22406

Непрерывность функции в точке

Лекция

Математика и математический анализ

Функция f называется непрерывной в точке a если она определена в точке a и ее некоторой окрестности и если существует предел этой функции f при x при x  a и он равен fa т. Функция f называется непрерывной слева в точке a если она определена в точке a и в левой половине некоторой окрестности точки a если левый предел этой функции f при x  a0 существует и равен fa т. Функция f называется непрерывной справа в точке a если она определена в точке a и в правой половине некоторой окрестности точки a если правый предел этой функции...

Русский

2013-08-03

383 KB

3 чел.

1007Z                                   Математика                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 4. Непрерывность функции в точке

  1.  Непрерывность функции в точке. Односторонняя нгепрерывность.
  2.  Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.
  3.  Непрерывность обратной функции.
  4.  Точки разрыва и их классификация.
  5.  Элементарные функции и их непрерывность.

Литература: Ильин В.А., с.105-127;  Письменный Д., с. 130-135. Ермаков В.И., с.197-202.

  1.  Эквивалентные функции и их применение к отысканию пределов.
  2.  Теоремы о промежуточных значениях функций непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Больцано- Коши).
  3.  Теоремы об ограниченности и существовании наибольшего и наименьшего значений функций непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса).

Литература: Ильин В.А., с.105-127;  Письменный Д., с. 130-135. Ермаков В.И., с.199-205.

  1.  Непрерывность функции в точке.

Определение 1.1. Функция f называется непрерывной в точке a, если она определена в точке a и ее некоторой окрестности и если существует предел этой функции f  при x при x  a, и он равен f(a), т.е.

.                                                                         (1)

В силу определений предела это равносильно каждому из следующих утверждений:

  1.  ;
  2.  Для любой последовательности {xn} a при n   соответствующая последовательность { f(xn)}  f(a)
  3.  f(x) = f(a) + (x), где - бесконечно малая при  x  a..
  4.   (левый и правый переделы функции в точке x = a равны f(a).

Определение 1.2. Функция f называется непрерывной слева в точке a, если она определена в точке a и  в левой половине некоторой окрестности точки a если левый предел этой функции f  при x  a-0 существует  и  равен f(a), т.е.

.

Функция f называется непрерывной справа в точке a, если она определена в точке a и  в правой половине некоторой окрестности точки a если правый предел этой функции f  при x  a+0 существует  и  равен f(a), т.е.

.

Теорема 1.1. Функция f непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда функция f  непрерывна в точке a слева и справа.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f непрерывна в точке . Тогда по определению 1 для любой числа > 0 существует такое число > 0, зависящее от , =(), что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству x - a < , выполняется неравенство  f(x) - f(a)  < . Поэтому для всех xD(f), удовлетворяющего неравенству - <x - a  0, выполняется неравенство f(x) - f(a) < . Следовательно,  и по определению 2 функция f непрерывна слева.

Далее для всех xD(f), удовлетворяющего неравенству 0 x - a < , выполняется неравенство f(x) - f(a) < . Следовательно,  и по определению 2 функция f непрерывна справа.

Достаточность. Пусть функция f  непрерывна слева и справа в точке а. Возьмем любое число > 0. Так как  , то существует такое число 1, что для всех xD(f), удовлетворяющего неравенству - <x - a  0, выполняется неравенство f(x) - f(a) < . Так как  , то существует такое число 2, что для всех xD(f), удовлетворяющего неравенству 0 x - a < , выполняется неравенство f(x) - f(a) < . Полагаем = min{1, 2}. Тогда из указанных свойств следует, что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству x - a < , выполняется неравенство  f(x) - f(a)  < . По определению функция f непрерывна в точке a.

Пусть функция определена в некотором интервале (a, b). Возьмем точки x, x0 (a, b). Разность x - x0 называется приращением аргумента x в точке x0 и обозначается символом x. Отсюда x = x0 +x.

Разность f(x) - f(x0) соответствующих значений функции называется приращением функции f(x) в точке x0 и обозначается y также или f или  f(x0): y = f(x) - f(x0) = f(x0 +x) - f(x0).

Условия  равносильно тому, что приращение y = f(x) - f(x0) = f(x0 +x) - f(x0). бесконечно малая функция при x  a, т. е.при x 0. Получили утверждение.

Теорема 1.2. Функция f непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращения аргумента x в точке x0 соответствует бесконечно малое приращение функции y, т.е.

.

Пример 1. Покажем, что функция y = sin x непрерывна в любой точке x  R.

