22360

Конформные отображения. Понятие конформного отображения

Лекция

Математика и математический анализ

Предположим что задано непрерывное и взаимно однозначное отображение области D на некоторую область . Геометрически эта замена равносильна замене отображения отображением 3 которое называется главной линейной частью отображения 1. Отображение 3 можно переписать в виде 4 где: 5 не зависят от x и y. Отображение 4 представляет собой так называемое линейное аффинное преобразование плоскости .

Русский

2013-08-04

1.86 MB

89 чел.

Конформные* отображения.

Понятие конформного отображения.

Предположим, что задано непрерывное и взаимно однозначное отображение области D на некоторую область

.         (1)

Предположим еще, что функции  и  дифференцируемы в области D. Фиксируем произвольную точку  и в окрестности этой точки заменим приращения функций U и V дифференциалами.

По определению дифференциала

    (2)

где частные производные берутся в точке , , а 1 и 2 стремятся к нулю при r0.(Предполагаем, что ). Замена приращений (2) дифференциалами сводится к отбрасыванию членов 1(r) и 2(r), которые являются малыми более высокого порядка, чем остальные члены этих формул. Геометрически эта замена равносильна замене отображения  отображением

         (3)

которое называется главной линейной частью отображения (1). Отображение (3) можно переписать в виде

         (4)

где:

           (5)

не зависят от x и y. Отображение (4) представляет собой так называемое линейное (аффинное) преобразование плоскости .

Отметим основные свойства линейных преобразований:

Каждое линейное преобразование (4) однозначно определено во всей плоскости z; пусть определитель  (если , то говорят, что отображение (4) вырождается); тогда обратное к (4) преобразование

     (6)

также однозначно определено во всей плоскости . Таким образом, при  преобразование (4) осуществляет взаимно однозначное отображение всей плоскости z на всю плоскость .

Рассмотрим пучок параллельных в плоскости z с угловым коэффициентом , т.е. прямых . Заменяя здесь x и y по формулам (6), мы видим, что этому пучку соответствует пучок также параллельных прямых  с угловым коэффициентом . Отсюда следует, что отображение (4) преобразует квадраты на плоскости z в параллелограммы на плоскости.

Пусть  и   - пара точек, соответствующих друг другу при отображении (4). Тогда это отображение можно переписать в виде (см. (4) и (5))

         (7)

а обратное ему – в виде

      (8)

Из (8) видно, что окружности с центром в точке :

,

при отображении (4) переходят в эллипсы с центром в точке :

.  (9)

Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты преобразования (4) для того, чтобы оно переводило окружность снова в окружность? Из (9) видно, что для этого необходимо и достаточно выполнение условий:

.        (10)

Первое из них дает , откуда . Подставляя это во второе уравнение (10), получим , т.е. .

Случай  приводит к соотношению

 (т.е. ).      (11)

В этом случае . Положим

,

это можно сделать, т.к. . Тогда преобразование (4) примет вид

, т.е.

.

Мы имеем, таким образом, линейную функцию комплексной переменной

,         (12)

где

.        (13)

Отсюда видно, что при условиях (11) линейное преобразование сводится к сдвигу плоскости z на вектор , повороту на угол  и подобному растяжению с коэффициентом  (см. II лекцию).

В случае  имеем:

         (14)

и . Повторяя проделанные выкладки, получим, что преобразование (4) сводится к следующему:

.        (15)

Таким образом, при условии (14) к перечисленным выше преобразованиям добавляется еще переход от  к , т.е. симметрия относительно действительной оси.

Из геометрического смысла преобразований (12) и (15) ясно, что они сохраняют подобие фигур, в частности, сохраняют углы между прямыми, преобразуют квадраты на плоскости z в квадраты на плоскости  и т.д.

Линейные преобразования, обладающие этим свойством, называются ортогональными. Таким образом, условия (10) есть условия ортогональности преобразования (4). Далее ясно, что преобразование (12) сохраняет направление обхода замкнутых контуров (сохраняет ориентацию), а (15) – меняет их на противоположные (меняет ориентацию).

