22360

Конформные отображения. Понятие конформного отображения

Лекция

Математика и математический анализ

Предположим что задано непрерывное и взаимно однозначное отображение области D на некоторую область . Геометрически эта замена равносильна замене отображения отображением 3 которое называется главной линейной частью отображения 1. Отображение 3 можно переписать в виде 4 где: 5 не зависят от x и y. Отображение 4 представляет собой так называемое линейное аффинное преобразование плоскости .

Русский

2013-08-04

1.86 MB

89 чел.

Конформные* отображения.

Понятие конформного отображения.

Предположим, что задано непрерывное и взаимно однозначное отображение области D на некоторую область

.         (1)

Предположим еще, что функции  и  дифференцируемы в области D. Фиксируем произвольную точку  и в окрестности этой точки заменим приращения функций U и V дифференциалами.

По определению дифференциала

    (2)

где частные производные берутся в точке , , а 1 и 2 стремятся к нулю при r0.(Предполагаем, что ). Замена приращений (2) дифференциалами сводится к отбрасыванию членов 1(r) и 2(r), которые являются малыми более высокого порядка, чем остальные члены этих формул. Геометрически эта замена равносильна замене отображения  отображением

         (3)

которое называется главной линейной частью отображения (1). Отображение (3) можно переписать в виде

         (4)

где:

           (5)

не зависят от x и y. Отображение (4) представляет собой так называемое линейное (аффинное) преобразование плоскости .

Отметим основные свойства линейных преобразований:

Каждое линейное преобразование (4) однозначно определено во всей плоскости z; пусть определитель  (если , то говорят, что отображение (4) вырождается); тогда обратное к (4) преобразование

     (6)

также однозначно определено во всей плоскости . Таким образом, при  преобразование (4) осуществляет взаимно однозначное отображение всей плоскости z на всю плоскость .

Рассмотрим пучок параллельных в плоскости z с угловым коэффициентом , т.е. прямых . Заменяя здесь x и y по формулам (6), мы видим, что этому пучку соответствует пучок также параллельных прямых  с угловым коэффициентом . Отсюда следует, что отображение (4) преобразует квадраты на плоскости z в параллелограммы на плоскости.

Пусть  и   - пара точек, соответствующих друг другу при отображении (4). Тогда это отображение можно переписать в виде (см. (4) и (5))

         (7)

а обратное ему – в виде

      (8)

Из (8) видно, что окружности с центром в точке :

,

при отображении (4) переходят в эллипсы с центром в точке :

.  (9)

Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты преобразования (4) для того, чтобы оно переводило окружность снова в окружность? Из (9) видно, что для этого необходимо и достаточно выполнение условий:

.        (10)

Первое из них дает , откуда . Подставляя это во второе уравнение (10), получим , т.е. .

Случай  приводит к соотношению

 (т.е. ).      (11)

В этом случае . Положим

,

это можно сделать, т.к. . Тогда преобразование (4) примет вид

, т.е.

.

Мы имеем, таким образом, линейную функцию комплексной переменной

,         (12)

где

.        (13)

Отсюда видно, что при условиях (11) линейное преобразование сводится к сдвигу плоскости z на вектор , повороту на угол  и подобному растяжению с коэффициентом  (см. II лекцию).

В случае  имеем:

         (14)

и . Повторяя проделанные выкладки, получим, что преобразование (4) сводится к следующему:

.        (15)

Таким образом, при условии (14) к перечисленным выше преобразованиям добавляется еще переход от  к , т.е. симметрия относительно действительной оси.

Из геометрического смысла преобразований (12) и (15) ясно, что они сохраняют подобие фигур, в частности, сохраняют углы между прямыми, преобразуют квадраты на плоскости z в квадраты на плоскости  и т.д.

Линейные преобразования, обладающие этим свойством, называются ортогональными. Таким образом, условия (10) есть условия ортогональности преобразования (4). Далее ясно, что преобразование (12) сохраняет направление обхода замкнутых контуров (сохраняет ориентацию), а (15) – меняет их на противоположные (меняет ориентацию).

Таким образом, условия (11) выделяют ортогональные преобразования, сохраняющие ориентацию, а условие (14) – ортогональные преобразования, меняющие ее.

Вернемся к произвольным отображениям. Взаимно однозначное отображение

       (1)

области D на область  называется конформным, если в окрестности любой точки  главная линейная часть этого отображения есть ортогональное преобразование, сохраняющее ориентацию*.

Из этого определения вытекают два основных свойства конформных отображений:

  1.  Конформное отображение преобразует бесконечно малые окружности в окружности с точностью до малых высших порядков (круговое свойство).
  2.  Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).

Первое свойство означает, что при малых  окружность  переходит в кривую  такую, что расстояние любой ее точки от окружности , проведенной через любую точку кривой  - образа C при рассматриваемом отображении, является малой высшего порядка относительно . Второе свойство означает, что угол в точке  между любыми кривыми  и  равен углу в точке  между образами  и  этих кривых*.

