22409

Первообразная и неопределенный интеграл

Лекция

Математика и математический анализ

Корни многочлена. Кратность корней многочлена. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на множители. Если a0  0 то число n называется степенью многочлена fx.

Русский

2013-08-03

454 KB

2 чел.

Лекция 8

1007Z                                   Математика                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 8.

Первообразная и неопределенный интеграл.

План

  1.  Первообразная и определение неопределенного интеграла.
  2.  Свойства неопределенного интеграла.
  3.  Табличные интегралы.
  4.  Замена переменной в неопределенном интеграле.
  5.  Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Литература: Ермаков В.И. с. 276-280. Ильин В.А., с.183-195. Шнейдер В.Е. 285-296. Кремер Н.Ш. 251-266.

 Многочлены и рациональные дроби

  1.  Многочлены. Делимость многочленов. Теорема о делении с остатком для многочленов.
  2.  Корни многочлена. Теорема Безу. Кратность корней многочлена. Критерий кратности корня.
  3.  Основная теорема алгебры и следствия из нее.
  4.  Разложение многочлена с действительными коэффициентами на множители.
  5.  Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на простейшие дроби.

Литература: Ильин В.А., с.200-217. Письменный Д. 203-208.

Интегрирования рациональных дробей

  1.  Интегрирование простейших дробей.
  2.  Интегрирование рациональных дробей.

Литература: Ильин В.А., с.217-238. Письменный Д., с. 210-220. Ермаков В.И., с.278-288. Крамер В.Ш., с.267-272.  

Методы интегрирования тригонометрических и иррациональных выражений

  1.  Интегрирование тригонометрических выражений.
  2.  Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
  3.  Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Литература: Ильин В.А., с.217-238. Письменный Д., с. 210-220. Ермаков В.И., с.278-288. Крамер В.Ш., с.267-272.  

  1.  Первообразная и определение неопределенного интеграла. 

Определение 1.1. Функция F(x) называется первообразной функцией (или просто первообразной) для  функции f(x) на интервале (a, b), если функция F(x) дифференцируема в любой точке x  (a, b) и имеет производную F ' (x), равную f(x), т.е. для любого x  (a, b) выполняется равенство

F ' (x) = f(x) или dF (x) = f(x)dx.

Операция нахождения первообразной - обратная по отношении к операции дифференцирования.

Теорема 1.1. Если F1(x) и F2(x) две первообразные функции  f(x) на интервале (a, b), то всюду на интервале (a, b) F2(x) = F1(x) + С, где С - некоторая постоянная.

Доказательство. Пусть F1(x) и F2(x) - две первообразные функции f(x) на (a, b). Рассмотрим их разность        g(x)=F2(x)- F1(x). Тогда  по свойству производной и определению первообразной получаем

g' (x)=(F2(x)- F1(x))' = F2'(x) - F1'(x) = f(x) - f(x) = 0

для любого x  (a, b). Тогда по следствию теоремы Лагранжа получаем g(x) = С - постоянная функция на . (a, b). Отсюда F2(x) = F1(x) + С.  

Следствие.  Если F1(x) -  первообразные функции  f(x) на интервале (a, b), то любая ее первообразная F2(x) имеет вид F2(x) = F1(x) + С, где С - некоторая постоянная.

Определение 1.2. Неопределенным интегралом от функции f(x) на интервале (a, b) называется совокупность всех первообразных функции f(x) на интервале (a, b), и обозначается символом

.

Тогда функция  f(x) называется  подынтегральной функций, f(x)dx - подынтегральным выражением. В силу сказанного выше = F(x) + С, С - любая постоянная, F(x) - одна из первообразных. Операция нахождения первообразной называется интегрированием.

  1.  Свойства неопределенного интеграла.
  1.   Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е.   .
  1.  Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

.

  1.  Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. .
  1.  Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме неопределенных интегралов от этих функций, т.е.

.

  1.  Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е..
  1.  Инвариантность формы интеграла: если то  где  u = (x) - любая непрерывная функция.

Доказательство. 1. По определению неопределенного интеграла = F(x) + С, где С - любая постоянная, F(x) - одна из первообразных. По определению первообразной (F(x) + С)' = F ' (x) + С' = f(x) + 0 = f(x).

2.  По формуле для дифференциала дифференцируемой функции .

