимовий малюнок 140 KB
  Обладнання: Предметні картинки сніжинки різної форми таблиці для читання склади на картинках гірлянди у формі зірочок зошити ручки магнітофон. До дітей спускаєтся сніжинка Логопед: Ось і завітала перша сніжинка використовувати фон для розглядання сніжинки. Роздати дітям сніжинки з позначеннями...
82145. Звуки з, з, позначення їх буквою Зз («зе»). Дзвінке вимовляння цих звуків у кінці слів і складів. Фразеологізми. Опрацювання тексту «Весела зима». Скоромовки 117 KB
  Навчити учнів упізнавати звуки у мовленому слові та позначати їх буквою Зз зечитати слова з новою буквою чітко вимовляти звуки перед глухими приголосними та в кінці слова; розвивати спостережливість увагу логічне мислення вміння зіставляти порівнювати звукобуквений склад та їх смислове значення...
82146. «Чернобыльская зона» Вечер-реквием ко Дню ликвидатора 59 KB
  Все ликвидаторы аварии на Чернобыльской АЭС 1986-1990 годов достойны того, чтобы их бескорыстный пример долга был примером для наших потомков, об этом подвиге знали, помнили и с благодарностью вспоминали их имена. Слово предоставляется участнику ликвидации последствий аварии на Чернобыльской...
82147. Позакласний захід «Математика із зірками» 464.5 KB
  На картках математиків написане квадратне рівняння на картках учнів корені відповідного квадратного рівняння. Потрібно утворити пару так щоб корені були розвязками відповідного квадратного рівняння. Математик у голос зачитує квадратне рівняння а учні розвязуючи знаходять відповідні корені даного рівняння.