2238

Математическая физика

Шпаргалка

Физика

Единичное ступенчатое воздействие. Импульсное воздействие. Гармоническое (синусоидальное) воздействие.

Русский

2013-01-06

1.55 MB

33 чел.

1 Единичное ступенчатое воздействие.

Математически единичный скачок (рис 1.4,а) можно выразить следующим образом:

Ступенчатое воздействие (рис 1.4,б)

Воздействиям такого рода соответствуют, например, набросы и сбросы нагрузки, включение или снятие напряжения и т.п.

  1.  Единичный импульс

Единичный импульс – это воздействие бесконечно большой величины h и бесконечно малой длительности ∆t при условии, что

.

Следовательно, единичный импульс представляет собой математическую идеализацию предельно короткого импульсного сигнала, площадь которого равна 1 при длительности равной нулю и высоте, равной бесконечности.

3. Импульсное воздействие 

Импульсное воздействие представляет собой воздействие бесконечно большой величины H и бесконечно малой длительности ∆t при условии, что

Единичный импульс и импульсное воздействие реализовать практически невозможно, их можно осуществить только приближенно. Для импульсов прямоугольной формы с длительностью  амплитуда единичного импульса будет равна , а амплитуда импульсного воздействия . Т.е. единичный импульс (импульсное воздействие) можно рассматривать как предел прямоугольного импульса длительностью  и высоты   при сохранении указанных выше условий.

Предельный единичный импульс называют – функцией. Импульсная функция может быть рассмотрена как производная от ступенчатого воздействия.

При подаче на вход какого-либо звена или системы единичного ступенчатого воздействия его выходная величина изменяется во времени. График изменения выходной величины в данном случае будет представлять переходную или временную функцию

При подаче же на вход единичного импульса получаем импульсную переходную характеристику или весовую функцию (функцию веса), обозначаемую

Дельта – функция связана с единичным ступенчатым воздействием (функцией) выражением

Отсюда следует аналогичная связь между переходной и весовой функциями линейных звеньев

и наоборот

  1.  Линейное воздействие (рис 1.6.) – это воздействие, которое изменяется по линейному закону

где  – угловой коэффициент прямой.

2 Гармоническое (синусоидальное) воздействие.

воздействие, которое изменяется по синусоидальному закону

где  – амплитуда;

   – круговая частота.

X(t)=xmsinωt (-∞<t<+∞).

ω=2π/Τ.

X(t)=1(t) xmsinω

3. Пропорциональное звено

Между входной и выходной величинами пропорционального звена отсутствует сдвиг во времени. Выходная величина мгновенно изменяется пропорционально входной. Для такого звена справедливо соотношение

Хвых(τ) / Хвх(τ)=К , (1)

где

Хвых(τ) - изменение выходного параметра во времени;

Хвх(τ) - изменение входного параметра во времени;

К - коэффициент передачи (усиления) звена.

К показывает, на сколько изменится выходная величина при изменении входной на единицу.

Необходимо помнить, что размерности Хвых(τ) и Xвx(t). как, правило, не совпадают.

Например.

В производственных условиях иногда применяется пропорциональный закон регулирования, реализуемый с использованием пропорционального (П) регулятора (регулятора с жесткой обратной связью по положению выходного вала исполнительного механизма).

На рис.1 показано условное обозначение пропорционального звена и траектории изменения во времени Хвых(τ) и Хвх(τ).

Рис.1. Траектории изменения Хвых(τ) и Хвх(τ) (а) и условное обозначение пропорционального эвена (б)

В данном случае К=Кр - коэффициент передачи пропорционального регулятора.

∆Хвых(τ) % хода исполнительного механизма

Кр = —————= ——————————————————

 ∆Хвх(τ) ед. измерения регулируемого параметра

Так как выходная величина такого звена копирует изменение входной величины без всякого запаздывания или искажения, то в усилительном звене отсутствуют переходные процессы.

Передаточная функция безынерционного звена

.     

Уравнение амплитудно-фазовой характеристики в соответствии с передаточной функцией будет:

.

АФХ, построенная в комплексной плоскости, будет определяться точкой на вещественной оси, отстоящей от начала координат на расстоянии k.

 

Уравнения вещественной и мнимой частотных характеристик будут:

,

где

– вещественная часть АФХ;

 – мнимая часть АФХ.

Амплитудная частотная характеристика:

4. Инерц. звено 1 порядка, его характеристики, приведите примеры его использования. Апериодическим звеном первого порядка называется такое звено, выходная величина которого в функции времени изменяется по экспоненциальному закону. Апериодические звенья называют также инерционным, статическим, релаксационным, одноёмкостным и др.

Инерционное звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка

,

где T – постоянная времени звена (T>0);

– коэффициент передачи (усиления) звена.

К апериодическим звеньям можно отнести: R-L и R-C цепи, генераторы постоянного тока, фильтры, термисторы, механические устройства, имеющие массу и силу трения (без пружин) и другие подобные устройства, в которых возможно накопление какого-либо вида энергии и её рассеивания.

Операторное уравнение апериодического звена

Передаточная функция звена

На структурных схемах графически инерционное звено изображается следующим образом:

Временная характеристика, представляющая реакцию звена на ступенчатое воздействие xвх(t)=1(t), определяется зависимостью .

Выходная величина в переходном режиме определяется

где вынужденная составляющая выходной величины

Cвободная составляющая выходной величины xвых(t) определяется из следующего выражения

где Pk – корни характеристического уравнения звена

Tp+1=0,

т.е.       

Отсюда    

Начальное значение для переходной функции найдется

при t=0,

т.е.       

или      

Окончательно получаем следующее выражение для переходной функции:    

   (3.11)

или         (3.12)

На рис.3.5,а приведена временная характеристика, представляющая собой экспоненту. Время достижения установившегося значения

при ,  при .

Весовая функция

представлена на рис.3.5,б.

На структурных и функциональных схемах апериодические звенья условно изображаются следующим образом

Амплитудно-фазовая характеристика апериодического звена

или

где модуль вектора W ();

аргумент вектора W ().

АФХ представляет собой окружность радиусом  с центром в точке 0, лежащей на оси абсцисс на расстоянии  от начала координат.

Уравнения вещественной и мнимой характеристик

5. Инерц. звено 2 порядка , его характеристики, дайте примеры расположения корней характеристического уравнения. 

Дифференциальное уравнение звена: . Передаточная функция . Характеристическое уравнение звена имеет 2 корня: . Если T1>2T2, то оба корня действительны, например: . При этом переходная функция имеет монотонный, апериодический характер. Поэтому звено в этом случае наз. апериодическим второго порядка. График переходной функции: АЧХ: , Из графика видно, что апериодическое звено 2 пор. хорошо пропускает сигналы низкой частоты и плохо-сигналы высокой частоты. Если T1<2T2, то корни комплексные: , например: . При этом звено называют колебательным. Дифференциальное уравнение колебательного звена: , Т=Т2-постоянная времени, характеризующая инерционность звена, -коэф. демпфирования, характеризующий колебательность звена. Передаточная функция колебательного звена: . График переходной функции: чем > и < T, тем быстрее затухают колебания. Если Т1=0, то оба корня будут мнимыми, напр.: Переходная функция будет представлять собой незатухающую синусоиду. При этом инерц. звено 2 пор. наз. идеальным колебательным. Инерц. звеньями 2 порядка являются такие конструктивные элементы, которые содержат 2 накопителя энергии или вещества.

6. Интегрирующее звено и его характеристики. Область применения в ТАУ
Интегральным называется такое звено, выходная величина которого пропорциональна интегралу по времени от входной величины. Звено описывается следующим дифференциальным уравнением.

или      

где  передаточный коэффициент интегрирующего звена, равный отношению скорости изменения выходной величины к входной. Такое звено называют также астатическим или нестабильным.

Примером интегрирующего звена может служить: электрический двигатель, если входом является скорость, а выходом – угол поворота вала, различные регуляторы САР, задающие устройства и др.

Операторное уравнение звена:

Передаточная функция звена:

где  Т – постоянная времени интегрирующего звена.

На структурных схемах интегрирующее звено изображается следующим образом:

Переходная функция интегрирующего звена

Если принять  то переходная функция будет

или

Под постоянной времени интегрирующего звена понимают время, в течение которого при подаче на вход ступенчатого воздействия  выходная величина достигнет этой величины.

Если входной сигнал исчезает, то выходная координата остаётся постоянной.

Весовая функция звена, т.е. реакция звена на единичный импульс имеет вид:

.

Частотные характеристики интегрирующего звена

Амплитудно-фазовая частотная функция:

.   (3.54)

Т.е. амплитудно-фазовая характеристика представляет собой уравнение прямой, совпадающей с отрицательным направлением мнимой оси (рис.3.23).

Уравнения вещественной и мнимой частотных характеристик будут иметь вид:

 

Соответственно амплитудная и фазовая частотные характеристики определяются ( рис.3.25):

при ω>0;

при ω<0;

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика:

 

где  - прямая, параллельная оси абсцисс;

- прямая, имеющая наклон –20дб/дек и проходящая через точку  на оси частот.

Следовательно, ЛАЧХ идеального интегрирующего звена представляет собой прямую, проходящую через точку с абсциссой , ординатой  и имеющую наклон . Логарифмические частотные характеристики идеального интегрирующего звена представлены на рисунке 3.25.

При изменении коэффициента k L(ω) перемещается параллельно самой себе.

  1.  Реальные интегрирующие звенья или интегрирующие звенья с замедлением

Реальные интегрирующие звенья обычно обладают определённой инерционностью, вследствие чего, их выходная величина при подаче на вход входного сигнала изменяется с определённым замедлением.

Исходное дифференциальное уравнение интегрирующего звена с замедлением будет иметь вид:

или в операторном виде:

,

или    

Изображение выходной величины:

Если перейти от изображения к оригиналу при подаче на вход ступенчатого воздействия  и при нулевых начальных условиях, получим выражение переходной функции:

Принимая  получим уравнение переходной функции, график которой приведён на рисунке. 3.26.

Импульсная весовая переходная функция, т.е. реакция звена на единичный импульс:

Передаточная функция имеет следующий вид:

.     

Уравнение амплитудно-фазовой характеристики:

.

Если определить вещественную и мнимую части, то получим:

Амплитудная частотная характеристика:

Фазовая частотная характеристика:

Амплитудная и фазовая частотные характеристики звена представлены на рис. 3.27.

Логарифмические частотные характеристики

  1.  Дифференцирующее звено

Если выходная величина звена пропорциональна скорости изменения входной величины, то такое звено называется дифференцирующим.