  1.  Для дифференцируемой функции  Тогда F(x) - одна из первообразных функции F' (x). Тогда по определению неопределенного интеграла .
  2.  Пусть F(x) и G(x) - первообразные соответственно функций f(x) и g(x). Тогда .  По свойству производной  (F(x)  G(x) + С)' = F ' (x)  G' (x) + С' = f(x)  g (x). Тогда по определению F(x)  G(x) + С - она из первообразных функции f(x)  g (x). Следовательно,  

.

  1.  Пусть F(x) - первообразная функции f(x). Тогда .  По свойству производной  (AF(x)+С)' = AF ' (x) + С' = Af(x). Тогда по определению AF(x) + С - она из первообразных функции Af(x). Следовательно,  

.

  1.  Пусть , где F(x) - первообразная функции f(x). По определению dF'(x)= f(x)dx. Пусть u =u(x) - функция, зависящая от переменной x. По теореме об инвариантности формы первого дифференциала имеем dF'(u)= f(u)du. Отсюда по свойству 2 .  

  1.  Табличные интегралы. Метод непосредственного интегрирования.

Часть формул получаются прямо из таблицы производных, учитывая, что операция интегрирования обратная для операции дифференцирования. Для доказательства других формул достаточно показать, что производная от правой часть формулы равна подынтегральной функции. Проверьте самостоятельно формулы 12-23.

Способ вычисления неопределенного интеграла, основанный на простейших свойствах неопределенного интеграла и приводимый к одному или нескольким табличным интегралам называется методом непосредственного интегрирования. Для сведения некоторых интегралов к табличным используется прием подведения функции  под знак дифференциала, основанный на следующих формулах:

4. Замена переменной в неопределенном интеграле.

Теорема 4.1. Пусть функция t = (x) определена и дифференцируема на множестве X и пусть T множество всех значений этой функции. Пусть для функции g(t) существует на множестве T первообразная функция G(t), т.е.

= G(t) + c.

Тогда всюду на множестве X для функции g((x))'(x) существует первообразная функция, равная G((x)), т.е.

.

Доказательство. Покажем, что производная от правой часть формулы равна подынтегральной функции. По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

.

Отсюда следует утверждение теоремы.

Для вычисления неопределенного интеграламожно применять подстановку x = (t), где функция, имеющая непрерывную производную на рассматриваемом промежутке. Тогда d x = d(t) = ' (t) dt и получим формулу интегрирования подстановкой

.                                                                    (1)

Отметим, что после взятия неопределенного интеграла по переменной t необходимо перейти от новой переменной t к старой x.

Теорема 4.2. Пусть F(x) - первообразная функция f(x) . Тогда

,

где k, b - некоторые числа и k  0.

Применяя метод интегрирования подстановкой, получаем следующие формулы.

  1.  Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Теорема 5.1. Пусть каждая из функций u(x), v(x) дифференцируема на множестве X и пусть на этом множество существует первообразная функции v(x)u' (x) . Тогда на этом множестве существует первообразная функции       u(x) v' (x), причем справедлива формула

.                                                       (1)

Доказательство. По формуле дифференцирования произведения имеем

.

Тогда по определению неопределенного интеграла имеем:

.

Отсюда по свойству аддитивности неопределенного интеграла получаем:

.

Поэтому

.

Формулу (1) в силу инвариантности дифференциала можно записать в виде

.                                                                     (2)

Вычисление интеграла по формуле (1) называется интегрированием по частям. Интегралы, берущиеся по частям, можно разбить на три группы.

  1.  К первой группе относим интегралы, в которых подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из функций

.

В этом случае применяем формулу (2) полагая в ней u(x) одной из указанных функций.

  1.  Ко второй группе относим интегралы вида

где a, b, k - постоянные. Они берутся n -кратным интегрированием по частям, где в качестве u(x) берут ax+b в соответствующей степени.

  1.  К третьей группе относим интегралы вида

,

где a, b, k - постоянные. Обозначаем интеграл этой группы через I и дважды применяя интегрирование по частям приводим его к решению уравнения первой степени относительно . Например, вычислим первый интеграл.

Отсюда находим

.

Многочлены и рациональные дроби

  1.  Многочлены. Делимость многочленов. Теорема о делении с остатком для многочленов.

