22408

Производные высших порядков. Формулы Тейлора. Применение производной. Производные и дифференциалы высших порядков

Лекция

Математика и математический анализ

Линеаризация функции. Приближенное вычисление значений функции. Исследование функции с помощью производной. Возрастание и убывание функции на промежутке.

Русский

2013-08-03

652 KB

3 чел.

Лекции 6-7

1007Z                                   Математика                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 6-7.

Производные высших порядков. Формулы Тейлора. Применение производной.

Производные и дифференциалы высших порядков.

  1.  Инвариантность формы первого дифференциала.
  2.  Геометрический смысл дифференциала. Линеаризация функции. Приближенное вычисление значений функции.
  3.  Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.
  4.  Производные высших порядков.
  5.  Дифференциалы высших порядков.

Литература: Ильин В.А., с.173-182 ;  Письменный Д., с. 152-167. Ермаков В.И., с.218-230. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с. 109-125.  Мантуров О.В., Матвеев Н.М., с. 205-215, 421-426.   

Раскрытие неопределенностей. Правила Лопиталя.

  1.  Первое правило Лопиталя.
  2.  Второе правило Лопиталя.
  3.  Применение правил Лопиталя при раскрытии неопределенностей.

Литература: Ильин В.А., с.261-266 ;  Письменный Д., с. 167-170. Ермаков В.И., с.226-230. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с. 126-131.  Мантуров О.В., Матвеев Н.М., с. 215-218, 426-428.   

  1.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
  2.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
  3.  Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

Литература: Ильин В.А., с.266-281 ;  Письменный Д., с. 181-185. Ермаков В.И., с.231-223. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с. 132-143.  Мантуров О.В., Матвеев Н.М., с. 223-231, 428-431.   

Исследование функции с помощью производной.

  1.  Возрастание и убывание функции на промежутке.
  2.  Точки экстремума функции. Необходимые и достаточные условия точек экстремума.
  3.  Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
  4.  Выпуклость графика функции.  

Литература: Ильин В.А., с.291-308 ;  Письменный Д., с. 171-178. Ермаков В.И., с.222-226. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с. 144-153.  Мантуров О.В., Матвеев Н.М., с. 232-240, 432-440.   

  1.  Точки перегиба.
  2.  Асимптоты функции.
  3.  Общая схема исследования и построения графика функции.

Литература: Ильин В.А., с.303-316 ;  Письменный Д., с. 171-178. Ермаков В.И., с.231-245. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с. 147-156.  Мантуров О.В., Матвеев Н.М., с. 239-248, 437-440.   

  1.  Инвариантность формы первого дифференциала.

Функция f называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение в точке можно представить в виде

y = Ax + (x)x,                                                                           (1)

где A - постоянная, не зависящая от x, (x) - бесконечно малая при x 0. Дифференциалом приращения  f(x0), или дифференциалом функции f в точке x0 называется линейная часть Ax приращения функции f в точке x0.

Дифференциал функции f обозначается символом df, или df(x0). По определению дифференциала для дифференцируемой функции

df(x0) = Ax.

Имеет место теорема.

Теорема 1.1. Если функция f имеет в точке x0 производную,то дифференциал функции f  в точке x0 находится по формуле:

df(x0) = f ' (x0)x = f ' (x0)dx.                                                        (1)

Пусть функция y = F(x) = f(g(x)) - сложная функция, полученная из функций y = f(u), u = g(x). Тогда имеет место теорема

Теорема 1.2. Пусть функция g(x) дифференцируема в точке x0, причем g(x0) = y0 , g' (x0) = A. Далее пусть функция f(y) дифференцируема в точке y0, причем f ' (y0)= B. Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) дифференцируема в точке x0, причем  

F ' (x0) = BA,

т.е. справедлива формула

F ' (x0) = f ' (g(x0)) g' (x0).                                                           (2)

Из этих двух теорем получаем, что

dy = dF(x) = F ' (x0) dx = f ' (g(x0)) g' (x0) dx

Так как g(x0) = u0, g' (x0) dx = du, то получаем

dy = f ' (g(x0)) g' (x0) dx = f ' (u0) du.

Получили, что дифференциал функции y = f(u) при u = g(x) равен производной функции f по переменной u, умноженный на дифференциал переменной u. Это справедливо при любом выборе функции u = g(x). Таким образом, первый дифференциал не зависит от того, является переменная u независимой или функцией. Последнее утверждение называется свойством инвариантности формы первого дифференциала. Таким образом, имеет место формула

d f (g(x) = f ' (g(x)) g' (x) dx.

  1.  Геометрический смысл дифференциала. Линеаризация функции. Приближенное вычисление значений функции.

Пусть функция функции y = f(x) дифференцируема в точке x0 . Тогда существует касательная, проведенная к графику функции y = f(x) в точке   (x0 , f(x0)). Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной. Уравнение касательной: 

y = f ' (x0) (x- x0) + f  (x0).

Тогда приращение графика касательной, соответствующей приращению аргумента x= x- x0 равно:

f ' (x0) (x- x0) + f  (x0) -  f  (x0) = f ' (x0) (x- x0) = f ' (x0)x = d f (x0).

Следовательно, геометрический смысл дифференциала функции есть приращение графика касательной, соответствующего приращению аргумента x.

Уравнение касательной к графику дифференцируемой функции y = f(x) в точке (x0 , f(x0)):

y = f ' (x0) (x- x0) + f  (x0).

Касательная к графику функции является более простой линией, чем график функции. Касательная, в точках близких к точке касания (x0 , f(x0)) хорошо приближается к графику функции y = f(x) и отражает поведение функции в достаточно малой окрестности точки касания. Иногда можно заменить исследование функции исследованием касательной. Так как касательная к графику функции является линейной функцией, то такая замена называется линеаризацией.  Таким образом в окрестности точки x0 имеет место приближенное равенство

 f  (x)  f ' (x0) (x- x0) + f  (x0).                                                         (1)

Смысл этого равенства следует из определения дифференцируемой функции

 f  (x0) = f  (x) - f  (x0) = f ' (x0)x + о(x).

Формула (1) используется для приближенного вычисления значения функции f  (x) в окрестности точки x0 .

Пример 1. Вычислить . Рассмотрим функцию f  (x)=  . Вычисляем  . 

  1.  Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.