Это свойство эвена определяется уравнением

Хвых(τ) = Тд * dXвых (τ)/dt,

где Тд - коэффициент пропорциональности, называется временем дифференцирования.

Величина Тд определяет степень чувствительности выходной величины к изменению входной.

Физический смысл количественной оценки значения Тд с-тчетливо виден на рис.1.

Если параметры Хвх и Хвых имеют одинаковую физическую природу (например напряжение), то величину Тд можно определить, если Хвх(τ) будет изменяться с постоянной скоростью dХвх /dt = const.

Рис.1. Изменение входного сигнала Хвх (τ) (а); изменение выходного сигнала Хвых (т) (б) дифференцирующего звена; в - условное обозначение дифференцирующего звена

Время дифференцирования Тд дифференцирующего элемента естьвремя. за которое вкодная величина, изменяясь с постоянной скоростью, достигнет значения выходной величины.

Если на входе дифференцирующего звена сигнал Хвх (τ) изменить скачком, то Хвых(τ) за время ∆τ →0 должна быть бесконечно большой и затем вновь уменьшиться до нуля. т.к. Хвх(τ)=const, т.е.dXвx(τ)/dt=0.

Реакция дифференцирующего звена на чисто скачкообразное возмущение будет практически нулевой. Тд характеризует предваряющие свойства звена.

В качестве реального дифференцирующего устройства в производственных условиях можно использовать обычный электронный потенциометр или любой вторичный измерительный прибор, работающий по компенсационному принципу измерения.

Структурная схема электронного потенциометра или любого измерительного электронного прибора, построенного по компенсационному признаку, представлена на рис.2.

Рис. 2. Структурная схема электронного потенциометра, используемого как дифференцирующее звено

Любой вторичный электронный прибор структурно представляет собой усилитель. с. большим коэффициентом усиления (К=106÷107). охваченный отрицательной обратной связью. содержащей интегрирующий элемент (конденсаторный асинхронный двигатель) и блок с зоной нечувствительности Uh.

Зона нечувствительности определяется напряжением трогания двигателя (12÷15 В). Т.е. при U<Uh обратная связь отключена и ротор двигателя неподвижен.

При UUh двигатель вращается со скоростью, пропорциональной значению постоянной времени интегрирования Ти (обычно: 27 или 72 об/мин)

Динамика изменения сигнала U во времени определяется системой уравнений

U = К * (ZZ1);

Z1=1/(ТИР) * U  при U>UH ,

где U - выходной сигнал усилителя;

Z - входной сигнал датчика технологического параметра;

Z1 - компенсирующий сигнал, вырабатываемый электронной измерительной схемой потенциометра (вторичного прибора).

После преобразований получим

U * (К/ТИР + 1) = K*Z.

Умножим правую и левую части на ТИР/К, тогда получим

U * (1 + ТИР/К) = ТИР *Z, т.к. К=10 6 , то ТИ/К=О;.

Тогда U = ТИР *Z или U = Ти * dZ/dτ

Вывод: сигнал на выходе усилителя U электронного вторичного прибора, работающего по принципу компенсации, пропорционален производной от входного сигнала датчика технологического параметра.

Для увеличения значения сигнала и в данном случае целесообразно использовать более тихоходные (с большим числом редукции) компенсирующие двигатели (большие значения Ти).

Использование вторичного измерительного прибора в качестве дифференцирующего устройства не требует применения специальных дифференцирующих устройств, что упрощает схему.

Идеальное дифференцирующее звено

Идеальным дифференцирующим звеном (импульсным звеном первого порядка) называется звено, выходная величина которого пропорциональна скорости изменения входной величины.

где, коэффициент передачи (постоянная величина), имеет

размерность [c].

Примером дифференцирующих звеньев могут служить: гидравлический успокоитель с пружиной, трансформатор, цепь RC, цепь RL, и т.д. Идеальными дифференцирующими звеньями можно считать все рассмотренные выше устройства, если в них пренебречь электрическими сопротивлениями и силами трения (в механических устройствах).

Операторное уравнение звена:

Передаточная функция звена:

Графически дифференцирующее звено изображается следующим образом:

Временные характеристики D-звена

Переходная функция звена может быть получена непосредственно из уравнения

Переходная функция или изменение выходной величины при подаче на вход ступенчатого воздействия может быть определена исходя из следующих соображений.

Ступенчатая входная функция, как разрывная, не дифференцируется, но скорость изменения входной величины на ступени равна бесконечности, т.к. происходит конечное изменение входной величины в отрезок времени, стремящийся к нулю. А т.к. у дифференцирующего звена выходная величина пропорциональна скорости изменения входной, то у идеального звена при подаче на вход ступенчатого воздействия выходная величина в момент времени, равный нулю, даст всплеск до бесконечности, а затем обратится в нуль, т.к. скорость изменения входной величины во все последующие моменты равна нулю.

Переходная функция

Весовая функция

 

Частотные характеристики звена

Уравнение амплитудно-фазовой характеристики

,

т.е.    .

Уравнения амплитудной и фазовой частотной характеристик:

,

7.2. Реальное дифференцирующее звено

Идеальных дифференцирующих звеньев не существует. Практически приходится иметь дело со звеньями, обладающими некоторой инерционностью. Вследствие этого, осуществляемое ими дифференцирование не является точным.

Уравнение реального дифференцирующего звена

где – постоянная времени звена,

– коэффициент усиления звена.

Операторное уравнение звена:

где.

Передаточная функция звена

Графическое обозначение звена в структурных схемах:

Временные характеристики звена

Переходная функция звена может быть найдена:

Характеристическое уравнение

Поэтому переходная функция определится:

Весовая функция:

 

Рис. 5. Переходные характеристики звена

Графическое изображение временных характеристик представлено на рис. 5.

Частотные характеристики звена

Уравнение амплитудно-фазовой характеристики

Амплитудно-фазовая характеристика может быть также записана в виде:

Это уравнение окружности с центром, лежащим на вещественной оси на расстоянии от начала координат.

Уравнение амплитудной и фазовой частотной характеристики

  

 

Л

Дифференцирующие звенья применяются как средства, корректирующие (улучшающие переходной процесс). Примерами этих звеньев являются стабилизирующие трансформаторы, емкостные дифференцирующие контуры и т.д.

8.Запаздывающее звено

Звено запаздывания

Если изменение выходной величины полностью повторяет изменение входной величины (например, количество материала на транспортерной ленте при изменении расхода материала дозатором), но между ними имеется сдвиг во времени, то в данном случае существует запаздывание выходной величины по отношению к входной.

В данном случае соблюдается условие

Хвых(τ) = Хвх(τ) (τ- τз*)

где τз* - время запаздывания "чистое" или транспортное.

Явление запаздывания можно представить как результат прохождения сигнала по бесконечному числу последовательно соединенных инерционных звеньев первого порядка, когда сумма постоянных времени отдельных звеньев без обратной связи равна τз*.

При расчетах звено с запаздыванием можно приближенно заменить инерционным звеном первого порядка, если τз* достаточно мало.

Это всегда можно сделать, если в одном контуре управления со звеном запаздывания включено инерционное звено первого порядка с намного большей постоянной времени или интегрирующее звено.

Запаздывающее звено – это звено, которое на выходе воспроизводит входной сигнал без искажений, однако с некоторым постоянным запаздыванием .

Уравнение запаздывающего звена

Уравнение в операторном виде

Передаточная функция

Амплитудно-фазовая характеристика

Рис. 1. Частотные характеристики запаздывающего звена

Графически АФХ может быть представлена окружностью с центром в начале координат с радиусом, равным k.

8.1. Аппроксимация контуров регулирования

В системах подчиненного регулирования при рассмотрении внешнего контура регулирования передаточная функция внутреннего замкнутого контура может быть представлена передаточной функцией инерционного звена первого порядка вместо передаточной функции колебательного звена. Например, для первого контура имеем

.

Первым слагаемым в знаменателе можно пренебречь из-за малости постоянной времени . Некомпенсируемая малая постоянная времени . В этом случае , что позволяет пренебречь его величиной по сравнению со вторым и третьим слагаемым.

.

Следовательно, для внешнего второго контура некомпенсируемой малой постоянной времени будет

.

Передаточная функция разомкнутого внешнего контура в этом случае будет иметь вид

.

Такая аппроксимация возможна в связи с тем, что повышение порядка системы практически не сказывается на величине перерегулирования (при порядке выше 3-го перерегулирование не зависит от порядка и составляет не более 8,1 %).

Такая возможность обусловлена также тем, что быстродействие САР с повышением порядка на один снижается примерно в 2 раза.

Кроме того, при замене реальной передаточной функции любого порядка аппроксимированной второго порядка, ошибка в определении запаса по фазе не превышает 2-х градусов.

9. Режимы:

Динамические режимы разделяются на

  •  установившийся (переходный)
  •  неустановившийся

Неустановившийся режим наступает сразу после изменения внешних воздействий.

Установившийся (переходный) начинается сразу после окончания переходного процесса, когда выходные величины изменяются во времени по такому же закону, что и входные воздействия, при этом система совершает вынужденные колебания.

 

Установившимся состоянием объекта следует считать интервал времени, равный 3-4 То от момента скачкообразного однократного изменения входного параметра.(Кривая разгона)

Установившейся режим это такой режим при котором все переходные процессы в системе завершены.

Переходный режим это режим при котором параметры характерезующие тот или иной процесс изменяются во времени

 

Кривая разгона имеет две точки установившегося режима.

12. Дать определение понятию АЧХ, привести АЧХ основных типовых звеньев, пояснить их особенности.

Частотные характеристики позволяют изучить то, как система или элемент системы пропускают сигнал (который всегда состоит из нескольких гармонических сигналов различной частоты). Для получения частотных характеристик используется типовое воздействие – гармонический сигнал. На выходе элемента образуется сигнал той же амплитуды и частоты, но с отставанием по фазе. Исключением является дифференцирующее звено, обладающее положительным фазовым сдвигом.

Зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты называется амплитудно-частотной характеристикой. АЧХ основных типовых звеньев:

АЧХ инерционных звеньев первого и второго порядков внешне ничем не отличаются. Инерционные звенья хорошо пропускают низкие частоты и плохо пропускают высокие частоты, поэтому их используют в качестве фильтров низких частот для подавления высокочастотных помех.

13. Дать определение понятию ФЧХ, привести ФЧХ основных типовых звеньев.

Частотные характеристики позволяют изучить то, как система или элемент системы пропускают сигнал (который всегда состоит из нескольких гармонических сигналов различной частоты). Для получения частотных характеристик используется типовое воздействие – гармонический сигнал. На выходе элемента образуется сигнал той же амплитуды и частоты, но с отставанием по фазе. Исключением является дифференцирующее звено, обладающее положительным фазовым сдвигом.

Зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами от частоты называют фазо-частотной характеристикой. ФЧХ основных типовых звеньев:

14. что такое разомкнутый контур и чему равна его передаточная функция.

1 Получение передаточной функции разомкнутой системы по передаточным функциям звеньев

Дифференциальное уравнение всей системы может быть получено из уравнений отдельных звеньев, если исключить из них обычным порядком все промежуточные переменные и оставить только входное воздействие и выходную переменную. Но значительно более просто можно получить описание системы, если оперировать передаточными функциями звеньев.

Различают следующие способы соединения звеньев:

  1.  последовательное, при котором выходная величина предыдущего звена является входной для последующего звена;
  2.  параллельное, при котором на вход нескольких звеньев подается одна и та же величина, а выходная величина представляет собой сумму выходных величин этих звеньев;
  3.  замыкание системы или нескольких звеньев обратной связью, когда на вход замыкаемых звеньев с их выхода подается сигнал через замыкающие звенья, находящиеся в цепи обратной связи.

1.1. Передаточная функция цепи последовательно соединенных звеньев направленного действия

Предположим, что система состоит из n–последовательно включенных звеньев. В этом случаи можно записать следующую систему уравнений для них:

  (4.7)

………………………...

Из уравнений следует, что выходная величина первого звена является входной величиной второго звена и т.д.

Для того, чтобы выразить зависимость между выходной величиной системы  и входной величиной , нужно исключить все промежуточные переменные ,  и т.д. Для этого первое уравнение нужно подставить во второе, затем полученное уравнение подставить в третье и т.д.

После исключения промежуточных переменных получим:

где  

.

Действительно

Следовательно, передаточная функция цепи последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций звеньев. Отсюда следует, что такую цепь можно заменить в структурной схеме одним эквивалентным звеном с передаточной функцией W(p).

1.2. Параллельное соединение звеньев направленного действия

Для параллельного включения звеньев можно записать следующую систему уравнений

 …………………………………

Следовательно, входной величиной всех параллельно соединенных звеньев является одна и та же величина Хвх. Выходная величина для каждого звена различны, они зависят от динамических свойств звеньев, а значит, от вида передаточных функций. Общая выходная величина всей системы Хвых представляет собой алгебраическую сумму выходных величин отдельных звеньев.

Сложив левые и правые части уравнения (4.12), получим

отсюда

или

Следовательно, передаточная функция группы параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев.

1.3. Передаточная функция системы, охваченной обратной связью

Обратная связь может быть положительной, если сигнал обратной связи Хос суммируется со входным сигналом Хвх, или отрицательной, если Хос вычитается из Хвх (минус у суммирующего элемента). Для замкнутой системы (рис. 4.3.) можно записать уравнение:

где  - передаточная функция звена обратной связи;

- передаточная функция разомкнутой части звена (системы).

Подставляя значение  из второго уравнения системы (4.16) в первое, а затем полученное выражение в третье, получим:

или

Отсюда передаточная функция замкнутой системы при отрицательной обратной связи

  (4.17)

В случае положительной обратной связи

 (4.18)

В общем случае имеем

     (4.19)

Если в схеме имеется единичная обратная связь .

    (4.20)

16. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ

1. Понятие и показатели качества управления

Понятие качества управления. Качество автоматической системы управления определяется совокупностью свойств, обеспечивающих эффективное функционирование как самого объекта управления, так и управляющего устройства, т. е. всей системы управления в целом. Свойства, составляющие эту совокупность и имеющие количественные измерители, называют показателями качества системы управления.

Качество автоматической системы, как и любого технического устройства, может быть оценено такими общепринятыми показателями, как вес системы, ее габариты, стоимость, надежность, долговечность и т. п. Совокупность этих общетехнических показателей характеризуют качество автоматической системы в широком смысле.

В теории автоматического управления и в практике автоматизации термины «качество системы», «качество управления» используют, как правило, в более узком смысле: рассматривают только статические и динамические свойства системы. Эти свойства предопределяют точность поддержания управляемой величины (выходной величины объекта) на заданном уровне в установившихся и переходных режимах, т. е. обеспечивают эффективность процесса управления. Для такого, более узкого понятия качества автоматической системы, охватывающего только ее статические и динамические свойства, применяют термин «качество управления», а сами свойства системы, выраженные в количественной форме, называют показателями качества управления.

Точность системы в установившихся режимах как одна из важнейших характеристик качества управления7* была рассмотрена в гл. 4. В настоящей главе будут рассмотрены показатели качества, • характеризующие точность системы в переходных режимах.

Точность системы в переходных режимах оценивают при помощи прямых и косвенных показателей. Прямые показатели определяют по графику переходного процесса, возникающего в системе при ступенчатом внешнем воздействии. Косвенные показатели качества определяют по распределению корней характеристического уравнения или по частотным характеристикам системы.

К особой категории показателей качества относятся так называемые интегральные оценки, которые вычисляют либо непосредственно по переходной функции системы, либо по коэффициентам передаточной функции системы (подробнее об оценках см. 6.3).

Точность системы в переходных режимах определяется величинами отклонений управляемой переменной х (f) от заданного значения х3 (t) и длительностью существования этих отклонений. Величина и длительность отклонений зависят от характера переходного процесса в системе. Характер переходного процесса в свою очередь зависит как от свойств системы, так и от места приложения внешнего воздействия.

При самой общей оценке качества обращают внимание прежде всего на форму переходного процесса. Различают следующие т и -повые переходные процессы (рис. 6.1): колебательный (кривая 1), монотонный (кривая 2) и апериодический (кривая 3).

Каждый из трех типовых процессов имеет свои преимущества и недостатки, и предпочтение той или иной форме процесса делают с учетом особенностей управляемого объекта. Так, например, в электромеханических объектах со сложными кинематическими передачами (экскаваторы, подъемные установки) нежелательны резкие знакопеременные усилия, и поэтому при выборе настроек систем управления такими объектами стремятся к апериодическим и монотонным процессам. В системах управления обогатительными аппаратами большой емкости допустимы колебательные переходные процессы, так как кратковременные отклонения управляемых величин не нарушают, как правило, нормальный режим работы аппарата и не ухудшают существенно показатели обогащения.

Рассмотрим основные показатели качества управления применительно к типовой одноконтурной системе регулирования (см. 4.3, рис. 4.7, б).

Прямые показатели. На графиках переходных процессов

(рис. 6.2), вызванных ступенчатым изменением задающего воздейст-

Рис. 6.2. Прямые показатели качества процесса регулирования: а — по каналу задания;

б — по каналу возмущения

вия х3 (а) и возмущения ув, действующего на входе объекта (б), за начало отсчета для выходной величины х (t) принято значение х (— 0), которое было до подачи ступенчатого воздействия.

Одним из главных прямых показателей качества является перерегулирование σ (%), которое равно отношению первого максимального отклонения управляемой переменной» х (t) от ее установившегося значения х (∞) к этому установившемуся, значению . (см. рис. 6.2, а):

      (6.1)

Качество управления считается удовлетворительным, если перерегулирование не превышает 30—40 %.

Для переходных процессов, вызванных возмущающим воздействием г/в! на входе объекта (см. рис. 6.2, б), перерегулирование можно определять как отношение второго (отрицательного) максимального отклонения А 2 к первому максимальному отклонению А х:

Показатель, вычисляемый по данной формуле для переходных процессов по каналу возмущения, называют также колебательностью. Другой важной характеристикой таких процессов служит динамический коэффициент регулирования Rд (%), который равен отношению первого максимального отклонения хш к отклонению выходной переменной х (t) нерегулируемого объекта, вызванному тем же возмущением, т. е.

(6.3) 

Коэффициент Rд показывает, насколько эффективно компенсирующее действие регулятора на объект.

Отметим, что и само первое максимальное отклонение Хм возникающее от возмущения на входе объекта, является показателем качества. При формировании требований к системе указывают допустимое значение максимального отклонения (непосредственно в единицах измерения управляемой величины).

Длительность существования динамических отклонений управляемой величины х (t) от ее нового установившегося значения х (∞) принято оценивать с помощью нескольких характерных моментов времени. Самым важным из этой группы показателей является длительность переходного процесса (время регулирования) tп — интервал времени от момента приложения ступенчатого воздействия до момента, после которого отклонения управляемой величины х (t) от ее нового установившегося значения х (t) становятся меньше некоторого заданного числа бп, т. е. до момента, после которого выполняется условие | х (t) - х (∞) |<= σ п

В промышленной автоматике величину бп принимают обычно равной 5 % от установившегося значения х(∞) [σ п = 0,05 х (∞)]. При оценке длительности переходных процессов, вызванных единичным возмущающим воздействием ув на входе объекта (см. рис. 6.2, б), величину бп можно принимать равной 5 % от значения передаточного коэффициента объекта k0 [σ п = 0,05 k0], а для процессов, вызванных воздействием хв на выходе объекта, — 5 % от начального отклонения х (+ 0) [σ п = 0,05 х (+ 0)].

Дополнительными временными показателями качества являются (см. рис. 6.2, а): время нарастания t н, время достижения первого максимума t м и период затухающих колебаний Т3. Эти показатели вместе с t n характеризуют быстродействие системы регулирования.

Прямым показателем качества служит также степень затухания

 Ψ=(А1-А3)/А1=1- А3/ А1 (6.4)

А1 я А3 — соседние максимальные отклонения (амплитуды) одного знака (см. рис. 6.2, б). Интенсивность затухания колебаний системе считается удовлетворительной, если Ψ = 0,75 .. 0,95 Колебательность системы можно оценивать, наряду с показателями σ и Ψ, числом переходов N величины х (t) через устанавливается значение х (∞) на интервале tn. Три главных показателя качества — перерегулирование σ первое максимальное отклонение хш и длительность ta — тесно, связаны между собой. Они зависят от всех параметров систем [более сильно — от передаточного коэффициента разомкнутого контура. Причем, с увеличением этого коэффициента максимальное отклонение по каналу возмущения всегда уменьшается, а перерегулирование и длительность переходного процесса, как увеличиваются (рис. 6.3). Отыскание оптимального компромисса этими двумя противоречивыми тенденциями является основных задач синтеза систем управления.

Рис. 6.3. Влияние передаточного коэффициента разомкнутого контура на показатели переходного процесса

 

Частотные показатели. Наиболее важными и одновременно удобными косвенными показателями являются частотные показатели, которые определяются по частотным характеристикам замкнутого и разомкнутого контура системы.

По амплитудной частотной характеристике А (ω) замкнутой системы по основному каналу х3—х (рис. 6.4) оценивают частотный показатель колебательности М, равный отношению максимума Аи характеристики к ее начальному значению А (0):

(6.5)

М = Ам/А(0).