Рассмотрим произвольную точку и найдем приращение y, соответствующее приращению x:

.

Вычислим предел

,

так как произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию при x 0 есть бесконечно малая функция при x 0.

  1.  Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.

Теорема 2. 1. Пусть функции f  и g  непрерывны в точке x0. Тогда в точке x0 непрерывны функции;

  1.  f + g;
  2.  f  - g;
  3.  c1 f + c1g для всех c1  R;
  4.  f g;
  5.  f /g, если f(x0) 0.

Доказательство.  Пусть функции f и g непрерывна точке x0. Тогда они определены в точке x0 и в некоторой  окрестности точки x0 . Тогда по свойству предела функции в точке получаем

.

Следовательно, по определении функция f + g непрерывна точке x0.

Аналогично доказываются остальные утверждения теоремы.

Теорема 2.2. Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0 , функция g(y) непрерывна в точке y0 = f(x0). Тогда сложная функция h(x) = g(f(x)) непрерывна в точке x0 .

Доказательство.  Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0 , функция g(y) непрерывна в точке y0 = f(x0). Тогда функция f(x) определены в точке x0 и в некоторой  окрестности точки x0, , функция g(y) определены в точке y0  и в некоторой  окрестности точки y0, . По теореме о пределе сложной функции имеем:

.

Следовательно, по определении функция h(x) = g(f(x))  непрерывна точке x0.

Теорема 2.3. Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0 ,  f(x0) 0. Тогда существует такая -окрестность точки x0 , в которой функция сохраняет знак, т.е. для любого x ( x0 -, x0 +) имеем f(x0) f(x)>  0. 

Доказательство.  Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0 , f(x0)  0. Полагаем = f(x0).  0. Тогда по определению непрерывности существует такое число > 0, зависящее от , =(), что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству x - x0 < , выполняется неравенство  f(x) - f(x0)  < .  Таким образом  для любого x ( x0 -, x0 +) имеем  -+ f(x0) < f(x) < + f(x0) или -f(x0)+ f(x0) < f(x) < f(x0) + f(x0).  Отсюда находим, если f(x0) > 0, то f(x) > -f(x0) + f(x0) = -f(x0) + f(x0) = 0, если f(x0) < 0, то f(x) <-f(x0) + f(x0) = -f(x0) + f(x0) = 0. Таким образом в обеих случаях f(x0) f(x)>  0.

Теорема 2.4. Если функция f(x) непрерывна в точке x0 , то она ограничена в некоторой  -окрестности точки x0 .

Доказательство.  Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0 . Полагаем >0. Тогда по определению непрерывности существует такое число > 0, зависящее от , =(), что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству x - x0 < , выполняется неравенство  f(x) - f(x0)  < .  Таким образом  для любого x ( x0 -, x0 +) имеем  -+ f(x0) < f(x) < + f(x0) . Таким образом функция f(x)  ограничена в  -окрестности точки x0 . 

  1.  Непрерывность функции на множестве. Точки разрыва и их классификация.

Определение 3.1. Функция f(x) называется непрерывной на множестве А, если она непрерывна в любой точке x0 множества А.

Определение 3.2. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b]., если она непрерывна в любой точке x0 (a, b) и непрерывна справа в точке a, и непрерывна слева в точке b.

Определение 3.3. Если функция  f(x) не является непрерывной в точке x0, принадлежащей области определения функции f(x), то она называется разрывной в точке x0. При этом точка x0 называется точкой разрыва функции f(x) (см. рис.2-4)..

Замечание. В некоторых случаях к точкам разрыва функция  f(x) относят и такие действительные числа x0, в в выколотой окрестности которых функция определена, но определена в точке x0.

Определение 3.4. Точка разрыва x0 функция  f(x) называется точкой разрыва функции f(x) первого рода, если существуют конечные пределы  (левый и правый переделы функции в точке x0) (см. рис.2. 4). В противном случае точка x0 разрыва функции  f(x) называется точкой разрыва второго рода (см. рис.3).

В точке разрыва второго рода один или оба односторонние пределы либо не существуют либо бесконечны.

Определение 3.5. Разрыв первого рода функция  f(x) в точке x0  называется устранимым, если правый и левый пределы функции f(x) в точке равны, но неравны f(x0), т.е.   (левый и правый переделы функции в точке x0) (см. рис.4). В противном случае разрыв первого рода называется неустранимым(см. рис.2).

В точках x0 устранимого разрыва функцию f(x) можно так переопределить, полагая , что полученная функция будет непрерывна в точке x0.

