22363

Основной принцип теории пределов

Лекция

Математика и математический анализ

Существует одна и только одна точка которая принадлежит всем отрезкам данной последовательности. Следовательно двух точек общих всем отрезкам нашей последовательности существовать не может; существование же одной такой точки доказано в теории иррациональных чисел. Существует единственная точка принадлежащая всем прямоугольникам данной последовательности. Пусть имеется бесконечная последовательность комплексных чисел 1 Число z называется предельным числом последовательности 1 если...

Русский

2013-08-04

635.5 KB

1 чел.

Пределы.

Основной принцип теории пределов.

Принцип вложенных отрезков.

Пусть на числовой прямой дана последовательность отрезков  с концами в точках (),(),…,(),… соответственно,  каждый из которых содержит последующий. Пусть длины этих отрезков стремятся к нулю при неограниченном возрастании номера n.

Существует одна и только одна точка, которая принадлежит всем отрезкам данной последовательности.

В самом деле, пусть имеется две таких точки: s и . Тогда длины всех отрезков были бы не меньше положительного расстояния между точками s и , что невозможно, т.к. с неограниченным возрастанием n длина отрезка  стремится к нулю. Следовательно, двух точек, общих всем отрезкам нашей последовательности, существовать не может; существование же одной такой точки доказано в теории иррациональных чисел.

Этот принцип, принцип вложенных отрезков, выражает свойства непрерывности числовой прямой.

Принцип вложенных прямоугольников.

Пусть теперь на плоскости дана последовательность прямоугольников  со сторонами, параллельными осям координат, каждый из которых содержит последующий, и пусть диагональ прямоуголь-ника  стремится к нулю при неограниченном возрастании номера n.

Существует единственная точка, принадлежащая всем прямоугольникам данной последовательности.

Для доказательства этого принципа рассмотрим проекции всех прямоугольников  на действительную и мнимую оси. На действительной оси получим последовательность отрезков , каждый из которых содержит последующий; на мнимой оси мы также получим последовательность отрезков , таких, что каждый отрезок содержит последующий. Длины отрезков  также должны стремиться к нулю. По принципу вложенных отрезков на действительной оси существует одна точка a, принадлежащая всем отрезкам ; по тому же принципу на мнимой оси существует единственная точка b, принадлежащая всем отрезкам . Таким образом, точка плоскости с координатами (a,b) принадлежит всем прямоугольникам .

Не может существовать двух различных точек, принадлежащих всем прямоугольникам . Действительно расстояние между этими точками было бы не больше, чем диагональ прямоугольника , которая стремится к нулю при n→∞. Следовательно, эти точки совпадают.

Понятие предельной точки.

Пусть имеется бесконечная последовательность комплексных чисел

                                     (1)                  

Число z называется предельным числом последовательности (1), если для >0 неравенство  выполняется для бесконечного множества натуральных чисел n.

Будем называть любой круг с центром в точке z окрестностью этой точки. Тогда точка z есть предельная точка для последовательности точек , если в сколь угодно малой окрестности точки z лежит бесконечно много точек последовательности (1).

 Замечание. Числа последовательности (1), равные между собой, изображаются одной и той же точкой, называемой кратной точкой. Кратность точки равна числу равных чисел, изображением которых она является; в частности, кратность точки может оказаться бесконечной. Каждая точка считается за столько точек, какова её кратность.

Например, последовательность 1,0,3,0,5,0,7,… имеет единственную предельную точку 0. Последовательность может не иметь предельной точки, например, последовательность 1,2,3,…n,… Последовательность может иметь несколько предельных точек, например, последовательность  имеет две предельных точки: 0 и 1, причём первая точка не принадлежит последовательности, а вторая является её элементом.

Ограниченные и неограниченные последовательности комплексных чисел.

Последовательность комплексных чисел называ-ется ограниченной, если

модули всех чисел этой последовательности остаются меньше некоторого положительного числа M:

.

В противном случае последовательность называется неограниченной. В случае ограниченной последовательности существует круг с центром в нуле достаточно большого радиуса M, внутри которого лежат все точки данной последовательности.

Теорема 1 (Больцано-Вейерштрасса). Всякая бесконечная ограниченная последовательность точек имеет, по крайней мере, одну предельную точку.