Чем больше это отношение, тем сильнее колебательность системы (тем больше перерегулирование а) и, как следствие, больше длительность переходного процесса tn. Качество системы считается обычно удовлетворительным, если показатель М находится в пределах 1,1—1,5.

Косвенными частотными показателями быстродействия системы служат характерные частоты (см. рис. 6.4): резонансная частота сор, частота незатухающих колебаний со0 » сор и частота пропускания

ω п «* 3 ω0.

По а. ф. х. W (jω) разомкнутого контура определяют запас устойчивости по амплитуде (рис. 6.5, а)

(6.6)

ΔА = 1-А(ω я)

и запас устойчивости по фазе (рис. 6.5, б)

(6.7)

Δφ = π —|φ (ω)ср)|,

= я —1ф(ю с„)1,

которые вместе характеризуют удаленность кривой W (jω) от критической точки (— 1, j0). При проектировании систем обычно

Рис. 6.5. Запасы устойчивости системы

задаются запасом по амплитуде ΔА >= 0,5 - 0,6 и по фазе Δ ω >= 30 - 60°. При этом обеспечивается, как правило, и удовлетворительное качество процесса управления.

Запасы устойчивости необходимо принимать в связи с тем, что некоторые параметры объекта управления могут произвольно изменяться е процессе работы системы. Например, постоянные времени электрических машин экскаваторного привода из-за изменения температуры окружающего воздуха могут существенно отклоняться от своих номинальных (расчетных) значений. Расхождения между фактическими значениями параметров объекта и значениями, при которых выполняется анализ устойчивости системы, могут иметь место и по другим причинам. Так, при математическом описании объекта применяется определенная идеализация — отбрасываются второстепенные факторы. Погрешности возникают также при экспериментальном определении и при линеаризации характеристик объекта.

При решении задач синтеза систем (см. гл. 7) запасы устойчивости удобней задавать в логарифмических координатах (см. рис. 6.5, б). В этом случае запас устойчивости по амплитуде определяют по выражению

ΔL=20|lg A(ωп )|

Указанным выше значениям ΔА соответствует ΔA > 6 - 8 дБ.

Корневые показатели. Для косвенной оценки качества управления используют также корневые показатели, определяемые

201

 

Рис. 6.6. Корневые показатели качества

по расположению корней р1, р2, уравнения замкнутой системы рп характеристического

a1 p + a1 pn-1 +….+an = 0 (6.9)

на комплексной плоскости (рис. 6.6, а).

Наиболее общим корневым показателем качества является среднее геометрическое знаение модулей корней

(6.10)

которое легко вычисляется через крайние коэффициенты характеристического уравнения

Среднегеометрический корень α0 определяет на действительной оси комплексной плоскости

α-jβ (см. рис. 6.6, а) точку, являющуюся геометрическим центром всех корней характеристического уравнения. Величина α 0 имеет размерность с"1 и служит обобщенной мерой быстродействия системы: чем меньше показатель α 0, тем ближе «созвездие» корней к мнимой оси и тем больше длительность переходного процесса.

Для колебательной системы второго порядка, рассматриваемой в 6.2, показатель α 0 равен частоте незатухающих колебаний ω0.

В числитель подкоренного выражения в формуле (6.11) входит коэффициент α п, который зависит от передаточного коэффициента k разомкнутого контура: для статических систем α п = 1 + k, астатических αn = k. Отсюда можно сделать вывод: чем больше коэффициент k, тем лучше быстродействие системы (при прочих равных условиях — одинаковой конфигурации «созвездия» корней).

Основное влияние на характер переходного процесса оказывают корни, расположенные ближе к мнимой оси, которые дают наиболее длительные составляющие переходного процесса и называются доминирующими.

Расстояние от мнимой оси до ближайшего к ней корня называется степенью устойчивости г\. Если ближайший корень действительный (см. рис. 6.6, а, корень рх), то доминирующей составляющей переходного процесса будет экспонента с показателем степени ph = — т):

xk(t) = Ck e-ηi, (6.12)

если же ближайшими к мнимой оси являются два сопряженных комплексных корня, то доминирующей будет одна колебательная составляющая, которая затухает также по экспоненциальной составляющей (6.12). В обоих случаях длительность переходного процесса (для бп т= 0,05 Ck) определяется приближенной формулой

t п <=3/η               (6.13)

где знак равенства относится к случаю действительного доминирующего корня, а знак неравенства — к случаю комплексных доминирующих корней.

При выборе настроечных параметров регулятора всегда стремятся скомпенсировать (исключить из уравнения) доминирующие (наименьшие корни), которым соответствуют наибольшие постоянные времени объекта, и тем самым улучшить быстродействие системы .

Колебательные свойства системы регулирования предопределяет та kпара комплексных корней pk — α k ± jβk, для которой наибольшее отношение

μ κ = |β | / |ακ|                     (6.14)

или наибольший угол {f между двумя симметричными лучами (см. рис. 6.6, а). В данном случае такой парой, предопределяющей доминирующую колебательную составляющую переходного процесса, являются комплексные корни р2 и р3.

Отношение μ д мнимой части β к действительной части а доминирующей пары комплексных корней называют степенью колебательности.

В практических расчетах чаще используют корневой показатель колебательности

также определяемый через доминирующую пару комплексных корней. При выборе настроек регуляторов стремятся получить значения т = 0,2 - 0,5.

Специальными математическими исследованиями установлено, что в системе любого порядка наиболее быстрый апериодический переходный процесс имеет место, когда все. п корней равны между собой. Максимальное быстродействие системы достигается при небольшой колебательности (σ < 10 %). Для этого все комплексные корни (и один действительный при п нечетном) должны располагаться на одинаковом расстоянии η от мнимой оси, а мнимые части должны образовать арифметическую прогрессию с разностью Δβ = β1. Причем, для каждого порядка уравнения существует оптимальное отношение Δβ/η: для 2-го порядка оно равно 1, для

3-го— 1,45, 4-го — 0,79, 5-го— 1,5.

В специальной литературе приводятся рекомендации по выбору коэффициентов характеристического уравнения из условия максимального быстродействия.

Определение показателей η и μ по уравнению с известными коэффициентами является в общем случае такой же трудоемкой задачей, как и отыскание самих корней. Легче решается обратная задача — определение коэффициентов уравнения и параметров системы, при которых все корни лежат в области с заданной степенью устойчивости (рис. 6.6, б) или колебательности (рис. 6.6, в). Для этого может быть использован метод D-разбиения (см. гл. 5). Только вместо обычной замены р = jω в характеристическом уравнении необходимо сделать подстановку р = - η + jω или

Р=— (|ω|/μ) + jω, где η и μ — заданные числа.

Выполняя далее все обычные операции метода D-разбиения, можно получить области заданной степени устойчивости и колебательности в пространстве варьируемых коэффициентов и параметров системы.

Корневые показатели α0, η μд и тд важны для понимания проблемы качества и ее связи с проблемой устойчивости, но используются реже других, так как их непосредственное определение для конкретной системы высокого порядка (п > 3) представляет собой сложную вычислительную задачу.

17.. поясните математическую сущность устойчивости систем регулирования.

Понятие «устойчивость» в математической трактовке впервые ввёл в науку русский учёный А.М. Ляпунов (1892 г.). Он дал стройную и законченную постановку задачи об устойчивости движения и методы её решения.

А.М. Ляпуновым были сформулированы следующие теоремы:

Теорема первая. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то система будет устойчива независимо от членов разложения выше первого порядка малости.

Теорема вторая. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения найдётся, по меньшей мере один с положительной вещественной частью, то система будет неустойчивой независимо от членов разложения выше первого порядка малости.

Пусть, например, свободное движение линейной САР, выведенной малым отклонением из состояния равновесия, описывается дифференциальным уравнением замкнутой системы

(6.1)

Т.е. в общем случае передаточная функция линейной САР

(6.2)

где .

Первая часть дифференциального уравнения определяется внешними воздействиями. Об устойчивости системы можно судить по переходному процессу при приложении внешних воздействий

(6.3)

Для устойчивых систем правая часть определяет значение регулируемой координаты  в статическом режиме.

Свободная составляющая:

,

где:  – постоянная интегрирования;

– корни характеристического уравнения.

Вынужденная составляющая (при p=0):

.  (6.4)

Характеристическое уравнение или характеристический полином – это знаменатель передаточной функции по задающему, возмущающему воздействию или по ошибке регулирования.

Вынужденная составляющая представляет собой частное решение уравнения, является полезной составляющей регулируемой величины. Она характеризует установившийся режим системы. Переходная или свободная составляющая является решением однородного дифференциального уравнения и имеет место в переходном режиме. Эта составляющая по существу представляет ошибку системы в переходном режиме (отклонение системы от равновесного состояния) и поэтому является нежелательной составляющей регулируемой величины. Переходная составляющая (решение однородного уравнения) в случае некратных корней может быть представлена в виде следующей суммы:

(6.5)

Очевидно, что система будет устойчивой, если переходная составляющая  в ней с течением времени затухает, т.е. решение уравнения (6.5) должно удовлетворять требованию:

   (6.6)

Если же  при  не стремится к нулю, а возрастает или представляет незатухающие колебания, то система неустойчива.

Из формулы (6.6) видно, что затухание , т.е. устойчивость системы, зависит от значения корней  характеристического уравнения замкнутой системы (6.4).

Возможны следующие случаи:

1. Корни вещественные

Если все корни отрицательные, то с течением времени все члены уравнения (6.6), содержащие множитель  стремится к нулю, т.к. , а отклонение регулируемой величины  стремится к постоянному значению  или к нулю. Система в этом случае устойчива.

Если хотя бы один из корней, например, p1 положителен, то соответствующий член  с течением времени неограниченно возрастает, и отклонение регулируемой величины  Система в этом случае будет неустойчивой.

Если все вещественные кони отрицательны, то каждая составляющая или множитель стремятся к нулю при , т.е.

Если же вещественные части корней положительны , то

и система неустойчивая.

2. Корни комплексные сопряжённые с отрицательной вещественной частью

;

В этом случае

(6.7)

Если корни сопряженные комплексные, то в этом случае при отрицательных вещественных частей отклонение регулируемой величины приходит к установившемуся значению (к нулю) с затухающими гармоническими колебаниями.

Действительно, если вещественные части  всех комплексных корней отрицательны, то каждое слагаемое суммы (6.8) представляет собой затухающее колебание и поэтому

,

т.е. система устойчивая.

3. Корни комплексные сопряжённые при положительной вещественной части.

.