Определение 6.1. Многочленом называем функцию вида f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an, где n - неотрицательное целое число, a0,  a1, …, an - постоянные коэффициенты (действительные или комплексные числа). Если a0 0, то число n называется степенью многочлена f(x).

Определение 6.2. Два многочлена f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an и g(x) = b0xn + b1xn-1 + …+ bn называются равными, если равны их все соответствующие коэффициенты, т.е. ai = bi  для любого i = 1,2,…,n. Члены с нулевыми коэффициентами в записи многочлена принято опускать.

Определение 6.3. Суммой двух многочленов f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an и g(x) = b0xn + b1xn-1 + …+ bn называются многочлен  f(x)+ g(x) = (a0+ b0)xn + (a1+ b1)xn-1 + …+ (an+ bn).

Определение 6.4.  Произведением двух многочленов f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an и g(x) = b0xm + b1xm-1 + …+ bm называются многочлен  f(x)g(x) = с0xn+m + с1xn+m-1 + …+ cn+m, коэффициенты которого вычисляются по формулам

.

Многочлены можно перемножать столбиком. Например,

          

Определение 6.5. Говорят, что многочлен  f(x) делится на многочлен g(x) , если  f(x) = g(x)q(x), где q(x) - многочлен. Многочлен  f(x) называется делимым, g(x) - делителем, q(x) - частным.

Теорема 6.1 (о делении с остатком).  Для любых многочленов  f(x) и g(x) 0 , существует единственная пара таких многочленов q(x) и r(x), что  

 f(x) = g(x)q(x) + r(x),                                                                           (1)

где r(x)  либо равно нулю, либо ст r(x)< ст g(x).

Многочлен  f(x) называется делимым, g(x) - делителем, q(x) - неполным частным, r(x) - остатком.  Разделить многочлен f(x) на другой g(x) с остатком, значит представить f(x) в виде (1). Операции над многочленами, как и деление с остатком можно выполнять столбиком (см. пример выше).

  1.  Корни многочлена. Теорема Безу. Кратность корней многочлена. Критерий кратности корня. Рассматриваем многочлены или с действительными или с комплексными коэффициентами.

Теорема 7.1 (Безу). Для любого многочлена f(x) и любого cK существуют такой многочлен q(x) и число rK, что выполняется равенство f(x) = (x - c) q(x) + r, где r = f(c). Если степень многочлена больше нуля, то deg q = deg f -1.

Доказательство. Пусть f(x) = a0 + a1x + …+ anxn. Тогда f(c) = a0 + a1c + …+ ancn.  Рассмотрим разность 

f(x) - f(c) = (a0 + a1x + …+ anxn) - (a0 + a1c + …+ ancn) = a1(x - с) + a2(x2 - с2) +…+ an (xn - cn) =

= (x -с)(a1 + a2(x + с) +…+ an (xn-1 + xn-2c + xn-2c2 + …+ xc n-2 + cn-1)).

Следовательно, f(x) - f(c) = (x) q(x), где q(x) = a1 + a2(x + с) +…+ an (xn-1 + xn-2c + xn-2c2 + …+ xc n-2 + cn-1). Отсюда f(x) = (x - c) q(x) + r.  Если deg f = n   1, то an  0, deg q = n-1.

Многочлен q, найденный в теореме 2, называется неполным частным, а r - остатком от деления f  на двучлен x - c. Найдем рекуррентные формулы для нахождения коэффициентов неполного частного и остатка. Пусть f = a0xn + a1xn-1 + …+ an , a0 0, n   1. Тогда по теореме 1 q(x) = b0xn-1 + b1xn-2 + …+ bn-1 и равенство f(x) = (x - c)q(x) + r представится в виде

a0xn + a1xn-1 + …+ an = (x - c)( b0xn-1 + b1xn-2 + …+ bn-1) + r.

Раскроем в правой части равенства скобки и получим

a0xn + a1xn-1 + …+ an = b0xn + (b1- b0c) xn-1 + (b2 - b1c)xn-3 + (r - bn-1c).

Отсюда по определению равенства двух многочленов получаем

a0 = b0 , a1 = b1- b0c, a2 = b2- b1c, a3 = b3 - b2c, …, an = r - bn-1c.

Тогда 

b0 = a0  , b1 = a1 + b0c, b2  = a2 + b1c, b3 = a3 + b2c, …, r = an + bn-1 c.                                                        (1)

Алгоритм нахождения коэффициентов неполного частного и остатка по рекуррентным формулам (1) называется схемой Горнера.

