22362

Свойства преобразования Лапласа

Лекция

Математика и математический анализ

2 Изображения аналитичны не только в области но и всюду кроме . В дальнейшем будем обозначать через оригиналы их изображения: 3 Непосредственно из свойств интегралов получаем: I. линейное пространство функцииоригинала с показателем роста изоморфно пространству изображения. Переходя к изображениям и интегрируя по частям получим .

Русский

2013-08-04

1.75 MB

18 чел.

Свойства преобразования Лапласа.

С использованием формулы (3) предыдущей лекции легко показать, что*

.     (2)

Изображения аналитичны не только в области , но и всюду кроме .

В дальнейшем будем обозначать через  оригиналы, - их изображения:

(3)         , …         

Непосредственно из свойств интегралов получаем:

I. Свойство линейности. Для любых постоянных  и

.      (2)

(Т.е. линейное пространство функции-оригинала с показателем роста  изоморфно пространству изображения).

На основании этого свойства, например, из функции (1) получаем

.      (3)

Аналогично,

.    (4)

II. Теорема подобия. Для любого постоянного

.          (5)

В самом деле, полагая , имеем

.

III. Дифференцирование оригинала. Если функция  непрерывна при  и  или вообще  является оригиналом, то

     (6)

или

,    (7)

где под  понимается правое предельное значение .

Доказательство. Переходя к изображениям и интегрируя по частям, получим

.

В силу того, что  имеем , т.е. первое слагаемое дает () (точнее ), а второе равно , т.е. формула (6) доказана. Применив формулу (6) дважды, получим:

Что и требовалось доказать. 

В частности, если , то

,      (8)

т.е. дифференцирование оригинала сводится к умножению на p его изображения.

IV. Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на  оригинала, или вообще

.       (9)

Доказательство. Так как  аналитична в полуплоскости , то ее можно дифференцировать по p, и мы получим:

,

,   (10)

что равносильно формуле (9).

В качестве примера применения свойства IV отметим, что из соотношения (1) вытекает

,       (11)

а из формул (3), (4)

.      (12)

Дальнейшие свойства преобразования Лапласа.

V. Интегрирование оригинала.

Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на p:

.     (1)

Доказательство. Прежде всего, легко проверить, что функция  вместе с  является оригиналом, т.е. удовлетворяет условиям 1) – 3).

Тогда в силу формулы (8) предыдущего раздела имеем , откуда . Что и требовалось доказать.

VI. Интегрирование изображения. Если интеграл  сходится, то он служит изображением функции :

       (2)

(интегрирование изображения равносильно делению на t оригинала).

Доказательство. В самом деле, имеем

.

Предполагая, что путь интегрирования  весь лежит в полуплоскости , получим оценку внутреннего интеграла

,

из которой ясна его равномерная сходимость относительно . Поэтому можно изменить порядок интегрирования*:

.

Что и требовалось доказать.

Пример.

Имеем (см. предыдущий раздел)

.

Воспользовавшись свойством VI, получаем

.     (3)

Аналогично

.

VII. Теорема запаздывания. Для любого положительного

      (4)

(Включение оригинала с запаздыванием на  (см. рис.) равносильно умножению изображения на ).

Доказательство:

Так как  при , то, делая замену переменных , получим, Что и требовалось доказать.

Эту теорему удобно применять при отыскании изображения функций, которые на разных участках заданы различными аналитическими выражениями.

Пример №1:

Найти изображение ступенчатой функции (см. рис.). Имеем,

.

По теореме запаздывания:

.

Справа имеем сходящуюся геометрическую прогрессию, т.к. , поэтому

.        (5)

Пример №2:

Периодический прямоугольный импульс (см. рис.) можно записать в виде

,

поэтому по теореме запаздывания

.

III. Теорема смещения. Для любого комплексного

           (6)

(«смещение» изображения на  равносильно умножению оригинала на ).

Доказательство. Имеем:

.

Что и требовалось доказать.

Теорема позволяет по известным изображениям функций находить изображение тех же функций, умноженных на экспоненту. Например:

.

Теоремы умножения.

IX. Теорема умножения изображений. Произведение двух изображений  и  также является изображением, причем

.      (1)

Доказательство. Интеграл в правой части формулы (1) является оригиналом: свойства 1) и 2) очевидны, а для доказательства 3) заметим, что если взять число  равным наибольшему из показателей роста  и , то

.

Отсюда следует, что интеграл (1) не превосходит некоторой константы, умноженной на , где  сколь угодно мало.

Рассмотрим теперь изображение интеграла (1)

.

