22406

Непрерывность функции в точке

Лекция

Математика и математический анализ

Функция f называется непрерывной в точке a если она определена в точке a и ее некоторой окрестности и если существует предел этой функции f при x при x  a и он равен fa т. Функция f называется непрерывной слева в точке a если она определена в точке a и в левой половине некоторой окрестности точки a если левый предел этой функции f при x  a0 существует и равен fa т. Функция f называется непрерывной справа в точке a если она определена в точке a и в правой половине некоторой окрестности точки a если правый предел этой функции...

Русский

2013-08-03

383 KB

3 чел.

1007Z                                   Математика                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 4. Непрерывность функции в точке

  1.  Непрерывность функции в точке. Односторонняя нгепрерывность.
  2.  Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.
  3.  Непрерывность обратной функции.
  4.  Точки разрыва и их классификация.
  5.  Элементарные функции и их непрерывность.

Литература: Ильин В.А., с.105-127;  Письменный Д., с. 130-135. Ермаков В.И., с.197-202.

  1.  Эквивалентные функции и их применение к отысканию пределов.
  2.  Теоремы о промежуточных значениях функций непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Больцано- Коши).
  3.  Теоремы об ограниченности и существовании наибольшего и наименьшего значений функций непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса).

Литература: Ильин В.А., с.105-127;  Письменный Д., с. 130-135. Ермаков В.И., с.199-205.

  1.  Непрерывность функции в точке.

Определение 1.1. Функция f называется непрерывной в точке a, если она определена в точке a и ее некоторой окрестности и если существует предел этой функции f  при x при x  a, и он равен f(a), т.е.

.                                                                         (1)

В силу определений предела это равносильно каждому из следующих утверждений:

  1.  ;
  2.  Для любой последовательности {xn} a при n   соответствующая последовательность { f(xn)}  f(a)
  3.  f(x) = f(a) + (x), где - бесконечно малая при  x  a..
  4.   (левый и правый переделы функции в точке x = a равны f(a).

Определение 1.2. Функция f называется непрерывной слева в точке a, если она определена в точке a и  в левой половине некоторой окрестности точки a если левый предел этой функции f  при x  a-0 существует  и  равен f(a), т.е.

.

Функция f называется непрерывной справа в точке a, если она определена в точке a и  в правой половине некоторой окрестности точки a если правый предел этой функции f  при x  a+0 существует  и  равен f(a), т.е.

.

Теорема 1.1. Функция f непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда функция f  непрерывна в точке a слева и справа.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f непрерывна в точке . Тогда по определению 1 для любой числа > 0 существует такое число > 0, зависящее от , =(), что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству x - a < , выполняется неравенство  f(x) - f(a)  < . Поэтому для всех xD(f), удовлетворяющего неравенству - <x - a  0, выполняется неравенство f(x) - f(a) < . Следовательно,  и по определению 2 функция f непрерывна слева.

Далее для всех xD(f), удовлетворяющего неравенству 0 x - a < , выполняется неравенство f(x) - f(a) < . Следовательно,  и по определению 2 функция f непрерывна справа.

Достаточность. Пусть функция f  непрерывна слева и справа в точке а. Возьмем любое число > 0. Так как  , то существует такое число 1, что для всех xD(f), удовлетворяющего неравенству - <x - a  0, выполняется неравенство f(x) - f(a) < . Так как  , то существует такое число 2, что для всех xD(f), удовлетворяющего неравенству 0 x - a < , выполняется неравенство f(x) - f(a) < . Полагаем = min{1, 2}. Тогда из указанных свойств следует, что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству x - a < , выполняется неравенство  f(x) - f(a)  < . По определению функция f непрерывна в точке a.

Пусть функция определена в некотором интервале (a, b). Возьмем точки x, x0 (a, b). Разность x - x0 называется приращением аргумента x в точке x0 и обозначается символом x. Отсюда x = x0 +x.

Разность f(x) - f(x0) соответствующих значений функции называется приращением функции f(x) в точке x0 и обозначается y также или f или  f(x0): y = f(x) - f(x0) = f(x0 +x) - f(x0).

Условия  равносильно тому, что приращение y = f(x) - f(x0) = f(x0 +x) - f(x0). бесконечно малая функция при x  a, т. е.при x 0. Получили утверждение.

Теорема 1.2. Функция f непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращения аргумента x в точке x0 соответствует бесконечно малое приращение функции y, т.е.