Теорема 3.1 ( о точках разрыва монотонной функции). Если функция f(x) монотонна на этом отрезке [a, b], то она может иметь на этом отрезке только конечное число точек разрыва первого рода. Более того при всех x0  [a, b] имеем:

Если функция f(x) не убывает, то

.             (1)

Если функция f(x) не возрастает, то

.               (2)

Доказательство. Рассмотрим случай, когда функция f(x) не убывает на [a, b].  Докажем первый предел из (1), так как второй доказывается аналогично.  Так как l1 - точная нижняя грань множества значений f(x)  при x > x0 , то:

  1.  для любого x > x0 имеем f(x0)  l1;
  2.  далее для любого > 0 существует такое x1 > x0, что f(x1) < l1 + .

В силу того, что функция f(x) не убывает, для любого x, x0 < x  x1 имеем  l1  f(x) f(x1) < l1 + . Тогда по определению правого предела . Имеем еще, что число f(x0) есть нижняя грань для значений f(x)  при x > x0 . Откуда по теореме о переходе к пределу под знаком неравенства f(x0)  l1.

Аналогично f(x0)  l2, откуда l2  f(x0)  l1.

Теорема 3.2 ( критерий непрерывности монотонной функции). Пусть функция f(x) определена и монотонна на отрезке [a, b]. Тогда для непрерывности ее на этом отрезке необходимо и достаточно, чтобы для любого l[ f(a), f(b )]  нашлась такая точка x0  [a, b], что f(x0) = l . 

Доказательство. Рассмотрим случай, когда функция f(x) не убывает на [a, b].

Необходимость. Возьмем любое l[ f(a), f(b )].  Рассмотрим множество X = {x[a,b] f(x0)  l}. Пусть x0 = inf X . Так как f(x) неубывающая функция, имеем

.

При x <x0 (если x0a) f(x) < l. Откуда

.

Так как функция f(x) непрерывна на [a, b], то f(x) непрерывна в точке x0. Следовательно, l = l2 = l1 = f(x0).

Если x0a, то f(x)  l1 < l . Из непрерывности функции f(x) в точке a  слева следует, что f(a) = l1, а значит l = f(a) = l1 .

Достаточность. Предположим противное. Пусть функция f(x) имеет разрыв в точке x0 и f(x) не убывает на [a, b]. Тогда для значений выполняется неравенства

.

Возьмем l  ( a, b) и l f(x0). Имеем

l > f(x0)при x <x0,

l < f(x0)при x >x0,

l  f(x0)при x =x0.

Таким образом функция f(x) не принимает значение на l  ( a, b). Следовательно, получили противоречие и функция f(x) непрерывна на [a, b].

  1.  Непрерывность обратной функций.

Теорема 4.1 ( об обратной функции). 1. Пусть функция y = f(x) определена,  строго возрастает и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда существует функция x = g (y), строго возрастающая, определенная на отрезке [ f(a), f(b )] и непрерывная на нем, такая, что g (f(x)) = x, т.е. g = f -1 - обратная функция для функции f.

2. Пусть функция y = f(x) определена, строго убывает и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда существует функция x = g (y), строго убывающая, определенная на отрезке [ f(b), f(a )] и непрерывная на нем, такая, что g (f(x)) = x, т.е. g = f -1 - обратная функция для функции f. 

Доказательство. Рассмотрим случай, когда функция f(x) строго возрастает на [a, b]. Так как для любого x  [a, b], имеем f(b) f(x) f(a ), то функция является отображением  [a, b] в [ f(a), f(b )] .

По теореме для любого l[ f(a), f(b )]  найдется  такая точка x0  [a, b], что f(x0) = l . Поэтому f отображение  [a, b] на [ f(a), f(b )] (сюръекция).

Так как функция f(x) строго возрастает на [a, b], то если x1  x2 ,то f(x1)  f(x2). Поэтому f взаимно однозначное отображение  [a, b] в [ f(a), f(b )] (инъекция).

Так как f  - сюръекция и инъекция, то f - биекция. Тогда для отображения f  существует обратное отображение       g =  f -1 для которого для любых x  [a, b], l[ f(a), f(b )] имеем y = f(x) тогда и только тогда, когда x = g (y). Отсюда g (f(x)) = x.

