22363

Основной принцип теории пределов

Лекция

Математика и математический анализ

Существует одна и только одна точка которая принадлежит всем отрезкам данной последовательности. Следовательно двух точек общих всем отрезкам нашей последовательности существовать не может; существование же одной такой точки доказано в теории иррациональных чисел. Существует единственная точка принадлежащая всем прямоугольникам данной последовательности. Пусть имеется бесконечная последовательность комплексных чисел 1 Число z называется предельным числом последовательности 1 если...

Русский

2013-08-04

635.5 KB

1 чел.

Пределы.

Основной принцип теории пределов.

Принцип вложенных отрезков.

Пусть на числовой прямой дана последовательность отрезков  с концами в точках (),(),…,(),… соответственно,  каждый из которых содержит последующий. Пусть длины этих отрезков стремятся к нулю при неограниченном возрастании номера n.

Существует одна и только одна точка, которая принадлежит всем отрезкам данной последовательности.

В самом деле, пусть имеется две таких точки: s и . Тогда длины всех отрезков были бы не меньше положительного расстояния между точками s и , что невозможно, т.к. с неограниченным возрастанием n длина отрезка  стремится к нулю. Следовательно, двух точек, общих всем отрезкам нашей последовательности, существовать не может; существование же одной такой точки доказано в теории иррациональных чисел.

Этот принцип, принцип вложенных отрезков, выражает свойства непрерывности числовой прямой.

Принцип вложенных прямоугольников.

Пусть теперь на плоскости дана последовательность прямоугольников  со сторонами, параллельными осям координат, каждый из которых содержит последующий, и пусть диагональ прямоуголь-ника  стремится к нулю при неограниченном возрастании номера n.

Существует единственная точка, принадлежащая всем прямоугольникам данной последовательности.

Для доказательства этого принципа рассмотрим проекции всех прямоугольников  на действительную и мнимую оси. На действительной оси получим последовательность отрезков , каждый из которых содержит последующий; на мнимой оси мы также получим последовательность отрезков , таких, что каждый отрезок содержит последующий. Длины отрезков  также должны стремиться к нулю. По принципу вложенных отрезков на действительной оси существует одна точка a, принадлежащая всем отрезкам ; по тому же принципу на мнимой оси существует единственная точка b, принадлежащая всем отрезкам . Таким образом, точка плоскости с координатами (a,b) принадлежит всем прямоугольникам .

Не может существовать двух различных точек, принадлежащих всем прямоугольникам . Действительно расстояние между этими точками было бы не больше, чем диагональ прямоугольника , которая стремится к нулю при n→∞. Следовательно, эти точки совпадают.

Понятие предельной точки.

Пусть имеется бесконечная последовательность комплексных чисел

                                     (1)                  

Число z называется предельным числом последовательности (1), если для >0 неравенство  выполняется для бесконечного множества натуральных чисел n.

Будем называть любой круг с центром в точке z окрестностью этой точки. Тогда точка z есть предельная точка для последовательности точек , если в сколь угодно малой окрестности точки z лежит бесконечно много точек последовательности (1).

 Замечание. Числа последовательности (1), равные между собой, изображаются одной и той же точкой, называемой кратной точкой. Кратность точки равна числу равных чисел, изображением которых она является; в частности, кратность точки может оказаться бесконечной. Каждая точка считается за столько точек, какова её кратность.

Например, последовательность 1,0,3,0,5,0,7,… имеет единственную предельную точку 0. Последовательность может не иметь предельной точки, например, последовательность 1,2,3,…n,… Последовательность может иметь несколько предельных точек, например, последовательность  имеет две предельных точки: 0 и 1, причём первая точка не принадлежит последовательности, а вторая является её элементом.

Ограниченные и неограниченные последовательности комплексных чисел.

Последовательность комплексных чисел называ-ется ограниченной, если

модули всех чисел этой последовательности остаются меньше некоторого положительного числа M:

.

В противном случае последовательность называется неограниченной. В случае ограниченной последовательности существует круг с центром в нуле достаточно большого радиуса M, внутри которого лежат все точки данной последовательности.

Теорема 1 (Больцано-Вейерштрасса). Всякая бесконечная ограниченная последовательность точек имеет, по крайней мере, одну предельную точку.