.

Пример 1. Покажем, что функция y = sin x непрерывна в любой точке x  R.

Рассмотрим произвольную точку и найдем приращение y, соответствующее приращению x:

.

Вычислим предел

,

так как произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию при x 0 есть бесконечно малая функция при x 0.

  1.  Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.

Теорема 2. 1. Пусть функции f  и g  непрерывны в точке x0. Тогда в точке x0 непрерывны функции;

  1.  f + g;
  2.  f  - g;
  3.  c1 f + c1g для всех c1  R;
  4.  f g;
  5.  f /g, если f(x0) 0.

Доказательство.  Пусть функции f и g непрерывна точке x0. Тогда они определены в точке x0 и в некоторой  окрестности точки x0 . Тогда по свойству предела функции в точке получаем

.

Следовательно, по определении функция f + g непрерывна точке x0.

Аналогично доказываются остальные утверждения теоремы.

Теорема 2.2. Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0 , функция g(y) непрерывна в точке y0 = f(x0). Тогда сложная функция h(x) = g(f(x)) непрерывна в точке x0 .

Доказательство.  Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0 , функция g(y) непрерывна в точке y0 = f(x0). Тогда функция f(x) определены в точке x0 и в некоторой  окрестности точки x0, , функция g(y) определены в точке y0  и в некоторой  окрестности точки y0, . По теореме о пределе сложной функции имеем:

.

Следовательно, по определении функция h(x) = g(f(x))  непрерывна точке x0.

Теорема 2.3. Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0 ,  f(x0) 0. Тогда существует такая -окрестность точки x0 , в которой функция сохраняет знак, т.е. для любого x ( x0 -, x0 +) имеем f(x0) f(x)>  0. 

Доказательство.  Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0 , f(x0)  0. Полагаем = f(x0).  0. Тогда по определению непрерывности существует такое число > 0, зависящее от , =(), что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству x - x0 < , выполняется неравенство  f(x) - f(x0)  < .  Таким образом  для любого x ( x0 -, x0 +) имеем  -+ f(x0) < f(x) < + f(x0) или -f(x0)+ f(x0) < f(x) < f(x0) + f(x0).  Отсюда находим, если f(x0) > 0, то f(x) > -f(x0) + f(x0) = -f(x0) + f(x0) = 0, если f(x0) < 0, то f(x) <-f(x0) + f(x0) = -f(x0) + f(x0) = 0. Таким образом в обеих случаях f(x0) f(x)>  0.

Теорема 2.4. Если функция f(x) непрерывна в точке x0 , то она ограничена в некоторой  -окрестности точки x0 .

Доказательство.  Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0 . Полагаем >0. Тогда по определению непрерывности существует такое число > 0, зависящее от , =(), что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству x - x0 < , выполняется неравенство  f(x) - f(x0)  < .  Таким образом  для любого x ( x0 -, x0 +) имеем  -+ f(x0) < f(x) < + f(x0) . Таким образом функция f(x)  ограничена в  -окрестности точки x0 . 

  1.  Непрерывность функции на множестве. Точки разрыва и их классификация.

Определение 3.1. Функция f(x) называется непрерывной на множестве А, если она непрерывна в любой точке x0 множества А.

Определение 3.2. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b]., если она непрерывна в любой точке x0 (a, b) и непрерывна справа в точке a, и непрерывна слева в точке b.

Определение 3.3. Если функция  f(x) не является непрерывной в точке x0, принадлежащей области определения функции f(x), то она называется разрывной в точке x0. При этом точка x0 называется точкой разрыва функции f(x) (см. рис.2-4)..

Замечание. В некоторых случаях к точкам разрыва функция  f(x) относят и такие действительные числа x0, в в выколотой окрестности которых функция определена, но определена в точке x0.

Определение 3.4. Точка разрыва x0 функция  f(x) называется точкой разрыва функции f(x) первого рода, если существуют конечные пределы  (левый и правый переделы функции в точке x0) (см. рис.2. 4). В противном случае точка x0 разрыва функции  f(x) называется точкой разрыва второго рода (см. рис.3).

В точке разрыва второго рода один или оба односторонние пределы либо не существуют либо бесконечны.

Определение 3.5. Разрыв первого рода функция  f(x) в точке x0  называется устранимым, если правый и левый пределы функции f(x) в точке равны, но неравны f(x0), т.е.   (левый и правый переделы функции в точке x0) (см. рис.4). В противном случае разрыв первого рода называется неустранимым(см. рис.2).