Справа стоит двукратный интеграл, распространенный на сектор S плоскости . Т.к. при  этот двукратный интеграл абсолютно сходится, то в нем можно изменить порядок интегрирования, и мы получим (заменяя t на )

.

Что и требовалось доказать.

Интеграл в правой части формулы (1) называется сверткой функций  и  и обозначается символом

.         (2)

Теорема IX утверждает, что умножение изображения равносильно свертыванию оригиналов:

.                  (3)

Свертка оригиналов обладает свойством симметрии (формулу (1)), т.к. левая часть (3) не меняется при перемене ролей

.

X. Теорема умножения оригиналов. Пусть даны два оригинала  и  с показателями роста  и . Их произведение также является оригиналом, причем

,         (4)

где  и .

Доказательство. В самом деле, произведение , очевидно, удовлетворяет условиям 1) - 3) для оригиналов. Его изображение

.

Возьмем  и заменим  по формуле обращения:

.

Если считать еще , то будем иметь , ибо , и внутренний интеграл можно заменить через .

Теорема доказана.

Заметим, что т.к. a можно взять сколь угодно близким к , то изображение функции  определено в плоскости , где  - показатель роста этой функции.

Теоремы разложения.

XI. Первая теорема разложения. Если  правильна в бесконечно удаленной точке и имеет в ее окрестности  лорановское разложение

,               (1)

то оригиналом  служит (умноженная на ) функция

.          (2)

При этом  является целой функцией.

Доказательство. Напомним (см. предыдущую лекцию), что если  регулярна в бесконечно удаленной точке, то . Положим  и . Функция  аналитична в круге ; следовательно, неравенства Коши дают .

Из полученных неравенств для любого комплексного  имеем:

.

Отсюда следует, во-первых, что ряд (2) сходится для всех комплексных t, т.е. является целой функцией и, во-вторых, что  для положительных t. Таким образом, функция  действительно является оригиналом. В силу равномерной сходимости ряда (2) в любом конечном круге мы можем умножить его на , проинтегрировать почленно по t от 0 до любого . Если при этом , то можно почленно интегрировать от 0 до . Так как  (см. предыдущую лекцию), то мы получаем нужное разложение (1). Что и требовалось доказать.

Замечание. Можно доказать и обратное утверждение если оригинал имеет вид , где  - целая функция, имеющая конечный порядок, т.е. удовлетворяющая неравенству , то ее изображение  правильно в бесконечно удаленной точке.

XII. Вторая теорема разложения. Пусть функция : 1) мероморфна и правильна в некоторой полуплоскости ; 2) существует система окружностей , на которой   стремится к нулю равномерно относительно ; 3) для любого  абсолютно сходится . Тогда оригиналом  служит (умноженная на ) функция

,           (3)

где сумма вычетов берется по всем особым точкам  функции  в порядке неубывания их модулей.

Доказательство. В рассматриваемых условиях применима теорема 4 предыдущей лекции, согласно которой  является изображением функции

.          (4)

Оборачиваем через  замкнутый контур, составленный из отрезка  и дуги  и проходимый против часовой стрелки. Т.к. по лемме Жордана при

,

то при  вместо (4) имеем

.      (5)

Применяя теорему Коши о вычетах, получаем, что

,

где сумма берется по всем особым точкам , лежащим внутри , а это и есть нужный результат.

Следствие. Если функция  дробно рациональна, причем степень многочлена  в числителе меньше степени многочлена  в знаменателе, то оригиналом ее служит (умноженная на ) функция

,       (6)

где  - полюсы , а  - их кратности, сумма берется по всем полюсам.

Доказательство. То, что  служит изображением, немедленно следует из свойства линейности преобразования Лапласа и формул из предыдущей лекции () на основании теоремы о разложении дробно рациональной функции на простейшие дроби. Справедливость формулы (6) следует из леммы Жордана, которая применима, т.к.  при .Поэтому справедлива и формула (3), в которой ряд заменен конечной суммой. Остается воспользоваться формулой для вычисления вычетов в плюсах, и мы получим искомую формулу (6).

Напомним, что 1 и  на самом деле равно  и  соответственно


.

* Из приведенного рассуждения следует сходимость интеграла .

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74313. Режимы нейтралей высоковольтных ЭС 77 KB
  В установках с глухозаземленной нейтралью всякое замыкание на землю является коротким замыканием и сопровождается большим током к. В установках с изолированной нейтралью замыкание одной из фаз на землю не является коротким. Кроме того при замыканиях на землю возникают значительные нескомпенсированные магнитные потоки нулевой последовательности которые необходимо учитывать вследствие их влияния на установки связи.Трехфазная сеть с глухозаземленной нейтралью В установках с изолированной нейтралью при замыкании на землю одной из фаз треугольник...