Таким образом, условия (11) выделяют ортогональные преобразования, сохраняющие ориентацию, а условие (14) – ортогональные преобразования, меняющие ее.

Вернемся к произвольным отображениям. Взаимно однозначное отображение

       (1)

области D на область  называется конформным, если в окрестности любой точки  главная линейная часть этого отображения есть ортогональное преобразование, сохраняющее ориентацию*.

Из этого определения вытекают два основных свойства конформных отображений:

  1.  Конформное отображение преобразует бесконечно малые окружности в окружности с точностью до малых высших порядков (круговое свойство).
  2.  Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).

Первое свойство означает, что при малых  окружность  переходит в кривую  такую, что расстояние любой ее точки от окружности , проведенной через любую точку кривой  - образа C при рассматриваемом отображении, является малой высшего порядка относительно . Второе свойство означает, что угол в точке  между любыми кривыми  и  равен углу в точке  между образами  и  этих кривых*.

                               

                                                                                   

                                                                                               

                                                               

                                                                                    

                                                                                  

                                                     С                                            

                                                                                                        

 

;

Учитывая формулы (5) и (11), условия конформности отображения (1) можно записать в виде

,          (16)

причем должно быть

,       (17)

ибо при  главная линейная часть отображения  вырождается, что противоречит условию конформности. Таким образом, условия конформности совпадают с условиями Коши-Римана дифференцируемости (аналитичнсти) функции  в области D, причем уравнение (17) показывает, что производная  должна быть всюду отличной от нуля.

Далее имеем

,  

откуда легко получить геометрическую интерпретацию производной от функции комплексного переменного. Имеем:

,       (18)

т.е. модуль и аргумент производной  означают соответственно коэффициент растяжения и угол поворота главной линейной части отображения  в точке z, иначе говоря, коэффициент растяжения и угол поворота самого отображения  в точке z.

Таким образом, справедливо следующее утверждение:

 Для того, чтобы функция  реализовала конформное отображение области D, необходимо и достаточно, чтобы в этой области она была 1) однолистной*, 2) аналитической, 3) чтобы всюду в D производная  была отлична от нуля.

Заметим, что если , то в окрестности точки  тейлоровское разложение разности  имеет вид

,     (19)

где  и . Отсюда следует, что при малых  отображение, осуществляемое функцией , отличается на малые высшего порядка от отображения

.       ( 20)

Но отображение, обратное к (20), имеет в  точку ветвления n-го порядка, т.е. отображение (20) неоднолистно в окрестности точки . Следовательно, и отображение  неоднолистно в окрестности . Таким образом, условие 3) в приведенном утверждение можно отбросить т.к. оно следует из 1).  

Отметим также, что, обратно, условие  обеспечивает однолистность отображения в достаточно малой окрестности точки  - это доказывается так же, как и предыдущее утверждение (см. теорему об обращении рядов). Однако, если условие  выполняется в каждой точке области D, то отсюда еще не следует однолистность отображения во всей этой области даже при условии ее односвязности. Например, в разрезанном кольце ,  отображение , очевидно, неоднолистно, но в любой точке этого кольца .

Рассмотрим теперь однозначную, но неоднолистную функцию  в области D. Такая функция реализует взаимно однозначное отображение области D на риманову поверхность R обратной функции . Пусть точка P поверхности R, лежащая над точкой  отличается отточки ветвления и пусть точке P соответствует некоторая точка . Это означает, что существует ветвь  многозначной функции  такая, что . В точке  производная , т.к. в противном случае, как видно из разложения (19) P была бы точкой ветвления поверхности R. Таким образом, функция  реализует взаимно однозначное отображение достаточно малой окрестности точки  на окрестности точки . Это отображение будет, очевидно, конформным.

Итак, функция , однозначная, но не однолистная в области D, реализует отображение, конформное в достаточно малой окрестности каждой точки , для которой .

Точки, где , а также их образы на римановых поверхностях будем называть точками ветвления*.

Основная задача теории конформных отображений.

