22405

Введение в математический анализ

Лекция

Математика и математический анализ

Числовые множества 1. Числовые множества. Числовые функции Числовые множества. Числовая последовательность и ее предел Числовая последовательность и свойства последовательностей.

Русский

2013-08-04

1.32 MB

8 чел.

107000     ОЗО                       Математика                           Толстиков А.В.

Лекции 3.

Введение в математический анализ

План

1. Множества. Числовые множества

1. Основные понятия логики. Предикаты и кванторы.

2. Множества. Подмножества. Операции над множествами.

3. Декартово произведение множеств.  

4. Предикаты и кванторы.

5. Числовые множества. Множества натуральных, целых рациональных чисел.

6. Действительные числа и их свойства.

7. Ограниченные множества. Границы множеств.

Литература: Ермаков В.И. с. 276-280. Ильин В.А., с.183-195. Шнейдер В.Е. 285-296. Кремер Н.Ш. 251-266.

2. Отображения.

  1.  Отображения.
  2.   Виды отображений.
  3.  Обратное отображение.
  4.  Мощность множества. Счетные множества.

Литература: Ермаков В.И. с. 276-280. Ильин В.А., с.183-195. Шнейдер В.Е. 285-296. Кремер Н.Ш. 251-266.

3. Действительные числа. Числовые функции

  1.  Числовые множества.
  2.   Действительные числа и их свойства.
  3.  Ограниченные множества. Границы множеств.
  4.  Функция. Область определения и множество значений функции. График функции.  
  5.  Композиция функций, сложные функции.  
  6.  Обратные функции.
  7.  Основные элементарные функции, их свойства и графики.

Литература: Ильин В.А., с.35-56, 95-58. Письменный Д., с. 97-107. Ермаков В.И., с.175-179,192.  

  1.  Комплексные числа.
  2.  Комплексные числа. Поле комплексных чисел. Комплексно-сопряженные числа.  
  3.  Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрические формы комплексного числа.
  4.  Корни из комплексных чисел.
  5.  Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера.

Литература: Ильин В.А., с.196-200. Письменный Д., с. 186-192.  

5. Числовая последовательность и ее предел

  1.  Числовая последовательность и свойства последовательностей.
  2.  Предел числовой последовательности и его свойства. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности.
  3.  Арифметические свойства пределов.
  4.  Переход к пределу в неравенствах.
  5.  Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности. Число e.
  6.  Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши.  

Литература: Ильин В.А., с.58-88. Письменный Д., с. 107-111. Ермаков В.И., с.179-180. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с.30-54.  

6. Предел функции

  1.  Предел функции в точке  по Коши и по Гейне. Предел функции на бесконечности.
  2.  Односторонние пределы.
  3.  Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
  4.  Свойства предела функции.
  5.  Пределы монотонных функций.
  6.  Замечательные пределы.

Литература: Ильин В.А., с.58-88. Письменный Д., с. 107-111. Ермаков В.И., с.179-180. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с.30-54.  

7. Примеры решения задач.

Множества. Числовые множества

План

1. Основные понятия логики. Предикаты и кванторы. 2. Множества. Подмножества. Операции над множествами. 3. Декартово произведение множеств.  4. Предикаты и кванторы. 5. Числовые множества. Множества натуральных, целых рациональных чисел. 6. Действительные числа и их свойства. 7. Ограниченные множества. Границы множеств.

Литература: Ермаков В.И. с. 276-280. Ильин В.А., с.183-195. Шнейдер В.Е. 285-296. Кремер Н.Ш. 251-266.

  1.  Основные понятия логики.

Основные понятия логики высказывание и предикат. Под высказыванием понимается повествовательное предложение, о котором можно сказать только одно из двух истинно это предложение или ложно. Определения, вопросительные восклицательные предложения высказываниями не являются. Если высказывание истинно, то его значение будем считать равным 1 ("истина"), если ложно равным 0 ("ложно"). Условимся обозначать высказывания прописными латинскими буквами: A, B, C, …Высказывания обозначаем большими буквами.

Введем логические операции над высказываниями, которые позволяют из одних высказываний строить другие более сложные.

Определение 1.1. Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое  А  В, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний А или В.

Дизъюнкция называется логическим сложением. В русском языке знаку "" соответствует союз "или", понимаемый в смысле "хотя бы одно из …". Символ A  B читается "А или В", "А дизъюнкция В".

Например , "5 < 7 или 5 = 2" истинное высказывание, "2+2 = 7 или 5 = 2" ложное высказывание.

Определение 1.2. Конъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое  А  В или А  В, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны одновременно оба высказывания А и В.

Конъюнкция называется логическим умножением. В русском языке знаку "" соответствует союз "и". Символ A  B читается "А и В", "А конъюнкция В".

Например , "5 < 7 и 2+2 = 4" истинное высказывание, "2 > 7 и 5+2 = 7" ложное высказывание.

Определение 1.3. Импликацией двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое  А В, которое ложно  тогда и только тогда, когда высказывание А истинны, а В ложно.

При этом говорят, что А  посылка, В   заключение.

Импликация называется логическим следованием. Символ A  B читается "если А , то В", "из А следует В", "А влечет В", "А импликация В".

Например, "если 5 < 7, то 2+2 = 4" истинное высказывание, "если 2 > 7,  и 5+2 = 7" ложное высказывание.

Определение 1.4. Эквиваленцией  двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое  А В, которое истинно  тогда и только тогда, когда высказывание А и В истинны или  ложно одновременно.

Символ A  B читается "А тогда и только тогда, когда В", "А эквивалентно В", "А необходимо и достаточно для В".

Например, "5 < 7 тогда и только тогда, когда 2+2 = 4" истинное высказывание, "2 > 7 эквивалентно 5+2 = 7" ложное высказывание.

Определение 1.4. Отрицанием высказывания А называется высказывание, обозначаемое   или А, которое ложно  тогда и только тогда, когда высказывание А истинны.

Операции отрицания соответствует в русском языке частица "не". Символ  читается "не А", "неверно, что А".

Определения 1.11.5 можно записать в виде так называемых таблиц истинности (для компактности все таблицы сведены в одну):

A

B

A  B

A  B

A  B

A  B

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

Некоторые логические операции можно выразить через другие , используя равносильности следующей теоремы.

Теорема 1.3. Для любых переменных высказываний А, В, С справедливы свойства:

  1.  A  B  A  B;   2. A  B  (A  B)(B  A);  3. A  B  (A  B)( B  A);

4. (A  B)  A  B;  5. (A  B)  A  B  (законы А. де Моргана);

  1.  (A  B)  A  B;  7.  (A  B) = (A  B) ( B  A).

Замечание. Доказываются эти равенства с помощью таблиц истинности. Равенства 4-7 используются для построения отрицаний.

2. Множества. Подмножества. Операции над множествами.

В математике понятие множества является одним из основных. Для него имеется много общеизвестных синонимов (класс, совокупность, группа, семейство и т.п.). Создатель теории множеств немецкий математик Г. Кантор (1845-1918) говорил, что множество есть совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Объекты, из которых состоит данное множество, называются элементами.

Условимся обозначать множества прописными латинским буквами А, В, …, а их элементы строчными буквами а, в, … Символы а А и аА обозначают соответственно, что "элемент а принадлежит множеству А", "элемент а не принадлежит множеству А". N, Z, Q и R соответственно обозначают множества всех натуральных, целых, рациональных и действительных чисел.  

Если множество конечное, то его можно записать с помощью перечисления всех его элементов  в списке, который заключается в фигурные скобки. Число элементов в конечном множестве A обозначается символом  A.

Если множество содержит элементы и не является конечным, то оно называется бесконечным. Такие множества обычно задаются указанием характеристического свойства, которым обладают его элементы: A = {xP(x)}, P(x) – свойство, которым обладают элементы множества. Например, множество четных чисел можно записать в виде {x  x  целое число и x делится на 2} или {x xZ и x2}, или     {xZ x2}. Некоторые бесконечные множества можно записать в виде бесконечной последовательности. Например,  множества N всех  натуральных чисел и множество  Z всех целых чисел:

N = {1, 2, 3, …},  Z = {…, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, … }.

Множество Q всех рациональных чисел можно задать так:

Q = {x x = m/n, mZ, nZ, n  0}.

Определение 2.1. Говорят, что множество А включено во множество В и пишут А  В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

Если   А  В, то так же говорят: А содержится в B, В содержит А, А есть часть В, А есть подмножество В, В есть надмножество А.

Множество называется пустым и обозначается символом , если оно не содержит ни одного элемента.

Теорема 2.1. Для любых множеств А, В, С справедливы свойства: 

  1.    В,         2.  А  А (рефлексивность),            3.  если А  В и В  С, то А  С (транзитивность).

Доказательство. ТУ 2.1.

Замечание. Теоретические упражнения должны быть проработаны студентами самостоятельно или на практических занятиях.  

В приложениях теории множеств обычно рассматриваются только такие множества, которые содержаться в некотором фиксированном множестве U, называемом универсальным множеством. Понятие универсального множества понятие относительное. Например, универсальное множество в планиметрии   множество всех точек плоскости, а в стереометрии множество всех точек пространства.

Диаграммами Эйлера-Венна называются плоские фигуры (например, круги), с помощью которых наглядно изображаются множества, графически иллюстрирующие отношения между множествами и свойства булевых операций. Л. Эйлер - швейцарский математик, жил в России (17071783); Дж. Венн английский логик и математик (18341923).

Определение 2.2. Говорят, что множество A равно множеству B и пишут A= B, если выполняются два условия:

  1.  каждый элемент множества A принадлежит множеству B
  2.  каждый элемент множества B принадлежит множеству А.

Символ A  B обозначает, что множество A не равно множеству B.

Теорема 2.2. Для любых множеств A, В, C справедливы свойства:

  1.  А = A (рефлексивность),   2.  если A = B, то B = A (симметричность), 3. если A = B и B = C, то A = C (транзитивность).

Доказательство. ТУ 2.2.

Теорема 2.3. Множества A и B равны тогда и только тогда, когда A  B и B  С.

Доказательство. ТУ 2.3.

Определение 2.3. Говорят, что множество A строго включено во множество B и пишут A  B, если  A  B и A  В.

Если A  B, то говоря, что A - собственное подмножество множества B. Например, {4, 5} {3, 4, 5}  N  Z  Q  R. Если A не является строго включенным в B, то пишут A  B. Например, {1, 4, 5} {3, 4, 5}.

Теорема 2.4. Для любых множеств A, В, C справедливы свойства:

  1.  А А (антирефлексивность), 2. если А  В, то B  A (ассимметричность), 3. если А  В и В  С, то А  С (транзитивность).

Доказательство. ТУ 2.4.

Определение 2.4. Множество всех подмножеств множества А называется булеаном множества А и обозначается символом P(А) или 2А

Пример. Булеан множества A = {1, 2},  P(А) = {, {2}, {1}, {1, 2}.

Теорема 2.5. Булеан конечного множества содержит 2A различных подмножеств.

