22408

Производные высших порядков. Формулы Тейлора. Применение производной. Производные и дифференциалы высших порядков

Лекция

Математика и математический анализ

Линеаризация функции. Приближенное вычисление значений функции. Исследование функции с помощью производной. Возрастание и убывание функции на промежутке.

Русский

2013-08-03

652 KB

3 чел.

Лекции 6-7

1007Z                                   Математика                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 6-7.

Производные высших порядков. Формулы Тейлора. Применение производной.

Производные и дифференциалы высших порядков.

  1.  Инвариантность формы первого дифференциала.
  2.  Геометрический смысл дифференциала. Линеаризация функции. Приближенное вычисление значений функции.
  3.  Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.
  4.  Производные высших порядков.
  5.  Дифференциалы высших порядков.

Литература: Ильин В.А., с.173-182 ;  Письменный Д., с. 152-167. Ермаков В.И., с.218-230. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с. 109-125.  Мантуров О.В., Матвеев Н.М., с. 205-215, 421-426.   

Раскрытие неопределенностей. Правила Лопиталя.

  1.  Первое правило Лопиталя.
  2.  Второе правило Лопиталя.
  3.  Применение правил Лопиталя при раскрытии неопределенностей.

Литература: Ильин В.А., с.261-266 ;  Письменный Д., с. 167-170. Ермаков В.И., с.226-230. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с. 126-131.  Мантуров О.В., Матвеев Н.М., с. 215-218, 426-428.   

  1.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
  2.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
  3.  Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

Литература: Ильин В.А., с.266-281 ;  Письменный Д., с. 181-185. Ермаков В.И., с.231-223. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с. 132-143.  Мантуров О.В., Матвеев Н.М., с. 223-231, 428-431.   

Исследование функции с помощью производной.

  1.  Возрастание и убывание функции на промежутке.
  2.  Точки экстремума функции. Необходимые и достаточные условия точек экстремума.
  3.  Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
  4.  Выпуклость графика функции.  

Литература: Ильин В.А., с.291-308 ;  Письменный Д., с. 171-178. Ермаков В.И., с.222-226. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с. 144-153.  Мантуров О.В., Матвеев Н.М., с. 232-240, 432-440.   

  1.  Точки перегиба.
  2.  Асимптоты функции.
  3.  Общая схема исследования и построения графика функции.

Литература: Ильин В.А., с.303-316 ;  Письменный Д., с. 171-178. Ермаков В.И., с.231-245. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с. 147-156.  Мантуров О.В., Матвеев Н.М., с. 239-248, 437-440.   

  1.  Инвариантность формы первого дифференциала.

Функция f называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение в точке можно представить в виде

y = Ax + (x)x,                                                                           (1)

где A - постоянная, не зависящая от x, (x) - бесконечно малая при x 0. Дифференциалом приращения  f(x0), или дифференциалом функции f в точке x0 называется линейная часть Ax приращения функции f в точке x0.

Дифференциал функции f обозначается символом df, или df(x0). По определению дифференциала для дифференцируемой функции

df(x0) = Ax.

Имеет место теорема.

Теорема 1.1. Если функция f имеет в точке x0 производную,то дифференциал функции f  в точке x0 находится по формуле:

df(x0) = f ' (x0)x = f ' (x0)dx.                                                        (1)

Пусть функция y = F(x) = f(g(x)) - сложная функция, полученная из функций y = f(u), u = g(x). Тогда имеет место теорема

Теорема 1.2. Пусть функция g(x) дифференцируема в точке x0, причем g(x0) = y0 , g' (x0) = A. Далее пусть функция f(y) дифференцируема в точке y0, причем f ' (y0)= B. Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) дифференцируема в точке x0, причем  

F ' (x0) = BA,

т.е. справедлива формула

F ' (x0) = f ' (g(x0)) g' (x0).                                                           (2)

Из этих двух теорем получаем, что

dy = dF(x) = F ' (x0) dx = f ' (g(x0)) g' (x0) dx

Так как g(x0) = u0, g' (x0) dx = du, то получаем

dy = f ' (g(x0)) g' (x0) dx = f ' (u0) du.

Получили, что дифференциал функции y = f(u) при u = g(x) равен производной функции f по переменной u, умноженный на дифференциал переменной u. Это справедливо при любом выборе функции u = g(x). Таким образом, первый дифференциал не зависит от того, является переменная u независимой или функцией. Последнее утверждение называется свойством инвариантности формы первого дифференциала. Таким образом, имеет место формула

d f (g(x) = f ' (g(x)) g' (x) dx.

  1.  Геометрический смысл дифференциала. Линеаризация функции. Приближенное вычисление значений функции.

Пусть функция функции y = f(x) дифференцируема в точке x0 . Тогда существует касательная, проведенная к графику функции y = f(x) в точке   (x0 , f(x0)). Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной. Уравнение касательной: 

y = f ' (x0) (x- x0) + f  (x0).

Тогда приращение графика касательной, соответствующей приращению аргумента x= x- x0 равно:

f ' (x0) (x- x0) + f  (x0) -  f  (x0) = f ' (x0) (x- x0) = f ' (x0)x = d f (x0).

Следовательно, геометрический смысл дифференциала функции есть приращение графика касательной, соответствующего приращению аргумента x.

Уравнение касательной к графику дифференцируемой функции y = f(x) в точке (x0 , f(x0)):

y = f ' (x0) (x- x0) + f  (x0).

Касательная к графику функции является более простой линией, чем график функции. Касательная, в точках близких к точке касания (x0 , f(x0)) хорошо приближается к графику функции y = f(x) и отражает поведение функции в достаточно малой окрестности точки касания. Иногда можно заменить исследование функции исследованием касательной. Так как касательная к графику функции является линейной функцией, то такая замена называется линеаризацией.  Таким образом в окрестности точки x0 имеет место приближенное равенство

 f  (x)  f ' (x0) (x- x0) + f  (x0).                                                         (1)

Смысл этого равенства следует из определения дифференцируемой функции

 f  (x0) = f  (x) - f  (x0) = f ' (x0)x + о(x).

Формула (1) используется для приближенного вычисления значения функции f  (x) в окрестности точки x0 .

Пример 1. Вычислить . Рассмотрим функцию f  (x)=  . Вычисляем  . 

  1.  Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.