Пусть зависимость между двумя переменными x и y задана параметрически в виде двух уравнений

                                                                    (1)

где t- вспомогательная переменная - параметр. Найдем производную функции  y по переменной x, предполагая, что обе функции дифференцируемы и функция имеет обратную функцию . Тогда сложная функция и по правилу дифференцирования сложной функции находим

.

Так как функция дифференцируемы и имеет обратную функцию , то по правилу дифференцирования обратной функции имеем

.

Тогда из указанных двух формул получаем

.                                                 (2)

Пример 1. Вычислить производную функции , заданной параметрически

Так как , то по формуле (2) имеем

.

Если функция задана уравнением вида , то говорят, что она задана в явном виде.

Пусть зависимость между двумя переменными x и y задана уравнением вида

.                                                                      (3)

Если при подстановке функции в это уравнение вместо x, получается тождество  по переменной x, определенное на некотором множестве, то говорят, что функция задана неявно уравнением (3). Если функция задана уравнением вида , то говорят, что она задана в явном виде.

Если функция задана неявно уравнением (2), то для нахождения производной  достаточно это уравнение продифференцировать по x, считая  y функцией от x. После этого полученное уравнение необходимо разрешить относительно .

Пример 2. Вычислить производную функции , заданной неявно уравнением

Продифференцируем это уравнение по x, считая  y функцией от x.

,

Разрешая, полученное уравнение, относительно  находим.

.

  1.  Производные высших порядков.

Производная   дифференцируемой на некотором множестве функции  называется производной первого порядка.

Если функция  дифференцируема на некотором множестве, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается символом  или .

Если функция  дифференцируема на некотором множестве, то ее производная называется производной третьего порядка и обозначается символом  или .

Производной  n - го порядка называется производная от производной (n -1) - го порядка:

.

Производные второго порядка и выше называются производными высших порядков.

Пример 1. Вычислить производную третьего порядка от функции . По таблице производных вычисляем

Механический смысл производной второго порядка. Пусть по прямой движется точка по закону s = s(t). Производная s' = s' (t) равна скорости точки в момент времени t.

Пусть в моменты времени t и t + t скорости точки соответственно равны v и v. За время t скорость изменилась на величину v. Отношение называется средним ускорением точки за время t . Предел этого отношения называется ускорением точки в момент времени t. Таким образом, ускорение точки равно .

Таким образом, механическим смыслом производной второго порядка от пути s(t) по времени t является ускорением прямолинейного движения точки.

Пусть зависимость между двумя переменными x и y задана уравнением вида

.                                                                 (4)

Если функция задана неявно уравнением (4), то для нахождения производной  достаточно это уравнение (4) продифференцировать дважды по x, считая  y функцией от x. После этого в полученное уравнение поставляется . Аналогично находят производные третьего порядка и выше.

Пример 1. Вычислить производную третьего порядка от функции . Дифференцируем это уравнение дважды по x, считая  y  функцией от x 

Пусть зависимость между двумя переменными x и y задана параметрически в виде двух уравнений

                                                                                       (1)

где t- вспомогательная переменная - параметр. Первая производная функции  y по переменной x находится по формуле:

.

Найдем вторую производную от этой функции. Имеем

.

  1.  Дифференциалы высших порядков.

Пусть - дифференцируемая функция, аргумент x - независимая переменная. Тогда его первый дифференциал   есть функция от x и можно найти дифференциал этой функции. Этот дифференциал называется дифференциалом  второго порядка и обозначается символом  или . По определению

.

Так  не зависит от х, то считаем его при дифференцировании постоянным. Найдем формулу для дифференциала второго порядка:

.

Если функция  дифференцируема на некотором множестве, то дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от дифференциала второго порядка. Аналогично, указанному выше, находим

.

.

Дифференциалом   n - го порядка называется дифференциал от дифференциала (n -1) - го порядка:

.

Дифференциалы второго порядка и выше называются дифференциалами высших порядков.

Все указанные выше формулы справедливы только в том случае, когда х независимая переменная. Если х - зависимая переменная, то формулы не имеют места. Дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности и вычисляются по другим формулам.

Пример 1. Найти , если .

Если бы было справедливо свойство инвариантности второго дифференциала, то мы бы получили

.

Это показывает, что дифференциалы второго порядка не обладают свойством инвариантности.

Раскрытие неопределенностей. Правила Лопиталя.

  1.  Первое правило Лопиталя.

Теорема 6.1 (первое правило Лопиталя – раскрытие неопределенностей вида ). Пусть

  1.  функции  f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой выколотой 1 - окрестности точки а ;
  2.  
  3.   g ' (x) 0 при всех x из некоторой выколотой 2 - окрестности точки а;
  4.  существует конечный или бесконечный предел отношения  при x  a, т.е. существует предел . 

Тогда существует предел отношения  при xa и имеет место равенство.

Доказательство. Докажем теорему, используя определение предела по Гейне. Пусть {xn}- произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к  a. Так как все члены последовательности {xn} начиная с некоторого места принадлежат  -окрестности точки a, где = min{1, 2}, то будем предполагать, что все члены последовательности {xn} принадлежат этой -окрестности. Доопределим f(x) и g (x)  в точке x = a, полагая f(a) = 0 и g  (a) = 0. Тогда функции f(x) и g (x) будут непрерывны в точке x = a, по условия функции f(x) и g(x) дифференцируема на интервале In с концами xn и a . Тогда по теореме Коши найдется такая точка n In , что выполняется равенство

                                                           (1).

Пусть в формуле (1) n  . Так как xn   а и n находится между числами а и xn, то n   а. Так как предел   существует и равен l, то предел . Следовательно, . Так как это справедливо для любой последовательности {xn}, сходящейся к  a, то по определению предела по Гейне получаем.

Замечание 1. Первое правило Лопиталя справедливо и для правого и для левого пределов функции как в конечной так и в бесконечной точках.

 Замечание 2. Первое правило Лопиталя можно применять несколько раз при условии, что последний предел существует, и при каждом переходе выполняются условия теоремы 1.

Пример.

.

  1.  Второе правило Лопиталя.

Теорема 6.1 (второе правило Лопиталя - раскрытие неопределенностей вида ). Пусть

  1.  функции  f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой выколотой 1 - окрестности точки а ;
  2.  
  3.   g ' (x) 0 при всех x из некоторой выколотой 2 - окрестности точки а;
  4.  существует конечный или бесконечный предел отношения  при xa, т.е. существует предел . 

Тогда существует предел отношения  при xa и имеет место равенство.

