22361

Преобразование Лапласа и ее доказательство

Лекция

Математика и математический анализ

Это утверждение вытекает непосредственно из неравенства. Отсда следует, что, если, оставаясь внутри любого угла , где сколь угодно мало, причем эта сходимость равномерна относительно. Если, в частности, аналитическая...

Русский

2015-01-19

382 KB

11 чел.

Преобразование Лапласа

Функцией-оригиналом называют любую комплексную функцию  действительного аргумента t, удовлетворяющую следующим условиям:

  1.  Функция  удовлетворяет условиям Гельдера всюду на оси t, кроме отдельных точек, где она имеет разрывы рода, причем на каждом бесконечном интервале таких точек конечное число. Это означает, что для каждого t (кроме исключительных точек) существуют положительные постоянные А, и  такие, что

                (1)

   для всех ,.

  1.  Функция =0, для всех t<0.
  2.  Существуют такие постоянные М>0,, что  для всех t

      (2).

Число  называют показателем роста (*) :для ограниченных оригиналов, очевидно, =0.

Простейшей функцией-оригиналом является так называемая единичная функция (функция Хевисайда):

Если функция  удовлетворяет условиям 1) и 3) и не удовлетворяет условию 2), то произведение

будет удолетворять  и условию 2), т.е. будет оригиналом. Для простоты записи будем, как правило, опускать множитель , полагая, что все функции, которые мы будем рассматривать, равны нулю при t<0.

(например вместо  будем писать 1, вместо  и т.д.).

Более точно в качестве показателя роста принимают нижнюю граньтаких чисел s,что остается ограниченной при .

Изображением функции (по Лапласу) называют функцию комплексной переменной , определяемую соотношением

,           (3)

где интеграл берется на положительной полуоси. Эту связь между функцией  и ее изображением  будем записывать символом

или.

Теорема 1. Для всякого оригинала  изображение определено в полуплоскости Re p>, где -показатель роста , и является в этой полуплоскости регулярной функцией.

Доказательство. В самом деле, при  Re p=s>, интеграл (3) абсолютно сходится, ибо в силу неравенства (1) и (2) он мажорируется сходящимся интегралом

         

      (4)

.
Далее, в любой полуплоскости
Re p интеграл, получающийся из интеграла (3) дифференцированием по p, сходится равномерно, ибо он так же мажорируетсясходящимся интегралом, не зависящим от p,

 (5)

Отсюда на основании теремы о равномерно сходящемся интеграле от функции двух переменных заключаем, что функция  в любой точке полуплоскости Re p> обладает производной, т.е. является регулярной функцией *). Ч.т.д.

Регулярность  в полуплоскости вытекает просто из того, что в полуплоскости  интеграл (3) сходится равномерно функция  аналитична при Re p>.

Замечание 1. Интеграл Лапласа (3) определяется вообще говоря, изображением  лишь в полуплоскости Re p>. На самом деле часто область определения изображения значительно шире этой полуплоскости. Поэтому в таких случаях можно рассматривать аналитическое продолжение изображений за прямую Re p=и пользоваться тем, что соотношения между различными изображениями, которые устанавливаются в полуплоскости сходимости соответствующих интегралов Лапласа, при таком продолжении сохраняются.

Замечание 2. Если точка p стремится к бесконечности так что Re p=s неограниченно возрастает, то :

.              (6)

Это утверждение вытекает непосредственно из неравенства (4). Отсда следует, что , если , оставаясь внутри любого угла , где сколь угодно мало, причем эта сходимость равномерна относительно . Если, в частности,  аналитическая в б.у.т., то при  по любому пути; следовательно  просто должна иметь нуль в бесконечности.

Выведем формулу, определяющую функцию-оригинал по её изображению, а затем дадим строгое её доказательство.

Рассмотрим интеграл

,                    (7)

взятый вдоль прямой , проходимый снизу, вверх. Обозначим через  и части окружности , лежащие соответственно слева и справа от прямой , а через a-ib и a+ib-концы и .

Пусть >0, т.к.  при  равномерно относительно , то по лемме Жордана

.

Следовательно, из теоремы Коши о вычетах

,

в пределе при получим:

, >0.

Если t<0, то по лемме Жордана имеем , а по теореме Коши

,

откуда в пределе при получим: ,<0.

Таким образом, интеграл (7) представляет единичную функцию.

Заменив в (7)  на , где фиксированное число, получим

.                    (8)

Подставляя в (8) , затем  и вычета второй интеграл из первого, получим представление ступенчатой функции

 

 

Аналогично для ступенчатой функции, изображенной на рисунке.

                                                  (9) где  

Если теперь увеличивать число n так, чтобы  стремиться к нулю, то  будет бесконечно малой величиной, эквивалентной , и сумма в фигурных скобках в (9) в пределе перейдет в интеграл, т.е. в пределе


Устремляя
к бесконечности и обозначая через

                          (10)

преобразование Лапласа функции , получим искомое выражение оригинала через его изображение.

                 (11)

формула (11) “обращает” формулу (10).

Теорема 2. Если функция  является оригиналом, т.е. удолетворяет условию 1)-3), а  служит ее изображением, то в любой точке t, где удолетворяет условию Гельдера, справедливо равенство

(11)

где интеграл берется вдоль любой прямой   и понимается в смысле главного значения (т.е. как предел интегрирования вдоль отрезка    (a-b, a+ib) при ).

Доказательство. Рассмотрим интеграл

Т.к. в полуплоскости  интегралсходится равномерно относительно p, то можно изменить порядок интегрирования, и мы получим

Полагая и учитывая, что  для всех t<0, получим

         (12)

Интеграл во втором слагаемом- это интеграл Эйлера он равен  при любом b>0. Таким образом, для доказательства того, что  нужно доказать, что первые слагаемые в (12) стремятся к нулю при .