Имея произвольную аналитическую функцию, мы можем рассматривать различные конформные отображения, осуществляемые ею. Любая область D,в которой эта функция однолистна, с помощью этой функции конформно отображается на некоторую область . Таким образом мы можем получить различные примеры конформных отображений, геометрически иллюстрирующих данную функцию.

Для практических целей большой интерес представляет обратная задача (основная закон теории конформных отображений):

Заданы области D и ; требуется построить функцию, осуществляющую конформное отображение одной из этих областей на другую.

Выясним сначала общие условия существования конформного отображения и его единственности.

Например, нельзя многосвязную область взаимно однозначно отобразить на односвязную. Действительно, предположим, что такое отображение многосвязной области D на односвязную область  существует. Возьмем в D замкнутую кривую C, содержащую внутри внешние или граничные точки D (такая кривая всегда существует). Рассматриваемое отображение переведет C в замкнутую кривую , лежащую в . Если внутри области  непрерывным образом стягивать кривую  в какую-нибудь точку , то в силу взаимно однозначности отображения кривая C должна, оставаясь внутри области D, стягиваться непрерывным образом в некоторую точку D, что, очевидно, невозможно, т.к. внутри контура C лежат точки, не принадлежащие к D.

Далее, нельзя, например, конформно отобразить полную или открытую плоскость z на ограниченную область  плоскости . В самом деле; если бы существовало такое отображение, то функция , его реализующая была бы аналитической во всей открытой плоскости и в тоже время ограниченной, т.к. все значения этой функции лежат в области , но тогда по теореме Лиувилля , что невозможно.

Имеет место следующая теорема:

Теорема 1 (Римана). Каковы бы ни были односвязные области D и  (с границами, состоящими более, чем из одной точки) и как бы ни были заданы точки  и  и действительное число , существует одно и только одно конформное отображение

          (1)

области D на область  такое, что

.           (2)

 Доказательство. Докажем единственность отображения (1) при заданных условиях нормировки (2), считая, что оно существует.

Рассмотрим сначала частный случай, когда области D и  - единичные круги  и , а . В этом случае мы должны показать, что если  осуществляет конформное отображение круга  на круг , причем  и , то .

Доказательство основано на лемме Шварца. Т.к. при  имеем  ибо  отображает круг  на круг , то по этой лемме .

Применяя то же рассуждение к функции, обратной к , получим . Поэтому , и по той же лемме . Т.к. по условию f’(0)>0, то  и .

Перейдем к общему случаю. Допустим, что существуют два конформных отображения D и :

,

удовлетворяющих условиям

.

Отобразим конформно круг  на область D с помощью функции

,

а область  на круг  с помощью функции

.

Очевидно, функции  осуществляют конформные отображения круга  на круг  с нормировкой

,

т.к.

,

, т.е.

.

По доказанному выше , т.е. , но тогда и , и единственность отображения доказана.

Теорема (Обобщение теоремы Лиувилля). Если функция  аналитична в открытой плоскости и не принимает значений, лежащих на некоторой дуге , то она постоянна.

Доказательство. Пусть  - функция, реализующая конформное отображение внешности кривой  на внутренность единичного круга (она существует по теореме Римана и, естественно не постоянна). Рассмотрим сложную функцию , она аналитична в открытой плоскости и все ее значения лежат внутри единичного круга, следовательно, по теореме Лиувилля эта функция постоянна. Но если , то и . Что и требовалось доказать.

В частности, например, , если она аналитична в открытой плоскости и все ее значения лежат в некоторой полуплоскости (тогда она не принимает значений, лежащих на любой дуге в дополнительной полуплоскости).

Теорема 2 (принцип соответствия границ). Пусть даны две односвязные области D и  с границами C и , причем область  ограничена. Если функция

  1.  аналитична в D и непрерывна в ,
  2.  осуществляет взаимно однозначное отображение C на   с сохранением обхода,

то она осуществляет и (однолистное) конформное отображение области D на .

Доказательство. Для доказательства воспользуемся принципом аргумента. Для любого комплексного значения , которое  не принимает на границе C области D, число  - точек функции  внутри D равно

,

где  есть полное изменение , когда z обходит контур C (число полюсов  в области D равно 0, т.к.  непрерывна).

