22360

Конформные отображения. Понятие конформного отображения

Лекция

Математика и математический анализ

Предположим что задано непрерывное и взаимно однозначное отображение области D на некоторую область . Геометрически эта замена равносильна замене отображения отображением 3 которое называется главной линейной частью отображения 1. Отображение 3 можно переписать в виде 4 где: 5 не зависят от x и y. Отображение 4 представляет собой так называемое линейное аффинное преобразование плоскости .

Русский

2013-08-04

1.86 MB

90 чел.

Конформные* отображения.

Понятие конформного отображения.

Предположим, что задано непрерывное и взаимно однозначное отображение области D на некоторую область

.         (1)

Предположим еще, что функции  и  дифференцируемы в области D. Фиксируем произвольную точку  и в окрестности этой точки заменим приращения функций U и V дифференциалами.

По определению дифференциала

    (2)

где частные производные берутся в точке , , а 1 и 2 стремятся к нулю при r0.(Предполагаем, что ). Замена приращений (2) дифференциалами сводится к отбрасыванию членов 1(r) и 2(r), которые являются малыми более высокого порядка, чем остальные члены этих формул. Геометрически эта замена равносильна замене отображения  отображением

         (3)

которое называется главной линейной частью отображения (1). Отображение (3) можно переписать в виде

         (4)

где:

           (5)

не зависят от x и y. Отображение (4) представляет собой так называемое линейное (аффинное) преобразование плоскости .

Отметим основные свойства линейных преобразований:

Каждое линейное преобразование (4) однозначно определено во всей плоскости z; пусть определитель  (если , то говорят, что отображение (4) вырождается); тогда обратное к (4) преобразование

     (6)

также однозначно определено во всей плоскости . Таким образом, при  преобразование (4) осуществляет взаимно однозначное отображение всей плоскости z на всю плоскость .

Рассмотрим пучок параллельных в плоскости z с угловым коэффициентом , т.е. прямых . Заменяя здесь x и y по формулам (6), мы видим, что этому пучку соответствует пучок также параллельных прямых  с угловым коэффициентом . Отсюда следует, что отображение (4) преобразует квадраты на плоскости z в параллелограммы на плоскости.

Пусть  и   - пара точек, соответствующих друг другу при отображении (4). Тогда это отображение можно переписать в виде (см. (4) и (5))

         (7)

а обратное ему – в виде

      (8)

Из (8) видно, что окружности с центром в точке :

,

при отображении (4) переходят в эллипсы с центром в точке :

.  (9)

Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты преобразования (4) для того, чтобы оно переводило окружность снова в окружность? Из (9) видно, что для этого необходимо и достаточно выполнение условий:

.        (10)

Первое из них дает , откуда . Подставляя это во второе уравнение (10), получим , т.е. .

Случай  приводит к соотношению

 (т.е. ).      (11)

В этом случае . Положим

,

это можно сделать, т.к. . Тогда преобразование (4) примет вид

, т.е.

.

Мы имеем, таким образом, линейную функцию комплексной переменной

,         (12)

где

.        (13)

Отсюда видно, что при условиях (11) линейное преобразование сводится к сдвигу плоскости z на вектор , повороту на угол  и подобному растяжению с коэффициентом  (см. II лекцию).

В случае  имеем:

         (14)

и . Повторяя проделанные выкладки, получим, что преобразование (4) сводится к следующему:

.        (15)

Таким образом, при условии (14) к перечисленным выше преобразованиям добавляется еще переход от  к , т.е. симметрия относительно действительной оси.

Из геометрического смысла преобразований (12) и (15) ясно, что они сохраняют подобие фигур, в частности, сохраняют углы между прямыми, преобразуют квадраты на плоскости z в квадраты на плоскости  и т.д.

Линейные преобразования, обладающие этим свойством, называются ортогональными. Таким образом, условия (10) есть условия ортогональности преобразования (4). Далее ясно, что преобразование (12) сохраняет направление обхода замкнутых контуров (сохраняет ориентацию), а (15) – меняет их на противоположные (меняет ориентацию).

Таким образом, условия (11) выделяют ортогональные преобразования, сохраняющие ориентацию, а условие (14) – ортогональные преобразования, меняющие ее.

Вернемся к произвольным отображениям. Взаимно однозначное отображение

       (1)

области D на область  называется конформным, если в окрестности любой точки  главная линейная часть этого отображения есть ортогональное преобразование, сохраняющее ориентацию*.

Из этого определения вытекают два основных свойства конформных отображений:

  1.  Конформное отображение преобразует бесконечно малые окружности в окружности с точностью до малых высших порядков (круговое свойство).
  2.  Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).