Пусть зависимость между двумя переменными x и y задана параметрически в виде двух уравнений

                                                                    (1)

где t- вспомогательная переменная - параметр. Найдем производную функции  y по переменной x, предполагая, что обе функции дифференцируемы и функция имеет обратную функцию . Тогда сложная функция и по правилу дифференцирования сложной функции находим

.

Так как функция дифференцируемы и имеет обратную функцию , то по правилу дифференцирования обратной функции имеем

.

Тогда из указанных двух формул получаем

.                                                 (2)

Пример 1. Вычислить производную функции , заданной параметрически

Так как , то по формуле (2) имеем

.

Если функция задана уравнением вида , то говорят, что она задана в явном виде.

Пусть зависимость между двумя переменными x и y задана уравнением вида

.                                                                      (3)

Если при подстановке функции в это уравнение вместо x, получается тождество  по переменной x, определенное на некотором множестве, то говорят, что функция задана неявно уравнением (3). Если функция задана уравнением вида , то говорят, что она задана в явном виде.

Если функция задана неявно уравнением (2), то для нахождения производной  достаточно это уравнение продифференцировать по x, считая  y функцией от x. После этого полученное уравнение необходимо разрешить относительно .

Пример 2. Вычислить производную функции , заданной неявно уравнением

Продифференцируем это уравнение по x, считая  y функцией от x.

,

Разрешая, полученное уравнение, относительно  находим.

.

  1.  Производные высших порядков.

Производная   дифференцируемой на некотором множестве функции  называется производной первого порядка.

Если функция  дифференцируема на некотором множестве, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается символом  или .

Если функция  дифференцируема на некотором множестве, то ее производная называется производной третьего порядка и обозначается символом  или .

Производной  n - го порядка называется производная от производной (n -1) - го порядка:

.

Производные второго порядка и выше называются производными высших порядков.

Пример 1. Вычислить производную третьего порядка от функции . По таблице производных вычисляем

Механический смысл производной второго порядка. Пусть по прямой движется точка по закону s = s(t). Производная s' = s' (t) равна скорости точки в момент времени t.

Пусть в моменты времени t и t + t скорости точки соответственно равны v и v. За время t скорость изменилась на величину v. Отношение называется средним ускорением точки за время t . Предел этого отношения называется ускорением точки в момент времени t. Таким образом, ускорение точки равно .

Таким образом, механическим смыслом производной второго порядка от пути s(t) по времени t является ускорением прямолинейного движения точки.

Пусть зависимость между двумя переменными x и y задана уравнением вида

.                                                                 (4)

Если функция задана неявно уравнением (4), то для нахождения производной  достаточно это уравнение (4) продифференцировать дважды по x, считая  y функцией от x. После этого в полученное уравнение поставляется . Аналогично находят производные третьего порядка и выше.

Пример 1. Вычислить производную третьего порядка от функции . Дифференцируем это уравнение дважды по x, считая  y  функцией от x 

Пусть зависимость между двумя переменными x и y задана параметрически в виде двух уравнений

                                                                                       (1)

где t- вспомогательная переменная - параметр. Первая производная функции  y по переменной x находится по формуле:

.

Найдем вторую производную от этой функции. Имеем

.

  1.  Дифференциалы высших порядков.

Пусть - дифференцируемая функция, аргумент x - независимая переменная. Тогда его первый дифференциал   есть функция от x и можно найти дифференциал этой функции. Этот дифференциал называется дифференциалом  второго порядка и обозначается символом  или . По определению

.

Так  не зависит от х, то считаем его при дифференцировании постоянным. Найдем формулу для дифференциала второго порядка:

.

Если функция  дифференцируема на некотором множестве, то дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от дифференциала второго порядка. Аналогично, указанному выше, находим

.

.

Дифференциалом   n - го порядка называется дифференциал от дифференциала (n -1) - го порядка:

.

Дифференциалы второго порядка и выше называются дифференциалами высших порядков.

Все указанные выше формулы справедливы только в том случае, когда х независимая переменная. Если х - зависимая переменная, то формулы не имеют места. Дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности и вычисляются по другим формулам.

Пример 1. Найти , если .

Если бы было справедливо свойство инвариантности второго дифференциала, то мы бы получили

.

Это показывает, что дифференциалы второго порядка не обладают свойством инвариантности.

Раскрытие неопределенностей. Правила Лопиталя.

  1.  Первое правило Лопиталя.

Теорема 6.1 (первое правило Лопиталя – раскрытие неопределенностей вида ). Пусть

  1.  функции  f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой выколотой 1 - окрестности точки а ;
  2.  
  3.   g ' (x) 0 при всех x из некоторой выколотой 2 - окрестности точки а;
  4.  существует конечный или бесконечный предел отношения  при x  a, т.е. существует предел . 

Тогда существует предел отношения  при xa и имеет место равенство.

Доказательство. Докажем теорему, используя определение предела по Гейне. Пусть {xn}- произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к  a. Так как все члены последовательности {xn} начиная с некоторого места принадлежат  -окрестности точки a, где = min{1, 2}, то будем предполагать, что все члены последовательности {xn} принадлежат этой -окрестности. Доопределим f(x) и g (x)  в точке x = a, полагая f(a) = 0 и g  (a) = 0. Тогда функции f(x) и g (x) будут непрерывны в точке x = a, по условия функции f(x) и g(x) дифференцируема на интервале In с концами xn и a . Тогда по теореме Коши найдется такая точка n In , что выполняется равенство

                                                           (1).

Пусть в формуле (1) n  . Так как xn   а и n находится между числами а и xn, то n   а. Так как предел   существует и равен l, то предел . Следовательно, . Так как это справедливо для любой последовательности {xn}, сходящейся к  a, то по определению предела по Гейне получаем.

Замечание 1. Первое правило Лопиталя справедливо и для правого и для левого пределов функции как в конечной так и в бесконечной точках.

 Замечание 2. Первое правило Лопиталя можно применять несколько раз при условии, что последний предел существует, и при каждом переходе выполняются условия теоремы 1.

Пример.

.

  1.  Второе правило Лопиталя.

Теорема 6.1 (второе правило Лопиталя - раскрытие неопределенностей вида ). Пусть

  1.  функции  f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой выколотой 1 - окрестности точки а ;
  2.  
  3.   g ' (x) 0 при всех x из некоторой выколотой 2 - окрестности точки а;
  4.  существует конечный или бесконечный предел отношения  при xa, т.е. существует предел . 

Тогда существует предел отношения  при xa и имеет место равенство.

 

Замечание 1. Второе правило Лопиталя справедливо и для правого и для левого пределов функции как в конечной так и в бесконечных точках.