В точках x0 устранимого разрыва функцию f(x) можно так переопределить, полагая , что полученная функция будет непрерывна в точке x0.

Теорема 3.1 ( о точках разрыва монотонной функции). Если функция f(x) монотонна на этом отрезке [a, b], то она может иметь на этом отрезке только конечное число точек разрыва первого рода. Более того при всех x0  [a, b] имеем:

Если функция f(x) не убывает, то

.             (1)

Если функция f(x) не возрастает, то

.               (2)

Доказательство. Рассмотрим случай, когда функция f(x) не убывает на [a, b].  Докажем первый предел из (1), так как второй доказывается аналогично.  Так как l1 - точная нижняя грань множества значений f(x)  при x > x0 , то:

  1.  для любого x > x0 имеем f(x0)  l1;
  2.  далее для любого > 0 существует такое x1 > x0, что f(x1) < l1 + .

В силу того, что функция f(x) не убывает, для любого x, x0 < x  x1 имеем  l1  f(x) f(x1) < l1 + . Тогда по определению правого предела . Имеем еще, что число f(x0) есть нижняя грань для значений f(x)  при x > x0 . Откуда по теореме о переходе к пределу под знаком неравенства f(x0)  l1.

Аналогично f(x0)  l2, откуда l2  f(x0)  l1.

Теорема 3.2 ( критерий непрерывности монотонной функции). Пусть функция f(x) определена и монотонна на отрезке [a, b]. Тогда для непрерывности ее на этом отрезке необходимо и достаточно, чтобы для любого l[ f(a), f(b )]  нашлась такая точка x0  [a, b], что f(x0) = l . 

Доказательство. Рассмотрим случай, когда функция f(x) не убывает на [a, b].

Необходимость. Возьмем любое l[ f(a), f(b )].  Рассмотрим множество X = {x[a,b] f(x0)  l}. Пусть x0 = inf X . Так как f(x) неубывающая функция, имеем

.

При x <x0 (если x0a) f(x) < l. Откуда

.

Так как функция f(x) непрерывна на [a, b], то f(x) непрерывна в точке x0. Следовательно, l = l2 = l1 = f(x0).

Если x0a, то f(x)  l1 < l . Из непрерывности функции f(x) в точке a  слева следует, что f(a) = l1, а значит l = f(a) = l1 .

Достаточность. Предположим противное. Пусть функция f(x) имеет разрыв в точке x0 и f(x) не убывает на [a, b]. Тогда для значений выполняется неравенства

.

Возьмем l  ( a, b) и l f(x0). Имеем

l > f(x0)при x <x0,

l < f(x0)при x >x0,

l  f(x0)при x =x0.

Таким образом функция f(x) не принимает значение на l  ( a, b). Следовательно, получили противоречие и функция f(x) непрерывна на [a, b].

  1.  Непрерывность обратной функций.

Теорема 4.1 ( об обратной функции). 1. Пусть функция y = f(x) определена,  строго возрастает и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда существует функция x = g (y), строго возрастающая, определенная на отрезке [ f(a), f(b )] и непрерывная на нем, такая, что g (f(x)) = x, т.е. g = f -1 - обратная функция для функции f.

2. Пусть функция y = f(x) определена, строго убывает и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда существует функция x = g (y), строго убывающая, определенная на отрезке [ f(b), f(a )] и непрерывная на нем, такая, что g (f(x)) = x, т.е. g = f -1 - обратная функция для функции f. 

Доказательство. Рассмотрим случай, когда функция f(x) строго возрастает на [a, b]. Так как для любого x  [a, b], имеем f(b) f(x) f(a ), то функция является отображением  [a, b] в [ f(a), f(b )] .

По теореме для любого l[ f(a), f(b )]  найдется  такая точка x0  [a, b], что f(x0) = l . Поэтому f отображение  [a, b] на [ f(a), f(b )] (сюръекция).

Так как функция f(x) строго возрастает на [a, b], то если x1  x2 ,то f(x1)  f(x2). Поэтому f взаимно однозначное отображение  [a, b] в [ f(a), f(b )] (инъекция).

Так как f  - сюръекция и инъекция, то f - биекция. Тогда для отображения f  существует обратное отображение       g =  f -1 для которого для любых x  [a, b], l[ f(a), f(b )] имеем y = f(x) тогда и только тогда, когда x = g (y). Отсюда g (f(x)) = x.

