22412

Кратные интегралы

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть функция z = fx y = fP задана dв замкнутой области D плоскости Oxy. Разобьем область D на n элементарных областей Di i = 1 2n площади которых обозначим через Si а диаметры наибольшие расстояния между точками области Di через di. Совокупность частичных областей Di назовем разбиением T области D. В каждой области Di разбиения T выберем точку Pixi yi для i = 1 2n.

Русский

2013-08-03

1.14 MB

28 чел.

1007Z            Математики          Толстиков А.В.

Лекция 11. Кратные интегралы

План

  1.  Определение двойного интеграла. Геометрический смысл и физический смысл двойного интеграла.
  2.  Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла.
  3.  Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярной системе координат.
  4.  Определение тройного интеграла. Геометрический смысл тройного интеграла.
  5.  Вычисление тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле.
  6.  Определение кратного интеграла.  
  7.  Вычисление кратных интегралов. Замена переменных в кратном интеграле.
  8.  Применение двойных и тройных интегралов.

Литература

Литература: Ильин В.А., т.2, с.55-89. Письменный Д., ч.2, с. 57-77. Шнейдер В.Е. и др., с.47-82. Бугоров Я.С., Никольский С.М.,  с.136-189.  

Криволинейные и поверхностные интегралы элементы теории поля

План

  1.  Криволинейные интегралы первого рода. Свойства. Теорема существования. Вычисление и применение.

Криволинейные интегралы второго рода. Теорема существования. Вычисление и применение.

Формула Остроградского-Грина.

Поверхностный интеграл первого рода.

Интеграл по поверхности второго рода.

Формула Остроградского Гаусса. 

Формула Стокса.

Скалярные и векторные поля. Оператор Гамильтона. Скалярное поле. Производная по направлению и градиент. Векторное поле. Поток, дивергенция, циркуляция. Ротор. Виды полей.  

Литература

Литература: Ильин В.А., т.2, с.55-89. Письменный Д., ч.2, с. 77-108. Шнейдер В.Е. и др., с.47-82. Бугоров Я.С., Никольский С.М.,  с.205-266.  

  1.  Определение двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Теорема существования.

Определение 1. Пусть функция z = f(x, y) = f(P), задана dв замкнутой области D плоскости Oxy. Разобьем область D на n элементарных областей Di  (i = 1, 2,…,n), площади которых обозначим через Si, а диаметры (наибольшие расстояния между точками области Di) через di. Совокупность частичных областей Di назовем разбиением T области D. Наибольшую из диаметров областей Di разбиения T  обозначим через , и назовем диаметром разбиения T:

= (T) = max{di  i = 1, 2,…,n}.

Определение 2. В каждой области Di разбиения T выберем точку Pi(xi, yi), для  i = 1, 2,…,n,. Сумма вида

(1)

называется интегральной суммой для функции f(x,y) в области D соответствующей данному разбиению T и выбору точек Pi .

Определение 3. Если интегральная сумма Sn имеет предел при   0, который не зависит от разбиения T и выбора точек Pi  , то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначается символом

:                                     .

Геометрический смысл двойного интеграла: объем цилиндрического тела. Рассмотрим тело W, ограниченное сверху поверхностью z = f(x, y) 0, снизу замкнутой областью D, с боков цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей является граница области D. Такое тело V называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D на элементарных областей Di  (i = 1, 2,…,n), площади которых обозначим через Si,, а диаметры через di. Наибольшую из диаметров областей Di разбиения T  обозначим через . Рассмотрим цилиндрические столбики Wi с основаниями Di, ограниченные сверху кусками поверхности z = f(x, y). В  совокупности они составляют тело W. Обозначим объем столбика с основанием Di через Vi. Получим . Возьмем в каждой области Di  (i = 1, 2,…,n) точку Pi(xi, yi) и заменим столбик Wi прямым цилиндром с основанием Di и высотой f(xi, yi), объем которого приблизительно равен об]ему цилиндрического столбика Wi, т.е. Vi  f(xi, yi)Si,. Тогда получим , что объем V цилиндрического тела W приближенно равен

,

т.е. равен интегральной сумме вида (1). Принимаем предел этой суммы при   0 за объем цилиндрического тела W, получим формулу.

.

Следовательно, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела.

Физический смысл двойного интеграла: масса тонкой пластинки. Требуется найти массу тонкой пластинки D, расположенной в декартовой плоскости Oxy зная ее поверхностную плотность (x, y), как функцию координаты точки P(x, y) пластинки D. Для этого разобьем область D на n элементарных областей Di  (i = 1, 2,…,n), площади которых обозначим через Si,, а диаметры через di. Наибольшую из диаметров областей Di разбиения T  обозначим через . В  совокупности Di  (i = 1, 2,…,n) составляют всю пластинку D. Возьмем в каждой области Di  (i = 1, 2,…,n) точку Pi(xi, yi) и вычислим в ней плотность ( xi, yi).

Если области Di  малы, то плотности (x, y) во всех точках области Di мало отличаются от ( xi, yi). Поэтому можно приблизительно найти массу mi части Di пластинки mi  (xi, yi)Si,. Так как масса m всей пластинки равна, то ее можно приближенно вычислить по формуле

/

Точную массу m пластинки D получим, если перейдем в указанной выше сумме к пределу при   0. Тогда по определению двойного интеграла получим

.

Следовательно, величина двойного интеграла от неотрицательной функции поверхностной плотности равна массе всей пластинки.

  1.   Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла.
  2.  Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла

1. Если функции f(x, y), g(x, y) интегрируемы в области D, то их сумма и разность интегрируемы на этом отрезке.

.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла

 

3. Если для всех точек (x, y) области D f(x, y)  g(x, y) и функции f(x, y), g(x, y) интегрируемы в области D, то

.

4. Если область D разбита на две области D1 и D2, не имеющих общих граничных точек, то  

.

5. Пусть M, m - соответственно наибольшее и наименьшее значения функции  f(x, y) в области D. Тогда

,

где S(D) - площадь области D.

6.  (Теорема о среднем) Если функции  f(x, y) непрерывна в области D, то существует такая точка (x0, y0) области D, что

.

7. Модуль двойного интеграла не превосходит двойного интеграла от модуля подынтегральной функции. .

8. (Вторая теорема о среднем) Если функции  f(x, y) непрерывна в области D,  g(x, y) интегрируема в области D, то существует такая точка (x0, y0) области D, что

Теорема 1. (Существования двойного интеграла). Если функция f(x, y) непрерывна и в ограниченной замкнутой области D, имеющей площадь, то существует двойной интеграл

.

Теорема 2. (Существования двойного интеграла). Если функция f(x, y) непрерывна и ограничена всюду на замыкании D области D с  кусочно-гладкой границей, за исключением отдельных точек и гладких кривых, где она может иметь разрывы, то функция f(x, y) интегрируема на D и замыкании D и при этом выполняется равенство

.

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению определенных интегралов. Пусть область D ограничена кривыми y = h(x), y = g(x), и прямыми x = a, x = b, причем для всех x [a, b] имеем h(x)  g(x). Кроме того предполагаем, что функции h(x), g(x) непрерывны на [a, b]. Такая область D называется правильной в направлении оси Oy. Двойной интеграл по правильной области  вычисляется по формуле:

.                                                           (2)

Интеграл (2) называется повторным интегралом и записывается также в виде

Интеграл называется внутренним интегралом.

Аналогичным образом вычисление двойного интеграла сводится к повторному интегралу, если область правильная в направлении оси Ox, т.е. область D ограничена кривыми x = h(y), x = g(y), и прямыми y = a, y = b, причем для всех y [a, b] имеем h(y)  g(y). Кроме того предполагаем, что функции f(y), g(y) непрерывны на [a, b]. Тогда

.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной прямыми y=0, y =x, x=0, x =3 (см. Рис. 4). Так как область правильная по направлению оси Oz, то получим

  1.  Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярной системе координат.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл . Определим преобразование независимых переменных x, y (замену переменных) по формулам

.                                                                           (1)

При преобразовании по формулам (1) область D' плоскости O'uv переходит в область D. Пусть далее функции имеют в области D' плоскости непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

.                                                                                  (2)

Определитель (2) называется определителем Якоби или якобианом преобразования (1). Если функция f(x, y) непрерывна в области D, то справедлива следующая формула замены переменной в двойном интеграле

.                                          (3)

В качестве примера рассмотрим замену прямоугольных координат полярными по формулам

.                                                                           (4)

Якобиан этого преобразования равен

.                                                             (5)

Тогда  формула замены переменной в двойном интеграле при переходе к полярным координатам принимает вид:

.                                               (6)

.

Пусть область D ограничена в полярной системе координат кривыми r = =r(), r = r1(x), и прямыми = , = , причем для всех  [,] имеем r()r1(). Тогда двойной интеграл по этой области сводится к повторному интегралу и получаем формулу

(7)

Замечание. Переход к полярным координатам полезен в том случае, когда подынтегральная функция имеет вид f(x2+y2) и интегрирование производится по кругу или по кольцу или по их частям.

Пример 2. Пример 2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной прямыми y=0, y =x, окружностью x2 + y2 = 9 (см. рис. 6). Применяя формулу (7), пререйдем к полярным координатам. Область D в полярной системе координат  определяется неравенствами 0    /4, 0r3. Область D - четверть круга преобразуется в область D ' - прямоугольник. Поэтому получим

  1.  Определение тройного интеграла. Свойства тройного интеграла. Теорема существования.

Определение 1. Пусть функция u = f(x, y, z) = f(P), задана в замкнутой области V пространства Oxyz. Разобьем область V на n элементарных областей Vi  (i = 1, 2,…,n), объемы которых обозначим через Vi, а диаметры (наибольшие расстояния между точками области Vi) через di. Совокупность частичных областей Vi назовем разбиением T области V. Наибольшую из диаметров областей Vi разбиения T  обозначим через , и назовем диаметром разбиения T:

= (T) = max{di  i = 1, 2,…,n}.

