22414

Отображения. Числовые функции

Лекция

Математика и математический анализ

Отображением f множества X в множество Y называется всякое правило которое любому элементу xX ставит единственный элемент y обозначаемый fx. Бинарным отношением f между множествами X и Y называется любое подмножество множества XY. Бинарное отношение f между множествами X и Y называется отображением множества X в множество Y если для любого элемента xX существует один и только один элемент yY такой что x yf . Отображение f множества X в Y называется также функцией определенной на множестве X со значениями в множестве Y.

Русский

2013-08-03

326.5 KB

16 чел.

110100, 110600                                       Математика                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 12. Отображения. Числовые функции

План

  1.  Отображения.  2.  Виды отображений. 3. Обратное отображение. 4. Числовая функция. Область определения и множество значений функции. График функции.  5. Композиция функций, сложные функции. 6. Обратные функции. 7. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

Литература: Ильин В.А., с.35-56, 95-58. Письменный Д., с. 97-107. Ермаков В.И., с.175-179,192, 276-280. Ильин В.А., с.183-195. Шнейдер В.Е. 285-296. Кремер Н.Ш. 251-266.

  1.  Отображения.

Отображение является синонимом слова функция и можно дать следующее нестрогое определение отображения.

Определение 1.2’. Пусть X и Y произвольные множества. Отображением f множества X в множество Y называется всякое правило, которое любому элементу xX ставит единственный элемент y, обозначаемый f(x).

Дадим более строгое определение отображения через бинарное отношение.

Определение 1.1. Бинарным отношением f между множествами X и Y  называется любое подмножество множества XY.

Определение 1.2. Бинарное отношение f между множествами X и Y  называется  отображением множества X в множество Y, если для любого элемента xX существует один и только один элемент yY такой, что (x, y)f .

Отображение f множества X в Y называется также функцией, определенной на множестве X со значениями в множестве  Y.

Символически отображение f множества X в Y записывается в виде: f: X  Y. То, что (x, y)f, записывается также в виде y = f(x)  или f: x  y.

При этом область определения D(f) бинарного отношения f совпадает с X и называется областью определения отображения или функции f, область значений E(f) называется множеством значений отображения или функции f. Если (x, y)f, то элемент y называется образом элемента x при отображении f  и обозначается символом      y = f(x), а элемент x  прообразом элемента y. Также при этом говорят, что элемент x есть аргумент или более точно, значение аргумента, а f(x)  значение функции в точке x. Множество X называется также областью отправления, Y  областью прибытия отображения f.

Иногда отображением f множества X в Y называется правило, которое каждому элементу xX ставит в соответствие единственный элемент yY , обозначаемый f(x).

Отображения задаются теми же способами, что и бинарные отношения. На рис. 1.10 и 1.7 представлены отображения, заданные стрелками и графически.

Стрелочное изображение отображения f: X  Y имеет следующие особенности:

  1.  из каждой "точки" множества X  выходит только одна стрелка;
  2.  две стрелки не могут иметь общее начало.

Если X, Y R, то функция называется числовой функцией. Отметим, что множество G точек плоскости xOy является графиком некоторой числовой функции тогда и только тогда, когда каждая прямая параллельная оси Oy пересекает G не более чем в одной точке.

Определение 1.3. Образом множества   A  X  при отображении f: X  Y называется множество f (A) = {f(x) x A }.

Например, на рис. 1.11 f ({2, 4}) = {b}.

Отметим, что f (X) = E(f).

Определение 1.4. Прообразом или полным прообразом  множества B X  при отображении f: X  Y называется множество f -1(A) = {x X  f(x)B }.

Например, на рис. 2.2 f -1({b}) = {2, 4, 5}.

Определение 1.5. Два отображения f1: X1  Y1, f2: X2  Y2 называются равными, обозначается f1 = f2, если

  1.  X1= X2,
  2.  для любого x X1 имеем f1(x) = f2(x).

Определение 1.6. Композицией двух  отображений f: XY, g: YW называется отображение : XW определяемое для любого x X формулой:

Если f и g числовые функции, то называют также сложной функцией.