  1.  Полученная функция x = g (y) строго возрастает, так как , если y1 < y2, то g (y 1) = x 1, g (y 2) = x 2. Отсюда f (x1) = y1, f (x2) = y2. Так как f(x) строго возрастает, то x1 < x2.
  2.  Эта функция g (y) принимает все значения из  [a, b], та как для каждого x[a, b] существует такое y, что. g (y) =x и этим числом y является число f(x).
  3.  Отсюда по теореме 2 предыдущего параграфа функция g (y) непрерывна на отрезке [ f(a), f(b )].

  1.  Элементарные функции и их непрерывность.

Определение 5.1. Основными элементарными функциями называются показательные функции, логарифмические функции, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, степенные функции.

Элементарными функциями называются функции, которые задаются одной формулой и получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и композиции.

Докажем, что все основные элементарные функции непрерывны во всех точках числовой оси, где они определены.

Теорема 5.1. 1.Степенная функция  f(x) = xn , n N непрерывна на всей числовой оси.

  1.  Степенная функция  f(x) = xn , n Z, n  0  непрерывна на всей числовой оси кроме точки x =0.

Доказательство. 1. Так как , то функция f(x) = x непрерывна на всей числовой оси. Так как произведение непрерывных функций в любой точке x R непрерывная функция в точке x, то функция f(x) = xn = , n N непрерывна на всей числовой оси.

2. Функция f(x) = xn = 1/ x - n, n Z, n  0, n  N, -  непрерывна на всей числовой оси кроме точки x =0, как частное двух непрерывных функций.. 

Следствие 1. Любой многочлен

f(x) =

- функция непрерывна на всей числовой оси.

Следствие 2. Дробно рациональная функция

- функция непрерывна на всех точках числовой, где знаменатель дроби не равен нулю.

Теорема 5.2. 1.Функция   f(x) =  , n N строго возрастает и непрерывна  на промежутке [0, + ) .

2) Функция   f(x) =  , n N строго возрастает и непрерывна на всей числовой оси.

Замечание 1. Доказательство монотонности всех указанных ниже функций предоставляю провести читателям самостоятельно.

Доказательство. 1. Функция g(x) =  x 2n , n N  строго возрастает и непрерывна на промежутке [0, + ) и ее область значений равна [0, + ). Так как  функция  f(x) =  , n N является обратной к функции g(x) =  xn , то по теореме из предыдущего параграфа функция f(x) строго возрастает и непрерывна на промежутке [0, + ).

2. Функция g(x) =  x 2n+1 , n N  строго возрастает и непрерывна на всей числовой оси и ее область значений равна (-, + ). Так как  функция  f(x) =  , n N является обратной к функции, то по теореме из предыдущего параграфа функция f(x) строго возрастает и непрерывна на всей числовой оси.

Теорема 5.3. 1.Степенная функция  f(x) = xr , r Q, r > 0 строго возрастает и непрерывна на промежутке [0, + ) .

2) Степенная функция  f(x) = xr , r Q, r  0 строго убывает  и непрерывна на промежутке (0, + ) .

Доказательство. 1. Пусть Функция f(x) =    композиция двух непрерывных функций g(x) =  x м: [0, + )[0, + ) и  h(x) = : [0, + )[0, + )  и поэтому непрерывна на промежутке [0, + ) .

2. Пусть Функция f(x) =    композиция двух непрерывных функций g(x) = 1/ x м: (0,+ )(0,+ ) и  h(x) = : (0, + )(0,+ )  и поэтому непрерывна на промежутке (0, + ). .

Теорема 5.4. 1.Показательная функция  f(x) = ex  строго возрастает и непрерывна на всей числовой оси.

2. Логарифмическая функция  f(x) = ln x  строго возрастает и непрерывна на промежутке (0, + )

Доказательство. 1. Рассмотрим произвольную точку x и найдем приращение y, соответствующее приращению x:

.

Вычислим предел

,

так как произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию при x 0 есть бесконечно малая функция при x 0. Следовательно, функция f(x) = ex   непрерывна на всей числовой оси.

2. Функция g(x) =  e x  строго возрастает и непрерывна на промежутке (-, + ) и ее область значений равна (0, + ). Так как  функция  f(x) = ln x является обратной к функции g(x) =  e x , то по теореме из предыдущего параграфа функция f(x) строго возрастает и непрерывна на промежутке (0, + ).

