22365

Расширенная комплексная плоскость

Лекция

Математика и математический анализ

непрерывны функции и то ее графиком является некоторая кривая на комплексной плоскости. Тогда говорят что задана непрерывная кривая или просто кривая: 1 а уравнение 1 называют параметрическим уравнением этой кривой. Пусть кривая задана уравнением 1. вопервых кривая является упорядоченным множеством точек вовторых различным точкам кривой может отвечать одна и та же точка плоскости: если t = t при tt то точки z= t и z=t...

Русский

2013-08-04

2.74 MB

31 чел.

Лекция №2.

Расширенная комплексная плоскость.

Последовательность комплексных чисел {zn} называется сходящейся к

б есконечности:

                                                ,                                                         (1)

если                                        .                                                      (2)                                         

Это определение формально совпадает с соответствующим определением для действительных чисел, т.к. соотношение (2) означает, что для R > 0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется неравенство:

                                                      |zn|>R.                                                           (3)

Для  бесконечно больших последовательностей комплексных чисел справедливы следующие свойства.

  1.  Если zn0, n=1,2, …, то , при n тогда и только тогда, когда .
  2.  Если  и , то и .
  3.  Если  и , то и .

Рассмотрим геометрический смысл соотношения (2). Неравенство (3) означает, что точка zn лежит вне круга радиуса R с центром в точке О (см. рис.1). Это множество называется окрестностью бесконечно удаленной точки. Следовательно, точка z = является пределом последовательности {zn}, если в любой окрестности точки z = содержаться все члены этой последовательности, за исключением их конечного числа.

   Таким образом, “числу” z = ставится в соответ-ствие символическая бесконечно удаленная точка.  

Комплексная плоскость, дополненная  бесконечно уда            

               Рис.1               ленной точкой, называется расширенной комплексной плоскостью.

Сфера Римана.

Рассмотрим сферу S, единичного диаметра, касающуюся комплексной плоскости в точке O. Обозначим через P точку сферы S, диаметрально противоположную точке O. Каждой точке z комплексной плоскости поставим в соответствие точку M, которая является точкой пересечения сферы S с отрезком, соединяющим точки P и z (см. рис. 2). Ясно, что если последовательность {zn} сходится к , то последовательность соответству-ющих точек сферы сходится к точке Р. При этом последовательности {zn}, сходящейся к бесконечности, соответствует последовательность точек сферы S, сходящаяся к точке P. Поэтому точке z =

поставим в соответствие точку P.

Такое соответствие между точками расширенной комплексной плоскости и точками сферы S является взаимно однозначным (изоморфным). Оно называется стереографической проекцией, а сфера S называется сферой Римана.

Итак, комплексные числа (включая z =) можно изображать точками сферы Римана. При этом сходящиеся последо- 

                     Рис. 2             вательности комплексных чисел изобра-жаются на сфере Римана сходящимися последовательностями точек.

      Точки P(0,0,1), M(,,) и Z=X+iY лежат на одной прямой, поэтому (см. рис. 3) , т.е.                               (4)     

               P (0,0,1)                      Уравнение сферы с центром в точке (0, 0,)                                          

                 M (, , )             радиуса имеет вид:                                        

               ½                                                          

           O        z = x+iy                                                     (5)  

                                                    поэтому т.к. (см. (4)):

            y                z

                    

                          x                  то в силу (5):   

            Рис. 3                           откуда

                                                   .                                                  (6)

Подставляя теперь  из (6) в (4), будем иметь ():

                                        .                                        (7)

Формулы (6) и (7) называются формулами стереографической проекции.

 Утверждение. Стереографическая проекция ставит в соответствие окружности (или прямой) на плоскости z окружность на сфере S и обратно.

Доказательство. В самом деле, уравнение окружности на плоскости z имеет вид:

                       ,                 (8)

где A,B,C,D – действительные числа, причем A>0, .

(Уравнение (8) имеет вид:

,

или

С другой стороны, уравнение окружности радиуса r имеет вид:

,

т.е.      

Таким образом:

)

В силу (5) и (4) уравнение (8) принимает вид (точкам окружности в плоскости z соответствуют точки на сфере):

,

т.е.

                                               .                            (9)

Уравнения (9) и (5) определяют окружность на сфере S (т.к. их совместными решениям будут точки пересечения сферы (5) и плоскости (9)).

Ввиду того, что уравнение (9) при условиях A0,  определяет любую плоскость пересекающуюся со сферой S в пространстве , очевидно и обратное утверждение.

      Так как при А=0 плоскость (9) проходит через полюс P(0,0,1), то при стереографической проекции прямая:

на плоскости z переходит в окружность на сфере S, проходящую через полюс, и наоборот.

Теорема. Расширенная комплексная плоскость компактна, т.е. из любой бесконечной последовательности комплексных чисел можно выделить сходящуюся (быть может, к бесконечности) последовательность.

Доказательство. Если последовательность {zn} ограничена, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность по теореме Больцано-Вейерштрасса и следствию из нее. Если же последовательность {zn} не ограничена, то для любого целого k>0 существует номер n такой, что |z|>k. Следовательно,

.

Кривые в комплексной плоскости.

Вектор-функция {,}, где , - вещественные функции вещественной переменной t, может рассматриваться как комплекснозначначная функция

.

Комплекснозначная функция , , отображает отрезок [] на некоторое множество точек комплексной плоскости, которое можно рассматривать как «график» этой функции. В частности, если функция

непрерывна (т.е. непрерывны функции  и , то ее графиком является некоторая кривая на комплексной плоскости. Тогда говорят, что задана непрерывная кривая (или просто кривая):

                                                          , ,                                        (1)

а уравнение (1) называют параметрическим уравнением этой кривой.