 

Замечание 1. Второе правило Лопиталя справедливо и для правого и для левого пределов функции как в конечной так и в бесконечных точках.

Замечание 2. Второе правило Лопиталя можно применять несколько раз при условии, что последний предел существует и при каждом переходе выполняются условия теоремы 1.

Пример. .

  1.  Применение правил Лопиталя при раскрытии неопределенностей.

Правило Лопиталя применяется при раскрытии неопределенностей, указанных в предыдущих параграфах видов , и неопределенностей видов 0,   - , 1  , 0 , 00, которые сводятся к указанным двум неопределенностям.

Пример 1. .

Пример 1. .

Неопределенности 1  , 0 , 00 раскрываются методом логарифмирования или использование основного логарифмического тождества и по теореме о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Например,

,

При вычислении пределов в показателе можно применять правила Лопиталя.

Пример 3.

 справедливо и для правого и для левого пределов функции.

Пример 2.  .

Пример 2. . Обозначим  и применим способ логарифмирования.

.

.

Отсюда

Формула Тейлора.

  1.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Определение 9.1. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки a и имеет в этой точке все производные до n-го порядка включительно. Многочленом Тейлора функции f(x) порядка n степени с центром в точке a называется следующее выражение:

       (1)

Теорема 9.1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть выполняются условия:

  1.  функция f(x) определена и n-1 раз дифференцируема в некоторой окрестности точки a;
  2.  имеет в точке a производную n-го порядка f(n)(a).

Тогда 

Rn(x) = f(x)-fn(a,x) = o((x-a)n) ,                                                               (2)

где символ o((x-a)n) обозначает, что Rn(x) есть величина бесконечно малая при x-a  0 большего порядка чем (x-a)n.

Доказательство. Применим правило Лопиталя n-1 раз при x-a  0 к отношению

.

Получим

(в последнем переходе мы использовали определение производной функции и существование  производной n-го порядка в точке a). Отсюда по определению (x) есть бесконечно малая функция при xa. Тогда по определению символа o–малое имеем  Rn(x) = o((x-a)n).  

Равенство (1) удобно записать в виде:

  (3)

и его обычно называют формулой Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано.

Кроме этого равенство (2) утверждает, что   f(x)  fn(a,x) при xa.

Разность Rn(x) = f(x)-fn(a,x)  называют остаточным членом в формуле Тейлора. При a=0 формула (3) имеет вид

                 (4)

и называется формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.

Замечание 1. Разложение по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке a единственно.

  1.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Теорема 10.1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Пусть функция f(x) n+1 раз дифференцируема на интервале (x1, x2)  и пусть x, a - любые две точки из этого интервала. Тогда существует такая точка с, лежащая между точками x и a, что выполняется равенство:

.                                       (1)

Формула (1) следует из следующей теоремы.

Теорема 10.2 (формула Тейлора с остаточным членом в общем виде). Пусть функция f(x) n+1 раз дифференцируема на интервале (x1, x2)  и пусть x, a - любые две точки из этого интервала. Тогда для любого положительного числа  существует такая точка с лежащая между точками x и a, что выполняется равенство:

.                         (1)

Поскольку c лежит между точками a и x, то найдется такое число , что 0<<1, c-a=(x-a). При этом    c=a+(x-a) (это верно при любом расположении чисел a и x). Таким образом, формулу (3) можно переписать в виде:

                      (2)

Формула Тейлора с общим членом может быть записана в виде:

.    (3)

 Остаточный член в форме Лагранжа получается из формулы (2) при =n+1, когда имеем

.,  (0<<1).                                  (4)

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.        (5)

Остаточный член в форме Коши получается из формулы (2) при =1, когда имеем

.,  (0<<1).                                  (6)

При a=0 формула (5) принимает вид

.                               (7)

и называется формулой Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

Замечание 1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа более точная, чем формула Тейлора с остаточным членом Пеано, так как она оценивает остаточный член более точно. Но для применимости формулы Тейлора с остаточным членом в Форме Лагранжа требуется выполнимость более жестких условий: формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа требует существования на интервале производных на два порядка выше, чем в формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Замечание 2. Разложение по формуле Тейлора с остаточным членом с центром в точке a единственно.

  1.  Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

Применим формулу Маклорена к разложению некоторых элементарных функций.

1. Показательная функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

                                    (1)

Поскольку для любого фиксированного n остаток стремится к нулю при n,

.

2. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.                      (2)

3. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.                  (3)

3. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.                             (4)

Заметим, что Rn(x) 0 при n, если x<1.

4. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.            (5)

Заметим, что Rn(x) 0 при n, если x<1.

5. Функция . Имеем при x<1

Тогда в силу единственности разложения по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано получаем f(2n+1)(0) = (-1)n (2n-1)!,  f(2n+1)(0) = 0.  Тогда применяя для данной функции  формулу Тейлора,  получим:

                            (6)

Формулы Тейлора играет важную роль в математическом анализе. Заметим, что по формуле Тейлора можно приблизительно вычислить значение функции f(x) в точке x = a + x. В этом случае по Формуле Тейлора получаем

.

Отсюда получаем

где абсолютная погрешность вычисления можно найти, оценив остаточный член

.

Пример 1. Вычислить число e c точностью до 5 десятичных знаков. По формуле (1) имеем

. Остаточный член этой формулы не более чем 3/(n+1)!. Будем вычислять члены этой суммы до тех пор пока, последний из вычисленных членов будет не больше 10--6 ( вычисления ведем с одним запасным десятичным знаком.

3. Вычислить число  c точностью до  4 десятичных знаков. Имеем . По формуле  (5) получаем

.

Остаточный член этой формулы не более чем 3/(n+1)!. Будем вычислять члены этой суммы до тех пор пока, последний из вычисленных членов будет не больше 10-5 ( вычисления ведем с одним запасным десятичным знаком.

  1.  Вычислить число  c точностью до  4 десятичных знаков. Имеем

.

По формуле  (6) получаем: 

Остаточный член этой формулы не более чем 4/3n(2n+1)! . Будем вычислять члены этой суммы до тех пор пока, последний из вычисленных членов будет не больше 10-5 ( вычисления ведем с одним запасным десятичным знаком.

.

  1.  Возрастание и убывание функции на промежутке.

Определение 12.1. Функция f называется строго возрастающей на множестве M, если для любых x1, x2  M, если x1 <x2,, то f(x1)< f(x2), т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции. 