Замечание 2. Второе правило Лопиталя можно применять несколько раз при условии, что последний предел существует и при каждом переходе выполняются условия теоремы 1.

Пример. .

  1.  Применение правил Лопиталя при раскрытии неопределенностей.

Правило Лопиталя применяется при раскрытии неопределенностей, указанных в предыдущих параграфах видов , и неопределенностей видов 0,   - , 1  , 0 , 00, которые сводятся к указанным двум неопределенностям.

Пример 1. .

Пример 1. .

Неопределенности 1  , 0 , 00 раскрываются методом логарифмирования или использование основного логарифмического тождества и по теореме о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Например,

,

При вычислении пределов в показателе можно применять правила Лопиталя.

Пример 3.

 справедливо и для правого и для левого пределов функции.

Пример 2.  .

Пример 2. . Обозначим  и применим способ логарифмирования.

.

.

Отсюда

Формула Тейлора.

  1.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Определение 9.1. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки a и имеет в этой точке все производные до n-го порядка включительно. Многочленом Тейлора функции f(x) порядка n степени с центром в точке a называется следующее выражение:

       (1)

Теорема 9.1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть выполняются условия:

  1.  функция f(x) определена и n-1 раз дифференцируема в некоторой окрестности точки a;
  2.  имеет в точке a производную n-го порядка f(n)(a).

Тогда 

Rn(x) = f(x)-fn(a,x) = o((x-a)n) ,                                                               (2)

где символ o((x-a)n) обозначает, что Rn(x) есть величина бесконечно малая при x-a  0 большего порядка чем (x-a)n.

Доказательство. Применим правило Лопиталя n-1 раз при x-a  0 к отношению

.

Получим

(в последнем переходе мы использовали определение производной функции и существование  производной n-го порядка в точке a). Отсюда по определению (x) есть бесконечно малая функция при xa. Тогда по определению символа o–малое имеем  Rn(x) = o((x-a)n).  

Равенство (1) удобно записать в виде:

  (3)

и его обычно называют формулой Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано.

Кроме этого равенство (2) утверждает, что   f(x)  fn(a,x) при xa.

Разность Rn(x) = f(x)-fn(a,x)  называют остаточным членом в формуле Тейлора. При a=0 формула (3) имеет вид

                 (4)

и называется формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.

Замечание 1. Разложение по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке a единственно.

  1.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Теорема 10.1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Пусть функция f(x) n+1 раз дифференцируема на интервале (x1, x2)  и пусть x, a - любые две точки из этого интервала. Тогда существует такая точка с, лежащая между точками x и a, что выполняется равенство:

.                                       (1)

Формула (1) следует из следующей теоремы.

Теорема 10.2 (формула Тейлора с остаточным членом в общем виде). Пусть функция f(x) n+1 раз дифференцируема на интервале (x1, x2)  и пусть x, a - любые две точки из этого интервала. Тогда для любого положительного числа  существует такая точка с лежащая между точками x и a, что выполняется равенство:

.                         (1)

Поскольку c лежит между точками a и x, то найдется такое число , что 0<<1, c-a=(x-a). При этом    c=a+(x-a) (это верно при любом расположении чисел a и x). Таким образом, формулу (3) можно переписать в виде:

                      (2)

Формула Тейлора с общим членом может быть записана в виде:

.    (3)

 Остаточный член в форме Лагранжа получается из формулы (2) при =n+1, когда имеем

.,  (0<<1).                                  (4)

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.        (5)

Остаточный член в форме Коши получается из формулы (2) при =1, когда имеем

.,  (0<<1).                                  (6)

При a=0 формула (5) принимает вид

.                               (7)

и называется формулой Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

Замечание 1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа более точная, чем формула Тейлора с остаточным членом Пеано, так как она оценивает остаточный член более точно. Но для применимости формулы Тейлора с остаточным членом в Форме Лагранжа требуется выполнимость более жестких условий: формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа требует существования на интервале производных на два порядка выше, чем в формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Замечание 2. Разложение по формуле Тейлора с остаточным членом с центром в точке a единственно.

  1.  Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

Применим формулу Маклорена к разложению некоторых элементарных функций.

1. Показательная функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

                                    (1)

Поскольку для любого фиксированного n остаток стремится к нулю при n,

.

2. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.                      (2)

3. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.                  (3)

3. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.                             (4)

Заметим, что Rn(x) 0 при n, если x<1.

4. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.            (5)

Заметим, что Rn(x) 0 при n, если x<1.

5. Функция . Имеем при x<1

Тогда в силу единственности разложения по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано получаем f(2n+1)(0) = (-1)n (2n-1)!,  f(2n+1)(0) = 0.  Тогда применяя для данной функции  формулу Тейлора,  получим:

                            (6)

Формулы Тейлора играет важную роль в математическом анализе. Заметим, что по формуле Тейлора можно приблизительно вычислить значение функции f(x) в точке x = a + x. В этом случае по Формуле Тейлора получаем

.

Отсюда получаем

где абсолютная погрешность вычисления можно найти, оценив остаточный член

.

Пример 1. Вычислить число e c точностью до 5 десятичных знаков. По формуле (1) имеем

. Остаточный член этой формулы не более чем 3/(n+1)!. Будем вычислять члены этой суммы до тех пор пока, последний из вычисленных членов будет не больше 10--6 ( вычисления ведем с одним запасным десятичным знаком.

3. Вычислить число  c точностью до  4 десятичных знаков. Имеем . По формуле  (5) получаем

.

Остаточный член этой формулы не более чем 3/(n+1)!. Будем вычислять члены этой суммы до тех пор пока, последний из вычисленных членов будет не больше 10-5 ( вычисления ведем с одним запасным десятичным знаком.

  1.  Вычислить число  c точностью до  4 десятичных знаков. Имеем

.

По формуле  (6) получаем: 

Остаточный член этой формулы не более чем 4/3n(2n+1)! . Будем вычислять члены этой суммы до тех пор пока, последний из вычисленных членов будет не больше 10-5 ( вычисления ведем с одним запасным десятичным знаком.

.

  1.  Возрастание и убывание функции на промежутке.

Определение 12.1. Функция f называется строго возрастающей на множестве M, если для любых x1, x2  M, если x1 <x2,, то f(x1)< f(x2), т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции. 

Определение 12.2. Функция f называется не строго возрастающей на множестве M, если для любых x1, x2  M, если x1 <x2,, то f(x1) f(x2).