Доказательство. Рассмотрим ограниченную последовательность точек (1). Все точки этой последовательности лежат внутри некоторого прямоугольника  со сторонами, параллельными осям координат. Разделим стороны  пополам и разобьём его на четыре конгруэнтных прямоугольника. Среди них имеется, по крайней мере, один, содержащий бесконечно много точек последовательности (1). Назовём этот прямоугольник  и снова разделим его тем же способом на четыре конгруэнтных прямоугольника. По крайней мере, в одном из них (назовём его ) будет снова лежать бесконечное множество точек данной последовательности (1). Продолжая этот процесс неограниченно, мы получим бесконечную последовательность прямоугольников , каждый из которых содержит последующий, с диагоналями, стремящимися к нулю, и таких, что каждому прямоугольнику  принадлежит бесконечное множество точек данной последовательности (каждая точка считается столько раз, какова её кратность). На основании принципа вложенных прямоугольников мы заключаем, что существует единственная точка, принадлежащая всем прямоугольникам .

 Эта точка и будет предельной для данной последовательности точек. В самом деле, описав вокруг этой точки окружность произвольного малого радиуса , мы видим, что, начиная с некоторого достаточно большого n, все прямоугольники  будут лежать внутри этой окружности, и т.к. в каждом прямоугольнике  имеется бесконечное множество точек данной последова-тельности, то и внутри проведённой окружности будет бесконечное множество таких точек. Следовательно, построенная точка и есть предельная для данной последовательности. Ч.т.д.

Понятие сходящейся последовательности комплексных чисел.

Если ограниченная последовательность чисел

                                                 (1)

имеет единственное предельное число z, то говорят, что эта последовательность сходится к числу z.

Это обозначают:

.

Таким образом, сходящаяся последовательность точек удовлетворяет двум условиям:

  1.  эта последовательность ограничена;
  2.  эта последовательность имеет единственную предельную точку.

Из определения предельной точки следует: сходимость последователь-ности чисел (1) к числу z означает, что при любом сколь угодно малом  неравенство  удовлетворяется для всех n, начиная с некоторого достаточно большого n, т.е.:

.                                                   (*)

Геометрически: последовательность точек  сходится к точке  z, если все точки этой последовательности, кроме, быть может, конечного их числа, лежат внутри сколь угодно малой окрестности точки z.

Основные теоремы теории пределов.

Пусть даны две последовательности комплексных чисел

; ,                                        (2)

сходящиеся соответственно к числам  и . Тогда, образуя новую последовательность чисел

,                                                    (3)

где положено , или , или  (в последнем случае ), мы убеждаемся, что эта последовательность (3) сходится и имеет своим пределом w, причём , или  , или  (в последнем случае предполагается, что ), т.е.:

().

Доказательство аналогично доказательству соответствующих теорем теории пределов действительных чисел.

(,

).

Теорема 2 (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность коплексных чисел (1) была сходящийся, необходимо и достаточно, чтобы для >0 N=N() такое, что неравенство

имеет место для любых натуральных чисел m.

Геометрически: последовательность точек  является сходящей лишь в том случае, если все её точки, начиная с номера N, N=N(), лежат внутри круга радиуса  с центром в точке .

Доказательство.

Необходимость. Если , то N=N() такое, что при всех nN():

.

Поскольку , то

.

По условию имеем

, ,

следовательно

при всяком .

Достаточность. Пусть условие Коши выполнено, тогда все точки последовательности (1), начиная с  лежат внутри круга радиуса  с центром в этой точке. Следовательно, последовательность точек (1) ограничена, а, следовательно, по теореме Больцано-Вейерштрасса имеет предельную точку.  Остаётся показать, что она не может иметь двух различных предельных точек A и B. Допуская противное, примем . Этому числу  соответствует натуральное число N=N() такое, что , т.е. все точки последовательности (1), начиная с , лежат внутри круга радиуса  с центром в точке . Вне этого круга может находиться лишь конечное число точек данной последовательности, и, следовательно, обе предельные точки A и B должны лежать внутри круга или на его окружности. В таком случае расстояние  должно быть не больше 2 - диаметра, но мы приняли , т.е. мы пришли к противоречию.

Таким образом, при выполнении условий Коши последовательность (1) сходится, т.е. имеет одну предельную точку.

 Следствие (из теоремы Больцано-Вейерштрасса). Из всякой бесконечной ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследо-вательность.

 Доказательство. В соответствии с теоремой Больцано-Вейерштрасса наша последовательность имеет, по крайней мере, одну предельную точку. Пусть  - одна из таких точек. Это значит, что в любой её окрестности имеется бесконечно много точек последовательности. Пусть  - некоторая точка нашей последовательности лежащая в круге , где d – диаметр круга с центром в точке , содержащего все точки нашей последовательности. Далее,  - любая точка последовательности, лежащая в круге  и т.д. Очевидно, что . Ч.т.д.

Теорема 3. Существование предела , где , равносильно существованию двух пределов:

, .

