22413

Множества. Числовые множества

Лекция

Математика и математический анализ

Множества. Числовые множества План 1. Множества. Подмножества.

Русский

2013-08-03

256 KB

6 чел.

110100                                                  Математический анализ                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 1. Множества. Числовые множества

План

1. Основные понятия логики. Предикаты и кванторы. 2. Множества. Подмножества. Операции над множествами. 3. Декартово произведение множеств.  4. Предикаты и кванторы. 5. Числовые множества. Множества натуральных, целых рациональных чисел. 6. Действительные числа и их свойства. 7. Ограниченные множества. Границы множеств.

Литература: Ермаков В.И. с. 276-280. Ильин В.А., с.183-195. Шнейдер В.Е. 285-296. Кремер Н.Ш. 251-266.

  1.  Основные понятия логики.

Основные понятия логики высказывание и предикат. Под высказыванием понимается повествовательное предложение, о котором можно сказать только одно из двух истинно это предложение или ложно. Определения, вопросительные восклицательные предложения высказываниями не являются. Если высказывание истинно, то его значение будем считать равным 1 ("истина"), если ложно равным 0 ("ложно"). Условимся обозначать высказывания прописными латинскими буквами: A, B, C, …Высказывания обозначаем большими буквами.

Введем логические операции над высказываниями, которые позволяют из одних высказываний строить другие более сложные.

Определение 1.1. Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое  А  В, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний А или В.

Дизъюнкция называется логическим сложением. В русском языке знаку "" соответствует союз "или", понимаемый в смысле "хотя бы одно из …". Символ A  B читается "А или В", "А дизъюнкция В".

Например , "5 < 7 или 5 = 2" истинное высказывание, "2+2 = 7 или 5 = 2" ложное высказывание.

Определение 1.2. Конъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое  А  В или А  В, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны одновременно оба высказывания А и В.

Конъюнкция называется логическим умножением. В русском языке знаку "" соответствует союз "и". Символ A  B читается "А и В", "А конъюнкция В".

Например , "5 < 7 и 2+2 = 4" истинное высказывание, "2 > 7 и 5+2 = 7" ложное высказывание.

Определение 1.3. Импликацией двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое  А В, которое ложно  тогда и только тогда, когда высказывание А истинны, а В ложно.

При этом говорят, что А  посылка, В   заключение.

Импликация называется логическим следованием. Символ A  B читается "если А , то В", "из А следует В", "А влечет В", "А импликация В".

Например, "если 5 < 7, то 2+2 = 4" истинное высказывание, "если 2 > 7,  и 5+2 = 7" ложное высказывание.

Определение 1.4. Эквиваленцией  двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое  А В, которое истинно  тогда и только тогда, когда высказывание А и В истинны или  ложно одновременно.

Символ A  B читается "А тогда и только тогда, когда В", "А эквивалентно В", "А необходимо и достаточно для В".

Например, "5 < 7 тогда и только тогда, когда 2+2 = 4" истинное высказывание, "2 > 7 эквивалентно 5+2 = 7" ложное высказывание.

Определение 1.4. Отрицанием высказывания А называется высказывание, обозначаемое   или А, которое ложно  тогда и только тогда, когда высказывание А истинны.

Операции отрицания соответствует в русском языке частица "не". Символ  читается "не А", "неверно, что А".

Определения 1.11.5 можно записать в виде так называемых таблиц истинности (для компактности все таблицы сведены в одну):

A

B

A  B

A  B

A  B

A  B

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

Некоторые логические операции можно выразить через другие , используя равносильности следующей теоремы.

Теорема 1.3. Для любых переменных высказываний А, В, С справедливы свойства:

  1.  A  B  A  B;   2. A  B  (A  B)(B  A);  3. A  B  (A  B)( B  A);

4. (A  B)  A  B;  5. (A  B)  A  B  (законы А. де Моргана);

  1.  (A  B)  A  B;  7.  (A  B) = (A  B) ( B  A).

Замечание. Доказываются эти равенства с помощью таблиц истинности. Равенства 4-7 используются для построения отрицаний.

2. Множества. Подмножества. Операции над множествами.

В математике понятие множества является одним из основных. Для него имеется много общеизвестных синонимов (класс, совокупность, группа, семейство и т.п.). Создатель теории множеств немецкий математик Г. Кантор (1845-1918) говорил, что множество есть совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Объекты, из которых состоит данное множество, называются элементами.