Доказательство. Рассмотрим ограниченную последовательность точек (1). Все точки этой последовательности лежат внутри некоторого прямоугольника  со сторонами, параллельными осям координат. Разделим стороны  пополам и разобьём его на четыре конгруэнтных прямоугольника. Среди них имеется, по крайней мере, один, содержащий бесконечно много точек последовательности (1). Назовём этот прямоугольник  и снова разделим его тем же способом на четыре конгруэнтных прямоугольника. По крайней мере, в одном из них (назовём его ) будет снова лежать бесконечное множество точек данной последовательности (1). Продолжая этот процесс неограниченно, мы получим бесконечную последовательность прямоугольников , каждый из которых содержит последующий, с диагоналями, стремящимися к нулю, и таких, что каждому прямоугольнику  принадлежит бесконечное множество точек данной последовательности (каждая точка считается столько раз, какова её кратность). На основании принципа вложенных прямоугольников мы заключаем, что существует единственная точка, принадлежащая всем прямоугольникам .

 Эта точка и будет предельной для данной последовательности точек. В самом деле, описав вокруг этой точки окружность произвольного малого радиуса , мы видим, что, начиная с некоторого достаточно большого n, все прямоугольники  будут лежать внутри этой окружности, и т.к. в каждом прямоугольнике  имеется бесконечное множество точек данной последова-тельности, то и внутри проведённой окружности будет бесконечное множество таких точек. Следовательно, построенная точка и есть предельная для данной последовательности. Ч.т.д.

Понятие сходящейся последовательности комплексных чисел.

Если ограниченная последовательность чисел

                                                 (1)

имеет единственное предельное число z, то говорят, что эта последовательность сходится к числу z.

Это обозначают:

.

Таким образом, сходящаяся последовательность точек удовлетворяет двум условиям:

  1.  эта последовательность ограничена;
  2.  эта последовательность имеет единственную предельную точку.

Из определения предельной точки следует: сходимость последователь-ности чисел (1) к числу z означает, что при любом сколь угодно малом  неравенство  удовлетворяется для всех n, начиная с некоторого достаточно большого n, т.е.:

.                                                   (*)

Геометрически: последовательность точек  сходится к точке  z, если все точки этой последовательности, кроме, быть может, конечного их числа, лежат внутри сколь угодно малой окрестности точки z.

Основные теоремы теории пределов.

Пусть даны две последовательности комплексных чисел

; ,                                        (2)

сходящиеся соответственно к числам  и . Тогда, образуя новую последовательность чисел

,                                                    (3)

где положено , или , или  (в последнем случае ), мы убеждаемся, что эта последовательность (3) сходится и имеет своим пределом w, причём , или  , или  (в последнем случае предполагается, что ), т.е.:

().

Доказательство аналогично доказательству соответствующих теорем теории пределов действительных чисел.

(,

).

Теорема 2 (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность коплексных чисел (1) была сходящийся, необходимо и достаточно, чтобы для >0 N=N() такое, что неравенство

имеет место для любых натуральных чисел m.

Геометрически: последовательность точек  является сходящей лишь в том случае, если все её точки, начиная с номера N, N=N(), лежат внутри круга радиуса  с центром в точке .

Доказательство.

Необходимость. Если , то N=N() такое, что при всех nN():

.

Поскольку , то

.

По условию имеем

, ,

следовательно

при всяком .

Достаточность. Пусть условие Коши выполнено, тогда все точки последовательности (1), начиная с  лежат внутри круга радиуса  с центром в этой точке. Следовательно, последовательность точек (1) ограничена, а, следовательно, по теореме Больцано-Вейерштрасса имеет предельную точку.  Остаётся показать, что она не может иметь двух различных предельных точек A и B. Допуская противное, примем . Этому числу  соответствует натуральное число N=N() такое, что , т.е. все точки последовательности (1), начиная с , лежат внутри круга радиуса  с центром в точке . Вне этого круга может находиться лишь конечное число точек данной последовательности, и, следовательно, обе предельные точки A и B должны лежать внутри круга или на его окружности. В таком случае расстояние  должно быть не больше 2 - диаметра, но мы приняли , т.е. мы пришли к противоречию.

