22366

Понятие сходящегося и расходящегося ряда

Лекция

Математика и математический анализ

Понятие сходящегося и расходящегося ряда. Рассмотрим бесконечный ряд: 1 все члены ряда комплексные числа образуем ∑ первых n членов этого ряда: 2 Давая n значения 123 мы получим бесконечную последовательность комплексных чисел S1S2Snсоответствующего ряда 1 . Обратно зная последовательность чисел Sn легко написать соответствующий ей ряд: S1S2S1SnSn1 Говорят что ряд 1 сходится если соответствующая ему последовательность чисел Sn сходится в этом случае суммой ряда 1 называют предел указанной...

Русский

2013-08-04

227.5 KB

12 чел.

Ряды.

Понятие сходящегося и расходящегося ряда.

Рассмотрим бесконечный ряд:

   (1)

все члены ряда – комплексные числа, образуем ∑ первых n членов этого ряда:

   (2)

Давая n значения 1,2,3…, мы получим бесконечную последовательность комплексных чисел S1,S2,…,Sn,…соответствующего ряда (1) . Обратно, зная последовательность чисел Sn, легко написать соответствующий ей ряд:

S1+(S2-S1)+…+(Sn-Sn–1)+…

Говорят, что ряд (1) сходится, если соответствующая ему последовательность чисел Sn сходится, в этом случае суммой ряда (1) называют предел указанной последовательности.

Следовательно, ряд (1) называют сходящимся, если существует

,

называемый суммой этого ряда.

Если последовательность чисел (2) не сходится, то ряд (1) называется расходящимся.В случае расходящегося ряда сумма Sn либо , либо не стремится ни к какому определенному пределу. В первом случае ряд называют собственно расходящимся, а во втором - колеблющимся. 

Теорема. Вопрос о сходимости или расходимости ряда (1) эквивалентен вопросу о сходимости или расходимости соответствующей последовательности комплексных чисел (2).

Доказательство. В самом деле:

Sn=1+q+q2+…+qn-1 =(1-qn)/(1-q)=1/(1-q)-qn/(1-q).

Т.к. ׀qn׀=׀q׀n ,то при ׀<1 число qn 0 при n,а в случае ׀q׀>1неограниченно возрастает, следовательно:

Sn=1/(1-q) при ׀<1, Sn= при ׀>1.

Ч.т.д.

Например: 1+q+q2+q3+…+qn+…

сходится при ׀q׀<1 и является собственно расходящимся при ׀>1.

Необходимый признак сходимости ряда.

Пусть ряд (1)сходится, т.е. последовательность Sn сходится, тогда

(Sn+1-Sn)=Un+1=0,

т.к. Sn=Sn+1=S (или по Коши).

Итак, во всяком сходящемся ряде общий его член стремится к нулю

при неограниченном возрастании его номера n:

Un=0                (3).

Равенство (3) является необходимым признаком сходимости ряда. Если он не выполняется, то ряд расходится.

Например: 1+q+q2+… расходится при ׀1, т.к. в этом случае его

общий член qn не стремится к нулю при n. Этот ряд является собственно расходящимся при ׀>1 и при q=1 ,а при ׀=1(q1) ряд будет колеблющимся, т.к. в этом случае Sn=(1-qn)/(1-q) (q1) не стремится к бесконечности при неограниченном возрастании n.

         Признак не является достаточным.

         Например: 1+1/2+1/3+…+1/n+… расходится, хотя (3) выполняется.

Понятие абсолютно сходящегося ряда.

Рассмотрим наряду с рядом

  (1)

новый ряд из модулей Uj

.  (1a)

Исследование сходимости ряда (1а) проще, чем исследование ряда (1). Так как сумма n первых n членов ряда (1а) не убывает с ростом n и, следовательно, либо остается ограниченной при любом  n, либо  при n. В первом случае последовательность неубывающих чисел n имеет единственный предел и ряд (1а) сходится, а во втором случае этот ряд расходится.

Итак, сходимость ряда с положительными членами характеризуется тем фактором, что суммы первых n его членов образуют ограниченную последовательность чисел.

Теорема 1. Из сходимости ряда (1а) вытекает сходимость ряда (1), т.е. если ряд (1а) сходится, то сходится и ряд (1).

Доказательство.

Sn+m -Sn=Un+m+Un+m+1+…+Un+1Un+1+Un+2+…+Un+m,т.е. Sn+m -Snn+m-n                         (2)

По условию теоремы ряд (1а) сходится, следовательно, в силу необходимости признака Коши, при сколько угодно малом ξ>0 найдется такое N=N(), что n+m-n<ξ, где m-произвольное целое положительное число. Из неравенства (2) следует:

Sn+m -Sn<,

причем последнее неравенство имеет место при любом ξ>0, N=N(), независимо от m0.В силу достаточности признака Коши следует сходимость ряда (1). Ч.т.д.