Направление движения точки z вдоль кривой (1), соответствующие возрастанию параметра t, называют положительным. Точка a=() называется началом кривой (1), а точка b=() – ее концом.

Пусть кривая  задана уравнением (1). Тогда на комплексной плоскости точки , , образуют некоторое множество M(). Это множество отличается от самой кривой, т.к. во-первых, кривая является упорядоченным множеством точек, во-вторых, различным точкам кривой может отвечать одна и та же точка плоскости: если (t) = (t) при tt, то точки z= (t) и z=(t) являются различными на кривой , но как точки плоскости они совпадают. Такие точки называются точками самопересечения кривой (1). Исключением является совпадение начала и конца кривой (1).

Кривая, не имеющая точек самопересечения, называется простой (или Жордановой) кривой. 

Кривая, у которой начало и конец совпадают, называется замкнутой кривой.

Пример 1. Кривая z=cost, , является отрезком [-1,1], ориентированным в направлении от точки z = -1 к точке

 z = 1.

Пример 2. Кривая z=e= cost+, 0, является полуокружностью |z|=1, Imz0, ориентированной против часовой стрелки.

Пример 3. Кривая z = e, 0 является окружностью  |z | = 1, ориентированной против часовой стрелки, с началом и концом в точке  z= 1. Это простая замкнутая кривая.

Пример 4. Кривая

                                  

является незамкнутой с самопересечением в точке z=1. При этом точки z=(0) и z=(5/3) являются различными на данной кривой, хотя как точки плоскости они совпадают: z=z=1.

Пример 5. Кривая z=cost, - является отрезком [-1,1], проходимым дважды: от точки к точке z=1 и обратно. Это пример замкнутой кривой, у которой каждая точка интервала (-1,1) является точкой самопересечения.

Замечание. Уравнение любой кривой z=(t), , можно записать в виде z=(), , где

.

Гладкие и спрямляемые кривые.

Часть кривой , проходящая от  точки z=(t) до точки z=(t), где t и t[], называется дугой кривой .

       Пусть  - дуга кривой , проходящая от точки  до точки  (k=1,2, …,n). Тогда говорят, что кривая  разбита на дуги  и обозначают: .

Ломаная с последовательными вершинами в точках , k = 1,2, …, n, называется ломаной, вписанной в кривую . 

                                              z                 z                       

                                                                    

                                          z      z                 z

Если множество длин всех ломаных, вписанных в кривую ,ограничено, то кривая  называется спрямляемой, а точная верхняя грань этого множества называется длиной кривой .

Кривая называется гладкой, если ее уравнение можно записать в виде z=(t), , где функция (t) имеет на отрезке [] непрерывную и отличную от нуля производную  (т.к. ), причем если кривая замкнута, то должно быть .

Кривая называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких кривых (дуг).

                                                          

                                                              z = (t)

                                                                            

                                        (t)                 

                                                         

                                                 

Если кривая  задана уравнением z=(t), , и в некоторой точке t существует , то кривая  в точке  имеет  касательный вектор . Следовательно, кусочно-гладкая кривая во всех точках имеет касательную, кроме, быть может, конечного числа точек, называемых угловыми точками кривой, в которых существует предельное положение касательной слева и справа.

Так как ,

то кусочно-гладкая кривая спрямляема и ее длина равна

Пусть на луче  задана непрерывная комплекснозначная функция z=(t) и . Тогда говорят, что задана неограниченная кривая

                                                     z=(t), ,                                               (2)

а уравнение (2) называется параметрическим уравнением этой кривой.

Неограниченная кривая (2) называется кусочно-гладкой, если для любого конечного  кривая z=(t), , является кусочно-гладкой.

Кватернионы.

Согласно теореме Фробениуса существуют лишь две конечномерные алгебры над полем действительных чисел, в которых умножение коммутативно, ассоциативно и нет делителей нуля – это само поле действительных чисел и поле комплексных чисел.

При отказе от коммутативности возникает еще одна конечномерная алгебра над полем действительных чисел – кватернионы.

Общий вид кватерниона:

,

где a,b,c,d – действительные параметры, d – скалярная составляющая,  – векторная составляющая кватерниона.

Сумма:

.

i

j

k

i

-1

k

- j

j

- k

- 1

i

k

j

- i

- 1

Умножение: 1=1, , ,

- скалярное произведение,  - векторное произведение.

Модуль кватерниона: 

Деление: Пусть т.е.

т.е. нет делителей нуля.

Если ввести сопряженный кватернион:

то:

и

PAGE  6


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51653. Сценарий конкурса на Новый год 84.5 KB
  Действующие лица: Работник он же Царь Волшебник Царица Старший царевич Средний царевич Младший царевич Дьякписарь Невеста старшего царевича Невеста среднего царевича Гарем младшего царевича 35 девушек Дед Мороз Снегурочка Снежная королева Баба Яга Молодец из зала Выходит работник предприятия Раб.Царь: О Новый год скоро Хлопушечек прикупил постреляем на новогоднем вечере.Царь: Ты кто Откуда взялся Волшебник: Из хлопушки.
51656. Стандартні вимоги до виховного простору загальноосвітнього навчального закладу 28 KB
  Функції класного керівника Інформаційноаналітична передбачає збір і систематизацію даних про учнів та їхні сімї; аналіз стану навчальновиховного процесу в класі збір відомостей про стан здоров'я учнів. Плановопрогностична передбачає планування роботи класу а також своєї діяльності та освіти прогнозування особистісного росту учнів та розвитку і становлення класного колективу. Регуляційнокореляційна передбачає здійснення корекції поведінки учнів регулювання взаємовідносин у класному колективі; забезпечення умов для всебічного...