22362

Свойства преобразования Лапласа

Лекция

Математика и математический анализ

2 Изображения аналитичны не только в области но и всюду кроме . В дальнейшем будем обозначать через оригиналы их изображения: 3 Непосредственно из свойств интегралов получаем: I. линейное пространство функцииоригинала с показателем роста изоморфно пространству изображения. Переходя к изображениям и интегрируя по частям получим .

Русский

2013-08-04

1.75 MB

20 чел.

Свойства преобразования Лапласа.

С использованием формулы (3) предыдущей лекции легко показать, что*

.     (2)

Изображения аналитичны не только в области , но и всюду кроме .

В дальнейшем будем обозначать через  оригиналы, - их изображения:

(3)         , …         

Непосредственно из свойств интегралов получаем:

I. Свойство линейности. Для любых постоянных  и

.      (2)

(Т.е. линейное пространство функции-оригинала с показателем роста  изоморфно пространству изображения).

На основании этого свойства, например, из функции (1) получаем

.      (3)

Аналогично,

.    (4)

II. Теорема подобия. Для любого постоянного

.          (5)

В самом деле, полагая , имеем

.

III. Дифференцирование оригинала. Если функция  непрерывна при  и  или вообще  является оригиналом, то

     (6)

или

,    (7)

где под  понимается правое предельное значение .

Доказательство. Переходя к изображениям и интегрируя по частям, получим

.

В силу того, что  имеем , т.е. первое слагаемое дает () (точнее ), а второе равно , т.е. формула (6) доказана. Применив формулу (6) дважды, получим:

Что и требовалось доказать. 

В частности, если , то

,      (8)

т.е. дифференцирование оригинала сводится к умножению на p его изображения.

IV. Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на  оригинала, или вообще

.       (9)

Доказательство. Так как  аналитична в полуплоскости , то ее можно дифференцировать по p, и мы получим:

,

,   (10)

что равносильно формуле (9).

В качестве примера применения свойства IV отметим, что из соотношения (1) вытекает

,       (11)

а из формул (3), (4)

.      (12)

Дальнейшие свойства преобразования Лапласа.

V. Интегрирование оригинала.

Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на p:

.     (1)

Доказательство. Прежде всего, легко проверить, что функция  вместе с  является оригиналом, т.е. удовлетворяет условиям 1) – 3).

Тогда в силу формулы (8) предыдущего раздела имеем , откуда . Что и требовалось доказать.

VI. Интегрирование изображения. Если интеграл  сходится, то он служит изображением функции :

       (2)

(интегрирование изображения равносильно делению на t оригинала).

Доказательство. В самом деле, имеем

.

Предполагая, что путь интегрирования  весь лежит в полуплоскости , получим оценку внутреннего интеграла

,

из которой ясна его равномерная сходимость относительно . Поэтому можно изменить порядок интегрирования*:

.

Что и требовалось доказать.

Пример.

Имеем (см. предыдущий раздел)

.

Воспользовавшись свойством VI, получаем

.     (3)

Аналогично

.

VII. Теорема запаздывания. Для любого положительного

      (4)

(Включение оригинала с запаздыванием на  (см. рис.) равносильно умножению изображения на ).

Доказательство:

Так как  при , то, делая замену переменных , получим, Что и требовалось доказать.

Эту теорему удобно применять при отыскании изображения функций, которые на разных участках заданы различными аналитическими выражениями.

Пример №1:

Найти изображение ступенчатой функции (см. рис.). Имеем,

.

По теореме запаздывания:

.

Справа имеем сходящуюся геометрическую прогрессию, т.к. , поэтому

.        (5)

Пример №2:

Периодический прямоугольный импульс (см. рис.) можно записать в виде

,

поэтому по теореме запаздывания

.

III. Теорема смещения. Для любого комплексного

           (6)

(«смещение» изображения на  равносильно умножению оригинала на ).

Доказательство. Имеем:

.

Что и требовалось доказать.

Теорема позволяет по известным изображениям функций находить изображение тех же функций, умноженных на экспоненту. Например:

.

Теоремы умножения.

IX. Теорема умножения изображений. Произведение двух изображений  и  также является изображением, причем

.      (1)

Доказательство. Интеграл в правой части формулы (1) является оригиналом: свойства 1) и 2) очевидны, а для доказательства 3) заметим, что если взять число  равным наибольшему из показателей роста  и , то

.

Отсюда следует, что интеграл (1) не превосходит некоторой константы, умноженной на , где  сколь угодно мало.

Рассмотрим теперь изображение интеграла (1)

.

Справа стоит двукратный интеграл, распространенный на сектор S плоскости . Т.к. при  этот двукратный интеграл абсолютно сходится, то в нем можно изменить порядок интегрирования, и мы получим (заменяя t на )

.

Что и требовалось доказать.