Условимся обозначать множества прописными латинским буквами А, В, …, а их элементы строчными буквами а, в, … Символы а А и аА обозначают соответственно, что "элемент а принадлежит множеству А", "элемент а не принадлежит множеству А". N, Z, Q и R соответственно обозначают множества всех натуральных, целых, рациональных и действительных чисел.  

Если множество конечное, то его можно записать с помощью перечисления всех его элементов  в списке, который заключается в фигурные скобки. Число элементов в конечном множестве A обозначается символом  A.

Если множество содержит элементы и не является конечным, то оно называется бесконечным. Такие множества обычно задаются указанием характеристического свойства, которым обладают его элементы: A = {xP(x)}, P(x) – свойство, которым обладают элементы множества. Например, множество четных чисел можно записать в виде {x  x  целое число и x делится на 2} или {x xZ и x2}, или     {xZ x2}. Некоторые бесконечные множества можно записать в виде бесконечной последовательности. Например,  множества N всех  натуральных чисел и множество  Z всех целых чисел:

N = {1, 2, 3, …},  Z = {…, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, … }.

Множество Q всех рациональных чисел можно задать так:

Q = {x x = m/n, mZ, nZ, n  0}.

Определение 2.1. Говорят, что множество А включено во множество В и пишут А  В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

Если   А  В, то так же говорят: А содержится в B, В содержит А, А есть часть В, А есть подмножество В, В есть надмножество А.

Множество называется пустым и обозначается символом , если оно не содержит ни одного элемента.

Теорема 2.1. Для любых множеств А, В, С справедливы свойства: 

  1.    В,         2.  А  А (рефлексивность),            3.  если А  В и В  С, то А  С (транзитивность).

Доказательство. ТУ 2.1.

Замечание. Теоретические упражнения должны быть проработаны студентами самостоятельно или на практических занятиях.  

В приложениях теории множеств обычно рассматриваются только такие множества, которые содержаться в некотором фиксированном множестве U, называемом универсальным множеством. Понятие универсального множества понятие относительное. Например, универсальное множество в планиметрии   множество всех точек плоскости, а в стереометрии множество всех точек пространства. 

Диаграммами Эйлера-Венна называются плоские фигуры (например, круги), с помощью которых наглядно изображаются множества, графически иллюстрирующие отношения между множествами и свойства булевых операций. Л. Эйлер - швейцарский математик, жил в России (17071783); Дж. Венн английский логик и математик (18341923).

Определение 2.2. Говорят, что множество A равно множеству B и пишут A= B, если выполняются два условия:

  1.  каждый элемент множества A принадлежит множеству B
  2.  каждый элемент множества B принадлежит множеству А.

Символ A  B обозначает, что множество A не равно множеству B.

Теорема 2.2. Для любых множеств A, В, C справедливы свойства:

  1.  А = A (рефлексивность),   2.  если A = B, то B = A (симметричность), 3. если A = B и B = C, то A = C (транзитивность).

Доказательство. ТУ 2.2.

Теорема 2.3. Множества A и B равны тогда и только тогда, когда A  B и B  С.

Доказательство. ТУ 2.3.

Определение 2.3. Говорят, что множество A строго включено во множество B и пишут A  B, если  A  B и A  В.

Если A  B, то говоря, что A - собственное подмножество множества B. Например, {4, 5} {3, 4, 5}  N  Z  Q  R. Если A не является строго включенным в B, то пишут A  B. Например, {1, 4, 5} {3, 4, 5}.

Теорема 2.4. Для любых множеств A, В, C справедливы свойства:

  1.  А А (антирефлексивность), 2. если А  В, то B  A (ассимметричность), 3. если А  В и В  С, то А  С (транзитивность).

Доказательство. ТУ 2.4.

Определение 2.4. Множество всех подмножеств множества А называется булеаном множества А и обозначается символом P(А) или 2А

Пример. Булеан множества A = {1, 2},  P(А) = {, {2}, {1}, {1, 2}.

Теорема 2.5. Булеан конечного множества содержит 2A различных подмножеств.

Доказательство. Пусть A = n. Доказываем  индукцией по n. Пусть n=0. Тогда А = , P(А) = {} и P(А) = 1. Предположим , что утверждение верно для любого множества В, содержащего n-1 элементов и докажем его для n –элементного множества А= {a1, a2,…, an} . Тогда любое подмножество либо не содержит элемент an либо содержит an. Если оно не содержит элемент an, то оно является подмножеством В множества {a1, a2,…, an-1}. Таких подмножеств 2n-1. Если оно содержит элемент an, то оно имеет вид Вan, где В подмножества {a1, a2,…, an-1}. Таких подмножеств 2n-1. Тогда всего подмножеств в множестве 2n-1 +2n-1=2n.   