Например, разделим многочлен 3x4 - 2x2 +5x -3  на двучлен x + 2 по схеме Горнера.

С

3

0

-2

5

-3

-2

3

-6

10

-15

27

Получим  3x4 - 2x2 +5x -3 = (3x3 - 6x2 +10x -15)(x + 2) + 27, неполное частное равно 3x3 - 6x2 +10x -15, остаток равен 27.

Определение 7. 1. Число c С называется корнем многочлена  f(x) = a0 + a1x + …+ anxn, если  f(c) = 0.

Теорема 7.2 (Безу). Число c является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда многочлен делится на двучлен x - c, т. е.  f(x) = (x - c)q(x), где ст q(x) = ст f(x) -1.

Доказательство. Разделим многочлен f(x)  на x - c  с остатком и получим  f(x) = (x - c)q(x) + r, где r = f(c).  

Необходимость. Пусть c - корень многочлена f(x) . По определению 2, r= f(c)=0. Тогда  f(x)= (x - c)q(x) и f(x) делится на x - c.

Достаточность. Пусть f(x) делится на x - c. Тогда f(x) = (x - c)q(x) и f(c) = (с - c)q(c) = 0. По определению, c - корнем многочлена f (x).

Определение 7.2. Число c С называется корнем многочлена  f(x)  кратности k, если  f(x) = (x - c)kq(x), где q(c) 0.

Теорема 7.3. Если число c является корнем многочлена f(x) кратности k, то c является корнем кратности k-1 производной  f '(x).

Доказательство. Пусть число c является корнем многочлена f(x) кратности k. Тогда, по определению, получаем

f(x) = (x - c)kq(x), где q(c) 0.

Вычислим производную и получим

f ' (x) = k(x - c)k -1q(x) + (x - c)k q(x) = (x - c)k -1(kq(x) + (x - c) q(x))= (x - c)k -1q1(x),

где q1(x) = kq(x) + (x - c) q(x). Так как q1(с) = kq(с) + (с - c) q(x) = kq(с) 0, то число с корень кратности k-1 многочлена   f '(x).

Следствие. Число c является корнем многочлена f(x) кратности k, тогда и только тогда, когда 

f(с)= f '(с)=…= f (k-1)(с) =0,   f (k)(с) 0.

  1.  Основная теорема алгебры и следствия из нее.

Теорема 8.1. Любой многочлен f(x) с комплексными коэффициентами степени больше нуля имеет хотя бы один комплексный корень.

Следствие 1. Любой многочлен f(x) с комплексными коэффициентами степени n  0 можно представить в виде

f(x) = a0(x - x1) (x - x2) …(x - xn),                                                     (1)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xn.- корни многочлена f(x).

Следствие 2. Любой многочлен f(x) с комплексными коэффициентами степени n  0 можно представить в виде

                                            (2)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xr.- корни многочлена f(x) соответственно кратностей k1, k2, …, kr.

Следствие 3(формулы Виета). Если x1, x2, …, xn.- корни многочлена f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an взятые с учетом кратности (каждый корень взят столько раз, какова его кратность), то справедливы формулы:

.

  1.  Разложение многочлена с действительными коэффициентами на множители.

Теорема 9.1. Если комплексное число z = a + bi, b  0,  является корнем многочлена f(x) c действительными коэффициентами, то и комплексно сопряженное число z = a - bi  является корнем многочлена и тогда многочлен f(x) делится на квадратный трехчлен          x2 -2ax+a2 + b2 с дискриминантом меньше нуля.

Доказательство. Пусть f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an - многочлен c действительными коэффициентами. Пусть далее комплексное число z = a + bi корень многочлена f(x). Тогда по определению корня получим:

f(z) = a0zn + a1zn-1 + …+ an = 0.

Переходя в последнем равенстве к комплексно сопряженным числам и используя свойства комплексно сопряженных чисел, с одной стороны получаем:

.

С другой стороны, . Поэтому  и число z = a - bi корень многочлена f'(x).  

Так как b  0 , то z = a + bi  a - bi=z, и из теоремы Безу следует, что многочлен делится на двучлены x - z       и  x - z поэтому делится на их произведение (x - z)( x - z) = x2 - (z+z) x + z z  = x2 -2ax+a2 + b2. Дискриминант последнего трехчлена

. .