  1.  Полученная функция x = g (y) строго возрастает, так как , если y1 < y2, то g (y 1) = x 1, g (y 2) = x 2. Отсюда f (x1) = y1, f (x2) = y2. Так как f(x) строго возрастает, то x1 < x2.
  2.  Эта функция g (y) принимает все значения из  [a, b], та как для каждого x[a, b] существует такое y, что. g (y) =x и этим числом y является число f(x).
  3.  Отсюда по теореме 2 предыдущего параграфа функция g (y) непрерывна на отрезке [ f(a), f(b )].

  1.  Элементарные функции и их непрерывность.

Определение 5.1. Основными элементарными функциями называются показательные функции, логарифмические функции, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, степенные функции.

Элементарными функциями называются функции, которые задаются одной формулой и получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и композиции.

Докажем, что все основные элементарные функции непрерывны во всех точках числовой оси, где они определены.

Теорема 5.1. 1.Степенная функция  f(x) = xn , n N непрерывна на всей числовой оси.

  1.  Степенная функция  f(x) = xn , n Z, n  0  непрерывна на всей числовой оси кроме точки x =0.

Доказательство. 1. Так как , то функция f(x) = x непрерывна на всей числовой оси. Так как произведение непрерывных функций в любой точке x R непрерывная функция в точке x, то функция f(x) = xn = , n N непрерывна на всей числовой оси.

2. Функция f(x) = xn = 1/ x - n, n Z, n  0, n  N, -  непрерывна на всей числовой оси кроме точки x =0, как частное двух непрерывных функций.. 

Следствие 1. Любой многочлен

f(x) =

- функция непрерывна на всей числовой оси.

Следствие 2. Дробно рациональная функция

- функция непрерывна на всех точках числовой, где знаменатель дроби не равен нулю.

Теорема 5.2. 1.Функция   f(x) =  , n N строго возрастает и непрерывна  на промежутке [0, + ) .

2) Функция   f(x) =  , n N строго возрастает и непрерывна на всей числовой оси.

Замечание 1. Доказательство монотонности всех указанных ниже функций предоставляю провести читателям самостоятельно.

Доказательство. 1. Функция g(x) =  x 2n , n N  строго возрастает и непрерывна на промежутке [0, + ) и ее область значений равна [0, + ). Так как  функция  f(x) =  , n N является обратной к функции g(x) =  xn , то по теореме из предыдущего параграфа функция f(x) строго возрастает и непрерывна на промежутке [0, + ).

2. Функция g(x) =  x 2n+1 , n N  строго возрастает и непрерывна на всей числовой оси и ее область значений равна (-, + ). Так как  функция  f(x) =  , n N является обратной к функции, то по теореме из предыдущего параграфа функция f(x) строго возрастает и непрерывна на всей числовой оси.

Теорема 5.3. 1.Степенная функция  f(x) = xr , r Q, r > 0 строго возрастает и непрерывна на промежутке [0, + ) .

2) Степенная функция  f(x) = xr , r Q, r  0 строго убывает  и непрерывна на промежутке (0, + ) .

Доказательство. 1. Пусть Функция f(x) =    композиция двух непрерывных функций g(x) =  x м: [0, + )[0, + ) и  h(x) = : [0, + )[0, + )  и поэтому непрерывна на промежутке [0, + ) .

2. Пусть Функция f(x) =    композиция двух непрерывных функций g(x) = 1/ x м: (0,+ )(0,+ ) и  h(x) = : (0, + )(0,+ )  и поэтому непрерывна на промежутке (0, + ). .

Теорема 5.4. 1.Показательная функция  f(x) = ex  строго возрастает и непрерывна на всей числовой оси.

2. Логарифмическая функция  f(x) = ln x  строго возрастает и непрерывна на промежутке (0, + )

Доказательство. 1. Рассмотрим произвольную точку x и найдем приращение y, соответствующее приращению x:

.

Вычислим предел

,

так как произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию при x 0 есть бесконечно малая функция при x 0. Следовательно, функция f(x) = ex   непрерывна на всей числовой оси.

2. Функция g(x) =  e x  строго возрастает и непрерывна на промежутке (-, + ) и ее область значений равна (0, + ). Так как  функция  f(x) = ln x является обратной к функции g(x) =  e x , то по теореме из предыдущего параграфа функция f(x) строго возрастает и непрерывна на промежутке (0, + ).

Теорема 5.5. 1. Показательная функция  f(x) = ax , aR, a > 1 строго возрастает и непрерывна на всей числовой оси.

2) Показательная функция я  f(x) = ax , a R, 0< a < 1 строго убывает и непрерывна на на всей числовой оси.

