22410

Определенный интеграл

Лекция

Математика и математический анализ

Определенный интеграл План Определенный интеграл Определение определенного интеграла. Геометрический смысл и физический смысл определенного интеграла. Условия существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.

Русский

2013-08-03

635.5 KB

40 чел.

Лекция 9

010700                                   Математика                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 9.

Определенный интеграл

План

Определенный интеграл

  1.  Определение определенного интеграла. Геометрический смысл и физический смысл определенного интеграла.
  2.  Суммы Дарбу. Условия существования определенного интеграла.
  3.  Свойства определенного интеграла.
  4.  Формула Ньютона-Лейбница и ее применение для вычисления определенного интеграла.
  5.  Замена переменных в определенном интеграле.
  6.  Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Литература: Ильин В.А., с.317-348. Письменный Д., с. 221-233. Ермаков В.И., с.287-297. Крамер В.Ш., с.283-299.

 Несобственные интегралы

  1.  Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования (первого рода). Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода.
  2.  Несобственный интеграл от неограниченной функции (второго рода). Признаки сходимости.

Литература: Ильин В.А., т. 2, с.94 - 105. Письменный Д., с. 233-237. Ермаков В.И., с.301-306. Крамер В.Ш., с.301-312.  

Геометрические и механические приложения определенного интеграла

  1.  Общая методика применения определенного интеграла.
  2.  Вычисление площадей плоских фигур.
  3.  Вычисление длины дуги плоской кривой.
  4.  Вычисление объемов тел.    
  5.  Вычисление площади поверхности.
  6.  Механические приложения определенного интеграла.

Литература: Ильин В.А., с.354-386. Письменный Д., с. 237-254. Ермаков В.И., с.297-300. Крамер В.Ш., с.299-307.  

  1.  Определение определенного интеграла. Геометрический смысл и физический смысл определенного интеграла.

Определение 1.1. Пусть на отрезке [a, b] задана ограниченная функция f(x). Разобьем отрезок [a, b] точками: a = x0 < x1 < x2 <…< xn= b на n отрезков [x0 , x1], [x1, x2],…,[xn-1, xn]. Совокупность частичных отрезков назовем разбиением T отрезка [a, b]. Точки x0, x1, x2,…, xn назовем точками разбиения T. Наибольшую из длин отрезков разбиения T  обозначим через , и назовем диаметром разбиения T:

= (T) = max{ xi - xi-1 i = 1, 2,…,n}.

Определение 1.2. В каждом из отрезков [xi-1, xi] разбиения T  выберем точку  i и положим  x i = xi - xi-1, для , i = 1, 2,…,n. Разбиение с выбранными точками назовем помеченным разбиением и обозначаем через T.

Составим сумму

              ,                                              (1)

которую назовем интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b], соответствующей данному разбиению T и выбору точек  i .

Отметим, что составленная сумма зависит от разбиения T и выбора точек  i.

Говорят, что интегральная сумма In имеет предел I при   0, если для любого числа >0 существует такое число  =()>0, что для любого помеченного разбиения T, диаметр которого меньше выполняется неравенство | Sn I | < :

( > 0)(>0)( T)[ ( T ) <  | In I |< ].

Определение 1.3. Если интегральная сумма In имеет предел при   0, который не зависит от разбиения T и выбора точек  i , то он называется определенным интегралом или интегралом Римана от функции f(x )на отрезке [a, b] и обозначается символом

:                                     .

Геометрический смысл определенного интеграла от неотрицательной непрерывной функции y = f(x)на отрезке [a, b] равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции, снизу осью абсцисс, а с боков вертикальными прямыми x =a, x =b.

Физический смысл определенного интеграла от неотрицательной непрерывной функции y = f(x) на отрезке [a, b] равен работе переменной силы F = F(x) действующей на отрезке [a, b].

  1.  Суммы Дарбу. Условия существования определенного интеграла.

Пусть на отрезке   [a, b] задана функция f(x). Разобьем отрезок [a, b] точками: a = x0 < x1 < x2 <…< xn = b на n отрезков [x0 , x1], [x1, x2],…,[xn-1, xn]. Обозначим, через Mi  и mi соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани функции f(x) на отрезке [xi-1, xi]. Суммы

,  ,

называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции f(x).  для данного разбиения  T отрезка [a, b].

Любая интегральная сумма данного разбиения отрезка заключена между верхней и нижней суммами Дарбу этого разбиения.

Теорема 2.1. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a, b] функция f(x) была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого  > 0 нашлось такое разбиение T  отрезка  [a, b], для которого S - s <.

Определение 2.2. Пусть Mi  и mi соответственно точная верхняя и точная нижния грани значений функции f(x) на отрезке [xi-1, xi]. Разность i = Mi  - mi  называется колебанием функции f(x) на отрезке [a, b].

Теорема 2.2. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a, b] функция f(x) была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого  > 0 нашлось такое разбиение T  отрезка  [a, b], для которого .

Определение 2.3. Функция называется равномерно непрерывной на множестве X, если для любого > 0 существует такое > 0 ,  зависящее только от , что для любых x, x' X, удовлетворяющих условию  xx' < , выполняется неравенство f(x)-f(x') < :

( > 0)(>0)( x, x' X)[  x - x' <   f(x)-f(x') < ].

Теорема 2.3(теорема о равномерной непрерывности). Непрерывная на отрезке [a, b] функция f(x) равномерно непрерывно на этом отрезке.

Теорема 2.4. Непрерывная на отрезке [a, b] функция f(x) интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Пусть дано любое >0. В силу равномерной непрерывности функции f(x) на отрезке [a, b]  для числа /(b - a) можно указать такое число > 0,что при разбиении T отрезка [a, b]   на частичные отрезки, длины которых меньше , колебание функции f(x) на каждом таком частичном отрезке будет меньше /(b - a). Поэтому для такого разбиения T имеет место неравенство:

.

Следовательно, для функции f(x) непрерывной на [a, b] выполняется достаточное условие непрерывности и функция f(x)  интегрируема на отрезке [a, b].  

Теорема 2.5. Функция, ограниченная на отрезке [a, b], и  имеющая конечное число точек разрыва интегрируема на этом отрезке.

Теорема 2.6. Функция f(x), монотонная  на отрезке [a, b],и  имеющая на нем конечное число точек разрыва интегрируема на этом отрезке.

  1.  Свойства определенного интеграла.  

1. Если верхний нижний пределы интегрирования равны, то интеграл равен:

.

2. Если верхний и нижний пределы интегрирования переставить, то интеграл сменит свой знак на противоположный:

 .

3. Аддитивность определенного интеграла. Если функции f(x) интегрируемы на отрезке  [a, b] и     a < c < b, то:

. .

4. Если функции f(x), g(x) интегрируемы на отрезке [a, b], то их сумма и разность интегрируемы на этом отрезке:

. .

5. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла:

.

6. Если на отрезке [a, b], где a < b , f(x)0,то и

.

7. Если на отрезке [a, b], где a < b , f(x) > g(x),то  

.

8. Пусть на отрезке [a, b] M, m - соответственно наибольшее и наименьшее значения функции f(x).  Тогда

.

9. (теорема о среднем) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то существует такая точка с [a,b], что

.

10. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:

;   (a < b).

11. (Первая теорема о среднем) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b],  g(x) знакопостоянна и интегрируема на отрезке

[a, b], то существует такая точка с [a,b], что

.

12. (Вторая теорема о среднем) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b],  g(x) –неотри-цательна, не убывает и интегрируема на отрезке [a, b], то существует такая точка с [a,b], что

.

Доказательство. 1. Свойство 1 надо рассматривать, как распространение понятия определенного интеграла на отрезок нулевой длины. В этом случае все интегральные суммы равны нулю.

Свойство 2 надо рассматривать, как соглашение. Так как в этом случае отрезок [a, b] пробегается в обратном направлении и все разности x i = xi - xi-1, для , i = 1, 2,…,n, в интеграле имеют отрицательный знак. Тогда интегральные суммы, соответствующие разбиению T интегралов имеют противоположные знаки. Отсюда следует, что эти интегралы противоположны.

При построении разбиения отрезка [a, b] включим точку c в число точек разбиения. Интеграл от этого не изменится, так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения. Если c = xk , то интегральную сумму можно разбить на две интегральные суммы:

.

Каждая из полученных сумм является интегральной соответственно для отрезков [a, b], [a, с],      [с, b]. Переходя в полученном выше равенстве к пределу при   0 (n  ), получим равенство интегралов:

.

 

Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b]. Докажем интегрируемость функции f(x)  g(x) на [a, b]. Для любого разбиения T отрезка [a, b] и при любом выборе точек i для интегральных сумм справедливо соотношение

.

Следовательно, из существования предела правой части при   0 следует предел левой части при   0. Таким образом, функция f(x)  g(x) интегрируема и имеет место свойство 4.

5. Пусть функция f(x) интегрируема на [a, b]. Докажем интегрируемость функции сf(x) на       [a, b]. Для любого разбиения T отрезка [a, b] и при любом выборе точек i для интегральных сумм справедливо соотношение

.

Следовательно, из существования предела правой части при   0 следует предел левой части при   0. Таким образом, функция сf(x) интегрируема и имеет место свойство 5.

6. Пусть функция f(x) интегрируема на [a, b]. Для любого разбиения T отрезка [a, b] и при любом выборе точек i для интегральных сумм справедливо соотношение

.

Следовательно, по теореме о переходе к пределу под знаком неравенства получаем, что предел левой части при   0 больше или равен нуля. Таким образом, свойство 6 доказано.

7. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b] и на отрезке [a, b], f(x) > g(x). Тогда f(x) - g(x) > 0 и по свойству 5 . Отсюда по свойству 4 следует справедливость свойства 7.

  1.  Пусть на отрезке [a, b]  M, m - соответственно наибольшее и наименьшее значения функции f(x). Тогда

.

Переходя к пределу при   0, получим свойство 8.

  1.  Из свойства 8 имеем неравенство:

.

Так как функция f(x) непрерывна на [a, b], то она принимает на нем любое промежуточное значение от m до M. Таким образом, существует такое с [a,b], что выполняется равенство . Отсюда .

  1.  Применяем свойство 7 к неравенству , получим неравенство для интегралов:

. Отсюда по свойству модуля имеем .

Свойство 11 доказывается по аналогии со свойством 9 и при доказательстве используется неравенство m   f(x)  M, x [a, b], где m, M - соответственно наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции f(x) на отрезке [a, b].

  1.  Формула Ньютона-Лейбница и ее применение для вычисления определенного интеграла.

Пусть функция f(x) интегрируемая на любом отрезке, содержащемся в интервале (a, b), и пусть с - фиксированная точка из интервала (a, b). Тогда для любого числа x  (a, b) , функция f(x)  интегрируема на отрезке [с, х]. Поэтому на интервале  (a, b) определена функция

.                                                                    (1)

Функция (1) называется интегралом с переменным верхним пределом от функции f(x).

Теорема 4.1. Любая непрерывная на интервале (a, b) функция f(x) имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция F(x), определенная по формуле (1), где x - любая точка интервала(a, b).

Доказательство. Докажем, что производная от функции F(x) на [a, b] равна функции f(x). Пусть x  [a, b]. Вычислим предел

.

По теореме о среднем

. В силу непрерывности функции f(x), если x0, то d x, f(d) f(x). Тогда

.

По определению функция первообразная функции f(x) .

Теорема 4.2. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], F(x) - любая первообразная функции f(x) на отрезке [a, b]. Тогда справедлива формула

.                                                                      (2)

Доказательство. Так как любые две первообразные функции f(x) на [a, b] отличаются на постоянное слагаемое, то

,

где С - постоянная. Отсюда

F(a) = C, .

Из этих равенств следует утверждение теоремы.

Формула (2) называется основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона-Лейбница.

Для тог, чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной на отрезке [a, b] функции f(x) надо найти ее первообразную функцию F(x) и вычислить разность F(b) - F(a).

Пример 1.  Вычислим интеграл

.

  1.  Замена переменных в определенном интеграле.

Теорема 5.1. Пусть выполняются следующие условия:

  1.  функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b];
  2.  отрезок [a, b] является множеством значений некоторой функции x = g(t), определенной на отрезке [, ], и имеющей на этом отрезке непрерывную производную;
  3.  g() = a, g() = b.

Тогда справедлива формула

.

Доказательство. Рассмотрим F(x) - первообразную функции f(x) на отрезке [a, b]. Тогда по формуле Ньютона Лейбница . Так как F(g(t)) ' = f(g(t)) g'(t), то функция F(g(t)) является первообразной для функции f(g(t)) g'(t), t[, ]  . По формуле Ньютона-Лейбница имеем

.

Пример 1.  Вычислить интеграл .

  1.  Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 6.1. Пусть функции u(x), v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b]. Тогда справедлива следующая формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

.                                                  (1)

Доказательство. На отрезке [a, b] имеет место равенство (u(x) v(x))' = u(x)' v(x) + u(x) v(x)'. Следовательно, u(x) v(x) первообразная функции u(x)' v(x) + u(x) v(x)'. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

Формула интегрирования по частям доказана.

Пример 1.  Вычислить интеграл .

Виды интегралов, которые можно вычислять интегрированием по частям перечисляются в лекции 16.

Несобственные интегралы

  1.  Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования (первого рода). Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода.

Определение 9.1. Пусть функция f(x) непрерывна промежутке [a, b], при любом b [a, +). Несобственным интегралом первого рода от функции f(x) на промежутке [a, +).  называется предел

,

если он существует и конечен. 

Обозначается несобственный интеграл символом

.                                                                      (1)

Если указанный предел существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся.

Аналогичным образом определяются еще два вида несобственных интегралов первого рода:

.

Несобственный интеграл геометрически выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость .

По определению имеем

Теорема 9.1 (критерий Коши). Для сходимости несобственного интеграла (1) необходимо и достаточно, чтобы для любого   0 существовало такое   0, что для любых R', R'' , больших , выполняется неравенство

.

Доказательство. Необходимость. Пусть интеграл (1) сходится и  . По определению сходимости несобственного интеграла и по определению сходимости для для любого   0 существовало такое   0, что для любых с > , выполняется неравенство

.

Тогда для любых R, R>   имеем:

.

Достаточность. Рассмотрим любую последовательность {cn} +. По условию для любого   0 существует  такое   0, что для любых R', R'' , больших , выполняется неравенство

.

Так как {cn} +, то начиная с некоторого номера n0 для всех n > n0 выполняются неравенства cn > . Тогда для всех n, m > n0 выполняется неравенство

.

Тогда последовательность  фундаментальная и поэтому сходится. Поскольку это справедливо для любой последовательности {cn} +, то по определению сходимости по Гейне предел  существует и конечен.

Теорема 9.2 (теореме о подстановке в несобственном интеграле). Пусть выполняются условия

  1.  функция f(x) непрерывна на промежутке [a, +);
  2.  промежуток [a, +) является множеством значений функции x = g(t), заданной на промежутке [, +) (или  (-, ]), и имеющей на этом промежутке непрерывную производную;
  3.  g() = a.

Тогда из условия сходимости одного из следующих несобственных интегралов

и (или ).

вытекает сходимость другого и равенство этих интегралов. 

Теорема 9.3 (теореме об интегрировании по частям). Пусть выполняются условия

  1.  функция f(x), g(x) непрерывна на промежутке [a, +);
  2.  сходимости хотя бы один из следующих несобственных интегралов

и ;

  1.  существует предел .

Тогда существуют оба интеграла, и имеет место равенство:

.

Теорема 9.4 (признак сравнений). Пусть для любого x [a, +)  выполняется неравенство f(x)  g(x). Тогда, если интеграл  сходится, то сходится и интеграл .

Доказательство. Возьмем любое действительно число   0. Так как интеграл  сходится, то по теореме 1 существует такое   0, что для любых R', R'' , больших , выполняется неравенство

.

Отсюда по свойству определенного интеграла:

.

Отсюда по теореме 9.1 интеграл сходится.

 Теорема 9.5 (признак сравнений). Пусть для любого x [a, +) выполняется неравенство 0  f(x) g(x). Тогда если интеграл расходится, то расходится и интеграл .

Доказательство. Если допустить противное, что интеграл сходится, то по теореме 2 и интеграл сходится. Последнее утверждение противоречит условию теоремы.

Теорема 9.6. Пусть существует предел . Тогда если интегралы ,  одновременно сходится или одновременно расходится.

Доказательство. Пусть существует указанный выше предел. Тогда отношение ограничено в некоторой   - окрестности точки +. Таким образом, для любого числа  k/2, начиная с некоторого места, выполняются неравенства: . Из этих неравенств и теорем 1, 2 следует утверждение теоремы 3.

Пример 2. Установить сходимость несобственного интеграла  (a> 0) .

По определению несобственного интеграла:

Таким образом, данный интеграл сходится при р > 1 и расходится при р  1.

Теорема 9.7 (частный признак сравнений). Пусть для любого x [a, +) выполняется неравенство  f(x)  , где с и р- постоянные, р > 1. Тогда  интеграл сходится.  Если существует такая постоянная с > 0,  что для любого x [a, +) выполняется неравенство  f(x) , где с и р- постоянные, р  1. Тогда интеграл  расходится.

Доказательство. Указанная теорема следует из теорем 1, 2 и примера 2.

Пример 3. Исследовать сходимость несобственного интеграла .

Рассмотрим неравенство для подынтегральной функции

.

В силу примера 2 интеграл  расходится. Поэтому и данный интеграл расходится.

Определение 9.2. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл. Если первый интеграл сходится, а второй расходится, то первый несобственный интеграл называется условно сходящимся.

Теорема 9.8 (признак Дирихле). Пусть для любого x [a, +) функция  ограничена и пусть функция g(x) неотрицательна и не возрастая, стремится к нулю при x+. Тогда  интеграл сходится.

Доказательство. Так функция g(x) неотрицательна и не возрастая, стремится к нулю при x+, то для любого 1  0 существует такое =(1)  0, что для любых x, больших , выполняется неравенство 0  g(x)  1. Пусть   . Тогда по второй теореме о среднем для любых чисел R1, R2 существует такое число R3, R1< R3 < R2, что

.

Возьмем любое   0. Полагаем  1=/(2M ). Тогда получим, что любых чисел R1, R2 > (1) выполняется неравенство:

.

По критерию Коши интеграл   сходится.

Теорема 9.9 (признак Абеля). Пусть интеграл сходится и пусть функция g(x) неотрицательна, монотонна и ограничена сверху на промежутке [a, +). Тогда  интеграл сходится.

  1.  Несобственный интеграл от неограниченной функции (второго рода). Признаки сходимости.

Определение 10.1. Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b) и имеет бесконечный разрыв при x = b. Несобственным интегралом второго  рода от функции f(x) на промежутке [a, b)  называется предел

если он существует и конечен. Обозначается несобственный интеграл символом

.                                                                        (1)

Если указанный предел существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся.

Аналогичным образом определяются еще два вида несобственных интегралов первого рода:

,

где c - точка разрыва функции f(x) внутри отрезка [a,b].

Несобственный интеграл геометрически выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл .

.

Теорема 10.1 (критерий Коши). Для сходимости несобственного интеграла (1) необходимо и достаточно, чтобы для любого   0 существовало такое = () 0, что для любых ', '' (b-,b), ' < '', выполняется неравенство

.

Доказательство. Аналогично теоремы 1 из параграфа 1.

Теорема 10.2 (признак сравнений). Пусть для любого x [a, b) выполняется неравенство f(x)  g(x). Тогда, если интеграл  сходится, то сходится и интеграл .

Теорема 10.3 (признак сравнений). Пусть для любого x [a, b) выполняется неравенство 0  f(x) g(x). Тогда если интеграл расходится, то расходится и интеграл .

Теорема 10.4. Пусть существует предел . Тогда если интегралы ,  одновременно сходится или одновременно расходится.

Пример 2. Установить сходимость несобственного интеграла  (a> 0) .

По определению несобственного интеграла:

Таким образом, данный интеграл сходится при р <1 и расходится при р  1.

Теорема 10.5 (частный признак сравнений). Пусть для любого x [a, +) выполняется неравенство  f(x)  , где с и р- постоянные, р < 1. Тогда интеграл сходится.  Если существует такая постоянная с > 0,  что для любого x [a, +) выполняется неравенство  f(x) , где с и р- постоянные, р  1. Тогда интеграл  расходится.

Пример 3. Исследовать сходимость несобственного интеграла .

Имеем . Тогда данный интеграл второго рода. В силу примера 2 несобственный интеграл     сходится. Далее

.

Тогда данный несобственный интеграл сходится.

Определение 10.2. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл. Если первый интеграл сходится, а второй расходится, то первый несобственный интеграл называется условно сходящимся.

Для несобственных интегралов второго рода имеют место теоремы подобные соответствующим теоремам для интегралов первого рода.

Геометрические и механические приложения определенного интеграла

  1.  Общая методика применения определенного интеграла.  

Пусть требуется найти значение какой-нибудь геометрической или физической величины T связанной с отрезком [a, b] независимой переменной x. Предполагается, что эта величина Т аддитивная: т. е. при разбиении отрезка [a, b] точкой с [a, b] на две части [a], [с,b], значение величины Т, соответствующей всему отрезку [a, b], равно сумме ее значений, соответствующих [a, с], [с, b].

Имеется две схемы применения определенного интеграла:

1. Метод интегральных сумм, базирующийся на определении определенного интеграла. Разобьем отрезок [a, b] точками: a = x0 < x1 < x2 <…< xn = b на n отрезков [x0 , x1], [x1, x2],…,[xn-1, xn]. Величина T разобьется на n элементарных слагаемых: Ti (i = 1, 2, …, n):

T = T1 + T2+…+Tn.

Представим каждое элементарное слагаемое в виде произведения значения некоторой функции f(x) в некоторой точке  i  [xi-1, xi] на длину отрезка: Ti  f( i) x i ; x i = xi - xi-1, для , i = 1, 2,…, n. В качестве значения Ti берут главную часть приращения величины Ti. Получим приближенное значение величины T  в виде интегральной суммы

.

Если предел интегральной суммы существует и не зависит от помеченного разбиения, то искомая величина T равна пределу интегральной суммы:

,

где - диаметр разбиения. Интеграл представляется как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

  1.  Метод дифференциала, или метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков. Рассматривается переменный отрезок [a, x], x [a, b]. Величина T становится функцией x: T = T(x).

Находится главная часть приращения  T при изменении x на малую величину x =dx, т. е. находим дифференциал dT функции T = T(x): dT = f(x) dx, где f(x) - функция, определяемая  условиями задачи.

Считая, что dT   T при x  0, находим искомую величину T интегрированием dT в пределах от a до b:

.

  1.  Вычисление площадей плоских фигур.

По геометрическому смыслу определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс, ограниченной графиком функции y = f(x) и прямыми x = a, x = b в прямоугольной системе координат равна определенному  интегралу:

.                                                                     (1)

Применим метод дифференциала. Рассматривается переменный отрезок [a, x], x [a, b]. Величина площади S становится функцией x: S = S (x).

Главная часть приращения площади  S при изменении x на малую величину x =dx приблизительно равна площади прямоугольника с основанием dx и высоты  f(x ), т. е. S  dS = f(x )dx при x  0, находим искомую величину S интегрированием dS в пределах от a до b.

Если фигура F ограничена кривыми y = f(x), y = g(x), f(x)  g(x)и прямыми x = a, x = b, то ее площадь вычисляется по формуле:

                           .                           (2)

Найдем площадь криволинейного сектора, ограниченной линией и двумя лучами, расположенными под углами и к полярной оси. Применим метод дифференциала. Рассматривается переменный отрезок [, ], [,]. Величина площади S становится функцией : S = S ().

Главная часть приращения площади  S при изменении : на малую величину : =d: равна площади элементарного  сектора OAB с углом d, равна приближенно площади элементарного кругового сектора: S  dS = (1/2)f(x)2d при :  0. Находим искомую величину S интегрированием dS в пределах от до :

.                                                         (3)

Пусть криволинейная трапеция ограничена сверху графиком функции заданной параметрическим уравнениями: x = x(t), y = y(t) 0,   t   (y(t) 0, x(t) 0). Подставляя в формулу (1) ,  получаем формулу площади криволинейной трапеции:

.                                                                 (4)

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые заданы уравнениями: y = 4 – (y-1)2, y = x2 – 4 x +3.

Построим графики данных функций и найдем их точки пересечения:

Тогда

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые заданы уравнениями в полярных координатах: r = 6 sin , r = 4 sin .

Построим заданные этими уравнениями. Покажем, что эти уравнения определяют окружности соответственно радиусов 3 и 2 с центрами соответственно в точках (0, 3) и (0, 2). По формулам перехода к прямоугольной системе координат получаем x = 6cos sin, x = 6sin sin. Тогда имеем

.

Получили, что первая линия есть указанная окружность. Аналогично рассматривается и второй случай. Тогда площадь, фигуры, заключенной между окружностями равна разности площадей этих окружностей, т.е. равна 5. Вычислим площадь по формуле (3):

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые заданы параметрическими уравнениями: x = 4(t- sin t), y = 4(1-cos t), y =6 (0<x<8, y -6).

Система данных уравнений определяет циклоиду с периодом 8. Требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной сверху циклоидой, а снизу прямой y =6.  Найдем точки пересечения графиков:

По формуле (2) получаем:

  1.  Вычисление длины дуги плоской кривой.

Пусть в прямоугольной системе координат дана плоская кривая АВ, заданная уравнением y = f(x), где  a  x  b.  Длиной дуги АВ кривой называется предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда длина наибольшего звена ломаной стремится к нулю.

Докажем, что, если функция f(x) и ее производная f ' (x) непрерывны на отрезке [a, b], то дуга АВ кривой имеет длину, равную

.                                                      (1)

Применим метод интегральных сумм, базирующийся на определении определенного интеграла: Разобьем отрезок [a, b] точками: a = x0 < x1 < x2 <…< xn = b на n отрезков [x0 , x1],         [x1, x2],…,[xn-1, xn]. Точками, соответствующими точкам разбиения дуга АВ разобьется на n элементарных дуг Мi-1Mi длиной li (i = 1, 2, …, n):

l = l1 + l2+…+ln.

li = .По теореме Лагранжа yif ' (c)x i = f ' (c)(xi - xi-1).  Тогда получим

li ≈ .

Так как  функция  непрерывная, то существует предел интегральной суммы

l = .

Если кривая АВ задана параметрически          x = x(t), y = y(t)  t  ,  где - x(t),  y = y(t)  функции с непрерывными производными, x() = a, y() = b, то длина дуги кривой находится по формуле

  .                  (2)

Формула (2) получается из формулы (1) подстановкой  

.

Если кривая АВ задана в полярной системе координат уравнением  r = r(),    ,  где r() - функция с непрерывной производной, x() = a, y() = b, то длина дуги кривой находится по формуле

  .                 (3)

Пример 1. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями в прямоугольной системе координат: y = x2 – 4, -2  x 2.

По формуле (1) находим длину дуги:

Пример 2. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями : x = 4(t- sin t), y = 4(1-cos t), (0< t < 2).

Длину дуги вычисляем по формуле (2)

Пример 3. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями в полярных координатах: r = 2 (0< <4 ).

Данная кривая называется спиралью Архимеда. Вычислим длину ее дуги по формуле (3):

  1.  Вычисление объемов тел. 

Объем V тела T , если известны площади S сечений этого тела плоскостями перпендикулярными оси  Ох: S = S(x), где  a  x  b вычисляется по формуле:

.                                 (1)                        

 Доказательство. Применим метод дифференциала к вычислению объема тела. Рассматривается переменный отрезок  [a, x], x [a, b]. Величина объема V становится функцией x:  V = V (x).  Главная часть приращения объема  V при изменении x на малую величину x =dx приблизительно равна объему цилиндрического тела с площадью основания  S(x)  и высоты  x=dx, т. е. V  dV = S(x)x при x  0. Тогда искомая величина V интегрированием dV в пределах от a до b.

Объем V тела T , полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x) и прямыми x = a, x = b, относительно оси Ox в прямоугольной системе координат вычисляется по формуле:

.            (2)

Формула (2) следует из (1) так площадь сечения тела плоскостями перпендикулярными оси  Ох находится по формуле:     S = S(x)= f 2(x), где  a  x  b.

Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

Сечение тела плоскостью перпендикулярной оси Ox является эллипсом и имеет уравнение:

Площадь эллипса равна произведению его полуосей умноженных на число . Следовательно, площадь сечения . Тогда объем тела находится по формуле (1):

Пример 2. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций:              y = (x-1)2, x = 0, x = 2, y = 0, относительно оси Oy.

Тело состоит двух колец. Применяем формулу (2), учитывая, что вращение фигуры происходит вокруг оси Oy, получим:

  1.  Вычисление площади поверхности вращения.

Площадь поверхности вращения, криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x) и прямыми линиями x = a, x = b, относительно оси Ox  в прямоугольной системе координат вычисляется по формуле:

.                                                     (1)

Пусть функция f(x) неотрицательная. Проведем через точку x [a, b] плоскость перпендикулярную оси Ox, которая пересекает поверхность вращения по окружности радиуса f(x). Придадим аргументу x приращение x=dx. Через точку x+ dx [a, b] проведем плоскость перпендикулярную оси Ox, которая пересекает поверхность вращения по окружности радиуса f(x+x).  Функция площади s(x) поверхности вращения получит приращение s  ds, которое равно площади пояска поверхности заключенного между проведенными сечениями. Найдем площадь этого пояска, заменяя его боговой поверхностью усеченного конуса высоты dx и радиусами оснований f(x) и f(x+x). Площадь его боковой поверхности равно

s( f(x) + f(x+x)) l = (2 f(x) + f(x)) l = 2 f(x) l + f(x)l ≈2 f(x) l.

Так как l ≈ , то получаем

,  

Интегрируя это равенство, получаем формулу (1).

Пример 1. Вычислить поверхность вращения графика функции:              y = sin x, x = 0, x = , относительно оси Ox.

Применим формулу (1) и получаем:

  1.  Механические приложения определенного интеграла.

Приведем список основных механических приложений определенного интеграла, которые можно получить из определения определенного интеграла, используя метод интегральных сумм.

Работа силы F=F(x) по перемещению точки M вдоль оси Ox из положения x = a, до x = b:

.             (1)

Путь, пройденный телом, с скоростью v(t) за время от t1 до t2:  

.         (2)

Давление жидкости на вертикальную пластинку, ограниченную линиями x = a, x = b, y1=f1(x), y2=f2(x), d жидкость с плотностью (x):

.   (3)

Масса стержня, расположенного на отрезке [a, b] оси Ox с линейной плотностью (x) вычисляется по формуле:

.                 (4)

Абсцисса x центра тяжести стержня, расположенного на отрезке [a, b] оси Ox с линейной плотностью (x) вычисляется по формуле:

.                                 (5)

Масса дуги кривой y=y(x), проектирующейся на ось Ox в виде отрезка [a, b] оси Ox, с линейной плотностью (x) вычисляется по формуле:

.    (6)

Абсцисса xc и ордината yc центра тяжести дуги кривой y=y(x), проектирующейся на ось Ox в виде отрезка [a, b] оси Ox, с постоянной линейной плотностью вычисляется по формуле:

.           (7)

1. Рассмотрим вывод формулы (6). Статическим моментом системы материальных точек M1(x1,y1), M2(x2,y2),…, Mn(xn,yn) соответственно с массами ,m1, m2,…, mn относительно точки С (оси Ox) называется сумма попарных произведений масс этих точек на расстояния от этих точек до точки С (оси Ox). 

Например, статические моменты данной системы точек относительно осей Ox и Oy соответственно равны:

                                                   (8)

Центром тяжести системы материальных точек называется такая точка пространства,  что если в нее сосредоточить массу всей системы точек, то статистический момент этой точки относительно любой точки (оси) будет равен статическому моменту всей системы точек.

Если С(x0,y0) - центр тяжести данной системы точек, то выполняются равенства:

,

из которых следуют формулы для координат центра тяжести системы точек:

.                                                    (9)

Разобьем отрезок [a, b] точками: a = x0 < x1 < x2 <…< xn = b на n отрезков [x0 , x1], [x1, x2],…,[xn-1, xn]. Величина дуга AB разобьется точками M1(x1,y1), M2(x2,y2),…, Mn(xn,yn), yi = f(xi), на n элементарных дуг массой: mi (i = 1, 2, …, n). Тогда масса m  всей дуги буде равна

m = m1 + m2+…+mn.

Пусть = (x) – плотность дуги. Представим каждое элементарное слагаемое в виде произведения значения некоторой функции f(x) в некоторой точке  i  [xi-1, xi] на длину элементарной дуги:                        mi = (  i) l i = (  i) x i; x i = xi - xi-1, для  i = 1, 2,…, n. Получим приближенное значение массы m дуги  в виде интегральной суммы

.

Если предел интегральной суммы существует и не зависит от помеченного разбиения, то при бесконечном измельчении разбиения масс m  дуги равна пределу интегральной суммы:

,

( - диаметр разбиения).

Аналогично доказываются формулы для статических моментов.  А из формул (9) получаем формулы (7).

Пример 1. Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника массой m = 10000 кг с поверхности Земли на высоту H = 1000 км. Ускорение свободного падения у поверхности Земли предположить равным 10 м/с2.

Сила притяжения тела массой m, находящегося от поверхности Земле на расстоянии h определяется из закона всемирного тяготения:  , где - гравитационная постоянная, M – масса Земли. Тогда работа A по перемещению тела на высоту h из точки A, находящейся на высоте  h в точку C на высоте h+h равна: AF(h)h, dA = F(h)dh. Интегрируя это равенство по h в пределах от R до R+H, вычислим работу A по подъему тела на высоту H:  

.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли вычисляется из второго закона Ньютона: . Отсюда находим  . Тогда  и формула для работы принимает следующий вид:

PAGE  1

Определенный интеграл


x

x+dx

y=x2- 4

y

O

1

3

-1

-2

x

yi

xi

Li

M0

Mi

n

B

M2

A

Mi-1

y

y=f(x)

a

i

2

n

x0

1

xn

xi

x2

xi-1

x1

b

x

A

B

8

8

0

4

b

a

y

x

y

O

1

3

-1

-2

x

=6sin ,

 =4sin

y= 4-(x-1)2

y=x2- 4x+3

y

O

1

3

-1

-2

x



A

B

C

O

p

r=r()

x

y=f(x)

dS

x

y

O

a

b

x+dx

  y=g(x)

x

y=f(x)

dS

x

y

O

a

b

x+dx

S(x)

y

y=f(x)

a

i

2

n

x0

1

xn

xi

x2

xi-1

x1

b

x

a

i

2

n

x0

1

xn

xi

x2

xi-1

x1

b

x

C

B

A

b

b-

y

О

y

y=f(x)

a

с

y

О

y

y=f(x)

a

C

A

B

O

h

H

h

R

y=sin x

y

O

1

-1

-

x

y=x2- 4

y

O

1

2

-1

-1

x

x+dx

y =f(x)

y

x

a

b

x

O

y =f(x)

y

x

a

b

x

O

O

x

a

b


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47746. Валютные операции и валютное регулирование 1.02 MB
  Валютная политика представляет собой совокупность мероприятий, проводимых ЦБ страны и другими государственными органами в сфере валютных отношений и денежного обращения, с конечной целью воздействия на экономику страны и покупательскую силу национальной валюты
47747. Художественные стилевые направления в искусстве 814 KB
  Греческий а затем и латинский язык произведения искусства мифология философия научные открытия стали неотъемлемой частью европейской а во многом и мировой культуры ее историей и географией. Характер античной культуры и античного искусства складывался стремительно Если в Египте в течение нескольких тысячелетий мы наблюдаем по сути дела неизменный образ жизни и мышления человека то Греция за несколько веков проделала...
47748. Понятие и предмет криминологии 1.44 MB
  Преступность в различных ее проявлениях включает: индивидуальное преступное поведение; отдельные виды преступности выделяемые по объекту посягательств экономическая государственная и т. в причины и условия преступности объединяемые родовым понятием криминогенные детерминанты представляют собой совокупность социально негативных экономических демографических идеологических социальнопсихологических политических организационноуправленческих явлений которые порождают и обусловливают детерминируют преступность как свое...
47750. Електричні властивості металів і сплавів і методи їх дослідження 95 KB
  Електричні властивості металів і сплавів і методи їх дослідження. Електроопір металів і сплавів його залежність від температури та структури сплавів. Природа електроопору металів. В основу вивчення електричних властивостей металів і сплавів покладено закон Ома де i це сила струму U напруга R електроопір.
47751. ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ 177.5 KB
  Ідея наділити подібні інструменти інтелектуальністю матеріалізувалася в 1940х роках у вигляді компютера який використовує електронний носій інформації залишаючи напір лише для представлення даних у більш зручному вигляді. Основні риси людської інформаційної цивілізації: 1 зміна основного предмета праці в суспільному виробництві приводить не до спаду виробництва а до зростання його ефективності за рахунок застосування передових технологій роботизації й підвищення кваліфікації працюючих збільшуючи одночасно масу вільного часу громадян...
47752. Инвестиции. Понятие об инвестициях 271 KB
  Можно выделить 3 варианта: 1 активные инвестиции 2 и 3 пассивные инвестиции Этапы реализации инвестиционного проекта. Предварительная подготовка проекта. Это решается после разработки бизнесплана предполагаемого инвестиционного проекта. Бизнесплан инвестиционного проекта имеет определённую структуру которая зависит от специфики реализуемого бизнеса и масштабов проекта.
47753. История зарубежной журналистики 867.5 KB
  После возникновения книгопечатания печатные газеты вытесняют рукописные листки новостей периодическая печать в XVIXVIII веках является в 3 основных типах еженедельная и ежедневная газета журнал. Сегодня она распространяется по всей стране как и некоторые другие газеты. К качественной прессе кроме Таймса можно отнести ежедневные газеты Дейли телеграф Ежедневный телеграф 1855 год основания Гардиан Страж 1821 Файнэншл Таймс Финансовое время 1888 Индепендент Независимый. Период 18701914 годов отмеченным...
47754. ОСНОВЫ ПРАВА. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ 842.5 KB
  Это потребует высокопрофессионального состава юристов и достаточной правовой грамотности государственных служащих и других лиц, занятых юридической и иной деятельностью