Теорема 5.5. 1. Показательная функция  f(x) = ax , aR, a > 1 строго возрастает и непрерывна на всей числовой оси.

2) Показательная функция я  f(x) = ax , a R, 0< a < 1 строго убывает и непрерывна на на всей числовой оси.

Доказательство. Пусть aR, a > 1 или 0< a < 1. Функция f(x) =    композиция двух непрерывных функций g(x) =  x ln a: (-, + )(-, + ) и  h(x) = e x: (-, + )(0, + )  и поэтому непрерывна на промежутке (-, + ) .

Теорема 5.6. 1.Степенная функция  f(x) = x , R,  > 0 строго возрастает и непрерывна на промежутке [0,+ ).

2) Степенная функция  f(x) = x ,  R,   0 строго убывает и непрерывна на промежутке (0, + ).

Доказательство. Пусть aR. Функция f(x) =    композиция двух непрерывных функций g(x) =  a ln x: (0, + )(-, + ) и  h(x) = e x: (-, + )(0, + )  и поэтому непрерывна на промежутке (0, + ) .

Теорема 5.7. 1. Логарифмическая функция  f(x) = loga x, aR, a > 1 строго возрастает и непрерывна на промежутке (0, + )

2) Логарифмическая функция  f(x) = loga x, aR, 0< a < 1 строго убывает и непрерывна на промежутке (0, + ). 

Доказательство. 1. Пусть aR, a > 1. Функция g(x) = ax   строго возрастает и непрерывна на промежутке (-, + ) и ее область значений равна (0, + ). Так как  функция  f(x) = loga x является обратной к функции g(x) = ax , то по теореме об обратной функции функция f(x) строго возрастает и непрерывна на промежутке (0, + ).

Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема 5.8. Тригонометрические функции непрерывны на всех промежутках, где они определены

Доказательство. По доказанному в примере 1 пункта 1 функция sin x   строго возрастает и непрерывна на всей числовой оси.

Так как функции x /2 и sin x непрерывны на всей числовой оси, то их композиция sin (x/2) непрерывна на всей числовой оси.  Тогда и композиция  функций sin (x/2) и x2  непрерывна на всей числовой оси. Отсюда и  функция .

Тогда и функции , непрерывны на всей числовой оси, кроме точек, в которых знаменатель не обращается в ноль.

Теорема 5.9. Обратные тригонометрические функции  непрерывны на всех промежутках, где они определены.

Доказательство. Следует из теореме об обратной функции и теоремы 8.

Из доказанных теорем 1-9 следует общая теорема.

Теорема 5. 10. Любая элементарная функции непрерывна на всех промежутках, где они определена. 

  1.  Эквивалентные функции и их применение к отысканию пределов.

Определение 7.1. Пусть a  - конечная или бесконечная точка. Бесконечно малые функции  f(x) и g(x) при x  a называются эквивалентными бесконечно малыми при x  a, если

,                                                                                     (1)

пишем f(x)  g(x) при x  a.

Определение 7.2. Пусть a  - конечная или бесконечная точка. Бесконечно большие функции  f(x) и g(x) при x  a называются эквивалентными бесконечно большими при x  a, если

,

пишем f(x)  g(x) при x  a.

Замечание 1. Эквивалентные бесконечно малые при x  a есть бесконечно малые одного порядка при x  a.

Теорема 7.1. Пусть f(x) и g(x) две эквивалентные  бесконечно малые (большие) функции при x  a, g(x) - некоторая функция, определенная в некоторой выколотой окрестности точки . Тогда

;                                                                     (2)

Доказательство. Используя свойства предела и определение эквивалентных бесконечно малых получаем

.

Аналогично доказываются два остальные утверждения теоремы.

Замечание 2. Теорема 1 утверждает, что при вычислении пределов произведений (частных)  при x  a можно одни бесконечно малые (большие) множители (числителя или знаменателя) заменять другими им эквивалентными при x  a.

Теорема 7.2. Имеют место следующие эквивалентности:

  1.  sin x  x при x  0;  
  2.  1-cos x  x2/2 при x  0;
  3.  tg x  x при x  0;
  4.  ln (1+ x)  x при x  0;
  5.  (1+ x )k - 1  kx при x  0;
  6.    x/k при x  0;
  7.   a0xk при x  , a0  0. 