Определение 2. В каждой области Vi разбиения T выберем точку Pi(xi, yi, zi), для  i = 1, 2,…,n,. Сумма вида

                               (1)

называется интегральной суммой для функции f(x,y, z) в области V соответствующей данному разбиению T и выбору точек Pi .

Определение 3. Если интегральная сумма Vn имеет предел при   0, который не зависит от разбиения T и выбора точек Pi  , то он называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) по  области V и обозначается символом

:                                     .

Геометрический смысл тройного интеграла: объем тела. Рассмотрим ограниченное замкнутое тело V. Найдем его объем V. Для этого разобьем область V на элементарных областей V i  (i = 1, 2,…,n), объемы которых обозначим через Vi,, а диаметры через di. Наибольшую из диаметров областей Vi разбиения T  обозначим через .

=V,

т.е. равен интегральной сумме вида (1). Предел этой суммы при   0 равен объему  тела V. Поэтому получим формулу:

.

Следовательно, величина двойного интеграла от функции тождественно равной единице, по телу V равна объему  тела V.

Физический смысл тройного интеграла: масса тела. Требуется найти массу тела V, расположенного в координатном пространстве Oxyz зная его объемную плотность (x,y,z), как функцию координаты точки P(x,y,z) тела V. Для этого разобьем тело V на n элементарных областей Vi  (i = 1, 2,…,n), объемы которых обозначим через Vi,, а диаметры через di. Наибольшую из диаметров областей Vi разбиения T  обозначим через . В  совокупности тела Vi  (i = 1, 2,…,n) составляют все тело V. Возьмем в каждой области Vi  (i = 1, 2,…,n) точку Pi(xi, yi, zi) и вычислим в ней плотность ( xi, yi, zi).

Если области Vi  малы, то плотности (x, y, z) во всех точках области Vi мало отличаются от ( xi, yi, zi). Поэтому можно приблизительно найти массу mi части Vi тела mi  (xi, yi, zi)Vi,. Так как масса m всего тела  равна, то ее можно приближенно вычислить по формуле

.

Точную массу m тела V получим, если перейдем в указанной выше сумме к пределу при   0. Тогда по определению двойного интеграла получим

.

Следовательно, величина тройного интеграла от неотрицательной функции объемной плотности равна массе всей пластинки.

  1.   Свойства тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла.

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла

1. Если функции f(x, y,z), g(x, y,z) интегрируемы в области V, то их сумма и разность интегрируемы в области V,

.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла

 .

3. Если для всех точек (x, y,z) области V f(x, y,z)  g(x, y,z) и функции f(x, y,z), g(x, y,z) интегрируемы в области V, то

.

4. Если область V разбита на две области V 1 и V 2, не имеющих общих граничных точек, то  

.

5. Пусть M, m - соответственно наибольшее и наименьшее значения функции  f(x, y,z) в области V. Тогда

,

где v(V) - площадь области V.

6.  (Теорема о среднем) Если функции  f(x, y,z) непрерывна в области V, то существует такая точка (x0, y0,,z0) области V, что

.

7. Модуль двойного интеграла не превосходит двойного интеграла от модуля подынтегральной функции. .

8. (Вторая теорема о среднем) Если функции  f(x, y, ,z) непрерывна в области V,  g(x, y,z) интегрируема в области V, то существует такая точка (x0, y0,z0) области V, что

Теорема 1. (Существования тройного интеграла). Если функция f(x, y, z) непрерывна в ограниченной замкнутой области V, имеющей объем, то существует тройной интеграл

.

Теорема 2. (Существования тройного интеграла). Если функция f(x, y,z) непрерывна и ограничена всюду на замыкании V области V с  кусочно-гладкой границей, за исключением отдельных точек и гладких поверхностей, где она может иметь разрывы, то функция f(x, y,z) интегрируема на V и замыканииV и при этом выполняется равенство

Вычисление тройного интеграла сводится к вычислению определенных интегралов. Пусть тело V ограничено сверху и снизу соответственно поверхностями z = h(x,y), z = g(x,y), h(x,y)  g(x,y), причем функции непрерывны в ограниченной замкнутой области D, являющейся проекцией тела V. Такую область называем правильной в направлении оси Oz. Тогда для непрерывной в области V функции f(x,y,z) имеет место формула:

Если на плоскости Oxy область D правильная в направлении оси Оy: ограничена линиями x = a, x = b (a < b), y = h1(x) , y = g1(x),  где функции h1(x), g1(x) непрерывны на [a, b],  причем h1(x)  g1(x). Тогда тройной интеграл по области V вычисляется по формуле:

      (2)

Интеграл (2) называется повторным интегралом и записывается также в виде

Интеграл называется внутренним интегралом. При вычислении внутренних интегралов внешние переменные считаются постоянными.

Аналогичным образом вычисляются тройные интегралы по правильным областям по направлению оси Ox или оси Oy. При вычислении тройных интегралов по более сложным областям разбивают их на правильные области, используя свойство аддитивности тройного интеграла по отношению к области интегрирования.

Пример 2. Вычислить массу пирамиды V с вершинами в точках O(0,0,0), A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,12), если ее плотность пропорциональна высоте пирамиды, т.е. (x,y,z) = kz. По геометрическому смыслу тройного интеграла масса пирамиды V находится по формуле

Сверху тело ограничено плоскостью  z = 12 - 2x - 2y, уравнение которой находим по уравнению плоскости, проходящей через три точки. Эта плоскость пересекает плоскость Oxy: z = 0, по прямой y= 6 - x. Поэтому

Пусть требуется вычислить двойной интеграл . Определим преобразование независимых переменных x, y (замену переменных) по формулам

.                                                       (3)

При преобразовании по формулам (2) область V ' пространства O'uvw переходит в область V. Пусть далее функции имеют в области V' непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

.                                                                                  (4)

Определитель (4) называется определителем Якоби или якобианом преобразования (3). Если функция f(x, y, z) непрерывна в области V, то справедлива следующая формула замены переменной в двойном интеграле

.                                         (5)

Рассмотрим замену прямоугольных координат цилиндрическим координатам по формулам

.                                                                           (6)

Якобиан этого преобразования равен

.                                                             (7)

Формула (7) замены переменной в тройном интеграле при переходе к цилиндрическим координатам принимает вид:

.                       (8)

Замечание. Переход к цилиндрическим координатам полезен в том случае, когда подынтегральная функция имеет вид f(x2+y2) или интегрирование производится по цилиндру или по телу вращения или по их частям.

Пример 2. Вычислить интеграл по телу V , ограниченному параболоидом          z=x2+y2 и плоскостью z=9 (см. рис.12). Переходим к полярным координатам. Заметим, что угол [0, 2], r[0,3]. Тогда получаем.

Рассмотрим замену прямоугольных координат сферическим координатам по формулам

.                                                 (9)

Якобиан этого преобразования равен

.                                                             

Формула (7) замены переменной в тройном интеграле при переходе к сферическим координатам принимает вид:

.                       (10)

Замечание. Переход к полярным координатам полезен в том случае, когда подынтегральная функция имеет вид f(x2+y2+ я2) или интегрирование производится по шару или по его частям.

Пример 3. Вычислить интеграл  по шару V  с центром в начале координат радиуса 4 (см. рис.14). Переходим к полярным координатам. Заметим, что угол [0, 2], r[0,2]. Тогда получаем.

 

  1.  Определение кратного интеграла.  

Рассмотрим Rn -мерное пространство .

Определение 1. Стандартным параллелепипедом P в пространстве Rn называется тело, ограниченное плоскостями 2n, параллельными координатным плоскостям, т.е. декартово произведение n отрезков:

.

Определение 2. Объемом (мерой) (P) стандартного параллелепипеда P в пространстве Rn называется произведение его измерений:

.

Определение 3. Множество T в пространстве Rn называется простейшим телом, если она является объединением конечного числа стандартных параллелепипедов, имеющих общие точки на границе.

Множество всех простейших тел из пространства Rn обозначим через n.

Определение 4. Объемом (мерой) (T) простейшего тела T Rn называется сумма мер, всех составляющих его параллелепипедов.

Определение 5. Верхней мерой Жордана *(F) ограниченного множества F Rn называется точная нижняя граница объемов всех простейших фигур T, содержащих F, т.е.

.

Определение 6. Нижней мерой Жордана *(F) ограниченного множества F Rn называется точная верхняя граница объемов всех простейших фигур T, содержащихся в F, т.е.

.

Определение 7. Множество F Rn называется измеримым по Жордану, если *(F) = *(F), и число (F) = =*(F) = *(F) называется мерой Жордана (объемом) множества F.

 Обозначим через F - границу множества F.  Тогда справедлива теорема.

Теорема 1. Множество F измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда мера его границы ((F)) равна нулю.

Теорема 2. Справедливы следующие свойства:

  1.  Если множества F и G измеримы по Жордану , то множества F G, F G измеримы по Жордану.
  2.  Если F и G не имеют общих внутренних точек, то (F G) = (F)+ (G) (свойство аддитивности).
  3.  Если F  G, то (F)(G) (свойство монотонности).
  4.  Сдвиги и повороты множества F не изменяют меры этого множества (свойство инвариантности)

Определение 8. Пусть функция от переменных u = f(x)  задана в ограниченной измеримой по Жордану области D пространства Rn. Разобьем область D на n элементарных областей Di  (i = 1, 2,…,n), меры Жордана которых обозначим через i, а диаметры (наибольшие расстояния между точками области Di) через di. Совокупность частичных областей Di назовем разбиением T области D. Наибольшую из диаметров областей Di разбиения T  обозначим через , и назовем диаметром разбиения T:

= (T) = max{di  i = 1, 2,…,n}.