                               

                                                                                   

                                                                                               

                                                               

                                                                                    

                                                                                  

                                                     С                                            

                                                                                                        

 

;

Учитывая формулы (5) и (11), условия конформности отображения (1) можно записать в виде

,          (16)

причем должно быть

,       (17)

ибо при  главная линейная часть отображения  вырождается, что противоречит условию конформности. Таким образом, условия конформности совпадают с условиями Коши-Римана дифференцируемости (аналитичнсти) функции  в области D, причем уравнение (17) показывает, что производная  должна быть всюду отличной от нуля.

Далее имеем

,  

откуда легко получить геометрическую интерпретацию производной от функции комплексного переменного. Имеем:

,       (18)

т.е. модуль и аргумент производной  означают соответственно коэффициент растяжения и угол поворота главной линейной части отображения  в точке z, иначе говоря, коэффициент растяжения и угол поворота самого отображения  в точке z.

Таким образом, справедливо следующее утверждение:

 Для того, чтобы функция  реализовала конформное отображение области D, необходимо и достаточно, чтобы в этой области она была 1) однолистной*, 2) аналитической, 3) чтобы всюду в D производная  была отлична от нуля.

Заметим, что если , то в окрестности точки  тейлоровское разложение разности  имеет вид

,     (19)

где  и . Отсюда следует, что при малых  отображение, осуществляемое функцией , отличается на малые высшего порядка от отображения

.       ( 20)

Но отображение, обратное к (20), имеет в  точку ветвления n-го порядка, т.е. отображение (20) неоднолистно в окрестности точки . Следовательно, и отображение  неоднолистно в окрестности . Таким образом, условие 3) в приведенном утверждение можно отбросить т.к. оно следует из 1).  

Отметим также, что, обратно, условие  обеспечивает однолистность отображения в достаточно малой окрестности точки  - это доказывается так же, как и предыдущее утверждение (см. теорему об обращении рядов). Однако, если условие  выполняется в каждой точке области D, то отсюда еще не следует однолистность отображения во всей этой области даже при условии ее односвязности. Например, в разрезанном кольце ,  отображение , очевидно, неоднолистно, но в любой точке этого кольца .

Рассмотрим теперь однозначную, но неоднолистную функцию  в области D. Такая функция реализует взаимно однозначное отображение области D на риманову поверхность R обратной функции . Пусть точка P поверхности R, лежащая над точкой  отличается отточки ветвления и пусть точке P соответствует некоторая точка . Это означает, что существует ветвь  многозначной функции  такая, что . В точке  производная , т.к. в противном случае, как видно из разложения (19) P была бы точкой ветвления поверхности R. Таким образом, функция  реализует взаимно однозначное отображение достаточно малой окрестности точки  на окрестности точки . Это отображение будет, очевидно, конформным.

Итак, функция , однозначная, но не однолистная в области D, реализует отображение, конформное в достаточно малой окрестности каждой точки , для которой .

Точки, где , а также их образы на римановых поверхностях будем называть точками ветвления*.

Основная задача теории конформных отображений.

Имея произвольную аналитическую функцию, мы можем рассматривать различные конформные отображения, осуществляемые ею. Любая область D,в которой эта функция однолистна, с помощью этой функции конформно отображается на некоторую область . Таким образом мы можем получить различные примеры конформных отображений, геометрически иллюстрирующих данную функцию.

Для практических целей большой интерес представляет обратная задача (основная закон теории конформных отображений):

Заданы области D и ; требуется построить функцию, осуществляющую конформное отображение одной из этих областей на другую.

Выясним сначала общие условия существования конформного отображения и его единственности.

Например, нельзя многосвязную область взаимно однозначно отобразить на односвязную. Действительно, предположим, что такое отображение многосвязной области D на односвязную область  существует. Возьмем в D замкнутую кривую C, содержащую внутри внешние или граничные точки D (такая кривая всегда существует). Рассматриваемое отображение переведет C в замкнутую кривую , лежащую в . Если внутри области  непрерывным образом стягивать кривую  в какую-нибудь точку , то в силу взаимно однозначности отображения кривая C должна, оставаясь внутри области D, стягиваться непрерывным образом в некоторую точку D, что, очевидно, невозможно, т.к. внутри контура C лежат точки, не принадлежащие к D.

Далее, нельзя, например, конформно отобразить полную или открытую плоскость z на ограниченную область  плоскости . В самом деле; если бы существовало такое отображение, то функция , его реализующая была бы аналитической во всей открытой плоскости и в тоже время ограниченной, т.к. все значения этой функции лежат в области , но тогда по теореме Лиувилля , что невозможно.

Имеет место следующая теорема:

Теорема 1 (Римана). Каковы бы ни были односвязные области D и  (с границами, состоящими более, чем из одной точки) и как бы ни были заданы точки  и  и действительное число , существует одно и только одно конформное отображение

          (1)

области D на область  такое, что

.           (2)

 Доказательство. Докажем единственность отображения (1) при заданных условиях нормировки (2), считая, что оно существует.

Рассмотрим сначала частный случай, когда области D и  - единичные круги  и , а . В этом случае мы должны показать, что если  осуществляет конформное отображение круга  на круг , причем  и , то .

