22366

Понятие сходящегося и расходящегося ряда

Лекция

Математика и математический анализ

Понятие сходящегося и расходящегося ряда. Рассмотрим бесконечный ряд: 1 все члены ряда – комплексные числа образуем ∑ первых n членов этого ряда: 2 Давая n значения 123 мы получим бесконечную последовательность комплексных чисел S1S2Snсоответствующего ряда 1 . Обратно зная последовательность чисел Sn легко написать соответствующий ей ряд: S1S2S1SnSn–1 Говорят что ряд 1 сходится если соответствующая ему последовательность чисел Sn сходится в этом случае суммой ряда 1 называют предел указанной...

Русский

2013-08-04

227.5 KB

10 чел.

Ряды.

Понятие сходящегося и расходящегося ряда.

Рассмотрим бесконечный ряд:

   (1)

все члены ряда – комплексные числа, образуем ∑ первых n членов этого ряда:

   (2)

Давая n значения 1,2,3…, мы получим бесконечную последовательность комплексных чисел S1,S2,…,Sn,…соответствующего ряда (1) . Обратно, зная последовательность чисел Sn, легко написать соответствующий ей ряд:

S1+(S2-S1)+…+(Sn-Sn–1)+…

Говорят, что ряд (1) сходится, если соответствующая ему последовательность чисел Sn сходится, в этом случае суммой ряда (1) называют предел указанной последовательности.

Следовательно, ряд (1) называют сходящимся, если существует

,

называемый суммой этого ряда.

Если последовательность чисел (2) не сходится, то ряд (1) называется расходящимся.В случае расходящегося ряда сумма Sn либо , либо не стремится ни к какому определенному пределу. В первом случае ряд называют собственно расходящимся, а во втором - колеблющимся. 

Теорема. Вопрос о сходимости или расходимости ряда (1) эквивалентен вопросу о сходимости или расходимости соответствующей последовательности комплексных чисел (2).

Доказательство. В самом деле:

Sn=1+q+q2+…+qn-1 =(1-qn)/(1-q)=1/(1-q)-qn/(1-q).

Т.к. ׀qn׀=׀q׀n ,то при ׀<1 число qn 0 при n,а в случае ׀q׀>1неограниченно возрастает, следовательно:

Sn=1/(1-q) при ׀<1, Sn= при ׀>1.

Ч.т.д.

Например: 1+q+q2+q3+…+qn+…

сходится при ׀q׀<1 и является собственно расходящимся при ׀>1.

Необходимый признак сходимости ряда.

Пусть ряд (1)сходится, т.е. последовательность Sn сходится, тогда

(Sn+1-Sn)=Un+1=0,

т.к. Sn=Sn+1=S (или по Коши).

Итак, во всяком сходящемся ряде общий его член стремится к нулю

при неограниченном возрастании его номера n:

Un=0                (3).

Равенство (3) является необходимым признаком сходимости ряда. Если он не выполняется, то ряд расходится.

Например: 1+q+q2+… расходится при ׀1, т.к. в этом случае его

общий член qn не стремится к нулю при n. Этот ряд является собственно расходящимся при ׀>1 и при q=1 ,а при ׀=1(q1) ряд будет колеблющимся, т.к. в этом случае Sn=(1-qn)/(1-q) (q1) не стремится к бесконечности при неограниченном возрастании n.

         Признак не является достаточным.

         Например: 1+1/2+1/3+…+1/n+… расходится, хотя (3) выполняется.

Понятие абсолютно сходящегося ряда.

Рассмотрим наряду с рядом

  (1)

новый ряд из модулей Uj

.  (1a)

Исследование сходимости ряда (1а) проще, чем исследование ряда (1). Так как сумма n первых n членов ряда (1а) не убывает с ростом n и, следовательно, либо остается ограниченной при любом  n, либо  при n. В первом случае последовательность неубывающих чисел n имеет единственный предел и ряд (1а) сходится, а во втором случае этот ряд расходится.