Лемма. Для любой функции , интегрируемой на отрезке

Доказательство. Действительно, если  - непрерывно дифференцируема на, то интегрируем по частям

при .

Если же -производная интегрируемая функция, то для  найдется непрерывная дифференцируемая функция  такая, что

, тогда

,

где первое слагаемое справа по модулю не превосходит  для всех b (ибо ), а второе для достаточно больших b (по теореме, которая доказана). Лемма доказана.

Фиксируем теперь и перепишем первый интеграл в (12) так

Здесь второе и третье слагаемое - сходящиеся интегралы, поэтому каждый из них можно сделать по модулю <, если выбрать В достаточно большим. Можно при ? в первом слагаемом - интегрировать функции на отрезке   [-B,B], т.к. в силу условий Гельдера в окрестности  имеет

, где .

Поэтому в силу леммы первое слагаемое по модулю будет < при достаточно больших b. Таким образом, , что полностью доказывает теорему.

Теорема 3. Оригинал  вполне определяется своим изображением  с точностью до значений в точках разрыва .

Доказательство. В самом деле, по доказанному в теореме 2 значение оригинала в точке его непрерывности выражается через изображение по формуле (11). Значение оригинала в точках разрыва, очевидно, не влияют на изображение. Ч.т.д.

Следующая теорема содержит условия, достаточные для того, чтобы функция комплексных переменных служила изображением некоторого оригинала.


Теорема 4.
Если функция  аналитична в полуплоскости

, стремится к нулю при  в любой полуплоскости  равномерно относительно  arg p  и интерграл  абсолютно сходится, то  является изображением функции

    (11)

Доказательство. Фиксируем некоторое число , тогда из (11) следует:

   (13)

Во внутреннем интеграле , поэтому за знак внутреннего интеграла можно вынести множитель и оставшийся интеграл

Отсюда видно, что этот интеграл сходится равномерно относительно t, и следовательно, в формуле (13) можно изменить порядок интегрирования, то есть:

  (14)

ибо в силу того, что  и t>0, внутренний интеграл сходится и равен . Далее, в силу условий теоремы на дуге окружности имеем  при , следовательно

,

и этот интеграл  при . Отсюда следует, что прямую, интегрирования в (14) можно заменить замкнутым контуром , составленным из и отрезка (a+ib,a-ib), проходимого сверху вниз (из-за минуса в (14)).

Но внутри аналитическая функция  имеет лишь одну особую точку - полюс первого порядка при с вычетом , следовательно,

 

Что и требовалось доказать.

При t<0 по лемме Жордана

,

поэтому прямую интегрирования в формуле (11) можно заменить тем же контуром . Таким образом, при t<0

,

ибо подынтегральная функция аналитична внутри .

Таким образом, условие 2) для оригинала выполняется. Далее, из (11)

,

так что и условие 3) также выполняется. На проверке условия 1) останавливаться не будем.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61788. Твір-опис “Якими фарбами я намалюю щастя” 11.82 KB
  Хто зображений на малюнку що робить як це його характеризує; які предмети речі зображено якими кольорами як вони допомагають розкрити творчий задум; уявіть що ви на місці художника як би ви зобразили цю тему що саме ви хотіли сказати своїм малюнком чи вдалося вам це зробити...
61789. Предмет астрономії. Ії розвиток та значення в житті суспільства. Методи та засоби астрономічних спостережень 304.71 KB
  Світоглядна роль усвідомлення людьми положення Землі у Всесвіті пізнання законів за якими рухаються та розвиваються космічні об’єкти. Збагачує важливими даними інші науки фізику хімію проводить дослідження речовин у станах яких неможливо досягти на Землі.
61790. Країни, національності та мови 18.44 KB
  Today we’ll imagine we are going to travel to different countries. Just imagine because in your age you can’t travel without your parents, but on the English lesson we can do it.
61791. Travelling around Кiev (екскурсія по києву) 23.81 KB
  What is your name? How old are you? Where do you live? What street do you live in? How many lessons do you have today? What is your favorite subject? Do you like to go to school? Why?
61792. Конспект уроку з гімнастики 30.14 KB
  1. Шикування 2. Повідомлення завдань уроку і техніки безпеки 3. Перешикування для виконання вправ 4. Різновиди ходьби: на на зовнішній стороні стопи на пальцях...
61793. Рухливі ігри 38.62 KB
  Основна стійка на раздва: руки дугами назовні підняти вгору. Піднятися на носки і підтягнутися вдихнути; на тричотири: руки дугами назовні опустити видихнути. стійка ноги нарізно руки на поясі на раз...
61794. Гімнастика (акробатика) 27.06 KB
  Розмикання на витягнуті руки. Стійка ноги нарізно руки за голову 12 підняти руки в гору підвестись на носки вдих; 34 опустити руки у в. стійка ноги нарізно руки на поясі 1 поворот тулуба праворуч руки в сторони долонями вгору...
61795. Символіка. Що це таке? 28.92 KB
  Мета: поглибити знання про символи; познайомити із різноманітністю символіки у нашому житті; поширити і збагатити знання учнів про народні символи України; виховувати повагу до символіки Батьківщини...
61796. Вік. Цифри. День народження 25.98 KB
  Мета: засвоєння нової лексики; формування вміння ставити запитання типу How old re you How old is she та відповідати на них; розширення кругозору учнів; розвиток мовної здогадки та мовленнєвої реакції учнів...