22365
Расширенная комплексная плоскость
Лекция
Математика и математический анализ
непрерывны функции и то ее графиком является некоторая кривая на комплексной плоскости. Тогда говорят что задана непрерывная кривая или просто кривая: 1 а уравнение 1 называют параметрическим уравнением этой кривой. Пусть кривая задана уравнением 1. вопервых кривая является упорядоченным множеством точек вовторых различным точкам кривой может отвечать одна и та же точка плоскости: если t = t при tt то точки z= t и z=t...
Русский
2013-08-04
2.74 MB
35 чел.
Лекция №2.
Расширенная комплексная плоскость.
Последовательность комплексных чисел {zn} называется сходящейся к
б есконечности:
, (1)
Это определение формально совпадает с соответствующим определением для действительных чисел, т.к. соотношение (2) означает, что для R > 0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется неравенство:
|zn|>R. (3)
Для бесконечно больших последовательностей комплексных чисел справедливы следующие свойства.
Рассмотрим геометрический смысл соотношения (2). Неравенство (3) означает, что точка zn лежит вне круга радиуса R с центром в точке О (см. рис.1). Это множество называется окрестностью бесконечно удаленной точки. Следовательно, точка z = является пределом последовательности {zn}, если в любой окрестности точки z = содержаться все члены этой последовательности, за исключением их конечного числа.
Таким образом, “числу” z = ставится в соответ-ствие символическая бесконечно удаленная точка.
Комплексная плоскость, дополненная бесконечно уда
Рис.1 ленной точкой, называется расширенной комплексной плоскостью.
Сфера Римана.
Рассмотрим сферу S, единичного диаметра, касающуюся комплексной плоскости в точке O. Обозначим через P точку сферы S, диаметрально противоположную точке O. Каждой точке z комплексной плоскости поставим в соответствие точку M, которая является точкой пересечения сферы S с отрезком, соединяющим точки P и z (см. рис. 2). Ясно, что если последовательность {zn} сходится к , то последовательность соответству-ющих точек сферы сходится к точке Р. При этом последовательности {zn}, сходящейся к бесконечности, соответствует последовательность точек сферы S, сходящаяся к точке P. Поэтому точке z =
поставим в соответствие точку P.
Такое соответствие между точками расширенной комплексной плоскости и точками сферы S является взаимно однозначным (изоморфным). Оно называется стереографической проекцией, а сфера S называется сферой Римана.
Итак, комплексные числа (включая z =) можно изображать точками сферы Римана. При этом сходящиеся последо-
Рис. 2 вательности комплексных чисел изобра-жаются на сфере Римана сходящимися последовательностями точек.
Точки P(0,0,1), M(,,) и Z=X+iY лежат на одной прямой, поэтому (см. рис. 3) , т.е. (4)
P (0,0,1) Уравнение сферы с центром в точке (0, 0,)
M (, , ) радиуса имеет вид:
½
O z = x+iy (5)
поэтому т.к. (см. (4)):
y z
x то в силу (5):
Рис. 3 откуда
. (6)
Подставляя теперь из (6) в (4), будем иметь ():
. (7)
Формулы (6) и (7) называются формулами стереографической проекции.
Утверждение. Стереографическая проекция ставит в соответствие окружности (или прямой) на плоскости z окружность на сфере S и обратно.
Доказательство. В самом деле, уравнение окружности на плоскости z имеет вид:
, (8)
,
С другой стороны, уравнение окружности радиуса r имеет вид:
,
т.е.
Таким образом:
)
В силу (5) и (4) уравнение (8) принимает вид (точкам окружности в плоскости z соответствуют точки на сфере):
т.е.
. (9)
Уравнения (9) и (5) определяют окружность на сфере S (т.к. их совместными решениям будут точки пересечения сферы (5) и плоскости (9)).
Ввиду того, что уравнение (9) при условиях A0, определяет любую плоскость пересекающуюся со сферой S в пространстве , очевидно и обратное утверждение.
Так как при А=0 плоскость (9) проходит через полюс P(0,0,1), то при стереографической проекции прямая:
на плоскости z переходит в окружность на сфере S, проходящую через полюс, и наоборот.
Теорема. Расширенная комплексная плоскость компактна, т.е. из любой бесконечной последовательности комплексных чисел можно выделить сходящуюся (быть может, к бесконечности) последовательность.
Доказательство. Если последовательность {zn} ограничена, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность по теореме Больцано-Вейерштрасса и следствию из нее. Если же последовательность {zn} не ограничена, то для любого целого k>0 существует номер n такой, что |z|>k. Следовательно,
Кривые в комплексной плоскости.
Вектор-функция {,}, где , - вещественные функции вещественной переменной t, может рассматриваться как комплекснозначначная функция
.
Комплекснозначная функция , , отображает отрезок [] на некоторое множество точек комплексной плоскости, которое можно рассматривать как «график» этой функции. В частности, если функция
непрерывна (т.е. непрерывны функции и , то ее графиком является некоторая кривая на комплексной плоскости. Тогда говорят, что задана непрерывная кривая (или просто кривая):
, , (1)
а уравнение (1) называют параметрическим уравнением этой кривой.
Направление движения точки z вдоль кривой (1), соответствующие возрастанию параметра t, называют положительным. Точка a=() называется началом кривой (1), а точка b=() ее концом.
Пусть кривая задана уравнением (1). Тогда на комплексной плоскости точки , , образуют некоторое множество M(). Это множество отличается от самой кривой, т.к. во-первых, кривая является упорядоченным множеством точек, во-вторых, различным точкам кривой может отвечать одна и та же точка плоскости: если (t) = (t) при tt, то точки z= (t) и z=(t) являются различными на кривой , но как точки плоскости они совпадают. Такие точки называются точками самопересечения кривой (1). Исключением является совпадение начала и конца кривой (1).