Операции над множествами.

Определение 2.4. Объединением двух множеств А и В называется множество, обозначаемое  А  В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В :

А  В = {x x  A или x В}.

Например, если А = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, то А  В = {1, 2, 3, 4, 5} (см. также рис. 1.2).

Определение 2.5. Пересечение двух множеств А и В называется множество, обозначаемое  А  В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат обеим множествам А и В одновременно:

А  В = {x x  A и x В}.

Например, если А = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, то А  В = {3} (см. также рис. 1.2).

Определение 2.6. Разностью двух множеств А и В называется множество, обозначаемое  А \ В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В:

А \ В = {x x  A и x В}.

Например, если А = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, то А \ В = {1, 2}, В \ А = {4, 5} (см. также рис. 1.3).

Определение 2.7. Дополнением множества А до множества U называется множество, обозначаемое  и равное разности множеств U и A:  = U \ A.

Вместо обозначения  употребляются также обозначения СА или CUA (последнее при необходимости указать множество U).  

Например, если U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {3, 4, 5}, то  = {1,2,6}  (см. также рис. 1.3).

Операции над множествами вполне определяются следующей таблицей принадлежности, в которой "1" обозначает то, что элемент принадлежит множеству, "0" элемент не принадлежит множеству.

A

B

A  B

A  B

A \ B

CA

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

Теорема 2.5. Для любых множеств А, В, С справедливы свойства:

1.1. (A  B)  C = A (B  C),       1.2. (A  B)  C = A (B  C)  (ассоциативные законы);

2.1. A  B = B  A ,                           2.2. A  B = B  A                      (коммутативные законы);

3.1. A(BC) = (AB)(AC),     3.2. A(BC) = (AB)(AC)  (дистрибутивные законы);

4.1. A   =  A ,                               4.2. A  U =  A                             (законы нейтральных элементов);

5.1. A  U = U ,                                5.2. A   =                             (законы поглощения);

6.1. A  A =  A ,                                6.2. A  A =  A                             (законы идемпотентности);

7.1. A  СA = U ,                              7.2. A  СA =                           (законы дополняемости);

8.1. С(A  B) = CA  CB,          8.2. C(A  B) = CA  CB            (законы А. де Моргана: шотландский математик (18061871));

9.1. C  = U ,                                    9.2. CU =  ;

                              10. C(CA)  =  A                                                       (закон инволюции).

Доказательство. Все равенства можно доказать используя определения равенства множеств и определения 3.13.5 булевых операций. Докажем, например, первую формулу де Моргана.

  1.  Пусть x  С(A  B). Тогда по определению 3.4 x  A  B и по определению 3.1 x  A и x  B. Следовательно, по определению 3.4  x  СA и x   СB и по определению 3.2 x   CA  CB.
  2.  Пусть x   CA  CB. Тогда по определению 3.2 x   СA и x   СB и по определению 3.4 x  A и x  B. Следовательно, по определению 3.1 x  A  B и по определению 3.4 x С(A  B).

Для проверки равенства множеств удобно использовать таблицы принадлежности. Докажем этим способом равенство 3.1. Для этого составим таблицы принадлежности множеств, стоящих в правой и левой частей формулы, совместив их в одной таблице:

A

B

C

B  C

A(BC)

A B

AC

(AB)(AC)

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

Так как пятый и восьмой столбцы построенной таблицы совпадают, то это показывает, что каждый элемент множества A(BC) принадлежит множеству (AB)(AC) и  обратно, и эти множества равны.

3. Декартово произведение множеств.

Будем называть упорядоченной парой (a, b) расположение двух элементов a и b в указанном порядке: a  первый элемент, b второй элемент. Упорядоченной тройкой (a, b, c) расположение трех элементов a, b, c в указанном порядке: a  первый элемент, b второй, с  третий. Вообще упорядоченная nка  (a1, а2, …, an) расположение n элементов a1, а2, …, an в указанном порядке: a1  первый элемент, а2  второй, …,  an   nый элемент.

Очень часто слово "упорядоченная" опускают и для краткости речи говорят "пара", "тройка", "nка". Упорядоченную nку называют также кортежем длины n. Элементы, из которых состоит nка, называются ее компонентами или координатами.

Определение 3.1.  Две nки (a1, а2, …, an) и (b1, b2, …, bn) называются равными, если соответствующие компоненты nк равны, т.е. (a1, а2, …, an) = (b1, b2, …, bn) тогда и только тогда, когда a1 = b1,  а2 = b2, …,  an =  bn.