Определение 12.2. Функция f называется не строго возрастающей на множестве M, если для любых x1, x2  M, если x1 <x2,, то f(x1) f(x2).

Определение 12.3. Функция f называется строго убывающей на множестве M, если для любых x1, x2  M, если x1 <x2,, то f(x1)> f(x2), т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. 

Определение 12.4. Функция f называется не строго убывающей на множестве M, если для любых x1, x2  M, если x1 <x2,, то f(x1) f(x2), т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. 

Функция y = f(x), график которой изображен на рисунке 2, возрастает на промежутках (-, x1], [x2, x4] и убывает на промежутках [x1, x2], [x4, ).

Теорема 12.1 (необходимое и достаточное условие возрастания или убывания функции на интервале). 1) Пусть  функция f дифференцируема на интервале (a, b). Тогда справедливы утверждения:

1) Функция f  не убывает (не строго возрастает) на интервале (a, b) тогда и только тогда, когда для любого x  (a, b)   f ' (x)   0;

2) Функция f  не возрастает (не строго убывает) на интервале (a, b)  тогда и только тогда, когда для любого x  (a, b)   f ' (x)   0;

3)  Функция f  строго возрастает на (a, b)  тогда и только тогда, когда для любого x  (a, b)   f ' (x) 0, и нет подинтервалов из   (a, b), на которых производная f ' (x) тождественно равна нулю;

  1.  Функция f  строго убывает на (a, b)  тогда и только тогда, когда для любого x  (a, b)   f ' (x) 0, и нет подинтервалов из (a, b), на которых производная f ' (x) тождественно равна нулю.

Замечание 1. Утверждение теоремы справедливо также для любого промежутка, если концы промежутка принадлежат ему, то дополнительно нужно требовать непрерывность функции f в таких точках.

Доказательство. 1) Пусть функция f не убывает на (a, b). Тогда в любых двух точках x0, x  (a, b) знаки  f(x)- f(x0), x - x0,совпадают и отношение . Тогда по теореме о переходе к пределу под знаком неравенства .Поэтому в каждой точке x  (a, b) имеем f ' (x)   0.

Обратно, пусть для любого x  (a, b)   f ' (x)   0. Возьмем любые две точки  x1, x2  (a, b), и x1 <x2,. По теореме Лагранжа найдется такая точка c  (a, b), что выполняется равенство

f  (x2) - f  (x1) = f ' (c)( x2 - x1)                                                                 (1)

Так как f ' (c) 0 ,  x2 > x1 , то f  (x2) - f  (x1) = f ' (c)( x2 - x1) 0 и f  (x2)  f  (x1). Следовательно, функция f не убывает на (a, b). Первая часть теоремы доказана.

2) Пусть функция f  строго возрастает на (a, b). Тогда по выше доказанному для любого             x  (a, b)   f ' (x)   0. В каждой точке x  (a, b) функция f не возрастает и тогда по лемме Дарбу        f ' (x)   0. Покажем, что нет ни одного интервала (,)(a, b), для которого   f ' (x)   0. Допустим противное, что найдется такой интервал (,)(a, b), что для любого x  (,) выполняется равенство f ' (x)=0. Тогда по следствию теоремы Лагранжа функция f постоянна на интервале  (,), что противоречит тому, что функция f  строго возрастает на  (a, b) (в том числе и на (,)).

Обратно, пусть для любого x  (a, b)   f ' (x)   0 и нет ни одного интервала (,)(a, b), для которого   f ' (x)   0. По доказанному выше функция f не убывает на (a, b). Докажем, что f строго возрастает на (a, b). Возьмем любые две точки  x1, x2  (a, b), и x1 < x2,. По сказанному выше             f  (x2)  f  (x1). Докажем, что f  (x2) > f  (x1). Допустим противное, что f  (x2) = f  (x1). Так как функция f не убывает на (x1, x2), то отсюда следует, что постоянная на (x1, x2). Тогда по следствию теоремы  Лагранжа f ' (x)   0 на (x1, x2). Получаем противоречие условию. Вторая часть теоремы доказана.

Подобным образом доказываются две остальные части.

Определение 12.5. Точка x0 , в которой функция f определена, а производная равна нулю, f ' (x0) = 0, называется стационарной точкой функции f.

Определение 12.6. Точка x0 , в которой функция f определена, а производная равна нулю или не существует называется критической точкой функции f.

Алгоритм исследования функцию f на монотонность:

  1.  найти область определения функции f;
  2.  вычислить производную функции f;
  3.  найти все критические точки функции f;
  4.  найти знаки производной в каждом из промежутков области определения, где нет критических точек.

Тогда по теореме 1 на тех промежутках, где производная больше нуля функция f будет строго возрастать, где производная меньше нуля функция f  будет строго убывать.

Пример 1. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Область определения функции D(y) = (-,0)(0,). Вычисляем производную функции:

.

Приравнивая производную к нулю, находим критическую точку функции x1 = -2 и отмечаем область определения и критическую точку на числовой оси. Определяем знак производной на каждом из полученных интервалов области определения:

Получаем, что на промежутках  (-,-2),  (0,) функция возрастает, а на промежутке (-2, 0) – убывает.

  1.  Точки экстремума функции. Необходимые и достаточные условия точек экстремума.

Определение 13.1. Точка x0 называется точкой локального максимума функция f , если для любого x из некоторой выколотой - окрестности точки x0, выполняется неравенство f(x)< f(x0).

Определение 13.2. Точка x0 называется точкой локального минимума функция f , если для любого x из некоторой выколотой - окрестности точки x0, выполняется неравенство f(x)> f(x0).

Определение 13.3. Точка x0 называется точкой локального экстремума функция f , если она имеет в этой точке локальный максимум или минимум.

На рис.1 точки x1 , x4 являются точками локального максимума, точка x2 - точкой локального минимума функции f.

Нами была доказана теорема Ферма, содержащая необходимое условие точки экстремума функции.

Теорема 13.1 (теорема Ферма - необходимое условие экстремума функции). Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке [a, b], x0 -  внутренняя точка отрезка [a, b]. Если точка x0 является точкой экстремума функции f (собственного или несобственного) и функция f в точке x0 имеет производную, то f ' (x0) = 0. 

Замечания 1. Геометрически равенство f ' (x0) = 0 обозначает, что в точке экстремума x =x0 дифференцируемой функции f касательная параллельна оси Ox.