Определение 12.3. Функция f называется строго убывающей на множестве M, если для любых x1, x2  M, если x1 <x2,, то f(x1)> f(x2), т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. 

Определение 12.4. Функция f называется не строго убывающей на множестве M, если для любых x1, x2  M, если x1 <x2,, то f(x1) f(x2), т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. 

Функция y = f(x), график которой изображен на рисунке 2, возрастает на промежутках (-, x1], [x2, x4] и убывает на промежутках [x1, x2], [x4, ).

Теорема 12.1 (необходимое и достаточное условие возрастания или убывания функции на интервале). 1) Пусть  функция f дифференцируема на интервале (a, b). Тогда справедливы утверждения:

1) Функция f  не убывает (не строго возрастает) на интервале (a, b) тогда и только тогда, когда для любого x  (a, b)   f ' (x)   0;

2) Функция f  не возрастает (не строго убывает) на интервале (a, b)  тогда и только тогда, когда для любого x  (a, b)   f ' (x)   0;

3)  Функция f  строго возрастает на (a, b)  тогда и только тогда, когда для любого x  (a, b)   f ' (x) 0, и нет подинтервалов из   (a, b), на которых производная f ' (x) тождественно равна нулю;

  1.  Функция f  строго убывает на (a, b)  тогда и только тогда, когда для любого x  (a, b)   f ' (x) 0, и нет подинтервалов из (a, b), на которых производная f ' (x) тождественно равна нулю.

Замечание 1. Утверждение теоремы справедливо также для любого промежутка, если концы промежутка принадлежат ему, то дополнительно нужно требовать непрерывность функции f в таких точках.

Доказательство. 1) Пусть функция f не убывает на (a, b). Тогда в любых двух точках x0, x  (a, b) знаки  f(x)- f(x0), x - x0,совпадают и отношение . Тогда по теореме о переходе к пределу под знаком неравенства .Поэтому в каждой точке x  (a, b) имеем f ' (x)   0.

Обратно, пусть для любого x  (a, b)   f ' (x)   0. Возьмем любые две точки  x1, x2  (a, b), и x1 <x2,. По теореме Лагранжа найдется такая точка c  (a, b), что выполняется равенство

f  (x2) - f  (x1) = f ' (c)( x2 - x1)                                                                 (1)

Так как f ' (c) 0 ,  x2 > x1 , то f  (x2) - f  (x1) = f ' (c)( x2 - x1) 0 и f  (x2)  f  (x1). Следовательно, функция f не убывает на (a, b). Первая часть теоремы доказана.

2) Пусть функция f  строго возрастает на (a, b). Тогда по выше доказанному для любого             x  (a, b)   f ' (x)   0. В каждой точке x  (a, b) функция f не возрастает и тогда по лемме Дарбу        f ' (x)   0. Покажем, что нет ни одного интервала (,)(a, b), для которого   f ' (x)   0. Допустим противное, что найдется такой интервал (,)(a, b), что для любого x  (,) выполняется равенство f ' (x)=0. Тогда по следствию теоремы Лагранжа функция f постоянна на интервале  (,), что противоречит тому, что функция f  строго возрастает на  (a, b) (в том числе и на (,)).

Обратно, пусть для любого x  (a, b)   f ' (x)   0 и нет ни одного интервала (,)(a, b), для которого   f ' (x)   0. По доказанному выше функция f не убывает на (a, b). Докажем, что f строго возрастает на (a, b). Возьмем любые две точки  x1, x2  (a, b), и x1 < x2,. По сказанному выше             f  (x2)  f  (x1). Докажем, что f  (x2) > f  (x1). Допустим противное, что f  (x2) = f  (x1). Так как функция f не убывает на (x1, x2), то отсюда следует, что постоянная на (x1, x2). Тогда по следствию теоремы  Лагранжа f ' (x)   0 на (x1, x2). Получаем противоречие условию. Вторая часть теоремы доказана.

Подобным образом доказываются две остальные части.

Определение 12.5. Точка x0 , в которой функция f определена, а производная равна нулю, f ' (x0) = 0, называется стационарной точкой функции f.

Определение 12.6. Точка x0 , в которой функция f определена, а производная равна нулю или не существует называется критической точкой функции f.

Алгоритм исследования функцию f на монотонность:

  1.  найти область определения функции f;
  2.  вычислить производную функции f;
  3.  найти все критические точки функции f;
  4.  найти знаки производной в каждом из промежутков области определения, где нет критических точек.

Тогда по теореме 1 на тех промежутках, где производная больше нуля функция f будет строго возрастать, где производная меньше нуля функция f  будет строго убывать.

Пример 1. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Область определения функции D(y) = (-,0)(0,). Вычисляем производную функции:

.

Приравнивая производную к нулю, находим критическую точку функции x1 = -2 и отмечаем область определения и критическую точку на числовой оси. Определяем знак производной на каждом из полученных интервалов области определения:

Получаем, что на промежутках  (-,-2),  (0,) функция возрастает, а на промежутке (-2, 0) – убывает.

  1.  Точки экстремума функции. Необходимые и достаточные условия точек экстремума.

Определение 13.1. Точка x0 называется точкой локального максимума функция f , если для любого x из некоторой выколотой - окрестности точки x0, выполняется неравенство f(x)< f(x0).

Определение 13.2. Точка x0 называется точкой локального минимума функция f , если для любого x из некоторой выколотой - окрестности точки x0, выполняется неравенство f(x)> f(x0).

Определение 13.3. Точка x0 называется точкой локального экстремума функция f , если она имеет в этой точке локальный максимум или минимум.

На рис.1 точки x1 , x4 являются точками локального максимума, точка x2 - точкой локального минимума функции f.

Нами была доказана теорема Ферма, содержащая необходимое условие точки экстремума функции.

Теорема 13.1 (теорема Ферма - необходимое условие экстремума функции). Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке [a, b], x0 -  внутренняя точка отрезка [a, b]. Если точка x0 является точкой экстремума функции f (собственного или несобственного) и функция f в точке x0 имеет производную, то f ' (x0) = 0. 

Замечания 1. Геометрически равенство f ' (x0) = 0 обозначает, что в точке экстремума x =x0 дифференцируемой функции f касательная параллельна оси Ox.

2. Условие f ' (x0) = 0 не является достаточным, для того, чтобы точка x =x0 являлась точкой экстремума функции f . Например, для функции y = x 3 в точке x = 0 производная  y' = 3x 2 обращается в ноль, а точка x = 0 не является точкой экстремума этой функции.