Например, (1, 2) = (1, 2), (2, 1) (1, 2).

Определение 3.2.  Декартовым или прямым произведением множеств А и В называется множество, обозначаемое АВ и состоящее из всех упорядоченных пар (a, b) таких, что a  A,  b B:

АВ ={(a, b) a  A,  b B }.

Декартовым или прямым произведением n множеств A1, A2, …, An называется множество, обозначаемое A1A2An и состоящее из всех упорядоченных nк  (a1, а2, …, an) таких, что a1  A1, а2  A2, …, an  An:

A1A2An ={(a1, а2,…, an) a1  A1, а2  A2, …, an An }.

Примеры. 3.1. Пусть  A = {1, 2}, B = {a, b}, C = {5}. Тогда

AB = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)},  BA = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 2)},

ABC = {(1, a, 5), (1, b, 5), (2, a, 5), (2, b, 5)}.

2. Пусть  A = [1, 2], B = [1, 4]. Тогда AB изображает множество всех точек P(x, y) плоскости xOy с координатами x, y,  где  1  x  5 ,  1 y  4. Если  A изобразить  отрезком оси  Ox, а  B  отрезком оси Oy, то множество AB изобразится прямоугольником, указанным на Рис. 1.4.

Определение 3.3. Декартовой nй степенью множества A называется множество, обозначаемое  An и являющееся декартовым произведением множества A на себя n раз:

 .

Мы считаем, что A1 = A. Множества A2 и A3 называются соответственно декартовым квадратом и декартовым кубом множества A.

Например, если A = {1, 2}, то A2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Наглядным образом декартова квадрата R2 = RR является множество всех точек плоскости xOy, декартова куба R3 = RRR является множество точек трехмерного пространства Oxyz.

Теорема 3.1. Прямое произведение A1A2An  - непустое множество тогда и только тогда, когда непустым является каждое из множеств A1, A2, …, An .

Доказательство. ТУ 4.1.

Теорема 3.1. Для любых множеств А, В, С справедливы дистрибутивные законы:

1.1. A(BC) = (AB) (AC),      1.2. (AB)C = (AC) (BC);

2.1. A(BC) = (AB) (AC),      2.2. (AB)C = (AC) (BC);

3.1. A(B\C) = (AB) \ (AC),          3.2. (A\B)C = (AC) \ (BC).

Доказательство. ТУ 4.2.

Замечание 3.1. Отметим, что для декартова произведения множеств не справедливы коммутативный и ассоциативный законы. Это легко установить, приведя контр примеры.

4. Предикаты и кванторы.

Переменные x, y, …, которых служат для обозначения элементов  множества X, называются переменными или предметными переменными, определенными на множестве X.

Определение 4.1. Предикатом (n  местным предикатом) называется предложение, содержащее n предметных переменных, определенных на одном или различных множествах, и которое превращается в высказывание истинное или ложное, если мы заменим предметные переменные их значениями.

n  местный предикат P, содержащий переменные  x1, x2, …, xn, определенные соответственно на множествах M1, M2, …, Mn, обозначается также символом P(x1, x2, …, xn). Если x1 = a1 M1, x2 = a2 M2, …, xn = an Mn,то через P(a1, a2, …, an) обозначаем значение предиката.

Отметим, что сам предикат высказыванием не является, но каждое значение предиката высказывание. Так как в логике нас не интересует содержание высказывания, то можно сказать, что предикат принимает два значения 1 и 0, где 1 обозначает "истинное высказывание", 0 " ложное высказывание". 

Определение 4.2. Областью истинности предиката P называется множество, обозначаемое ОИ(P) и состоящее из всех значений переменных (a1, …, an)M1 Mn, при которых предикат P принимает значение 1:

ОИ(P) ={(a1, …, an)M1 Mn P(a1, a2, …, an) =1}.

Область истинности одноместного предиката, определенного на R удобно изображать на числовой прямой, а двуместного предиката, определенного на R2  изображают на координатной плоскости xOy.

Пример 1. Пусть P(x) = [x  простое число] одноместный предикат, определенный на N. Тогда P(1) = 0, P(2) = 1, P(4) = 0.

2. Пусть Q(x) = [ x  <1] предикат, определенный на  R. Тогда ОИ(Q)  =  (1, 1).

3. Пусть R(x, y) = [x2 + y2  4] двуместный предикат, определенный на R2, для которого  ОИ(R) изображена на рис. 21.