Первое свойство означает, что при малых  окружность  переходит в кривую  такую, что расстояние любой ее точки от окружности , проведенной через любую точку кривой  - образа C при рассматриваемом отображении, является малой высшего порядка относительно . Второе свойство означает, что угол в точке  между любыми кривыми  и  равен углу в точке  между образами  и  этих кривых*.

                               

                                                                                   

                                                                                               

                                                               

                                                                                    

                                                                                  

                                                     С                                            

                                                                                                        

 

;

Учитывая формулы (5) и (11), условия конформности отображения (1) можно записать в виде

,          (16)

причем должно быть

,       (17)

ибо при  главная линейная часть отображения  вырождается, что противоречит условию конформности. Таким образом, условия конформности совпадают с условиями Коши-Римана дифференцируемости (аналитичнсти) функции  в области D, причем уравнение (17) показывает, что производная  должна быть всюду отличной от нуля.

Далее имеем

,  

откуда легко получить геометрическую интерпретацию производной от функции комплексного переменного. Имеем:

,       (18)

т.е. модуль и аргумент производной  означают соответственно коэффициент растяжения и угол поворота главной линейной части отображения  в точке z, иначе говоря, коэффициент растяжения и угол поворота самого отображения  в точке z.

Таким образом, справедливо следующее утверждение:

 Для того, чтобы функция  реализовала конформное отображение области D, необходимо и достаточно, чтобы в этой области она была 1) однолистной*, 2) аналитической, 3) чтобы всюду в D производная  была отлична от нуля.

Заметим, что если , то в окрестности точки  тейлоровское разложение разности  имеет вид

,     (19)

где  и . Отсюда следует, что при малых  отображение, осуществляемое функцией , отличается на малые высшего порядка от отображения

.       ( 20)

Но отображение, обратное к (20), имеет в  точку ветвления n-го порядка, т.е. отображение (20) неоднолистно в окрестности точки . Следовательно, и отображение  неоднолистно в окрестности . Таким образом, условие 3) в приведенном утверждение можно отбросить т.к. оно следует из 1).  

Отметим также, что, обратно, условие  обеспечивает однолистность отображения в достаточно малой окрестности точки  - это доказывается так же, как и предыдущее утверждение (см. теорему об обращении рядов). Однако, если условие  выполняется в каждой точке области D, то отсюда еще не следует однолистность отображения во всей этой области даже при условии ее односвязности. Например, в разрезанном кольце ,  отображение , очевидно, неоднолистно, но в любой точке этого кольца .

Рассмотрим теперь однозначную, но неоднолистную функцию  в области D. Такая функция реализует взаимно однозначное отображение области D на риманову поверхность R обратной функции . Пусть точка P поверхности R, лежащая над точкой  отличается отточки ветвления и пусть точке P соответствует некоторая точка . Это означает, что существует ветвь  многозначной функции  такая, что . В точке  производная , т.к. в противном случае, как видно из разложения (19) P была бы точкой ветвления поверхности R. Таким образом, функция  реализует взаимно однозначное отображение достаточно малой окрестности точки  на окрестности точки . Это отображение будет, очевидно, конформным.

Итак, функция , однозначная, но не однолистная в области D, реализует отображение, конформное в достаточно малой окрестности каждой точки , для которой .

Точки, где , а также их образы на римановых поверхностях будем называть точками ветвления*.

Основная задача теории конформных отображений.

Имея произвольную аналитическую функцию, мы можем рассматривать различные конформные отображения, осуществляемые ею. Любая область D,в которой эта функция однолистна, с помощью этой функции конформно отображается на некоторую область . Таким образом мы можем получить различные примеры конформных отображений, геометрически иллюстрирующих данную функцию.

Для практических целей большой интерес представляет обратная задача (основная закон теории конформных отображений):

Заданы области D и ; требуется построить функцию, осуществляющую конформное отображение одной из этих областей на другую.

Выясним сначала общие условия существования конформного отображения и его единственности.

Например, нельзя многосвязную область взаимно однозначно отобразить на односвязную. Действительно, предположим, что такое отображение многосвязной области D на односвязную область  существует. Возьмем в D замкнутую кривую C, содержащую внутри внешние или граничные точки D (такая кривая всегда существует). Рассматриваемое отображение переведет C в замкнутую кривую , лежащую в . Если внутри области  непрерывным образом стягивать кривую  в какую-нибудь точку , то в силу взаимно однозначности отображения кривая C должна, оставаясь внутри области D, стягиваться непрерывным образом в некоторую точку D, что, очевидно, невозможно, т.к. внутри контура C лежат точки, не принадлежащие к D.