3. Существуют функции, например, , для которых в точке экстремума производная не существует.

Следствие. Непрерывная функция может иметь экстремумы только в критических точках.

Теорема 13.2 (первое достаточное условие экстремума функции). Пусть функция f непрерывна в некоторой окрестности критической точки x0 и дифференцируема в выколотой окрестности точки x0. Тогда:

  1.  если f ' (x) > 0 слева от точки x0 и f ' (x) < 0 справа от точки x0, то точка x0 - точка строгого локального максимума функции f;
  2.   если f ' (x) < 0 слева от точки x0 и f ' (x) > 0 справа от точки x0, то точка x0 - точка строгого локального минимума функции f;
  3.  если производная f ' (x)  слева и справа от точки x0 имеет один и тот же знак, то точка x0  не является точкой экстремума функции f  ни в широком,  ни в узком смысле.

Замечания 1. Теорему 2 можно сформулировать следующим образом: если при переходе через критическую точку x0 функции f слева на право производная f ‘ меняет свой знак с “+” на      “-“, то точка x0 - точка локального максимума функции f; если она меняет свой знак с “-“ на “+”, то точка x0 - точка локального минимума функции f; если сохраняет знак, то локального экстремума в точке x0 нет.

Доказательство. 1) По теореме Лагранжа для любой точки x  U*(x2, ) найдется такая точка c, лежащая между точками x  и x0,что выполняется равенство:

f (x)= f  (x0) + f ' (c)( x - x0) .                                                                (1)

Если x < x0, то x - x0 <0, c < x0 и по условию f ' (c) > 0. Отсюда f ' (c)( x - x0) < 0. Если x > x0, то    x - x0 > 0 и c > x0 по условию f ' (c) < 0 и f ' (c)( x - x0) < 0. Поэтому всегда f ' (c)( x - x0) < 0 и из формулы (1) следует, что f  (x) <  f  (x0). По определению точка x0 - точка максимума.

Если x < x0, то x - x0 <0, c < x0 и по условию f ' (c) < 0. Отсюда f ' (c)( x - x0) > 0. Если x > x0, то x - x0 > 0 и c > x0 по условию f ' (c) > 0 и f ' (c)( x - x0) > 0. Поэтому всегда f ' (c)( x - x0) > 0 и из формулы (1) следует, что f  (x) > f  (x0). По определению точка x0 - точка минимума.

Если f ' (x0)>0 слева и справа от точки x0. Отсюда имеем f  (x1) < f  (x0) < f  (x2) при x1 < x0 < x2, что и требовалось доказать. Случай f ' (x0)<0 рассматривается аналогично.  

Теорема 13.3 (второе достаточное условие экстремума функции). Пусть функция f дважды дифференцируема в точке x0. и x0 - стационарная точка функции f , т.е. f ' (x0) = 0 . Тогда:

  1.  если f '' (x0) < 0 , то точка x0 - точка строгого локального максимума функции f;
  2.  если f '' (x0) > 0 , то точка x0 - точка строгого локального минимума функции f.

Доказательство. 1) Пусть f '' (x0) < 0. Тогда  точка x0 - точка убывания функции f ' (x). Поскольку f ' (x0) = 0, то слева от точки x0 имеем f ' (x) > 0, а справа от точки f ' (x) < 0. Таким образом, при переходе через стационарную точку x0 производная функции f меняет свой знак с “+” на “-“ , и точка x0 - точка локального максимума функции f.

2) Пусть f '' (x0) > 0. Тогда  точка x0 - точка возрастания функции f ' (x). Поскольку f ' (x0) = 0, то слева от точки x0 имеем f ' (x) < 0, а справа от точки f ' (x) > 0. Таким образом, при переходе через стационарную точку x0 производная функции f меняет свой знак с “-“ на “+” , и точка x0 - точка локального минимума функции f.

Алгоритм нахождения локальных экстремумов функцию f ;

  1.  найти область определения функции f;
  2.  вычислить производную функции f;
  3.  найти все критические точки функции f;
  4.  найти знаки производной во каждом из промежутках области определения, где нет критических точек.

Далее можно воспользоваться теоремой 2; если при переходе через критическую точку x0 производная функции f меняет свой знак с “+“ на “-” , то точка x0 - точка локального максимума функции f; если меняет свой знак с “-” на “+“, то точка x0 - точка локального минимума функции f; если сохраняет знак, то локального экстремума в точке x0 нет.

Пример 1. Найти точки экстремума функции .

В силу примера 1 из предыдущего параграфа, точка x = -2 является критической точкой данной функции. При переходе через эту точку производная меняет знак с “+“ на “-“.  Точка  x = -2 является точкой максимума данной функции,  ymax = -3.

  1.  Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

По свойству непрерывных функций, если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения. При этом это значение будут достигаться либо в концевых точках отрезка [a, b] либо во внутренних точках отрезка [a, b]. Если наибольшее или наименьшее значение функции f достигается во внутренней точке отрезка [a, b], то такая точка по определению будет являться экстремальной точкой функции f. Следовательно, по теореме 1 является критической точкой функции f. Таким образом, наибольшее и наименьшее значение функция f принимает либо в концевых точках отрезка [a, b] либо в критических точках функции f, принадлежащих интервалу (a, b).

Отсюда вытекает алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f на отрезке [a, b], непрерывной  на нем;  

  1.  вычислить производную функции f;
  2.  найти все критические точки x1, x2,…, xm функции f; принадлежащие интервалу (a, b);
  3.  найти значения функции f на концах отрезка [a, b] и в найденных выше критических точках.

Тогда.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [0,5].

Область определения функции D(y) = R. Вычисляем производную функции:

.

Приравнивая производную к нулю, находим критические точки функции x1 = 1, x1 = 3. Вычисляем значения данной функции в критических точках и на концах интервала:

y(1) = -1,  y(3) = -5, y(0) = -5, y(5) = 15. Отсюда max y = 15, min y = -5.

 

  1.  Выпуклость графика функции.

Определение 15.1. Функция f называется выпуклой вниз на интервале (a, b) или просто выпуклой, если график функции лежит над касательной, проведенной к графику функции f в любой точке данного интервала.

Определение 15.2. Функция f называется выпуклой вверх на интервале (a, b) или просто вогнутой, если график функции лежит под касательной, проведенной к графику функции f в любой точке данного интервала.