Определение 9. В каждой области Di разбиения T выберем точку Pi(xi,), для  i = 1, 2,…,n,. Сумма вида

                                   (1)

называется интегральной суммой для функции f(x) в области D соответствующей данному разбиению T и выбору точек Pi .

Определение 10. Если интегральная сумма Sn имеет предел при   0, который не зависит от разбиения T и выбора точек Pi  , то он называется n - кратным интегралом от функции f(x) по области D и обозначается символом

:                                     .

.

По определению справедливо формула

.

Двойной и тройной интегралы являются частными случая ми кратных интегралов. Для них справедливы все свойства двойных интегралов.

1. Если функции f(x), g(x) интегрируемы в области D, то их сумма и разность интегрируемы в области D.

.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак кратного интеграла

 

3. Если для всех точек x области D f(x)  g(x) и функции f(x) , g(x) интегрируемы в области D, то

4. Если область D разбита на две области D1 и D2, , не имеющих  общих граничных точек, то  

.

5. Пусть M, m - соответственно наибольшее и наименьшее значения функции  f(x) в области D. Тогда

,

где S(D) - площадь области D.

6.  (Теорема о среднем) Если функции  f(x) непрерывна в области D, то существует такая точка (x0) области D, что

.

7. Модуль двойного интеграла не превосходит двойного интеграла от модуля подынтегральной функции. .

8. (Вторая теорема о среднем) Если функции  f(x) непрерывна в области D,  g(x) интегрируема в области D, то существует такая точка x 0 области D, что

.

Теорема 1. (Существования двойного интеграла). Если функция f(x) непрерывна и в ограниченной замкнутой измеримой по Жордану области D пространства Rn , то существует n -кратный  интеграл

.

Теорема 2. (Существования двойного интеграла). Если функция f(x) непрерывна и ограничена всюду на замыкании D области D пространства Rn с  кусочно-гладкой границей, за исключением отдельных точек и гладких кривых, где она может иметь разрывы, то функция f(x) интегрируема на D и замыкании D и при этом выполняется равенство

7. Вычисление кратных интегралов. Замена переменных в кратном интеграле.

Вычисление n - кратного интеграла сводится к вычислению интегралов меньшей кратности и к вычислению повторных определенных интегралов, как и в случае двойных и тройных интегралов. Пусть область D правильная по направлении оси Oxn. Т.е. область D ограничена графиками функций xn = h(x1,…, xn-1), xn = g(x1,…, xn-1), определенных на проекции D ' области D на координатную плоскость xn =0 по направлению оси Oxn, при этом для любой точки (x1,…, xn-1)  D ' имеем h(x1,…, xn-1)  g(x1,…, xn-1). Тогда n - кратного интеграл по правильной области  вычисляется по формуле:

.                                                 (2)

В частности если область D является стандартным параллелепипедом , то n - кратный  интеграл вычисляется по формуле

.

Интеграл называется внутренним интегралом. При вычислении внутренних интегралов все остальные переменные считаются постоянными.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл. Определим преобразование независимых переменных x (замену переменных) по формулам

,                                                                                     (1)

т.е.

.

при этом преобразовании по формулам (1) область D' плоскости переходит в область D. Пусть далее функции  имеют в области D' непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

.                                                                  (2)

Определитель (2) называется определителем Якоби или якобианом преобразования (1). Если функция f(x) непрерывна в области D, то справедлива следующая формула замены переменной в кратном интеграле

.                                                                             (3)

  1.  Применение двойных и тройных интегралов.

Общая методика применения определенного интеграла.  Пусть требуется найти значение какой-нибудь геометрической или физической величины T связанной с плоской или объемной областью D независимой переменной x. Предполагается, что эта величина Т аддитивная, т. е. такая, что при областью D на две части D1 , D2 не имеющие общих внутренних точек, значение величины Т, соответствующей всей области D равно сумме ее значений, соответствующих частям части D1 , D2.

Имеется две схемы применения кратных (двойных, тройных) интегралов:

1. Метод интегральных сумм, базирующийся на определении кратного интеграла: Разобьем область D точками: на n областей D1 , D2,…, Dn . Величина T разобьется на n элементарных слагаемых: Ti (i = 1, 2, …, n):

T = T1 + T2+…+Tn.

Представим каждое элементарное слагаемое Ti (i = 1, 2, …, n) в виде произведения значения некоторой функции f(x ) в некоторой точке i  Di на меру Жордана  области Di: Ti  f( i)  i ;  i = ( Di), для , i = 1, 2,…,n. В качестве берут главную часть приращения величины Ti. Получим приближенное значение величины T в виде интегральной суммы.

.

Тогда искомая величина T равна пределу интегральной суммы:

Метод дифференциала, или метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков. Находится главная часть приращения  T при изменении объема на малую величину v = x1 x2xn = dx1 dx2dxn т. е. находим приращение T функции T(x): T = f(x ) x1 x2xn, где f(x ) - функция, определяемая по условию задачи.

Считая, что (x1 x2xn)  0, находим искомую величину T интегрированием по области D:

.

Приложения двойного интеграла

  1.  Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху графиком неотрицательной функцией z = f(x,y), а снизу плоскостью областью D в плоскости z=0:

.

  1.  Площадь плоской области D :

.

  1.  Площадь плоской области D в полярных координатах:

.

  1.  Масса плоской фигуры D с переменной плоскостной плотностью  = (x,y):

.

  1.  Статические моменты плоской фигуры D с переменной плоскостной плотностью  = (x,y) относительно соответственно осей Ox и Oy:

.

  1.  Координаты центра тяжести моменты плоской фигуры D с переменной плоскостной плотностью  = (x,y):

.

  1.  Моменты инерции плоской фигуры D с переменной плоскостной плотностью  = (x,y) относительно соответственно осей Ox и Oy:

.

Приложения двойного интеграла

  1.  Объем тела V,

.

  1.  Объем тела V в цилиндрических координатах

.

  1.  Объем тела V в сферических координатах

.

  1.  Масса m тела V с переменной объемной плотностью  = (x,y,z):

.

  1.  Статические моменты тела V с переменной объемной плотностью = (x,y,z) относительно соответственно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz:

.

  1.  Координаты центра тяжести тела V с переменной объемной плотностью  = (x,y,z):

.

  1.  Моменты инерции тела V с переменной плоскостной плотностью объемной плотностью = (x,y,z) относительно соответственно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz:

.

  1.  Моменты инерции тела V с переменной плоскостной плотностью объемной плотностью = (x,y,z) относительно соответственно координатных осей Ox, Oy, Oz:

.

  1.  Криволинейные интегралы первого рода. Свойства. Теорема существования. Вычисление

Определение 1. Пусть в пространстве Oxyz задана кусочно-гладкая кривая l:

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k,                                                                           (1)

т.е. функции x(t), y(t), z(t) непрерывны на некотором отрезке [a,b], и отрезок можно разбить на конечное число частичных отрезков точками a = t0 < t1 < t2 < … < tn = b таким образом, что на каждом из них функции x(t), y(t), z(t) имеют непрерывные производные. При задании кривой векторно-параметрическим уравнением (1) предполагается установленным порядок следования точек на кривой, когда t непрерывно возрастает от a к b. В этом случае говорят что кривая l ориентированная. Порядок следования точек на кривой изображается стрелкой. Точка A кривой l, соответствую точке t  = a называется началом кривой, точка B кривой l, соответствующая точке t = b называется ее концом. Если начало и конец кривой l совпадают, т.е. r(a)= r(b), то кривая l называется замкнутой кривой или ориентированным контуром.

Пусть в каждой точке кривой l определена функция f(x,y,z).

Разобьем кривую l на n элементарных кривых li  (i = 1, 2,…,n), длины которых обозначим через Dli, а диаметры (наибольшие расстояния между точками области li) через di. Совокупность частичных кривых li назовем разбиением T кривой l. Наибольший из диаметров областей Di разбиения T  обозначим через l, и назовем диаметром разбиения T:

l = l(T) = max{di | i = 1, 2,…,n}.

Определение 2. На каждой элементарной кривой li разбиения T выберем точку Pi(xi, yi, zi), для  i = 1, 2,…,n,. Сумма вида

(2)

называется интегральной суммой для функции f(x,y,z) по кривой l соответствующей данному разбиению T и выбору точек Pi .

Определение 3. Если интегральная сумма Sn имеет предел при l ® 0, который не зависит от разбиения T и выбора точек Pi  , то он называется криволинейным интегралом от функции f(x,y,z) по кривой l и обозначается символом

:                                     .

Геометрический смысл криволинейного интеграла первого рода от функции тождественно равной единице равен длине дуги кривой. Рассмотрим кусочно-гладкую кривую l . Найдем ее длину s(l). Для этого разобьем кривую l на n элементарных кривых li  (i = 1, 2,…,n), длины которых обозначим через Dli,, а диаметры через di. Наибольший из диаметров кривых li разбиения T  обозначим через l. В  совокупности элементарны кривые li составляют кривую l.  Получим , что длина дуги кривой l равна , т.е. равна интегральной сумме вида (1). Тогда предел этой суммы при l ® 0 равен длине дуги кривой а объем цилиндрического тела W, получим формулу.

.

Следовательно, величина криволинейного интеграла по спрямляемой кривой l от функции тождественно равной единице равна длине кривой l.   