Если хотя бы одна пара комплексных корней имеет положительную вещественную часть (), то в этом случае

  (6.8)

отклонение регулируемой величины совершает колебания с неограниченно возрастающей амплитудой. Система неустойчива.

4. Корни имеют нулевую вещественную часть (), т. е.

.

В этом случае отклонение регулируемой величины совершает незатухающие колебания (автоколебания), т.е. система находится на границе устойчивости

Таким образом, условием устойчивости системы автоматического управления является отрицательность вещественных частей всех корней характеристического уравнения (т. е. расположение всех корней характеристического уравнения в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.)

Корни характеристического уравнения замкнутой системы зависят только от параметров системы (коэффициентов уравнения ), т. е. от постоянных времени и коэффициентов усиления звеньев.

Корни характеристического уравнения можно представить в виде векторов, расположенных в комплексной плоскости. Очевидно, что система будет устойчивой, если все корни располагаются слева от мнимой оси.

В случае если один вещественный корень или пара комплексно сопряженных корней располагается на мнимой оси, система оказывается на границе устойчивости. Системы, у которых имеется одна пара мнимых корней, могут совершать незатухающие колебания (автоколебания). Если система имеет один нулевой корень при всех остальных корнях, расположенных левее мнимой оси, называют нейтрально устойчивыми.

Для того чтобы все корни оказались в левой полуплоскости, можно воздействовать на коэффициенты характеристического уравнения, которые связаны с корнями непрерывными зависимостями.

Задача определения устойчивости может быть решена различными методами. Можно определять корни характеристического уравнения и по ним устанавливать знаки вещественных частей. Но такой метод может быть использован, когда порядок характеристического уравнения ниже третьего. Уравнения более высоких степеней вообще не имеют аналитического решения и могут быть решены лишь приближенно.

Но для определения устойчивости совершенно не обязательно знать значение корней. Достаточно убедиться только в отрицательности вещественных частей корней. Для этого можно воспользоваться методами, основанными на использовании критериев устойчивости.

18. Алгебраические критерии устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения

D (s) =a0 s" + d s + ... + ап = 0. (1)

необходимым условием устойчивости системы любого порядка является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения (1):

ао>О; а1>0; ...; ап > 0. (2)

Критерий устойчивости Рауса. Этот критерий устойчивости был в 1877 г. предложен английским математиком Э. Раусом в виде некоторого правила (алгоритма), которое наиболее просто поясняется табл. 1.

В первой строке табл. 1 записывают в порядке возрастания индексов коэффициенты характеристического уравнения (1), имеющие четный индекс: а0, а2, a4, а6, ...; во второй строке — коэффициенты (1) с нечетным индексом: a1t a3, a5, a6, ....;

Любой из остальных коэффициентов таблицы определяют

Ск,i=Ck+1, i-2 – riCk+1, i-1   (3)

Где

ri = C1, i-2/C1, i-1.  (4)

В (3.35) и (3.36) k — индекс, означающий номер столбца табл. 1; i — индекс, означающий номер строки табл. 1.

Заметим, что число строк таблиц Рауса равно степени характеристического уравнения плюс единица (п + 1).

После того как таблица Рауса заполнена, по ней можно судить об устойчивости системы. Условие - устойчивости Рауса формулируется так: для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и , тот же знак, т. е. при а0 >0 были положительными:

С11=а0>0; C12=a1>0; C13>0;…; С1, n+1=а>0.  (5)

Таблица 1

Коэффициент ri

Строка

(i)

Столбцы

1

2

3

4

-

1

a0=C11

a2=C21

a4=C31

-

2

a1=C12

a3=C22

a5=C32

r3=a0/a1

3

C13=a2-r3*a3

C23=a4-r3*a5

C33=a6-r3*a7

r3=a1/C13

4

C14=a3-r4*C23

C24=a5-r4*C33

C34=a7-r4*C43

r3=C13/C14

5

C15=C23-r5*C24

C25=C33-r5*C24

C35=C43-r5*C44

r3=C1, i-2/C1, i-1

i

C1, i=C2, i-2-ri*C2, i-1

C2, i=C3,i-2-ri*C3, i-1

C3, i=C4,i-2-ri*C4, i-1

Если не все коэффициенты первого столбца положительны, то система неустойчива, а число правых корней характеристического уравнения равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.

Критерий Рауса особенно удобен, когда заданы числовые значения коэффициентов характеристического уравнения (1). В этом случае определение устойчивости можно выполнить довольно быстро даже при характеристических уравнениях высокого порядка.

Форма алгоритма, с помощью которого составляют таблицу Рауса, очень удобна для программирования ЭВМ, поэтому критерий Рауса нашел широкое применение при исследовании влияния на устойчивость либо коэффициентов характеристического уравнения, либо отдельных параметров системы, не очень сложным образом входящих в эти коэффициенты, е помощью быстродействующих ЭВМ.

Критерий устойчивости Гурвица. В 1895 г. немецким математиком А. Гурвицем был разработан алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемых из коэффициентов характеристического уравнения системы.

Из коэффициентов характеристического уравнения (1) Строят сначала главный определитель Гурвица (6) по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от а1 до ап в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз — коэффициентами с последовательно убывающими индексами.

Δn= (6)

На место коэффициентов с индексами больше п (п — порядок характеристического уравнения) и меньше нуля проставляют нули.

Отчеркивая в главном оцределителе Гурвица, как показано пунктиром, диагональные миноры, получаем определители Гурвица низшего порядка:

Δ1 =a1 Δ2= Δ3= Δk=   (7)

Номер определителя Гурвица определяется номером коэффициента по диагонали, для которого составляют данный определитель. Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом: для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения а0, т. е. при а0 > 0 были положительными.

Таким образом, при а0 > 0 для устойчивости системы не обходимо и достаточно выполнения следующих условий:

Δ1 =a1 > 0 Δ2= >0 Δ3= >0 Δk=>0 (8)

Раскрывая, например, определители Гурвица для характеристических уравнений первого, второго, третьего и четвертого порядков,., можно получить следующие условия устойчивости:

1) для уравнения первого порядка (п = 1), т. е. а0 s + а1 =0, условия устойчивости

а0 > 0; а1 > 0;  (9)

2) для уравнения второго порядка (п = 2), т. е. a0s2+а1s + а3 = 0, условия устойчивости

а0 > 0; а1 > 0; а2 > 0;  (10)

3) для уравнения третьего порядка (п = 3), т. е. aos3 + a1s2 + a3 = 0, условия устойчивости

а0 > 0; a1 > 0; а2 > 0; а3 > 0; (11)

а1a2 — a0а3> 0;    (12)

4) для уравнения четвертого порядка (п=4), т . е. aos4 + a1s3 + a2s2 + a3s + a4 условия устойчивости

а0 > 0;a1 > 0;а2 > 0;а3 > 0;а4 > 0;  (13)

 a3(а1a2 — a0а3)- а12a2> 0;  (14)

Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядков является положительность коэффициентов характеристического уравнения. Для уравнения третьего и четвертого порядков кроме положительности коэффициентов необходимо соблюдение дополнительных неравенств (12) и (13).

При п >=5 число подобных дополнительных неравенств возрастает, процесс раскрытия определителей становится довольно трудоемким и громоздким. Поэтому критерий устойчивости Гурвица обычно применяют при п <= 4. При п >= 5 целесообразно применять формулируемый ниже критерий устойчивости Льенара — Шипара либо при использовании критерия устойчивости Гурвица переходить к численным методам с использованием ЭВМ.

В последнем столбце главного определителя Гурвица (6) отличен от нуля только один коэффициент ап, поэтому

Δnn Δn-1 (15)

Из (15), видно, что при аn > 0 для проверки устойчивости системы достаточно найти только определители Гурвица от Δ1 до Δn. Если все определители Гурвица низшего порядка положительны, то система находится на границе устойчивости, когда главный определитель равен нулю:

Δп = апΔп-1. (16)

Последнее равенство возможно в двух случаях: ап = 0 или Δn-1 = 0. В первом случае система находится на границе апериодической устойчивости (один из корней характеристического уравнения равен нулю); во втором случае — на границе колебательной устойчивости (два комплексно-сопряженных корня характеристического уравнения находятся на мнимой оси).

Используя критерий Гурвица, можно при заданных параметрах системы принять за неизвестный какой-либо один параметр (например, коэффициент усиления, постоянную времени и т. д. ) и определить его предельное (критическое) значение, при котором система будет находиться на границе устойчивости.

Следует заметить, что критерий Гурвица можно получить из критерия Рауса, поэтому иногда критерий Гурвица называют критерием Рауса — Гурвица.

Критерий устойчивости Льенара — Шипара. Для исследования устойчивости систем автоматического управления, имеющих порядок характеристического уравнения п >= 5, удобно применять одну из модификаций алгебраического критерия устойчивости Гурвица, предложенную в 1914 г. П. Лье-наром и Р. Шипаром.

Доказано, что в том случае, когда все коэффициенты характеристического уравнения (1) положительны (а0 > 0, a1 > 0, a2> 0,..., an > 0), из того факта, что положительны все определители Δх, Δ3, Δ5>... с нечетными индексами, следует и положительность определителей А. Гурвица Δ2, Δ4, Δ6, … с четными индексами, и наоборот.

Поэтому в тех случаях, когда выполнены необходимые условия устойчивости, т. е. a0>О, а1>0,..., ап >0, необходимые и достаточные условия устойчивости сводятся к тому; чтобы среди определителей Гурвица Δ1, Δ2> ..., Δn были положительны все определители с четными (или же все определители с нечетными) индексами.

Таким образом, для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства:

     ао>О, a1>0, ..., ап>0,      Δ1>0,Δ3>0, Δ5>0, …,   (17)

    ао>О, a1>0, ..., аn>0,

     Δ2>0, Δ4>0, Δ6>0, ...,  (18)

Последняя формулировка критерия устойчивости, называемая критерием устойчивости Льенара Шипара, требует раскрытия меньшего числа определителей, чем обычный критерий Гурвица, а поэтому особенно удобна при исследовании устойчивости систем автоматического управления высокого порядка.

19. какими типовыми звеньями……..

См. билеты 3, 4, 5, 6, 7, 8.

20. Идеальный ПИ-закон регулирования и его переходная характеристика

Данный регулятор называют изодромным или регулятором с гибкой ОС. Гибкая ОС действует только при наличии рассогласования и является внутренней ОС.

На вход ПИ-регулятора подается два сигнала: сигнал, пропорциональный действительному значению регулируемого параметра, и сигнал, пропорциональный заданному значению.

ПИ-регулятор представляет собой параллельно соединенные И- и П-регуляторы.

Закон регулирования: .