Следствие. Любой многочлен f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an , a0 0, с действительными  коэффициентами степени n  0 можно представить в виде

                   (2)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xr.- действительные корни многочлена f(x) соответственно кратностей k1, k2, …, kr, трехчлены x2 + p1x + q1,…, x2 + psx + qs -попарно различны и имеют отрицательные дискриминанта. При этом

k1+ k2+ …+ kr+ 2l1+ 2l2+ …+ 2ls = n.

  1.  Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби.

Определение 10.1. Дробно-рациональной функцией или рациональной дробью  называем функцию, представимую в виде частного двух многочленов

.                                                                       (1)

Определение 10.2. Рациональная дробь (1)  называется правильной, если степень ее числителя дроби меньше степени знаменателя. В противном случае дробь называется неправильной.

Определение 10.3. Рациональная дробь (1)  называется несократимой, если числитель и знаменатель дроби -  взаимно простые многочлены.

Теорема 10.1. Любую неправильную дробь, у которой числитель не делится на знаменатель можно представить, в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Доказательство. По теорема о делении с остатком получаем P(x) = Q(x)q(x) + R(x), где R(x) = 0, или ст R(x) < ст Q(x). Так как P(x) не делится на Q(x), то первый случай невозможен, а во втором случае получаем

,

где последняя дробь правильная.

Определение 10.4. Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих типов:

где A, a, M, N, p, q - действительные числа.

Теорема 10.2. Пусть (1) - правильная несократимая дробь, знаменатель которой имеет число a корнем кратности k, т.е.       Q(x) = (x - a)kQ1(x), Q1(а) 0. Тогда для этой дроби справедливо представление

.                                                         (2)

Теорема 10.3. Пусть (1) - правильная несократимая дробь, знаменатель которой имеет комплексное число a+bi корнем кратности k, т.е.       Q(x) = (x2 + px +q)kQ1(x), Q1(а) 0, p = -2a, q = a2 + b2. Тогда для этой дроби справедливо представление

.                                            (3)

Теорема 10.4. Пусть (1) - правильная несократимая дробь, знаменатель которой представляется в виде

                                 (4)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xr.- действительные корни многочлена f(x) соответственно кратностей k1, k2, …, kr, трехчлены x2 + p1x + q1,…, x2 + psx + qs -попарно различны и имеют отрицательные дискриминанта. Тогда рациональная дробь имеет разложение на простейшие дроби следующего вида

                    (5)

где Ai,,Bj , Cu , Mv ,… - действительные числа.

Разложение рациональной дроби на простейшие дроби проводят методом неопределенных коэффициентов.

Интегрирования рациональных дробей

  1.  Интегрирование простейших дробей.

Определение 11.1. Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих типов:

где A, a, M, N, p, q - действительные числа.

Интегралы от первых трех дробей находятся по следующим формулам:

.

Интеграл от последней дроби подстановкой  приводится к виду

где интеграл Ik вычисляется по рекуррентным формулам:

.

  1.  Интегрирование рациональных дробей.

Правило интегрирования рациональных дробей.

  1.  Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.
  2.  Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, т.е. представит его в виде

                                 (4)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xr.- действительные корни многочлена f(x) соответственно кратностей k1, k2, …, kr, трехчлены x2 + p1x + q1,…, x2 + psx + qs -попарно различны и имеют отрицательные дискриминанта. Рациональную дробь разложить на простей  дроби следующего вида

    (5)

где Ai,,Bj , Cu , Mv ,… - действительные числа. Коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов.

  1.  Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей по правилам первого параграфа.

Теорема 12.1. Всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях.

Примеры. 1. Вычислить интеграл:

.

Имеем . Разделим числитель данной дроби на знаменатель с остатком и получим:

.

Тогда имеем

Разложим правильную дробь на простейшие дроби:

Приводим дроби в правой части к общему знаменателю и получаем:

Получим систему линейных уравнений:

Находим разложение на простейшие дроби:

Отсюда получаем:

2. Вычислить интеграл:

.

