22363

Основной принцип теории пределов

Лекция

Математика и математический анализ

Существует одна и только одна точка которая принадлежит всем отрезкам данной последовательности. Следовательно двух точек общих всем отрезкам нашей последовательности существовать не может; существование же одной такой точки доказано в теории иррациональных чисел. Существует единственная точка принадлежащая всем прямоугольникам данной последовательности. Пусть имеется бесконечная последовательность комплексных чисел 1 Число z называется предельным числом последовательности 1 если...

Русский

2013-08-04

635.5 KB

3 чел.

Пределы.

Основной принцип теории пределов.

Принцип вложенных отрезков.

Пусть на числовой прямой дана последовательность отрезков  с концами в точках (),(),…,(),… соответственно,  каждый из которых содержит последующий. Пусть длины этих отрезков стремятся к нулю при неограниченном возрастании номера n.

Существует одна и только одна точка, которая принадлежит всем отрезкам данной последовательности.

В самом деле, пусть имеется две таких точки: s и . Тогда длины всех отрезков были бы не меньше положительного расстояния между точками s и , что невозможно, т.к. с неограниченным возрастанием n длина отрезка  стремится к нулю. Следовательно, двух точек, общих всем отрезкам нашей последовательности, существовать не может; существование же одной такой точки доказано в теории иррациональных чисел.

Этот принцип, принцип вложенных отрезков, выражает свойства непрерывности числовой прямой.

Принцип вложенных прямоугольников.

Пусть теперь на плоскости дана последовательность прямоугольников  со сторонами, параллельными осям координат, каждый из которых содержит последующий, и пусть диагональ прямоуголь-ника  стремится к нулю при неограниченном возрастании номера n.

Существует единственная точка, принадлежащая всем прямоугольникам данной последовательности.

Для доказательства этого принципа рассмотрим проекции всех прямоугольников  на действительную и мнимую оси. На действительной оси получим последовательность отрезков , каждый из которых содержит последующий; на мнимой оси мы также получим последовательность отрезков , таких, что каждый отрезок содержит последующий. Длины отрезков  также должны стремиться к нулю. По принципу вложенных отрезков на действительной оси существует одна точка a, принадлежащая всем отрезкам ; по тому же принципу на мнимой оси существует единственная точка b, принадлежащая всем отрезкам . Таким образом, точка плоскости с координатами (a,b) принадлежит всем прямоугольникам .

Не может существовать двух различных точек, принадлежащих всем прямоугольникам . Действительно расстояние между этими точками было бы не больше, чем диагональ прямоугольника , которая стремится к нулю при n→∞. Следовательно, эти точки совпадают.

Понятие предельной точки.

Пусть имеется бесконечная последовательность комплексных чисел

                                     (1)                  

Число z называется предельным числом последовательности (1), если для >0 неравенство  выполняется для бесконечного множества натуральных чисел n.

Будем называть любой круг с центром в точке z окрестностью этой точки. Тогда точка z есть предельная точка для последовательности точек , если в сколь угодно малой окрестности точки z лежит бесконечно много точек последовательности (1).

 Замечание. Числа последовательности (1), равные между собой, изображаются одной и той же точкой, называемой кратной точкой. Кратность точки равна числу равных чисел, изображением которых она является; в частности, кратность точки может оказаться бесконечной. Каждая точка считается за столько точек, какова её кратность.

Например, последовательность 1,0,3,0,5,0,7,… имеет единственную предельную точку 0. Последовательность может не иметь предельной точки, например, последовательность 1,2,3,…n,… Последовательность может иметь несколько предельных точек, например, последовательность  имеет две предельных точки: 0 и 1, причём первая точка не принадлежит последовательности, а вторая является её элементом.

Ограниченные и неограниченные последовательности комплексных чисел.

Последовательность комплексных чисел называ-ется ограниченной, если

модули всех чисел этой последовательности остаются меньше некоторого положительного числа M:

.