Доказательство. Пусть A = n. Доказываем  индукцией по n. Пусть n=0. Тогда А = , P(А) = {} и P(А) = 1. Предположим , что утверждение верно для любого множества В, содержащего n-1 элементов и докажем его для n –элементного множества А= {a1, a2,…, an} . Тогда любое подмножество либо не содержит элемент an либо содержит an. Если оно не содержит элемент an, то оно является подмножеством В множества {a1, a2,…, an-1}. Таких подмножеств 2n-1. Если оно содержит элемент an, то оно имеет вид Вan, где В подмножества {a1, a2,…, an-1}. Таких подмножеств 2n-1. Тогда всего подмножеств в множестве 2n-1 +2n-1=2n.   

Операции над множествами.

Определение 2.4. Объединением двух множеств А и В называется множество, обозначаемое  А  В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В :

А  В = {x x  A или x В}.

Например, если А = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, то А  В = {1, 2, 3, 4, 5} (см. также рис. 1.2).

Определение 2.5. Пересечение двух множеств А и В называется множество, обозначаемое  А  В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат обеим множествам А и В одновременно:

А  В = {x x  A и x В}.

Например, если А = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, то А  В = {3} (см. также рис. 1.2).

Определение 2.6. Разностью двух множеств А и В называется множество, обозначаемое  А \ В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В:

А \ В = {x x  A и x В}.

Например, если А = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, то А \ В = {1, 2}, В \ А = {4, 5} (см. также рис. 1.3).

Определение 2.7. Дополнением множества А до множества U называется множество, обозначаемое  и равное разности множеств U и A:  = U \ A.

Вместо обозначения  употребляются также обозначения СА или CUA (последнее при необходимости указать множество U).  

Например, если U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {3, 4, 5}, то  = {1,2,6}  (см. также рис. 1.3).

Операции над множествами вполне определяются следующей таблицей принадлежности, в которой "1" обозначает то, что элемент принадлежит множеству, "0" элемент не принадлежит множеству.

A

B

A  B

A  B

A \ B

CA

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

Теорема 2.5. Для любых множеств А, В, С справедливы свойства:

1.1. (A  B)  C = A (B  C),       1.2. (A  B)  C = A (B  C)  (ассоциативные законы);

2.1. A  B = B  A ,                           2.2. A  B = B  A                      (коммутативные законы);

3.1. A(BC) = (AB)(AC),     3.2. A(BC) = (AB)(AC)  (дистрибутивные законы);

4.1. A   =  A ,                               4.2. A  U =  A                             (законы нейтральных элементов);

5.1. A  U = U ,                                5.2. A   =                             (законы поглощения);

6.1. A  A =  A ,                                6.2. A  A =  A                             (законы идемпотентности);

7.1. A  СA = U ,                              7.2. A  СA =                           (законы дополняемости);

8.1. С(A  B) = CA  CB,          8.2. C(A  B) = CA  CB            (законы А. де Моргана: шотландский математик (18061871));

9.1. C  = U ,                                    9.2. CU =  ;

                              10. C(CA)  =  A                                                       (закон инволюции).

Доказательство. Все равенства можно доказать используя определения равенства множеств и определения 3.13.5 булевых операций. Докажем, например, первую формулу де Моргана.

  1.  Пусть x  С(A  B). Тогда по определению 3.4 x  A  B и по определению 3.1 x  A и x  B. Следовательно, по определению 3.4  x  СA и x   СB и по определению 3.2 x   CA  CB.
  2.  Пусть x   CA  CB. Тогда по определению 3.2 x   СA и x   СB и по определению 3.4 x  A и x  B. Следовательно, по определению 3.1 x  A  B и по определению 3.4 x С(A  B).

Для проверки равенства множеств удобно использовать таблицы принадлежности. Докажем этим способом равенство 3.1. Для этого составим таблицы принадлежности множеств, стоящих в правой и левой частей формулы, совместив их в одной таблице:

A

B

C

B  C

A(BC)

A B

AC

(AB)(AC)

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

Так как пятый и восьмой столбцы построенной таблицы совпадают, то это показывает, что каждый элемент множества A(BC) принадлежит множеству (AB)(AC) и  обратно, и эти множества равны.

3. Декартово произведение множеств.

Будем называть упорядоченной парой (a, b) расположение двух элементов a и b в указанном порядке: a  первый элемент, b второй элемент. Упорядоченной тройкой (a, b, c) расположение трех элементов a, b, c в указанном порядке: a  первый элемент, b второй, с  третий. Вообще упорядоченная nка  (a1, а2, …, an) расположение n элементов a1, а2, …, an в указанном порядке: a1  первый элемент, а2  второй, …,  an   nый элемент.

Очень часто слово "упорядоченная" опускают и для краткости речи говорят "пара", "тройка", "nка". Упорядоченную nку называют также кортежем длины n. Элементы, из которых состоит nка, называются ее компонентами или координатами.

Определение 3.1.  Две nки (a1, а2, …, an) и (b1, b2, …, bn) называются равными, если соответствующие компоненты nк равны, т.е. (a1, а2, …, an) = (b1, b2, …, bn) тогда и только тогда, когда a1 = b1,  а2 = b2, …,  an =  bn.

Например, (1, 2) = (1, 2), (2, 1) (1, 2).

Определение 3.2.  Декартовым или прямым произведением множеств А и В называется множество, обозначаемое АВ и состоящее из всех упорядоченных пар (a, b) таких, что a  A,  b B:

АВ ={(a, b) a  A,  b B }.

Декартовым или прямым произведением n множеств A1, A2, …, An называется множество, обозначаемое A1A2An и состоящее из всех упорядоченных nк  (a1, а2, …, an) таких, что a1  A1, а2  A2, …, an  An:

A1A2An ={(a1, а2,…, an) a1  A1, а2  A2, …, an An }.

Примеры. 3.1. Пусть  A = {1, 2}, B = {a, b}, C = {5}. Тогда

AB = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)},  BA = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 2)},

ABC = {(1, a, 5), (1, b, 5), (2, a, 5), (2, b, 5)}.

2. Пусть  A = [1, 2], B = [1, 4]. Тогда AB изображает множество всех точек P(x, y) плоскости xOy с координатами x, y,  где  1  x  5 ,  1 y  4. Если  A изобразить  отрезком оси  Ox, а  B  отрезком оси Oy, то множество AB изобразится прямоугольником, указанным на Рис. 1.4.

Определение 3.3. Декартовой nй степенью множества A называется множество, обозначаемое  An и являющееся декартовым произведением множества A на себя n раз:

 .

Мы считаем, что A1 = A. Множества A2 и A3 называются соответственно декартовым квадратом и декартовым кубом множества A.

Например, если A = {1, 2}, то A2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Наглядным образом декартова квадрата R2 = RR является множество всех точек плоскости xOy, декартова куба R3 = RRR является множество точек трехмерного пространства Oxyz.

Теорема 3.1. Прямое произведение A1A2An  - непустое множество тогда и только тогда, когда непустым является каждое из множеств A1, A2, …, An .

Доказательство. ТУ 4.1.

Теорема 3.1. Для любых множеств А, В, С справедливы дистрибутивные законы:

1.1. A(BC) = (AB) (AC),      1.2. (AB)C = (AC) (BC);

2.1. A(BC) = (AB) (AC),      2.2. (AB)C = (AC) (BC);

3.1. A(B\C) = (AB) \ (AC),          3.2. (A\B)C = (AC) \ (BC).

Доказательство. ТУ 4.2.

Замечание 3.1. Отметим, что для декартова произведения множеств не справедливы коммутативный и ассоциативный законы. Это легко установить, приведя контр примеры.

4. Предикаты и кванторы.

Переменные x, y, …, которых служат для обозначения элементов  множества X, называются переменными или предметными переменными, определенными на множестве X.

Определение 4.1. Предикатом (n  местным предикатом) называется предложение, содержащее n предметных переменных, определенных на одном или различных множествах, и которое превращается в высказывание истинное или ложное, если мы заменим предметные переменные их значениями.

n  местный предикат P, содержащий переменные  x1, x2, …, xn, определенные соответственно на множествах M1, M2, …, Mn, обозначается также символом P(x1, x2, …, xn). Если x1 = a1 M1, x2 = a2 M2, …, xn = an Mn,то через P(a1, a2, …, an) обозначаем значение предиката.

Отметим, что сам предикат высказыванием не является, но каждое значение предиката высказывание. Так как в логике нас не интересует содержание высказывания, то можно сказать, что предикат принимает два значения 1 и 0, где 1 обозначает "истинное высказывание", 0 " ложное высказывание".

Определение 4.2. Областью истинности предиката P называется множество, обозначаемое ОИ(P) и состоящее из всех значений переменных (a1, …, an)M1 Mn, при которых предикат P принимает значение 1:

ОИ(P) ={(a1, …, an)M1 Mn P(a1, a2, …, an) =1}.

Область истинности одноместного предиката, определенного на R удобно изображать на числовой прямой, а двуместного предиката, определенного на R2  изображают на координатной плоскости xOy.

Пример 1. Пусть P(x) = [x  простое число] одноместный предикат, определенный на N. Тогда P(1) = 0, P(2) = 1, P(4) = 0.

2. Пусть Q(x) = [ x  <1] предикат, определенный на  R. Тогда ОИ(Q)  =  (1, 1).

3. Пусть R(x, y) = [x2 + y2  4] двуместный предикат, определенный на R2, для которого  ОИ(R) изображена на рис. 21.

Некоторые, часто встречающиеся, предикаты обозначаются специальными символами. Например, x < y ("x меньше y"); x = y ("x равно y"); A  B ("A включено в B").

Так как принимают значения 1(истинно), 0 (ложно), то к ним применимы все логические операции над высказываниями. Поэтому, если P , Q  предикаты, то P  Q , P  Q , P  Q , P  Q , P , Q также есть предикаты.  

Теорема 4.1. Пусть предикаты P и Q, определенные на одном и том же множестве. Тогда

1. ОИ(P  Q) = ОИ(P)ОИ(Q);  2. ОИ(P  Q) = ОИ(P)ОИ(Q);

3. ОИ(P  Q) = СM(ОИ(P)) ОИ(Q);  3. ОИ(P) = СM(ОИ(P)) .

Доказательство. Докажем равенство 1.

Пусть aОИ(P  Q). Тогда по определению 5.2 и по определению конъюнкции P(a) = 1 и Q(a) = 1. Следовательно, по определению 5.2 aОИ(P) и aОИ(Q) и по определению пересечения aОИ(P) ОИ(Q).

Аналогично доказывается, что, если aОИ(P)ОИ(Q), то aОИ(PQ). Откуда по определению равенства множеств следует доказываемое равенство.

Определение 4.3. Предикаты P и Q, определенные на одном и том же множестве называется равносильными, обозначается P  Q, если ОИ(P) = ОИ(Q).

 Определение 4.4. Предикат Q называется следствием предиката P, если ОИ(P) ОИ(Q).