Итак, сходимость ряда с положительными членами характеризуется тем фактором, что суммы первых n его членов образуют ограниченную последовательность чисел.

Теорема 1. Из сходимости ряда (1а) вытекает сходимость ряда (1), т.е. если ряд (1а) сходится, то сходится и ряд (1).

Доказательство.

Sn+m -Sn=Un+m+Un+m+1+…+Un+1Un+1+Un+2+…+Un+m,т.е. Sn+m -Snn+m-n                         (2)

По условию теоремы ряд (1а) сходится, следовательно, в силу необходимости признака Коши, при сколько угодно малом ξ>0 найдется такое N=N(), что n+m-n<ξ, где m-произвольное целое положительное число. Из неравенства (2) следует:

Sn+m -Sn<,

причем последнее неравенство имеет место при любом ξ>0, N=N(), независимо от m0.В силу достаточности признака Коши следует сходимость ряда (1). Ч.т.д.

 Ряд (1) с комплексными числами называется абсолютно или безусловно сходящимся, если сходится ряд (1а), составленный из модулей его членов.

Итак, всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Обратное  неверно, т.е. существуют ряды сходящиеся, но не абсолютно. Такие ряды называются условно сходящимися.

Например: ряд 1-1/2+1/3-1/4+…сходится условно, а

                      ряд 1-1/4+1/9-1/16+…сходится абсолютно.

Действия над абсолютно сходящимся рядом подчиняются тем же законам, что и действия над комплексными суммами.

Теорема о двойных рядах.

         Из данного бесконечного ряда

  (1)

можно образовать бесконечное множество рядов разными способами таких, что каждый член Un первоначального ряда входит в один и только в один из новых рядов.

Например, получим из ряда (1) ряды:

U1+U2+U4+U7+U11+….

U3+U5+U8+U12+…

U6+U9+U13+…

U10+U14+…

U15+…

В общем случае такое разложение ряда (1) на бесконечное множество рядов обозначим в виде таблицы:

U1+U2+U3+…

                       U1+U2+U3+…                  (3)

U1+U2+U3+…

Теорема 2: Если ряд (1) абсолютно сходится и его сумма равна S и  каждый из рядов (3) обозначается через S1,S2,S3,…,то ряд

S1+S2+S3+…        (4)

абсолютно сходится и его сумма равна S.

Замечание. Указанное в теореме свойство верно для бесконечного ряда лишь при условии его абсолютной сходимости. Для условно сходящегося ряда, вообще говоря, нельзя утверждать то, что его часть сходится.

 Например: ряд

сходится, однако, ряды

и  расходятся.

Доказательство (теоремы).

Докажем сначала, что ряд является сходящимся. Действительно, его частичные суммы остаются меньше конечного числа

Следовательно, первый из рядов (3) абсолютно сходится. Аналогично доказывается, что и каждый их рядов (3) абсолютно сходится.

Покажем теперь, что ряд (4) абсолютно сходится.

Предварительно установим, что модуль суммы не больше суммы модулей слагаемых и в случае абсолютно сходящихся бесконечных рядов. Действительно, полагая

и , имеем

и тем более

при любом n, откуда

Сложим теперь все неравенства

………………………

,

получим:

.

Так как, последнее неравенство верно при любом m, то отсюда следует абсолютная сходимость ряда (4).

Остается показать, что сумма абсолютно сходящегося ряда (4) совпадает с суммой S первоначального ряда (1). Для этого оценим модуль разности

.

Так как, S есть сумма данного яда (1), а S1,S2,..,Smсуммы первых m рядов таблицы (3), то можно утверждать, что

,

где индексы суть номера всех тех членов ряда (1), которые не входят ни в один из m первых рядов таблицы (3). Обозначая через n произвольное натуральное число, выбираем m столь большим, чтобы все индексы  были больше n.

В этом случае, очевидно, имеем:

.

Так как ряд (1) абсолютно сходится, то, считая n достаточно большим, мы можем утверждать, что:

,

что и доказывает сходимость ряда (4) к сумме S. Ч.т.д

Сложение и вычитание рядов. Перестановки членов ряда.