 Ряд (1) с комплексными числами называется абсолютно или безусловно сходящимся, если сходится ряд (1а), составленный из модулей его членов.

Итак, всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Обратное  неверно, т.е. существуют ряды сходящиеся, но не абсолютно. Такие ряды называются условно сходящимися.

Например: ряд 1-1/2+1/3-1/4+…сходится условно, а

                      ряд 1-1/4+1/9-1/16+…сходится абсолютно.

Действия над абсолютно сходящимся рядом подчиняются тем же законам, что и действия над комплексными суммами.

Теорема о двойных рядах.

         Из данного бесконечного ряда

  (1)

можно образовать бесконечное множество рядов разными способами таких, что каждый член Un первоначального ряда входит в один и только в один из новых рядов.

Например, получим из ряда (1) ряды:

U1+U2+U4+U7+U11+….

U3+U5+U8+U12+…

U6+U9+U13+…

U10+U14+…

U15+…

В общем случае такое разложение ряда (1) на бесконечное множество рядов обозначим в виде таблицы:

U1+U2+U3+…

                       U1+U2+U3+…                  (3)

U1+U2+U3+…

Теорема 2: Если ряд (1) абсолютно сходится и его сумма равна S и  каждый из рядов (3) обозначается через S1,S2,S3,…,то ряд

S1+S2+S3+…        (4)

абсолютно сходится и его сумма равна S.

Замечание. Указанное в теореме свойство верно для бесконечного ряда лишь при условии его абсолютной сходимости. Для условно сходящегося ряда, вообще говоря, нельзя утверждать то, что его часть сходится.

 Например: ряд

сходится, однако, ряды

и  расходятся.

Доказательство (теоремы).

Докажем сначала, что ряд является сходящимся. Действительно, его частичные суммы остаются меньше конечного числа

Следовательно, первый из рядов (3) абсолютно сходится. Аналогично доказывается, что и каждый их рядов (3) абсолютно сходится.

Покажем теперь, что ряд (4) абсолютно сходится.

Предварительно установим, что модуль суммы не больше суммы модулей слагаемых и в случае абсолютно сходящихся бесконечных рядов. Действительно, полагая

и , имеем

и тем более

при любом n, откуда

Сложим теперь все неравенства

………………………

,

получим:

.

Так как, последнее неравенство верно при любом m, то отсюда следует абсолютная сходимость ряда (4).

Остается показать, что сумма абсолютно сходящегося ряда (4) совпадает с суммой S первоначального ряда (1). Для этого оценим модуль разности

.

Так как, S есть сумма данного яда (1), а S1,S2,..,Smсуммы первых m рядов таблицы (3), то можно утверждать, что

,

где индексы суть номера всех тех членов ряда (1), которые не входят ни в один из m первых рядов таблицы (3). Обозначая через n произвольное натуральное число, выбираем m столь большим, чтобы все индексы  были больше n.

В этом случае, очевидно, имеем:

.

Так как ряд (1) абсолютно сходится, то, считая n достаточно большим, мы можем утверждать, что:

,

что и доказывает сходимость ряда (4) к сумме S. Ч.т.д

Сложение и вычитание рядов. Перестановки членов ряда.

Пусть даны два ряда с комплексными членами:

 (1)

 (5)

Складывая (вычитая) соответствующие члены этих рядов, мы образуем новый ряд:

,  (6)

называемый суммой (разностью) двух данных рядов.

 Если данные ряды сходятся и имеют соответствующие суммы и , то и ряд (6) сходящийся и имеет своей суммой .

 В самом деле, обозначая через и  суммы первых n членов рядов (1) и (5), имеем:

,

откуда следует:

Из последнего равенства  и вытекает справедливость нашего утверждения, так как   

является  суммой первых n  членов ряда (6).

Итак, всякие два сходящиеся ряда можно почленно складывать и вычитать. Операции сложения и вычитания распространяются следовательно, на класс всех (условно или безусловно) сходящихся бесконечных рядов.

Следствие. В абсолютно сходящемся ряде можно произвольно переставить его члены, не меняя суммы ряда.

 Доказательство. Действительно, переставляя члены ряда (1), получим новый ряд:

,    (7)

где  совокупность всех натуральных чисел, написанных в каком-либо порядке. Полагая , мы видим на основании T.2., что если ряд (1) абсолютно сходящийся, то абсолютно и новый ряд (7), причём, его сумма по-прежнему равна S.