В противном случае последовательность называется неограниченной. В случае ограниченной последовательности существует круг с центром в нуле достаточно большого радиуса M, внутри которого лежат все точки данной последовательности.

Теорема 1 (Больцано-Вейерштрасса). Всякая бесконечная ограниченная последовательность точек имеет, по крайней мере, одну предельную точку.

Доказательство. Рассмотрим ограниченную последовательность точек (1). Все точки этой последовательности лежат внутри некоторого прямоугольника  со сторонами, параллельными осям координат. Разделим стороны  пополам и разобьём его на четыре конгруэнтных прямоугольника. Среди них имеется, по крайней мере, один, содержащий бесконечно много точек последовательности (1). Назовём этот прямоугольник  и снова разделим его тем же способом на четыре конгруэнтных прямоугольника. По крайней мере, в одном из них (назовём его ) будет снова лежать бесконечное множество точек данной последовательности (1). Продолжая этот процесс неограниченно, мы получим бесконечную последовательность прямоугольников , каждый из которых содержит последующий, с диагоналями, стремящимися к нулю, и таких, что каждому прямоугольнику  принадлежит бесконечное множество точек данной последовательности (каждая точка считается столько раз, какова её кратность). На основании принципа вложенных прямоугольников мы заключаем, что существует единственная точка, принадлежащая всем прямоугольникам .

 Эта точка и будет предельной для данной последовательности точек. В самом деле, описав вокруг этой точки окружность произвольного малого радиуса , мы видим, что, начиная с некоторого достаточно большого n, все прямоугольники  будут лежать внутри этой окружности, и т.к. в каждом прямоугольнике  имеется бесконечное множество точек данной последова-тельности, то и внутри проведённой окружности будет бесконечное множество таких точек. Следовательно, построенная точка и есть предельная для данной последовательности. Ч.т.д.

Понятие сходящейся последовательности комплексных чисел.

Если ограниченная последовательность чисел

                                                 (1)

имеет единственное предельное число z, то говорят, что эта последовательность сходится к числу z.

Это обозначают:

.

Таким образом, сходящаяся последовательность точек удовлетворяет двум условиям:

  1.  эта последовательность ограничена;
  2.  эта последовательность имеет единственную предельную точку.

Из определения предельной точки следует: сходимость последователь-ности чисел (1) к числу z означает, что при любом сколь угодно малом  неравенство  удовлетворяется для всех n, начиная с некоторого достаточно большого n, т.е.:

.                                                   (*)

Геометрически: последовательность точек  сходится к точке  z, если все точки этой последовательности, кроме, быть может, конечного их числа, лежат внутри сколь угодно малой окрестности точки z.

Основные теоремы теории пределов.

Пусть даны две последовательности комплексных чисел

; ,                                        (2)

сходящиеся соответственно к числам  и . Тогда, образуя новую последовательность чисел

,                                                    (3)

где положено , или , или  (в последнем случае ), мы убеждаемся, что эта последовательность (3) сходится и имеет своим пределом w, причём , или  , или  (в последнем случае предполагается, что ), т.е.:

().

Доказательство аналогично доказательству соответствующих теорем теории пределов действительных чисел.

(,

).

Теорема 2 (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность коплексных чисел (1) была сходящийся, необходимо и достаточно, чтобы для >0 N=N() такое, что неравенство

имеет место для любых натуральных чисел m.

Геометрически: последовательность точек  является сходящей лишь в том случае, если все её точки, начиная с номера N, N=N(), лежат внутри круга радиуса  с центром в точке .

Доказательство.

Необходимость. Если , то N=N() такое, что при всех nN():

.

Поскольку , то

.

По условию имеем

, ,

следовательно

при всяком .