Доказательство. Пусть aR, a > 1 или 0< a < 1. Функция f(x) =    композиция двух непрерывных функций g(x) =  x ln a: (-, + )(-, + ) и  h(x) = e x: (-, + )(0, + )  и поэтому непрерывна на промежутке (-, + ) .

Теорема 5.6. 1.Степенная функция  f(x) = x , R,  > 0 строго возрастает и непрерывна на промежутке [0,+ ).

2) Степенная функция  f(x) = x ,  R,   0 строго убывает и непрерывна на промежутке (0, + ).

Доказательство. Пусть aR. Функция f(x) =    композиция двух непрерывных функций g(x) =  a ln x: (0, + )(-, + ) и  h(x) = e x: (-, + )(0, + )  и поэтому непрерывна на промежутке (0, + ) .

Теорема 5.7. 1. Логарифмическая функция  f(x) = loga x, aR, a > 1 строго возрастает и непрерывна на промежутке (0, + )

2) Логарифмическая функция  f(x) = loga x, aR, 0< a < 1 строго убывает и непрерывна на промежутке (0, + ). 

Доказательство. 1. Пусть aR, a > 1. Функция g(x) = ax   строго возрастает и непрерывна на промежутке (-, + ) и ее область значений равна (0, + ). Так как  функция  f(x) = loga x является обратной к функции g(x) = ax , то по теореме об обратной функции функция f(x) строго возрастает и непрерывна на промежутке (0, + ).

Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема 5.8. Тригонометрические функции непрерывны на всех промежутках, где они определены

Доказательство. По доказанному в примере 1 пункта 1 функция sin x   строго возрастает и непрерывна на всей числовой оси.

Так как функции x /2 и sin x непрерывны на всей числовой оси, то их композиция sin (x/2) непрерывна на всей числовой оси.  Тогда и композиция  функций sin (x/2) и x2  непрерывна на всей числовой оси. Отсюда и  функция .

Тогда и функции , непрерывны на всей числовой оси, кроме точек, в которых знаменатель не обращается в ноль.

Теорема 5.9. Обратные тригонометрические функции  непрерывны на всех промежутках, где они определены.

Доказательство. Следует из теореме об обратной функции и теоремы 8.

Из доказанных теорем 1-9 следует общая теорема.

Теорема 5. 10. Любая элементарная функции непрерывна на всех промежутках, где они определена. 

  1.  Эквивалентные функции и их применение к отысканию пределов.

Определение 7.1. Пусть a  - конечная или бесконечная точка. Бесконечно малые функции  f(x) и g(x) при x  a называются эквивалентными бесконечно малыми при x  a, если

,                                                                                     (1)

пишем f(x)  g(x) при x  a.

Определение 7.2. Пусть a  - конечная или бесконечная точка. Бесконечно большие функции  f(x) и g(x) при x  a называются эквивалентными бесконечно большими при x  a, если

,

пишем f(x)  g(x) при x  a.

Замечание 1. Эквивалентные бесконечно малые при x  a есть бесконечно малые одного порядка при x  a.

Теорема 7.1. Пусть f(x) и g(x) две эквивалентные  бесконечно малые (большие) функции при x  a, g(x) - некоторая функция, определенная в некоторой выколотой окрестности точки . Тогда

;                                                                     (2)

Доказательство. Используя свойства предела и определение эквивалентных бесконечно малых получаем

.

Аналогично доказываются два остальные утверждения теоремы.

Замечание 2. Теорема 1 утверждает, что при вычислении пределов произведений (частных)  при x  a можно одни бесконечно малые (большие) множители (числителя или знаменателя) заменять другими им эквивалентными при x  a.

Теорема 7.2. Имеют место следующие эквивалентности:

  1.  sin x  x при x  0;  
  2.  1-cos x  x2/2 при x  0;
  3.  tg x  x при x  0;
  4.  ln (1+ x)  x при x  0;
  5.  (1+ x )k - 1  kx при x  0;
  6.    x/k при x  0;
  7.   a0xk при x  , a0  0. 

Доказательство. Следует из замечательных пределов. Например, первая формула следует из первого замечательного предела

Пример 1. Вычисляем предел, заменяя бесконечно малые функции им эквивалентными.

Теорема 7.3. Пусть f(x) и g(x) две эквивалентные  бесконечно малые (большие) функции при x  a. Тогда функция f(x) - g(x) является бесконечно малой при x  a более высокого порядка чем , т.е. f(x) - g(x) = о(f(x)), f(x) - g(x) = о(g (x)) при x  a.