Физический смысл криволинейного интеграла первого рода по кривой l: масса тонкой проволокм. Требуется найти массу тонкой проволоки l, расположенной в прямоугольной системе координат Oxyz зная ее линейную плотность r(x, y, z), как функцию координаты точки P(x, y, z) проволоки l. Для этого разобьем кривую l на n элементарных кривых li  (i = 1, 2,…,n), длины которых обозначим через Dli,, а диаметры через di. Наибольшую из диаметров кривых li разбиения T  обозначим через l. В  совокупности li  (i = 1, 2,…,n) составляют всю проволоку D. Возьмем на каждой элементарной дуге li  (i = 1, 2,…,n) точку Pi(xi, yi, zi) и вычислим в ней плотность r( xi, yi, zi).

Если дуги li  малы, то плотности r(x, y, z) во всех точках дуги , li мало отличаются от r( xi, yi, zi). Поэтому можно приблизительно найти массу Dmi части li, проволоки Dmi » r(xi, yi, zi)Dli,. Так как масса m всей проволоки равна, то ее можно приближенно вычислить по формуле

/

Точную массу m проволоки l получим, если перейдем в указанной выше сумме к пределу при l ® 0. Тогда по криволинейного интеграла первого рода получаем

.

Следовательно, величина криволинейного интеграла первого рода от неотрицательной функции линейной плотности проволоки по кривой l  равна массе всей проволоки.

Свойства криволинейного интеграла первого рода.

Свойства криволинейного интеграла первого рода аналогичны свойствам определенного интеграла.

Величина интеграла первого рода не изменяется при перемене ориентации кривой, т.е.

=.

1. Если функции f(x, y,z), g(x, y,z) интегрируемы по кривой l, то их сумма и разность интегрируемы по кривой l,

.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак криволинейного интеграла

.

3. Если для всех точек (x, y,z) кривой l f(x, y,z) £ g(x, y,z) и функции f(x, y,z), g(x, y,z) интегрируемы по кривой l, то

.

4. Если кривая l разбита на две кривых l 1 и l 2, не имеющих общих точек кроме граничных, то  

.

5. Пусть M, m - соответственно наибольшее и наименьшее значения функции  f(x, y,z) по кривой l. Тогда

,

где s(l) - длина кривой l.

6.  (Теорема о среднем) Если функции  f(x, y,z) непрерывна по кривой l, то существует такая точка (x0, y0,,z0) кривой l, что

.

7. Модуль двойного интеграла не превосходит двойного интеграла от модуля подынтегральной функции.

.

8. (Вторая теорема о среднем) Если функции  f(x, y, ,z) непрерывна по кривой l,  g(x, y,z) интегрируема на кривой l, то существует такая точка (x0, y0,z0) кривой l, что

Теорема 1. (Существования криволинейного интеграла первого рода). Если функция f(x, y, z) непрерывна в каждой точке кусочно-гладкой кривой l, то криволинейный интеграл первого рода по кривой l существует.

Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла. В случае, если кривая l задана уравнением (1), где t Î [a,b], то и криволинейный интеграл первого рода находится по формуле:

.                               (3)

Если кривая задана явными уравнениями z= z(x), y= y(x), x Î [a, b], то криволинейный интеграл первого рода находится по формуле:

.                                     (4)

Если кривая плоская и задана векторно-параметрическим уравнением 

r(t) = x(t)i + y(t)j,

t Î[a, b], то криволинейный интеграл первого рода находится по формуле:

.                                               (5)

Если кривая плоская и задана явным уравнением y= y(x), x Î [a, b], то криволинейный интеграл первого рода находится по формуле:

.                                                    (6)

Пример 1. Вычислить  по отрезку прямой z = y = 2x, x Î [0, 4]. По формуле (4) получаем

.

Применение криволинейного интеграла первого рода.

Длина кривой l:

.

Площадь цилиндрической поверхности, образующая которой параллельна оси Oz направляющей служит линия и направляющие ограниченны сверху графиком неотрицательной функцией z = f(x,y), а снизу плоскостью z=0:

.

Масса m кривой l с переменной линейной плотностью r = r(x,y,z):

.

Статические моменты кривой l с переменной плоскостной плотностью r = r(x,y,z) относительно соответственно координатных плоскостей Oxy, Oyz, Oxz:

.

Координаты центра тяжести моменты кривой l с переменной плоскостной плотностью r = r(x,y,z):

.

Моменты инерции кривой l с переменной плоскостной плотностью r = r(x,y,z) относительно соответственно координатных плоскостей Oxy, Oyz, Oxz, осей Ox, Oy, Oz, точки O:

Пример 2. Вычислить массу винтовой линии x = 2cos t, y = 2sin t, z = t, t Î [0, 4], если вдоль ее массы распределены с плотностью r = r(x,y,z)=z2 . По формуле (4) получаем

. .

  1.  Криволинейные интегралы второго рода. Свойства. Теорема существования. Вычисление

Определение 1. Пусть в пространстве Oxyz задана кусочно-гладкая кривая l:

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k,                                        (1 )

t Î[a,b]. Предполагаем, что кривая ориентированная: A(t=a) - начальная точка кривой l, B(t=b) - конечная точка кривой l. Обозначим кривую l символом AB. Разобьем кривую AB на n элементарных кривых li  (i = 1, 2,…,n) точками A = A0,  A1,  A2,  …,  An = B, которым соответствуют значения параметра t0= a,  t1,  t2,  …,  tn = b; t0 < t1 <  t2 <  …<  tn и через Dri, обозначим приращение вектор функции Dri, = r(tk) - r(tk-1). Диаметром di. элементарной  кривой li назовем точную верхнюю грань расстояний между точками кривых:

.

Совокупность частичных кривых li назовем разбиением T кривой l. Наибольший из диаметров li разбиения T  обозначим через l, и назовем диаметром разбиения T: l = l(T) = max{di | i = 1, 2,…,n}.

Определение 2. Пусть во всех точках кривой задана векторная функция

a = a(r) = a(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k.

эта функция называется векторным полем.

Определение 2. На каждой элементарной кривой li разбиения T выберем точку Mi(xi, yi, zi), для  i = 1, 2,…,n,. Проекцию вектора  Dri, на оси Ox, через Dxi: Dri, = Dxk i + Dyk j + Dzk k. Составим сумму вида

                                           (2)

которая называется интегральной суммой для функции a(x,y,z) по кривой l соответствующей данному разбиению T и выбору точек Mi .

Определение 3. Если интегральная сумма Sn имеет предел при l ® 0, который не зависит от разбиения T и выбора точек Mi  , то он называется криволинейным интегралом второго рода по дуге AB кривой l от функции a(r) и обозначается символом

:                                    

.

Таким образом, криволинейный интеграл второго рода по кривой l от функции f(x,y,z) называется интеграл

,

где - функции непрерывные на l .

Криволинейным интегралом второго рода общего вида по плоской кривой l  называется интеграл

,

где - функции непрерывные на l .

Физический смысл криволинейного интеграла второго рода по кривой l: работа силы по перемещению точки вдоль кривой l. Пусть на кривой l или на множестве, содержащем кривую l задано поле непрерывных функций

,

где - функции непрерывные на l . Криволинейным интегралом второго рода от вектора а вдоль ориентированной кривой l называется величина

.

Под символом ds понимается вектор, идущий в направлении касательного вектора t к кривой l. ads = |a||ds|cosÐ( a,ds) есть работа силы a по перемещению тела по на величину ds. Таким образом, физический смысл криволинейного интеграла второго рода - работа силового поля a(r) при перемещению в нем материальной точки по кривой l от точки A до точки B.

Свойства криволинейного интеграла второго рода.

Свойства криволинейного интеграла второго рода аналогичны свойствам определенного интеграла.

В отличии от криволинейных интегралов первого рода, криволинейные интегралы второго рода зависят от направления, по которому совершается интегрирование вдоль дуги AB. При изменении направления интегрирования меняется знак каждого слагаемого в интегральной сумме и поэтому знак интеграла меняется на противоположный:

.

1. Если функции a(r), b(r) интегрируемы по кривой l, то их сумма и разность интегрируемы по кривой l,

.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла

.

3. . Криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой не зависит от выбора начальной точки на кривой, а зависит только от направления обхода кривой.

4. Если кривая l = AB разбита точкой С на две кривых     l 1= AС и l 2 = СB, не имеющих общих точек кроме граничных, то  

.

Теорема 1. (Существования криволинейного интеграла второго рода). Если функция 

a(r) = a(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k.

непрерывна в каждой точке кусочно-гладкой кривой l, то криволинейный интеграл второго рода по кривой l существует.

Вычисление криволинейного интеграла второго рода

сводится к вычислению определенного интеграла.

Пусть кривая l пространственная и задана уравнением:

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k,

где t Î [a,b],

a(r) = a(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k.

Тогда dr = (x' (t)i + y' (t)j + z' (t)k)dt и на кривой l имеем x= x(t), y = y(t), z  = z(t),

(a, dr ) = ((P(x(t), y(t), z(t)) x' (t) + Q(x(t), y(t), z(t)) y' (t) + R(x(t), y(t), z(t)) z' (t)) dt.

Отсюда

=. (3)

Пусть кривая l плоская и задана уравнением:

r(t) = x(t)i + y(t)j,

где t Î [a,b],

a(r) = a(x,y) = P(x,y)i + Q(x,y)j.

Тогда dr = (x' (t)i + y' (t)j)dt и на кривой l имеем x= x(t), y = y(t),

(a, dr ) = ((P(x(t), y(t)) x' (t) + Q(x(t), y(t)) y' (t)) dt.

Отсюда

=.                               (4)

Пусть кривая l плоская и задана явно уравнением (1):

 y = y(x),

где x Î [a,b],

a® = a(x,y) = P(x,y)i + Q(x,y)j.

Тогда x= x, dr = (i + y' (x)j)dx и на кривой l имеем x= x, y = y(x),

(a, dr ) = ((P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) y' (x)) dx.