Например, предикаты [ x  1] и [x2  1], определенные на R, равносильны, а предикат [x2 > 1] следствие предиката [x > 1].

Замечание 4.1. С точки зрения логики предикатов имеем.

  1.  Всякое уравнение или неравенство есть предикат; система уравнений или неравенств конъюнкция предикатов; совокупность уравнений или неравенств дизъюнкция предикатов.
  2.  Множество решений уравнения или неравенства, система (совокупности) уравнений или неравенств область истинности некоторого предиката.

3) Равносильные уравнения или неравенства, системы (совокупности) уравнений или неравенств равносильные предикаты.

Определение 4.5. Пусть P(x) одноместный предикат, определенный на множестве M.

1. Символ (xM)P(x)  или  x P(x) обозначает высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда ОИ(P) = M ,т.е., когда высказывание P(x) истинно для каждого xM.

2. Символ (xM)P(x)  или x P(x) обозначает высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда ОИ(P)   ,т.е., когда высказывание P(x) истинно хотя бы для одного xM.

Символы и называются соответственно кванторами общности и существования. Выражение (xM)P(x) читается "для любого xM P(x)", выражение (xM)P(x) "существует такое  xM, что P(x)". Про переменную x говорят, что она связана квантором. Если известно, о каком множестве идет речь, то кванторы можно записывать так xP(x), xP(x)

Например, для предикатов Q(x) = [ x2 0], R(x) = [ x2 < 0 ], P(x) =  =[x  простое число], определенный на Z, имеем xQ(x)=0, xQ(x)=1, xP(x)=0, xP(x)=1, xR(x)=0, xR(x)=0,

Соединяя высказывания и предикаты операциями алгебры высказываний и кванторными операциями, мы получим формулы логики предикатов. Например, AP(x). x(P(x)Q(x)). Аналогично тому, как это сделано в алгебре высказываний можно ввести понятие формулы и равносильности формул в алгебре предикатов.

Все равносильности, имеющие место в алгебре высказываний имеют место и в алгебре предикатов. Кроме того справедлива теорема.

Теорема 4.2. Пусть P(x) и Q(x) произвольные предикаты, определенные на множестве М. Тогда справедливы равносильности:

1. x P(x) x Q (x)  x (P(x)  Q (x)),

1. x P(x)  x Q (x)  x (P(x)  Q (x)),

2. (x P(x))  x(P(x)), 2. (x P(x))  x(P(x))

(Формулы А. де Моргана).

Доказательство. Докажем равносильность 2.

Пусть (x P(x)) истинно. Тогда высказывание x P(x) ложно и по определению 5.5 ОИ(P) =. По теореме 5.1 ОИ(P) = =СM(ОИ(P))= СM=M и по определению 5.5 x(P(x)) истинно.

Пусть (x P(x)) ложно. Тогда высказывание x P(x) истинно и по определению 5.5 ОИ(P)  . По теореме 5.1 ОИ(P) = =СM(ОИ(P))  M и по определению 5.5 x(P(x)) ложно.

Из доказанного следует равносильность 2.

  1.  Числовые множества.

Натуральные числа. Обычно множество N = {1, 2, 3,…}натуральных чисел и его свойства предполагаются известными из школьного курса математики. Необходимо отметить, что в школе действия сложения, умножения над натуральными числами строго не определяются и их свойства не доказываются. Также из школы известно, что множество N - линейно упорядоченное множество относительно обычного отношения . Справедливо следующее интуитивно ясное утверждение:

Принцип минимума. Каждое непустое подмножество A множества N натуральных чисел содержит минимум (наименьшее число).

Отсюда легко могут быть получены следующие теоремы (теоремы индукции), обосновывающие законность индуктивных доказательств.

Теорема 1.  Пусть P(n) - предикат (теорема, утверждение, предложение), определенный на множестве N натуральных чисел. Пусть предикат P обладает двумя свойствами:

  1.  при n =1 предикат P истинен;
  2.  для всякого k  N, если предикат P истинен при n = k, то он истинен и при n = k  + 1.

Тогда предикат P истинен для всех натуральных чисел n.

Теорема 1 являются основой специального метода доказательства теорем, называемого методом математической индукции ("доказательство методом полной индукции").

Всякое доказательство методом математической индукции состоит из двух частей. Например, рассмотрим схему доказательства, основанного на теореме 1.

  1.  Сначала проверяется истинность предложения P для натурального числа n =1 (база индукции).
  2.  Затем делается допущение, что предложение P истинно для произвольного натурального числа n = k (индуктивное предположение). Затем на основе этого предположения выводится справедливость предложения P для n = k  + 1 (индукционный переход). Индуктивное предположение вместе с индуктивным переходом называется индуктивным шагом.

Теперь, так как удовлетворяет всем условиям теоремы 15.1, можно заключить, что предложение P истинно для любого натурального числа n.

Если требуется доказать, справедливость предложения P для всех натуральных чисел, начиная с числа r, то доказательство должно быть основано на теореме 15.2. Его схема доказательства отличается от схемы, приведенной выше, индуктивным шагом.

Если при индуктивном переходе требуется истинность предложения при n  k, то доказательство должно быть основано на теореме 15.3. Его схема доказательства отличается, от схемы, приведенной выше, индуктивным предположением.

Необходимо подчеркнуть, что любое индуктивное доказательство включает в себя и базис индукции, и индуктивный шаг.

Пример 1. Доказать, что

(1+x)n  > 1 + nx,

где x > 1, x  0, x  R, n  N,  n  2 (неравенство Бернулли).

Доказательство. 1. Так как x2 > 0, то (1+x)2  = 1 + 2x + x2 > 1 + 2x, т. е. неравенство верно при n = 2.

2. Предположим, что неравенство верно для некоторого n = k  2:

(1+x)k  > 1 + kx.                                    (15.1)

Докажем, что тогда оно верно для n = k + 1: (1+x)k + 1  > 1 + (k + 1)x.

Умножая неравенство (15.1) на число 1+x >0 , имеем

(1+x)k + 1  > (1 + kx)( 1+x) = 1 + kx + x + kx2 > 1 + (k + 1)x

(так как kx2 > 0).

Из пунктов 1 и 2 по теореме индукции 15.2 следует справедливость неравенства для всех натуральных чисел n  2.

Пример 2. Доказать, формулу

(a +b)n  = an + a n-1b + a n-2b2+ a n-3b3+…+ a n-kbk+…+ abn-1 +  b n, 

где a, b  R, n  N,  (бином Ньютона).

Доказательство. Доказать самостоятельно, используя свойства биномиальных коэффициентов  (формула Паскаля).

Целые числа. Множество Z = {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} целых чисел также предполагаем изученным. Известно, что сумма, разность, произведение целых чисел всегда целые числа.

Рациональные числа. Множество  рациональных чисел также предполагаем изученным. Известно, что сумма, разность, произведение и частное, если знаменатель неравен нулю рациональных чисел - рациональное число. Множество Q всюду плотное множество, т.е. между любыми различными рациональными числами лежит рациональное число.

6. Действительные числа и их свойства. Модуль действительного числа и его свойства. Наиболее широкое числовое множество, изучаемое в школе множество действительных чисел R. Действительные чисел изображается на числовой оси, на которой указывается масштаб, начало отсчета и направление. Между числовыми множествами имеется соотношение: N Z  Q  R. Множество состоит из рациональных и иррациональных чисел. Рациональные числа выражаются конечными или бесконечными десятичными дробями.

Теорема 1. Не существует рационального числа квадрат которого равен 2.

Доказательство. Допустим противное, что имеется рациональное число, представимое несократимой дробью , квадрат которого равен 2. Тогда имеем  , m2 = 2n2. Тогда число m2  - четное, а поэтому и число m - четное, m = 2 m1. Отсюда получим 4m12 = 2n2, 2m12 = n2. Повторяя рассуждения получим, что число n - четное, n = 2 n1. Но тогда дробь  сократимая. Получаем противоречие с допущением. Следовательно, предположение неверно, и не существует рационального числа квадрат которого равен 2.

Иррациональные числа выражаются бесконечными непериодическими дробями. Множество всех действительных чисел есть множество всех бесконечных десятичных дробей:

R = {x = ,123 Z, i{0,1,.2,…,9}}.

  1.  Известно, что сумма, разность, произведение и частное, если знаменатель неравен нулю, действительных чисел - действительное число.
  2.  Все действительные числа разбиваются на положительные действительные числа, отрицательные действительные числа и нуль:  R = R-  {0} R+.
  3.  Множество R  линейно упорядочено, т.е. для любых двух действительных чисел a, b имеет место только одно из трех соотношений: либо a < b, либо a > b, либо a = b.   
  4.  Множество R - всюду плотное множество, т.е. между любыми различными действительными числами a, b лежит бесконечно много действительных чисел. Если a < b, то a < (a + b)/2 < b.
  5.  Множество R  непрерывно, т.е для его справедливо следующее утверждение. Пусть A, B - любые непустые подмножества множества такие, что для любых a A, b B имеем a  b.  Тогда существует такой элемент с R, что для любых a A, b B имеем a  с  b.  Это утверждение называется аксиомой о разделяющем элементе и проиллюстрировано на рис. 1.
  6.  Модуль (абсолютная величина) действительного числа определяется формулой:

Теорема 1. Для любых действительных чисел a, b справедливы свойства:

1) a  0, a  a; 2) a  b  - b  a b; 3) a  b   a b a b; 4) a+b  a+b;  5) a-b  a-b;   6) ab = ab;  7) a/b = a/b (b  0).

Доказательство. Свойства 1-3, 6-7 доказываются простой проверкой. Докажем свойство 4. Из свойства 1 -aa  a , -bb  b .  

Отсюда получаем . Следовательно, по свойству 2 получим .

По свойству 4 имеем  Тогда имеем Аналогично доказываем, что Отсюда  и по свойству 2 получим a-b  a-b.

Числовыми промежутками называются подмножества множества R, которые имеют следующий вид:

[a, b] = {x R  a  x  b} - отрезок (сегмент, замкнутый промежуток),

(a, b) = {x R  a < x < b} - интервал (открытый промежуток),

[a, b) = {x R  a  x < b}, (a, b] = {x R  a < x  b} - полуоткрытые интервалы (сегмент, полуоткрытые отрезки),

[a, +) = {x R  a  x}, (a, +) = {x R  a < x}, (-, b) = {xR x < b}, (-, b] = {x R x  b}, (-, +] = R - бесконечные интервалы (промежутки),

7. Ограниченные множества. Границы множеств.

Определение 1. Множество А R называется ограниченным, если существует такое число b R, что для любого a A  выполняется неравенство a  b. Числа -b, b называются соответственно нижней и верхней границами множества А.

Определение 2. Множество А R называется ограниченным сверху, если существует такое число b R, что для любого a A  выполняется неравенство a  b. Число  b называются верхней границами множества А.

Определение 3. Множество А R называется ограниченным снизу, если существует такое число b R, что для любого a A  выполняется неравенство -b  a. Число  b называются нижней  границами множества А.

