22367

Функции комплексной переменной

Лекция

Математика и математический анализ

Областью на комплексной плоскости называют множество D точек обладающее следующими свойствами: Вместе с каждой точкой из D этому множеству принадлежит и достаточно малый круг с центром в этой точке свойство открытости. Простыми примерами областей могут служить окрестности точек на комплексной плоскости. Говорят что на множестве M точек плоскости z задана функция w=fz 1 если указан закон по которому каждой точке zM...

Русский

2013-08-04

202.5 KB

8 чел.

Функции комплексной переменной.

Геометрические понятия.

  1.  Областью на комплексной плоскости называют множество D точек, обладающее следующими свойствами:
  2.  Вместе с каждой точкой из D этому множеству принадлежит и достаточно малый круг с центром в этой точке (свойство открытости).
  3.  Любые две точки D можно соединить ломаной (непрерывной кривой), состоящей из точек D (свойство связности).
  4.  Простыми примерами областей могут служить окрестности точек на комплексной плоскости. Под -окрестностью точки a понимают открытый круг радиуса с центром в этой точке, т.е. совокупность точек z, удовлетворяющих неравенству: za<.
  5.  Граничной точкой области D называют точку, которая сама не принадлежит D, но в любой окрестности которой лежат точки этой области.
  6.  Совокупность граничных точек области D называют границей этой области D.
  7.  

Область D с присоединенной к ней границей (обозначается ) называют

замкнутой областью (или компактом).

Будем предполагать, что граница области состоит из конечного числа замкнутых линий, разрезов и точек, как например, показано на рисунке, где граница области состоит из трех замкнутых линий 0,1,2, двух разрезов 1,2 и одной точки . Линии и разрезы, входящие в состав границы, всегда будем предполагать кусочно-гладкими, т.е. состоящими из конечного числа гладких (т.е. с непрерывно изменяющейся касательной) дуг. В случае ограниченной области (т.е. целиком содержащей-

     Рис. 1                      ся внутри некоторого круга z<R) число связных частей,

на которые разбивается ее граница, называется порядком связности этой области (на рис. 1 пятисвязная область, т.к. 0+1 образуют одну связную часть границы).

  1.  В частности, если граница области D связна (состоит из одной связной части), то D называется односвязной областью.
  2.  Пусть D – односвязная область, а - ее граница. Положительным направлением обхода считается такое, при котором область остается все время слева.
  3.  Теорема (Жордана). Простая замкнутая непрерывная кривая разбивает расширенную комплексную плоскость на две односвязные области.

Функции комплексной переменной.

  1.  Говорят, что на множестве M точек плоскости z задана функция

                                                             w=f(z),                                                     (1)

если указан закон, по которому каждой точке zM ставится соответствие определенная точка или совокупность точек w. В первом случае функция f(z) называется однозначной, во втором – многозначной. Множество M называется множеством определения функции f(z), а совокупность N всех значений w, которые f(z) принимает на Mмножеством ее изменения.

  1.  Если положить z=x+iy, а w=u+iv, то задание функции комплексной переменной w=f(z) будет равносильным заданию двух функций двух действительных переменных:

                                                    u=u(x,y), v=v(x,y).                                              (2)

  1.  Пусть точки z принадлежат одной комплексной плоскости, а значения (точки) w – другой. Тогда функцию комплексной переменной можно геометрически представить как некоторое отображение множества М плоскости z на множество N плоскости w (см. рис. 2).

Если функция w=f(z) однозначна на множестве М и при этом двум различным точкам М всегда соответствуют различные точки N, то такое отображение называется взаимно однозначным или однолистным в М.

4. Пусть дана функция w=f(z), осуществляющая отображение множества М на множество N. Функция z=(w), ставящая в соответствие каждой

точке w из N совокупность всех тех точек z,

                    Рис. 2                    которые функцией w=f(z) отображаются в точку  

w, называется обратной к функции w=f(z) (см.рис. 2). Ясно, что отображение w=f(z) будет взаимнооднозначным тогда и только тогда, когда обе функции f и однозначны.

  1.  Пусть функция w=f(z) отображает множество М на N, а – множество N на P. Функция

                                                     ,                                               (3)

отображающая М на P, называется сложной функцией, составленной из f и g, а соответствующее отображение hсуперпозицией отображений f и g. Если, в частности, отображение w=f(z) взаимно однозначно и функция z=(w) – обратная к  f, то

                                                          [f(z)]=z.                                                        (4)

Пример 1. 