В условно сходящихся рядах, вообще говоря, нельзя переставлять слагаемые без изменения суммы ряда.

Умножение рядов.

Пусть даны два ряда:

  (1)

  (5)

Образуем новый ряд:

, (8)

,

называемый произведением 2-х данных рядов.

Теорема 3. Если данные ряды (1) и (5) абсолютно сходящийся и имеют своими суммами соответственно и , то и ряд (8) также абсолютно сходится и имеет своей суммой число .

 Доказательство. Для доказательства рассмотрим попарные произведения всех членов рядов (1) и (5):

  (9)

и покажем, что ряд, членами которого являются числа (9), абсолютно сходится. Для этого достаточно показать, что  сумма вида

остается меньше постоянного числа. Обозначая через n наибольший номер входящих в рассматриваемую сумму членов рядов (1) и (5), легко увидеть, что она не более произведения

,

а следовательно, и подавно меньше , где

;

Итак, к ряду, членами которого служат числа (9) можно применить теорему 2, положив

,,….,

На основании этой теоремы ряд (8) абсолютно сходится.

Остается показать, что сумма ряда (8) равна . С этой целью перегруппируем члены (9), полагая

,  и т.д.

Ряды S1,S2… абсолютно сходятся на основании теоремы 2. Вынося в первом ряде  за скобку, получаем, что его сумма  равна . Аналогично и т.д. Наконец, ряд  или  есть абсолютно сходящийся, сумма которого равна .

В силу теоремы 2. эта сумма совпадает с суммой ряда (8). Ч.т.д.

Итак, основные операции над конечными суммами: перестановка порядка слагаемых и умножение таких сумм распространяется на бесконечные ряды при условии их абсолютной сходимости. Теорема 3 распространяется и на условно сходящиеся ряды, если a priori известно, что в результате их умножения получается сходящийся ряд.

PAGE  6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35780. Шкатулка для золота. Творческий проект 74 KB
  Работа над формой шкатулки варианты 8. Орнамент шкатулки 9. Технологическая последовательность изготовления шкатулки 13. Вспомнив уроки технологии на которых учитель показывал нам образцы различных изделий после недолгих раздумий я остановил свой выбор на изготовлении шкатулки.
35781. Творческий проект «Юбка» 59.5 KB
  Верхний срез юбки обработан притачным поясом нижнийоборкой в одностороннюю складку. Верхний срез юбки обработан притачным поясом нижнийоборкой в одностороннюю складку. Верхний срез юбки обработан притачным поясом. Прежде всего я села за стол взяла карандаш тетрадь нарисовала и описала несколько моделей юбки.
35782. Вязание варежек спицами 626 KB
  Технологическая карта № п п Последовательность выполнения работы Эскиз Рабочие инструменты 1 Подготовить схему пряжу спицы Пряжа нитки 2 Набор петельДля данной пряжи и спиц мне понадобилось набрать 44 петли. Так как на запястье моя варежка связана резинкой 2х2 Пряжа нитки 3 После набора петли нужно распределить на 4 спицы по 11 на каждую. Пряжа нитки 4 Дальше вяжем по кругу резинку нужной высоты начиная провязывать петли с крайней спицы на которой нет концов нити.
35783. Цветок из бисера. Творческий проект 58.5 KB
  Выбор и обоснование проблемы В моей семье все женщины занимаются рукоделием. Выбор модели Я присмотрела много журналов и отобрала модели наиболее понравившиеся мне их оказалось очень много. Выбор оборудования инструментов и приспособлений 1.
35784. «Цветочное панно» (техника квиллинг) 729.5 KB
  Применить полученное изделие на практик 4.СХЕМА ОБДУМЫВАНИЯ Прежде чем приступить к работе над проектом необходимо четко представлять все основные аспекты своей работы: ИЗДЕЛИЕ Стоимость Потребность Охрана труда Инструменты материалы...
35785. Изготовление разделочной доски 55 KB
  Варианты изделия Технический рисунок и эскиз изделия Технологическая карта № Пс Процесс Изображение Инструмент 1 Выбор заготовки: Фанера толщина 1012 мм Шаблон карандаш 2 Выпилить изделие по контуру Ножовка 3 Наколоть центр отверстия просверлить отверстие Шило сверло дрель 4 Зачистить изделие скруглить острые углы Наждачная бумага рашпиль Оценка стоимости изделия Фанера 30х40 200 руб Кисточка 10 руб Лак 120 руб Общая цена 330 руб Внешний вид.
35786. Вышивка крестом. Летний букет 51.5 KB
  История русской вышивки.Оформление вышивки. Схема вышивки. Основной задачей данного проекта является создание картины посредством вышивки крестом в эстетических и практических целях.