Так как степень числителя меньше степени знаменателя, то подынтегральная функция правильная дробь. Разложим ее на простейшие дроби:

Приводим дроби в правой части к общему знаменателю и получаем:

Получим систему линейных уравнений:

Находим разложение на простейшие дроби:

Отсюда получаем:

Методы интегрирования тригонометрических и иррациональных выражений

  1.  Интегрирование тригонометрических выражений.

Пусть R(x, y) - любая рациональная функция от двух переменных x, y. Рассмотрим интеграл вида . Сделаем подстановку  . Тогда получим

,

а интеграл представится в виде

.

Указанный способ громоздкий, но всегда приводит к цели. Он упрощается в следующих трех случаях:

  1.  Функция  R(x, y) нечетная относительно x, R(-x, y) = - R(x, y), R(-sin x,cos x) = - R(sin x,cos x), sin x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R1(sin2 x,cos x) sin x. Делаем подстановку t = cos x  и получим

.

  1.  Функция  R(x, y) нечетная относительно y, R(x, -y) = - R(x, y), R(sin x,-cos x) = - R(sin x,cos x), cos x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R1(sin x,cos2 x) cos x. Делаем подстановку t = sin x  и получим

.

  1.  Функция  R(x, y) четная относительно x и y, R(-x, -y) = R(x, y), R(-sin x,-cos x) = R(sin x, cos x). cos x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R(tg x cos x ,cos x) = R1(tg x ,cos2 x). Делаем подстановку t = tg x  и получим

.

Подстановка t = tg x  интегрирует  и функции вида R(tg x).

Примеры. 1. Вычислить интеграл  .

Выполним подстановку . Тогда получим:

,

2. Вычислить интеграл  .

Выполним подстановку . Тогда получим:,

Для нахождения интегралов вида  используется следующее правила:

  1.  если n - целое положительное нечетное число, то используется подстановка t = sin x;
  2.  если m - целое положительное нечетное число, то используется подстановка t = cos x;
  3.  если n , m - целые неотрицательные четные числа, то используем формулы понижения степени.

;

  1.   если n + m - целые отрицательное четное число, то используем формулы понижения степени.

;используется подстановка t = cos x;

Для нахождения интегралов вида  используются следующие тригонометрические формулы:

.

Примеры. 1. Вычислить интеграл  .

Выполним подстановку . Тогда получим:,

  1.  Вычислить интеграл  .

14. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.  

Дробно линейной иррациональностью называют функцию вида , где a, b, c, d - действительные числа, ad - bc  0. Производим подстановку .

Тогда получим

,

и функция интегрируема.

Пример 1. Вычислить интеграл  .

Выполним подстановку . Тогда получим:.

Биномиальным выражением называют функцию вида, где a, b - действительные числа, m, n, p - рациональные числа. Эта функция интегрируема только в следующих трех случаях.

1) p - целое число. Тогда биномиальное выражение имеет вид   , где r - наименьшее кратное знаменателей дробей m, n. Интегрируется подстановкой .

2) (m+1)/n - целое число. Тогда сделаем подстановку  z = xn. Будем иметь

.

Подынтегральная функция имеет вид   , где s - знаменатель дроби p. Интегрируется подстановкой .

3) (m+1)/n + p - целое число. сделаем подстановку  z = xn . Подынтегральная функция имеет вид , где s - знаменатель дроби p. Интегрируется подстановкой .

Пример 1. Вычислить интеграл  .

Выполним подстановку . Тогда получим: ,

  1.  Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Квадратичной  иррациональностью называют функцию вида , где a, b, c - действительные числа.

Если D = b2 - 4ac < 0, то сделаем подстановку (первая подстановка Эйлера).

Если D = b2 - 4ac  0, то сделаем подстановку  (вторая подстановка Эйлера).

Пример 2. Вычислить интеграл  .

Для подкоренного выражения D = b2 - 4ac = 4+12 = 16 >0, x1=1, x2= -3,то выполним подстановку . Тогда получим

Отсюда

.

Интегралы вида  к которым можно свести указанные выше интегралы интегрируют с помощью подстановок: x = asin t - первый интеграл, x = atg t - второй интеграл, x = a/sin t - третий интеграл.

Пример 3. Вычислить интеграл  .

Выполним подстановку x = tg t. Тогда получим

Так как , то

Для интегралов составлены большие таблицы. Многие интегралы не вычисляются в конечном виде через элементарные функции. Если интеграл не выражается через элементарные функции, то он называется не берущимся.

PAGE  1

Первообразная и неопределенный интеграл.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32844. Проблема свободы и ответственности личности. Социальная и профессиональная ответственность врача 14.39 KB
  Свобода – одна из основных философских категорий характеризующих сущность человеческого бытия в мире. Свобода состоит в возможности личности мыслить и поступать в соответствии со своими представлениями и желаниями а не вследствие внешнего или внутреннего принуждения. Свобода личности может быть рассмотрена в различных аспектах: философском религиозном этическом социальном политическом экономическом. в необходимости всегда присутствует свобода.
32845. Особенности социализации личности. Проблема девиантного поведения и его причины 16.74 KB
  Особенности социализации личности. Социализация личностиэто процесс усвоения индивидом социального опыта общества к которому он принадлежит. Социализация рассматривается как процесс условие проявление и результат социального формирования личности. Как процесс она означает социальное становление и развитие личности в зависимости от характера взаимодействия человека со средой обитания адаптации к ней с учетом индивидуальных особенностей.
32846. Проблема жизни, смерти и бессмертия в духовном опыте человечества. Проблема смысла жизни 15.34 KB
  Проблема жизни смерти и бессмертия в духовном опыте человечества. Проблема смысла жизни. Поэтому проблема жизни и смерти занимает важнейшее место в общественном сознании прежде всего в философии и религии. Для ранней античной философии характерен космоцентричный подход к пониманию проблемы жизни и смерти.
32847. Общество как материальная система 15.36 KB
  Общество – это обособившаяся от природы часть материального мира высокоорганизованная материальная система подчиняющаяся всеобщим законам и в то же время имеющаяся специфические особенности функционирования и развития. Как и любое материальное образование общество обладает целым рядом неотъемлемых свойств: объективность системность и структурность движение пространство время отражение самоорганизация. Общество возникает и существует объективно т. Общество представляет собой открытую развивающуюся систему.
32848. Материально-производственная сфера общественное жизни.Диалектика производительных сил и производственных отношений 12.99 KB
  Материальное производство характеризуется определенным способом производства который представляет собой единство двух сторон: производительных сил и производственных отношений. Производственные отношения включают в себя отношения собственности на средства производства а также отношения по поводу распределения и обмена продукта материального производства. В этом проявляется диалектика экономических потребностей производства и потребления.; способ производства и соответствующие ему отношения собственности определяют появление и развитие...
32849. Социальная сфера общественной жизни. Социальная структура общества. Виды социальных общностей 13.65 KB
  Социальная структура общества. Сфера общества – это социальное пространство которое фиксирует границы того или иного вида общественной деятельности. Социальная сфера – это исторически сложившаяся относительно устойчивая система связей между различными элементами общества: отдельными индивидами социальными группами и социальными общностями. В социальной сфере реализуются интересы классов и слоев общества социальных общностей и групп отношения общества и личности здесь создаются и совершенствуются условия труда быта и досуга.
32850. Политическая сфера общественной жизни. Структура и соц функции. Государство,как основной политический институт 12.55 KB
  Общество как система состоит из нескольких подсистем или сфер основными из которых являются экономическая социальная политическая духовная и экологическая. Политическая сфера – область общественной жизни включающая в себя политические отношения данного общества. и международные; политическая деятельность; политическое сознание политическая идеология и политическая психология.
32851. Экологическая сфера. Роль мед работников 11.81 KB
  Общество как система состоит из нескольких подсистем или сфер основными из которых являются экономическая социальная политическая духовная и экологическая. Экологическая сфера общества сформировалась во 2й половине ХХ в. Экологическая сфера – подсистема общества формирующаяся на основе специализированной деятельности по охране воспроизводству улучшению и приумножению природных факторов человеческого бытия. Экологическая деятельность.
32852. Духовная сфера общ6ества. Основные формы и уровни. Общественная психология и идеология,их диалектическая взаимосвязь 14.08 KB
  Специфика идеологии проявляется в том что она возникает на основе существующих в обществе экономических отношений и отражает действительность через призму этих отношений. В классовом обществе экономические отношения выступают в форме классовых интересов поэтому специфику идеологии можно конкретнее представить как отражение действительности через призму интересов определенных классов как систему идей и взглядов классов. В классовом обществе нет и не может быть надклассовой или внеклассовой идеологии. Общественно историческая практика...