22361
Преобразование Лапласа и ее доказательство
Лекция
Математика и математический анализ
Это утверждение вытекает непосредственно из неравенства. Отсда следует, что, если, оставаясь внутри любого угла , где сколь угодно мало, причем эта сходимость равномерна относительно. Если, в частности, аналитическая...
Русский
2015-01-19
382 KB
13 чел.
Преобразование Лапласа
Функцией-оригиналом называют любую комплексную функцию действительного аргумента t, удовлетворяющую следующим условиям:
- Функция удовлетворяет условиям Гельдера всюду на оси t, кроме отдельных точек, где она имеет разрывы рода, причем на каждом бесконечном интервале таких точек конечное число. Это означает, что для каждого t (кроме исключительных точек) существуют положительные постоянные А, и такие, что
(1)
для всех ,.
- Функция =0, для всех t<0.
- Существуют такие постоянные М>0,, что для всех t
(2).
Число называют показателем роста (*) :для ограниченных оригиналов, очевидно, =0.
Простейшей функцией-оригиналом является так называемая единичная функция (функция Хевисайда):
Если функция удовлетворяет условиям 1) и 3) и не удовлетворяет условию 2), то произведение
будет удолетворять и условию 2), т.е. будет оригиналом. Для простоты записи будем, как правило, опускать множитель , полагая, что все функции, которые мы будем рассматривать, равны нулю при t<0.
(например вместо будем писать 1, вместо и т.д.).
Более точно в качестве показателя роста принимают нижнюю граньтаких чисел s,что остается ограниченной при .
Изображением функции (по Лапласу) называют функцию комплексной переменной , определяемую соотношением
, (3)
где интеграл берется на положительной полуоси. Эту связь между функцией и ее изображением будем записывать символом
или.
Теорема 1. Для всякого оригинала изображение определено в полуплоскости Re p>, где -показатель роста , и является в этой полуплоскости регулярной функцией.
Доказательство. В самом деле, при Re p=s>, интеграл (3) абсолютно сходится, ибо в силу неравенства (1) и (2) он мажорируется сходящимся интегралом
(4)
.
Далее, в любой полуплоскости Re p интеграл, получающийся из интеграла (3) дифференцированием по p, сходится равномерно, ибо он так же мажорируетсясходящимся интегралом, не зависящим от p,
(5)
Отсюда на основании теремы о равномерно сходящемся интеграле от функции двух переменных заключаем, что функция в любой точке полуплоскости Re p> обладает производной, т.е. является регулярной функцией *). Ч.т.д.
Регулярность в полуплоскости вытекает просто из того, что в полуплоскости интеграл (3) сходится равномерно функция аналитична при Re p>.
Замечание 1. Интеграл Лапласа (3) определяется вообще говоря, изображением лишь в полуплоскости Re p>. На самом деле часто область определения изображения значительно шире этой полуплоскости. Поэтому в таких случаях можно рассматривать аналитическое продолжение изображений за прямую Re p=и пользоваться тем, что соотношения между различными изображениями, которые устанавливаются в полуплоскости сходимости соответствующих интегралов Лапласа, при таком продолжении сохраняются.
Замечание 2. Если точка p стремится к бесконечности так что Re p=s неограниченно возрастает, то :
. (6)
Это утверждение вытекает непосредственно из неравенства (4). Отсда следует, что , если , оставаясь внутри любого угла , где сколь угодно мало, причем эта сходимость равномерна относительно . Если, в частности, аналитическая в б.у.т., то при по любому пути; следовательно просто должна иметь нуль в бесконечности.
Выведем формулу, определяющую функцию-оригинал по её изображению, а затем дадим строгое её доказательство.
Рассмотрим интеграл
, (7)
взятый вдоль прямой , проходимый снизу, вверх. Обозначим через и части окружности , лежащие соответственно слева и справа от прямой , а через a-ib и a+ib-концы и .
Пусть >0, т.к. при равномерно относительно , то по лемме Жордана
.
Следовательно, из теоремы Коши о вычетах
,
в пределе при получим:
, >0.
Если t<0, то по лемме Жордана имеем , а по теореме Коши
,
откуда в пределе при получим: ,<0.
Таким образом, интеграл (7) представляет единичную функцию.