Отсюда

=.                                       (5)

Криволинейные интегралы первого и второго рода связаны соотношением:

,

где a, b, g - углы образованные касательной к кривой в точке M(x, y, z) с координатными осями Ox, Oy, Oz. 

Пример 1. Вычислить работу силового поля a(r) = xi + yj + z2k по перемещению материальной точки по дуге винтовой линии       x= 2 cos t, y = 2sin t, z  = t, t Î [0, 2p]. По формуле (3) получаем

=

.

Пример 2. Вычислить интеграл

по замкнутой ломаной ABC, где A(1,1), B(1,2), C(2,1).

По свойству интеграла имеем

.

Отрезок AB имеет уравнение y =1, где xÎ[1,2]. Тогда dy = 0 и

.

Отрезок BC имеет уравнение y = -x+3, где x изменяется от 2 до 1. Тогда dy = -dx и

.

Отрезок СA имеет уравнение x =1, где y изменяется от 2 до 1. Тогда dx = 0 и

.

Тогда

.

  1.  Формула Остроградского-Грина.

Определение 1. Криволинейный интеграл второго рода от векторного поля a(r) взятый по замкнутому контуру l называется циркуляцией вектора поля по данному контуру и обозначается символом

.

Направление обхода контура считается заранее указанным, причем положительным считается обход против часовой стрелки,  т.е. при движении по границе l область D остается слева, а отрицательным - по часовой стрелке, т.е. при движении по границе l область D остается справа.

Формула Остроградского-Грина устанавливает связь между двойным интегралом по плоской замкнутой области D и криволинейным интегралом по границе l этой области.

Определение 2.  Область называется правильной по направлению оси Ox, если область ограниченна снизу и сверху соответственно графиками l1, l2 функций y = j1(x), y = j2(x), определенных на отрезке [a, b].

Область называется правильной по направлению оси Oy, если область ограниченна слева и справа соответственно графиками l1, l2 функций x = y1(y), x = y2(y), определенных на отрезке [c, d].

Плоская область называется правильной, если она правильная по направлениям обеих осей. 

Теорема 1. Пусть функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны в правильной области D, вместе со своими частными производными. Тогда имеет место формула

.                                                          (1)

где l граница области D и интегрирование производится вдоль кривой l в положительном направлении (т.е. при движении по границе l область D остается слева).

Теорему эту можно переформулировать следующим образом: двойной интеграл от функции по правильной области D, ограниченной  простой замкнутой кривой, равен циркуляции вектора a(x,y) = P(x,y)i + Q(x,y)j по границе области, ориентированной положительно.. 

Доказательство.  Пусть область правильная и ограниченная снизу и сверху соответственно графиками l1, l2 функций y = j1(x), y = j2(x), определенных на отрезке [a, b]. Представим данный двойной интеграл в виде разности двух двойных интегралов и вычислим первый интеграл

Аналогично доказывается, что

Вычитая полученные формулы друг из друга получаем формулу (1).

Замечание. Формула Остроградского-Грина справедлива для любой ограниченной плоской области D, ограниченной конечным числом простых контуров, ориентированных положительно, т.е. при движении по границе l область D остается слева, и которую можно разбить на конечное число правильных частей.

С помощью формулы Остроградского Грина можно вычислять криволинейные интегралы второго рода.

Пример 1. Вычислить интеграл

по замкнутой ломаной ABC, где A(1,1), B(1,2), C(2,1).

По формуле Остроградского-Грина имеем

Смотри также пример 2 из параграфа 2.

Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.

Пусть D - односвязная плоская область плоскости Oxy (область называется односвязной, если для любого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит плоскости D) Пусть A(x1, y1), B(x2, y2) - две произвольные точки односвязной плоской области D плоскости Oxy. Точки A и B могут служить концами различных линий. Если по любой линии l, соединяющей точки A, B криволинейный интеграл

                                                                              (1)

имеет одно и тоже значение, то говорят, что он не зависит от пути интегрирования.

Теорема 2. Для того, чтобы криволинейный интеграл (2) не зависял от пути интегрирования в односвязной области D, в которой функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны  вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке области выполнялось условие

.                      (3)

Доказательство.  Достаточность. Рассмотрим произвольные два пути (кривые) l1, l2 из точки A в точку B. Через  - l2  обозначим путь проходимый по линии l2, но в противоположном направлении. Объединение l этих путей l1, -l2 даст замкнутый контур, внутренность D1 которого целиком принадлежит области D. При этом будем контур обходить в положительном направлении. Тогда применяем к этому контуру теорему Остроградского-Грина и получим:

.

Тогда получим

.

Отсюда получим

.

Необходимость. Рассмотрим произвольную внутреннюю точку M0 Î D. Рассмотрим окружность Sn, радиуса 1/n c центром в точке M0, которая целиком лежит в D, Dn - круг, ограниченный этой окружностью. Тогда по формуле Остроградского-Грина

.

По теореме о среднем

.

Отсюда

.

Последовательность точек {(xn, yn)}® (x0, y0). Так как и функция непрерывна в области D, то .

 l2 из точки A в точку B. Через  - l2  обозначим путь проходимый по линии l2, но в противоположном направлении. Объединение l этих путей l1, -l2 даст замкнутый контур, внутренность D1 которого целиком принадлежит области D. При этом будем контур обходить в положительном направлении. Тогда применяем к этому контуру теорему Остроградского-Грина и получим:

.

Следствие 1. Если в односвязной области D выполняется условие (3), то подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е.

                                                                (4)

Тогда

                             (5)

Формула (6) называется обобщенной формулой Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала.

Функцию u(x, y) можно найти по формуле

.                                                     (6)

Следствие 2. Если подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции и путь интегрирования замкнутый, то

.

Замечание. Аналогичные результаты справедливы и для криволинейного интеграла

.

Условие равенства нулю криволинейного интеграла имеет вид

;

формулы (4), (5), (6) имеют вид:

,

,

.

Применение криволинейного интеграла второго рода.

Площадь плоской фигуры, ограниченной кривой l:

Площадь S плоской фигуры D, расположенной в плоскости Oxy и ограниченной линией l можно вычислить по формуле:

.                                                                      (7)

Доказательство. Полагая в формуле Остроградского-Грина P(x, y) = 0, Q(x, y) = x получим

.

Полагая в формуле Остроградского-Грина P(x, y) = - y, Q(x, y) = 0 получим

.

Откуда следует формула (7).

Работа переменной силы.  По физическому смыслу криволинейный интеграл

.

равен работе переменной силы  a(r) = a(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k  при перемещению в нем материальной точки по кривой l от точки A до точки B.

Пример 2. Вычислить работу переменной силы a(x,y) = (x2 + ,y)i + (x + y2)j на дуге параболы y = x2, от точки A(0,0), до точки B(2,4).

.

Формулу для нахождения функции по ее полному дифференциалу удобно применять при решении дифференциальных уравнений.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение:

2xcos2ydx + (2y - x2 sin 2y)dy = 0.

Находим P =2xcos2y, Q = 2y - x2 sin 2y,

Левая часть уравнения полный дифференциал и найдем его по формуле (6), полагая (x0, y0) = (0, 0),

Решение дифференциального уравнения .

  1.  Поверхностные интегралы первого рода. Свойства. Теорема существования. Вычисление

Определение 1. Пусть в пространстве Oxyz задана ограниченная кусочно-гладкая поверхность G:

r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k,                                                                           (1)

т.е. функции x(u, v), y(u, v), z(u, v) непрерывны на некотором области D, и область можно разбить на конечное число частичных областей кривыми таким образом, что на каждом из них функции x(u, v), y(u, v), z(u, v) имеют непрерывные частные производные.

Пусть в каждой точке поверхности G определена функция f(x,y,z).

Разобьем поверхность G на n элементарных поверхностей Gi  (i = 1, 2,…,n), площади которых обозначим через Dsi, а их диаметры через di  (диаметром элементарной поверхности Gi называем точную верхнюю границу  расстояний между точками области Gi). Совокупность элементарных поверхностей Gi  (i = 1, 2,…,n) назовем разбиением T поверхность G. Наибольший из диаметров областей Di разбиения T  обозначим через l, и назовем диаметром разбиения T:

l = l(T) = max{di | i = 1, 2,…,n}.

В каждой  элементарной поверхности Gi  (i = 1, 2,…,n) возьмем по одной точке Pi = Pi (xi,yi,zi).

Определение 2. В каждой  элементарной поверхности Gi  (i = 1, 2,…,n) возьмем по одной точке Pi = Pi (xi,yi,zi) для  i = 1, 2,…,n,. Сумма вида

                                  (2)

называется интегральной суммой для функции f(x,  y, z) по кривой l соответствующей данному разбиению T и выбору точек Pi .

Определение 3. Если интегральная сумма Sn имеет конечный предел при l ® 0, который не зависит от разбиения T и выбора точек Pi  , то он называется поверхностным интегралом от функции f(x, y, z) по поверхности G и обозначается символом

:                                     .

Геометрический смысл поверхностного интеграла первого рода от функции тождественно равной единице по поверхности G  равен площади поверхности G. Рассмотрим кусочно-гладкая поверхность G. Найдем ее площадь S(G). Для этого разобьем поверхность G на n элементарных поверхностей G i  (i = 1, 2,…,n), площади которых обозначим через Dsi,, а диаметры их через di. Наибольший из диаметров элементарных поверхностей G i разбиения T  обозначим через l. В  совокупности элементарных поверхностей G i составляют поверхность G.  Получим , что площадь поверхности G  равна , т.е. равна интегральной сумме вида (1). Тогда предел этой суммы при l ® 0 равен площади поверхности G.

.

Следовательно, величина поверхностного интеграла по квадрируемой поверхности G от функции тождественно равной единице равна площади поверхности G.   