Доказательство. Имеем

.

Тогда по определению 4 первого пункта f(x) - g(x) = о(f(x)) при x  a. Аналогично доказываются второе утверждения теоремы.

Определение 7.3. Представление бесконечно малой функции f(x) в виде f(x) = a0xk + о(xk) при x  0 называется выделением главной части, при этом a0xk   называется главной частью f(x).

Отсюда и из теоремы 1 получаем следующее следствие

Следствие. Имеют место следующие о-оценки:

  1.  sin x = x + o(x) при x  0;  
  2.  1-cos x = x2/2 + o(x) при x  0;
  3.  tg x = x + o(x) при x  0;
  4.  ln (1+ x) = x + o(x) при x  0;
  5.  (1+ x )k - 1 = kx + o(x) при x  0;
  6.   = x/k + o(x) при x  0.
  7.  Теоремы о промежуточных значениях функций непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Больцано- Коши).

Определение 9.1. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b]., если она непрерывна в любой точке x0 (a, b) и непрерывна справа в точке a, и непрерывна слева в точке b.

Теорема 9.1(первая теорема Больцано- Коши).  Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям:

  1.  f(x) определена, непрерывна на отрезке [a, b];
  2.   на концах отрезка f(x) принимает значения разных знаков, т. е. f(a) f(b) < 0.

Тогда существует такая точка c (a, b), что f(a) =0.

Доказательство.  Пусть для функции f(x) выполняются условия теоремы, и пусть для определенности f(a) < 0,  f(b) > 0. Обозначим отрезок [a, b] через  [a0, b0] и разделим его пополам точкой . Тогда либо в этой точке функция f(x) обращается в ноль, и теорема доказана, либо не обращается в ноль, и на концах одной из половин данного отрезка знаки функции f(x) противоположны. Выберем эту половину и обозначим ее через [a1, b1]. Заметим, что  f(a1) < 0,  f(b1) > 0. Разделим отрезок [a1, b1] пополам точкой . Тогда либо в этой точке функция f(x) обращается в ноль, и теорема доказана, либо не обращается в ноль, и на концах одной из половин отрезка  [a1, b1] знаки функции f(x) противоположны. Выберем эту половину и обозначим ее через [a2, b2]. Заметим, что  f(a2) < 0,  f(b2) > 0. Во втором случае процесс деления отрезка [a2, b2] пополам повторим.

В дальнейшем либо процесс прервется и мы найдем, что в одной из середин полученных отрезков функция обратиться в ноль, либо образуется бесконечная последовательность вложенных отрезков   

[a0, b0] [a1, b1] [an, bn]

Имеем f(an) < 0, f(bn) > 0. Длина n -го отрезка ln = bn - an = (b-a)/2n, ln  0 при n  .

По лемме Кантора точки an , bn  образуют две последовательности, сходящиеся к общему пределу

Так как  функция f(x) непрерывная, то {f(an)} f(c), {f(bn)} f(c) при n  .

Так как для любого nN  f(an) < 0,  f(bn) > 0, то по теореме о переходе к пределу под знаком неравенства получаем.

  1.  Следовательно, f(с) = 0. Так как f(a) f(b) < 0, то c (a, b)

Замечание 1. На рис. 1 показан график функции y = f(x), для которого выполняются условия теоремы 1. На рис. 2 показан график функции y = f(x), для которой не выполняются условие 1, и функция не обращается в ноль на интервале (a, b). На рис. 3 показан график функции y = f(x), для которой не выполняются условие 2, и функция f(x)  обращается в ноль на интервале (a, b).

 Теорема 9.2 (вторая теорема Больцано- Коши).  Пусть функция f(x)  определена и непрерывна на отрезке [a, b],  m = min { f(a), f(b)}, M = max { f(a), f(b)}. Тогда для любого C (m, M) существует такая точка c (a, b), что f(c) = C..

Доказательство.  Рассмотрим функцию g(x) =  f(x) - C.  Функция g(x) определена и непрерывна на [a, b],  как разность двух непрерывных на [a, b] функций. Так как m < C < M, то

g(a) g(b) = (f(a) - C)( f(b) - C) = (m - C)(M - C) <0.

Тогда по теореме 1 существует такая точка c (a, b), что g(с) = 0. Отсюда f(с) - C = 0 и f(с) = C. 