Определение 4. Наименьшая из всех верхних границ множества А R называется точной верхней границей множества А, и обозначается символом sup A.

Определение 5. Наибольшая из всех нижних границ множества А R называется точной нижней границей множества А, и обозначается символом inf A.

Определение 6. Если точная верхняя граница множества А R принадлежит множеству А, то она называется наибольшим элементом множества А, и обозначается символом max A.

Определение 6. Если точная нижняя граница множества А R принадлежит множеству А, то она называется наименьшим элементом множества А, и обозначается символом min A.

Теорема 1. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) множество А R имеет точную нижнюю (верхнюю) границу.

Доказательство. Пусть множество А ограничено сверху, и В - множество всех верхних границ множества А. Тогда А, В  R,  и множества А, В не пусты. По аксиоме непрерывности существует такое число с R, что для любых a A, b B имеем a  с  b. Так как для любых a A имеем a  с, то с - верхняя граница множества A. Так как для любых b B имеем  с  b, то наименьшая из верхних границ множества A. Отсюда с = sup A..

Отображения.

  1.  Отображения.

Определение 1.1. Бинарным отношением f между множествами X и Y  называется любое подмножество множества XY.

Определение 1.2. Бинарное отношение f между множествами X и Y  называется  отображением множества X в множество Y, если для любого элемента xX существует один и только один элемент yY такой, что (x, y)f .

Отображение f множества X в Y называется также функцией, определенной на множестве X со значениями в множестве  Y.

Символически отображение f множества X в Y записывается в виде: f: X  Y. То, что (x, y)f, записывается также в виде y = f(x)  или f: x  y.

При этом область определения D(f) бинарного отношения f совпадает с X и называется областью определения отображения или функции f, область значений E(f) называется множеством значений отображения или функции f. Если (x, y)f, то элемент y называется образом элемента x при отображении f  и обозначается символом      y = f(x), а элемент x  прообразом элемента y. Также при этом говорят, что элемент x есть аргумент или более точно, значение аргумента, а f(x)  значение функции в точке x. Множество X называется также областью отправления, Y  областью прибытия отображения f.

Иногда отображением f множества X в Y называется правило, которое каждому элементу xX ставит в соответствие единственный элемент yY , обозначаемый f(x).

Отображения задаются теми же способами, что и бинарные отношения. На рис. 1.10 и 1.7 представлены отображения, заданные стрелками и графически.

Стрелочное изображение отображения f: X  Y имеет следующие особенности:

  1.  из каждой "точки" множества X  выходит только одна стрелка;
  2.  две стрелки не могут иметь общее начало.

Если X, Y R, то функция называется числовой функцией. Отметим, что множество G точек плоскости xOy является графиком некоторой числовой функции тогда и только тогда, когда каждая прямая параллельная оси Oy пересекает G не более чем в одной точке.

Определение 1.3. Образом множества   A  X  при отображении f: X  Y называется множество f (A) = {f(x) x A }.

Например, на рис. 1.11 f ({2, 4}) = {b}.

Отметим, что f (X) = E(f).

Определение 1.4. Прообразом или полным прообразом  множества B X  при отображении f: X  Y называется множество f -1(A) = {x X  f(x)B }.

Например, на рис. 2.2 f -1({b}) = {2, 4, 5}.

Определение 1.5. Два отображения f1: X1  Y1, f2: X2  Y2 называются равными, обозначается f1 = f2, если

  1.  X1= X2,
  2.  для любого x X1 имеем f1(x) = f2(x).

Определение 1.6. Композицией двух  отображений f: XY, g: YW называется отображение : XW определяемое для любого x X формулой:

Если f и g числовые функции, то называют также сложной функцией.

Приведенная на рис. 1.9 треугольная диаграмма наглядно иллюстрирует то, что при выполнении отображения  сначала выполняется отображение f , а затем отображение g.

Например, если f и g отображения R в R, определенные формулами f: x x2, g: x x+1, то : x  x2+1, : x  (x+1)2.

Теорема 1.1. Операция композиции обладает свойством ассоциативности, т.е.  для любых трех отображений  f: XY,   g: YW , h: WZ.

Доказательство.  Так как для любого элемента x X имеем

то по определению 1.4 утверждение теоремы справедливо.

Определение 1.7. Отображение eX: XX называется единичным или тождественным отображением, если eX(x) =x для любого x X.

Теорема 1.2. Для любого отображения  f: XY .

Доказательство. ТУ 1.2.

Определение 1.8. Отображение f: X1Y называется сужением или ограничением отображения g: X2Y на X1, если

  1.  X1 X2,
  2.  для любого x X1 имеем f(x) = g(x).

В этом случае пишут f= gA, а также говорят, что g продолжение или расширение отображения f.

  1.  Виды отображений. Обратное отображение.

Определение 2.1. Отображение f  множества X  в  Y называется  отображением множества X  на  Y, или сюръективным, или сюръекцией, если для любого y Y найдется такой элемент x X, что f(x) =y.

Таким образом, f: XY сюръекция тогда и только тогда, когда E(f) = Y.

Например, отображение f: R[0, +), f: xx2, является сюръекцией, см. также рис. 1.5, 1.11   . Отметим, что отображения на рис 2.2, 1.7 не являются таковыми.

Определение 2.2. Отображение f  множества X  в  Y называется  взаимно однозначным отображением множества X  в  Y , или инъективным, или инъекцией, или вложением, если для любых   x1,  x2  X   из     x1  x2    следует, что f(x1)   f(x2).

Например, отображение f: R\{0}R, f: x1/x, является инъекцией, см. также рис. 1.11, 1.12, 1.13. Отметим, что отображения на рис. 2.2, 1.7, 1.10 не являются таковыми.

Определение 2.3. Отображение f  множества X  в  Y называется  взаимно однозначным отображением множества X  на  Y , или биективным, или биекцией, если оно одновременно сюръективно и инъективно.

Иными словами биективное отображение взаимно однозначно и является отображением X на Y. Взаимно однозначное отображение множества X  на Y обозначается также символом f: XY.

В геометрии взаимно однозначные отображения множества X на себя называются преобразованиями множества. В математическом анализе взаимно однозначные отображения множества X на Y называются взаимно однозначными соответствиями между X и Y.

Например, отображение f: (0,+)R, f: xlg x, является биекцией, см. также рис. 1.11, 1.13. Отметим, что отображения на рис 2.2, 1.7, 1.10, 1.12 не являются таковыми.

Теорема 2.1. 1. Композиция  двух сюръекций f и g есть сюръекция.

2. Композиция  двух инъекций f и g   инъекция.

3. Композиция  двух биекций f и g  биекция.

Доказательство. Композиция двух отображений f: XY, g: YW есть отображение XW. Если f и g сюръекции, то f(X) = Y, g(Y) = W. Поэтому  и  сюръекция.

Пусть x1,  x2  X и x1  x2. Пусть  f и g инъекции. Тогда f(x1)   f(x2). Отсюда  и  инъекция.

  1.  Обратное отображение.

Третье утверждение теоремы следует из первых двух по определению 3.3.

Определение 3.1. Обратным бинарным отношением для бинарного отношения f XY называется  бинарное отношение, обозначаемое   f -1, и состоящее из всех пар (y, x) таких, что (x, y)f .

Определение 3.2. Отображение f: XY называется  обратимым, если обратное для его бинарное отношение   f -1 является отображением множества Y в X. Тогда обратное бинарное отношение f -1 называется обратным отображением для отображения f и обозначается тем же символом  f -1.

Например, для отображения f: (0,+)R, f: xlg x, обратное  отображение f -1: R(0, +), f -1: x10x. Отображения на рис. 1.11 и 1.13 обратимы (см. также рис. 1.14).

Отметим, что не каждое отображение обратимо. Например, отображения представленные на рис.  1.10, 1.12 не обратимы.

Теорема 3.1. Пусть отображение f: XY - обратимо, f -1 – обратное отображение. Тогда y= f(x) тогда и только тогда, когда x= f -1(y) для любых x X и y Y .

Доказательство. По определению обратного бинарного отношения (x, y)  f тогда и только тогда, когда (y, x)  f -1 . В силу обозначений из этого следует утверждение теоремы.

Теорема 3.2. Пусть отображение f: XY - обратимо. Тогда  .

Доказательство. Следует из определений 1.5, 1.6 и теоремы 3.2.

Теорема 3.3. Отображение  f: XY - обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно. 

Доказательство. () Пусть отображение f: XY обратимо и f -1: YX обратное ему отображение. По определению отображения для любого  y  Y  существует единственный элемент  x X такой, что x= f -1(y) и по теореме 3.1 y= f(x). По определению 2.1 f  сюръекция.

Доказывая, что f  биекция предположим противное. Пусть найдутся такие два элемента x1,  x2  X ,  x1  x2 , что f(x1) = f(x2), y1= f(x1), y2= f(x2). Тогда y1 = y2 и по теореме 2.2 x1= f -1(y1) = f -1(y2) = x2, а это противоречит предположению.

() Пусть отображение f: XY  биективно, f -1  обратное бинарное отношение для f. По определению 2.1 для каждого y  Y существует такой элемент xX, что y= f(x),  т.е. такой, что (y, x)f -1. Покажем, что такой элемент x X единственный. Действительно, допустим, что существуют два такие элемента  x1,   x2  X ,  x1  x2 , (y, x1)f -1, (y, x2)f -1. Тогда по определению обратного бинарного отношения (x1, y)f , (x2, y)f и  f(x1) = y = f(x2), а это противоречит тому, что  f   биективно.

Если  f -1: Y  X обратное отображение для отображения f: XY, то область определения Y отображения f -1 равна множеству значений отображения f, D(f -1) = E(f), и наоборот E(f -1) = D(f). Если области определений отображений f и f -1 изображаются на оси Ox, то графики этих отображений симметричны относительно биссектрисы первого и второго координатных углов, т.е. относительно прямой  y= =x .

Например, для функции  sin: [/2,/2][1,1] обратной является функция arcsin: [1,1] [/2,/2]. По теореме 3.2 для любых x [/2,/2] и y[1,1] справедливы тождества arcsin(sin x) = x и sin(arcsin y) = y.

Упражнения: 3.1. Даны функции cos x,  tg x, ctg x, x2, log2 x . Какие из этих функций являются отображениями R в R , сюръекциями, инъекциями, биекциями?  

Сузить их области отправления и прибытия так, чтобы они стали обратимыми, найти обратные функции и построить их графики.

В каждом случае написать тождества теоремы 3.3

3.2. Доказать теорему 3.2

3.3. Доказать, что графики функций y= f(x) и y= f-1(x) симметричны относительно прямой y= x.

  1.  Мощность множества. Счетные множества.

Определение 4.1. Если существует взаимно однозначное отображение множества А на множество В, то множества А и В называются эквивалентными или равномощными и обозначаются символом: А В.

Конечные множества равномощны тогда и только тогда, когда имеют одинаковое число элементов. Конечное множество не эквивалентно своему собственному подмножеству. У бесконечных множеств это условие нарушается.