Определение 15.3. Точки x0  области определения функции f называется точками перегиба для функции f, если  в этих точках график функции f меняет свою выпуклость на противоположную.

Функция y = f(x), изображенная на рисунке 3 выпукла вверх (вогнута) на интервалах (х1, х2), (х3, х4), выпукла вниз (выпукла) на интервале (х2, х3), точки х2, х3 являются точками перегиба графика функции f.

Если х0 - произвольная фиксированная точка интервала (a, b) и

,

то уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке  (х0 , f0)) задается формулой y = f1(x). Тогда по определению получаем:

если функция f(х) выпукла вниз на интервале (a, b), то для любого x  (a, b) имеем f(х)  f1(x) ;

если функция f(х) выпукла  вверх на интервале (a, b), то для любого x  (a, b)имеем f(х)  f1(x).

Теорема 15.1 (второе достаточное условие выпуклости функции). Пусть функция f дважды дифференцируема на интервале (a, b). Тогда:

  1.  если f '' (x) 0 на (a, b), то функция f выпукла вниз на интервале (a, b);
  2.  если f '' (x) 0 на (a, b), то функция f выпукла вверх на интервале (a, b).

Доказательство. 1) Пусть f '' (x) 0 на (a, b). По формуле Тейлора имеем

,

где с находится между точками a и b. Так как f''(c) 0, то получаем, что  для любого x  (a, b). Тогда функция f(х) выпукла вниз на интервале (a, b).

2) Пусть f '' (x) 0 на (a, b). По формуле Тейлора имеем

,

где с находится между точками a и b. Так как f''(c) 0, то получаем, что  для любого x  (a, b). Тогда функция f(х) выпукла вверх на интервале (a, b).

Теорема 15.2. Если f '' (x0) < 0 и f '' (x) непрерывна в точке x0, то существует -окрестность точки x0,, в которой функция выпукла вверх.

Если f '' (x0) > 0 и f '' (x) непрерывна в точке x0, то существует -окрестность точки x0,, в которой функция выпукла вниз.

Доказательство. 1) Поскольку функция f '' (x) непрерывна в точке x0, и f '' (x0) < 0, по свойству непрерывных функций найдется такая -окрестность точки x0, что в ней выполняется неравенство f '' (x) < 0. Тогда по теореме 1 функция выпукла вверх в этой -окрестность точки x0 .

Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.

Пример 1. Найти интервалы выпуклости функции .

Область определения функции D(y) = R. Вычисляем первую и вторую производные функции:

.

Приравнивая вторую производную к нулю, находим критическую точку производной функции    x1 = 2. Отмечаем область определения и критическую точку на числовой оси. Определяем знак второй производной на каждом из полученных интервалов области определения: Получаем, что на промежутке  (-,2) функция выпукла вверх ,  на промежутке (0,) – выпукла вниз.

  1.  Точки перегиба.

Определение 16.1. Точка x0  области определения функции f называется точкой перегиба графика функции ( или просто функции) f, если  в этой точке график функции f меняет свою выпуклость на противоположную, т. е. существует такая проколотая окрестность точки x0, что в левой и правой полуокрестностях точки x0 функция f имеет разную выпуклость.

Лемма 16.1. Пусть функция f имеет производную в  - окрестности точки x0, причем эта производная непрерывна в точке x0. Тогда,

1) если на интервале (x0,x0 + ) функция f выпукла вверх (вниз), то всюду в пределах интервала (x0,x0+ ) график функции лежит не ниже (не выше) касательной к графику, проведенной в точке          M(x0, f  (x0)).

2) если на интервале (x0 - , x0)  функция f выпукла вверх (вниз), то всюду в пределах интервала (x0 -  , x0)  график функции лежит не выше (не ниже) касательной к графику, проведенной в точке M(x0, f  (x0)).

Доказательство. 1) Рассмотрим последовательность точек {xn} интервала (x0, x0 + ), сходящихся к точке x0. Через каждую точку Mn(xn, f (xn)) графика функции f проведем касательную к этому графику, т.е. прямую

Так как по условию функция f на интервале (x0, x0 + ) выпукла вниз (вверх), то для любого номера n и любой фиксированной точки x(x0, x0 + ) выполняется неравенство

.                                     (1)

Из условия непрерывности функции f ' (x) и тем более непрерывности функции f (x) вытекает существование предела

Из существования этого предела в силу неравенства (1) получаем

.

Так как

есть уравнение касательной, проходящей через точку M(x0, f  (x0)), то последнее неравенство перепишется в виде

.

Это обозначает, что график функции лежит не ниже (не выше) касательной, проведенной через точку M(x0, f  (x0)).

Аналогично доказывается вторая часть утверждения леммы.

Лемма 16.2. Пусть функция f имеет производную в некоторой окрестности точки x0, и эта производная непрерывна в точке x0. Тогда, если x0  точка перегиба графика функция f, то существует такая  - окрестность точки x0, что график функции f слева и справа от точки x0 лежит по разные стороны от  касательной, проведенной к графику функции f  через точку    M(x0, f  (x0)).   

Доказательство. Выберем такую  - окрестность точки x0, что в левой и правой полуокрестностях точки x0 функция f имеет разную выпуклость, т.е. на интервалах (x0 -  , x0) и (x0, x0 + )  функция f  имеет разное направление выпуклости. Пусть для определенности в левой половине   - окрестности, т.е. на интервале (x0 -  , x0)  функция f выпукла вверх, а в правой половине окрестности, т.е. на интервале (x0, x0 + ) функция f выпукла вниз (см. на рис. 3 точку x2). Тогда по лемме 2 на интервале (x0 -  , x0)  график функция f находится ниже касательной, на интервале (x0, x0 + ) график функция f находится выше касательной.

Аналогично рассматривается случай, когда на интервале (x0 -  , x0)  функция f выпукла вниз, а на интервале (x0, x0 + ) функция f выпукла вверх (см. на рис. 3 точку x3).

Теорема 16.1 (необходимое условие точки перегиба графика функции). Если в точке  x0  функция f имеет вторую производную  f '' (x0) и точка x0 является точкой перегиба графика функции f , то   f '' (x0)=0.

Доказательство. Пусть

уравнение касательной к графику функции f, проходящей через точку M(x0, f  (x0)). Рассмотрим функцию

.