Физический смысл поверхностного интеграла первого рода по поверхности G: масса поверхности. Требуется найти массу тонкой поверхности G, расположенной в прямоугольной системе координат Oxyz зная ее поверхностную плотность r(x, y, z), как функцию координаты точки P(x, y, z) на поверхности G. Для этого поверхность G на n элементарных поверхностей G i  (i = 1, 2,…,n), площади которых обозначим через Dsi,, а диаметры их через di. Наибольшую из диаметров поверхностей G i разбиения T  обозначим через l. В  совокупности элементарных поверхностей G i составляют поверхность G. Возьмем на каждой элементарной поверхностей G i  (i = 1, 2,…,n) точку Pi(xi, yi, zi) и вычислим в ней плотность r( xi, yi, zi).

Если элементарная поверхность G i мала, то плотности r(x, y, z) во всех точках элементарной поверхности G i мало отличаются от r( xi, yi, zi). Поэтому можно приблизительно найти массу Dmi части G i, поверхности:                     Dmi » r(xi, yi, zi)Dsi,. Так как масса m всей поверхности равна, то ее можно приближенно вычислить по формуле

.

Точную массу m поверхности G  получим, если перейдем в указанной выше сумме к пределу при l ® 0. Тогда по поверхностного интеграла первого рода получаем

.

Следовательно, величина поверхностного интеграла первого рода от неотрицательной функции поверхностной  плотности поверхности G по поверхности G равна массе всей поверхности.

Свойства криволинейного интеграла первого рода.

Свойства поверхностного интеграла первого рода аналогичны свойствам определенного интеграла.

1. Если функции f(x, y,z), g(x, y,z) интегрируемы по поверхности G, то их сумма и разность интегрируемы по по поверхности G,

.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла

.

3. Если для всех точек (x, y,z) по поверхности G f(x, y,z) £ g(x, y,z) и функции f(x, y,z), g(x, y,z) интегрируемы по по поверхности G, то

.

4. Если поверхность G разбита на две  поверхности G 1 и G2, не имеющих общих точек кроме граничных, то  

.

5. Пусть M, m - соответственно наибольшее и наименьшее значения функции  f(x, y,z) по поверхности G. Тогда

,

где S(G) - площадь поверхности G.

6.  (Теорема о среднем) Если функции  f(x, y,z) непрерывна на поверхности G, то существует такая точка (x0, y0,,z0) поверхности G, что

,

где S(G) - площадь поверхности G.

7. Модуль двойного интеграла не превосходит двойного интеграла от модуля подынтегральной функции.

.

8. (Вторая теорема о среднем) Если функции  f(x, y, ,z) непрерывна по кривой l,  g(x, y, z) интегрируема на поверхности G, то существует такая точка (x0, y0,z0) поверхности G, что

Теорема 1. (Существования поверхностного интеграла первого рода). Если функция f(x, y, z) непрерывна в каждой точке кусочно-гладкой поверхности G, то поверхностный интеграл первого рода по поверхности G существует.

Вычисление поверхностного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла. В случае, если поверхности G задана уравнением (1),

r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k.

где (u, v) ΠD, вычислим площадь элемента поверхности, используя разбиение поверхности G координатными линиями на криволинейные четырехугольники. Спроектируем элемент поверхности G i на касательную плоскость в одной из вершин криволинейного четырехугольника. При малых элементарных областях G i площадь проекции приблизительно будет равна площади криволинейного четырехугольника. Направляющими векторами касательной плоскости являются векторы ru = ru (u, v), rv = rv(u, v). Придадим переменным u, v бесконечно малые приращения du, dv. Тогда проекция бесконечно малого элемента поверхности на касательную плоскость приблизительно будет является параллелограммом, со сторонами, натянутыми на векторы rudu = ru (u, v)du, rv dv = rv(u, v). Тогда его площадь можно вычислить через векторное произведение:

(здесь квадратные скобки обозначают векторное произведение, j - угол между векторами ru, rv. Тогда получаем формулу для вычисления поверхностного интеграла по поверхности, заданной параметрически

.                                       (3)

Пусть поверхность G задана явно уравнением z = g(x, y) и является графиком функции, определенной в конечной области D координатной плоскости Oxy. Тогда она может быть задана параметрически уравнение:

r(x, y) = xi + yj + g(x, y)k.

Отсюда находим

rx = 1×i + 0×j + gx(x, y)k,  ry = 0×i + 1×j + gy(x, y)k, rx2 = 1 + gx(x, y)2 , ry2 = 1 + gy(x, y)2 , rx ry = gx(x, y) gy(x, y),

Тогда получаем формулу для вычисления поверхностного интеграла по поверхности, заданной явно

.                                            (4)

Пример 1. Вычислить  по поверхности графика функции z = x2 + y, определенной на прямоугольнике D:  x Î [0, 2], y Î [0, 2]. По формуле (4) получаем

.

Применение поверхностного интеграла первого рода.

Площадь поверхности. По геометрическому смыслу поверхностного интеграла, площадь поверхности G равна поверхностному интегралу по поверхности G. 

.

Если поверхность G задана параметрически уравнением  

r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k.

где (u, v) ΠD, то  по формуле (3) получаем

.

Если поверхность G задана явно уравнением z = g(x, y) и является графиком функции, определенной в конечной области D координатной плоскости Oxy, то  по формуле (4) получаем

.

2. Масса поверхности. По физическому смыслу поверхностного интеграла масса тонкой поверхности G, расположенной в прямоугольной системе координат Oxyz, имеющей поверхностную плотность r(x, y, z) находится по формуле:

.

3. Статические моменты тонкой поверхности G, расположенной в прямоугольной системе координат Oxyz, имеющей поверхностную плотность r(x, y, z) относительно соответственно координатных плоскостей Oxy, Oyz, Oxz находится по формулам:

.

4. Координаты центра тяжести моменты тонкой поверхности G, расположенной в прямоугольной системе координат Oxyz, имеющей поверхностную плотность r(x, y, z) находится по формулам:

.

5. Моменты инерции тонкой поверхности G, расположенной в прямоугольной системе координат Oxyz, имеющей поверхностную плотность r(x, y, z) относительно соответственно координатных плоскостей Oxy, Oyz, Oxz осей Ox, Oy, Oz, точки O находится по формулам:

  1.  Поверхностные интегралы второго рода. Свойства. Теорема существования. Вычисление

Пусть в пространстве Oxyz задана ограниченная гладкая поверхность G:

r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k,                                                                           (1)

т.е. функции x(u, v), y(u, v), z(u, v) непрерывны на некотором области D, и каждая из функции x(u, v), y(u, v), z(u, v) имеет непрерывные частные производные, которые не обращаются в ноль в любой точке области D.

Поверхность G называется двусторонней, если нормаль к поверхности при обходе при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности, и не имеющему общих точек с ее границей, возвращается в свое первоначальное положение. Выбор определенной стороны поверхности, т.е. выбор направления нормали к поверхности называется ориентацией поверхности.

Примерами двусторонних ориентированных поверхностей являются сферы, эллипсоид, плоскость, параболоиды, гиперболоиды. Лист Мебиуса односторонняя неориентируемая поверхность.

Определение 1. Пусть в пространстве задана гладкая ориентированная поверхность G с выбранным направлением нормали и пусть во всех точках поверхности определена векторная функция

a = a(r) = a(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k,

которая  называется векторным полем.

Разобьем поверхность G на n элементарных поверхностей Gi  (i = 1, 2,…,n), площади которых обозначим через Dsi, а их диаметры через di  (диаметром элементарной поверхности Gi называем точную верхнюю границу  расстояний между точками области Gi). Совокупность элементарных поверхностей Gi  (i = 1, 2,…,n) назовем разбиением T поверхность G. Наибольший из диаметров областей Di разбиения T  обозначим через l, и назовем диаметром разбиения T:

l = l(T) = max{di | i = 1, 2,…,n}.

Определение 2. В каждой  элементарной поверхности Gi  (i = 1, 2,…,n) возьмем по одной точке Pi = Pi (xi,yi,zi). Восстановим в точке Pi единичный вектор ni нормали в выбранном направлении (получили ощетиненную поверхность). Сумма вида

                  (2)

которая называется интегральной суммой для функции a(x, y, z) по поверхности G с заданной ориентацией соответствующей данному разбиению T , выбору точек Pi.

Определение 3. Если интегральная сумма Sn имеет конечный предел при l ® 0, который не зависит от разбиения T и выбора точек Pi  , то он называется поверхностным интегралом второго рода от функции a(x, y, z) по ориентированной поверхности G и обозначается символом

:                      .

Проекции элементарной поверхности Gi на координатную плоскости Oxy, Oyz, Oxz обозначим соответственно через Dxy, Dyz, Dxz. Пусть a, b, g углы, которые образует единичный вектор нормали n соответственно с осями Ox, Oy, Oz. Тогда

n  = cos a i + cos b j + cos g k,

,

.                                                     (3)

Интеграл (3) можно представить в виде суммы трех интегралов

.                                           (4)

Площади проекции элементарной Gi на координатную плоскости Oxy, Oyz, Oxz обозначим соответственно через DSxy, DSyz, DSxz. При малых диаметрах областей Gi приблизительно имеем

DSxy »  ± Dsi ×cos g,  DSyz »  ± Dsi ×cos a, DSxz »  ± Dsi ×cos b

Знак ± учитывает направление нормали к поверхности. Поэтому можем считать

и каждый из интегралов в формуле (4) можно заменить двойным интегралом по соответствующей проекции поверхности G. Получим формулу для вычисления поверхностного интеграла:

,                       (5)

где z(x, y), x(y, z), y(x, z) - явные уравнения поверхности G, когда за зависимые переменные берутся соответственно переменные x и y, y и z, x и z. Выражения z = z(x, y), x  = x(y, z), y = y(x, z) можно получить из уравнения поверхности, разрешив его соответственно относительно z, x, y.