Далее, нельзя, например, конформно отобразить полную или открытую плоскость z на ограниченную область  плоскости . В самом деле; если бы существовало такое отображение, то функция , его реализующая была бы аналитической во всей открытой плоскости и в тоже время ограниченной, т.к. все значения этой функции лежат в области , но тогда по теореме Лиувилля , что невозможно.

Имеет место следующая теорема:

Теорема 1 (Римана). Каковы бы ни были односвязные области D и  (с границами, состоящими более, чем из одной точки) и как бы ни были заданы точки  и  и действительное число , существует одно и только одно конформное отображение

          (1)

области D на область  такое, что

.           (2)

 Доказательство. Докажем единственность отображения (1) при заданных условиях нормировки (2), считая, что оно существует.

Рассмотрим сначала частный случай, когда области D и  - единичные круги  и , а . В этом случае мы должны показать, что если  осуществляет конформное отображение круга  на круг , причем  и , то .

Доказательство основано на лемме Шварца. Т.к. при  имеем  ибо  отображает круг  на круг , то по этой лемме .

Применяя то же рассуждение к функции, обратной к , получим . Поэтому , и по той же лемме . Т.к. по условию f’(0)>0, то  и .

Перейдем к общему случаю. Допустим, что существуют два конформных отображения D и :

,

удовлетворяющих условиям

.

Отобразим конформно круг  на область D с помощью функции

,

а область  на круг  с помощью функции

.

Очевидно, функции  осуществляют конформные отображения круга  на круг  с нормировкой

,

т.к.

,

, т.е.

.

По доказанному выше , т.е. , но тогда и , и единственность отображения доказана.

Теорема (Обобщение теоремы Лиувилля). Если функция  аналитична в открытой плоскости и не принимает значений, лежащих на некоторой дуге , то она постоянна.

Доказательство. Пусть  - функция, реализующая конформное отображение внешности кривой  на внутренность единичного круга (она существует по теореме Римана и, естественно не постоянна). Рассмотрим сложную функцию , она аналитична в открытой плоскости и все ее значения лежат внутри единичного круга, следовательно, по теореме Лиувилля эта функция постоянна. Но если , то и . Что и требовалось доказать.

В частности, например, , если она аналитична в открытой плоскости и все ее значения лежат в некоторой полуплоскости (тогда она не принимает значений, лежащих на любой дуге в дополнительной полуплоскости).

Теорема 2 (принцип соответствия границ). Пусть даны две односвязные области D и  с границами C и , причем область  ограничена. Если функция

  1.  аналитична в D и непрерывна в ,
  2.  осуществляет взаимно однозначное отображение C на   с сохранением обхода,

то она осуществляет и (однолистное) конформное отображение области D на .

Доказательство. Для доказательства воспользуемся принципом аргумента. Для любого комплексного значения , которое  не принимает на границе C области D, число  - точек функции  внутри D равно

,

где  есть полное изменение , когда z обходит контур C (число полюсов  в области D равно 0, т.к.  непрерывна).

В силу взаимной однозначности и непрерывности соответствия между точками контуров C и  имеем:

.

Но очевидно,  для всех точек , лежащих внутри  и равно 0 для всех точек, лежащих вне . Следовательно, для всех точек , лежащих внутри , . Таким образом функция  принимает в D один и только один раз любое значение из  и не принимает никаких других значений, т.е. осуществляет однолистное отображение D на .

Что и требовалось доказать.

Пример №1:

Функция , или в полярных координатах , переводит окружность  в кардиоиду

.

По принципу соответствия границ функция  осуществляет конформное отображение внутренности этой окружности на внутренность кардиоиды (см. рис.).

Пример №2:

Функция , или , где  переводит ту же окружность в ветвь лемнискаты .

По принципу соответствия границ функция  осуществляет отображение внутренности этой окружности на внутренность правой ветви лемнискаты.

            

                                                  

 

   

* Сохраняющие форму.

* Отображение  называется конформным отображением второго рода (или квазиморфным), если его главная линейная часть является ортогональным преобразованием, меняющим ориентацию.

* Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что под углом между кривыми понимается угол между их касательными и что главная линейная часть дифференцируемого отображения переводит касательную к кривой  в касательную к кривой .

* Напомним, что однолистной называется взаимно однозначная функция  (т.е. такая функция, которая однозначна на некотором множестве определения M и при этом двум различным точкам множества M всегда соответствуют различные точки множества N значений функции (множества ее изменения)).

* Например, функция Жуковского  имеет точки ветвления в  - в точках .