Кривая, не имеющая точек самопересечения, называется простой (или Жордановой) кривой.
Кривая, у которой начало и конец совпадают, называется замкнутой кривой.
Пример 1. Кривая z=cost, , является отрезком [-1,1], ориентированным в направлении от точки z = -1 к точке
z = 1.
Пример 2. Кривая z=e= cost+, 0, является полуокружностью |z|=1, Imz0, ориентированной против часовой стрелки.
Пример 3. Кривая z = e, 0 является окружностью |z | = 1, ориентированной против часовой стрелки, с началом и концом в точке z= 1. Это простая замкнутая кривая.
Пример 4. Кривая
является незамкнутой с самопересечением в точке z=1. При этом точки z=(0) и z=(5/3) являются различными на данной кривой, хотя как точки плоскости они совпадают: z=z=1.
Пример 5. Кривая z=cost, - является отрезком [-1,1], проходимым дважды: от точки к точке z=1 и обратно. Это пример замкнутой кривой, у которой каждая точка интервала (-1,1) является точкой самопересечения.
Замечание. Уравнение любой кривой z=(t), , можно записать в виде z=(), , где
.
Гладкие и спрямляемые кривые.
Часть кривой , проходящая от точки z=(t) до точки z=(t), где t и t[], называется дугой кривой .
Пусть - дуга кривой , проходящая от точки до точки (k=1,2, …,n). Тогда говорят, что кривая разбита на дуги и обозначают: .
Ломаная с последовательными вершинами в точках , k = 1,2, …, n, называется ломаной, вписанной в кривую .
z z
z z z
Если множество длин всех ломаных, вписанных в кривую ,ограничено, то кривая называется спрямляемой, а точная верхняя грань этого множества называется длиной кривой .
Кривая называется гладкой, если ее уравнение можно записать в виде z=(t), , где функция (t) имеет на отрезке [] непрерывную и отличную от нуля производную (т.к. ), причем если кривая замкнута, то должно быть .
Кривая называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких кривых (дуг).
z = (t)
(t)
Если кривая задана уравнением z=(t), , и в некоторой точке t существует , то кривая в точке имеет касательный вектор . Следовательно, кусочно-гладкая кривая во всех точках имеет касательную, кроме, быть может, конечного числа точек, называемых угловыми точками кривой, в которых существует предельное положение касательной слева и справа.
Так как ,
то кусочно-гладкая кривая спрямляема и ее длина равна
Пусть на луче задана непрерывная комплекснозначная функция z=(t) и . Тогда говорят, что задана неограниченная кривая
z=(t), , (2)
а уравнение (2) называется параметрическим уравнением этой кривой.
Неограниченная кривая (2) называется кусочно-гладкой, если для любого конечного кривая z=(t), , является кусочно-гладкой.
Кватернионы.
Согласно теореме Фробениуса существуют лишь две конечномерные алгебры над полем действительных чисел, в которых умножение коммутативно, ассоциативно и нет делителей нуля это само поле действительных чисел и поле комплексных чисел.
При отказе от коммутативности возникает еще одна конечномерная алгебра над полем действительных чисел кватернионы.
Общий вид кватерниона:
,
где a,b,c,d действительные параметры, d скалярная составляющая, векторная составляющая кватерниона.
Сумма:
.
i |
j |
k |
|
i |
-1 |
k |
- j |
j |
- k |
- 1 |
i |
k |
j |
- i |
- 1 |
Умножение: 1=1, , ,
- скалярное произведение, - векторное произведение.
Модуль кватерниона:
Деление: Пусть т.е.
т.е. нет делителей нуля.
Если ввести сопряженный кватернион:
то:
и
PAGE 6
EMBED PBrush
EMBED PBrush
EMBED PBrush
EMBED PBrush
EMBED PBrush
EMBED PBrush
EMBED PBrush
EMBED PBrush
EMBED PBrush
EMBED PBrush
EMBED PBrush
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
59603. | Разработка среднесрочной стратегии компании ЗАО «СЗРК» по выведению на российский рынок продукции новых производителей в интересах восстановления объемов деятельности (уровня доходности) компании | 837 KB | |
Компания ЗАО «СЗРК» была известна и имела положительную репутацию на рынке производителей кормов для животных, так как один из ее учредителей был «первооткрывателем» рынка «пет фуд» в России и был первым импортером кормов для домашних животных в Россию, затем совладельцем одного из первых российских заводов по производству кормов | |||
59605. | Світло з горобиної ночі. Життєвий і творчий шлях Лесі Українки | 59.5 KB | |
Обладнання: виставка творів Лесі Українки; літератури про письменницю фотографії Лесі Українки. А як це було Сьогоднішній урок допоможе підняти перед вами завісу епохи Лесі Українки її особистого життя. | |||
59606. | Свята і традиції західної Європи | 160 KB | |
Розповіді про свята: День святого Девіда Велика Британія. День святого Патрика англомовні країни. Свято 8 березня та День мам. День Паризької Комуни Франція. | |||
59607. | Свята та розваги соколят | 73 KB | |
Мета: допомогти учням зрозуміти суть людського життя визначити своє місце в ньому сприяти вихованню в них людяності чесності працьовитості відповідальності любові до людей до рідної землі; розвивати в учнів допитливість інтерес до навколишнього життя прагнення зясовувати доводити міркувати... | |||