Некоторые, часто встречающиеся, предикаты обозначаются специальными символами. Например, x < y ("x меньше y"); x = y ("x равно y"); A  B ("A включено в B").

Так как принимают значения 1(истинно), 0 (ложно), то к ним применимы все логические операции над высказываниями. Поэтому, если P , Q  предикаты, то P  Q , P  Q , P  Q , P  Q , P , Q также есть предикаты.  

Теорема 4.1. Пусть предикаты P и Q, определенные на одном и том же множестве. Тогда

1. ОИ(P  Q) = ОИ(P)ОИ(Q);  2. ОИ(P  Q) = ОИ(P)ОИ(Q);

3. ОИ(P  Q) = СM(ОИ(P)) ОИ(Q);  3. ОИ(P) = СM(ОИ(P)) .

Доказательство. Докажем равенство 1.

Пусть aОИ(P  Q). Тогда по определению 5.2 и по определению конъюнкции P(a) = 1 и Q(a) = 1. Следовательно, по определению 5.2 aОИ(P) и aОИ(Q) и по определению пересечения aОИ(P) ОИ(Q).

Аналогично доказывается, что, если aОИ(P)ОИ(Q), то aОИ(PQ). Откуда по определению равенства множеств следует доказываемое равенство.

Определение 4.3. Предикаты P и Q, определенные на одном и том же множестве называется равносильными, обозначается P  Q, если ОИ(P) = ОИ(Q).

 Определение 4.4. Предикат Q называется следствием предиката P, если ОИ(P) ОИ(Q).

Например, предикаты [ x  1] и [x2  1], определенные на R, равносильны, а предикат [x2 > 1] следствие предиката [x > 1].

Замечание 4.1. С точки зрения логики предикатов имеем.

  1.  Всякое уравнение или неравенство есть предикат; система уравнений или неравенств конъюнкция предикатов; совокупность уравнений или неравенств дизъюнкция предикатов.
  2.  Множество решений уравнения или неравенства, система (совокупности) уравнений или неравенств область истинности некоторого предиката.

3) Равносильные уравнения или неравенства, системы (совокупности) уравнений или неравенств равносильные предикаты.

Определение 4.5. Пусть P(x) одноместный предикат, определенный на множестве M.

1. Символ (xM)P(x)  или  x P(x) обозначает высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда ОИ(P) = M ,т.е., когда высказывание P(x) истинно для каждого xM.

2. Символ (xM)P(x)  или x P(x) обозначает высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда ОИ(P)   ,т.е., когда высказывание P(x) истинно хотя бы для одного xM.

Символы и называются соответственно кванторами общности и существования. Выражение (xM)P(x) читается "для любого xM P(x)", выражение (xM)P(x) "существует такое  xM, что P(x)". Про переменную x говорят, что она связана квантором. Если известно, о каком множестве идет речь, то кванторы можно записывать так xP(x), xP(x)

Например, для предикатов Q(x) = [ x2 0], R(x) = [ x2 < 0 ], P(x) =  =[x  простое число], определенный на Z, имеем xQ(x)=0, xQ(x)=1, xP(x)=0, xP(x)=1, xR(x)=0, xR(x)=0,

Соединяя высказывания и предикаты операциями алгебры высказываний и кванторными операциями, мы получим формулы логики предикатов. Например, AP(x). x(P(x)Q(x)). Аналогично тому, как это сделано в алгебре высказываний можно ввести понятие формулы и равносильности формул в алгебре предикатов.

Все равносильности, имеющие место в алгебре высказываний имеют место и в алгебре предикатов. Кроме того справедлива теорема.

Теорема 4.2. Пусть P(x) и Q(x) произвольные предикаты, определенные на множестве М. Тогда справедливы равносильности:

1. x P(x) x Q (x)  x (P(x)  Q (x)),

1. x P(x)  x Q (x)  x (P(x)  Q (x)),

2. (x P(x))  x(P(x)), 2. (x P(x))  x(P(x))

(Формулы А. де Моргана).

Доказательство. Докажем равносильность 2.

Пусть (x P(x)) истинно. Тогда высказывание x P(x) ложно и по определению 5.5 ОИ(P) =. По теореме 5.1 ОИ(P) = =СM(ОИ(P))= СM=M и по определению 5.5 x(P(x)) истинно.

Пусть (x P(x)) ложно. Тогда высказывание x P(x) истинно и по определению 5.5 ОИ(P)  . По теореме 5.1 ОИ(P) = =СM(ОИ(P))  M и по определению 5.5 x(P(x)) ложно.