Доказательство. Следует из замечательных пределов. Например, первая формула следует из первого замечательного предела

Пример 1. Вычисляем предел, заменяя бесконечно малые функции им эквивалентными.

Теорема 7.3. Пусть f(x) и g(x) две эквивалентные  бесконечно малые (большие) функции при x  a. Тогда функция f(x) - g(x) является бесконечно малой при x  a более высокого порядка чем , т.е. f(x) - g(x) = о(f(x)), f(x) - g(x) = о(g (x)) при x  a.

Доказательство. Имеем

.

Тогда по определению 4 первого пункта f(x) - g(x) = о(f(x)) при x  a. Аналогично доказываются второе утверждения теоремы.

Определение 7.3. Представление бесконечно малой функции f(x) в виде f(x) = a0xk + о(xk) при x  0 называется выделением главной части, при этом a0xk   называется главной частью f(x).

Отсюда и из теоремы 1 получаем следующее следствие

Следствие. Имеют место следующие о-оценки:

  1.  sin x = x + o(x) при x  0;  
  2.  1-cos x = x2/2 + o(x) при x  0;
  3.  tg x = x + o(x) при x  0;
  4.  ln (1+ x) = x + o(x) при x  0;
  5.  (1+ x )k - 1 = kx + o(x) при x  0;
  6.   = x/k + o(x) при x  0.
  7.  Теоремы о промежуточных значениях функций непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Больцано- Коши).

Определение 9.1. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b]., если она непрерывна в любой точке x0 (a, b) и непрерывна справа в точке a, и непрерывна слева в точке b.

Теорема 9.1(первая теорема Больцано- Коши).  Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям:

  1.  f(x) определена, непрерывна на отрезке [a, b];
  2.   на концах отрезка f(x) принимает значения разных знаков, т. е. f(a) f(b) < 0.

Тогда существует такая точка c (a, b), что f(a) =0.

Доказательство.  Пусть для функции f(x) выполняются условия теоремы, и пусть для определенности f(a) < 0,  f(b) > 0. Обозначим отрезок [a, b] через  [a0, b0] и разделим его пополам точкой . Тогда либо в этой точке функция f(x) обращается в ноль, и теорема доказана, либо не обращается в ноль, и на концах одной из половин данного отрезка знаки функции f(x) противоположны. Выберем эту половину и обозначим ее через [a1, b1]. Заметим, что  f(a1) < 0,  f(b1) > 0. Разделим отрезок [a1, b1] пополам точкой . Тогда либо в этой точке функция f(x) обращается в ноль, и теорема доказана, либо не обращается в ноль, и на концах одной из половин отрезка  [a1, b1] знаки функции f(x) противоположны. Выберем эту половину и обозначим ее через [a2, b2]. Заметим, что  f(a2) < 0,  f(b2) > 0. Во втором случае процесс деления отрезка [a2, b2] пополам повторим.

В дальнейшем либо процесс прервется и мы найдем, что в одной из середин полученных отрезков функция обратиться в ноль, либо образуется бесконечная последовательность вложенных отрезков   

[a0, b0] [a1, b1] [an, bn]

Имеем f(an) < 0, f(bn) > 0. Длина n -го отрезка ln = bn - an = (b-a)/2n, ln  0 при n  .

По лемме Кантора точки an , bn  образуют две последовательности, сходящиеся к общему пределу

Так как  функция f(x) непрерывная, то {f(an)} f(c), {f(bn)} f(c) при n  .

Так как для любого nN  f(an) < 0,  f(bn) > 0, то по теореме о переходе к пределу под знаком неравенства получаем.

  1.  Следовательно, f(с) = 0. Так как f(a) f(b) < 0, то c (a, b)

Замечание 1. На рис. 1 показан график функции y = f(x), для которого выполняются условия теоремы 1. На рис. 2 показан график функции y = f(x), для которой не выполняются условие 1, и функция не обращается в ноль на интервале (a, b). На рис. 3 показан график функции y = f(x), для которой не выполняются условие 2, и функция f(x)  обращается в ноль на интервале (a, b).

 Теорема 9.2 (вторая теорема Больцано- Коши).  Пусть функция f(x)  определена и непрерывна на отрезке [a, b],  m = min { f(a), f(b)}, M = max { f(a), f(b)}. Тогда для любого C (m, M) существует такая точка c (a, b), что f(c) = C..

