ID: 22365

Название работы: Расширенная комплексная плоскость

Категория: Лекция

Предметная область: Математика и математический анализ

Описание: непрерывны функции и то ее графиком является некоторая кривая на комплексной плоскости. Тогда говорят что задана непрерывная кривая или просто кривая: 1 а уравнение 1 называют параметрическим уравнением этой кривой. Пусть кривая задана уравнением 1. вопервых кривая является упорядоченным множеством точек вовторых различным точкам кривой может отвечать одна и та же точка плоскости: если t = t при tt то точки z= t и z=t...

Язык: Русский

Дата добавления: 2013-08-04

Размер файла: 2.74 MB

Работу скачали: 32 чел.

Лекция №2.

Расширенная комплексная плоскость.

Последовательность комплексных чисел {zn} называется сходящейся к

б есконечности:

                                                ,                                                         (1)

если                                        .                                                      (2)                                         

Это определение формально совпадает с соответствующим определением для действительных чисел, т.к. соотношение (2) означает, что для R > 0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется неравенство:

                                                      |zn|>R.                                                           (3)

Для  бесконечно больших последовательностей комплексных чисел справедливы следующие свойства.

1.  Если zn0, n=1,2, …, то , при n тогда и только тогда, когда .
2.  Если  и , то и .
3.  Если  и , то и .

Рассмотрим геометрический смысл соотношения (2). Неравенство (3) означает, что точка zn лежит вне круга радиуса R с центром в точке О (см. рис.1). Это множество называется окрестностью бесконечно удаленной точки. Следовательно, точка z = является пределом последовательности {zn}, если в любой окрестности точки z = содержаться все члены этой последовательности, за исключением их конечного числа.

   Таким образом, “числу” z = ставится в соответ-ствие символическая бесконечно удаленная точка.  

Комплексная плоскость, дополненная  бесконечно уда            

               Рис.1               ленной точкой, называется расширенной комплексной плоскостью.

Сфера Римана.

Рассмотрим сферу S, единичного диаметра, касающуюся комплексной плоскости в точке O. Обозначим через P точку сферы S, диаметрально противоположную точке O. Каждой точке z комплексной плоскости поставим в соответствие точку M, которая является точкой пересечения сферы S с отрезком, соединяющим точки P и z (см. рис. 2). Ясно, что если последовательность {zn} сходится к , то последовательность соответству-ющих точек сферы сходится к точке Р. При этом последовательности {zn}, сходящейся к бесконечности, соответствует последовательность точек сферы S, сходящаяся к точке P. Поэтому точке z =

поставим в соответствие точку P.

Такое соответствие между точками расширенной комплексной плоскости и точками сферы S является взаимно однозначным (изоморфным). Оно называется стереографической проекцией, а сфера S называется сферой Римана.

Итак, комплексные числа (включая z =) можно изображать точками сферы Римана. При этом сходящиеся последо- 

                     Рис. 2             вательности комплексных чисел изобра-жаются на сфере Римана сходящимися последовательностями точек.

      Точки P(0,0,1), M(,,) и Z=X+iY лежат на одной прямой, поэтому (см. рис. 3) , т.е.                               (4)     

               P (0,0,1)                      Уравнение сферы с центром в точке (0, 0,)                                          

                 M (, , )             радиуса имеет вид:                                        

               ½                                                          

           O        z = x+iy                                                     (5)  

                                                    поэтому т.к. (см. (4)):

            y                z

                    

                          x                  то в силу (5):   

            Рис. 3                           откуда

                                                   .                                                  (6)

Подставляя теперь  из (6) в (4), будем иметь ():

                                        .                                        (7)

Формулы (6) и (7) называются формулами стереографической проекции.

 Утверждение. Стереографическая проекция ставит в соответствие окружности (или прямой) на плоскости z окружность на сфере S и обратно.

Доказательство. В самом деле, уравнение окружности на плоскости z имеет вид:

                       ,                 (8)

где A,B,C,D – действительные числа, причем A>0, .

(Уравнение (8) имеет вид:

,

или

С другой стороны, уравнение окружности радиуса r имеет вид:

,

т.е.      

Таким образом:

)

В силу (5) и (4) уравнение (8) принимает вид (точкам окружности в плоскости z соответствуют точки на сфере):

,

т.е.

                                               .                            (9)

Уравнения (9) и (5) определяют окружность на сфере S (т.к. их совместными решениям будут точки пересечения сферы (5) и плоскости (9)).

Ввиду того, что уравнение (9) при условиях A0,  определяет любую плоскость пересекающуюся со сферой S в пространстве , очевидно и обратное утверждение.

      Так как при А=0 плоскость (9) проходит через полюс P(0,0,1), то при стереографической проекции прямая:

на плоскости z переходит в окружность на сфере S, проходящую через полюс, и наоборот.

Теорема. Расширенная комплексная плоскость компактна, т.е. из любой бесконечной последовательности комплексных чисел можно выделить сходящуюся (быть может, к бесконечности) последовательность.

Доказательство. Если последовательность {zn} ограничена, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность по теореме Больцано-Вейерштрасса и следствию из нее. Если же последовательность {zn} не ограничена, то для любого целого k>0 существует номер n такой, что |z|>k. Следовательно,

.