Пусть даны два ряда с комплексными членами:

 (1)

 (5)

Складывая (вычитая) соответствующие члены этих рядов, мы образуем новый ряд:

,  (6)

называемый суммой (разностью) двух данных рядов.

 Если данные ряды сходятся и имеют соответствующие суммы и , то и ряд (6) сходящийся и имеет своей суммой .

 В самом деле, обозначая через и  суммы первых n членов рядов (1) и (5), имеем:

,

откуда следует:

Из последнего равенства  и вытекает справедливость нашего утверждения, так как   

является  суммой первых n  членов ряда (6).

Итак, всякие два сходящиеся ряда можно почленно складывать и вычитать. Операции сложения и вычитания распространяются следовательно, на класс всех (условно или безусловно) сходящихся бесконечных рядов.

Следствие. В абсолютно сходящемся ряде можно произвольно переставить его члены, не меняя суммы ряда.

 Доказательство. Действительно, переставляя члены ряда (1), получим новый ряд:

,    (7)

где  совокупность всех натуральных чисел, написанных в каком-либо порядке. Полагая , мы видим на основании T.2., что если ряд (1) абсолютно сходящийся, то абсолютно и новый ряд (7), причём, его сумма по-прежнему равна S.

В условно сходящихся рядах, вообще говоря, нельзя переставлять слагаемые без изменения суммы ряда.

Умножение рядов.

Пусть даны два ряда:

  (1)

  (5)

Образуем новый ряд:

, (8)

,

называемый произведением 2-х данных рядов.

Теорема 3. Если данные ряды (1) и (5) абсолютно сходящийся и имеют своими суммами соответственно и , то и ряд (8) также абсолютно сходится и имеет своей суммой число .

 Доказательство. Для доказательства рассмотрим попарные произведения всех членов рядов (1) и (5):

  (9)

и покажем, что ряд, членами которого являются числа (9), абсолютно сходится. Для этого достаточно показать, что  сумма вида

остается меньше постоянного числа. Обозначая через n наибольший номер входящих в рассматриваемую сумму членов рядов (1) и (5), легко увидеть, что она не более произведения

,

а следовательно, и подавно меньше , где

;

Итак, к ряду, членами которого служат числа (9) можно применить теорему 2, положив

,,….,

На основании этой теоремы ряд (8) абсолютно сходится.

Остается показать, что сумма ряда (8) равна . С этой целью перегруппируем члены (9), полагая

,  и т.д.

Ряды S1,S2… абсолютно сходятся на основании теоремы 2. Вынося в первом ряде  за скобку, получаем, что его сумма  равна . Аналогично и т.д. Наконец, ряд  или  есть абсолютно сходящийся, сумма которого равна .

В силу теоремы 2. эта сумма совпадает с суммой ряда (8). Ч.т.д.

Итак, основные операции над конечными суммами: перестановка порядка слагаемых и умножение таких сумм распространяется на бесконечные ряды при условии их абсолютной сходимости. Теорема 3 распространяется и на условно сходящиеся ряды, если a priori известно, что в результате их умножения получается сходящийся ряд.