Замечание 1. На рис. 4 показан график функции y = f(x), для которого выполняются условия теоремы 1. На рис. 2 показан график функции y = f(x), для которой не выполняются условие непрерывности, и функция f(x) не принимает на интервале значения С (f(a), f(b)) .

  1.  Теоремы об ограниченности и существовании наибольшего и наименьшего значений функций непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса).

Теорема 10.1 (первая теорема Вейерштрасса).  Пусть функция f(x)  определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда функция ограничена на отрезке [a, b].

Доказательство. Пусть для функции f(x) выполняются условия теоремы. Докажем, что функция f(x) ограничена на [a, b]. Допустим противное, что f(x) не ограничена на [a, b] сверху или снизу. Пусть для определенности функция f(x) не ограничена на [a, b] сверху. Тогда для любого n  N существует такое      xn [a, b], что f(xn) > n. Последовательность {xn}[a, b] ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса выделим в ней сходящуюся подпоследовательность: c, где c [a, b].  Так как в точке c функция  f(x) непрерывна, то . Тогда последовательность  функция бесконечно малая при k  .  

Последнее невозможно, так как для любого k  N имеем  , то последовательность бесконечно большая при k  . Поэтому и последовательность бесконечно большая. Получаем противоречие, с доказанным ранее.  Поэтому функция f(x) ограничена сверху.

Аналогичным образом доказывается ограниченность функции f(x) снизу.

Теорема 10.2 (вторая теорема Вейерштрасса).  Пусть функция f(x)  определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда функция f(x) имеет наибольшее и наименьшее значения  на отрезке [a, b], т. е. функция f(x) достигает на отрезке [a, b] своей точной нижней или точной верхней грани.

.Доказательство. Пусть для функции f(x) выполняются условия теоремы. Точная нижняя и точная верхняя грани  множества значений функции f(x) на  [a, b] существуют по теореме о существования точных граней у ограниченного множества. Докажем, что функция f(x) достигает на отрезке [a, b] своей точной нижней или точной верхней грани

Допустим противное, что функция f(x) не достигает на отрезке  [a, b] своей точной нижней или точной верхней грани. Для определенности предположим, что для любого x [a, b] f(x) . Составим функцию . По условию M - f(x) > 0 для любого x [a, b].

Функция g(x) определена и непрерывна на [a, b].   Поэтому по теореме она ограничена на [a, b].  Поэтому существует такое число С>0, что для любого x [a, b]выполняется неравенство

.

Обе части неравенства положительны и из его получаем

.

Получаем, что число  является верхней гранью множества значений функции f(x) на  [a, b]. Последнее противоречит определению точной верхней грани. Полученное противоречие доказывает, что имеется такое число x [a, b], что  f(x) = M.

Аналогично доказывается, что функция f(x) достигает на отрезке  [a, b] своей точной нижней грани.

Замечание 1. На рис. 5 показан график функции y = f(x), которой точной нижней грани m в точке с[a, b], а точной верхней грани M в точке b.

На рис. 6 показан график функции y = f(x), для которой не выполняются условие непрерывности, и функция f(x) не достигает на отрезке [a, b] своей верхней и нижней граней.

  1.  Показательная функция y = ax; a>0, a0.

Свойства показательной функции

 0 < a < 1

a > 1

Область определения

(-, +)

(-, +)

Множество

значений

(0, +)

(0, +)

Монотонность

Функция убывает.

 Функция возрастает

График

2. Логарифмическая функция обратная показательной функции  y = ax, a>0.

Свойства логарифмической функции

 0 < a < 1

a > 1

Область определения

(0, +)

(0, +)

Множество

значений

(-, +)

(-, +)

Монотонность

Функция убывает.

 Функция возрастает

График

3. Тригонометрические функции.

Синус: y = sin x

Косинус: y = cos x

Тангенс: y = tg x

Котангенс: y = ctg x

Четность

Нечетная

четная

нечетная

нечетная

Период

2

2

Область определения

(-,+)

(-,+)

x /2+k, kZ

x k, kZ

Область значений

[-1, 1]

[-1, 1]

(-,+)

(-,+)

График

4. Обратные тригонометрические функции.

