22366

Понятие сходящегося и расходящегося ряда

Лекция

Математика и математический анализ

Понятие сходящегося и расходящегося ряда. Рассмотрим бесконечный ряд: 1 все члены ряда комплексные числа образуем ∑ первых n членов этого ряда: 2 Давая n значения 123 мы получим бесконечную последовательность комплексных чисел S1S2Snсоответствующего ряда 1 . Обратно зная последовательность чисел Sn легко написать соответствующий ей ряд: S1S2S1SnSn1 Говорят что ряд 1 сходится если соответствующая ему последовательность чисел Sn сходится в этом случае суммой ряда 1 называют предел указанной...

Русский

2013-08-04

227.5 KB

12 чел.

Ряды.

Понятие сходящегося и расходящегося ряда.

Рассмотрим бесконечный ряд:

   (1)

все члены ряда – комплексные числа, образуем ∑ первых n членов этого ряда:

   (2)

Давая n значения 1,2,3…, мы получим бесконечную последовательность комплексных чисел S1,S2,…,Sn,…соответствующего ряда (1) . Обратно, зная последовательность чисел Sn, легко написать соответствующий ей ряд:

S1+(S2-S1)+…+(Sn-Sn–1)+…

Говорят, что ряд (1) сходится, если соответствующая ему последовательность чисел Sn сходится, в этом случае суммой ряда (1) называют предел указанной последовательности.

Следовательно, ряд (1) называют сходящимся, если существует

,

называемый суммой этого ряда.

Если последовательность чисел (2) не сходится, то ряд (1) называется расходящимся.В случае расходящегося ряда сумма Sn либо , либо не стремится ни к какому определенному пределу. В первом случае ряд называют собственно расходящимся, а во втором - колеблющимся. 

Теорема. Вопрос о сходимости или расходимости ряда (1) эквивалентен вопросу о сходимости или расходимости соответствующей последовательности комплексных чисел (2).

Доказательство. В самом деле:

Sn=1+q+q2+…+qn-1 =(1-qn)/(1-q)=1/(1-q)-qn/(1-q).

Т.к. ׀qn׀=׀q׀n ,то при ׀<1 число qn 0 при n,а в случае ׀q׀>1неограниченно возрастает, следовательно:

Sn=1/(1-q) при ׀<1, Sn= при ׀>1.

Ч.т.д.

Например: 1+q+q2+q3+…+qn+…

сходится при ׀q׀<1 и является собственно расходящимся при ׀>1.

Необходимый признак сходимости ряда.

Пусть ряд (1)сходится, т.е. последовательность Sn сходится, тогда

(Sn+1-Sn)=Un+1=0,

т.к. Sn=Sn+1=S (или по Коши).

Итак, во всяком сходящемся ряде общий его член стремится к нулю

при неограниченном возрастании его номера n:

Un=0                (3).

Равенство (3) является необходимым признаком сходимости ряда. Если он не выполняется, то ряд расходится.

Например: 1+q+q2+… расходится при ׀1, т.к. в этом случае его

общий член qn не стремится к нулю при n. Этот ряд является собственно расходящимся при ׀>1 и при q=1 ,а при ׀=1(q1) ряд будет колеблющимся, т.к. в этом случае Sn=(1-qn)/(1-q) (q1) не стремится к бесконечности при неограниченном возрастании n.

         Признак не является достаточным.

         Например: 1+1/2+1/3+…+1/n+… расходится, хотя (3) выполняется.

Понятие абсолютно сходящегося ряда.

Рассмотрим наряду с рядом

  (1)

новый ряд из модулей Uj

.  (1a)

Исследование сходимости ряда (1а) проще, чем исследование ряда (1). Так как сумма n первых n членов ряда (1а) не убывает с ростом n и, следовательно, либо остается ограниченной при любом  n, либо  при n. В первом случае последовательность неубывающих чисел n имеет единственный предел и ряд (1а) сходится, а во втором случае этот ряд расходится.