Из доказанного следует равносильность 2.

  1.  Числовые множества.

Натуральные числа. Обычно множество N = {1, 2, 3,…}натуральных чисел и его свойства предполагаются известными из школьного курса математики. Необходимо отметить, что в школе действия сложения, умножения над натуральными числами строго не определяются и их свойства не доказываются. Также из школы известно, что множество N - линейно упорядоченное множество относительно обычного отношения . Справедливо следующее интуитивно ясное утверждение:

Принцип минимума. Каждое непустое подмножество A множества N натуральных чисел содержит минимум (наименьшее число).

Отсюда легко могут быть получены следующие теоремы (теоремы индукции), обосновывающие законность индуктивных доказательств.

Теорема 1.  Пусть P(n) - предикат (теорема, утверждение, предложение), определенный на множестве N натуральных чисел. Пусть предикат P обладает двумя свойствами:

  1.  при n =1 предикат P истинен;
  2.  для всякого k  N, если предикат P истинен при n = k, то он истинен и при n = k  + 1.

Тогда предикат P истинен для всех натуральных чисел n.

Теорема 1 являются основой специального метода доказательства теорем, называемого методом математической индукции ("доказательство методом полной индукции").

Всякое доказательство методом математической индукции состоит из двух частей. Например, рассмотрим схему доказательства, основанного на теореме 1.

  1.  Сначала проверяется истинность предложения P для натурального числа n =1 (база индукции).
  2.  Затем делается допущение, что предложение P истинно для произвольного натурального числа n = k (индуктивное предположение). Затем на основе этого предположения выводится справедливость предложения P для n = k  + 1 (индукционный переход). Индуктивное предположение вместе с индуктивным переходом называется индуктивным шагом.

Теперь, так как удовлетворяет всем условиям теоремы 15.1, можно заключить, что предложение P истинно для любого натурального числа n.

Если требуется доказать, справедливость предложения P для всех натуральных чисел, начиная с числа r, то доказательство должно быть основано на теореме 15.2. Его схема доказательства отличается от схемы, приведенной выше, индуктивным шагом.

Если при индуктивном переходе требуется истинность предложения при n  k, то доказательство должно быть основано на теореме 15.3. Его схема доказательства отличается, от схемы, приведенной выше, индуктивным предположением.

Необходимо подчеркнуть, что любое индуктивное доказательство включает в себя и базис индукции, и индуктивный шаг.

Пример 1. Доказать, что

(1+x)n  > 1 + nx,

где x > 1, x  0, x  R, n  N,  n  2 (неравенство Бернулли).

Доказательство. 1. Так как x2 > 0, то (1+x)2  = 1 + 2x + x2 > 1 + 2x, т. е. неравенство верно при n = 2.

2. Предположим, что неравенство верно для некоторого n = k  2:

(1+x)k  > 1 + kx.                                    (15.1)

Докажем, что тогда оно верно для n = k + 1: (1+x)k + 1  > 1 + (k + 1)x.

Умножая неравенство (15.1) на число 1+x >0 , имеем

(1+x)k + 1  > (1 + kx)( 1+x) = 1 + kx + x + kx2 > 1 + (k + 1)x

(так как kx2 > 0).

Из пунктов 1 и 2 по теореме индукции 15.2 следует справедливость неравенства для всех натуральных чисел n  2.

Пример 2. Доказать, формулу

(a +b)n  = an + a n-1b + a n-2b2+ a n-3b3+…+ a n-kbk+…+ abn-1 +  b n, 

где a, b  R, n  N,  (бином Ньютона).

Доказательство. Доказать самостоятельно, используя свойства биномиальных коэффициентов  (формула Паскаля).

Целые числа. Множество Z = {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} целых чисел также предполагаем изученным. Известно, что сумма, разность, произведение целых чисел всегда целые числа.

Рациональные числа. Множество  рациональных чисел также предполагаем изученным. Известно, что сумма, разность, произведение и частное, если знаменатель неравен нулю рациональных чисел - рациональное число. Множество Q всюду плотное множество, т.е. между любыми различными рациональными числами лежит рациональное число.

6. Действительные числа и их свойства. Модуль действительного числа и его свойства. Наиболее широкое числовое множество, изучаемое в школе множество действительных чисел R. Действительные чисел изображается на числовой оси, на которой указывается масштаб, начало отсчета и направление. Между числовыми множествами имеется соотношение: N Z  Q  R. Множество состоит из рациональных и иррациональных чисел. Рациональные числа выражаются конечными или бесконечными десятичными дробями.