2. Условие f ' (x0) = 0 не является достаточным, для того, чтобы точка x =x0 являлась точкой экстремума функции f . Например, для функции y = x 3 в точке x = 0 производная  y' = 3x 2 обращается в ноль, а точка x = 0 не является точкой экстремума этой функции.

3. Существуют функции, например, , для которых в точке экстремума производная не существует.

Следствие. Непрерывная функция может иметь экстремумы только в критических точках.

Теорема 13.2 (первое достаточное условие экстремума функции). Пусть функция f непрерывна в некоторой окрестности критической точки x0 и дифференцируема в выколотой окрестности точки x0. Тогда:

  1.  если f ' (x) > 0 слева от точки x0 и f ' (x) < 0 справа от точки x0, то точка x0 - точка строгого локального максимума функции f;
  2.   если f ' (x) < 0 слева от точки x0 и f ' (x) > 0 справа от точки x0, то точка x0 - точка строгого локального минимума функции f;
  3.  если производная f ' (x)  слева и справа от точки x0 имеет один и тот же знак, то точка x0  не является точкой экстремума функции f  ни в широком,  ни в узком смысле.

Замечания 1. Теорему 2 можно сформулировать следующим образом: если при переходе через критическую точку x0 функции f слева на право производная f ‘ меняет свой знак с “+” на      “-“, то точка x0 - точка локального максимума функции f; если она меняет свой знак с “-“ на “+”, то точка x0 - точка локального минимума функции f; если сохраняет знак, то локального экстремума в точке x0 нет.

Доказательство. 1) По теореме Лагранжа для любой точки x  U*(x2, ) найдется такая точка c, лежащая между точками x  и x0,что выполняется равенство:

f (x)= f  (x0) + f ' (c)( x - x0) .                                                                (1)

Если x < x0, то x - x0 <0, c < x0 и по условию f ' (c) > 0. Отсюда f ' (c)( x - x0) < 0. Если x > x0, то    x - x0 > 0 и c > x0 по условию f ' (c) < 0 и f ' (c)( x - x0) < 0. Поэтому всегда f ' (c)( x - x0) < 0 и из формулы (1) следует, что f  (x) <  f  (x0). По определению точка x0 - точка максимума.

Если x < x0, то x - x0 <0, c < x0 и по условию f ' (c) < 0. Отсюда f ' (c)( x - x0) > 0. Если x > x0, то x - x0 > 0 и c > x0 по условию f ' (c) > 0 и f ' (c)( x - x0) > 0. Поэтому всегда f ' (c)( x - x0) > 0 и из формулы (1) следует, что f  (x) > f  (x0). По определению точка x0 - точка минимума.

Если f ' (x0)>0 слева и справа от точки x0. Отсюда имеем f  (x1) < f  (x0) < f  (x2) при x1 < x0 < x2, что и требовалось доказать. Случай f ' (x0)<0 рассматривается аналогично.  

Теорема 13.3 (второе достаточное условие экстремума функции). Пусть функция f дважды дифференцируема в точке x0. и x0 - стационарная точка функции f , т.е. f ' (x0) = 0 . Тогда:

  1.  если f '' (x0) < 0 , то точка x0 - точка строгого локального максимума функции f;
  2.  если f '' (x0) > 0 , то точка x0 - точка строгого локального минимума функции f.

Доказательство. 1) Пусть f '' (x0) < 0. Тогда  точка x0 - точка убывания функции f ' (x). Поскольку f ' (x0) = 0, то слева от точки x0 имеем f ' (x) > 0, а справа от точки f ' (x) < 0. Таким образом, при переходе через стационарную точку x0 производная функции f меняет свой знак с “+” на “-“ , и точка x0 - точка локального максимума функции f.

2) Пусть f '' (x0) > 0. Тогда  точка x0 - точка возрастания функции f ' (x). Поскольку f ' (x0) = 0, то слева от точки x0 имеем f ' (x) < 0, а справа от точки f ' (x) > 0. Таким образом, при переходе через стационарную точку x0 производная функции f меняет свой знак с “-“ на “+” , и точка x0 - точка локального минимума функции f.

Алгоритм нахождения локальных экстремумов функцию f ;

  1.  найти область определения функции f;
  2.  вычислить производную функции f;
  3.  найти все критические точки функции f;
  4.  найти знаки производной во каждом из промежутках области определения, где нет критических точек.

Далее можно воспользоваться теоремой 2; если при переходе через критическую точку x0 производная функции f меняет свой знак с “+“ на “-” , то точка x0 - точка локального максимума функции f; если меняет свой знак с “-” на “+“, то точка x0 - точка локального минимума функции f; если сохраняет знак, то локального экстремума в точке x0 нет.

Пример 1. Найти точки экстремума функции .

В силу примера 1 из предыдущего параграфа, точка x = -2 является критической точкой данной функции. При переходе через эту точку производная меняет знак с “+“ на “-“.  Точка  x = -2 является точкой максимума данной функции,  ymax = -3.

  1.  Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

По свойству непрерывных функций, если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения. При этом это значение будут достигаться либо в концевых точках отрезка [a, b] либо во внутренних точках отрезка [a, b]. Если наибольшее или наименьшее значение функции f достигается во внутренней точке отрезка [a, b], то такая точка по определению будет являться экстремальной точкой функции f. Следовательно, по теореме 1 является критической точкой функции f. Таким образом, наибольшее и наименьшее значение функция f принимает либо в концевых точках отрезка [a, b] либо в критических точках функции f, принадлежащих интервалу (a, b).

Отсюда вытекает алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f на отрезке [a, b], непрерывной  на нем;  

  1.  вычислить производную функции f;
  2.  найти все критические точки x1, x2,…, xm функции f; принадлежащие интервалу (a, b);
  3.  найти значения функции f на концах отрезка [a, b] и в найденных выше критических точках.

Тогда.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [0,5].

Область определения функции D(y) = R. Вычисляем производную функции:

.

Приравнивая производную к нулю, находим критические точки функции x1 = 1, x1 = 3. Вычисляем значения данной функции в критических точках и на концах интервала:

y(1) = -1,  y(3) = -5, y(0) = -5, y(5) = 15. Отсюда max y = 15, min y = -5.

 

  1.  Выпуклость графика функции.

Определение 15.1. Функция f называется выпуклой вниз на интервале (a, b) или просто выпуклой, если график функции лежит над касательной, проведенной к графику функции f в любой точке данного интервала.