Наиболее часто ПИ-закон регулирования записывается в следующей форме: , где ; .

Т.е. данный регулятор имеет два параметра настройки kp и Тиз.

kp – коэффициент передачи для настройки пропорциональной части регулятора.

Тиз – время изодрома для настройки интегральной части, .

Время изодрома есть время, за которое один поворот вала ИМ над действием пропорциональной части удваивается интегральной, т.е. kp и Ти можно определить по кривой разгона.

Кривая разгона ПИ-регулятора (переходная характеристика):

Передаточная функция ПИ-регулятора: .

Исключить инерционность можно, приняв Тиз=Тоб – это уникальность ПИ-регулятора.

21. Частотные критерии устойчивости

Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.

Принцип аргумента

Запишем характеристический полином САУ в виде

 D(p) = a0(p - p1)(p - p2)...(p - pn) = 0. 

 

Рисунок 1

Его корни

pi = i + ji = |pi|ejarg(pi), 

где arg(pi) = arctg(i/ai) + k,

.

Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости (рис.1,а), тогда разность p - pi изобразится разностью векторов (рис.1,б), где p - любое число.

Еcли менять значение p произвольным образом, то конец вектора p - pi будет перемещаться по комплексно плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так как pi - это конкретное неизменное значение.

В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотой , то p = j, а характеристический полином принимает вид:

D(j) = a0(j - p1)(j - p2)...(j - pn). 

При этом концы векторов j - pi будут находиться на мнимой оси (рис.1,в). Если менять  от -  до + , то каждый вектор j - pi будет поворачиваться относительно своего начала pi на угол +p для левых и - p для правых корней (рис.1,г).

Характеристический полином можно представить в виде

D(j) = |D(j)|ejarg(D(j)),

где |D(j)| = a0|j - p1||j - p2|...|j - pn|,

arg(D(j)) = arg(j - p1) + arg(j - p2) + .. + arg(j - pn).

Пусть из n корней m - правые, а n - m - левые, тогда угол поворота вектора D(j) при изменении  от -  до + равен

= (n - m) - m,

или при изменении от 0 до + получаем

= (n - 2m)(/2). 

Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора b при изменении частоты от - до + равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(p) = 0, умноженному на , а при изменении частоты от 0 до + эта разность умножается на /2.

Это и есть принцип аргумента. Он положен в основе всех частотных критериев устойчивости. Мы рассмотрим два наиболее распространенных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста.

 

Критерий устойчивости Михайлова

Так как для устойчивой САУ число правых корней m = 0, то угол поворота вектора D(j) составит

 

= n/2.

 

То есть САУ будет устойчива, если вектор D(j) при изменении частоты  от 0 до + повернется на угол n/2.

При этом конец вектора опишет кривую, называемую годографом Михайлова. Она начинается на положительной полуоси, так как D(0) = an, и последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, уход в бесконечность в n - ом квадранте (рис.69а).

Если это правило нарушается (например, число проходимых кривой квадрантов не равно n, или нарушается последовательность прохождения квадрантов (рис.69б)), то такая САУ неустойчива - это и есть необходимое и достаточное условие критерия Михайлова.

Достоинства. Этот критерий удобен своей наглядностью. Так, если кривая проходит вблизи начала координат, то САУ находится вблизи границы устойчивости и наоборот. Этим критерием удобно пользоваться, если известно уравнение замкнутой САУ.

Для облегчения построения годографа Михайлова выражение для D(j) представляют суммой вещественной и мнимой составляющих:

 D(j) = a0(j - p1)(j - p2)...(j - pn) = a0(j)n + a1(j)n - 1 + ... + an = ReD(j) + jImD(j),

где 

ReD(j) = an - an - 22 + an- 4 4 - ...,

ImD(j) = an - 1 - an - 33 + an- 5 5 - ....

Меняя от 0 до по этим формулам находят координаты точек годографа, которые соединяют плавной линией.

 Критерий устойчивости Найквиста

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ по виду АФЧХ разомкнутой САУ (рис.70). Исследование разомкнутой САУ проще, чем замкнутой. Его можно производить экспериментально, поэтому часто оказывается, что АФЧХ разомкнутой САУ мы имеем или можем получить.

Передаточная функция разомкнутой САУ:

Wp(p) = Wp(p)/Dp(p) = > уравнение динамики: y(t) = e(t),

или

Dp(p)y(t) = Kp(p)e(t).

Здесь Dp(p) - характеристический полином разомкнутой САУ. То есть по виду корней уравнения Dp(p) = 0 можно судить об устойчивости разомкнутой САУ. Но это пока ничего не говорит об устойчивости замкнутой САУ.

Для того, чтобы получить уравнение динамики замкнутой САУ при свободном движении, считаем, что внешнее воздействие u = 0, тогда на вход первого звена САУ подается сигнал

e(t) = u(t) - y(t) = - y(t).

То есть

 Dp(p)y(t) = Kp(p)( - y(t)),

следовательно уравнение замкнутой САУ:

(Dp(p) + Kp(p))y(t) = 0.

Таким образом, характеристическое уравнение замкнутой САУ:

Dз(p) = Dp(p) + Kp(p) = 0.

По виду его корней уже можно судить об устойчивости замкнутой САУ.

Воспользуемся вспомогательной функцией:

F(j) = 1 + Wр(j) = .

По сути дела она представляет собой АФЧХ разомкнутой САУ, сдвинутую на единицу вправо. Степени полиномов Dз(j) и Dp(j) равны n. Эти полиномы имеют свои корни pзi и ppi, то есть можно записать:

F(jw) = .

Каждую разность в скобках можно представить вектором на комплексной плоскости, конец которого скользит по мнимой оси (рис.63в). При изменении от - до + каждый из векторов j - pi будет поворачиваться на угол +p, если корень левый и -p, если корень правый.

Пусть полином Dз(jw) имеет m правых корней и n - m левых, а полином Dp(j) имеет g правых корней и n - g левых. Тогда суммарный угол поворота вектора функции F(j) при изменении частоты от - до + :

p[(n - m) - m)] - p[(n - g) - g] = 2p(g - m). 

Если замкнутая САУ устойчива, то m = 0, тогда суммарный поворот вектора F(j) при изменении от - до + должен быть равен 2g, а при изменении от 0 до + он составит 2g/2.

Отсюда можно сформулировать критерий устойчивости Найквиста: если разомкнутая САУ неустойчива и имеет g правых корней, то для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вектор F(j) при изменении от 0 до + охватывал начало координат в положительном направлении g/2 раз, то есть АФЧХ разомкнутой САУ должна охватвать g/2 раз точку ( - 1, j0).

На рис.71а приведены АФЧХ разомкнутых САУ, устойчивых в замкнутом состоянии, на рис.71б - замкнутая САУ неустойчива.

На рис.71в и 71г показаны АФЧХ разомкнутых астатических САУ, соответственно устойчивых и неустойчивых в замкнутом состоянии. Их особенность в том, что АФЧХ при 0 уходит в бесконечность.

 

В этом случае при использовании критерия Найквиста ее мысленно замыкают на вещественную ось по дуге окружности бесконечно большого радиуса.

Достоинство. Критерий Найквиста очень нагляден. Он позволяет не только выявить, устойчива ли САУ, но и, в случае, если она неустойчива, наметить меры по достижению устойчивости.

22. Объяснить понятие устойчивости по Ляпунову

Пусть движение САУ описывается дифф. уравнениями, которые могут быть приведены к виду:

, (1)

где  - вещественные переменные, характеризующие состояние САУ (обобщенные координаты);  - известные функции переменных  и времени t, удовлетворяющие условиям существования и единственности решения.

Исходное состояние системы при  однозначно определяется начальными значениями переменных , которые обозначим .

Каждой совокупности начальных значений  соответствует единственное решение (1) для всех

. (2)

Решение (2) описывает какое-либо движение системы, определяемое исходным состоянием.

Некоторые вполне определенное движение системы, подлежащее исследованию на устойчивость, называют невозмущенным движением.

Заметим, что выбор невозмущенного движения является произвольным. Это может быть любое возможное движение системы, как установившееся, так и неустановившееся. Допустим, что в качестве невозмущенного движения выбрано такое, которое описывается заданными функциями времени:

. (3)

Предположим, что функции  являются частными решениями дифференциальных уравнений (1), т.е.

, (4)

удовлетворяющих начальным условиям при

(5)

В частном случае, когда параметры системы не изменяются со временем и функции  не зависят явно от t, движения (3) являются установившимися. Им отвечают решения

, (6)

служащие корнями уравнений

. (7)

Изменим условия (5), дав начальным значениям переменных  небольшие по модулю приращения , т.е. пусти при

.(8)

Движение системы, отвечающее измененным начальным условиям (8) называется возмущенным движением. Другими словами, возмущенным движением системы нзывают всякое иное движение системы, отличное от невозмущенного.

Введем новые переменные

, (9)

равные разности переменных  в возмущенном и невозмущенном движении. Переменные  называют отклонениями или вариациями величин . Если все отклонения равны нулю:

(10)

то возмущенное движение  будет совпадать с невозмущенным движением , т.е. невозмущенному движению отвечают нулевые значения переменных .

Пусть при  переменные  принимают какие-либо начальные значения , из которых по крайней мере одно не равно нулю:

. (11)

Начальные значения отклонений (11) называются возмущениями.

А. М Ляпуновым было дано следующее определение устойчивости: невозмущенное движение называют устойчивым по отношению к переменным , если при всяком произвольно заданном положительном числе , как бы мало оно ни было, можно выбрать другое такое положительное число , что при всяких возмущениях , удовлетворяющих условию

, (12)

и при любом  будет выполняться неравенство

, (13)

в противном случае движение неустойчиво.

23. При каком соотношении между постоянными времени Т1 и Т2 инерционное звено второго порядка имеет апериодический переходный процесс, а при каком колебательный.

Колебательным называется звено второго порядка, в котором при получении на входе ступенчатого воздействия, выходная величина стремится к новому установившемуся значению, совершая затухающие колебания.

Переходный процесс такого звена описывается дифференциальным уравнением второго порядка.

   (3.19)

или

   (3.20)

где T1 и T2 – постоянные времени колебательного звена, имеющие размерность времени;

 

T – эквивалентная постоянная времени звена

;

– постоянная безразмерная величина, называемая относительным коэффициентом затухания колебательного звена .