Теорема 1. Не существует рационального числа квадрат которого равен 2.

Доказательство. Допустим противное, что имеется рациональное число, представимое несократимой дробью , квадрат которого равен 2. Тогда имеем  , m2 = 2n2. Тогда число m2  - четное, а поэтому и число m - четное, m = 2 m1. Отсюда получим 4m12 = 2n2, 2m12 = n2. Повторяя рассуждения получим, что число n - четное, n = 2 n1. Но тогда дробь  сократимая. Получаем противоречие с допущением. Следовательно, предположение неверно, и не существует рационального числа квадрат которого равен 2.

Иррациональные числа выражаются бесконечными непериодическими дробями. Множество всех действительных чисел есть множество всех бесконечных десятичных дробей:

R = {x = ,123 Z, i{0,1,.2,…,9}}.

  1.  Известно, что сумма, разность, произведение и частное, если знаменатель неравен нулю, действительных чисел - действительное число.
  2.  Все действительные числа разбиваются на положительные действительные числа, отрицательные действительные числа и нуль:  R = R-  {0} R+.
  3.  Множество R  линейно упорядочено, т.е. для любых двух действительных чисел a, b имеет место только одно из трех соотношений: либо a < b, либо a > b, либо a = b.   
  4.  Множество R - всюду плотное множество, т.е. между любыми различными действительными числами a, b лежит бесконечно много действительных чисел. Если a < b, то a < (a + b)/2 < b.
  5.  Множество R  непрерывно, т.е для его справедливо следующее утверждение. Пусть A, B - любые непустые подмножества множества такие, что для любых a A, b B имеем a  b.  Тогда существует такой элемент с R, что для любых a A, b B имеем a  с  b.  Это утверждение называется аксиомой о разделяющем элементе и проиллюстрировано на рис. 1.
  6.  Модуль (абсолютная величина) действительного числа определяется формулой:

Теорема 1. Для любых действительных чисел a, b справедливы свойства:

1) a  0, a  a; 2) a  b  - b  a b; 3) a  b   a b a b; 4) a+b  a+b;  5) a-b  a-b;   6) ab = ab;  7) a/b = a/b (b  0).

Доказательство. Свойства 1-3, 6-7 доказываются простой проверкой. Докажем свойство 4. Из свойства 1 -aa  a , -bb  b .  

Отсюда получаем . Следовательно, по свойству 2 получим .

По свойству 4 имеем  Тогда имеем Аналогично доказываем, что Отсюда  и по свойству 2 получим a-b  a-b.

Числовыми промежутками называются подмножества множества R, которые имеют следующий вид:

[a, b] = {x R  a  x  b} - отрезок (сегмент, замкнутый промежуток),

(a, b) = {x R  a < x < b} - интервал (открытый промежуток),

[a, b) = {x R  a  x < b}, (a, b] = {x R  a < x  b} - полуоткрытые интервалы (сегмент, полуоткрытые отрезки),

[a, +) = {x R  a  x}, (a, +) = {x R  a < x}, (-, b) = {xR x < b}, (-, b] = {x R x  b}, (-, +] = R - бесконечные интервалы (промежутки),

7. Ограниченные множества. Границы множеств.

Определение 1. Множество А R называется ограниченным, если существует такое число b R, что для любого a A  выполняется неравенство a  b. Числа -b, b называются соответственно нижней и верхней границами множества А.

Определение 2. Множество А R называется ограниченным сверху, если существует такое число b R, что для любого a A  выполняется неравенство a  b. Число  b называются верхней границами множества А.

Определение 3. Множество А R называется ограниченным снизу, если существует такое число b R, что для любого a A  выполняется неравенство -b  a. Число  b называются нижней  границами множества А.

Определение 4. Наименьшая из всех верхних границ множества А R называется точной верхней границей множества А, и обозначается символом sup A.

Определение 5. Наибольшая из всех нижних границ множества А R называется точной нижней границей множества А, и обозначается символом inf A.

Определение 6. Если точная верхняя граница множества А R принадлежит множеству А, то она называется наибольшим элементом множества А, и обозначается символом max A.

Определение 6. Если точная нижняя граница множества А R принадлежит множеству А, то она называется наименьшим элементом множества А, и обозначается символом min A.

Теорема 1. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) множество А R имеет точную нижнюю (верхнюю) границу.