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31504. Грошовий ринок 156.5 KB
  Грошовий ринок Сутність та особливості функціонування грошового ринку. Структура грошового ринку та його інструменти. Міжбанківський ринок та операції що здійснюються на міжбанківському ринку. Сутність та особливості функціонування грошового ринку Грошовий ринок у ринковій економіці це система грошових відносин на фінансовому ринку яку формують банківські та спеціальні фінансовокредитні інститути що забезпечують функціонування грошових ресурсів країни їх постійне переміщення під впливом законів попиту та пропозиції.
31505. Поняття і класифікація фінансового посередництва 149.23 KB
  Типи фінансових посередників. Функції фінансових посередників. Суть значення та переваги діяльності фінансових посередників Діяльність фінансових посередників є обов'язковим атрибутом сучасної економіки. В умовах розвинутої ринкової економіки свою діяльність здійснює величезна кількість фінансових посередників які за винагороду надають різні види фінансових послуг В Україні інститут фінансового посередництва знаходиться в стадії становлення та розвитку.
31506. Цінні папери 173.5 KB
  Сутність і характерні ознаки цінних паперів. Типологізація цінних паперів. Роль цінних паперів на фінансовому ринку. Роль приватизаційних паперів на фінансовому ринку.
31507. ПОХІДНІ ЦІННІ ПАПЕРИ ТА ОСОБЛИВОСТІ ФУНКЦІОНУВАННЯ РИНКУ ПОХІДНИХ ЦІННИХ ПАПЕРІВ 171 KB
  ПОХІДНІ ЦІННІ ПАПЕРИ ТА ОСОБЛИВОСТІ ФУНКЦІОНУВАННЯ РИНКУ ПОХІДНИХ ЦІННИХ ПАПЕРІВ. У вітчизняній практиці на фінансовому ринку більш широкого застосування здобули операції з традиційними фінансовими інструментами з угодами предметом яких є грошові кошти або їх еквіваленти такі як кредиторська і дебіторська заборгованість; векселі; акції; облігації; факторинг форфейтинг фінансова оренда; гарантії кредитної лінії страхові угоди фінансового характеру тощо. Серед інструментів ринку похідних цінних паперів розрізняють сурогати цінних...
31508. Умови праці та режими праці й відпочинку 308 KB
  Умови праці та режими праці й відпочинку Зміст учбового матеріалу: 1. Умови праці та фактори їх формування 2. Нормативноправове регулювання та оцінка рівня умов праці 3. Суть працездатності людини та її залежність від режимів праці і відпочинку 4.
31509. Трудовий процес та його організація 121 KB
  Трудові процеси: суть види принципи організації Процес виробництва це єдність трудового і технологічного процесів створення певного виду продукції коли на предмет праці діє людина та знаряддя праці. Технологічний процес це цілеспрямована зміна форми розмірів стану структури положення місця предметів праці. Отже зміст трудового процесу визначається сукупністю методів і прийомів праці працівника або групи працівників потрібних для виконання роботи за всіма її стадіями які складаються з наступного: одержати завдання; інформаційна і...
31510. Міра праці та її визначення 191 KB
  Класифікація витрат робочого часу Система нормативів і норм праці. Подальше вдосконалення нормування праці передбачає: максимальне охоплення нормами праці різних видів робіт з обслуговування виробництва та управління ним; широке впровадження технічно обґрунтованих норм тобто розроблення норм виробітку часу обслуговування з урахуванням можливостей сучасної техніки й технології виробництва передових методів праці тощо; підвищення не тільки технічної а й економічної та фізіологічної обґрунтованості норм. Якщо технічне...
31511. Продуктивність праці 116 KB
  Продуктивність праці Зміст учбового матеріалу: Сутність продуктивної праці та продуктивності праці. Показники продуктивності праці та методи її вимірювання Фактори впливу на зростання продуктивності праці та їх класифікація Резервів зростання продуктивності праці їх класифікація та оцінка. Сутність продуктивності та продуктивності праці Згідно з рекомендаціями Міжнародної організації праці МОП розрізняють поняття продуктивність і продуктивність праці. Продуктивність це ефективність використання ресурсів праці капіталу...
31512. Політика доходів та сутність заробітної плати 232 KB
  Робоча сила найманих працівників на ринку праці є товаром який має вартість. На вартість робочої сили впливають результати праці власника робочої сили. Вартість робочої сили формується на ринку через порівняння результативності корисності праці із затратами на відтворення робочої сили. Вона встановлюється на рівні який узгоджує граничну продуктивність праці тобто цінність послуг праці для покупцяпідприємця з витратами які потрібні для відтворення робочої сили.