Из выражения видно, что характер переходной функции зависит от коэффициента ξ:

  1.  При 0 < ξ < 1 – переходная функция имеет вид затухающих колебаний;

0 < . < 1, от сюда Т1/Т2<4, Т1<4Т2

  1.  При ξ = 0 – переходная функция будет представлять собой незатухающие колебания, в данном случае колебательное звено будет называться консервативным и будет иметь передаточную функцию

3) При -1 < ξ < 0 – на выходе звена со следующей переходной характеристикой

появляются возрастающие по амплитуде колебания;

Звено будет иметь следующую передаточную функцию

т.е. звено будет неустойчивым;

4) При ξ > 1 – переходная функция имеет монотонный характер и колебательное звено превращается в апериодическое звено второго порядка с передаточной функцией

Апериодическое звено 2-го порядка будет иметь место при последовательном соединении двух апериодических звеньев первого порядка, либо при колебательном звене, если T2>2T1, т.к. при этом корни характеристического уравнения вещественные

В этом случае исходное дифференциальное уравнение примет вид

Корни характеристического уравнения

Передаточная функция звена принимает вид

24 Корневые показатели.

 Для косвенной оценки качества управления используют также корневые показатели, определяемые

 

Рис. 6.6. Корневые показатели качества

по расположению корней р1, р2, уравнения замкнутой системы рп характеристического

a1 p + a1 pn-1 +….+an = 0 (6.9)

на комплексной плоскости (рис. 6.6, а).

Наиболее общим корневым показателем качества является среднее геометрическое знаение модулей корней

(6.10)

которое легко вычисляется через крайние коэффициенты характеристического уравнения

Среднегеометрический корень α0 определяет на действительной оси комплексной плоскости

α-jβ (см. рис. 6.6, а) точку, являющуюся геометрическим центром всех корней характеристического уравнения. Величина α 0 имеет размерность с"1 и служит обобщенной мерой быстродействия системы: чем меньше показатель α 0, тем ближе «созвездие» корней к мнимой оси и тем больше длительность переходного процесса.

Для колебательной системы второго порядка, рассматриваемой в 6.2, показатель α 0 равен частоте незатухающих колебаний ω0.

В числитель подкоренного выражения в формуле (6.11) входит коэффициент α п, который зависит от передаточного коэффициента k разомкнутого контура: для статических систем α п = 1 + k, астатических αn = k. Отсюда можно сделать вывод: чем больше коэффициент k, тем лучше быстродействие системы (при прочих равных условиях — одинаковой конфигурации «созвездия» корней).

Основное влияние на характер переходного процесса оказывают корни, расположенные ближе к мнимой оси, которые дают наиболее длительные составляющие переходного процесса и называются доминирующими.

Расстояние от мнимой оси до ближайшего к ней корня называется степенью устойчивости г\. Если ближайший корень действительный (см. рис. 6.6, а, корень рх), то доминирующей составляющей переходного процесса будет экспонента с показателем степени ph = — т):

xk(t) = Ck e-ηi, (6.12)

если же ближайшими к мнимой оси являются два сопряженных комплексных корня, то доминирующей будет одна колебательная составляющая, которая затухает также по экспоненциальной составляющей (6.12). В обоих случаях длительность переходного процесса (для бп т= 0,05 Ck) определяется приближенной формулой

t п <=3/η               (6.13)

где знак равенства относится к случаю действительного доминирующего корня, а знак неравенства — к случаю комплексных доминирующих корней.

При выборе настроечных параметров регулятора всегда стремятся скомпенсировать (исключить из уравнения) доминирующие (наименьшие корни), которым соответствуют наибольшие постоянные времени объекта, и тем самым улучшить быстродействие системы .

Колебательные свойства системы регулирования предопределяет та kпара комплексных корней pk — α k ± jβk, для которой наибольшее отношение

μ κ = |β | / |ακ|                     (6.14)

или наибольший угол {f между двумя симметричными лучами (см. рис. 6.6, а). В данном случае такой парой, предопределяющей доминирующую колебательную составляющую переходного процесса, являются комплексные корни р2 и р3.

Отношение μ д мнимой части β к действительной части а доминирующей пары комплексных корней называют степенью колебательности.

В практических расчетах чаще используют корневой показатель колебательности

также определяемый через доминирующую пару комплексных корней. При выборе настроек регуляторов стремятся получить значения т = 0,2 - 0,5.

Специальными математическими исследованиями установлено, что в системе любого порядка наиболее быстрый апериодический переходный процесс имеет место, когда все. п корней равны между собой. Максимальное быстродействие системы достигается при небольшой колебательности (σ < 10 %). Для этого все комплексные корни (и один действительный при п нечетном) должны располагаться на одинаковом расстоянии η от мнимой оси, а мнимые части должны образовать арифметическую прогрессию с разностью Δβ = β1. Причем, для каждого порядка уравнения существует оптимальное отношение Δβ/η: для 2-го порядка оно равно 1, для

3-го— 1,45, 4-го — 0,79, 5-го— 1,5.

В специальной литературе приводятся рекомендации по выбору коэффициентов характеристического уравнения из условия максимального быстродействия.

Определение показателей η и μ по уравнению с известными коэффициентами является в общем случае такой же трудоемкой задачей, как и отыскание самих корней. Легче решается обратная задача — определение коэффициентов уравнения и параметров системы, при которых все корни лежат в области с заданной степенью устойчивости (рис. 6.6, б) или колебательности (рис. 6.6, в). Для этого может быть использован метод D-разбиения (см. гл. 5). Только вместо обычной замены р = jω в характеристическом уравнении необходимо сделать подстановку р = - η + jω или

Р=— (|ω|/μ) + jω, где η и μ — заданные числа.

Выполняя далее все обычные операции метода D-разбиения, можно получить области заданной степени устойчивости и колебательности в пространстве варьируемых коэффициентов и параметров системы.

Корневые показатели α0, η μд и тд важны для понимания проблемы качества и ее связи с проблемой устойчивости, но используются реже других, так как их непосредственное определение для конкретной системы высокого порядка (п > 3) представляет собой сложную вычислительную задачу.

25.Назовите системы, отличающиеся конфигурацией цепи воздействия и характером изменения задающего воздействия и управляемой величины.
1. Системы отличающиеся конфигурацией цепи воздействия
Автоматическое управление представляет собой совокупность воздействий, направленных на осуществление функционирования объекта управления в соответствии с программой и целью управления.
Обычно автоматическое управление осуществляется с помощью автоматических управляющих устройств без вмешательства человека. Совокупность автоматического управляющего устройства и объекта управления, взаимодействующих между собой, образует систему автоматического управления (САУ).
Основными видами автоматического управления отличающиеся конфигурацией цепи воздействия являются:
1) автоматическое управление с разомкнутой цепью воздействий (жёсткое управление);
2) автоматическое регулирование;
3) автоматическая настройка.
Автоматическое управление с разомкнутой цепью воздействий
Системы автоматического управления с разомкнутой цепью воздействий обычно называются разомкнутыми. В этих системах выполняется управление по законам, не зависящим от действительного хода производственного процесса и выполняется по разомкнутому циклу с целью получения определённого конечного результата (рис.1.1, а).
Жёсткое задание на входе системы через управляющее устройство УУ и исполнительное устройство (усилитель) ИУ воздействует на объект управления ОУ, на выходе которого устанавливается величина Xвых, соответствующая этому заданию Xвх.
В таких системах ход процесса и выходная регулируемая величина не корректируются (не контролируются), поэтому возможно отклонение его от заданного режима. Управление, используемое в таких системах называют разомкнутым управлением.
САУ с разомкнутой цепью воздействий применяются для обеспечения определённой последовательности работы различных элементов автоматических устройств. В более сложных случаях может осуществляться программное управление каким-либо процессом с разомкнутым циклом воздействий. В качестве примера можно назвать систему управления пуском и торможением двигателей.
В разомкнутых системах управления осуществляется управление по задающему воздействию, которое в общем случае может представлять собой команды программы.
Этот принцип состоит в том, что для уменьшения отклонения регулируемой величины от заданного значения, появляющегося в связи с инерционностью объекта системы, управляющее воздействие формируется в соответствии с этим воздействием и характеристиками объекта управления (рис.1).
Управляющее устройство преобразует и усиливает задающее воздействие и вырабатывает управляющее воздействие u(t).
Управляющее воздействие с выхода УУ поступает на объект управления ОУ и стремится изменить регулируемую величину Хвых в соответствии с задающим воздействием.
Такое управление называют жёстким, т. к. при этом не учитываются действительные значения регулируемой величины и возмущающие воздействия (параметры САУ считаются постоянными).

рис.1. Функциональная схема САУ

с разомкнутым принципами управления

           
Автоматическое регулирование
В зависимости от способов формирования управляющего воздействия различают следующие принципы управления:
  •  принцип управления по возмущению,
  •  принцип управления по отклонению,
  •  принцип комбинированного управления.
  •  
Принцип управления по возмущению
"Возмущающее воздействие", т.е. такое воздействие, которое нарушает заданный закон изменения управляемой величины.
Уменьшение или устранение отклонения регулируемой величины от требуемого значения, вызываемого влиянием различных возмущений в разомкнутых системах может быть выполнено применением принципа управления по возмущению, рассмотренного далее. Функциональная схема управления по возмущению дана на рис.2. Принцип управления по возмущению состоит в том, что для уменьшения или устранения отклонения регулируемой величины Хвых от заданного значения, измеряется основное
рис.2. Функциональная схема САУ с управлением по возмущению
возмущающее воздействие F и преобразуется в управляющее воздействие u(t), подаваемое на вход системы с целью компенсации вызванного возмущением отклонения регулируемой величины. Следовательно, в таких системах управляющее воздействие является функцией возмущающего воздействия.
В системах с принципом управления по возмущению для формирования управляющего воздействия u(t) используется непосредственная информация о возмущающем воздействии. Поэтому в этих системах имеется возможность полной компенсации влияния возмущающего воздействия на регулируемую величину Хвых . Степень компенсации влияния возмущающего воздействия зависит от точности измерения возмущающего воздействия и характеристик ОУ.
Достоинством САР с принципом управления по возмущению является то, что они позволяют полностью компенсировать возмущающее воздействие. Такие САР являются разомкнутыми, поэтому, как в любой разомкнутой системе, здесь не возникает проблемы устойчивости.
Недостатком таких САР является то, что они устраняют влияние только основных возмущений. Кроме того, точность регулирования и компенсация снижаются при изменении характеристик ОУ.
Принцип управления по возмущению применяется в системах, предназначенных для поддержания постоянства регулируемой величины.
Принцип управления по отклонению
Автоматическое регулирование характеризуется тем, что функции управления находятся в зависимости от действительного хода производственного процесса с целью поддержания требуемых показателей этого процесса. Контроль и информация о действительных значениях показателей этого процесса осуществляется с помощью обратных связей.
В общем случае такая система автоматического регулирования может быть представлена на рис.3. В системе используется замкнутое управление (принцип обратной связи или управление по отклонению).
рис.3. Функциональная схема САУ с управлением по по отклонению