Например, множество натуральных чисел N равномощно множеству 2N четных натуральных чисел. Отображение устанавливается по правилу: f: n  2n (см. рис. 2.12).

Множество натуральных чисел N равномощно множеству Z целых чисел. Установление взаимно однозначного соответствия видно из рис. 2.13.

Определение 4.2. Множество эквивалентное множеству N натуральных чисел называется счетным.

Теорема 4.1. Для того, чтобы множество А было счетным необходимо и достаточно, чтобы оно было представлено в виде последовательности: A = {an nN}.

Доказательство. Необходимость. Пусть А - счетное множество. Тогда существует биекция f:NA. Обозначим через an=f(n). Тогда у каждого aA будет единственный порядковый номер n и множество A представляется в виде A = {an nN}.

Достаточность. Пусть A = {an nN}. Тогда отображение f:NA, определенное по формуле f(n) = an является биекцией и множества N и A эквивалентны. Тогда множество A - счетное.

Теорема 4.2. Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество.

Доказательство. Пусть А -бесконечное множество. Возьмем в А какой-нибудь элемент и обозначим его через а1. Составим разность А1 = А\ {а1} и возьмем в ней элемент а2. Составим разность А2 = А1\ {а2} и возьмем в ней элемент а3. Этот процесс ни когда не закончится, так как множество А бесконечное. Продолжая этот процесс до бесконечности получим последовательность {а1, а2, а3,…} A, которая по теореме 4.1 является счетным множеством.

Теорема 4.3. Всякое подмножество счетного множества является счетным или конечным.

Доказательство. Пусть А -счетное множество. Тогда по теореме 4.1 А = {а1, а2, а3,…}. Пусть В  А. Двигаясь от а1 к а2 и т.д. мы на каком то шаге встретим элемент множества В. Обозначим его через b1. Пусть . Продолжая просмотр элементов множества А мы на некотором месте n2 встретим элемент .множества В. Продолжая просмотр элементов множества А и пометив элементы множества В получим B = {b1, b2, b3,…}, , k = 1,2,…. Тогда множество В будет конечным или счетным.

Теорема 4.4. Декартово произведение двух счетных множеств счетное множество.

Доказательство. Пусть А, В -счетные множества. Тогда А = {а1, а2, а3,…, аi,…}, B = {b1, b2, b3,… , bj,…}. Составим С = АВ, тогда элементы С будут иметь двойной индекс cij : cij = (аi, bj). Расположим все элементы в таблицу (таб. 1) и проведем в ней диагонали. Если нумеровать элементы таблицы по диагоналям справа налево и сверху вниз (таб. 2), то каждый элемент cij получит свой единственный порядковый номер. Тогда множество АВ - счетное.  

 Следствие. Декартово произведение N  N счетное множество.

Теорема 4.5. Объединение конечного или бесконечного числа конечных или счетных множеств является конечным или счетным множеством..

Доказательство. Положим  вначале , где Аi -счетные множества. Далее положим В1 = А1, В2 = А2\ А1,…, . Тогда Аi Аj = для любых i ,j N (i ,j). Кроме того . Следовательно, . Доказывая счетность последнего множества, заметим, что каждый его элемент имеет два индекса: номер множества, и порядковый элемент в множестве. Тогда A = {bik} {(i, k)} NN. Тогда множество А счетное.

Теорема 4.6. Множество Q всех рациональных чисел счетное множество..

Доказательство. Имеем Q = . Так как среди элементов последнего множества есть равные, то множество Q эквивалентно подмножеству декартова произведения ZN. Так как последнее множество счетное, множество ZN - бесконечное,  то множество Q - счетное.

Теорема 4.7. Множество всех точек плоскости и пространства с рациональными координатами счетное множество.

Доказательство. Следует из теорем 4.4 и 4.6, так как множество всех точек плоскости и пространства эквивалентны  соответственно множествам QQ и QQQ, которые являются счетными множествами.

Действительные числа. Числовые функции

  1.  Числовые множества.

Натуральные числа. Обычно множество N = {1, 2, 3,…}натуральных чисел и его свойства предполагаются известными из школьного курса математики. Необходимо отметить, что в школе действия сложения, умножения над натуральными числами строго не определяются и их свойства не доказываются. Также из школы известно, что множество N - линейно упорядоченное множество относительно обычного отношения . Справедливо следующее интуитивно ясное утверждение:

Принцип минимума. Каждое непустое подмножество A множества N натуральных чисел содержит минимум (наименьшее число).

Отсюда легко могут быть получены следующие теоремы (теоремы индукции), обосновывающие законность индуктивных доказательств.

Теорема 1.  Пусть P(n) - предикат (теорема, утверждение, предложение), определенный на множестве N натуральных чисел. Пусть предикат P обладает двумя свойствами:

  1.  при n =1 предикат P истинен;
  2.  для всякого k  N, если предикат P истинен при n = k, то он истинен и при n = k  + 1.

Тогда предикат P истинен для всех натуральных чисел n.

Теорема 2.  Пусть P(n) - предикат, определенный на множестве N натуральных чисел n  r. Пусть предикат P обладает двумя свойствами:

  1.  предикат P истинен для некоторого натурального r;
  2.  для всякого k  N, k  r, если предикат P истинен при n = k, то он истинен и при n = k  + 1.

Тогда предикат P истинен для всех натуральных чисел n  r.

Теорема 3.  Пусть P(n) - предикат, определенный на множестве N натуральных чисел n  r. Пусть предикат P обладает двумя свойствами:

  1.  предикат P истинен для некоторого натурального r;
  2.  для всякого k  N, k  r, если предикат P истинен для всех чисел n: r  n  k, то он истинен и при n = k  + 1.

Тогда предикат P истинен для всех натуральных чисел n  r.

Теоремы 1-3 являются основой специального метода доказательства теорем, называемого методом математической индукции ("доказательство методом полной индукции").

Всякое доказательство методом математической индукции состоит из двух частей. Например, рассмотрим схему доказательства, основанного на теореме 1.

  1.  Сначала проверяется истинность предложения P для натурального числа n =1 (база индукции).
  2.  Затем делается допущение, что предложение P истинно для произвольного натурального числа n = k (индуктивное предположение). Затем на основе этого предположения выводится справедливость предложения P для n = k  + 1 (индукционный переход). Индуктивное предположение вместе с индуктивным переходом называется индуктивным шагом.

Теперь, так как удовлетворяет всем условиям теоремы 15.1, можно заключить, что предложение P истинно для любого натурального числа n.

Если требуется доказать, справедливость предложения P для всех натуральных чисел, начиная с числа r, то доказательство должно быть основано на теореме 15.2. Его схема доказательства отличается от схемы, приведенной выше, индуктивным шагом.

Если при индуктивном переходе требуется истинность предложения при n  k, то доказательство должно быть основано на теореме 15.3. Его схема доказательства отличается, от схемы, приведенной выше, индуктивным предположением.

Необходимо подчеркнуть, что любое индуктивное доказательство включает в себя и базис индукции, и индуктивный шаг.

Пример 1. Доказать, что

(1+x)n  > 1 + nx,

где x > 1, x  0, x  R, n  N,  n  2 (неравенство Бернулли).

Доказательство. 1. Так как x2 > 0, то (1+x)2  = 1 + 2x + x2 > 1 + 2x, т. е. неравенство верно при n = 2.

2. Предположим, что неравенство верно для некоторого n = k  2:

(1+x)k  > 1 + kx.                                    (15.1)

Докажем, что тогда оно верно для n = k + 1: (1+x)k + 1  > 1 + (k + 1)x.

Умножая неравенство (15.1) на число 1+x >0 , имеем

(1+x)k + 1  > (1 + kx)( 1+x) = 1 + kx + x + kx2 > 1 + (k + 1)x

(так как kx2 > 0).

Из пунктов 1 и 2 по теореме индукции 15.2 следует справедливость неравенства для всех натуральных чисел n  2.

Пример 2. Доказать, формулу

(a +b)n  = an + a n-1b + a n-2b2+ a n-3b3+…+ a n-kbk+…+ abn-1 +  b n, 

где a, b  R, n  N,  (бином Ньютона).

Доказательство. Доказать самостоятельно, используя свойства биномиальных коэффициентов  (формула Паскаля).

Целые числа. Множество Z = {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} целых чисел также предполагаем изученным. Известно, что сумма, разность, произведение целых чисел всегда целые числа.

Рациональные числа. Множество  рациональных чисел также предполагаем изученным. Известно, что сумма, разность, произведение и частное, если знаменатель неравен нулю рациональных чисел - рациональное число. Множество Q всюду плотное множество, т.е. между любыми различными рациональными числами лежит рациональное число.

  1.  Действительные числа и их свойства.

Наиболее широкое числовое множество, изучаемое в школе множество действительных чисел R. Действительные чисел изображается на числовой оси, на которой указывается масштаб, начало отсчета и направление. Между числовыми множествами имеется соотношение: N Z  Q  R. Множество состоит из рациональных и иррациональных чисел. Рациональные числа выражаются конечными или бесконечными десятичными дробями.

Теорема 1. Не существует рационального числа квадрат которого равен 2.

Доказательство. Допустим противное, что имеется рациональное число, представимое несократимой дробью , квадрат которого равен 2. Тогда имеем  , m2 = 2n2. Тогда число m2  - четное, а поэтому и число m - четное, m = 2 m1. Отсюда получим 4m12 = 2n2, 2m12 = n2. Повторяя рассуждения получим, что число n - четное, n = 2 n1. Но тогда дробь  сократимая. Получаем противоречие с допущением. Следовательно, предположение неверно, и не существует рационального числа квадрат которого равен 2.

Иррациональные числа выражаются бесконечными непериодическими дробями. Множество всех действительных чисел есть множество всех бесконечных десятичных дробей:

R = {x = ,123 Z, i{0,1,.2,…,9}}.

  1.  Известно, что сумма, разность, произведение и частное, если знаменатель неравен нулю, действительных чисел - действительное число.
  2.  Все действительные числа разбиваются на положительные действительные числа, отрицательные действительные числа и нуль:  R = R-  {0} R+.
  3.  Множество R  линейно упорядочено, т.е. для любых двух действительных чисел a, b имеет место только одно из трех соотношений: либо a < b, либо a > b, либо a = b.   
  4.  Множество R - всюду плотное множество, т.е. между любыми различными действительными числами a, b лежит бесконечно много действительных чисел. Если a < b, то a < (a + b)/2 < b.
  5.  Множество R  непрерывно, т.е для его справедливо следующее утверждение. Пусть A, B - любые непустые подмножества множества такие, что для любых a A, b B имеем a  b.  Тогда существует такой элемент с R, что для любых a A, b B имеем a  с  b.  Это утверждение называется аксиомой о разделяющем элементе и проиллюстрировано на рис. 1.
  6.  Модуль (абсолютная величина) действительного числа определяется формулой:

Теорема 1. Для любых действительных чисел a, b справедливы свойства:

1) a  0, a  a; 2) a  b  - b  a b; 3) a  b   a b a b; 4) a+b  a+b;  5) a-b  a-b;   6) ab = ab;  7) a/b = a/b (b  0).