Обратная функция

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arcctg

Определение

Арксинусом числа х называется такой угол [-/2,/2], си-нус которого равен х

Арккосинусом числа х называется такой угол [0, ], косинус которого равен х

Арктангенсом числа х называется такой угол (-/2, /2), тангенс которого равен х

Арккотангенсом числа х называется такой угол (0,) котангенс которого равен х

Основные тождества

arcsin sin = ,

sin arcsin x =x

[-/2,/2], x[-1, 1]

arccos cos = ,

cos. arccos x =x

[0,], x[-1, 1]

arctg tg = ,

tg arctg x =x

(-/2,/2), x(-,+)

arcctgctg = ,

ctgarcctg x =x

(0,),x(-,+)

Область определения

[-1, 1]

[-1, 1]

(-,+)

(-,+)

Область значений

[-/2,/2]

[0,]

(-/2,/2)

(0,)

График

8

непрерывность функции в точке


Рис.
1.

y

x

O

x0

y=f(x)

f(x0)

x0+x

A-

y

x

f(x0+x)

Рис.2.

x0

y

x

O

=f(x)

B

Рис.3.

y

x

O

A

y=f(x)

-

x0

Рис.4.

x0

y

x

O

y=f(x)

A

Рис.2.

b

y

x

O

y=f(x)

f(b)

Рис.3.

y

x

O

f(a)

y=f(x)

a

b

a

f(a)

f(b)

Рис.1.

y

x

O

y=f(x)

b

a

f(a)

f(b)

С

С

Рис.4.

y

x

O

y=f(x)

b

a

f(a)

f(b)

с

С

Рис.6.

y

x

O

y=f(x)

b

a

f(a)

f(b)

с

С

Рис.5.

y

x

O

y=f(x)

b

a

f(a)

f(b)

с

M

m

c

-1

y = ax (0<a<1)

-1

x

y

O

1

1

-1

1

1

O

y

x

-1

y = ax (a>1)

-1

1

1

O

y

x

-1

y = ax (0<a<1)

y = logax (0<a<1)

-1

1

1

O

y

x

-1

y = ax (a>1)

y = logax (a>1)

-

0

-

0

-

0

-

0

0

0

1

-1

-/2

/2

0

-1

1

/2

0

-/2

-/2

/2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3391. Жилищное строительство жилого здания 47 KB
  Введение Жилищное строительство в настоящее время характеризуется повышением стандарта жилища, переходом на новые улучшенные серии жилых домов с прогрессивными конструкциями. Данный курсовой проект «Жилое здание» выполнен в соответствии с задание на...
3392. Проектированию несложного гражданского малоэтажного здания 90.5 KB
  Введение Цель данной курсовой работы – обучение самостоятельному проектированию несложного гражданского здания с учётом основных факторов, влияющих на проектное решение. Выполнение курсовой работы позволяет систематизировать, закрепить и р...
3393. База данных Аэропорт 596 KB
  Введение Программное обеспечение для работы с базами данных используется на персональных компьютерах уже довольно давно. К сожалению, эти программы либо были элементарными диспетчерами хранения данных и не имели средств разработки прил...
3394. РЕЖИМЫ РАБОТЫ ОСНОВНОГО ОБОРУДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ 3.69 MB
  Настоящее учебное пособие предназначено для студентов, изучающих курсы "Режимы работы основного оборудования" электрический станций и выполняющие дипломные, курсовые и УИР, связанные с вопросами использования оборудования ТЭС в переменных режимах работы...
3395. Особенности русской философии 46.05 KB
  Введение Главная задача философии заключается в том, чтобы разработать теорию о мире как едином целом, которая бы опиралась на все многообразие опыта. Философия порой понимается...
3396. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА РАЗБОРКИ 290 KB
  ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА РАЗБОРКИ При выполнении лабораторной работы студенты изучают устройство машины или узла. Определяют основные движения в машине и оценивают наиболее изнашиваемые детали. Приобретают навыки составления технологич...
3397. Особенности построения и функционирования финансовой системы государства 442 KB
  Введение Финансовая система государства является одним из составных элементов микросистем, и ее существование объективно обусловлено наличием товарно-денежных отношений. Если рассматривать ее в широком смысле слова, то она включает в себя и денежно-...
3398. Создание конкурентоспособного предприятия по техническому обслуживанию, диагностике и ремонту топливной аппаратуры дизельных автомобилей 888.5 KB
  Введение Автомобильный транспорт является наиболее массовым  и удобным видом транспорта, особенно эффективным и удобным при перевозке грузов и пассажиров на относительно небольшие расстояния. Он обладает большой маневренностью, хорошей проходим...
3399. Автоматизации электроприводов в производственном прцессе 104.36 KB
  Выполним расчет пусковых сопротивлений выполним графическим способом, для нормального режима пуска. Графический способ расчёта пусковых сопротивлений для двигателей постоянного тока параллельного возбуждения базируется на следующих положениях