Линейная функция определяется во всей плоскости z соотношением

                                                  w=az+b,                                                                 (5)

a0 и b – произвольные комплексные постоянные. Положим k=a, =arg(a), т.е. a=k(cos+isin)=kei и представим функция (5) как сложную функцию, составленную из функций: a) z1=zei, б) z2=kz1, в) w=z2+b. В соответствии с геометрическим смыслом умножения отображения а) и б) сводятся соответственно к повороту плоскости на угол и подобному преобразованию плоскости z1 с коэффициентом подобия k. Отображение в) геометрически означает сдвиг всей плоскости z2 на постоянный вектор b.

Линейное отображение (5) представляет собой суперпозицию описанных отображений (см. рис. 3). Отсюда следует, что отображение (5) взаимно однозначно во всей плоскости и что оно преобразует прямые в прямые (причем углы между прямыми сохраняются), а окружности в окружности.

Пример 2. Функция

      w=f(z)=1/z.                                                     (6)

                Рис. 3                       Эта функция определена на полной (расширенной)

комплексной плоскости, причем , . Функция f(z) является однозначной и однолистной функцией z, отображающей полную плоскость z на полную плоскость w. (Легко установить, что функция f(z) является непрерыв-ной на полной комплексной плоскости за исключением точки z=0). В показательной форме имеем:

w=rei=(1/)e-i, (z=ei), т.е. w=1/z, arg(w)= –arg(z),

т.е. отображение, осуществляемое (6) является совокупностью (суперпозицией) двух отображений: =(z), где =z, arg()= –arg(z) и w=w(), где w=1/, arg(w)=arg().

Первое отображение имеет смысл зеркаль-ного отражения относительно действительной оси, когда точка z переходит в , а второе – инверсии, т.е. преобразования обратных радиу-сов, при котором каждой точке внутри (вне) кру-

       Рис. 4                     га ставится в соответствие точка вне (внутри) кру-га, лежащая на луче, проведенном из центра круга в данную точку, причем произведение расстояний от этих точек до центра круга равно квадрату радиуса круга. При этом точки плоскости z, лежащие вне единичного круга переходят в точки, лежащие внутри единичного круга плоскости w, и наоборот.

Пример 3. Функция

w=f(z)=z2

является однозначной функцией комплексной переменной z, определенной на полной комплексной плоскости z. Если z=ei, то w=rei=2ei2. Таким образом, точки плоскости z, лежащие на луче, составляющем угол с положительным направлением действительной оси, переходят в точки плоскости w, лежащие на луче, составляющем угол 2 с положительным направлением действительной оси. Поэтому точкам z и z, модули которых равны, а аргументы различаются на , соответствует одно и то же значение w, т.к. ei2=1. Тем самым обратная функция оказывается многозначной.

Таким образом, при отображении w=z2 верхняя полуплоскость вместе с действительной осью переходит в полную плоскость w. Положим для определенности, что в верхней полуплоскости аргумент z заключен в пределах 0<<. Тогда различным точкам области 0<< соответствуют различные значения w. Такая область изменения независимой переменной, различным точкам которой соответствуют различные значения функции, называется областью однолистности функции. В рассматриваемом случае границы области однолистности - лучи =0 и = - переходят в одну и ту же прямую –  положительную действительную полуось плоскости w. Функция w=z2 отображает и нижнюю полуплоскость z вместе с действительной осью на полную плоскость w. Тем самым обратная функция: , определенная на полной плоскости w, уже не является однозначной – одной и той же точке плоскости w соответствует 2 различных точки плоскости z: одна – в верхней, другая – в нижней полуплоскости.

Рассмотрим функцию . В соответствии с правилами извлечения корня из комплексного числа для каждого значения w=rei мы получим 2 различных значения функции z(w): zk=r1/2ei/2(+2k) (k=0,1), причем arg(z1) –arg(z0)=. Рассмотрим на плоскости w некоторую замкнутую кривую C без самопересечений. Зафиксируем на ней точку w0, имеющую arg(w0)=0, найдем z0(w0), z1(w0) и будем следить за изменением функций z0(w), z1(w) при непрерывном движении точки w по кривой C. При этом возможны два различных случая.

I. Kривая С не содержит точку w=0. Тогда после обхода С аргумент точки w вернется к первоначальному значению arg(w0)=0. Следовательно, и значения функций z0(w), z1(w) в точке w=w0 после обхода С равны их первоначальным значениям, т.е. на кривой С в этом случае определены две различные однозначные функции комплексной переменной w: z0=r1/2ei/2, z1= r1/2ei/2(+2), ( изменяется непрерывно на С, начиная от значения 0=arg(w0)). Очевидно, если область D плоскости w обладает тем свойством, что замкнутая кривая этой области не содержит точки w=0, то в D определены две различные однозначные непрерывные функции z0(w), z1(w), называемые независимыми ветвями многозначной функции. .