Эта функция r  имеет в точке x0  вторую производную и поэтому имеет первую производную в некоторой  - окрестности точки x0. При этом первая производная непрерывна в  - окрестности точки x0,. Тогда по лемме 2 график функции f слева и справа от точки x0 лежит по разные стороны от  касательной, проведенной к графику функции f  в точке M(x0, f (x0)). Следовательно, функция r в малой окрестности точки x0 имеет слева и справа от точки x0 разные знаки. Тогда точка x0 не является точкой локального экстремума функции r.

Докажем, что f '' (x0) = 0. Предположим противное, что f '' (x0) 0. Так как

то выполняются условия

и функция r по второму достаточному условию имеет в точке x0 локальный экстремум. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и получаем f '' (x0)=0.   

Теорема 16.2 (первое достаточное условие точки перегиба графика функции). Пусть функция f дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 и  f '' (x0) = 0 . Тогда, если в пределах этой окрестности вторая производная f '' (x) имеет разные знаки слева и справа от точки x0,, то точка x0 является точкой перегиба графика функции f.

Доказательство.  Так как в точке x0 функция f имеет вторую производную, то она имеет в точке x0 и первую производную, и поэтому существует касательная к графику функции f  в точке x0. Так как вторая производная f ''(x) имеет слева и справа от точки x0 разные знаки, то  по теореме предыдущей лекции слева и справа от точки x0 направления выпуклости функции f различные. Тогда x0 - точка перегиба графика функции f.

Замечание. Условие равенства f '' (x0) = 0 значения второй производной функции f в точке x0 нулю не является достаточным для того, чтобы точка стала точкой перегиба графика функции f. Например, для функции f (x) = x4  имеем

f '' (x) = 12x2 , f '' (0) = 0, но точка x = 0 не является точкой перегиба функции f (x) = x4.  

Алгоритм нахождения  точек перегиба графика  функцию f;

  1.  найти область определения функции f;
  2.  вычислить первую и вторую производные функции  f;
  3.  найти все критические точки первой производной f ' , т.е. такие точки, в которых вторая производная или не существует или обращается в ноль.
  4.  найти знаки второй производной на каждом из промежутков области определения, где нет критических точек.

Далее можно воспользоваться теоремой 2; если при переходе через критическую точку x0 производной вторая производная функции f меняет свой знак, то точка  x0 - точка перегиба графика функции f.

Пример 1. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции .

Область определения функции вся числовая ось. Вычислим первую и вторую производные функции:

.

Находим критические точки x1 = 0, x2 = 2,  Вычисляем знаки второй производной на каждом из промежутков области определения, где нет критических точек.

Точки перегиба графика функции

Функция выпукла вверх на интервалах:  Функция выпукла вниз на интервалах:

  1.  Асимптоты функции.

Определение 17.1. Прямая x = a на плоскости Oxy называется вертикальной асимптотой графика функции f, если хотя бы один из пределов

равен .

Пример. Для функции  прямая линия x = 0 является вертикальной асимптотой.

Определение 17.2. Прямая y  = kx + b на плоскости Oxy называется наклонной  асимптотой графика функции f при x+ (или просто функции), если

.

Прямая y  = kx + b на плоскости Oxy называется наклонной  асимптотой графика функции f при x - (или просто функции), если

.

Пример 1. График функции, изображенный на рис.4 имеет две вертикальные и две наклонные асимптоты.

Теорема 17.1. Прямая y  = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f при x- тогда и только тогда, когда существуют два предела:

  1.  ,
  2.  .

Замечание 1. Аналогичное утверждение имеет место и для наклонных асимптот при x -.

Доказательство. Необходимость. Пусть прямая y  = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f при x+. Тогда по определению 2 . Отсюда - бесконечно малая величина при x+. Тогда

Достаточность. Пусть существуют пределы 1) и 2) в условии теоремы. Докажем, что прямая y  = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f при x+. Из второго условия теоремы следует, что

.

Тогда по определению 2 прямая y  = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f при x+.

Замечание 2. Наклонные асимптоты, параллельные оси Ox (k = 0), называются также горизонтальными асимптотами. Они имеют уравнение y = b, где .

Алгоритм нахождения  асимптот графика функции  f :

  1.  найти точки все конечные граничные точки области определения функции f;
  2.  вычислить правый и левый пределы функции   f в каждой конечные граничной точке a области определения функции f, если хотя бы один из пределов равен  , то прямая x = a вертикальная асимптота функции f.;
  3.  найти пределы 1) и 2) в теореме 1 при x + (x -);
  4.  если хотя бы один из пределов 1), 2) при x + не существует или бесконечен, то наклонной асимптоты при x + нет, если оба предела существуют и конечны, то прямая y  = kx + b наклонная асимптота при x + ;
  5.  если хотя бы один из пределов 1), 2) при x - не существует или бесконечен, то наклонной асимптоты при x - нет, если оба предела существуют и конечны, то прямая y  = kx + b наклонная асимптота при x - ;

Пример 2. Найти асимптоты графика функции .

Область определения функции D(y) = (-,0)(0,+). Вычисляем пределы в граничных точках области определения функции:

Следовательно, функция имеет вертикальную асимптоту x = 0 при x0-0 и при x0+0, горизонтальных асимптот нет. Для определения наклонных асимптот вычислим пределы:

Наклонная асимптота y = x при x- и при x+.

  1.  Общая схема исследования и построения графика функции.

Для исследования и построения графика функции f (x) можно пользоваться следующей схемой:

  1.  Найти область определения функции f .
  2.  Установить четность, нечетность, периодичность функции и найти точки пересечения графика функции с координатными осями.
  3.  Найти интервалы непрерывности функции f. Установить поведение функции в граничных точках области определения и точках разрыва. Найти вертикальные асимптоты.
  4.  Найти наклонные асимптоты функции.
  5.  Определить участки монотонности  функции и локальные экстремумы функции.
  6.  Найти промежутки выпуклости функции и точки перегиба графика функции.
  7.  Изобразить асимптоты функции, точки пересечения с осями координат, точки экстремума и точки перегиба функции и по проведенным исследованиям построить эскиз графика функции.

Замечание 1. Перед построение графика функции удобно все проведенные исследования отразить на числовой оси или в таблице.

Пример 1. Провести полное исследование и построить эскиз графика функции .

  1.  D(y) = R.
  2.  Функция не является четной и нечетной. Точки пересечения с осью Ox:

y = 0,

Точки пересечения с осью Oy: x = 0, y = 0.

  1.   Функция элементарная и поэтому непрерывна на всей числовой оси. Найдем ее пределы в граничных точках области определения:

.