Доказательство.  Рассмотрим функцию g(x) =  f(x) - C.  Функция g(x) определена и непрерывна на [a, b],  как разность двух непрерывных на [a, b] функций. Так как m < C < M, то

g(a) g(b) = (f(a) - C)( f(b) - C) = (m - C)(M - C) <0.

Тогда по теореме 1 существует такая точка c (a, b), что g(с) = 0. Отсюда f(с) - C = 0 и f(с) = C. 

Замечание 1. На рис. 4 показан график функции y = f(x), для которого выполняются условия теоремы 1. На рис. 2 показан график функции y = f(x), для которой не выполняются условие непрерывности, и функция f(x) не принимает на интервале значения С (f(a), f(b)) .

  1.  Теоремы об ограниченности и существовании наибольшего и наименьшего значений функций непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса).

Теорема 10.1 (первая теорема Вейерштрасса).  Пусть функция f(x)  определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда функция ограничена на отрезке [a, b].

Доказательство. Пусть для функции f(x) выполняются условия теоремы. Докажем, что функция f(x) ограничена на [a, b]. Допустим противное, что f(x) не ограничена на [a, b] сверху или снизу. Пусть для определенности функция f(x) не ограничена на [a, b] сверху. Тогда для любого n  N существует такое      xn [a, b], что f(xn) > n. Последовательность {xn}[a, b] ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса выделим в ней сходящуюся подпоследовательность: c, где c [a, b].  Так как в точке c функция  f(x) непрерывна, то . Тогда последовательность  функция бесконечно малая при k  .  

Последнее невозможно, так как для любого k  N имеем  , то последовательность бесконечно большая при k  . Поэтому и последовательность бесконечно большая. Получаем противоречие, с доказанным ранее.  Поэтому функция f(x) ограничена сверху.

Аналогичным образом доказывается ограниченность функции f(x) снизу.

Теорема 10.2 (вторая теорема Вейерштрасса).  Пусть функция f(x)  определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда функция f(x) имеет наибольшее и наименьшее значения  на отрезке [a, b], т. е. функция f(x) достигает на отрезке [a, b] своей точной нижней или точной верхней грани.

.Доказательство. Пусть для функции f(x) выполняются условия теоремы. Точная нижняя и точная верхняя грани  множества значений функции f(x) на  [a, b] существуют по теореме о существования точных граней у ограниченного множества. Докажем, что функция f(x) достигает на отрезке [a, b] своей точной нижней или точной верхней грани

Допустим противное, что функция f(x) не достигает на отрезке  [a, b] своей точной нижней или точной верхней грани. Для определенности предположим, что для любого x [a, b] f(x) . Составим функцию . По условию M - f(x) > 0 для любого x [a, b].

Функция g(x) определена и непрерывна на [a, b].   Поэтому по теореме она ограничена на [a, b].  Поэтому существует такое число С>0, что для любого x [a, b]выполняется неравенство

.

Обе части неравенства положительны и из его получаем

.

Получаем, что число  является верхней гранью множества значений функции f(x) на  [a, b]. Последнее противоречит определению точной верхней грани. Полученное противоречие доказывает, что имеется такое число x [a, b], что  f(x) = M.

Аналогично доказывается, что функция f(x) достигает на отрезке  [a, b] своей точной нижней грани.

Замечание 1. На рис. 5 показан график функции y = f(x), которой точной нижней грани m в точке с[a, b], а точной верхней грани M в точке b.

На рис. 6 показан график функции y = f(x), для которой не выполняются условие непрерывности, и функция f(x) не достигает на отрезке [a, b] своей верхней и нижней граней.

  1.  Показательная функция y = ax; a>0, a0.

Свойства показательной функции

 0 < a < 1

a > 1

Область определения

(-, +)

(-, +)

Множество

значений

(0, +)

(0, +)

Монотонность

Функция убывает.

 Функция возрастает

График

2. Логарифмическая функция обратная показательной функции  y = ax, a>0.

Свойства логарифмической функции

 0 < a < 1

a > 1

Область определения

(0, +)

(0, +)

Множество

значений

(-, +)

(-, +)

Монотонность

Функция убывает.

 Функция возрастает

График

3. Тригонометрические функции.

Синус: y = sin x

Косинус: y = cos x

Тангенс: y = tg x

Котангенс: y = ctg x

Четность

Нечетная

четная

нечетная

нечетная

Период

2

2

Область определения

(-,+)

(-,+)

x /2+k, kZ

x k, kZ

Область значений

[-1, 1]

[-1, 1]

(-,+)

(-,+)

График

4. Обратные тригонометрические функции.