 Доказательство. Пусть существуют пределы , . Тогда из неравенства

вытекает, что существование пределов ,  влечёт за собой существование предела .

 Обратно, если имеет место соотношение (*), или, что тоже самое

,

то т.к.

,

из существования предела  следует существование  и , т.к., например,

, т.е.

.

Ч.т.д.

5

PAGE  6


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46275. The category of mood 12.83 KB
  There re three moods in English the indictive mood the impertive mood nd the subjunctive mood.The indictive mood form shows tht wht is sid must be regrded s fct s something which hs occurred or is occurring t the moment of speking or will occur in the future. Therefore the indictive mood hs wide vriety of tense nd spect forms in the ctive nd pssive voice.
46276. Кризис семи лет 12.81 KB
  Основная симптоматика кризиса:Потеря непосредственности: между желанием и действием вклинивается переживание того какое значение это действие будет иметь для самого ребенка;Манерничание: ребенок чтото из себя стоит чтото скрывает уже душа закрыта;Симптом горькой конфеты: ребенку плохо но он старается этого не показывать;Трудности воспитания: ребенок начинает замыкаться и становится неуправляемым. Переживания приобретают смысл сердящийся ребенок понимает что он сердит благодаря этому у ребенка возникают такие новые отношения к...
46277. Эльконин Д.Б. «К проблеме периодизации психического развития в детском возрасте» 12.75 KB
  Некоторые считали что в этом возрасте важно развитие сенсомоторноманипулятивной деятельности. Однако решили что речь используется ребенком в данный период возраста для налаживания сотрудничества с взрослыми в предметной деятельности. В игровой деятельности ребенок моделирует отношения между людьми. Большие трудности представляло выделение ведущей деятельности у подростков.
46278. Особенности формального мышления в подростковом возрасте 12.74 KB
  Они завершают линию развития начавшуюся в младенчестве формированием сенсомоторных структур и продолжавшуюся в детстве вплоть до предпубертатного периода становлением конкретных умственных операций. На ранней фазе взросления этот процесс идет тремя путями: 1 развитие комбинаторики; 2 развитие пропозициональных операций; 3 появление гипотетикодедуктивного мышления. Если на стадии конкретных операций ребенок сортирует предметы только по признаку тождества или сходства теперь становится возможной классификация неоднородных объектов в...
46279. КРИЗИС ПЕРВОГО ГОДА ЖИЗНИ 12.68 KB
  Ходьба дает возможность отделения ребенка от взрослого превращение ребенка в субъект действия. Под этим имеется в виду что в связи с кризисом у ребенка возникают первые акты протеста оппозиции противопоставления себя другим невоздержания на языке семейного авторитарного воспитания. Объект полностью поглощает внимание ребенка. Социальная ситуация совместной деятельности ребенка и взрослого содержит противоречие.
46280. Грамматический строй. Аспекты изучения. Структурные уровни языковой грамматики 12.57 KB
  Грамматика конкретного языка рассматриваемая в целом с точки зрения потенциальных связей и отношений в предложении со стороны модификации слова в предложении. Аспекты: оформление слова в данном предложении содержательная развитость грамматические парадигмы наличие артикля например порядок слов в предложении характеристика отношений между словами.
46281. Эгоцентрическая речь. Пиаже 12.47 KB
  Вербальный эгоцентризм служит лишь внешним выражением более глубокой интеллектуальной и социальной позиции ребенка. Пиаже назвал такую спонтанную умственную позицию эгоцентризмом. Первоначально он характеризовал эгоцентризм как состояние когда ребенок рассматривает весь мир со своей точки зрения которую он не догадывается о том что вещи могут выглядеть иначе чем ему представляется. Эгоцентризм означает отсутствие осознания собственной субъективности отсутствие объективной меры вещей.
46282. The category of voice 12.45 KB
  There re two min voices in English: the ctive voice nd the pssive voice. The ctive voice indictes tht the ction is directed from the subject or issues from the subject thus the subject denotes the doer gent of the ction The pssive voice indictes tht the ction is directed towrds the subject. The ctive voice hs no specil mens of formtion.
46283. Выготский Л.С. Обучение и развитие в дошкольном возраст 12.38 KB
  Обучение и развитие в дошкольном возрасте Главный поднимаемый вопрос касается того что представляют собой программы для дошкольного сада чем они отличаются от программ для школы какое место они занимают в педагогической работе детского сада какого рода деятельность ребенка и с ребенком охватывают и разрабатывают эти программы. Отход от этих границ отражается на умственном развитии ребенка. Необходимо знать что процессы обучения находятся в зависимости от особенностей ребенка находящихся в зоне его ближайшего развития. Важнейшей...