Определение 15.2. Функция f называется выпуклой вверх на интервале (a, b) или просто вогнутой, если график функции лежит под касательной, проведенной к графику функции f в любой точке данного интервала.

Определение 15.3. Точки x0  области определения функции f называется точками перегиба для функции f, если  в этих точках график функции f меняет свою выпуклость на противоположную.

Функция y = f(x), изображенная на рисунке 3 выпукла вверх (вогнута) на интервалах (х1, х2), (х3, х4), выпукла вниз (выпукла) на интервале (х2, х3), точки х2, х3 являются точками перегиба графика функции f.

Если х0 - произвольная фиксированная точка интервала (a, b) и

,

то уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке  (х0 , f0)) задается формулой y = f1(x). Тогда по определению получаем:

если функция f(х) выпукла вниз на интервале (a, b), то для любого x  (a, b) имеем f(х)  f1(x) ;

если функция f(х) выпукла  вверх на интервале (a, b), то для любого x  (a, b)имеем f(х)  f1(x).

Теорема 15.1 (второе достаточное условие выпуклости функции). Пусть функция f дважды дифференцируема на интервале (a, b). Тогда:

  1.  если f '' (x) 0 на (a, b), то функция f выпукла вниз на интервале (a, b);
  2.  если f '' (x) 0 на (a, b), то функция f выпукла вверх на интервале (a, b).

Доказательство. 1) Пусть f '' (x) 0 на (a, b). По формуле Тейлора имеем

,

где с находится между точками a и b. Так как f''(c) 0, то получаем, что  для любого x  (a, b). Тогда функция f(х) выпукла вниз на интервале (a, b).

2) Пусть f '' (x) 0 на (a, b). По формуле Тейлора имеем

,

где с находится между точками a и b. Так как f''(c) 0, то получаем, что  для любого x  (a, b). Тогда функция f(х) выпукла вверх на интервале (a, b).

Теорема 15.2. Если f '' (x0) < 0 и f '' (x) непрерывна в точке x0, то существует -окрестность точки x0,, в которой функция выпукла вверх.

Если f '' (x0) > 0 и f '' (x) непрерывна в точке x0, то существует -окрестность точки x0,, в которой функция выпукла вниз.

Доказательство. 1) Поскольку функция f '' (x) непрерывна в точке x0, и f '' (x0) < 0, по свойству непрерывных функций найдется такая -окрестность точки x0, что в ней выполняется неравенство f '' (x) < 0. Тогда по теореме 1 функция выпукла вверх в этой -окрестность точки x0 .

Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.

Пример 1. Найти интервалы выпуклости функции .

Область определения функции D(y) = R. Вычисляем первую и вторую производные функции:

.

Приравнивая вторую производную к нулю, находим критическую точку производной функции    x1 = 2. Отмечаем область определения и критическую точку на числовой оси. Определяем знак второй производной на каждом из полученных интервалов области определения: Получаем, что на промежутке  (-,2) функция выпукла вверх ,  на промежутке (0,) – выпукла вниз.

  1.  Точки перегиба.

Определение 16.1. Точка x0  области определения функции f называется точкой перегиба графика функции ( или просто функции) f, если  в этой точке график функции f меняет свою выпуклость на противоположную, т. е. существует такая проколотая окрестность точки x0, что в левой и правой полуокрестностях точки x0 функция f имеет разную выпуклость.

Лемма 16.1. Пусть функция f имеет производную в  - окрестности точки x0, причем эта производная непрерывна в точке x0. Тогда,

1) если на интервале (x0,x0 + ) функция f выпукла вверх (вниз), то всюду в пределах интервала (x0,x0+ ) график функции лежит не ниже (не выше) касательной к графику, проведенной в точке          M(x0, f  (x0)).

2) если на интервале (x0 - , x0)  функция f выпукла вверх (вниз), то всюду в пределах интервала (x0 -  , x0)  график функции лежит не выше (не ниже) касательной к графику, проведенной в точке M(x0, f  (x0)).

Доказательство. 1) Рассмотрим последовательность точек {xn} интервала (x0, x0 + ), сходящихся к точке x0. Через каждую точку Mn(xn, f (xn)) графика функции f проведем касательную к этому графику, т.е. прямую

Так как по условию функция f на интервале (x0, x0 + ) выпукла вниз (вверх), то для любого номера n и любой фиксированной точки x(x0, x0 + ) выполняется неравенство

.                                     (1)

Из условия непрерывности функции f ' (x) и тем более непрерывности функции f (x) вытекает существование предела

Из существования этого предела в силу неравенства (1) получаем

.

Так как

есть уравнение касательной, проходящей через точку M(x0, f  (x0)), то последнее неравенство перепишется в виде

.

Это обозначает, что график функции лежит не ниже (не выше) касательной, проведенной через точку M(x0, f  (x0)).

Аналогично доказывается вторая часть утверждения леммы.

Лемма 16.2. Пусть функция f имеет производную в некоторой окрестности точки x0, и эта производная непрерывна в точке x0. Тогда, если x0  точка перегиба графика функция f, то существует такая  - окрестность точки x0, что график функции f слева и справа от точки x0 лежит по разные стороны от  касательной, проведенной к графику функции f  через точку    M(x0, f  (x0)).   

Доказательство. Выберем такую  - окрестность точки x0, что в левой и правой полуокрестностях точки x0 функция f имеет разную выпуклость, т.е. на интервалах (x0 -  , x0) и (x0, x0 + )  функция f  имеет разное направление выпуклости. Пусть для определенности в левой половине   - окрестности, т.е. на интервале (x0 -  , x0)  функция f выпукла вверх, а в правой половине окрестности, т.е. на интервале (x0, x0 + ) функция f выпукла вниз (см. на рис. 3 точку x2). Тогда по лемме 2 на интервале (x0 -  , x0)  график функция f находится ниже касательной, на интервале (x0, x0 + ) график функция f находится выше касательной.

Аналогично рассматривается случай, когда на интервале (x0 -  , x0)  функция f выпукла вниз, а на интервале (x0, x0 + ) функция f выпукла вверх (см. на рис. 3 точку x3).

Теорема 16.1 (необходимое условие точки перегиба графика функции). Если в точке  x0  функция f имеет вторую производную  f '' (x0) и точка x0 является точкой перегиба графика функции f , то   f '' (x0)=0.