Итак, сходимость ряда с положительными членами характеризуется тем фактором, что суммы первых n его членов образуют ограниченную последовательность чисел.

Теорема 1. Из сходимости ряда (1а) вытекает сходимость ряда (1), т.е. если ряд (1а) сходится, то сходится и ряд (1).

Доказательство.

Sn+m -Sn=Un+m+Un+m+1+…+Un+1Un+1+Un+2+…+Un+m,т.е. Sn+m -Snn+m-n                         (2)

По условию теоремы ряд (1а) сходится, следовательно, в силу необходимости признака Коши, при сколько угодно малом ξ>0 найдется такое N=N(), что n+m-n<ξ, где m-произвольное целое положительное число. Из неравенства (2) следует:

Sn+m -Sn<,

причем последнее неравенство имеет место при любом ξ>0, N=N(), независимо от m0.В силу достаточности признака Коши следует сходимость ряда (1). Ч.т.д.

 Ряд (1) с комплексными числами называется абсолютно или безусловно сходящимся, если сходится ряд (1а), составленный из модулей его членов.

Итак, всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Обратное  неверно, т.е. существуют ряды сходящиеся, но не абсолютно. Такие ряды называются условно сходящимися.

Например: ряд 1-1/2+1/3-1/4+…сходится условно, а

                      ряд 1-1/4+1/9-1/16+…сходится абсолютно.

Действия над абсолютно сходящимся рядом подчиняются тем же законам, что и действия над комплексными суммами.

Теорема о двойных рядах.

         Из данного бесконечного ряда

  (1)

можно образовать бесконечное множество рядов разными способами таких, что каждый член Un первоначального ряда входит в один и только в один из новых рядов.

Например, получим из ряда (1) ряды:

U1+U2+U4+U7+U11+….

U3+U5+U8+U12+…

U6+U9+U13+…

U10+U14+…

U15+…

В общем случае такое разложение ряда (1) на бесконечное множество рядов обозначим в виде таблицы:

U1+U2+U3+…

                       U1+U2+U3+…                  (3)

U1+U2+U3+…

Теорема 2: Если ряд (1) абсолютно сходится и его сумма равна S и  каждый из рядов (3) обозначается через S1,S2,S3,…,то ряд

S1+S2+S3+…        (4)

абсолютно сходится и его сумма равна S.

Замечание. Указанное в теореме свойство верно для бесконечного ряда лишь при условии его абсолютной сходимости. Для условно сходящегося ряда, вообще говоря, нельзя утверждать то, что его часть сходится.

 Например: ряд

сходится, однако, ряды

и  расходятся.

Доказательство (теоремы).

Докажем сначала, что ряд является сходящимся. Действительно, его частичные суммы остаются меньше конечного числа

Следовательно, первый из рядов (3) абсолютно сходится. Аналогично доказывается, что и каждый их рядов (3) абсолютно сходится.

Покажем теперь, что ряд (4) абсолютно сходится.

Предварительно установим, что модуль суммы не больше суммы модулей слагаемых и в случае абсолютно сходящихся бесконечных рядов. Действительно, полагая

и , имеем

и тем более

при любом n, откуда

Сложим теперь все неравенства

………………………

,

получим:

.

Так как, последнее неравенство верно при любом m, то отсюда следует абсолютная сходимость ряда (4).

Остается показать, что сумма абсолютно сходящегося ряда (4) совпадает с суммой S первоначального ряда (1). Для этого оценим модуль разности

.

Так как, S есть сумма данного яда (1), а S1,S2,..,Smсуммы первых m рядов таблицы (3), то можно утверждать, что

,

где индексы суть номера всех тех членов ряда (1), которые не входят ни в один из m первых рядов таблицы (3). Обозначая через n произвольное натуральное число, выбираем m столь большим, чтобы все индексы  были больше n.