II. Кривая С содержит внутри точку w=0, тогда после обхода С в положительном направлении значение arg(w) уже не вернется к первоначальному значению 0, а изменится на 2. Поэтому и значения функций z0(w), z1(w) в точке w0 в результате их непрерывного изменения после обхода С станут равными   , т.е. функция  перейдет в  и наоборот.

Если для точки z0 можно указать такую -окрестность, что при однократном обходе т. z0 по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в этой -окрестности, одна ветвь многозначной функции переходит в другую, то точка z0 называется точкой ветвления данной многозначной функции. В окрестности точки ветвления отдельные ветви многозначной функции уже нельзя рассматривать как различные однозначные функции, поскольку при обходе точки ветвления их значения меняются. В рассмотренном случае w=0 является точкой ветвления.

Обход окружности w=R сколь угодно большого радиуса соответствует обходу на плоскости =1/w точки =0 по окружности ==1/R. Поэтому при обходе точки w= так же, как при обходе т. w=0, одна ветвь функции  переходит в другую таким образом, точка w= также является точкой ветвления функции . Областью D, в которой определены однозначные ветви функции, является любая область плоскости w, в которой невозможен обход по замкнутому контуру точек ветвления w=0, w=. Такой областью является, например, вся комплексная плоскость w с разрезом вдоль положительной части действительной оси. При этом берега разреза являются границей данной области.

Если считать, что аргумент точек w для первой ветви изменяется в пределах 0<arg(w)<2, а для второй - в пределах 2<arg(w)<4, то первая ветвь функции  производит отображение плоскости w с разрезом на верхнюю полуплоскость z, а вторая ветвь отображает ту же область на нижнюю полуплоскость z.

Аналогично легко показать, что функция w=zn (n>0 – целое число) производит отображение любого сектора 2k/n<arg(z)<2(k+1)/n (k=0,1,…,n-1) плоскости z на полную плоскость w, разрезанную по положительной части действительной оси. Тем самым эти сектора представляют собой области однолистности данной функции.

Обратная функция  является многозначной, а точки w=0 и w= являются ее точкам ветвления.

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8678. Філософія середньовіччя та ренесансу 150 KB
  Філософія середньовіччя та ренесансу. Патристика раннього християнства. Середньовічна схоластика. Філософська думка пізнього Середньовіччя. Новий погляд на людину у філософії Ренесансу. Патристика. Загальна характеристика пат...
8679. Філософія нового часу. Емпіризм та раціоналізм. 114.5 KB
  Філософія нового часу. Емпіризм та раціоналізм. Філософія Просвітництва. Марксистська філософія. Новим часом називають епоху, яка розпочалася буржуазними революціями в Західній Європі (наприкінці XVI- на початку XVII...
8680. Німецька класична філософія 153 KB
  Іммануїл Кант народився в 1724 р. у сімї ремісника в Кенігсберзі. Тут Кант вчився, вчителював, став професором, ректором університету. У Кенігсберзі він написав усі свої твори, тут він і помер у 1804...
8682. Сучасна світова філософія: школи і напрямки 96.5 KB
  Сучасна світова філософія: школи і напрямки. Філософія науки: позитивізм і неопозитивізм діалектичний матеріалізм фрейдизм і неофрейдизм. Філософія ірраціоналізму: світський екзистенціалізм релігійний...
8683. Філософська думка України 116 KB
  Філософська думка України. Філософська думка у давніх словян і в Київській Русі. Середньовічна українська філософія. Києво-Могилянська філософська школа. Українські просвітники. Філософія - явище загальнолюдське. Вона д...
8684. Філософська думка України. Українська філософія діаспори 207.5 KB
  Філософська думка України Філософія київського кола. Філософська думка під час культурно-історичного підйому 20-х років. Філософське обґрунтування національного радикалізму. Філософія українських шестидесятників...
8685. Філософське розуміння світу. Проблема буття 93 KB
  Філософське розуміння світу. Проблема буття. Філософський зміст проблеми буття. Особливості розуміння проблеми буття. Форми буття. Буття. Субстанція і матерія. Дух. З самого початку західно-європейського мислення і до сьогоднішньог...
8686. Діалектика. Антиподи діалектики: софістика, метафізика 177 KB
  Діалектика Діалектика як вчення про розвиток і універсальні зв’язки. Принципи діалектики. Категорії діалектики. Закони діалектики, їхнє методологічне та світоглядне значення. Антиподи діалектики: софістика, метафізика.  ...