В силу взаимной однозначности и непрерывности соответствия между точками контуров C и  имеем:

.

Но очевидно,  для всех точек , лежащих внутри  и равно 0 для всех точек, лежащих вне . Следовательно, для всех точек , лежащих внутри , . Таким образом функция  принимает в D один и только один раз любое значение из  и не принимает никаких других значений, т.е. осуществляет однолистное отображение D на .

Что и требовалось доказать.

Пример №1:

Функция , или в полярных координатах , переводит окружность  в кардиоиду

.

По принципу соответствия границ функция  осуществляет конформное отображение внутренности этой окружности на внутренность кардиоиды (см. рис.).

Пример №2:

Функция , или , где  переводит ту же окружность в ветвь лемнискаты .

По принципу соответствия границ функция  осуществляет отображение внутренности этой окружности на внутренность правой ветви лемнискаты.

            

                                                  

 

   

* Сохраняющие форму.

* Отображение  называется конформным отображением второго рода (или квазиморфным), если его главная линейная часть является ортогональным преобразованием, меняющим ориентацию.

* Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что под углом между кривыми понимается угол между их касательными и что главная линейная часть дифференцируемого отображения переводит касательную к кривой  в касательную к кривой .

* Напомним, что однолистной называется взаимно однозначная функция  (т.е. такая функция, которая однозначна на некотором множестве определения M и при этом двум различным точкам множества M всегда соответствуют различные точки множества N значений функции (множества ее изменения)).

* Например, функция Жуковского  имеет точки ветвления в  - в точках .

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5182. Генетика и человек 241.5 KB
  Почему люди интересуются генетикой? Люди интересуются генетикой давно, правда, не всегда они называли вопросы наследования определенных признаков генетикой. Проще говоря, издревле человека интересовало, почему дети, как правило, похожи на своих роди...
5183. Генетика и эволюция. строение митотической хромосомы. Типы хромосом... 228.5 KB
  Строение митотической хромосомы. Типы хромосом, их число, размер. Кариотип и гиограмма. Хромосомы человека. Денверская классификация хромосом человека. В области первичной перетяжки располагается центромера – это пластинчатая структура, имею...
5185. Моногібридне та аналізуюче схрещування. Дигібридне схрещування. Інші лабораторні роботи 669.3 KB
  Моногібридне та аналізуюче схрещування. Дигібридне схрещування. Полігібридне схрещування. Взаємодія алельних генів. Взаємодія неалельних генів. Генетика статі. Успадкування ознак зчеплених зі статтю...
5186. Предмет генетики та її місце в системі природничих наук 1.24 MB
  Предмет генетики та її місце в системі природничих наук Предмет генетики та її місце в системі природничих наук Основні розділи генетики. Методи генетики. Гібридологічний аналіз, його значення. Історія генетики, її витоки, ет...
5187. Системы скрещивания. Гетерозис. Искусственный отбор 148 KB
  Системы скрещивания. Гетерозис. Искусственный отбор. План лекции: Классификация типов скрещивания. Родственное скрещивание (инбридинг). Неродственное скрещивание (аутбридинг). Отдаленная гибридизация...
5188. Генетика. Биоэкология. Методологические основы генетики. Курс лекций 644.5 KB
  Лекция 1. Методологические основы генетики Предмет генетики Понятие о наследственности и изменчивости Методы генетических исследований Значение генетики для практики Современные проблемы генетики Предмет генетики. Возра...
5189. Предмет і завдання медичної генетики. Роль спадковості в патології людини 150 KB
  Предмет і завдання медичної генетики. Роль спадковості в патології людини Предмет та завдання медичної генетики. Значення генетики для медицини. Питома вага природженої та спадкової патології у структурі захворюваності й смертності...
5190. Генетика людини. Основи загальної генетики. Курс лекций 496.5 KB
  Галузь біології, яка вивчає явища спадковості та мінливості живих організмів, називається генетикою. Наука генетика поділяється на загальну та спеціальну, або прикладну частини. Загальна генетика вивчає закони, закономірності та механізми спад...