В этом случае, очевидно, имеем:

.

Так как ряд (1) абсолютно сходится, то, считая n достаточно большим, мы можем утверждать, что:

,

что и доказывает сходимость ряда (4) к сумме S. Ч.т.д

Сложение и вычитание рядов. Перестановки членов ряда.

Пусть даны два ряда с комплексными членами:

 (1)

 (5)

Складывая (вычитая) соответствующие члены этих рядов, мы образуем новый ряд:

,  (6)

называемый суммой (разностью) двух данных рядов.

 Если данные ряды сходятся и имеют соответствующие суммы и , то и ряд (6) сходящийся и имеет своей суммой .

 В самом деле, обозначая через и  суммы первых n членов рядов (1) и (5), имеем:

,

откуда следует:

Из последнего равенства  и вытекает справедливость нашего утверждения, так как   

является  суммой первых n  членов ряда (6).

Итак, всякие два сходящиеся ряда можно почленно складывать и вычитать. Операции сложения и вычитания распространяются следовательно, на класс всех (условно или безусловно) сходящихся бесконечных рядов.

Следствие. В абсолютно сходящемся ряде можно произвольно переставить его члены, не меняя суммы ряда.

 Доказательство. Действительно, переставляя члены ряда (1), получим новый ряд:

,    (7)

где  совокупность всех натуральных чисел, написанных в каком-либо порядке. Полагая , мы видим на основании T.2., что если ряд (1) абсолютно сходящийся, то абсолютно и новый ряд (7), причём, его сумма по-прежнему равна S.

В условно сходящихся рядах, вообще говоря, нельзя переставлять слагаемые без изменения суммы ряда.

Умножение рядов.

Пусть даны два ряда:

  (1)

  (5)

Образуем новый ряд:

, (8)

,

называемый произведением 2-х данных рядов.

Теорема 3. Если данные ряды (1) и (5) абсолютно сходящийся и имеют своими суммами соответственно и , то и ряд (8) также абсолютно сходится и имеет своей суммой число .

 Доказательство. Для доказательства рассмотрим попарные произведения всех членов рядов (1) и (5):

  (9)

и покажем, что ряд, членами которого являются числа (9), абсолютно сходится. Для этого достаточно показать, что  сумма вида

остается меньше постоянного числа. Обозначая через n наибольший номер входящих в рассматриваемую сумму членов рядов (1) и (5), легко увидеть, что она не более произведения

,

а следовательно, и подавно меньше , где

;

Итак, к ряду, членами которого служат числа (9) можно применить теорему 2, положив

,,….,

На основании этой теоремы ряд (8) абсолютно сходится.

Остается показать, что сумма ряда (8) равна . С этой целью перегруппируем члены (9), полагая

,  и т.д.

Ряды S1,S2… абсолютно сходятся на основании теоремы 2. Вынося в первом ряде  за скобку, получаем, что его сумма  равна . Аналогично и т.д. Наконец, ряд  или  есть абсолютно сходящийся, сумма которого равна .

В силу теоремы 2. эта сумма совпадает с суммой ряда (8). Ч.т.д.

Итак, основные операции над конечными суммами: перестановка порядка слагаемых и умножение таких сумм распространяется на бесконечные ряды при условии их абсолютной сходимости. Теорема 3 распространяется и на условно сходящиеся ряды, если a priori известно, что в результате их умножения получается сходящийся ряд.