Кривые в комплексной плоскости.

Вектор-функция {,}, где , - вещественные функции вещественной переменной t, может рассматриваться как комплекснозначначная функция

.

Комплекснозначная функция , , отображает отрезок [] на некоторое множество точек комплексной плоскости, которое можно рассматривать как «график» этой функции. В частности, если функция

непрерывна (т.е. непрерывны функции  и , то ее графиком является некоторая кривая на комплексной плоскости. Тогда говорят, что задана непрерывная кривая (или просто кривая):

                                                          , ,                                        (1)

а уравнение (1) называют параметрическим уравнением этой кривой.

Направление движения точки z вдоль кривой (1), соответствующие возрастанию параметра t, называют положительным. Точка a=() называется началом кривой (1), а точка b=() – ее концом.

Пусть кривая  задана уравнением (1). Тогда на комплексной плоскости точки , , образуют некоторое множество M(). Это множество отличается от самой кривой, т.к. во-первых, кривая является упорядоченным множеством точек, во-вторых, различным точкам кривой может отвечать одна и та же точка плоскости: если (t) = (t) при tt, то точки z= (t) и z=(t) являются различными на кривой , но как точки плоскости они совпадают. Такие точки называются точками самопересечения кривой (1). Исключением является совпадение начала и конца кривой (1).

Кривая, не имеющая точек самопересечения, называется простой (или Жордановой) кривой. 

Кривая, у которой начало и конец совпадают, называется замкнутой кривой.

Пример 1. Кривая z=cost, , является отрезком [-1,1], ориентированным в направлении от точки z = -1 к точке

 z = 1.

Пример 2. Кривая z=e= cost+, 0, является полуокружностью |z|=1, Imz0, ориентированной против часовой стрелки.

Пример 3. Кривая z = e, 0 является окружностью  |z | = 1, ориентированной против часовой стрелки, с началом и концом в точке  z= 1. Это простая замкнутая кривая.

Пример 4. Кривая

                                  

является незамкнутой с самопересечением в точке z=1. При этом точки z=(0) и z=(5/3) являются различными на данной кривой, хотя как точки плоскости они совпадают: z=z=1.

Пример 5. Кривая z=cost, - является отрезком [-1,1], проходимым дважды: от точки к точке z=1 и обратно. Это пример замкнутой кривой, у которой каждая точка интервала (-1,1) является точкой самопересечения.

Замечание. Уравнение любой кривой z=(t), , можно записать в виде z=(), , где

.

Гладкие и спрямляемые кривые.

Часть кривой , проходящая от  точки z=(t) до точки z=(t), где t и t[], называется дугой кривой .

       Пусть  - дуга кривой , проходящая от точки  до точки  (k=1,2, …,n). Тогда говорят, что кривая  разбита на дуги  и обозначают: .

Ломаная с последовательными вершинами в точках , k = 1,2, …, n, называется ломаной, вписанной в кривую . 

                                              z                 z                       

                                                                    

                                          z      z                 z

Если множество длин всех ломаных, вписанных в кривую ,ограничено, то кривая  называется спрямляемой, а точная верхняя грань этого множества называется длиной кривой .

Кривая называется гладкой, если ее уравнение можно записать в виде z=(t), , где функция (t) имеет на отрезке [] непрерывную и отличную от нуля производную  (т.к. ), причем если кривая замкнута, то должно быть .

Кривая называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких кривых (дуг).

                                                          

                                                              z = (t)

                                                                            

                                        (t)                 

                                                         

                                                 

Если кривая  задана уравнением z=(t), , и в некоторой точке t существует , то кривая  в точке  имеет  касательный вектор . Следовательно, кусочно-гладкая кривая во всех точках имеет касательную, кроме, быть может, конечного числа точек, называемых угловыми точками кривой, в которых существует предельное положение касательной слева и справа.

Так как ,

то кусочно-гладкая кривая спрямляема и ее длина равна

Пусть на луче  задана непрерывная комплекснозначная функция z=(t) и . Тогда говорят, что задана неограниченная кривая

                                                     z=(t), ,                                               (2)

а уравнение (2) называется параметрическим уравнением этой кривой.

Неограниченная кривая (2) называется кусочно-гладкой, если для любого конечного  кривая z=(t), , является кусочно-гладкой.

Кватернионы.

Согласно теореме Фробениуса существуют лишь две конечномерные алгебры над полем действительных чисел, в которых умножение коммутативно, ассоциативно и нет делителей нуля – это само поле действительных чисел и поле комплексных чисел.

При отказе от коммутативности возникает еще одна конечномерная алгебра над полем действительных чисел – кватернионы.

Общий вид кватерниона:

,

где a,b,c,d – действительные параметры, d – скалярная составляющая,  – векторная составляющая кватерниона.

Сумма:

.

	i	j	k
i	-1	k	- j
j	- k	- 1	i
k	j	- i	- 1

Умножение: 1=1, , ,

- скалярное произведение,  - векторное произведение.

Модуль кватерниона: 

Деление: Пусть т.е.

т.е. нет делителей нуля.

Если ввести сопряженный кватернион:

то:

и

PAGE  6

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush