22411

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Лекция

Математика и математический анализ

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных План Функции нескольких переменных Пространство Rn. Функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции и их свойства.

Русский

2013-08-03

860.5 KB

27 чел.

1007Z                                   Математический анализ                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 10.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

План

Функции нескольких переменных

  1.  Пространство Rn. Множества в Rn: открытые, замкнутые, ограниченные, линейно связные, выпуклые. Компактность.
  2.  Функции нескольких переменных. Основные понятия.
  3.  Предел функции нескольких переменных.
  4.  Непрерывность функции и их свойства.
  5.  Функции непрерывные на компакте и их свойства. Теорема о промежуточном значения непрерывных функций на линейно связном множестве.

Литература: Ильин В.А., т. 1, с.455 - 477. Письменный Д., с. 260-263. Ермаков В.И., с.301-306. Крамер В.Ш., с.301-312.  

Частные производные и дифференциалы

  1.  Частные производные и их свойства
  2.  Дифференцируемость функции, связь с частными производными.
  3.  Дифференциал функции и его связь с частными производными.
  4.  Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала.
  5.  Производная сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала.
  6.  Производная по направлению, градиент.

Литература: Ильин В.А., т. 1, с.476 - 492. Письменный Д., с. 263-274. Ермаков В.И., с.256-265. Крамер В.Ш., с.404-410.  

Частные производные и дифференциалы высших порядков

  1.  Частные производные высших порядков.
  2.  Дифференциалы высших порядков.
  3.  Формула Тейлора для функции от m с остаточным членом в форме Лагранжа.
  4.  Формула Тейлора для функции от m с остаточным членом в форме Пеано.

Литература: Ильин В.А., т. 1, с.492 - 508. Ермаков В.И., с.266-270. Крамер В.Ш., с.404-410.

Локальный экстремум функции нескольких переменных. Неявные функции

  1.  Локальный экстремум функции нескольких переменных.
  2.  Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.
  3.  Выпуклость функции.
  4.  Неявные функции.

Литература: Ильин В.А., т. 1, с.509 - 554. Ермаков В.И., с.270-275. Крамер В.Ш., с.410-417.  Письменный Дб с.274-278

Функции нескольких переменных

  1.  Пространство Rn . Множества в Rn: открытые, замкнутые, ограниченные, линейно связные, выпуклые. Компактность

Через Rn обозначаем множество всех упорядоченных наборов (x1, x2 ,…, xn), состоящих из n действительных чисел xi   R (i = 1,2,..n). Каждый набор обозначаем одной буквой A = A(x1, x2 ,…, xn)  и называем точкой множества Rn. Число xi называется координатой точки A. В пространствах R2 и R3 точки обозначаем соответственно символами (x, y), (x, y, z).

Каждой точке A(x1, x2 ,…, xn)   Rn соответствует  вектор x = (x1, x2 ,…, xn)  и множество векторов образует евклидово векторное пространство Rn со скалярным произведением, определяемым формулой x y = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn, где y = (y1, y2 ,…, yn)  Длина (норма) вектора       x Rn находится по формуле .

Определение 1.  Расстоянием d(AB) между точками A , B  Rn называется длина вектора AB и , если A = A(x1, x2 ,…, xn), B = B(y1, y2 ,…, yn),  то оно находится по формуле:

Из свойств евклидова пространства следует, что расстояние в обладает свойствами:

1) d(A, B) 0;

2) d(A, B) =0  A = B;

3) d(A, B) = d(B, A);

4) d(A, C)  d(A, B) + d(B, A)  (неравенство треугольника).

Расстояние между точками Rn называется метрикой, а пространство Rn в котором определено расстояние называется метрическим пространством.

Определение 2.  Шаром U(A, r) в Rn (открытым шаром, r - окрестностью точки A) с центром в точке A радиуса r называется множество всех точек X пространства Rn удаленных от точки A на расстоянии не большем чем r , т.е.

U(A, r) = {X Rn  d(A, X) < r }.

Для n = 1 шар совпадает U(A, r)  с r  – окрестностью точки A. Для n = 2 шар U(A, r)  представляет круг без окружности радиуса r  с центром в точке A.

Определение 3.  Точка A  Rn называется внутренней точкой множества M, если существует r -окрестность точки A, содержащаяся во множестве M.

Определение 4.  Точка A  Rn называется граничной точкой множества M, если в любой окрестности точки A содержаться точки принадлежащие множеству M и не принадлежащие множеству M. Множество всех граничных точек множества M называется границей множества M. Границу множества M обозначаем дM.

Определение 5.  Точка A  Rn называется внешней точкой множества M, если существует r -окрестность точки A, не пересекающаяся с множеством M.

Определение 6.  Множество M называется открытым, если оно состоит только из внутренних точек.

Определение 7.  Множество M называется замкнутым, если его дополнение M до множества открыто. Замкнутое множество M включает в себя все граничные точки.

Определение 8.  Точка A  Rn называется предельной точкой множества M, если в любой окрестности точки A содержится бесконечно много точек множества M. Последнее равносильно тому, что в любой окрестности точки А содержится точка множества М, отличная от А.

Определение 9.  Множество M называется ограниченным, если в Rn существует шар конечного радиуса с центром в начале координат, содержащий множество M.

Определение 9.  Множество M называется связным, если при любом разбиении множества на два непересекающиеся подмножества A1 и A2 они имеют общую граничную точку, принадлежащую A.

Определение 10.  Множество M называется линейно-связным, если любые две точки из можно соединить непрерывной кривой целиком, лежащей в A.

Отрезок, прямоугольник, шар связанные множества. Любое линейно-связанное множество, очевидно связанное.

Связное открытое множество в Rn называется областью.

Определение 11.  Система множеств Ui; iI, называется покрытием множества M, если множество M включено в объединение множеств Ui; iI, т.е. .

Определение 12.  Множество M  называется компактным, если из любого покрытия M множествами, открытыми в Rn можно выделить конечное под покрытие, т.е., если , то существует такая конечная совокупность подмножеств Ui; I =1, 2,…, n,  что .

Множество M Rn всех точек X, координаты которых удовлетворяют неравенствам x1-x10 < d1, x2-x20 < d2,…, xn-xn0 < dn называется открытым n-мерным координатным параллелепипедом с центром в точке С = С(x10, x20 ,…, xn0). Множество M Rn всех точек X, координаты которых удовлетворяют неравенствам x1-x10 d1, x2-x20 d2,…, xn-xn0  dn называется замкнутым n-мерным координатным параллелепипедом с центром в точке С = С(x10, x20 ,…, xn0). Замкнутый n-мерный координатный параллелепипед - компактное множество.

Имеет место теорема.

Теорема 1. Множество M Rn является компактным тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

  1.  Функции нескольких переменных. Основные понятия

Определение 1. Функцией от n переменных называется любое отображение f множества M  Rn во множество R, которое любой точке X = (x1, x2 ,…, xn) M ставит в соответствие единственное число u R, обозначаемое u = f(X) или u = f(x1, x2 ,…, xn).  Множество M называется областью определения функции f.  Множество всех f(X), где X  M называется множеством значений функции.

Функции двух и трех переменных обозначают соответственно символами z = f(x, y) или u = f(x, y, z). Для функции двух переменных вводится понятие графика. Графиком функции z = f(x, y) называется поверхность, точки которой имеют координаты (x, y, f(x, y)).

Функцию двух переменных на плоскости так же изображают линиями уровней.

Определение 2. Линией уровня функции z = f(x, y), уровня c называется множество всех точек (x, y) плоскости Oxy, удовлетворяющих уравнению  f(x, y) = c. Поверхностью  уровня функции u = f(X), уровня c называется множество всех точек P = (x1, x2 ,…, xn) из Rn, удовлетворяющих уравнению  f(x, y) = c.  

Пример 1. Область определения функции  множество всех точек плоскости координаты, которых удовлетворяют неравенству  . Это есть открытый круг радиуса 3 с центром в начале координат.

  1.  Область определения функции  множество всех точек плоскости, кроме точек прямой x + y – 2 = 0.
  2.  График функции  - эллиптический параболоид и ее линии  уровня - окружности.
  3.  Поверхности уровня функции  - сферы.

  1.  Предел функции нескольких переменных.

Рассмотрим в n -мерном евклидовом пространстве Rn последовательность точек {An}.

Определение 1. Точка А называется пределом последовательности точек {Am}, если для любого положительного числа можно указать такой номер m0 , что при всех m > m0 выполняется неравенство d(Am, A) < . Обозначаем . Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся.

То что последовательность {Am} имеет пределом точку A обозначает, что для любого >0, начиная с некоторого номера m0 все члены последовательности {Am} находятся в – окрестности точки A.

Утверждение  равносильно утверждению . Если Am = (xm1, xm2 ,…, xmn), A = (a1, a2 ,…, an), то . Так как  

0 |xmixi|  d(Am,A); i = 1,2,…,n, то условие равносильно тому, что  для каждого i = 1,2,…,n.

Определение 2. Последовательность {An} называется ограниченным, если в Rn существует шар конечного радиуса, содержащий все точки этой последовательности.

Теорема 1 (Больцано - Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности {An} можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Так как последовательность {An} ограничена, то найдется такое число с, что  все члены последовательности находятся в шаре U(О, r). Тогда все члены последовательности {An} находятся  замкнутом n-мерном координатном параллелепипеде с центром в точке O. 

Пусть Am = (xm1, xm2 ,…, xmn),. Так как последовательность {xm1}первых координат ограничена, то из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность , которой соответствует подпоследовательность .

В этой последовательности последовательность вторых координат  ограничена, то из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность , которой соответствует подпоследовательность . В полученной подпоследовательности последовательности первых и вторых координат сходятся.

Далее рассматривая в полученной последовательности последовательность третьих координат и .д. получим подпоследовательность данной последовательности, в которой все координаты сходятся. Тогда полученная последовательность в силу сказанного ранее сходящаяся.

Определение 3. Пусть точка A - предельная точка области определения функции f(X). Число b называется пределом функции f(X) в точке А , если для любого положительного числа можно указать такое положительное число , что для всех точек X из области определения функции  f(X), удовлетворяющих условию d(X, A) < выполняется неравенство f(X)-b < . Обозначаем

Определение 4. Число b называется пределом функции f(X) при X   , если для любого положительного числа можно указать такое положительное число , что для всех точек X из области определения функции  f(X), удовлетворяющих условию d(X, A) > выполняется неравенство f(X)- b < . Обозначаем

Определение 4. Функция f(X) называется бесконечно малой в точке A,  если предел функции f(X) в точке А равен 0.

Теорема 1. Функция f(X) имеет в точке A предел равный b тогда и только тогда, когда  f(X) -  b бесконечно малая при X  А.

Доказательство.  Утверждение  равносильно утверждении, что любого положительного числа можно указать такое положительное число , что для всех точек X из области определения функции  f(X), удовлетворяющих условию d(X, A) < выполняется неравенство f(X)-b < . Тогда функция f(X) -  b бесконечно малая при X  А.

Аналогично доказывается обратное утверждение.

Предел функции нескольких переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам пределов функции одной переменной.

Теорема 3. Пусть функции f(X) и g(X) имеют в точке A пределы соответственно a и b. Тогда функции f(X) + g(X),          f(X) - g(X), f(X)  g(X), f(X) / g(X) имеют в точке А пределы (частное при условии а 0), равные соответственно a + b, a - b, a  b a/b.

Доказательство.  См. доказательств аналогичных теорем для функций одной переменной.

  1.  Непрерывность функции в точке

Пусть точка A - предельная точка области определения функции f(X).

 Определение 1. Функция f(X) называется непрерывной в точке A,  если предел функции f(X) в точке А существует и равен значению функции f(X) в точке A, т.е.

Предельные точки области определения, в которых функция не обладает непрерывностью называются точками разрыва функции. Точки разрыва функции нескольких переменных могут образовывать линии разрыва или области разрыва функции.

Пример 1. Линия разрыва функции  окружность .

Функция f(X) называется непрерывной на множестве М, если она непрерывна в каждой точке множества М.

Пусть даны точки A = A(a1, a2 ,…, an) и X = X(x1, x2 ,…, xn). Разности x1- a1 =x1, x2- a2 =x2,…, xn- an =xn,   называются приращениями аргумента в точке А, а разность f(X) - f(A) =  f(X) = u называется полным приращением функции u = f(X) в точке А:  u =  f(X) - f(A) =  f(a1 + x1,  a2 + x2,…, an + xn) - f(a1, a2,…, an).

Функция u = f(X) непрерывна в точке А тогда и только тогда, когда полное приращение функции u представляет бесконечно малую величину в точке А:

.

Пример 1. Покажем, что функция z = xy2 непрерывна в каждой точке (x0, y0) плоскости. Пусть    A=A(x0, y0) и X = X(x, y). Разности x- x0 =x, y- y0 =y. Найдем соответствующее им приращение функции:

Так как приращение функции бесконечно малая величина при x0, y0, то функция xy2 непрерывна в точке (x0, y0).

Непрерывность функции от нескольких переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам непрерывности функции одной переменной.

Теорема 1. Пусть функции f(X) и g(X) непрерывны в точке A. Тогда функции f(X) + g(X),          f(X) - g(X), f(X)  g(X), f(X) / g(X) непрерывны в точке А (частное при условии g(А)  0).

Теорема 2. Пусть функции u = f(Y) = f(y1, y2 ,…, ym) непрерывна в точке B(b1, b2 ,…, bm), функции yi = gi (X) (i = 1,2,…n) непрерывна в точке A(a1, a2 ,…, an), bi = gi (A) (i = 1,2,…n). Тогда сложная функции f(g1(X), g2(X) ,…, gm(X)) непрерывна в точке А.

Доказательство. Так как функция u = f(Y) непрерывна в точке B, то для любого >0 можно указать такое положительное число , что для всех точек Y из области определения функции  f(Y), удовлетворяющих условию d(Y, B) < выполняется неравенство f(Y)- f(B) < . Внутри –окрестности точки B рассмотрим координатный параллелепипед с центров точке B со стороной 2/. Диагональ которого равна 2.

Так как каждая из функций yi = gi (X) (i = 1,2,…n) непрерывна в точке A, для числа 1=/>0 можно указать такое положительное число i, что для всех точек X из области определения функции  gi(X), удовлетворяющих условию d(X, A) < i выполняется неравенство  gi(X)- gi(A) < 1.

Если возьмем  , то все неравенства будут выполнятся одновременно. Используя обозначения эти неравенства, можем переписать следующим образом:  yi- bi < 1= /, (i = 1,2,…n). Тогда

d(Y, B) .

Откуда по сказанному выше f(Y)- f(B) < . Таким образом, для любого >0 можно указать такое положительное число 0, что что для всех точек X из области определения функции  gi(X), удовлетворяющих условию d(X, A) < 0 выполняется неравенство f(Y)- f(B) < , т.е.

.

Следовательно, функция f(g1(X), g2(X) ,…, gm(X)) непрерывна в точке А.

Определение 2. Основными элементарными функциями называются показательные функции, логарифмические функции, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, степенные функции.

Элементарными функциями называются функции, которые задаются одной формулой и получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операции композиция

Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны во всех точках числовой оси, где они определены. Справедлива теорема.

Теорема 3. Любая элементарная функции непрерывна на всех промежутках, где они определена. 

  1.  Функции непрерывные на компакте и их свойства. Теорема о промежуточном значения непрерывных функций на линейно связном множестве

Приведенные ниже теоремы представляют обобщения соответствующих теорем для функции от одной переменной.

Теорема 1 (об устойчивости знака непрерывной функции). Пусть функции u = f(X) непрерывна в точке A  Rn и f(А)  0. Тогда существует такая -окрестность точки А, в которой функция f(X) не обращается в ноль и имеет знак, равный знаку  f(А).

Доказательство. Пусть функция f(X) непрерывна в точке A , f(A)  0. Полагаем = f(A)  0. Тогда по определению непрерывности существует такое число > 0, зависящее от , =(), что для любого действительного числа XD(f), удовлетворяющего неравенству d(X,A < , выполняется неравенство  f(X) - f(A)  < .  Таким образом,  для любого x  U(A, ) имеем  

-+ f(A) < f(X) < + f(A)  или -f(x0)+ f(x0) < f(x) < f(x0) + f(x0).

Отсюда находим, если f(x0) > 0, то f(x) > -f(x0) + f(x0) = -f(x0) + f(x0) = 0, если f(x0) < 0, то f(x) <-f(x0) + f(x0) = -f(x0) + f(x0) = 0. Таким образом, в обоих случаях f(x0) f(x)>  0.

Определение 1. Непрерывной линией в пространстве Rn называется множество всех точек X(x1, x2 ,…, xn) пространства Rn, координаты которых представляют непрерывные функции параметра t: xi = gi (t)  t [, ] (i = 1,2,…n).

Определение 2.  Множество M Rn называется связным, если любые его две точки можно соединить непрерывной линией целиком, принадлежащей M.

Теорема 2 (о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение). Пусть функции u = f(X) непрерывна на связном множестве М, f(А), f(B) - значения функции в точках A  М, с - любая точка, заключенная между f(А) и f(B). Тогда на любой непрерывной линии L, соединяющей точки A, B и лежащей в М найдется такая точка С, что f(С) = с. 

Теорема 3 (об ограниченности непрерывной функции на компактном множестве, первая теорема Вейерштрасса). Пусть функции u = f(X) непрерывна на компактном (замкнутом и ограниченном) множестве М. Тогда функция f(X) ограничена на множестве М.

Доказательство. Пусть для функции f(X) выполняются условия теоремы. Докажем, что функция f(X) ограничена на М.  Допустим противное, что f(X) не ограничена на М сверху или снизу. Пусть для определенности функция f(X) не ограничена на М сверху. Тогда для любого n  N существует такое      Xn М, что f(Xn) > n. Последовательность {Xn} М ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса выделим в ней сходящуюся подпоследовательность: A, где A М.  Так как в точке A функция  f(A) непрерывна, то . Тогда последовательность  функция бесконечно малая при k  .  

Последнее невозможно, так как для любого k  N имеем  , то последовательность бесконечно большая при k  . Поэтому и последовательность бесконечно большая. Получаем противоречие, с доказанным ранее.  Поэтому функция f(X) ограничена сверху.

Аналогичным образом доказывается ограниченность функции f(X) снизу.

Теорема 4 (о достижении своих граней  непрерывной функции на компактном множестве, вторая теорема Вейерштрасса). Пусть функции u = f(X) непрерывна на компактном множестве М. Тогда функция f(X) достигает на этом множестве своих точных верхней и нижней граней.

Доказательство. Пусть для функции f(X) выполняются условия теоремы. Точная нижняя и точная верхняя грани  множества значений функции f(X) на  M существуют по теореме о существования точных граней у ограниченного множества. Докажем, что функция f(X) достигает на M своей точной нижней или точной верхней грани

Допустим противное, что функция f(X) не достигает на M своей точной нижней или точной верхней грани. Для определенности предположим, что для любого X  M f(x) . Составим функцию . По условию m - f(X) > 0 для любого X M.

Функция g(X) определена и непрерывна на M.   Поэтому по теореме 3 она ограничена на M.  Поэтому существует такое число С>0, что для любого X M выполняется неравенство

.

Обе части неравенства положительны и из него получаем

.

Получаем, что число  является верхней гранью множества значений функции f(X) на  M. Последнее утверждение противоречит определению точной верхней грани. Полученное противоречие доказывает, что имеется такое число X  M, что  f(X) = m.

Аналогично доказывается, что функция f(X) достигает на M своей точной нижней грани.

Определение 3. Функции f(X)  называется равномерно непрерывной на множестве М для любого положительного числа можно указать такое положительное число , что для всех точек X, X' из М, удовлетворяющих условию d(A, A' ) < выполняется неравенство f(A)- f(A') < .  

Теорема 4 (теорема Кантора о равномерной непрерывности). Функции u = f(X) непрерывна на компактном  множестве М равномерно непрерывна на М.

Частные производные и дифференциалы

  1.  Частные производные и их свойства

Пусть даны точки A = A(x1, …,xi ,…, xn) и X = X(x1,...., xi + xi ,…, xn). Разность f(X) - f(A)  называется частным приращением функции u = f(X) в точке А, соответствующим приращению xi аргумента xi:

.

Рассмотрим отношение частного приращения функции к соответствующему приращению аргумента

.                              (1)

Определение 1.  Если существует предел отношения (1) частного приращения  функции f(X) в точке  A= A(x1, …,xi ,…, xn) к соответствующему приращению  аргумента xi, при условии, что приращение  аргумента xi стремится к нулю, то этот предел называется частной производной функции  u = f(x1, …,xi ,…, xn) в точке A по аргументу xi , и обозначается он одним из символов:

.

Для функции от n переменных имеется n частных производных, по каждой из переменной. Для функции z = f(x, y) имеется две частные производные  . Отметим, что частная производная от функции u = f(x1, …,xi ,…, xn) в точке A по аргументу xi представляет обыкновенную производную функции одной переменной xi  при фиксированных значениях остальных. Поэтому частные производные вычисляются по обычным правилам вычисления функций одной переменной.

Пусть u = f(x1, …,xi ,…, xn), v = g(x1, …,xi ,…, xn) две функции имеющие частные производные по переменной xi в точке A. Тогда

Для вычисления производной от m функций удобно использовать формулу:

.

Геометрический смысл частной производной функции двух переменных. Значение частной производной  fx'(x0, y0) = tg , где - угол между осью Ох и касательной, проведенной к кривой z = f(x , y0)  в точке M0(x0, y0, f(x0, y0)).

Пример 1. Вычислить частные производные от функций: .

.

  1.  Дифференцируемость функции, связь с частными производными.

Полным приращением функции u = f(x1, x2 ,…, xn) в точке X = X(x1, x2 ,…, xn), соответствующим приращениям аргументов x1, x2,…, xn,   называются выражение:

 u =   f(x1 + x1,  x2 + x2,…, xn + xn) - f(x1, x2,…, xn).

Определение 1.  Функция u = f(x1, x2 ,…, xn) называется дифференцируемой в точке X(x1, x2 ,…, xn), если ее полное приращение  u в этой точке может быть представлено в виде

u = A1x1+ A2x2 +…+ Anxn + 1x1+ 2x2 +…+ nxn,                                (1)

где A1, A2, …, An - независящие от x1, x2,…, xn числа, 1, 2,…, n - бесконечно малые при x1 0, x2 0,…, xn 0 функции, равные нулю при x1= 0, x2= 0,…, xn= 0.

Соотношение (1) называется условием дифференцируемости функции в точке X. Сумму A1x1+ A2x2 +…+ Anxn называют главной частью приращения функции, которая линейна относительно приращений аргументов. Обозначим через бесконечно малую функцию  при x1 0, x2 0,…, xn 0. Так как 1x1+ 2x2 +…+ nxn  (1+ 2 +…+ n) = o(), то условие (1) можно представить в виде

 u = A1x1+ A2x2 +…+ Anxn + o(),                                                    (1)

при это можно считать o() = 0 при = 0.

Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функции u = f(x1, x2 ,…, xn) дифференцируема в точке X(x1, x2 ,…, xn), то она  непрерывна в точке Х и имеет в этой точке частные производные по всем аргументам, причем .

Доказательство. Пусть функции u = f(x1, x2 ,…, xn) дифференцируема в точке X(x1, x2 ,…, xn). Тогда по определению ее приращение

 u = A1x1+ A2x2 +…+ Anxn + 1x1+ 2x2 +…+ nxn,                                (3)

где A1, A2, …, An - независящие от x1, x2,…, xn числа, 1, 2,…, n - бесконечно малые при x1 0, x2 0,…, xn 0 функции, равные нулю при x1= 0, x2= 0,…, xn= 0. Тогда приращение функции  u в точке X(x1, x2 ,…, xn) есть бесконечно малая величина при x1 0, x2 0,…, xn 0. И по определению функция непрерывна в точке X(x1, x2 ,…, xn).

Из формулы (3) находим частное приращение функции u в точке X(x1, x2 ,…, xn)по переменной xi: . Тогда

Теорема 2 (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функции u = f(x1, x2 ,…, xn) имеет в некоторой окрестности точки X(x1, x2 ,…, xn) непрерывные частные производные по всем аргументам, то функция u дифференцируема в точке X(x1, x2 ,…, xn), причем .

Доказательство. Пусть частные производные непрерывны в некоторой –окрестности точки X(x1, x2 ,…, xn). Имеем

 u =   f(x1 + x1,  x2 + x2,…, xn + xn) - f(x1, x2,…, xn)=

= [ f(x1 + x1,  x2 + x2,…, xn + xn) - f(x1,  x2 + x2,…, xn + xn)] +

+[ f(x1,  x2 + x2,…, xn + xn) - f(x1,  x2,…, xn + xn)] +…+[ f(x1,  x2,…, xn + xn)-  f(x1, x2,…, xn)]=

= 1 u + 2 u +…+ n u.                                                            (4)

Для каждого i = 1, 2, …, n  в выражении

i u =  f(x1,  x2,… , xi-1, xi + xi, xi+1 + xi+1,…, xn + xn) - f(x1,  x2,… , xi-1, xi, xi+1 + xi+1,…, xn + xn)

переменные x1,  x2,… , xi-1, xi+1 + xi+1,…, xn + xn можно считать фиксированными, и его можно рассматривать как приращение функции  f(x1,  x2,… , xi-1, xi, xi+1 + xi+1,…, xn + xn) по переменной xi, соответствующей приращению аргумента xi. Так как функция u дифференцируема в некоторой окрестности точки X(x1, x2 ,…, xn), то при достаточно малых x1, x2,…, xn она дифференцируема на отрезке с концами  xi, xi + xi. Поэтому к ней можно применить теорему Лагранжа:

 i u =  f(x1,  x2,… , xi-1, xi + xi, xi+1 + xi+1,…, xn + xn) - f(x1,  x2,… , xi-1, xi, xi+1 + xi+1,…, xn + xn)=

,

где c число из интервала с концами xi, xi + xi. Так как частные производные непрерывны в  –окрестности точки X(x1, x2 ,…, xn), то разность

является бесконечно малой величиной при при x1 0, x2 0,…, xn 0 функции. Тогда по формуле (4) получаем:

.

По определению функция дифференцируема в точке X(x1, x2 ,…, xn).

Пример 1. Функция  z= |y|sin x дифференцируема в точке (0,0), так как

  1.  Дифференциал функции и его связь с частными производными

Определение 1.  Дифференциалом (полным дифференциалом ) du функции u = f(x1, x2 ,…, xn) в точке X(x1, x2 ,…, xn) называется главная линейная часть приращения этой функции в точке в точке X(x1, x2 ,…, xn). Таким образом, дифференциал дифференцируемой в точке функции называется выражение

du = A1x1+ A2x2 +…+ Anxn.                                                                                              (5)

Полагая дифференциал независимой переменной  dxi = xi , по теореме 1 формулу (3) перепишется следующим образом

.                             (6)

По определению дифференциала для функции z = f(x, y) двух переменных при достаточно малых x и y имеет место приближенное равенство z  dz. Так как полное приращение  z = f(x+x, y + y) - f(x, y), то получаем

f(x+x, y + y)  f(x, y) + fx' (x, y) x + fy' (x, y) y,                        (7)

для приближенного вычисления значений функции.

Пример 1. Найти дифференциал функции . Имеем

Пример 2. Вычислить приближенно . Полагаем

Тогда   и

.

  1.  Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала

  

Касательной плоскостью в точке А(x0, y0) к поверхности, заданной уравнением z = f(x, y) называется плоскость проходящая, через касательные к кривым z = f(x , y0), y = y0 и z = f(x0 , y), x = x0 . Таким образом угловые коэффициенты прямых линий пересечения касательной плоскости с координатными плоскостями Oyz и Oxz соответственно равны частным производным fx' (x0, y0) и fy' (x0, y0). Отсюда находим уравнение касательной плоскости. Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке А(x0, y0) имеет вид:

z - z0 = f(x0, y0) + fx' (x0, y0)(x - x0) + fy' (x0, y0) (y - y0).                                (8)

Нормалью к поверхности z = f(x, y) в точке А(x0, y0) называется прямая проходящая через точку А(x0, y0) перпендикулярно касательной плоскости в точке А(x0, y0). В качестве направляющего вектора нормальной прямой  можно взять нормальный вектор касательной плоскости:

(fx' (x0, y0), fy' (x0, y0), -1).

Тогда нормаль к поверхности в точке А(x0, y0) имеет уравнение:

.                                                   (9)

Геометрически полное приращение z функции z = f(x, y) представляет приращение аппликаты поверхности z = f(x, y). Геометрически дифференциал dz функции z = f(x, y) есть приращение аппликаты касательной плоскости к поверхности z = f(x, y) в данной точке, когда переменные и получают приращения x, y.

Пример 1. Найти уравнение касательной и нормали к графику функции z = x3y2 в точке (1,1).

Вычисляем . Тогда уравнения касательной плоскости и нормали к графику данной функции в данной точке соответственно имеют вид:

.

  1.  Производная сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала

 

Теорема 1. Пусть функция u = f(Y) = f(y1, y2 ,…, ym) дифференцируема в точке Y(y1, y2 ,…, ym), функции yi = gi (x1, x2 ,…, xn) (i = 1,2,…n) дифференцируемы в точке X(x1, x2 ,…, xn), yi = gi (X) (i = 1,2,…,m). Тогда сложная функции f(g1(X), g2(X) ,…, gm(X)) дифференцируема в точке X, при этом все частные производные этой функции определяются формулами:

    (10)

При этом все частные производные  берутся в точке Y(y1, y2 ,…, ym), частные производные  берутся в точке X(x1, x2 ,…, xn).

Доказательство. Так как функция u = f(y1, y2 ,…, ym)  дифференцируема в точке Y(y1, y2 ,…, ym), то по определению приращение u функции u в этой точке представляется в виде:

u = A1y1+ A2y2 +…+ Anyn + o(),                                                    (11)

где A1, A2 ,…, An – постоянные, , o() бесконечно малая более высокого порядка чем при 0,  o(0) = 0.

Так как функции yi = gi (x1, x2 ,…, xn) (i = 1,2,…n) дифференцируемы в точке X(x1, x2 ,…, xn), yi = gi (X) (i = 1,2,…,m), то

D yi = Bi1Dx1+ Bi 2Dx2 +…+ Bi nDxn + o(r1)                                        (12)

Bi1, Bi2 ,…, Bin – постоянные, , o(1) бесконечно малая более высокого порядка чем 1 при 10,  o(0) = 0.

1, A2 ,…, An – постоянные, , o() бесконечно малая более высокого порядка чем 1 при 10,  o(0) = 0.

Подставляя (12) в (11) получаем

.(13)

В силу непрерывности функций gi  (i = 1,2,…n),  при 10.  Поэтому

бесконечно малая величина более высокого порядка, чем 1 при 10. В силу непрерывности функций gi  (i = 1,2,…n),  при 10.

Тогда сложная функция f(g1(X), g2(X) ,…, gm(X)) дифференцируема в точке X. Отсюда по теореме 1 из параграфа 2 получаем, что

.

Теорема 2. Пусть функция u = f(y1, y2 ,…, ym) дифференцируема в точке Y(y1, y2 ,…, ym), функции yi = gi (x) (i = 1,2,…n) дифференцируемы в точке x, yi = gi (x) (i = 1,2,…n). Тогда сложная функции f(g1(x), g2(x) ,…, gm(x)) дифференцируема в точке X, при этом производная этой функции вычисляется по формуле:

.                                                    (14)

В случае функции z = f(x, y), где x = x(u, v), y = y(u, v) двух переменных формула (10)  принимает следующий вид.

.                                                   (15)

В случае функции z = f(x, y), где x = x(u), y = y(u) двух переменных формула (14)  принимает следующий вид.

.                                                              (16)

Свойство инвариантности полного дифференциала. Полный дифференциал сложной функции сохраняет свой вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Пример 1. Пусть . Найти выражения для частных производных функции .

  1.  Производная по направлению, градиент

 

Пусть функция трех переменных u = f(x, y, z) задана в некоторой окрестности точки               A0(x0 , y0 , z0). Рассмотрим направление l, определяемое единичным вектором e с координатами (cos, cos, cos). Проведем через точку A0 прямую, направление которой совпадает с вектором e. Возьмем точку X(x ,y , z).. Тогда ее координаты вычисляются по формуле: x = x0 + tcos , y = y0 + tcos , z = z0 + tcos  Подставим в уравнение функции       u = f(x, y, z) и получим сложную функцию u = f(x0 + tcos , y0 + tcos , z0 + tcos ).

Определение 1.  Производной функции u = f(x, y, z) по направлению оси l в точке A0(x0 , y0 , z0) называется производная функции f(x0 + tcos , y0 + tcos , z0 + tcos ) по переменной t в точке A0(x0 , y0 , z0). Она обозначается символом .

По формуле производной сложной функции получаем формулу для производной по направлению:

 

Определение 1.  Градиентом функции u = f(x, y, z) в точке A0(x0 , y0 , z0) называется вектор, обозначаемый символом , и имеющим координаты, где частные производные вычислены в точке A0(x0 , y0 , z0), т. е. .

На плоскости направление задается двумя направляющими углами  координатами (cos, cos). Производная по направлению l вектора e = (cos, cos)  от функции z = z(x, y) имеет вид:

,

а вектор градиента находится по формуле:

.

В n-мерном пространстве направляющими косинусами  (cos 1, cos 2,…, cos т). Производная по направлению l вектора e (cos 1, cos 2,…, cos т) от функции u = f(x1, x2 ,…, xn) имеет вид:

,

а вектор градиента находится по формуле:

.

Свойства градиента.

  1.  Максимальное значение производной по направлению функции u = f(x, y, z) в точке A0(x0 , y0 , z0) равно длине вектора градиента и достигается по направлению вектора .
  2.  Минимальное значение производной по направлению функции u = f(x, y, z) в точке A0(x0 , y0 , z0) равно  и достигается по направлению вектора .
  3.  Производная по направлению равна нулю, если вектор градиента перпендикулярен направлению производной или равен нулю.

Теорема 1. Градиент grad u функции u = f(x, y, z) в точке A0(x0 , y0 , z0) характеризует величину и направление максимального роста функции в точке. 

Пример 1. Найти градиент функции в точке A(1,2). Найти производную по направлению вектора , где A(2,3). Найти наибольшее значение производной по направлению в точке A.

Вычисляем

Наибольшее значение производная по направлению имеет в направлении вектора градиента и ее значение равно длине вектора градиента, т.е. равно .

Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора

  1.  Частные производные высших порядков

 

Пусть u = f(x1,…, xn) - функция, которая в каждой точке области М  Rn имеет частные производные  . Частную производную по аргументу xk от производной называют производной второго порядка и обозначается символом: .  При k  i частную производную называют смешенной производной второго порядка. При k = i частную производную второго порядка обозначаем символом . Всего имеется n2 частных производных второго порядка.

Частную производную по аргументу xj от производной второго порядка называют производной третьего порядка. Частной производной m-го порядка по аргументам называется частная производная по аргументу от производной (m - 1) - го порядка по аргументам . По определению

Функция называется n раз дифференцируемой в точке A(x1, x2,…,xn), если все частные производные (n - 1)-го порядка являются дифференцируемыми функциями в точке A(x1, x2,…,xn).  Достаточное условие n раз дифференцируемости функции u = f(x1,…, xn) в точке A(x1, x2,…,xn),  непрерывность в точке A(x1, x2,…,xn) всех ее частных производных n -го порядка.

Теорема 1 ( Шварца). Если частные производные m -го порядка функции u = f(x1,…, xn) непрерывны в точке A(x1, x2,…,xn), то смешенные производные m -го порядка, отличающиеся только порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности для функции z = f(x, y), у которой частные производные второго порядка непрерывны имеем  .

Доказательство. Докажем теорему для функции z = f(x, y) от двух переменных и рассматриваются смешенные производные второго порядка. Общий случай сводится к этому случаю методом математической индукции по порядку смешанных производных. Рассмотрим функцию:

.

Положим

.

Тогда к 2f дважды применим формулу Лагранжа конечных разностей:

                 (1)

где , 1(0,1).

С другой стороны, полагаем

.

Тогда к 2f дважды применим формулу Лагранжа конечных разностей:

                   (2)

где 2, 3(0,1).

Из (1) и (2) получаем

,

Переходя к пределу при x0, y0 выводим равенство:

Пример 1. Вычислить частную производную   функции   .

  1.  Дифференциалы высших порядков

 

Дифференциал функции u = f(x1,…, xn) в точке A(x1, x2,…,xn) определяется равенством

Дифференциал от дифференциала функции при тех же самых приращениях аргументов называется дифференциалом второго порядка и обозначается символом

.                       (2)

Эти формулы справедливы только тогда, когда x1,…, xn независимые переменные. Последнюю формулу можно записать в следующем простом виде

.

Определение 1.  m-м дифференциалом dmu функции u = f(x1,…, xn) в точке A(x1, x2,…,xn) называется дифференциал от (m -1) - го дифференциала d m-1u функции u = f(x1,…, xn) в точке A(x1, x2,…,xn), коuда дифференциалы переменных одни и те же.

Дифференциал m-го второго порядка функции u = f(x1,…, xn) представляется в виде

.                                        (3)

Последнюю формулу можно записать в следующем простом виде

.

Если в формуле (3) привести подобные слагаемые, то ее можно записать в виде:

,

где суммирование ведется по всем упорядоченным наборам (k1, k1, …, kn) неотрицательных целых чисел k1, k1, …, kn таких, что k1+ k1+ …+ kn = m.

Второй дифференциал не обладает свойством инвариантности. Т. е. последние две формулы будут иметь другой вид, если переменные x1, x1,…, xn будут зависимые от других переменных.

Пример 1. Найти второй дифференциал функции . По формуле (2) имеем

.

Вычисляем

.

Отсюда получаем

.

Пример 2. Найти третий дифференциал функции  в точке (1,1). По формуле (2) имеем

.

Вычисляем

.

Отсюда получаем

.

  1.  Формула Тейлора для функции от n переменных с остаточным членом в форме Лагранжа

Обозначаем дифференциал k -го порядка функции u = f(x1,…, xn) в точке A(x1, x2,…,xn) символом d k uA. Тогда справедлива теорема.

Теорема 1. Пусть функция u = f(X) = f(x1, x2 ,…, xn) задана в некоторой окрестности U точки X0(x10, x20 ,…, xn0) и имеет k+1 дифференциал  в указанной окрестности. Тогда полное приращение u = f(X) - f(X 0) этой функции в точке X 0 для любой точки X из указанной окрестности может быть представлено в следующей форме:

.                           (1)

При этом N - некоторая точка указанной окрестности, зависящая от X(x1,x2,…,xn), N=X0+(X- X0), (0, 1), а дифференциалы dxi  переменных xi , входящие в выражения , равны        xi = xi.- xi 0.

Последняя формула называетcя формулой Тейлора для функции с центром разложения в точке X0(x10, x20 ,…, xn0).

Формула Тейлора в развернутом виде выглядит следующим образом:

u = f(X) = f(x1, x2 ,…, xn)  = f(x10, x20 ,…, xn0) =

Доказательство. Пусть точка X = X0 + X  U . Рассмотрим функцию  

F(t) = f(X0 + tX) = f(x10 + t x1, x20 + t x2,…, xn0 + t xn),

где         t  (-1,1). Она является сложной функцией и по правилу дифференцирования сложной функции  имеет непрерывные частные производные до n+1 порядка включительно в окрестности точки 0. Тогда к функции применима формула Тейлора для функции от одного переменного:

,                     (2)

  (0,1). Вычисляем коэффициенты в разложении (2) по правилу дифференцирования сложной функции:

Аналогично находим

Отсюда и из формулы (2) получаем утверждение теоремы 1. 

Если в формуле Тейлора центр разложения X0 совпадает с нулем, то формула Тейлора называется формулой Маклорена.

 

  1.  Формула Тейлора для функции от n переменных с остаточным членом в форме Пеано.

Обозначаем дифференциал k -го порядка функции u = f(x1,…, xn) в точке A(x1, x2,…,xn) символом d k uA. Тогда справедлива теорема.

Теорема 1. Пусть функция u = f(X) = f(x1, x2 ,…, xn) задана в некоторой окрестности U точки X0(x10, x20 ,…, xn0) и k-1 раз дифференцируема в указанной окрестности и k раз дифференцируема в точке X0. Тогда для любой точки X из указанной окрестности точки справедлива следующая формула:

,                                       (1)

где .

Формула Тейлора в развернутом виде выглядит следующим образом:

u = f(X) = f(x1, x2 ,…, xn)  = f(x10, x20 ,…, xn0) = .

Доказательство. Докажем теорему методом математической индукции по k. При k =1  утверждение теоремы следует из определения дифференцированной функции и дифференциала. Предположим, что утверждение теоремы верно для k -1 и докажем его для k.

По условия функция имеет в окрестности U точки X0 все производные до k -1 порядка включительно.  Рассмотрим функцию

.

Функция r(X)  и все ее частные производные до k-го порядка включительно в точке X0 равны нулю.

Пусть X U и X=X-X0. Тогда имеем

r(X) = r(X) - r(X0) = r(X0 + X) - r(X0) = 1 + 2 + …+ n,

где величины 1, 2, …, n определяются равенствами:

Применяя формулу Лагранжа к каждой величине I , получаем:

,

где i(0,1), . Таким образом, получаем

.

Точка X0+Vi U для каждого i = 1,2,…, n. Для частных производных остатков можно применит индуктивное предположение с заменой параметра k на  k -1. Тогда для всех i = 1,2,…, n имеем

.

Поэтому

.

Замечание 1. Формула Тейлора с остаточным членом в Форме Лагранжа более точна, так как дает более точную оценку остаточного член, чем формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Но для применимости формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа требуется   k +1 дифференцируемость функции f(X) в окрестности точки X0. Для применимости формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано требуется дифференцируемость функции f(X) в окрестности точки X0 применимости формулы k -1 раз и k раз дифференцируемость функции  f(X)  в точке X0.  

Пример 1. Разложить по формуле Тейлора второго порядка с остаточным членом в форме Пеано функцию в окрестности точки (2, 1).

По формуле Тейлора:

.

Вычисляем частные производные:

Отсюда

Тогда

Так как dx = x = x-2, dy = y = y-1, то получаем формулу Тейлора:

Пример 2. Разложить по формуле Маклорена третьего порядка с остаточным членом в форме Пеано функцию.

По формуле Тейлора:

.

Вычисляем частные производные:

Отсюда

Тогда

Так как dx = x = x, dy = y = y, то получаем формулу Маклорена:

Локальный экстремум функции нескольких переменных. Неявные функции

  1.  Локальный экстремум функции нескольких переменных

 

Определение 1. Точка  X0 называется точкой строгого локального максимума функции u = f(X), если существует такая e-окрестность U(A, e)  точки X0, что для любой точки X Î U*(A, e)  и имеем неравенство f(X) < f(X0):

если f(X) £ f(X0):, то X0 - точка нестрогого локального максимума;

если f(X) > f(X0):, то X0 - точка строгого локального минимума;

если f(X) ³ f(X0):, то X0 - точка нестрогого локального минимума.

Строгие минимумы и максимумы в точке X0 называются локальными экстремумами в точке X0, а нестрогие минимумы и максимумы в точке X0 называются нестрогими локальными экстремумами в точке X0.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если X0 - точка локального экстремума (нестрогого) функции u = f(X) и существует дифференциал df(X) ее в этой точке, то для любого приращения DX = (Dx1,…, Dxn) имеем 

, или .                                           (1)

Доказательство. Рассмотрим функцию g(xs) = f(x1,…, xs-1, xs, xs+1,…, xn), где переменные  x1,…, xs-1, xs+1,…, xn фиксированные. Тогда функция имеет в точке локальный экстремум и дифференцируема. По теореме Ферма . 

Из условия (1) следует, что в точке экстремума.

Определение 2. Точка  X0 называется стационарной точкой функции u = f(X), если для нее выполняется условие (1).

Стационарные точки и точки из области определения функции f(X), в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками функции.

Заметим, что второй d2f(X) дифференциал функции f(X) в точке X0 ΠRn является квадратичной формой от n переменных dx1, dx2,…, dxn

.

Определение 2. Стационарная точка X0 функции u = f(X) называется регулярной  точкой функции u = f(X), если в этой точке существует второй дифференциал d2f(X), и он является невырожденной квадратичной формой от n переменных dx1, dx2,…, dxn, т.е определитель матрицы этой квадратичной формы в точке X0 отличен от нуля.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть X0 - регулярная стационарная точка функции u = f(X), т.е. первый дифференциал функции f(X) в точке X0 обращается в ноль и существует второй дифференциал d2f(X) в этой точке с невырожденной квадратично формой от от n переменных dx1, dx2,…, dxn. Тогда

1) если в этой точке X0 d2 f(X) является положительно определенной квадратичной формой, то в точке X0 функция f(X) имеет локальный минимум;

2) если в этой точке X0 d2 f(X) является отрицательно определенной квадратичной формой, то в точке X0 функция f(X) имеет локальный максимум;

2) если в этой точке X0  d2 f(X) является неопределенной квадратичной формой, то  точка X0 не является точкой локального экстремума функции f(X).

Доказательство. Разложим функцию f(X) в окрестности точки X0 по формуле Тейлора второго  порядка, с остаточным членом в форме Пеано, учитываем, что первый дифференциал функции в точке обращается в ноль: 

,                                                (1)

где . Рассмотрим далее три случая:

В этой точке X0 второй дифференциал d2f(X) является положительно определенной квадратичной формой от переменных Dx1, Dx2,…, Dxn. Тогда  и

,

так как при малых r. Следовательно, точка X0 является точкой строгого локального минимума.

В этой точке X0 второй дифференциал d2f(X) является отрицательно определенной квадратичной формой от переменных Dx1, Dx2,…, Dxn. Тогда  и

.

Следовательно, точка X0 является точкой локального максимума.

В этой точке X0 второй дифференциал d2f(X) является отрицательно неопределенной квадратичной формой от переменных Dx1, Dx2,…, Dxn. Тогда при некоторых  DX1 и при некоторых  DX2. Отсюда

может быть как больше  f(X0) так меньше f(X0) и точка X0 не является точкой локального экстремума функции f(X). 

Матрица квадратичной формы второго дифференциала квадратная матрица n-го порядка . Рассмотрим главные миноры квадратичной формы:

Напомним, что по критерию Сильверста квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные (стоящие в левом верхнем углу) миноры матицы квадратичной формы были положительны. Квадратичная форма является отрицательно определенная тогда и только тогда, когда знаки главных (стоящие в левом верхнем углу) миноров матрицы квадратичной формы чередуются, причем первый главный минор (элемент, стоящий в левом верхнем углу меньше нуля). Получаем следствие:

Следствие (достаточное условие экстремума). Пусть X0 - регулярная стационарная точка функции u = f(X), т.е. первый дифференциал функции f(X) в точке X0 обращается в ноль и существует второй дифференциал d2f(X) в этой точке с невырожденной квадратично формой от от n переменных dx1, dx2,…, dxn. Тогда

1) если в этой точке X0 все главные миноры d1, d2,…, dn больше нуля, то в точке X0 функция f(X) имеет локальный минимум;

2) если в этой точке X0 все числа -d1, d2,…, (-1)ndn  больше нуля, то в точке X0 функция f(X) имеет локальный максимум;

2) если в этой точке X0 для миноров d1, d2,…, dn не выполняются ни одно из указанных выше условий, то точка X0 не является точкой локального экстремума функции f(X).

Для функции двух переменных следствие теоремы 2 принимает следующий вид.

Теорема 3 ( достаточное условие экстремума). Пусть (x0, y0) - стационарная точка функции z = f(x, y), и в некоторой ее окрестности функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке значения обозначим . Тогда

1) если в этой точке A > 0, D > 0, то в точке (x0, y0)  функция f(x, y) имеет локальный минимум;

2) если в этой точке A < 0 , D > 0, то в точке (x0, y0) функция f(x, y) имеет локальный максимум;

3) если в этой точке D < 0, то в точке (x0, y0) не является точкой локального экстремума функции f(x, y).

Если D = 0 , то экстремум функции  f(x, y) в точке (x0, y0) может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Пример 1. Исследовать функцию на экстремум.

Вычислим производные первого порядка:

.

Решим систему

найдем стационарную точку (-2, 1). Вычислим частные производные второго порядка:

.

В стационарной точке вычисляем числа A, B, C, D:

.

По теореме 3 точка (-2, 1) является точкой минимума функции и z(-2,0) = -2/e.

Пример 2. Исследовать функцию на экстремум.

Вычислим производные первого порядка:

.

Решим систему

найдем стационарную точку (0, 0, 2),  (-6, 18, 2). Вычислим частные производные второго порядка:

.

Составим матрицу квадратичной формы второго дифференциала:

.

Вычислим матрицу в соответственно в первой и второй стационарных точках:

.

Точка (0, 0, 2) не является стационарной точкой. Точка  (-6, 18, 2) является точкой минимума, так как для нее d1 =36, d2 = 36,…, d3 = 72. (-6, 18, 2) = -112.

  1.  Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

 

Пусть функция u = f(X) определена и непрерывна на компакте (замкнутой ограниченной области) K. Тогда она достигает в некоторых точках компакта K своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются или во внутренних точках компакта K или в граничных точках K. Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой на компакте функции u = f(X) состоит в следующем:

Найти все критические точки функции u = f(X), принадлежащие K и вычислить значения функции в этих точках.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции u = f(X) на границах компакта K.

Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее M и наименьшее m значения: M = max f(X), m = =min f(X), XÎK.

Пример 1. Найти наибольшее M и наименьшее m значения функции .

Вычислим производные первого порядка:

.

Решим систему

найдем стационарную точку (2, 0). Точка  (2, 0) не принадлежит области.

Данная область является прямоугольником ABCD. Найдем критические точки функции на границах области.

На отрезке AB: y = -1. Имеем Тогда

.

Приравнивая производную к нулю, находим x = 2. Так как для точки не выполняется условие, то мы ее не выключаем в число подозрительных.

На отрезке BС: x = -2. Имеем Тогда

. Приравнивая производную к нулю, находим y = 0. Находим значение функции в точке (-2, 0): z(-2, 0) = 12.

На отрезке СD: y = 3. Имеем Тогда . Приравнивая производную к нулю, находим x = 2 Так как для точки не выполняется условие, то мы ее не выключаем в число подозрительных.

На отрезке DA: x =  1. Имеем Тогда

. Приравнивая производную к нулю, находим y = 0. Находим значение функции в точке (1, 0): z(1, 0) = -3.

Вычисляем значение функции в точках A(1,-1), B(-2,-1) , C(-2,3) , D(1,3):

z(1, -1) = 6,  z(-2, -1) = 13,  z(-2, 3) = 21,  z(1, 3) = 5. Отсюда наибольшее значение функции равно M = 21, наименьшее значение функции равно m = -3.

  1.  Выпуклость функции

 

Рассмотрим n - мерное евклидово пространство Rn, состоящее из вех векторов вида          x = (x1, x2,…, xn) c действительными элементами x1, x2,…, xn. Пространство можно можно считать аффинным пространством и элементы его в этом случае называются точками пространства Rn. Пространство Rn является координатным векторным пространством с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на число. Скалярное произведение векторов x = (x1, x2,…, xn), y = (y1, y2,…, yn) ΠRn  определяется по формуле:     (x, y) = x1y1+ x2y2+…+ xnyn.

Пространство Rn является нормированным пространством, в котором норма (длина вектора определяется по формуле: .

Расстояние между точками x = (x1, x2,…, xn), y = (y1, y2,…, yn) ÎRn  в пространстве Rn определяется по формуле. .

e-окрестностью точки а называется множество, обозначаемое U(a,e), которое состоит из всех точек, yÎRn, которые удовлетворяют неравенству .

Множество S(a, r)={xÎRn| ||x- a||£ r} называется шаром с центром в точке a радиуса r.

Множество Sf(a, r)={xÎRn| ||x- a|| = r} называется сферой с центром в точке a радиуса r.

Точка aΠRn называется предельной точкой множества A, если в любой ее окрестности содержится хотя бы одна точка множества A.

Множество F называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Пример 1. Множество U(0,1) = {xÎRn| || x ||<1}, не является замкнутым, так как для этого множества точка y = (1, 0,…, 0) – предельная, но ему не принадлежит.

Шар S(0,1) является множеством замкнутым. Шар S(a,r) является замыканием множества U(0,1).

Множество AÌ Rn называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре S(0,r) конечного радиуса, т.е. существует такое r ³ 0, что AÌ S(0,r).

Множество A называется компактным или компактом, если оно замкнуто и ограничено.

По определению все шары S(a,r) конечного радиуса r компактные множества, а все окрестности U(a,e) - некомпактные множества, так как они незамкнутые множества. Прямая линия  на плоскости R2 и плоскость в пространстве Rn некомпактные множества, так как они неограниченны.

Определение 1. Модулем |F| компактного множества F называется наибольшая норма векторов  fΠF ,

.                                                                (1)

В силу компактности и непрерывности нормы, модуль  |F| компактного множества F всегда определен.

Геометрический смысл модуля  |F | множества F наименьший радиус шара с цетром вначале координат, включающий множество F.

Определение 2. Отрезком [x1, x2], соединяющим точки x1, x2 ΠRn называется множество [x1, x2] = {xΠRn | x =  lx1 + (1-l)x2, 0£l £1}.

Определение 3. Множество AÌ Rn называется выпуклым, если для любых двух точек x1, x2 Î A весь отрезок [x1, x2], соединяющий точки x1, x2, содержится во множестве A.

Таким образом, множество A является выпуклым, если для любых двух точек x1, x2ΠA и любого числа l Î [0,1] точка  x =  lx1 + (1-l)x2 Î A.

Последнее равносильно тому, что для любых двух точек x1, x2ΠA и для любых чисел a > 0, b > 0, a + b =1 имеем ax1 + bx2 Î A.

Пример 2. В трехмерном пространстве куб, шар, тетраэдр, полупространство, отрезок, прямая линия, луч являются выпуклыми множествами. Окружность, сфера не являются выпуклыми множествами.

Пример 3. В пространстве Rn шар S(a,r), e-окрестность U(a, e) являются выпуклыми множествами.

Пусть x1, x2 Î S(a,r). Тогда || x1 - a||£ r, || x2 - a||£ r. Пусть x Î[x1, x2]. Тогда x =  lx1 + (1-l)x2. По свойству расстояния имеем:

||x|| =  ||lx1 + (1-l)x2|| £ ||l||×||x1|| + ||1-l||×||x2|| £ l||x1|| + (1-l)||x2|| £ lr + (1-l) r £ (l+1-l) r£ r.

Доказанное неравенство обозначает x Î S(a,r).  Таким образом, по определению множество S(a,r).  выпукло. Аналогично доказывается выпуклость множества U(a, e).

 Пример 3. В пространстве Rn сфера Af(a, r). не является выпуклым множеством.

Пусть x1 Î Sf(a,r). Тогда || x1 - a|| = r. Рассмотрим точку x2 = 2a - x1. a. Тогда

|| x2 - a|| = || 2a - x1 - a|| = || a - x1|| = || x1 - a|| = r и x1 Î Sf(a,r).

Далее x =  (1/2) x1 + (1/2)x2 = (1/2)(x1 + x2) =.(1/2)( x1 - a + a - x1) = (1/2)0 = 0. Так как ||0|| = 0 то точка x Ï Sf(a,r) и множество Sf(a,r) не выпуклое.

Теорема 1. Пересечение любого числа выпуклых множеств выпуклое множество.

Доказательство. Пусть , где все множества Ma - выпуклые. Пусть x1, x2 ΠM. Тогда для любого a l Î [0,1] точка  x =  lx1 + (1-l)x2 Î Ma. Следовательно, по определению пересечения x Î  и по определению множество M- выпуклое. 

Пусть D Í Rn  - выпуклое множество.

Определение 1. Пусть u = f(x) функция, определенная на выпуклом множестве D Í Rn со значениями в R. Функция f(x)  называется выпуклой вниз или просто выпуклой , если для любых двух  точек x1 и  x2  ÎD  и любого числа           l Î[0,1] выполняется неравенство

f(lx1+(1- l)x2) £ lf(x1) + (1- l) f(x2).                                                        (1)

Неравенство (1) можно представить также в виде

f(l(x1- x2) + x2) £ l(f(x1)- f(x2)) + f(x2).

Выпуклой вверх, если для любых двух точек  x1 и  x2  ÎD    и любого числа l Î[0,1] выполняется неравенство

f((lx1+(1- l)x2) ³ lf(x1) + (1- l) f(x2)

Строго выпуклой вниз (строго выпуклой), если для любых двух  x1 и x2  ÎD  и любого числа       l Î(0,1) выполняется неравенство

f((lx1+(1- l)x2) > lf(x1) + (1- l) f(x2)).

Строго выпуклой вверх, если для любых двух  x1 и x2  ÎD  и любого числа l Î(0,1) выполняется неравенство

f((lx1+(1- l)x2) < lf(x1) + (1- l) f(x2).

Далее мы будем рассматривать только выпуклые и строго выпуклые функции.

Теорема 2. Если функция u = f(X) дифференцируема и строго выпукла вниз (вверх) на выпуклом множестве М, то она может иметь локальный минимум (максимум) только в одной точке множества М .

Теорема 3. Если функция u = f(X) сильно выпукла ( вниз, вверх)  на замкнутом выпуклом множестве М, то у этой функции на этом множестве существует единственная точка локального экстремума (соответственно минимума , максимум) .только в одной точке множества М .

Пример 1. Найти области выпуклости функции .

Вычислим производные первого и второго порядков:

Составим выражение для второго дифференциала: . Так как  d2z (x,y)>0, то функция выпукла вверх на всей плоскости. Последнее легко заметить из того, что графиком данной функции является эллиптический параболоид.

16

s(0,|F|)

O

|F|

x

y

F

U(e, e)

S(a,r)

c

b

a

A

B

C

D

y

O

1

-1

-2

3

A

x

i

k

j

x

y

z

O

A0(x0, y0)

e

l1

l

(x0, y0)

x0

y0

S

O

M0

z

y

x

x2

O

x1

B

x

z = x2 + y2

4

2

3

O

x

y

1

O

z

y

0,2

U(A,r)

C

B

A

M


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79151. Учение пятидесятников о крещении Духом Святым 11.87 KB
  Внешним признаком КДС для большинства пятидесятников является говорение на иных языках. обладают даром говорения на языках. Учение пятидесятников о КДС которое обязательно должно сопровождаться внешним проявлением в виде говорения на иных языках не находит подтверждение в Св. Так в день пятидесятницы крестилось около 3000 человек но они не говорили на языках Деян.
79152. Пятидесятнические теории говорения иными языками 14.2 KB
  Из Деяний следует что апостолы говорил на национальных языках но в послании к 1Кор. Правда сейчас теория говорения на смешанных языках не получила своего распространения. Писания о предназначении дара говорения на иных языках. Широкое распространение дара говорение на иных языках в ранний период церковной истории было вызвано необходимостью проповедью христианства в языческом и многоязычном мире который требовал знамений служивших для религиозного сознания верующего человека подтверждением истинности какой либо доктрины.