PAGE  6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36635. Количество информации, как мера уменьшения неопределенности знаний 37.5 KB
  Тип урока: комбинированный Цели: Обучающая дать определение единицы измерения информации; развивающая развивать интерес к изучаемой теме логическое мышление; воспитывающая воспитывать у ребят дисциплинированность и внимательность на уроке. Тема нашего сегодняшнего занятия Количество информации как мера уменьшения неопределенности знаний. Процесс познания окружающего мира приводит к накоплению информации в форме знаний.
36636. Інструкція з безпеки праці 46.5 KB
  Тому дайте будьласка відповіді на такі питання: Назвіть основні положення кодексу законів про працю Назвіть основний закон що гарантує право громадян на безпечні та нешкідливі умови праці Що зобовязаний роботодавець забезпечити Які створює держава умови Які Ви знаєте законодавчі акти з охорони праці Активізація нового матеріалу: А темою уроку є Інструкція з безпеки праці. На уроках Виробничого навчання ми застосовуємо безпосередньо отриманні знання з охорони праці адже уявлення безпеки праці і виховування вміння до...
36637. Економічна інформатика 1.16 MB
  Інформаційні технології - технологічні процеси, що охоплюють інформаційну діяльність управлінських працівників, повязану з підготовкою і прийняттям управлінських рішень. Являють собою сукупність методів і прийомів розвязання типових задач обробки даних. Включають збір, зберігання, передачу, обробку інформації.
36638. Предмет і задачі вірусології 484.5 KB
  Історія вірусології досить незвичайна. Перша вакцина для попередження вірусної інфекції — віспи була запропонована англійським лікарем Є. Дженнером в 1796 г., майже за сто років до відкриття вірусів, друга вакцина — антирабічна була запропонована засновником мікробіології Л. Пастером в 1885 г.— за сім років до відкриття вірусів.
36639. Охорона праці в галузі загальні Міжнародна економіка 475.5 KB
  Охорона праці в галузі загальні вимоги Конспект лекцій для напряму підготовки 6. МІЖНАРОДНІ НОРМИ І ЗАКОНОДАВСТВО УКРАЇНИ В ГАЛУЗІ ОХОРОНИ ПРАЦІ Лекції № 1 1. Стан безпеки праці в світі 2. Європейський Союз і законодавство з охорони праці 6.
36640. СТАНДАРТИЗАЦІЯ ТА СЕРТИФІКАЦІЯ ТОВАРІВ І ПОСЛУГ 171.1 KB
  Тому проблема забезпечення і підвищення якості продукції актуальна для всіх країн і підприємств. При цьому необхідно врахувати те що підвищення якості продукції задача довгострокова і безперервна. Рівень якості продукції не може бути постійною величиною. Тому вирішувати її традиційними методами тобто лише шляхом контролю якості готової продукції практично не можливо.
36641. Економічна теорія 1.56 MB
  Попри певну обмеженість вчення досягненням фізіократів було те що вони вперше походження багатства повязали не зі сферою обміну а зі сферою виробництва. Найважливішим внеском класичної політекономії в економічну науку вважається остаточне перенесення аналізу зі сфери обігу до сфери виробництва. Маркс доводив неспроможність капіталізму та сформулював його основну суперечність що існує між суспільним характером виробництва та приватною формою привласнення доходів. відома як Велика депресія виявила що вільна некерована економіка не...
36642. Вироби на основі будівельного вапна 265.5 KB
  Вимоги ДСТУ на випуск силікатної цегли. Технологічна схема виробництва силікатної цегли. Переваги силікатної цегли Екологічність Силікатна цегла виготовлений з екологічно чистої натуральної сировини вапна і піску за технологією знайомої людству кілька десятиліть. Вартість силікатної цегли нижче ніж у його керамічних аналогів За техніко економічними показниками він значно перевершує глиняна цегла.
36643. Процесуальне право 1022 KB
  Цивільне процесуальне право як галузь права це сукупність правових норм що регулюють діяльність суду загальної юрисдикції осіб які беруть участь у справі та інших учасників цивільного процесу щодо здійснення правосуддя у цивільноправових спорах щодо справ наказного окремого провадження а також такі що виникають у звязку із цією діяльністю суспільні відносини щодо розгляду та вирішення зазначених категорій справ. Цивільний процес це сукупність процесуальних дій суду інших осіб які беруть участь у справі а також інших...