Доказательство. Пусть множество А ограничено сверху, и В - множество всех верхних границ множества А. Тогда А, В  R,  и множества А, В не пусты. По аксиоме непрерывности существует такое число с R, что для любых a A, b B имеем a  с  b. Так как для любых a A имеем a  с, то с - верхняя граница множества A. Так как для любых b B имеем  с  b, то наименьшая из верхних границ множества A. Отсюда с = sup A..


U                         
AB

B

A

Рис. 1.1

Рис. 1.2

  В

А 

B 

АВ

А 

B 

АB 

A\B

Рис. 1.3

A

B

A

U

CUA

y

O

x

AB

P(x,y)

1          x             5

1

y

4

B

A

Рис. 1.4

c

a

b

B

A

Рис. 1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54062. Пригоди веселих кошенят 44.5 KB
  Під музичний супровід діти разом із логопедом заходять до музичної зали. Логопед: Доброго ранку доброго дня Хай плещуть долоньки Хай тупають ніжки Хай ротик співає Та сяють усмішки. Піпіпі куди це я потрапила Логопед.
54063. Логопсихокорекція у роботі з дітьми з порушеннями мовлення 67.5 KB
  Ігри і вправи на розвиток емоційної сфери Казка-гра : Про рибака та рибку Логопед читає уривок з казки О. Гра із шишками напруження та розслаблення мязів рук. Гра з бджілкою напруження та розслаблення мязів ніг. Ведмедиця кличе золоту бджілку погратися з ведмежатами.
54064. Програма логопедичної роботи з дітьми старшого дошкільного віку із ЗНМ III-го рівня 65.5 KB
  Учити виділяти назви предметів дій ознак розуміти узагальнювальне значення слів. Учити дітей перетворювати дієслова наказового способу 2ї особи однини в дієслова дійсного способу 3ї особи однини і множинного числа теперішнього часу спи спить сплять спали спала. Учити дітей використовувати в самостійній мові присвійні займенники мій моя моє у поєднанні з іменниками чоловічого і жіночого роду деяких форм словозміни шляхом практичного оволодіння іменниками єдиного і множинного числа дієсловами єдиного і множинного числа...
54065. Конспект логопедичного заняття: «Хто де живе?» 45.5 KB
  Виховання доброзичливості бажання бути справедливим; Корекційно навчальна: Формувати у дітей навички зв’язного мовлення: учити складати розповідь за малюнком за запитанням оцінювати розповіді товаришів; управляти в уживанні іменників – назв приміщень певного призначення складати речення з прийменниками в по у біля поруч; учити давати відповідь на запитання використовуючи прислівники; Хід заняття 1 Організаційний момент Створення емоційного позитивного настрою на занятті Хто де живе Логопед кидає дітям м’яч і починає...
54066. Конспект логопедичного заняття: Зелене царство 82 KB
  Бесіда Рослини поруч з нами Уточнення та розширення словника по темі Логопед. Який світ навколо нас Логопед допомагає дітям дібрати та повторити словаознаки: світ великий красивий багатий яскравий. Логопед.
54067. Интегрированное занятие для детей старшей логопедической группы « А мы идем, шагаем по Земле» 51 KB
  Дерево трава цветок и птица Не всегда умеют защититься Если будут уничтожены они На планете мы останемся одни Приглашаю всех вас в гости Спит девочка. Лучик танцует и нежно будит девочку ДЕВОЧКА: просыпаясь и потягиваясь Доброе утро Какое оно прекрасное Лучику Ой Кто ты ЛУЧИК: Я – Лучик Солнца золотой Пришел к тебе с небес...
54068. Дидактичні матеріали до логопедичних занять з теми «Диференціація свистячих і шиплячих». Розрізнення дж-дз 125 KB
  Насупилось небо, плаче хмаринка. А поле сміється щасливо і дзвінко, бо сльози хмаринки несуть урожай. Як сльози ці звуться? Ану відгадай.
54069. Дифференциация звуков с – з. Развитие речи по лексической теме «Зима» 63 KB
  Картинки с изображениями Дети катаются на лыжах Дети катаются на санках Дети катаются на коньках Дети лепят снеговика. Дети повторяют движения за логопедом. Дети по очереди прикасаются к большому пальцу остальными пальчиками в ритме стихотворения. Дети лепят снеговика.
54070. Подолання вад звуковимови й звукосприймання 23.89 MB
  Виправлення недоліків звуковимови проводиться у певній послідовності за прийнятою методикою. Під час цих вправ звертається увага на положення язика: корінь спокійний а кінчик язика біля нижніх різців. Вправи для язика: рухи язиком вперед і назад відкритим ротом як котик...