Доказательство. Свойства 1-3, 6-7 доказываются простой проверкой. Докажем свойство 4. Из свойства 1 -aa  a , -bb  b .  

Отсюда получаем . Следовательно, по свойству 2 получим .

По свойству 4 имеем  Тогда имеем Аналогично доказываем, что Отсюда  и по свойству 2 получим a-b  a-b.

Числовыми промежутками называются подмножества множества R, которые имеют следующий вид:

[a, b] = {x R  a  x  b} - отрезок (сегмент, замкнутый промежуток),

(a, b) = {x R  a < x < b} - интервал (открытый промежуток),

[a, b) = {x R  a  x < b}, (a, b] = {x R  a < x  b} - полуоткрытые интервалы (сегмент, полуоткрытые отрезки),

[a, +) = {x R  a  x}, (a, +) = {x R  a < x}, (-, b) = {xR x < b}, (-, b] = {x R x  b}, (-, +] = R - бесконечные интервалы (промежутки),

Теорема 1. Множество R всех действительных чисел несчетное.

Доказательство. Соответствие, изображенное на рис. 2, показывает, что множества (0, 1), и R эквивалентны. Взаимно однозначное отображение (0, 1) на R устанавливает композиция двух

биективных отображений: параллельное проектирование f точек x интервала (0, 1) на единичную полуокружность без концов, центральное проектирование g полуокружности на числовую ось R.

Покажем несчетность множества (0, 1). Представим каждое число x из (0, 1) в виде десятичной дроби x = 0,123…, i{0,1,.2,…,9}.

Допустим противное, что множество (0, 1) счетное, (0, 1) = {xi iN }. Каждое число xi  запишем в форме xi = 0, i 1 i 2 i 3…,  i j{0,1,.2,…,9),     i j - j-й разряд  i- го числа (j = 1,2,…,k,…).  Запишем числа последовательности  столобиком

Составим число y в виде y = 0,1 2 3k(0,1), где  k =1, если  kk  1, k =0, если  kk = 1, k =1,2,….

Тогда число y не может располагаться в последовательности {xk kN }, так как все его разряды отличаются от соответствующих разрядов чисел xk .  Так как число y является действительным, то в силу этого последовательность не может охватить все числа интервала (0,1). Поэтому множество чисел этого интервала несчетно и теорема доказана.

Множество всех действительных чисел имеет мощность, называемую континуумом.

  1.  Ограниченные множества. Границы множеств.

Определение 1. Множество А R называется ограниченным, если существует такое число b R, что для любого a A  выполняется неравенство a  b. Числа -b, b называются соответственно нижней и верхней границами множества А.

Определение 2. Множество А R называется ограниченным сверху, если существует такое число b R, что для любого a A  выполняется неравенство a  b. Число  b называются верхней границами множества А.

Определение 3. Множество А R называется ограниченным снизу, если существует такое число b R, что для любого a A  выполняется неравенство -b  a. Число  b называются нижней  границами множества А.

Определение 4. Наименьшая из всех верхних границ множества А R называется точной верхней границей множества А, и обозначается символом sup A.

Определение 5. Наибольшая из всех нижних границ множества А R называется точной нижней границей множества А, и обозначается символом inf A.

Определение 6. Если точная верхняя граница множества А R принадлежит множеству А, то она называется наибольшим элементом множества А, и обозначается символом max A.

Определение 6. Если точная нижняя граница множества А R принадлежит множеству А, то она называется наименьшим элементом множества А, и обозначается символом min A.

Теорема 1. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) множество А R имеет точную нижнюю (верхнюю) границу.

Доказательство. Пусть множество А ограничено сверху, и В - множество всех верхних границ множества А. Тогда А, В  R,  и множества А, В не пусты. По аксиоме непрерывности существует такое число с R, что для любых a A, b B имеем a  с  b. Так как для любых a A имеем a  с, то с - верхняя граница множества A. Так как для любых b B имеем  с  b, то наименьшая из верхних границ множества A. Отсюда с = sup A..

  1.  Функция. Область определения и множество значений функции. График функции. 

Определение 1.  Числовой функцией, определенной на множестве X R со значениями во множестве Y R называется любое отображение f множества X в множество Y: f : X  Y.

Функция f любому элементу x X ставит в соответствие единственный элемент y Y, обозначаемый y = f(x). Функцию записываем также в виде y = f(x) и в этом случае x называется независимой переменной или аргументом, y - зависимой переменной или функцией.

Множество X называется областью определения функции f и обозначается символом Df .

Множество Ef = { y Y  y = f(x), где x X } называется множеством значений функции f.

Определение 2. Две числовые функции f : X  Y и g : Z  W называются равными, если их области определения равны, X = Z, и все соответствующие значения их равны, т.е. ( x X )[ f(x) = g(x)].

Определение 3. функции g : Z  W называется сужением функции f : X  Y на множество Z, если Z X  и ( x X )[ g(x) = f(x)]. Обозначаем g = f  Z.

Определение 4.  Суммой двух числовых функций f : X  Y и g : Z  W называется такая функция, обозначаемая f+g, определенная на множестве X Z, которая для любого x XZ определяется формулой ( f + g)(x) = f(x) + g(x).

Аналогично, разность, произведение, частное функций определяются соответственно для любого x XZ равенствами:

( f - g)(x) = f(x) - g(x),  ( f g)(x) = f(x)g(x),  ( f /g)(x) = f(x) /g(x), g(x) 0.

Имеют место следующие способы задания числовых функций:

Аналитический (формульный) - функцию задают с помощью одной или нескольких формул:

Естественной областью определения функции, заданной формулами, называется множество всех значений аргумента, при которых формулы имеют смысл.

 Логический (словесный) - функцию задают с помощью описания соответствия:

Табличный (матричный) - функцию задают с помощью таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих значений функции. Например расписание движения поезда на станции определяет местоположение поезда в зависимости от времени.

Определение 5.  Графиком функции  f : X  Y называется множество Гf всех точек P(x,y) координатной плоскости Oxy, координаты которых связаны зависимостью y = f(x), x X .

Графический способ - функцию задают с помощью графика, который задает зависимость между значениями аргумента и и значениями функции.  Смотри на рис. 3.

  1.  Композиция функций, сложные функции.

Определение 1.  Композицией двух функций  f : X  Y и g : Y  Z называется такая функция, обозначаемая f g, определенная на множестве X , которая для любого x XZ определяется формулой (g  f)(x) = g (f (x)).

Композиция функций также называется суперпозицией функций, а резульат суперпозиции функций называется сложной функцией. При суперпозиции функций вторая функция подставляется вместо аргумента в первую функцию.

Пример 1. Функция y = sin(x2- 1) является суперпозицией функций y = x2- 1, y = sin x. Суперпозиция функций y = sin x и y = x2- 1 есть функция y = sin 2 x  - 1. Из этого примера следует некоммутативность операции суперпозиции.

  1.  Обратные функции. 

Определение 6.1. Обратным бинарным отношением для бинарного отношения f XY называется  бинарное отношение, обозначаемое   f -1, и состоящее из всех пар (y, x) таких, что (x, y)f .

Определение 6.2. Функция f: XY называется  обратимой, если обратное для еу бинарное отношение   f -1 является функцией. Тогда функция f -1 называется обратной функцией для функции  f и обозначается тем же символом  f -1.

Например, для функции f: [0,+) [0,+), f: xx2, обратная функция f -1: [0,+) [0,+), f -1: x.

Теорема 6.1. Пусть функция f: XY - обратима, f -1 – обратная ей функция. Тогда y= f(x) тогда и только тогда, когда x= f -1(y) для любых x X и y Y .

Доказательство. По определению обратного бинарного отношения (x, y)  f тогда и только тогда, когда (y, x)  f -1 . В силу обозначений из этого следует утверждение теоремы.

Теорема 6.2. Пусть функция f: XY - обратима. Тогда для любых x X и y Y  имеем f(f -1(y))= y, x= f -1(f(x)).

Доказательство. Следует из определений 6 и теоремы 6.1.

Теорема 6.3. Функция  f: XY - обратима тогда и только тогда, когда она биективна. 

Доказательство. () Пусть тображение f: XY обратимо и f -1: YX обратное ему отображение. По определению отображения для любого  y  Y  существует единственный элемент  x X такой, что x= f -1(y) и по теореме 6.1 y= f(x). По определению  f  сюръекция.

Доказывая, что f  биекция предположим противное. Пусть найдутся такие два элемента x1,  x2  X ,  x1  x2 , что f(x1) = f(x2), y1= f(x1), y2= f(x2). Тогда y1 = y2 и по теореме 6.1 x1= f -1(y1) = f -1(y2) = x2, а это противоречит предположению.

() Пусть отображение f: XY  биективно, f -1  обратное бинарное отношение для f. По определению для каждого y  Y существует такой элемент xX, что y= f(x),  т.е. такой, что (y, x)f -1. Покажем, что такой элемент x X единственный. Действительно, допустим, что существуют два такие элемента  x1,   x2  X ,  x1  x2 , (y, x1)f -1, (y, x2)f -1. Тогда по определению обратного бинарного отношения (x1, y)f , (x2, y)f и  f(x1) = y = f(x2), а это противоречит тому, что  f   биективно.

Если  f -1: Y  X обратное отображение для отображения f: XY, то область определения Y отображения f -1 равна множеству значений отображения f, D(f -1) = E(f), и наоборот E(f -1) = D(f). Если области определений отображений f и f -1 изображаются на оси Ox, то графики этих отображений симметричны относительно биссектрисы первого и второго координатных углов, т.е. относительно прямой  y= =x .

Например, для функции  sin: [/2,/2][1,1] обратной является функция arcsin: [1,1] [/2,/2]. По теореме 3.2 для любых x [/2,/2] и y[1,1] справедливы тождества arcsin(sin x) = x и sin(arcsin y) = y.

Теорема 6.4. График обратной функции y= f -1(x) симметричен графику функции y= f(x) относительно биссектрисы первого и второго координатных углов.

  1.  Элементарные функции, их свойства и графики.

Определение 7.1. Функция f: XY называется  четной, если

  1.  ее область определения симметрична началу координат, т.е. ( x X )[ -x X];
  2.  ( x X )[ f(-x) = f (x)].

Определение 7.2. Функция f: XY называется  нечетной, если

  1.  ее область определения симметрична началу координат, т.е. ( x X )[ -x X];
  2.  ( x X )[ f(-x) = -f (x)].

Определение 7.3. Функция f: XY называется  периодической, если найдется такое число t>0, что  

  1.   ( x X )[x+ t X];
  2.  ( x X )[ f(x+ t) = f (x)].

Наименьшее положительное число t с таким свойством называется длиной периода функции f.

Определение 7.4. Функция f: XY называется  ограниченной сверху, если множество ее значений ограничено сверху, т.е. найдется такое число с, что ( x X )[ f(x) с].

Определение 7.5. Функция f: XY называется  ограниченной снизу, если множество ее значений ограничено снизу, т.е. найдется такое число с, что ( x X )[ f(x) с].