Таким образом, при выполнении условий Коши последовательность (1) сходится, т.е. имеет одну предельную точку.

 Следствие (из теоремы Больцано-Вейерштрасса). Из всякой бесконечной ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследо-вательность.

 Доказательство. В соответствии с теоремой Больцано-Вейерштрасса наша последовательность имеет, по крайней мере, одну предельную точку. Пусть  - одна из таких точек. Это значит, что в любой её окрестности имеется бесконечно много точек последовательности. Пусть  - некоторая точка нашей последовательности лежащая в круге , где d – диаметр круга с центром в точке , содержащего все точки нашей последовательности. Далее,  - любая точка последовательности, лежащая в круге  и т.д. Очевидно, что . Ч.т.д.

Теорема 3. Существование предела , где , равносильно существованию двух пределов:

, .

 Доказательство. Пусть существуют пределы , . Тогда из неравенства

вытекает, что существование пределов ,  влечёт за собой существование предела .

 Обратно, если имеет место соотношение (*), или, что тоже самое

,

то т.к.

,

из существования предела  следует существование  и , т.к., например,

, т.е.

.

Ч.т.д.

5

PAGE  6


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18602. Особенности технических средств в АСУТП 27.5 KB
  Особенности технических средств в АСУТП Специфические требования предъявляют к вычислительной аппаратуре работающей в составе АСУТП в цеховых условиях. Здесь используют как обычные персональные компьютеры так и специализированные программируемые логические контр...
18603. Методы доступа в локальных вычислительных сетях 31 KB
  Методы доступа в локальных вычислительных сетях Множественный доступ с контролем несущей и обнаружением конфликтов Одна из возможных сред передачи данных в ЛВС отрезок сегмент питой пары. К нему через аппаратуру окончания канала данных подключаются узлы компью
18604. Локальные вычислительные сети Ethernet 28.5 KB
  Локальные вычислительные сети Ethernet Состав аппаратуры Одной из первых среди ЛВС шинной структуры была создана сеть Ethernet разработанная фирмой Xerox. В этой сети был применен метод доступа МДКН/ОК. Позднее Ethernet стала основой стандарта IEEE 802/3. Другой вариант шинных ЛВС соот
18605. Каналы передачи данных в корпоративных сетях 41 KB
  Каналы передачи данных в корпоративных сетях Характеристики и типы каналов передачи данных Применяемые в вычислительных сетях каналы передачи данных классифицируются по ряду признаков. Вопервых по форме представления информации в виде электрических сигналов кан
18606. История САПР 26.3 KB
  История САПР Система автоматизированного проектирования САПР в англоязычном написании CAD System Computer Aided Design System это система реализующая проектирование при котором все проектные решения или их часть получают путем взаимодействия человека и ЭВМ. В настоящий момент с...
18607. ИЕРАРХИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ПРОЕКТНЫХ УРОВНЕЙ ПРОЕКТИРОВАНИЯ 33.5 KB
  ИЕРАРХИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ПРОЕКТНЫХ УРОВНЕЙ ПРОЕКТИРОВАНИЯ Выполнение проектных операций и процедур в САПР основано на оперировании математических моделей ММ. С их помощью прогнозируются характеристики и оцениваются возможности предложенных вариантов схем и констр...
18608. Требования к математическим моделям и их классификация 48 KB
  Требования к математическим моделям и их классификация Под математической моделью ММ конструкции технологического процесса и его элементов понимают систему математических соотношений описывающих с требуемой точностью изучаемый объект и его поведение в производст...
18609. МЕТОДИКА ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕМЕНТОВ 69 KB
  МЕТОДИКА ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕМЕНТОВ Получение математических моделей элементов включает в себя следующие операции: Выбор свойств объекта которые подлежат отражению в модели. Выбор основан на анализе возможных применений модели и определяет сте
18610. Иерархия математических моделей в САПР 82.5 KB
  Иерархия математических моделей в САПР Блочноиерархический подход к проектированию радиоэлектронных средств РЭС включает в качестве своей основы иерархию математических моделей. Деление моделей по иерархическим уровням уровням абстрагирования происходит по сте