Определение 4. Поверхностный интеграл второго рода от функции a(r) = a(x,y,z) через поверхность G называют потоком векторного поля a(r) через поверхность G.

Поверхностный интеграл второго рода можно интерпретировать как количество жидкости или газа, протекающее за единицу времени в заданном направлении через поверхность G. Переход к другой стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности на противоположную, а поэтому и знак поверхностного интеграла меняется на противоположный.

Физический смысл поверхностного интеграла второго рода по поверхности G: поток силового поля через поверхность G в  данном направлении.

Свойства поверхностного интеграла второго рода.

Свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны свойствам криволинейного интеграла.

В отличии от поверхностных интегралов первого рода, поверхностные интегралы второго рода зависят от направления ориентации поверхности, по которой совершается интегрирование. При изменении направления ориентации поверхности интегрирования знак интеграла меняется на противоположный.

.

1. Если функции a(r), b(r) интегрируемы по поверхности G, то их сумма и разность интегрируемы по поверхности G,

.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла

.

3. Если поверхности G,  разбита кривой l на две поверхности G1 и G2, не имеющих общих точек кроме граничных, то  

.

Теорема 1. (Существования криволинейного интеграла второго рода). Если функция 

a(r) = a(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k.

непрерывна в каждой точке кусочно-гладкой ограниченной поверхности G, то поверхностный  интеграл второго рода по поверхности G существует.

Вычисление криволинейного интеграла второго рода основывается на формулах (3), (4), (5).

Пример 1. Найти поток вектора a(r) = xi + (y+ z)j + (z- y)k через часть поверхности S: x2 + y2 + z2 =9, вырезаемой  плоскостью P: z = 0 (z ³ 0), нормаль внешняя по отношению к данной поверхности, образуемой данными поверхностями.

Так как в первом октанте внешняя нормаль сферы со всеми осями координат образует острые углы, то все три направляющие косинусы неотрицательны, во втором октанте cos a £ 0, cos b ³ 0, cos g ³ 0, в третьем октанте cos a £ 0, cos b £ 0, cos g ³ 0, в четвертом октанте cos a ³ 0, cos b £ 0, cos g ³ 0.

По формуле (4) имеем

Поверхностный интеграл можно представить в виде суммы пяти интегралов по частям поверхности G1 - (y³0) , G2 -  (y£0) , G3 - (x³0), G4-  (y£0):, расположенным соответственно в первом, втором, третьем и четвертом октантам:

.

Вычисляем каждый из этих интегралов через проекции D1 , D2 , D3 областей G, G1 и G2 , G3 и G4 соответственно на координатные плоскости Oxy, Oxz, Oyz.

Учитывая знаки направляющих косинусов получим по формуле (4):

Подставляя в это равенство функции P, Q, R получим:

При вычислении всех интегралов переходим к полярным координатам и получим

  1.  Формула Остроградского-Гаусса.

Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между тройным интегралом по пространственному телу V и поверхностным  интегралом второго рода по замкнутой поверхности  S  ограничивающей это тело.

Определение 1.  Пространственная область V называется правильной по направлению оси Oz, если область ограниченна снизу и сверху соответственно графиками G1, G2 функций z = j1(x, y), z = j2(x, y), определенных на проекции Dxy тела V на плоскость Oxy.

Пространственная область V называется правильной по направлению оси Ox, если область ограниченна спереди и сзади соответственно графиками G1, G2 функций x = j1(y, z), x = j2(y, z), определенных на проекции Dyz тела V на плоскость Oyz.

Пространственная область V называется правильной по направлению оси Oy, если область ограниченна справа и слева соответственно графиками G1, G2 функций y = j1(x, z), y = j2(x, z), определенных на проекции Dxz тела V на плоскость Oxz.

Пространственная область V называется правильной, если она правильная по направлениям всех трех осей. 

Теорема 1. Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z) , R(x,y,z) непрерывны в правильной пространственной области V, вместе со своими частными производными. Тогда имеет место формула

.                                               (1)

где S граница области V и интегрирование производится по S  по внешней стороне поверхности.

Теорему эту можно переформулировать следующим образом: тройной интеграл от функции по правильной объемной  V, ограниченной замкнутой поверхностью S, равен потоку вектора a(x,y) = P(x,y)i + Q(x,y)j по через поверхность S, ориентированную по внешней стороне поверхности. 

Доказательство.  Пусть пространственная область V правильная и ограниченная снизу и сверху соответственно графиками G1, G2 функций z = j1(x, y), z = j2(x, y), определенных на проекции Dxy тела V на плоскость Oxy. Сбоку цилиндрическая поверхность S3, образующие которой параллельны оси Oz.

Рассмотрим тройной интеграл

Двойные интегралы в правой части равенства заменим поверхностными интегралами 2 рода по внешней стороне поверхностей G1, G2 получаем (учитываем, что направляющие косинусы cosg для точек поверхностей имеет противоположные знаки):

.

Добавляя равный нулю интеграл по поверхности S3 получаем

.

Аналогично доказывается, что

.

Сложив полученные равенства получаем утверждение теоремы. 

Вычитая полученные формулы друг из друга получаем формулу (1).

Замечание. Формула Остроградского-Гаусса справедлива для любой ограниченной объемной области V, ограниченной конечным числом простых замкнутых областей, ориентированных внешним образом к телу V, и которую можно разбить на конечное число правильных частей.

С помощью формулы Остроградского Грина можно вычислять поверхностные интегралы второго рода.

Пример 1. Вычислить поток векторного поля a(r) = (z+x)i + yk через замкнутую поверхность S: z = 8 - x2 - y2 ,      z = x2 + y2 , нормаль внешняя по отношению к данной поверхности.

По формуле Остроградского-Гаусса находим поток векторного поля

Вычисляем тройной интеграл

  1.  Формула Стокса.

Формула Стокса устанавливает связь между поверхностными и криволинейным интегралом второго рода.

Теорема 1. Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z) , R(x,y,z) непрерывны в точках ориентированной поверхности S вместе со своими частными производными. Тогда имеет место формула

.                                  (1)

где l граница поверхности S и интегрирование вдоль кривой l производится в положительном направлении, т.е. при обходе поверхности S со стороны нормали поверхность S должна оставаться все время слева.

Доказательство.  Пусть поверхность S задана явно и является графиком функции z = f(x, y), определенной на области D плоскости Oxy. Пусть l1 -граница области D. Поверхностные интегралы будем брать верхней стороне поверхности S (нормаль к поверхности образует острый угол с осью Oz.

Рассмотрим криволинейный интеграл

Значения функции P(x,y,z) на l равны соответствующим значениям функции P(x,y,f(x,y)) на l1. Интегральные суммы для криволинейных интегралов второго рода от этих функций соответственно по контурам l, l1 совпадают. Поэтому совпадают и соответствующие криволинейные интегралы

Применим к этому интегралу формулу Остроградского-Грина и получим

.

Преобразуем двойной интеграл в равный ему поверхностный интеграл второго рода

.

Направляющий вектор нормали к поверхности S имеет координаты . Так как направляющие векторы единичного вектора нормали n = (cos a , cos b, cos g) пропорциональны координатам вектора нормали, то получим отсюда, что . Тогда

Аналогичным образом доказывается, что

..

Сложим полученные три равенства и получим формулу (1).

Замечание. Формула Стокса справедлива для любых поверхностей, если их можно разбить на части, указанного в доказательстве вида.

Двойные интегралы в правой части равенства заменим поверхностными интегралами 2 рода по внешней стороне поверхностей G1, G2 получаем (учитываем, что направляющие косинусы cosg для точек поверхностей имеет противоположные знаки):

.

Добавляя равный нулю интеграл по поверхности S3 получаем

.

Аналогично доказывается, что

.

Сложив полученные равенства получаем утверждение теоремы. 

Вычитая полученные формулы друг из друга получаем формулу (1).

Замечание. Формула Остроградского-Гаусса справедлива для любой ограниченной объемной области V, ограниченной конечным числом простых замкнутых областей, ориентированных внешним образом к телу V, и которую можно разбить на конечное число правильных частей.

С помощью формулы Остроградского Грина можно вычислять поверхностные интегралы второго рода.

  1.  Скалярное и векторное поле. Производная по направлению и градиент. Поток, дивергенция, циркуляция. Ротор. Оператор Гамильтона. Виды полей.

Определение 1.  Действительную функцию u = u(x, y, z) заданную на некотором множестве E ÎR3 трехмерного пространства называют скалярным полем на этом множестве E.

Определение 2. Пусть во всех точках множества E ÎR3 задана векторная функция

a = a(r) = a(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k.

эта функция называется векторным полем на множестве E.

Любой дифференцируемой на области D ÎR3 функции u = u(x, y, z) соответствует векторное поле ее градиентов

Если ввести оператор Гамильтона (символический вектор наблаÑ) , то формулу (1) можно рассматривать как "формальное" произведение вектор  Ñ на число:

.

Уравнение касательной плоскости в точке (x0, y0, z0) к поверхности уровня функции u = u(x, y, z), т.е. к поверхности заданной неявным уравнением  u(x, y, z) = const имеет вид

.

все частные производные вычисляются в точке (x0, y0, z0).

Отсюда следует, что градиент перпендикулярен поверхности уровня скалярного поля и показывает направление наибольшего возрастания функции u(x, y, z).

Если G - плоская область, то градиент функции z = z(x, y) соответствует векторное поле ее градиентов

.

Уравнение касательной в точке (x0, y0) к линии уровня функции z = z(x, y), т.е. к линии заданной неявным уравнением  z(x, y) = const имеет вид

.

все частные производные вычисляются в точке (x0, y0, z0).