Определение 7.6. Функция f: XY называется  ограниченной, если множество ее значений ограничено, т.е. найдутся такие числа с, d, что ( x X )[ с  f(x)  d].

Определение 7.7. Функция f: XY называется  монотонно возрастающей на множестве A,X если наибольшему значению аргумента из множества А соответствует большее значение функции, ( x1, x2, A )[ x1< x2  f(x1)  f(x2)].

Функция f: XY называется  монотонно убывающей на множестве A,X, если ( x1, x2, A )[ x1< x2  f(x1)  f(x2)].

Функция  f: XY называется  строго возрастающей на множестве A,X, если ( x1, x2, A )[ x1< x2  f(x1) < f(x2)].

Функция  f: XY называется  строго убывающей на множестве A,X, если ( x1, x2, A )[ x1< x2  f(x1) > f(x2)].

Определение 7.8. Основными элементарными функциями называются показательные функции, логарифмические функции, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, степенные функции.

Элементарными функциями называются функции, которые задаются одной формулой и получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления).

  1.  Показательная функция y = ax; a>0, a0.

Свойства показательной функции

 0 < a < 1

a > 1

Область определения

(-, +)

(-, +)

Множество

значений

(0, +)

(0, +)

Монотонность

Функция убывает.

 Функция возрастает

График

2. Логарифмическая функция обратная показательной функции  y = ax, a>0.

Свойства логарифмической функции

 0 < a < 1

a > 1

Область определения

(0, +)

(0, +)

Множество

значений

(-, +)

(-, +)

Монотонность

Функция убывает.

 Функция возрастает

График

3. Тригонометрические функции.

Синус: y = sin x

Косинус: y = cos x

Тангенс: y = tg x

Котангенс: y = ctg x

Четность

Нечетная

четная

нечетная

нечетная

Период

2

2

Область определения

(-,+)

(-,+)

x /2+k, kZ

x k, kZ

Область значений

[-1, 1]

[-1, 1]

(-,+)

(-,+)

График

4. Обратные тригонометрические функции.

Обратная функция

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arcctg

Определение

Арксинусом числа х называется такой угол [-/2,/2], си-нус которого равен х

Арккосинусом числа х называется такой угол [0, ], косинус которого равен х

Арктангенсом числа х называется такой угол (-/2, /2), тангенс которого равен х

Арккотангенсом числа х называется такой угол (0,) котангенс которого равен х

Основные тождества

arcsin sin = ,

sin arcsin x =x

[-/2,/2], x[-1, 1]

arccos cos = ,

cos. arccos x =x

[0,], x[-1, 1]

arctg tg = ,

tg arctg x =x

(-/2,/2), x(-,+)

arcctgctg = ,

ctgarcctg x =x

(0,),x(-,+)

Область определения

[-1, 1]

[-1, 1]

(-,+)

(-,+)

Область значений

[-/2,/2]

[0,]

(-/2,/2)

(0,)

График

5. Степенная функция.

В некоторых случаях графики одних функций удобно строить из уже известных графиков функций с помощью геометрических преобразований. Основные преобразования графиков отражены в указанной ниже таблице.

Геометрическое преобразование графиков функций.

Комплексные числа

  1.  Комплексные числа. Поле комплексных чисел. Комплексно-сопряженные числа

Определение 1.1. Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел (x, y).

Обозначаем z =(x, y). Множество всех комплексных чисел обозначаем символом С. 

Число x называется действительной частью, а y - коэффициентом при мнимой части комплексного числа z. Обозначаем x = Re z, y = Im z. 

Комплексно число (x, 0) отождествляется с x, т.е. x  = (x, 0). Тогда комплексные числа  (1, 0) и (0, 0) отождествляются соответственно с 1 и 0.

Если y  0, то комплексно число (x, y) называется мнимым, а число (0, y) - чисто мнимым. Число (0, 1) называется мнимой единицей и обозначается символом i. 

Определение 1.2. Два комплексных числа z1 =(x1, y1) и z2 =(x2, y2) называются равными, если соответственно равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях, x1 = x2, y1= y2.

Определение 1.3. Суммой  комплексных чисел z1 =(x1, y1) и z2 =(x2, y2) называются комплексное число z1 +  z2 =(x1 + x2, y1 + y2). 

Определение 1.4. Произведением комплексных чисел z1 =(x1, y1) и z2 =(x2, y2) называются комплексное число z1 z2 =( x1x2 - y1y2, x1 y2 + x2y1).

Определение 1.5. Разностью z1 - z2 комплексных чисел z1 и z2 называются такое комплексное число z, что z2 +  z  = z1. 

Определение 1.6. Частным z1 : z2 комплексных чисел z1 и z2 называются такое комплексное число z, что z2 z  = z1.

Примеры. (2, 1) + (3,-5) = (2+3, 1-5) = (5, -4).

(2, 1)(3,-5) = (23-1(-5), 2(-5)+13) = (11, -7).

Определение 1.7. Комплексные числа z = (x, y) и называются комплексно сопряженными.

Примеры. (2, 1) + (3,-5) = (2+3, 1-5) = (5, -4),

(2, 1)(3,-5) = (23-1(-5), 2(-5)+13) = (11, -7),

z = (x, y) (x, -y) = (xx+ y y, x(-y) + xy) = (x2 + y2, 0) = x2 + y2,

ii = (0, 1)(0, 1) = (-1, 0) = -1.

Теорема 1.1. Множество С всех комплексных чисел является полем относительно операций, определенных выше.

Доказательство. Так как для любых комплексных чисел сумма и произведение определены однозначно, то операции сложения и умножения на множестве С алгебраические. Докажем сначала, что С кольцо (проверим свойства в определениях 3.1).

  1.  Пусть z1 =(x1, y1), z2 =(x2, y2) , z3 =(x3, y3). Тогда

z1 +( z2 + z3) = (x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3) = (x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3)),

(z1 + z2) + z3 = (x1 + x2, y1 + x3) + (x3, y3) = ((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3).

По свойствам действительных чисел x1 + (x2 + x3) = (x1 + x2) + x3, y1 + (y2 + y3) = (y1 + y2) + y3. Тогда по определению 1.2 z1 +( z2 + z3) = (z1 + z2) + z3.

  1.  z1 + 0 =(x1, y1) + (0, 0) = (x1+0, y1+0) = (x1, y1) = z1.
  2.  Возьмем - z1 =(-x1, -y1). Тогда z1 + (-z1) = (x1, y1) + (-x1, -y1) = (x1+ (-x1), y1+(-y1)) = (0, 0) = 0.

Проверяя свойства 4, 5, 6 по аналогии со свойством 1 получим, что С - кольцо.

Проверим теперь свойства 1-3 в определении 3.4 поля.

  1.  z11 =(x1, y1)(1, 0) = (x11- y10, x10+ y11) = (x1, y1) = z1.
  2.  z1 z2 =(x1x2 - y1y2, x1 y2 + x2y1) = (x2x1 - y2y1, x2 y1 + x1y2) = z2 z1.
  3.  Покажем, что для числа z1 =(x1, y1)   (0, 0) существует такое число z =(x, y), что z1 z = 1. В силу определения 1.4 последнее равенство можно переписать в виде ( x1x - y1y, x1 y + xy1) = (1, 0). Тогда по определению 1.2 получим систему

Решая полученную систему находим Тогда    и zz-1=1.

Определение 1.7. Любое подполе поля комплексных чисел называется числовым полем.

В силу лекции 1 определения 2.5 для того, чтобы подмножество P  С, содержащее число 0, было числовым полем необходимо и достаточно, чтобы сумма, разность, произведение и частное, если знаменатель не равен нулю, любых чисел из P принадлежали бы P.

Заметим, что наименьшее числовое поле это поле Q рациональных чисел.

Разность комплексных чисел z1 =(x1, y1), z2 =(x2, y2) находится по формуле:

z1 - z2 = z1 +(-z2) = (x1 - x2, y1 - y2).                                                         (1.1)

Частное комплексных чисел z1 =(x1, y1), z2 =(x2, y2) (0, 0) находится по формуле:

z1 : z2 = z1  z2-1 = (x1, y1 ). =.                  (1.2)

В силу определений 1.3, 1.4 любое комплексное число z =(x, y) можно единственным образом записать в виде z =x + yi. Действительно,

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0)(0, 1) = =x + yi.

Запись комплексного числа в виде z =x + yi называется алгебраической формой комплексного числа. В силу сказанного выше операции над комплексными числами z1 =x1 + y1i, z2 = x2 + y2i в алгебраической форме производятся по формулам:

z1 +  z2 =(x1 + x2) + (y1 + y2)i,

z1 -  z2 =(x1 - x2) + (y1 - y2)i,

z1 z2 = (x1x2 - y1y2) + (x1 y2 + x2y1)i,

, z2   0.

Указанные формулы не обязательно запоминать, необходимо лишь помнить, что i2 = -1. Так как , то при нахождении частного достаточно умножить числитель и знаменатель дроби на число комплексно сопряженное знаменателю

Примеры.

(2 + 3i)(4 - 5i) = 8 -10i +12i - 15i2 = 23 +2i,

Теорема 2.2. Для любых комплексных чисел z1 и z2 справедливы свойства:

  1.  ,             2.   ,

3. ,                   4. ,

5.  .

Доказательство (см. доказательство теоремы 2.1).

  1.  Изображение комплексных чисел на плоскости.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число z =x + yi изображается точкой M(x, y). Различным комплексным числам соответствуют различные точки и каждой точке M(x, y) плоскости соответствует число z =x + yi. Таким образом имеет место взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости. Называем комплексные числа точками. Будем также комплексное число изображать радиус вектором r = . При этом сумме комплексных чисел соответствует сумма соответствующих векторов.

Плоскость, где изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. При этом ось абсцисс Ox называется действительной осью, ось ординат Oy - мнимой осью.

Пусть точка M(x, y), изображающая комплексное число z =x + yi, имеет полярные координаты r и .

Определение 2.1. Модулем  комплексного числа  z  называются

полярный радиус r точки M, т.е. длина радиус вектора, изображающего комплексное число z.

Определение 2.2. Аргументом  комплексного числа  z  называются полярный угол точки M, т.е. угол между вектором и осью Ox.

Модуль r комплексного числа z изображается символом , аргумент  комплексного числа z изображается символом Arg z. Модуль r комплексного числа z неотрицателен и вычисляется по формуле:

r =.                                                                        (2.1)

Аргумент комплексного числа z  0 определяется неоднозначно, а с точностью до числа кратного 2. Аргумент числа z = 0 неопределен. Значение  0 аргумента числа z называется главным, если оно удовлетворяет неравенству 0   0 < 2, и обозначается символом arg z . Любое другое значение аргумента находится по формуле =  0 + 2k.  где k - целое число.

Из определений синуса и косинуса любого угла следуют формулы

x = r cos , y = r sin .                                                                          (2.2)

Отсюда следуют формулы для определения аргумента по данному числу z =x + yi:

.                                                         (2.3)

Подставляя в число z =x + yi  вместо x, y их выражения из формул (2.2) получим

z = r(cos  + i sin ).