Доказательство основано на лемме Шварца. Т.к. при  имеем  ибо  отображает круг  на круг , то по этой лемме .

Применяя то же рассуждение к функции, обратной к , получим . Поэтому , и по той же лемме . Т.к. по условию f’(0)>0, то  и .

Перейдем к общему случаю. Допустим, что существуют два конформных отображения D и :

,

удовлетворяющих условиям

.

Отобразим конформно круг  на область D с помощью функции

,

а область  на круг  с помощью функции

.

Очевидно, функции  осуществляют конформные отображения круга  на круг  с нормировкой

,

т.к.

,

, т.е.

.

По доказанному выше , т.е. , но тогда и , и единственность отображения доказана.

Теорема (Обобщение теоремы Лиувилля). Если функция  аналитична в открытой плоскости и не принимает значений, лежащих на некоторой дуге , то она постоянна.

Доказательство. Пусть  - функция, реализующая конформное отображение внешности кривой  на внутренность единичного круга (она существует по теореме Римана и, естественно не постоянна). Рассмотрим сложную функцию , она аналитична в открытой плоскости и все ее значения лежат внутри единичного круга, следовательно, по теореме Лиувилля эта функция постоянна. Но если , то и . Что и требовалось доказать.

В частности, например, , если она аналитична в открытой плоскости и все ее значения лежат в некоторой полуплоскости (тогда она не принимает значений, лежащих на любой дуге в дополнительной полуплоскости).

Теорема 2 (принцип соответствия границ). Пусть даны две односвязные области D и  с границами C и , причем область  ограничена. Если функция

  1.  аналитична в D и непрерывна в ,
  2.  осуществляет взаимно однозначное отображение C на   с сохранением обхода,

то она осуществляет и (однолистное) конформное отображение области D на .

Доказательство. Для доказательства воспользуемся принципом аргумента. Для любого комплексного значения , которое  не принимает на границе C области D, число  - точек функции  внутри D равно

,

где  есть полное изменение , когда z обходит контур C (число полюсов  в области D равно 0, т.к.  непрерывна).

В силу взаимной однозначности и непрерывности соответствия между точками контуров C и  имеем:

.

Но очевидно,  для всех точек , лежащих внутри  и равно 0 для всех точек, лежащих вне . Следовательно, для всех точек , лежащих внутри , . Таким образом функция  принимает в D один и только один раз любое значение из  и не принимает никаких других значений, т.е. осуществляет однолистное отображение D на .

Что и требовалось доказать.

Пример №1:

Функция , или в полярных координатах , переводит окружность  в кардиоиду

.

По принципу соответствия границ функция  осуществляет конформное отображение внутренности этой окружности на внутренность кардиоиды (см. рис.).

Пример №2:

Функция , или , где  переводит ту же окружность в ветвь лемнискаты .

По принципу соответствия границ функция  осуществляет отображение внутренности этой окружности на внутренность правой ветви лемнискаты.

            

                                                  

 

   

* Сохраняющие форму.

* Отображение  называется конформным отображением второго рода (или квазиморфным), если его главная линейная часть является ортогональным преобразованием, меняющим ориентацию.

* Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что под углом между кривыми понимается угол между их касательными и что главная линейная часть дифференцируемого отображения переводит касательную к кривой  в касательную к кривой .

* Напомним, что однолистной называется взаимно однозначная функция  (т.е. такая функция, которая однозначна на некотором множестве определения M и при этом двум различным точкам множества M всегда соответствуют различные точки множества N значений функции (множества ее изменения)).

* Например, функция Жуковского  имеет точки ветвления в  - в точках .

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50378. Изучение физического маятника. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника 96.5 KB
  Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника. Установив любое значение длины математического маятника l расстояние от точки подвеса до черты нанесенной на шарик в интервале 3040 см. В результате получится набор значений периодов колебаний Т соответствующих длинам маятника l1 где i – номер опыта.
50380. Колебания в наклонном маятнике 897.5 KB
  Эксперементальное определение среднего значения периода: Тсвоб свободных колебаний; Ткрут крутильных колебаний в зависимости от выбранной модели. Экспериментальное определение зависимости периода Ткач ß колебаний с качанием наклонного маятника от значения угла наклона ß плоскости колебаний.Сравнение экспериментально установленной зависимости периода Ткачß колебаний с качением от значения угла наклона β плоскости колебаний с теоретическими моделями различной степени сложности. МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЯ ПЕРИОДА СВОБОДНЫХ...
50382. Диск Максвелла. Учебно-методическая разработка 358 KB
  Диск Максвелла представляет собой достаточно массивный диск, насаженный на ось небольшого радиуса . На ось симметрично наматываются две нити. Если диск отпустить он начнет попеременно двигаться вверх-вниз, совершая своеобразные колебания — отсюда и его второе название: маятник Максвелла.
50384. Алжирская Народная Демократическая Республика — АНДР 219.5 KB
  Каменные орудия эпохи нижнего и среднего палеолита, найденные на территории Алжира, свидетельствуют о жизни здесь первобытных людей 300—400 тыс. лет назад.