Заменив в (7) на , где фиксированное число, получим
. (8)
Подставляя в (8) , затем и вычета второй интеграл из первого, получим представление ступенчатой функции
Аналогично для ступенчатой функции, изображенной на рисунке.
(9) где
Если теперь увеличивать число n так, чтобы стремиться к нулю, то будет бесконечно малой величиной, эквивалентной , и сумма в фигурных скобках в (9) в пределе перейдет в интеграл, т.е. в пределе
Устремляя к бесконечности и обозначая через
(10)
преобразование Лапласа функции , получим искомое выражение оригинала через его изображение.
(11)
формула (11) “обращает” формулу (10).
Теорема 2. Если функция является оригиналом, т.е. удолетворяет условию 1)-3), а служит ее изображением, то в любой точке t, где удолетворяет условию Гельдера, справедливо равенство
(11)
где интеграл берется вдоль любой прямой и понимается в смысле главного значения (т.е. как предел интегрирования вдоль отрезка (a-b, a+ib) при ).
Доказательство. Рассмотрим интеграл
Т.к. в полуплоскости интегралсходится равномерно относительно p, то можно изменить порядок интегрирования, и мы получим
Полагая и учитывая, что для всех t<0, получим
(12)
Интеграл во втором слагаемом- это интеграл Эйлера он равен при любом b>0. Таким образом, для доказательства того, что нужно доказать, что первые слагаемые в (12) стремятся к нулю при .
Лемма. Для любой функции , интегрируемой на отрезке
Доказательство. Действительно, если - непрерывно дифференцируема на, то интегрируем по частям
при .
Если же -производная интегрируемая функция, то для найдется непрерывная дифференцируемая функция такая, что
, тогда
,
где первое слагаемое справа по модулю не превосходит для всех b (ибо ), а второе для достаточно больших b (по теореме, которая доказана). Лемма доказана.
Фиксируем теперь и перепишем первый интеграл в (12) так
Здесь второе и третье слагаемое - сходящиеся интегралы, поэтому каждый из них можно сделать по модулю <, если выбрать В достаточно большим. Можно при ? в первом слагаемом - интегрировать функции на отрезке [-B,B], т.к. в силу условий Гельдера в окрестности имеет
, где .
Поэтому в силу леммы первое слагаемое по модулю будет < при достаточно больших b. Таким образом, , что полностью доказывает теорему.
Теорема 3. Оригинал вполне определяется своим изображением с точностью до значений в точках разрыва .
Доказательство. В самом деле, по доказанному в теореме 2 значение оригинала в точке его непрерывности выражается через изображение по формуле (11). Значение оригинала в точках разрыва, очевидно, не влияют на изображение. Ч.т.д.
Следующая теорема содержит условия, достаточные для того, чтобы функция комплексных переменных служила изображением некоторого оригинала.
Теорема 4. Если функция аналитична в полуплоскости
, стремится к нулю при в любой полуплоскости равномерно относительно arg p и интерграл абсолютно сходится, то является изображением функции
(11)
Доказательство. Фиксируем некоторое число , тогда из (11) следует:
(13)
Во внутреннем интеграле , поэтому за знак внутреннего интеграла можно вынести множитель и оставшийся интеграл
Отсюда видно, что этот интеграл сходится равномерно относительно t, и следовательно, в формуле (13) можно изменить порядок интегрирования, то есть:
(14)
ибо в силу того, что и t>0, внутренний интеграл сходится и равен . Далее, в силу условий теоремы на дуге окружности имеем при , следовательно
,
и этот интеграл при . Отсюда следует, что прямую, интегрирования в (14) можно заменить замкнутым контуром , составленным из и отрезка (a+ib,a-ib), проходимого сверху вниз (из-за минуса в (14)).
Но внутри аналитическая функция имеет лишь одну особую точку - полюс первого порядка при с вычетом , следовательно,
Что и требовалось доказать.
При t<0 по лемме Жордана
,
поэтому прямую интегрирования в формуле (11) можно заменить тем же контуром . Таким образом, при t<0
,
ибо подынтегральная функция аналитична внутри .
Таким образом, условие 2) для оригинала выполняется. Далее, из (11)
,
так что и условие 3) также выполняется. На проверке условия 1) останавливаться не будем.