Достаточность. Пусть условие Коши выполнено, тогда все точки последовательности (1), начиная с  лежат внутри круга радиуса  с центром в этой точке. Следовательно, последовательность точек (1) ограничена, а, следовательно, по теореме Больцано-Вейерштрасса имеет предельную точку.  Остаётся показать, что она не может иметь двух различных предельных точек A и B. Допуская противное, примем . Этому числу  соответствует натуральное число N=N() такое, что , т.е. все точки последовательности (1), начиная с , лежат внутри круга радиуса  с центром в точке . Вне этого круга может находиться лишь конечное число точек данной последовательности, и, следовательно, обе предельные точки A и B должны лежать внутри круга или на его окружности. В таком случае расстояние  должно быть не больше 2 - диаметра, но мы приняли , т.е. мы пришли к противоречию.

Таким образом, при выполнении условий Коши последовательность (1) сходится, т.е. имеет одну предельную точку.

 Следствие (из теоремы Больцано-Вейерштрасса). Из всякой бесконечной ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследо-вательность.

 Доказательство. В соответствии с теоремой Больцано-Вейерштрасса наша последовательность имеет, по крайней мере, одну предельную точку. Пусть  - одна из таких точек. Это значит, что в любой её окрестности имеется бесконечно много точек последовательности. Пусть  - некоторая точка нашей последовательности лежащая в круге , где d – диаметр круга с центром в точке , содержащего все точки нашей последовательности. Далее,  - любая точка последовательности, лежащая в круге  и т.д. Очевидно, что . Ч.т.д.

Теорема 3. Существование предела , где , равносильно существованию двух пределов:

, .

 Доказательство. Пусть существуют пределы , . Тогда из неравенства

вытекает, что существование пределов ,  влечёт за собой существование предела .

 Обратно, если имеет место соотношение (*), или, что тоже самое

,

то т.к.

,

из существования предела  следует существование  и , т.к., например,

, т.е.

.

Ч.т.д.