Вертикальных и горизонтальных асимптот нет.

  1.  Наклонные асимптоты. Вычислим пределы:

Наклонная асимптота y= x-2 при x- и при x+.

  1.  Найдем интервалы монотонности и точки экстремума функции. Вычислим производную:

Критические точки функции x1=0, x2=4,  x3=6. Таким образом, функция возрастает на интервалах:

(-, 0), (4, +), убывает на интервале (0, 4). Точка  x1=0 точка максимума функции ymax=0. Точка  x1=4 точка минимума функции ymin=-2.

 

  1.  Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции. Вычислим вторую  производную:

Критические точки x1=0, x3=6. Таким образом, функция выпукла вниз  на интервалах:

(-, 0), (0, 6), выпукла вверх на интервале (6, +). Точки  x1=0, x3=6 – точки перегиба графика функции y(0) = 0, y(6) =0.

 

  1.  Сведем все полученные сведения о графике функции в таблицу  и построим эскиз графика функции:

x

-

(-,0)

0

(0,4)

4

(4,6)

6

(6,+ )

+

y

Асимптота

y=x-2

0

-2

0

Асимптота

y=x-2

Монотонность

Возрастает

max

Убывает

min

Возрастает

Выпуклость

Выпукла вниз

Точка перегиба

Выпукла вниз

Точка перегиба

Выпукла вверх

Пример 2. Провести полное исследование и построить эскиз графика функции .

1) Область определения функции D(y) = (-,0)(0,+).

2) Функция не является четной и нечетной. Точка пересечения осью Ox: y=0, . С осью Oy не пересекается.

3) Функция непрерывна на промежутках (-,0), (0,+). Вертикальная асимптота x = 0 при x0-0 и при x0+0.

4) Наклонная асимптота y = x при x- и при x+  (см. пример 1 из § 2).

5) Получаем, что на промежутках  (-,-2),  (0,) функция возрастает, а на промежутке (-2, 0) – убывает (см. пример 1 из § 1 лекции 14). Точка  x = -2 является точкой максимума данной функции,  ymax = -3 (см. пример 1 из § 2 лекции 14).

6) Найдем промежутки выпуклости функции и точки перегиба. Вычислим производные:

Отсюда получаем, что функция выпукла вверх на интервалах (-,0), (0,+).

  1.  7. Сведем все полученные сведения о графике функции в таблицу  и построим эскиз графика функции:

x

-

(-, -2)

-2

(-2, 0)

0

(0, +)

+

y

Асимптота  y = x

-3

Асимптота

x = 0

-

Асимптота  y = x

Монотонность

Возрастает

max

Убывает

Возрастает

Выпуклость

Выпукла вверх

Выпукла вниз

PAGE  1

Производные высших порядков. Формулы Тейлора. Применение производной.


f ‘’
(x)

f(x)

+

-

+

x4

l2

y

l2

Рис. 4

2

+

f ’’(x)

f(x)

+

-

-

x4

x3

0

y=f(x)

x3

x1

x4

x

y

x2

Рис. 4

f’’(x)

f(x)

-

+

x

2

y=f(x)

x3

x1

x4

x

y

x2

Рис. 3

f’(x)

f(x)

+

-

+

x

-2

0

y=f(x)

x3

x4

x5

x

y

O

x1

x2

Рис. 2

df

C

B

A

P

f(x0+x)

x

y

A-

0

6

+

f ’(x)

f(x)

+

-

+

x4

0

4

y=f(x)

x0+x

f(x0)

y=f(x)

x0

O

x

y

l1

l3

Рис.1.

-

6

x

1

O

y

6

4

1

-4

-2

-4

4

EMBED Equation.3  

y=x - 2

Рис. 5

y=x

EMBED Equation.3  

x

1

O

y

6

4

1

-4

-2

-4

4

Рис. 6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2871. Стационарные задачи квантовой механики 10.61 MB
  Стационарные задачи квантовой механики Итак – уравнение Шрёдингера для стационарных состояний, а волновая функция частицы, находящейся в стационарном квантовом состоянии, имеет вид , где. Плотность вероятности для частицы при это...
2872. САПР управляющих программ 2.55 MB
  Основным направлением развития технологических процессов в металлообработке в настоящее время является повышение производительности и гибкости. Это объясняется тем, что значительно растет номенклатура деталей в мелко- и среднесерийном производстве, ...
2873. Ядерная модель атома 5.88 MB
  Ядерная модель атома Резерфорд на основании результатов эксперимента по рассеянию частиц на атомах металлической фольги обосновал планетарную модель строения атома. Согласно этой модели, атом состоит из тяжёлого положительно заряженного ядра очень малых размеров...
2874. Квантовые системы из одинаковых частиц 9.6 MB
  Квантовые системы из одинаковых частиц Квантовые особенности поведения микрочастиц, отличающие их от свойств макроскопических объектов, проявляются не только при рассмотрении движения одной частицы, но и при анализе поведения системы микрочасти...
2875. Законы теплового излучения. Фотоэффект 9.36 MB
  При рассмотрении проблемы электромагнитного излучения твердых тел классическая физика столкнулась с непреодолимыми трудностями. Данные теоретических расчетов существенно не совпадали с экспериментальными данными в области коротковолнового диапазона ...
2876. Резание материалов 2.33 MB
  Изучение геометрии токарного резца Цель работы. Изучение типов токарных резцов, их основных элементов и геометрических параметров. Приобретение навыков измерения геометрических параметров резцов и ознакомление с измерительными приборами...
2877. Заслон в горно-лесистой местности 985 KB
  На протяжении всех лет существования Внутренние Войска были, есть и будут одним из основных гарантов стабильности общественной безопасности. Определяя структуру и содержание моей курсовой работы, я посчитал необходимым включить в него разно...
2878. Загальна фізика 5.73 MB
  Друга частина конспекту лекцій з курсу загальної фізики для інженерно-технічних спеціальностей містить виклад розділів: Магнетизм (доц. М. Ковалець), Коливання і хвилі (доц. В. Вадець), Оптика (доц. В. Орленко), Елементи атомної фізики, квант...
2879. Волоконно-оптические сети и системы связи 4.53 MB
  Книга принадлежит перу одного из известных специалистов в области волоконно-оптической связи Олегу Константиновичу Склярову. Это его второй крупный труд об ВОЛС — важнейшей технологии современных систем передачи информации. К сожалению, последн...