Определение 3. Если в области D ÎR3 задано векторное поле a = a(x,y,z) и в области D существует скалярное поле u = u(x, y, z), для которого векторное поле a является градиентом, т.е. a = Ñu, то функция u называется потенциальной функцией (или потенциалом) векторного поля a.

Определение 4. Векторное поле a, для которого существует потенциальная функция u, называется потенциальным полем.

Пусть 

a = a(r) = a(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k =(P, Q , R),

и если

a = Ñu,

то

.

Поэтому потенциальность непрерывного векторного поля a означает, что выражение du = Pdx +Q dy + R dz  является полным дифференциалом/

Определение 5. Дивергенцией векторное поле a  =(P, Q , R), называется выражение

.

Дивергенция равна скалярному произведению символьного вектор  и вектора a:

div a = (Ñ,a).

Используя это обозначение формулу Остроградского Гаусса

можно переписать

.                                                                 (1)                 

Таким образом, интеграл по пространственной области от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через поверхность, ограничивающую область.

Если область V содержит точку M0(x0, y0, z0) и стягивается в точку M0, то применяя теорему о среднем получаем

,

где (x1, y1, z1) - некоторая точка области V. Отсюда

.

Переходя в этой формуле к пределу, когда область V стягивается в точку M0(x0, y0, z0) (диаметр d(V) области V стремится к нулю) получим

.

Таким образом, дивергенция div a(M0) векторного поля в точке M0 равна пределу отношения потока поля a через замкнутую поверхность S, окружающую точку M0, к объему тела v(V), ограниченного этой поверхностью, при условии, что поверхность S стягивается в точку M0.

Дивергенция div a(M0) векторного поля a является скалярной величиной. Она образует скалярное поле.

Исходя из физического смысла потока (поле скоростей потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что при div a(M0) > 0 в точка M0 представляет источник, откуда жидкость вытекает, при div a(M0) < 0 точка M0 представляет сток, куда жидкость утекает, при div a(M0) =0 в точке нет не источника ни стока.

Определение 6. Векторное поле a, в каждой точке которого дивергенция поля div a(M) = 0  равна нулю называется соленоидальным (или трубчатым).

 Определение 7. Ротором  векторное поле a  =(P, Q , R), называется выражение

.

Ротор равна векторному произведению символьного вектор  и вектора a:

div a = [Ñ,a].

Определение 7. Циркуляцией  C(a, l) векторное поле a  =(P, Q , R) по замкнутому контуру l называется криволинейный интеграл от вектор a  по кривой l:

Используя это обозначение формулу Стокса

можно переписать

.                                                                 (2)                 

Таким образом, поверхностный интеграл второго рода по пространственной области S от ротора векторного поля равен потоку циркуляции векторного поля по границе  l поверхности S  ориентированной положительно.

Если поверхность S содержит точку M0(x0, y0, z0) и стягивается в точку M0, то применяя теорему о среднем получаем

,

где M1(x1, y1, z1) - некоторая точка поверхность S. Отсюда

.

Переходя в этой формуле к пределу, когда поверхность S стягивается в точку M0(x0, y0, z0) (диаметр d(S) поверхность S стремится к нулю) получим

.

Таким образом, ротор rot a(M0) векторного поля в точке M0 равна вектору, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора a по контуру l плоской площадки S, перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки, при условии, что контур  l стягивается в точку M0.

Ротор rot a(M0) векторного поля a является векторной величиной. Он образует векторное поле.

С точностью до числового множителя ротор поля скоростей твердого тела представляет собой угловую скорость вращения твердого тела.

Определение 7. Векторное поле a, в каждой точке которого дивергенция поля rot a(M0)  = 0  равна нулю называется безвихревым или потенциальным.

 

20


D

O

y

x

Рис. 1

xi

Pi (xi, yi)

yi

Di

Рис. 2

O

z

y

x

Pi(xi, yi)

z = f(x , y)

D

  y=g(x)

b

a

O

y

x

D

y=f(x)

x

Рис. 3

O

y

x

D

y=x

x

Рис. 4

r=r()

p

O

C

B

A



Рис. 5

r=r1()

O

y

x

D

y=x

3

Рис. 6

Рис. 8

O

z

y

x

z =h(x , y)

D

z =g(x , y)

V

  y=g1(x)

b

a

O

y

x

D

y=g2(x)

x

Рис. 9

O

y

D

Рис. 10

z

6

12

z=12-2x-2y

x

y =  6 - x

x

O

y

Рис. 11

z

x

x

r

h

M(x,y,z)

M(r,,h)

O

y

Рис. 12

z

x

D

3

O

y

Рис. 13

z

x

x

r

r

M(x,y,z)

M(r,,)

O

y

Рис. 14

z

x

3

x

O

z

y

Рис. 1

l

Pi (xi,yi,zi)

yi

r (ti-1)

r(a)

r(b)

r(ti)

x

O

z

y

Рис. 2

l

Mi (xi,yi,zi)

yi

 Ai-1

A=A0

B=An

Ai

Dzi

Dyi

Dxi

 Dri,

D

y

x

O

b

a

A

B

y = j1(x)

y = j2(x)

l1 

l2 

O

y

x

D

l1

l3

l2

l2

O

y

x

D

B

C

A

1

2

O

y

x

D

Односвязная область

O

y

x

D

Не односвязная область

l2

l2

B

A

x

O

z

y

Рис. 1

Pi (xi,yi,zi)

r=r(u, v)

Gi

G

x

O

z

y

Рис. 1

Pi (xi,yi,zi)

r=r(u, v)

Gi

G

n

x0

n

x0

Шар ориентируемая, двухсторонняя поверхность

Лист Мебиуса неориентируемая, односторонняя поверхность

x

O

z

y

Рис. 1

Pi (xi,yi,zi)

r=r(u, v)

Gi

G

n

a(r)

Ds=1

G

Ds

a(r)

x

O

z

y

Рис. 1

n

S

y

x

O

3

D1

-3

-3

3

-3

z

x

O

3

D2

3

z

y

O

3

D3

3

Рис. 8

O

z

y

x

z=j2(x ,y)

Dxy

z=j1(x ,y)

V

O

y

j

z

x

D

2

Рис. 8

O

z

y

x

z=f(x ,y)

D

l

S

l1

n


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78342. Термохимия. Превращение энергии при химических реакциях 69.35 KB
  Химические реакции протекают с выделением или с поглощением энергии. Наоборот такие реакции как разложение карбоната кальция образование оксида азота II из азота и кислорода требуют для своего протекания непрерывного притока теплоты извне и тотчас же приостанавливаются если нагревание прекращается. Ясно что эти реакции протекают с поглощением теплоты. Выделение теплоты при взаимодействии различных веществ за ставляет признать что эти вещества еще до реакции в скрытой форме обладали определенной энергией.
78343. Кинетика химических реакций 45.02 KB
  Скорость реакции гетерогенных системах. Цепные реакции. Химические реакции протекают с различными скоростями. Некоторые из них полностью заканчиваются за малые доли секунды другие осуществляются за минуты часы дни; известны реакции требующие для своего протекания несколько лет десятилетий и еще более длительных отрезков времени.
78344. Химическое равновесие 36.98 KB
  Необратимые и обратимые химические реакции. Химические реакции можно разбить на две группы: необратимые и обратимые реакции. Необратимые реакции протекают до конца до полного израсходования одного из реагирующих веществ. Обратимые реакции протекают не до конца: при обратимой реакции ни одно из реагирующих веществ не расходуется полностью.
78345. Дисперсные системы. Коллоидные растворы 56.53 KB
  Таким образом одно и то же вещество может находиться в различной степени раздробленности: макроскопически видимые частицы 02 01 мм разрешающая способность глаза микроск пически видимые частицы от 02 01 мм до 400 300 нм разрешающая способность микроскопа при освещении белым светом и отдельные молекулы или ионы. Постепенно складывались представления о том что между миром молекул и микроскопически видимых частиц находится область раздробленности вещества с комплексом новых свойств присущих этой форме организации вещества. Если...
78346. Коррозия металлов. Определение и классификация коррозийных процессов 160.12 KB
  В случае с металлами говоря об их коррозии имеют ввиду нежелательный процесс взаимодействия металла со средой. Физико-химическая сущность изменений которые претерпевает металл при коррозии является окисление металла. Любой коррозионный процесс является многостадийным: Необходим подвод коррозионной среды или отдельных ее компонентов к поверхности металла. Полный или частичный отвод продуктов от поверхности металла в объем жидкости если среда жидкая.
78347. Химические связи. Метод валентных связей 169.26 KB
  Способы образования ковалентной связи. Направленность ковалентной связи. Химические связи химическая связь взаимное притяжение атомов приводящее к образованию молекул и кристаллов.
78348. Метод молекулярных орбиталей как линейная комбинация атомных комбинаци 662.45 KB
  Мы остановимся на основных положениях метода МО начиная со способа представления молекулярных орбиталей для гомоядерных двухатомных молекул и объясним за счет каких электронов в них образуется химическая связь. На каждом энергетическом уровне может располагаться не более двух электронов. Мы уже знаем что состояние электронов в атоме описывается квантовой механикой как совокупность атомных электронных орбиталей атомных электронных облаков; каждая такая орбиталь характеризуется определенным набором атомных квантовых чисел. Метод МО исходит...
78349. Вода и растворы. Способы выражения состава раствора 140.07 KB
  Свойства воды. Много воды находится в газообразном состоянии в виде паров в атмосфере; в виде огромных масс снега и льда лежит она круглый год на вершинах высоких гор и в полярных странах. Вода содержащая значительное количество солей кальция и магния называется жесткой в отличие от мягкой воды например дождевой. При фильтровании больших количеств воды пользуются фильтрами из песка и гравия.