5

PAGE  6


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26606. ТЕХНОЛОГИЯ УБОЯ КРС И ПЕРВИЧНАЯ ПЕРЕРАБОТКА ТУШ. ОГЛУШЕНИЕ. 22.62 KB
  ТЕХНОЛОГИЯ УБОЯ КРС И ПЕРВИЧНАЯ ПЕРЕРАБОТКА ТУШ. Чтобы предотвратить загрязнение туш и крови содержимым преджелудков на пищевод животным перед их обескровливанием накладывают лигатуру. Во избежание попадания крови от больных животных емкости нумеруют соответствующими номерами туш от которых собрана кровь. После этого полый нож извлекают из туши.
26607. ТЕХНОЛОГИЯ УБОЯ СВИНЕЙ И ПЕРВИЧНАЯ ПЕРЕРАБОТКА ТУШ. УБОЙ. ОГЛУШЕНИЕ 22.1 KB
  При сборе крови только для технических целей обычным боенским ножом производят глубокий разрез тканей в месте соединения шеи с грудной частью туши и направляя лезвие ножа вверх перерезают кровеносные сосуды у правого предсердия. Зачистка этих участков приводит к потерям массы туши и снижению ее товарного вида. Как указано выше свиные туши обрабатывают со съемкой шкур со съемкой крупонов и со шпаркой туш без съемки шкур. На конвейере вручную кольцеобразно подрезают гузенки снимают шкуру с бедер голяшек и паховой части от туш самцов...
26608. ТРАНСПОРТИРОВКА СКОРОПОРТЯЩИХСЯ ПРОДУКТОВ 8.39 KB
  ТРАНСПОРТИРОВКА СКОРОПОРТЯЩИХСЯ ПРОДУКТОВ. Главными задачами транспортировки являются быстрая доставка продуктов к местам назначения и сохранение их первоначальных качеств. Температурный режим при перевозке скоропортящихся продуктов В рефрижераторных поездах и секциях устанавливается в зависимости от температуры груза в момент погрузки. Совместная перевозка в одном вагоне разных видов скоропортящихся продуктов допускается при условии одинакового способа их обслуживания и на срок не превышающий установленного для наименее стойкого груза.
26609. ТРАНСПОРТИРОВКА СКОТА АВТОМОБИЛЬНЫМ ТРАНСПОРТОМ, ПО ЖЕЛЕЗНЫМ ДОРОГАМ И ВОДНЫМ ПУТЯМ. АВТОМОБИЛЬНЫЙ ТРАНСПОРТ 9.12 KB
  В 23 раза по сравнению с железнодорожным транспортом автомобильные перевозки ускоряют доставку животных на убой. В них не должно быть торчащих предметов дыр в полу и других неисправностей которые могли бы травмировать животных. Для предохранения животных от перегрева и охлаждения кузова покрывают брезентом. Крупных животных размещают в кузове на привязи головами вперед или к боковой стенке овец свиней и молодняк крупного рогатого скота перевозят без привязи.
26610. ТРЕБОВАНИЯ ГОСТ-52054-2003 К КАЧЕСТВУ ЗАГАТАВЛИВАЕМОГО МОЛОКА 8.95 KB
  По действующему ГОСТ 520542003 молоко натуральное коровьесырсч. Молоко высшего и первого сорта имеет кислотность 1ё18Т второго сорта 1б2099Т несортовое менее 1599 или более 2100. Молоко контролируемое в местах его продажи не должно иметь кислотность выше 20Т. В соответствии с требованиями ГОСТ молоко коров должно быть натуральным белого или слабокремового цвета без осадка и хлопьев.
26611. ФЕРМЕНТЫ МОЛОКА 8.76 KB
  ФЕРМЕНТЫ МОЛОКА. Из молока здоровых животных выделено более 20 истинных ферментов. Кроме истинных в молоке присутствуют ферменты вырабатываемые микрофлорой молока. Протеолитические и липолитические ферменты вызывают изменения приводящие к снижению пищевой ценности и возникновению пороков молока и молочных продуктов.
26612. ХИМИЧЕСКИЙ СОСТАВ МЯСА, ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ НА КАЧЕСТВО МЯСА 17.87 KB
  ХИМИЧЕСКИЙ СОСТАВ МЫШЕЧНОЙ ТКАНИ. Наиболее типичный состав мышечной ткани у убойных животных характеризуется следующими данными в : влага вода7377; белки 1821; липиды 1030; экстрактивные азотистые вещества 1720; экстрактивные безазотистые вещества 0912; минеральные вещества 0812. ВОДА в мышечной ткани находится в гидратно связанном и свободном состояниях. Остальная большая часть воды находится в свободном состоянии и удерживается в ткани благодаря осмотическому давлению и адсорбции клеточными элементами.
26613. ЦИСТИОЦИРКОЗ КРС И СВИНЕЙ.САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА МЯСА 7.71 KB
  При ветеринарносанитарной экспертизе туш и органов внимание уделяется обнаружению цистицерков бовисных крупного рогатого скота и целлюлярных свиней. Диагностика заболевания основана на обнаружении цистицерков в тушках и органах только при послеубойном исследовании. У крупного рогатого скота цистицерков часто обнаруживают в сердечной мышце реже их находят в массеторах мышце языка поясничных локтевых шейных и брюшных мышцах. Цистицерков можно обнаружить в мышцах затылка пищевода и диафрагмы.
26614. ПИЩЕВЫЕ ОТРАВЛЕНИЯ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ САЛЬМОНЕЛЛАМИ И СТАФИЛОКОККАМИ. ПАТОГЕННОСТЬ БАКТЕРИЙ РОДА САЛЬМОНЕЛЛА ДЛЯ ЖИВОТНЫХ 33.29 KB
  ПАТОГЕННОСТЬ БАКТЕРИЙ РОДА САЛЬМОНЕЛЛА ДЛЯ ЖИВОТНЫХ. Патогенное действие сальмонелл на животных проявляется при нарушении сложных механизмов между микро и макроорганизмами. В литературе к настоящему времени накопил ось достаточное количество данных свидетельствующих о несостоятельности разграничения сальмонелл на патогенных только для человека животных или птиц. У животных и птиц в естественных условиях сальмонеллы являются возбудителями инфекционных болезней именуемых сальмонеллезами.