Доказательство. Пусть

уравнение касательной к графику функции f, проходящей через точку M(x0, f  (x0)). Рассмотрим функцию

.

Эта функция r  имеет в точке x0  вторую производную и поэтому имеет первую производную в некоторой  - окрестности точки x0. При этом первая производная непрерывна в  - окрестности точки x0,. Тогда по лемме 2 график функции f слева и справа от точки x0 лежит по разные стороны от  касательной, проведенной к графику функции f  в точке M(x0, f (x0)). Следовательно, функция r в малой окрестности точки x0 имеет слева и справа от точки x0 разные знаки. Тогда точка x0 не является точкой локального экстремума функции r.

Докажем, что f '' (x0) = 0. Предположим противное, что f '' (x0) 0. Так как

то выполняются условия

и функция r по второму достаточному условию имеет в точке x0 локальный экстремум. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и получаем f '' (x0)=0.   

Теорема 16.2 (первое достаточное условие точки перегиба графика функции). Пусть функция f дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 и  f '' (x0) = 0 . Тогда, если в пределах этой окрестности вторая производная f '' (x) имеет разные знаки слева и справа от точки x0,, то точка x0 является точкой перегиба графика функции f.

Доказательство.  Так как в точке x0 функция f имеет вторую производную, то она имеет в точке x0 и первую производную, и поэтому существует касательная к графику функции f  в точке x0. Так как вторая производная f ''(x) имеет слева и справа от точки x0 разные знаки, то  по теореме предыдущей лекции слева и справа от точки x0 направления выпуклости функции f различные. Тогда x0 - точка перегиба графика функции f.

Замечание. Условие равенства f '' (x0) = 0 значения второй производной функции f в точке x0 нулю не является достаточным для того, чтобы точка стала точкой перегиба графика функции f. Например, для функции f (x) = x4  имеем

f '' (x) = 12x2 , f '' (0) = 0, но точка x = 0 не является точкой перегиба функции f (x) = x4.  

Алгоритм нахождения  точек перегиба графика  функцию f;

  1.  найти область определения функции f;
  2.  вычислить первую и вторую производные функции  f;
  3.  найти все критические точки первой производной f ' , т.е. такие точки, в которых вторая производная или не существует или обращается в ноль.
  4.  найти знаки второй производной на каждом из промежутков области определения, где нет критических точек.

Далее можно воспользоваться теоремой 2; если при переходе через критическую точку x0 производной вторая производная функции f меняет свой знак, то точка  x0 - точка перегиба графика функции f.

Пример 1. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции .

Область определения функции вся числовая ось. Вычислим первую и вторую производные функции:

.

Находим критические точки x1 = 0, x2 = 2,  Вычисляем знаки второй производной на каждом из промежутков области определения, где нет критических точек.

Точки перегиба графика функции

Функция выпукла вверх на интервалах:  Функция выпукла вниз на интервалах:

  1.  Асимптоты функции.

Определение 17.1. Прямая x = a на плоскости Oxy называется вертикальной асимптотой графика функции f, если хотя бы один из пределов

равен .

Пример. Для функции  прямая линия x = 0 является вертикальной асимптотой.

Определение 17.2. Прямая y  = kx + b на плоскости Oxy называется наклонной  асимптотой графика функции f при x+ (или просто функции), если

.

Прямая y  = kx + b на плоскости Oxy называется наклонной  асимптотой графика функции f при x - (или просто функции), если

.

Пример 1. График функции, изображенный на рис.4 имеет две вертикальные и две наклонные асимптоты.

Теорема 17.1. Прямая y  = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f при x- тогда и только тогда, когда существуют два предела:

  1.  ,
  2.  .

Замечание 1. Аналогичное утверждение имеет место и для наклонных асимптот при x -.

Доказательство. Необходимость. Пусть прямая y  = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f при x+. Тогда по определению 2 . Отсюда - бесконечно малая величина при x+. Тогда

Достаточность. Пусть существуют пределы 1) и 2) в условии теоремы. Докажем, что прямая y  = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f при x+. Из второго условия теоремы следует, что

.

Тогда по определению 2 прямая y  = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f при x+.

Замечание 2. Наклонные асимптоты, параллельные оси Ox (k = 0), называются также горизонтальными асимптотами. Они имеют уравнение y = b, где .

Алгоритм нахождения  асимптот графика функции  f :

  1.  найти точки все конечные граничные точки области определения функции f;
  2.  вычислить правый и левый пределы функции   f в каждой конечные граничной точке a области определения функции f, если хотя бы один из пределов равен  , то прямая x = a вертикальная асимптота функции f.;
  3.  найти пределы 1) и 2) в теореме 1 при x + (x -);
  4.  если хотя бы один из пределов 1), 2) при x + не существует или бесконечен, то наклонной асимптоты при x + нет, если оба предела существуют и конечны, то прямая y  = kx + b наклонная асимптота при x + ;
  5.  если хотя бы один из пределов 1), 2) при x - не существует или бесконечен, то наклонной асимптоты при x - нет, если оба предела существуют и конечны, то прямая y  = kx + b наклонная асимптота при x - ;

Пример 2. Найти асимптоты графика функции .

Область определения функции D(y) = (-,0)(0,+). Вычисляем пределы в граничных точках области определения функции:

Следовательно, функция имеет вертикальную асимптоту x = 0 при x0-0 и при x0+0, горизонтальных асимптот нет. Для определения наклонных асимптот вычислим пределы:

Наклонная асимптота y = x при x- и при x+.

  1.  Общая схема исследования и построения графика функции.

Для исследования и построения графика функции f (x) можно пользоваться следующей схемой:

  1.  Найти область определения функции f .
  2.  Установить четность, нечетность, периодичность функции и найти точки пересечения графика функции с координатными осями.
  3.  Найти интервалы непрерывности функции f. Установить поведение функции в граничных точках области определения и точках разрыва. Найти вертикальные асимптоты.
  4.  Найти наклонные асимптоты функции.
  5.  Определить участки монотонности  функции и локальные экстремумы функции.
  6.  Найти промежутки выпуклости функции и точки перегиба графика функции.
  7.  Изобразить асимптоты функции, точки пересечения с осями координат, точки экстремума и точки перегиба функции и по проведенным исследованиям построить эскиз графика функции.

Замечание 1. Перед построение графика функции удобно все проведенные исследования отразить на числовой оси или в таблице.

Пример 1. Провести полное исследование и построить эскиз графика функции .