Полученная форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Примеры. 2 = 2(cos 0 + i sin 0), 2i = 2(cos /2 + i sin /2), 1-i =.

Из сказанного выше вытекает теорема.

Теорема 2.1. Любое комплексное число можно представить в тригонометрической форме. Два комплексных числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на число кратное2.

Теорема 2.2. Для любых комплексных чисел z = r(cos  + i sin ), z1 = r1(cos  1 + i sin  1), z2 = =r2(cos  2 + i sin  2) любого целого числа m верны формулы:

z1z2 = r1 r2 (cos ( 1 +  2) + i sin ( 1 +  2)),

,

zm = r m(cos (m ) + i sin (m)) (формула Муавра).

 Доказательство.

z1z2 = r1(cos  1 + i sin  1)r2(cos  2 + i sin  2) =

= r1 r2 (cos  1 cos  2 - sin  1 sin  2) + i(cos  1 sin  2 + cos  2 sin  1) =

= r1 r2 (cos ( 1 +  2) + i sin ( 1 +  2)).

Аналогично доказывается вторая формула. Формула Муавра доказывается применением первой и второй формул.

Пример. (1-i)6 =.

Из неравенства треугольника и из теоремы 2.2 следует теорема.

Теорема 2.2. Для любых комплексных чисел z, z1, z2  и любого целого числа m верны соотношения:

1.;                       2. ;

3. ;                            4. ;

5. ;                    6. ;

7. .

  1.  Корни из комплексных чисел

Пусть n - натуральное число.

Определение 3.1. Корнем n - й степени из  комплексного числа  z  называются такое комплексное число w, n -я степень которого равна числу z: т.е. w n = z.

Заметим, что для числа z = 0 имеется только один корень n -й степени, который равен 0.

Теорема 3.1. Для любого комплексного числа z = r(cos. + i sin ) 0 любого натурального числа n имеется ровно корней n -й степени из z , которые вычисляются по формуле:

,                                 (3.1)

где в правой части стоит арифметический корень из числа r.

Доказательство. 1. Докажем, что каждый корень w = R(cos  + i sin ) из числа z находится по формуле (3.1). По определению корня w n = z.Отсюда находим:

z = r(cos.  + i sin ) = (R(cos + i sin ))n = R n (cos n + i sin n).

По теореме 2.1 получим r = R n, = n + 2m, где m Z. Разделим число на с остатком m = nq+k, где q, k  Z, 0  k< n. Тогда

R =,.

Тогда

.

  1.  По формуле Муавра проверяем, что числа (3.1) корни n - й степени из z:

.

3. Так как аргументы всех комплексных wk , k= 0,1,…,n-1, чисел заключены в промежутке [0, 2), то все n чисел wk попарно различны. 

Пример. Найти . Представим число -16 в тригонометрической форме -16 = 16(cos  + sin ). По формуле (3.1) находим

.

Отсюда получаем

w0 = 2, w1 = 2i, w2 = -2, w3 = -2i.

Следствие 1. Все корни n - й степени из комплексного числа z = r(cos. + i sin ) 0 изображаются на плоскости вершинами правильного n - угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат

Следствие 2. Для любых комплексных чисел  0 уравнение azn = b имеет n комплексных корней, которые являются  корнями n - й \степени из комплексного числа b/a.

Следствие 3. Все корни n - й степени из 1 находятся по формуле

.                                  (3.2)

Теорема 3.2. Все корни n - й степени из 1 образуют группу порядка n относительно операции умножения.

Доказательство. Сводится к проверке свойств группы.

Пример. Выразить cos.3, sin 3 через cos., sin . По формуле Муавра получаем

(cos   + i sin )3 = cos 3 + i sin 3.

По формуле суммы кубов имеем

(cos  + i sin )3 = cos3  + 3i cos2  sin + 3i2 cos sin2  + i3sin3  =

= (cos3   - 3cos sin2 ) + i(3cos2  sin - sin3 ).

По определению равенства комплексных чисел получаем:

cos 3 = cos3   - 3cos sin2 ,  sin 3 = 3cos2  sin - sin3 .

 

  1.  Показательная форма комплексного числа. Формулы Эйлера

Рассмотрим разложения в ряды Тейлора функций ex, cos x, sin x, которые имеют место для действительных чисел x:

,

,

.

Предполагая (не совсем законно), что эти формулы имеют место для чисто комплексных чисел iy получим:

=

+

= cos y + isiny.

Таким образом, получаем следующую формулу:

eiy = cos y + isiny,                                                            (3.3)

справедливую для любого действительного числа y, называемую формулой Эйлера.

В силу этой формулы комплексное число z = r(cos  + i sin ) может быть записано в виде:

z = r ei.                                                                         (3.4)

Полученная форма записи комплексного числа называется показательной.

Заменяя в формуле (3.3) y на -y находим

e -iy = cos y - isiny.                                                            (3.5)

Почленно складывая и вычитая формулы (3.3) и (3.4) находим еще две формулы Эйлера:

.                                              (3.6)

Пример. 2i = 2(cos. /2 + sin /2) = .

Числовая последовательность и ее предел

  1.  Числовая последовательность и свойства последовательностей.

Определение 1. Числовой последовательность или просто последовательность называется функция f определенная на множестве натуральных чисел N, значения которой числа (действительные или комплексные).

Значение функции в точке n  N обозначаем символом xn=f(n). Последовательность обозначаем через ее значения : x1, x2, x3,…, xn,…  или кратко {xn}.  Последовательности задаются следующими способами:

1. Формулой общего члена последовательности. Например, равенства xn=n2, yn=1/n2 , zn= (-1)n , un= c задают соответственно последовательности {1, 4, 9,…, n2,…}, ,  {-1, 1, -1,…, (-1)n,…}, { c, c, c,…, c,…}.  Последняя последовательность называется постоянной.

  1.  Рекуррентными соотношениями. Например, последовательность чисел Фибоначчи задается соотношениями F1 = 1,  F2 = 1, при n>2,  Fn= Fn-1 + Fn-2.   

Последовательностями являются арифметическая прогрессия {an} и геометрическая прогрессии {bn}, заданные соответственно рекуррентными соотношениями: a1 = a1,  при n>1,  an= an-1 + d; b1 = b1,  при n>1,  bn= bn-1q. Арифметическую и геометрические прогрессии можно также задать формулами общего члена: an= a1 + d (n -1), bn= b1qn-1.

Определение 2. Суммой числовых последовательностей {xn}, {yn}называется последовательность {xn+ yn}. Разность, произведение и частное (yn 0) этих последовательностей определяются соответственно по формулам: {xn- yn}, {xn yn}, {xn/ yn}.

Определение 3. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если найдется такое число a, что для любого члена последовательности выполняется неравенство xn  a.

Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если найдется такое число b, что для любого n  N выполняется неравенство xn  b.

Последовательность {xn}называется ограниченной, если найдется такое число c, что для любого n  N выполняется неравенство xn  c.

Последовательность {xn}называется неограниченной, если для любого числа c найдется такое число n  N, что выполняется неравенство xn  > c.

Определение 4. Последовательностей {xn}называется возрастающей (неубывающей, убывающей, невозрастающей, если для любого n  N выполняется неравенство xn< xn+1 (соответственно xn xn+1, xn> xn+1 , xn xn+1).

  1.  Предел числовой последовательности и его свойства. Бесконечно малые и их свойства.

Определение 1. Число a называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного числа  найдется такое число n0  N, что для всех n > n0 выполняется неравенство

xn - a  < .                                                                                                          (1)

В этом случае говорим, что последовательность {xn} имеет предел a ( или xn стремится к a или последовательность  {xn} сходится к a), и обозначаем .

Кратко последнее определение можно записать символически:

.

Если последовательность не имеет предела, то она называется расходящейся последовательностью.

Неравенство (1) равносильно неравенствам - < xn - a < , a - < xn < a +, которые показывают, что элемент находится в -окрестности точки a. Поэтому условие, что последовательность {xn} имеет предел a обозначает, что для любой сколь угодно малой

-окрестности точки a все члены последовательности {xn}, начиная с некоторого номера попадут в эту окрестность точки a.

Замечание 1. Постоянная последовательность un= c, n2  N, имеет предел,  равный числу c, т.е. . Докажите самостоятельно.

 Теорема 1. Если последовательность сходится, то она имеет только один предел.

Доказательство. Допустим, что последовательность {xn} сходится и имеет два предела a и b, a  b. Возьмем число = a - b/2. Так как, то по определению предела существует такое число n1  N, что для всех n > n1 выполняется неравенство xn - a  < . Аналогично, существует такое число n2  N, что для всех n > n2 выполняется неравенство xn - b  < . Тогда при n > max{n1, n2} выполняются оба неравенства. Тогда при n > max{n1, n2} получаем противоречие 2 = a - xn+ xn - b xn - a +xn - b < +=2.

Определение 2. Последовательность {n}называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю, .

Определение 3. Последовательность {n}называется бесконечно большой, если для любого положительного числа  найдется такое число n0  N, что для всех n > n0 выполняется неравенство

n  > .                                                                                                          (2)

В этом случае говорим, что последовательность {xn} имеет предел  ( и пишем  ).

Теорема 2. Последовательность {n}, n 0, является бесконечно малой тогда и только тогда, когда последовательность {1/n} бесконечно большая.

Доказательство. Пусть последовательность бесконечно малая. Покажем, что последовательность бесконечно большая. Возьмем любое число > 0, и рассмотрим число 1 = 1/. Так как , то по определению предела найдется такое число n0  N, что для всех n > n0 выполняется неравенство n = n - 0 < 1.  Отсюда по свойству неравенств получаем 1/n = 1/n  > 1/1 = . Тогда по определению 3 {n} бесконечно большая.

Аналогично доказывается, что если последовательность {1/n} бесконечно большая, то последовательность {n} бесконечно малая.

Теорема 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

 Доказательство. Пусть . Тогда по определению предела найдется такое число m  N, что для всех n > m выполняется неравенство n - a < , a - < xn < a +. Полагаем с = max {a + , a - , 1, 2,…., m} . Тогда для всех n  N выполняется неравенство n  < с и по определению последовательность {n} ограничена.

Следствие. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Теорема 3. Если последовательность {n} бесконечно малая, то и последовательность {n} бесконечно малая.

Доказательство. Следует из определения бесконечно малой последовательности.

Теорема 4. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Докажем это утверждение для двух последовательностей, так как общий случай отсюда легко доказывается по индукции. Пусть {n} и {n} - бесконечно малые последовательности. Докажем, что последовательность { n  n} - бесконечно малая. Возьмем любое число > 0. Так как  , то по определению предела найдется такое число n1  N, что для всех n > n1 выполняется неравенство n < ./2. Так как  , то по определению предела найдется такое число n2  N, что для всех n > n2 выполняется неравенство n < ./2. Полагаем n0 =