Интеграл в правой части формулы (1) называется сверткой функций  и  и обозначается символом

.         (2)

Теорема IX утверждает, что умножение изображения равносильно свертыванию оригиналов:

.                  (3)

Свертка оригиналов обладает свойством симметрии (формулу (1)), т.к. левая часть (3) не меняется при перемене ролей

.

X. Теорема умножения оригиналов. Пусть даны два оригинала  и  с показателями роста  и . Их произведение также является оригиналом, причем

,         (4)

где  и .

Доказательство. В самом деле, произведение , очевидно, удовлетворяет условиям 1) - 3) для оригиналов. Его изображение

.

Возьмем  и заменим  по формуле обращения:

.

Если считать еще , то будем иметь , ибо , и внутренний интеграл можно заменить через .

Теорема доказана.

Заметим, что т.к. a можно взять сколь угодно близким к , то изображение функции  определено в плоскости , где  - показатель роста этой функции.

Теоремы разложения.

XI. Первая теорема разложения. Если  правильна в бесконечно удаленной точке и имеет в ее окрестности  лорановское разложение

,               (1)

то оригиналом  служит (умноженная на ) функция

.          (2)

При этом  является целой функцией.

Доказательство. Напомним (см. предыдущую лекцию), что если  регулярна в бесконечно удаленной точке, то . Положим  и . Функция  аналитична в круге ; следовательно, неравенства Коши дают .

Из полученных неравенств для любого комплексного  имеем:

.

Отсюда следует, во-первых, что ряд (2) сходится для всех комплексных t, т.е. является целой функцией и, во-вторых, что  для положительных t. Таким образом, функция  действительно является оригиналом. В силу равномерной сходимости ряда (2) в любом конечном круге мы можем умножить его на , проинтегрировать почленно по t от 0 до любого . Если при этом , то можно почленно интегрировать от 0 до . Так как  (см. предыдущую лекцию), то мы получаем нужное разложение (1). Что и требовалось доказать.

Замечание. Можно доказать и обратное утверждение если оригинал имеет вид , где  - целая функция, имеющая конечный порядок, т.е. удовлетворяющая неравенству , то ее изображение  правильно в бесконечно удаленной точке.

XII. Вторая теорема разложения. Пусть функция : 1) мероморфна и правильна в некоторой полуплоскости ; 2) существует система окружностей , на которой   стремится к нулю равномерно относительно ; 3) для любого  абсолютно сходится . Тогда оригиналом  служит (умноженная на ) функция

,           (3)

где сумма вычетов берется по всем особым точкам  функции  в порядке неубывания их модулей.

Доказательство. В рассматриваемых условиях применима теорема 4 предыдущей лекции, согласно которой  является изображением функции

.          (4)

Оборачиваем через  замкнутый контур, составленный из отрезка  и дуги  и проходимый против часовой стрелки. Т.к. по лемме Жордана при

,

то при  вместо (4) имеем

.      (5)

Применяя теорему Коши о вычетах, получаем, что

,

где сумма берется по всем особым точкам , лежащим внутри , а это и есть нужный результат.

Следствие. Если функция  дробно рациональна, причем степень многочлена  в числителе меньше степени многочлена  в знаменателе, то оригиналом ее служит (умноженная на ) функция

,       (6)

где  - полюсы , а  - их кратности, сумма берется по всем полюсам.

Доказательство. То, что  служит изображением, немедленно следует из свойства линейности преобразования Лапласа и формул из предыдущей лекции () на основании теоремы о разложении дробно рациональной функции на простейшие дроби. Справедливость формулы (6) следует из леммы Жордана, которая применима, т.к.  при .Поэтому справедлива и формула (3), в которой ряд заменен конечной суммой. Остается воспользоваться формулой для вычисления вычетов в плюсах, и мы получим искомую формулу (6).

Напомним, что 1 и  на самом деле равно  и  соответственно


.

* Из приведенного рассуждения следует сходимость интеграла .

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63142. Чисті речовини та суміші 21.44 KB
  Мета: Сформувати в учнів уявлення про чисті речовини і суміші навчити їх розрізняти закріпити уявлення про атомномолекулярну будову речовини ознайомити з простими і складними речовинами що зустрічаються в довкіллі...
63143. Урок мужності і героїзму присвячений 70-річчю визволення Києва від німецько-фашистських загарбників 25.09 KB
  Мета: формувати в учнів початкової школи почуття патріотизму, любові до свого народу, його історії та героїчного минулого на прикладі подвигу людей, які загинули під час окупації та визволення Києва від німецько-фашистських загарбників; виховувати повагу...
63145. Тваринництво рідного краю 19.63 KB
  Мета: формувати поняття про тваринництво як галузь сільського господарства; дати знання про галузі тваринництва; розкрити їх значення для людини; виховувати патріотичне ставлення до землі рідного краю любов до України пошану до людей та їхньої праці.