PAGE  6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82417. Психоанализ З. Фрейда. Фрейдизм, неофрейдизм 28.64 KB
  Классическая психология до Фрейда изучала явления сознания как они проявлялись у здорового человека. Фрейд как психопатолог исследуя характер и причины неврозов натолкнулся на ту область человеческой психики которая раньше никак не изучалась но которая имела большое значение для жизнедеятельности человека бессознательное. Особое значение Фрейд придает психосексуальному развитию человека влиянию его инстинктивной сексуальнобиологической энергии либидо на жизнь его чувств и поведение. В дальнейшем поведение ребенка а затем юноши и...
82418. Феноменология Э. Гуссерля: идейно-теоретические истоки, основные идеи, понятия, этапы развития 38.34 KB
  Феноменология Гуссерля – широкое в потенции бесконечное поле методологических а также гносеологических онтологических этических эстетических социальнофилософских исследований любой темы философии через возврат к феноменам сознания и их анализу. Результатом исполнения феноменологической редукции является перемещение на исследовательскую почву чистого сознания; 4 чистое сознание есть смоделированное феноменологией сложное единство структурных элементов и сущностных взаимосвязей сознания. Оригинальность и теоретическая значимость...
82419. Особенности восприятия феноменологии Э. Гуссерля в современной зарубежной философии 34.99 KB
  Гуссерля в современной зарубежной философии Возникновение феноменологии как философского течения связано с творчеством Эдмунда Гуссерля 1859 1938. Однако постепенно происходит изменение его научных интересов в пользуфилософии. Гуссерль изложил в следующих работах: Логические исследования 1901 Философия как строгая наука 1911 Идеи чистой феноменологии и феноменологической философии 1913 Трансцендентальная логика и формальная логика 1921 Картезианские размышления 1931. Особенность философии Э.
82420. Немецкая философия экзистенциализма 29.08 KB
  Основная работа Бытие и время 1927 подчинена трем задачам: 1 выявить фундаментальную структуру здесьбытия как бытиявмире; 2 показать что бытиевмире является временным и историчным; 3 на основе временности здесьбытия осознать необходимую принадлежность времени к смыслу бытия. здесьбытие выступает основой его экзистенциальной онтологии. ставит вопрос о том что есть бытие само по себе и решает его через рассмотрение человеческого бытия поскольку только оно наделено возможностью понимания бытия. Человеческое бытие...
82421. Французская экзистенциальная философия 37.43 KB
  Экзистенциализм — возможно, наиболее популярное (наряду с психоанализом) философское течение нашего времени. Его название происходит от немецкого «existieren» и французского «exister» — существовать, и обращено не к выяснению сущности человека, а к его повседневному бытию
82422. Персонализм 35 KB
  Французский персонализм одно из ведущих философских течений современности; вместе с феноменологией экзистенциализмом и неотомизмом он составил целую эпоху в интеллектуальной жизни Франции первой половины XX в. Датой рождения французского персонализма считается октябрь 1932 г. Основоположник и главный теоретик французского персонализма Эммануэль Мунье 19051950 профессиональный философ католик по вероисповеданию; ему удалось сплотить вокруг Esprit творческую молодежь философов социологов публицистов литераторов литературных и...
82423. Философская герменевтика. Трудности перехода от понимания как способа познания к пониманию как способу существования 30.84 KB
  Хотя история герменевтики может быть прослежена через Средневековье до античности понятие герменевтики в его современном значении восходит к Новому времени. Революционный шаг в становлении герменевтики как самостоятельной дисциплины сделан Шлейермахером принципиально расширившим сферу подлежащих истолкованию текстов: для Шлейермахера – это учение об искусстве понимания письменных документов вообще. Задачу герменевтики составляет прояснение условий делающих возможным уразумение смысла того или иного текста. Важным этапом становления...
82424. Аналитическая философия XX века: основные направления и проблемы 28.31 KB
  Одна из отличительных черт интеллектуальной культуры XX столетия развитие и нарастающее влияние аналитической философии. Главные цели философии анализа выявление структуры мысли прояснение всего смутного невнятного достижение прозрачного соотнесения языка и реальности четкое разграничение значимых и пустых выражений осмысленных и бессмысленных фраз. Внутри аналитической философии выделяют два направления: философию логического анализа и философию лингвистического анализа или лингвистическую философию. Исходные проблемы и понятия...
82425. Структурализм и постструктурализм 31.84 KB
  В античности понятие структуры было синонимом понятия форма. В трудах Структурная антропология 1958 и Структурная антропология два 1973 рекомендует при исследовании культуры обращать внимание не на субъекты но на такие культурные структуры жизни как мифы ритуалы маски правила бракосочетания родственные связи языки как на знаковые структуры и изучать их не диахронно а синхронно увязывая факты в целое....