Отклонение
регулируемой величины представляет собой разность между действительным измеряемым её значением и заданным значением. Обратная разность между заданным и действительным значениями называется ошибкой регулирования. Под управляющим устройством понимается техническое устройство, с помощью которого осуществляется автоматическое управление объектом управления. Под объектом управления понимается устройство, в котором поддерживается значение требуемых показателей какого-либо процесса.
На выходе системы (объекта управления) устанавливается регулируемая величина или регулируемый параметр, характеризующая состояние регулируемого объекта и определяющая действие системы регулирования.
Регулируемая величина Xвых определяется задающим воздействием Xвх = Xз на входе системы, т. е. воздействием, вводимым в систему и определяющим необходимый закон изменения регулируемой величины. На вход системы, в элемент сравнения кроме задающего воздействия подаётся по цепи обратной связи фактическое значение регулируемой величины. На выходе элемента сравнения, т.е. на входе управляющего устройства УУ появляется отклонение или управляющее воздействие ,
которое обеспечивает изменение регулируемой величины по заданному закону.
Управляющее устройство в зависимости от величины и знака управления формирует регулирующее воздействие u. Таким образом, принцип замкнутого управления учитывает не только задание, но и фактическое состояние объекта управления и действующих возмущений. Поэтому данный принцип является наиболее универсальным и позволяет решать успешно задачи управления, несмотря на неопределённость объекта управления и характера возмущений.
Класс таких автоматических систем, построенных на основе принципа замкнутого управления, получил название систем автоматического регулирования (САР). Свойство универсальности таких систем позволяет применять их очень широко в технике и природе.
Обратные связи в замкнутых САР служат для формирования статических и динамических характеристик системы. Эти характеристики определяются назначением САР и требованиями, предъявляемыми к ней со стороны технологического процесса. По действию на систему обратные связи делятся на положительные и отрицательные. Положительные, если с увеличением сигнала на выходе управляющий сигнал на входе увеличивается, и отрицательные – если с увеличением сигнала на выходе управляющий сигнал на входе уменьшается. В зависимости от характера передаваемого воздействия обратные связи делятся на жёсткие и гибкие. Жёсткие обратные связи действуют как в установившемся, так и в переходных режимах. Гибкие обратные связи действуют только в переходных режимах. Средствами осуществления жёстких обратных связей являются различные измерительные устройства – датчики, передающие сигнал на узел сравнения. Средства осуществления гибких обратных связей являются устройства дифференцирования и интегрирования
 
Принцип управления по возмущению и по отклонению (принцип комбинированного управления).
Недостатки систем с регулированием по возмущению могут быть устранены при применении систем с комбинированным управлением, в которых регулирование по возмущению сочетается с регулированием по отклонению. В этом случае устраняется влияние на процесс регулирования основного возмущения. Кроме того, благодаря наличию обратной связи по регулируемой величине, ограничивается действие второстепенных возмущений. Иногда эти системы называют разомкнуто-замкнутыми. Они обладают сравнительно высокой точностью поддержания заданной регулируемой величины.
Автоматическая настройка

  1.  По характеру изменения задающего воздействий САУ классифицируются:
  2.  системы автоматической стабилизации;
  3.  системы программного регулирования;
  4.  следящие системы.

Системы автоматической стабилизации предназначены для поддержания постоянства регулируемой величины Xвых. При этом задающее воздействие XЗ является постоянным (XЗ=const). Структура такой системы одинакова с САР по отклонению. Системы автоматической стабилизации широко применяются в производственных условиях и предназначены для поддержания постоянства различных величин – напряжения, тока, мощности, давления, температуры, различного рода соотношений и пропорций.

Системы программного регулирования служат для изменения регулируемой величины во времени по определённому заранее установленному закону, называемому программой. В этом случае задающая величина изменяется во времени

.

В качестве примера можно назвать САР электроприводов с задатчиками интенсивности, позволяющими с заданной интенсивностью изменять скорость двигателя. Системы программного управления применяются также для отработки механизмом заданных программой перемещений. Пример: программное управление станками, подъёмными и транспортными механизмами и др.

Следящие системы применяются для поддержания соответствия между регулируемой величиной Xвых и задающим воздействием XЗ при случайных заранее не определенных изменениях XЗ во времени. Следящие системы широко применяются в различных областях техники, где требуется воспроизведение одним устройством перемещения другого устройства без механической связи между ними. Такая необходимость возникает при дистанционном управлении и измерении различных технологических величин с передачей показаний приборов на расстояние.

  1.  По свойствам в устанавливающемся режиме САУ делится на:
  2.  статические;
  3.  астатические.

В основе принципа такого деления лежит точность поддержания постоянства регулируемой величины при изменении нагрузки.

Статическая САР – система, в которой при изменении основного возмущения (нагрузки) регулируемая величина отклоняется от заданной величины и величина этого отклонения пропорциональна нагрузке. Статическая характеристика такой системы имеет следующий вид (рис. 1.9), где ∆XВЫХ – статическое отклонение регулируемой величины, пропорциональное нагрузке XВОЗМ. Такие системы часто называют системами пропорционального регулирования.

Точность поддержания постоянства регулируемой величины определяется статическим отклонением и характеризуется статизмом системы.

В ТАУ под статизмом системы понимают отношение отклонения регулируемой величины от заданной к заданной величине при номинальной нагрузке

.

Астатическая САР – система, которая в установившемся режиме работает без остаточного отклонения. Регулируемая величина в этой системе не зависит от нагрузки. Поэтому статизм характеристики данной системы равен нулю. При отклонении регулируемой величины от заданного значения, например, вследствие приложения нагрузки, в системе возникает процесс регулирования, при котором отклонение стремится к нулю, а регулирующее воздействие – к новому установившемуся значению.


а)

б)

1,0

f(t)

A

t

0

t

0

f(t)

Рис. 1.4.

t

f(t)

t

Рис. 1.5.

t

f(t)

t

0

Рис. 1.6.

Рис. 2. Частотные характеристики безынерционного звена

(3.10)

(3.9)

(3.8)

xвых(p)

xвх(p)

а)

б)

Рис. 3.5. Временные характеристики инерционного звена

(3.13)

xвых(p)

xвх(p)

xвых(p)

xвх(p)

Рис. 3.6. Условные изображения апериодических звеньев

(3.18)

(3.17)

(3.16)

(3.15)

(3.14)

0

Рис.3.7. Частотные характеристики инерционного звена

(3.51)

(3.50)

Xвых(p)

Xвх(p)

Xвых(p)

Xвх(p)

или

Рис. 3.22.  Временные характеристики интегрирующего звена

(3.53)

(3.52)

(3.57)

(3.56)

(3.55)

Рис. 3.23.  Частотные характеристики идеального интегрирующего звена характеристики интегрирующего звена

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рис. 3.24.  Частотные характеристики идеального интегрирующего звена
консервативного звена
второго порядка

(3.58)

20

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

-450

EMBED Equation.3  

-900

EMBED Equation.3  

10

EMBED Equation.3  

1

Рис. 3.25.  Логарифмические частотные характеристики идеального интегрирующего звена

EMBED Equation.3  

10

0,1

(3.63)

(3.62)

(3.61)

(3.60)

(3.59)

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рис. 3.26.  Временные характеристики реального интегрирующего звена

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

(3.66)

(3.65)

(3.64)

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рис. 3.27.  Частотные характеристики интегрирующего звена с замедлением
консервативного звена
второго порядка

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

хвх

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

хвх

хвых

хвых

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рис.1.  Временные характеристики   идеального дифференцирующего звена

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рис. 2.  Частотные характеристики дифференцирующего звена

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

хвх

хвых

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

0

Рис.6. Частотные характеристики звена

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

0

(4.11)

(4.10)

(4.9)

(4.8)

     ( 4.7)

Хвх

Рис. 4.6. Схема параллельного
соединения звеньев

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

 Хвых

Хвых1

Хвых n

Хвых2

(4.15)

(4.14)

(4.13)

(4.12)

EMBED Equation.3  

(4.16)

Хвх

Рис. 4.7. Схема звена, охваченного обратной связью

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Х

Хос

Хвых

EMBED Equation.3  

Хвх

Хвых

а)

б)

EMBED Equation.3  

Рис. 6.2.

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рис. 6.3.

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Mathcad  

EMBED Equation.3  

EMBED Mathcad  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рис. 6.4.

EMBED Equation.3  

EMBED Mathcad  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рис. 6.5.

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

a)

б)

в)

Рис. 6.6. Расположение корней замкнутой САУ на комплексной плоскости

а) устойчивой системы; б) неустойчивой системы; в) на границе устойчивости

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рис. 6.7. Расположение корней

на комплексной плоскости

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

u

ОУ

ИУ

УУ

ЗУ

Xвх

F

Xвых

ОУ

Xвх

УУ

У

F

Xвых

u

X

− (+)

Xос

Х

Xвых

F

Xвх

ОУ

УУ

У1

OУ

CУ

УУ

Xз

OC

У

u

Рис. 1.3.  Функциональная схема системы
автоматической настройки


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58906. Поспішай творити добро 64 KB
  Обладнання: записи висловів видатних людей про добро приказок та приповідок учнівські твори та вірші картки із запитаннями для підсумкової розповіді. Тренінг Риси хорошої людини; технологія Мікрофон Народний золотослів про добро вислови видатних людей про добро і доброту;...
58907. Знайомство з собою. Година спілкування 86 KB
  Мета: познайомитись з учнями надати їм можливість поринути у власний внутрішній світ вчити бачити в оточуючих людях позитив формувати соціальну компетентність засобами ігрового спілкування. З чим ви згодні а з чим ні Чи цікаво вам побачити себе з іншого боку...
58908. Урок-гра. Гімнастика 50 KB
  Ходьба: звичайна підняти руки через сторони вгору вдих опустити руки видох 1хв Переходимо на крок Дихаємо як вітерок. руки на поясі. руки до плечей. руки перед грудьми зігнуті у ліктях.
58909. Дзвони Великодня 58.5 KB
  На дошці висить килим а на ньому образ Ісуса Христа українська хата піч писанки кошики паска іграшковий коник квіти. 1учень Ойвесна веснаднем красна Що ж ти весно принесла Весна Принесла я вам світле свято довгождане Воскресіння...
58912. Тиск і сила тиску. Одиниці тиску 50 KB
  Мета: сформувати в учнів поняття про тиск як про фізичну величину; дослідити на уроці залежність тиску від сили тиску та від площі поверхні; навчати розв’язувати задачі на тиск та застосовувати знання про тиск у повсякденному житті...