  1.  D(y) = R.
  2.  Функция не является четной и нечетной. Точки пересечения с осью Ox:

y = 0,

Точки пересечения с осью Oy: x = 0, y = 0.

  1.   Функция элементарная и поэтому непрерывна на всей числовой оси. Найдем ее пределы в граничных точках области определения:

.

Вертикальных и горизонтальных асимптот нет.

  1.  Наклонные асимптоты. Вычислим пределы:

Наклонная асимптота y= x-2 при x- и при x+.

  1.  Найдем интервалы монотонности и точки экстремума функции. Вычислим производную:

Критические точки функции x1=0, x2=4,  x3=6. Таким образом, функция возрастает на интервалах:

(-, 0), (4, +), убывает на интервале (0, 4). Точка  x1=0 точка максимума функции ymax=0. Точка  x1=4 точка минимума функции ymin=-2.

 

  1.  Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции. Вычислим вторую  производную:

Критические точки x1=0, x3=6. Таким образом, функция выпукла вниз  на интервалах:

(-, 0), (0, 6), выпукла вверх на интервале (6, +). Точки  x1=0, x3=6 – точки перегиба графика функции y(0) = 0, y(6) =0.

 

  1.  Сведем все полученные сведения о графике функции в таблицу  и построим эскиз графика функции:

x

-

(-,0)

0

(0,4)

4

(4,6)

6

(6,+ )

+

y

Асимптота

y=x-2

0

-2

0

Асимптота

y=x-2

Монотонность

Возрастает

max

Убывает

min

Возрастает

Выпуклость

Выпукла вниз

Точка перегиба

Выпукла вниз

Точка перегиба

Выпукла вверх

Пример 2. Провести полное исследование и построить эскиз графика функции .

1) Область определения функции D(y) = (-,0)(0,+).

2) Функция не является четной и нечетной. Точка пересечения осью Ox: y=0, . С осью Oy не пересекается.

3) Функция непрерывна на промежутках (-,0), (0,+). Вертикальная асимптота x = 0 при x0-0 и при x0+0.

4) Наклонная асимптота y = x при x- и при x+  (см. пример 1 из § 2).

5) Получаем, что на промежутках  (-,-2),  (0,) функция возрастает, а на промежутке (-2, 0) – убывает (см. пример 1 из § 1 лекции 14). Точка  x = -2 является точкой максимума данной функции,  ymax = -3 (см. пример 1 из § 2 лекции 14).

6) Найдем промежутки выпуклости функции и точки перегиба. Вычислим производные:

Отсюда получаем, что функция выпукла вверх на интервалах (-,0), (0,+).

  1.  7. Сведем все полученные сведения о графике функции в таблицу  и построим эскиз графика функции:

x

-

(-, -2)

-2

(-2, 0)

0

(0, +)

+

y

Асимптота  y = x

-3

Асимптота

x = 0

-

Асимптота  y = x

Монотонность

Возрастает

max

Убывает

Возрастает

Выпуклость

Выпукла вверх

Выпукла вниз

PAGE  1

Производные высших порядков. Формулы Тейлора. Применение производной.


f ‘’
(x)

f(x)

+

-

+

x4

l2

y

l2

Рис. 4

2

+

f ’’(x)

f(x)

+

-

-

x4

x3

0

y=f(x)

x3

x1

x4

x

y

x2

Рис. 4

f’’(x)

f(x)

-

+

x

2

y=f(x)

x3

x1

x4

x

y

x2

Рис. 3

f’(x)

f(x)

+

-

+

x

-2

0

y=f(x)

x3

x4

x5

x

y

O

x1

x2

Рис. 2

df

C

B

A

P

f(x0+x)

x

y

A-

0

6

+

f ’(x)

f(x)

+

-

+

x4

0

4

y=f(x)

x0+x

f(x0)

y=f(x)

x0

O

x

y

l1

l3

Рис.1.

-

6

x

1

O

y

6

4

1

-4

-2

-4

4

EMBED Equation.3  

y=x - 2

Рис. 5

y=x

EMBED Equation.3  

x

1

O

y

6

4

1

-4

-2

-4

4

Рис. 6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79339. Созданию формализованной системы управления на ЗАО “Смайл Интернешнэл” 1.92 MB
  В сложившейся ситуации гибкая и оперативная реакция на малейшие изменения рыночной конъюнктуры, отслеживание тенденций, настроений участников рынка, квалифицированный брендинг и маркетинг – необходимые условия финансовой устойчивости и рентабельности любой компании-производителя.
79340. Фестиваль хімічних елементів 48 KB
  Відома вам вона мабуть Всі запросила елементи До нас у гості вже вона. Настроїли ми інструменти І линь музико чарівна Хімічна мова ця чудова І букв палітра кольорова Всіх зачарує вас. У всіх спереду прикріплено великі таблички з написами відповідних елементів.
79341. Хімічна мозаїка 69.5 KB
  Мета: показати різноманітність хімічних речовин, їх широке застосування у господарській діяльності людини, у побуті; у ігровій формі вивчити формули речовин; познайомити учнів із шкідливим впливом деяких з них.
79342. Через терни до зірок 779.5 KB
  Мета: зацікавити учнів космонавтикою, фізикою, астрономією. Розповісти про вчених – земляків, які освоювали космос. Розвивати інтерес учнів, розширити кругозір, формувати уміння аналізувати, робити висновки. Виховувати патріотичні почуття, гордість за співвітчизників.
79344. Площадь прямоугольника 30.1 KB
  Цели урока: формирование совокупности компетенций, необходимых для вычисления площади прямоугольника развивать мыслительные операции; воспитывать прилежание, аккуратность, стремление к выполнению всех заданий; уважение друг к другу...
79345. Гуморальная регуляция физиологических функций. Физиология желез внутренней секреции 192.5 KB
  Изучить закономерности гуморальной регуляции механизмы действия гормонов структурно-функциональную организацию эндокринной системы виды и функции гормонов желез внутренней секреции: щитовидной паращитовидных поджелудочной половых вилочковой надпочечников и эпифиза.
79346. ПЕРВЫЙ ЗВОНОК 60 KB
  В первый день сентября всем радость даря Каждый раз повторяется это Каждый собрался солнышком согрет Только первого класса что-то нет Вед: Нет первый класс здесь и с нетерпением ждет когда его позовут на линейку ведь первоклассники сегодня самые главные действующие лица праздника.