Обратная функция

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arcctg

Определение

Арксинусом числа х называется такой угол [-/2,/2], си-нус которого равен х

Арккосинусом числа х называется такой угол [0, ], косинус которого равен х

Арктангенсом числа х называется такой угол (-/2, /2), тангенс которого равен х

Арккотангенсом числа х называется такой угол (0,) котангенс которого равен х

Основные тождества

arcsin sin = ,

sin arcsin x =x

[-/2,/2], x[-1, 1]

arccos cos = ,

cos. arccos x =x

[0,], x[-1, 1]

arctg tg = ,

tg arctg x =x

(-/2,/2), x(-,+)

arcctgctg = ,

ctgarcctg x =x

(0,),x(-,+)

Область определения

[-1, 1]

[-1, 1]

(-,+)

(-,+)

Область значений

[-/2,/2]

[0,]

(-/2,/2)

(0,)

График

8

непрерывность функции в точке


Рис.
1.

y

x

O

x0

y=f(x)

f(x0)

x0+x

A-

y

x

f(x0+x)

Рис.2.

x0

y

x

O

=f(x)

B

Рис.3.

y

x

O

A

y=f(x)

-

x0

Рис.4.

x0

y

x

O

y=f(x)

A

Рис.2.

b

y

x

O

y=f(x)

f(b)

Рис.3.

y

x

O

f(a)

y=f(x)

a

b

a

f(a)

f(b)

Рис.1.

y

x

O

y=f(x)

b

a

f(a)

f(b)

С

С

Рис.4.

y

x

O

y=f(x)

b

a

f(a)

f(b)

с

С

Рис.6.

y

x

O

y=f(x)

b

a

f(a)

f(b)

с

С

Рис.5.

y

x

O

y=f(x)

b

a

f(a)

f(b)

с

M

m

c

-1

y = ax (0<a<1)

-1

x

y

O

1

1

-1

1

1

O

y

x

-1

y = ax (a>1)

-1

1

1

O

y

x

-1

y = ax (0<a<1)

y = logax (0<a<1)

-1

1

1

O

y

x

-1

y = ax (a>1)

y = logax (a>1)

-

0

-

0

-

0

-

0

0

0

1

-1

-/2

/2

0

-1

1

/2

0

-/2

-/2

/2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47691. ОХРАНА ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ 1017 KB
  Таким объектом в зависимости от темы дипломного проекта может быть как предприятие в целом так и отдельное производство или технологический процесс. Коэффициент использования характеризует степень использования сырья и материалов в производстве продукции работы и определяется отношением количества полученной товарной продукции к количеству материалов затраченных на производство этой продукции....
47692. Методические указания. Бухгалтерский финансовый учет 263 KB
  Методические указания к выполнению курсовых работ по дисциплине Бухгалтерский финансовый учет Специальность 080109 ОМСК 2007 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
47693. Методические указания. Информатика и компьютерная техника 155.5 KB
  Порядок выполнения курсовой работы Примерный график выполнения работы Оформление курсовой работы Целью курсовой работы является закрепление и углубление знаний полученных студентами в курсе Информатика и КТ развитие навыков при выборе представления исходных данных использовании объектно-ориентированного подхода при написании программ на языке Visul Bsic тестировании и отладки программы оформлении документации на программную разработку.
47695. Грузовые перевозки. Методические указания 875 KB
  Практические работы предназначены для студентов специальности "Организация перевозок и управление на транспорте (автомобильный транспорт)" и предполагают использование экономико-математических методов для решения задач организации и планирования грузовых автомобильных перевозок
47696. ФИЗИКА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ 3.96 MB
  Для замечаний преподавателя на страницах тетради оставлять поля. Напряженность электрического поля. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме. Применение теоремы Гаусса к расчету поля.
47698. Методические указания. Инженерная графика 1.67 MB
  В приложении приведены условные графические обозначения энергетического оборудования а также других элементов входящих в тепловые схемы. Тепловые схемы широко используются в технической и учебной литературе выполняются в курсовых и дипломных проектах при проведении тепловых расчетов энергетического оборудования. Назначение и принцип работы основного энергетического оборудования электростанций Назначение и принцип работы энергетического оборудования рассмотрим на примере тепловой схемы конденсационной электрической станции КЭС.9...