Приведенная на рис. 1.9 треугольная диаграмма наглядно иллюстрирует то, что при выполнении отображения  сначала выполняется отображение f , а затем отображение g.

Например, если f и g отображения R в R, определенные формулами f: x x2, g: x x+1, то : x  x2+1, : x  (x+1)2.

Теорема 1.1. Операция композиции обладает свойством ассоциативности, т.е.  для любых трех отображений  f: XY,   g: YW , h: WZ.

Доказательство.  Так как для любого элемента x X имеем

то по определению 1.4 утверждение теоремы справедливо.

Определение 1.7. Отображение eX: XX называется единичным или тождественным отображением, если eX(x) =x для любого x X.

Теорема 1.2. Для любого отображения  f: XY .

Доказательство. ТУ 1.2.

Определение 1.8. Отображение f: X1Y называется сужением или ограничением отображения g: X2Y на X1, если

  1.  X1 X2,
  2.  для любого x X1 имеем f(x) = g(x).

В этом случае пишут f= gA, а также говорят, что g продолжение или расширение отображения f.

2. Виды отображений. Обратное отображение.

Определение 2.1. Отображение f  множества X  в  Y называется  отображением множества X  на  Y, или сюръективным, или сюръекцией, если для любого y Y найдется такой элемент x X, что f(x) =y.

Таким образом, f: XY сюръекция тогда и только тогда, когда E(f) = Y.

Например, отображение f: R[0, +), f: xx2, является сюръекцией, см. также рис. 1.5, 1.11   . Отметим, что отображения на рис 2.2, 1.7 не являются таковыми.

Определение 2.2. Отображение f  множества X  в  Y называется  взаимно однозначным отображением множества X  в  Y , или инъективным, или инъекцией, или вложением, если для любых   x1,  x2  X   из     x1  x2    следует, что f(x1)   f(x2).

Например, отображение f: R\{0}R, f: x1/x, является инъекцией, см. также рис. 1.11, 1.12, 1.13. Отметим, что отображения на рис. 2.2, 1.7, 1.10 не являются таковыми.

Определение 2.3. Отображение f  множества X  в  Y называется  взаимно однозначным отображением множества X  на  Y , или биективным, или биекцией, если оно одновременно сюръективно и инъективно.

Иными словами биективное отображение взаимно однозначно и является отображением X на Y. Взаимно однозначное отображение множества X  на Y обозначается также символом f: XY.

В геометрии взаимно однозначные отображения множества X на себя называются преобразованиями множества. В математическом анализе взаимно однозначные отображения множества X на Y называются взаимно однозначными соответствиями между X и Y.

Например, отображение f: (0,+)R, f: xlg x, является биекцией, см. также рис. 1.11, 1.13. Отметим, что отображения на рис 2.2, 1.7, 1.10, 1.12 не являются таковыми.

Теорема 2.1. 1. Композиция  двух сюръекций f и g есть сюръекция.

2. Композиция  двух инъекций f и g   инъекция.

3. Композиция  двух биекций f и g  биекция.

Доказательство. Композиция двух отображений f: XY, g: YW есть отображение XW. Если f и g сюръекции, то f(X) = Y, g(Y) = W. Поэтому  и  сюръекция.

Пусть x1,  x2  X и x1  x2. Пусть  f и g инъекции. Тогда f(x1)   f(x2). Отсюда  и  инъекция.

3. Обратное отображение.

Третье утверждение теоремы следует из первых двух по определению 3.3.

Определение 3.1. Обратным бинарным отношением для бинарного отношения f XY называется  бинарное отношение, обозначаемое   f -1, и состоящее из всех пар (y, x) таких, что (x, y)f .

Определение 3.2. Отображение f: XY называется  обратимым, если обратное для его бинарное отношение   f -1 является отображением множества Y в X. Тогда обратное бинарное отношение f -1 называется обратным отображением для отображения f и обозначается тем же символом  f -1.

Например, для отображения f: (0,+)R, f: xlg x, обратное  отображение f -1: R(0, +), f -1: x10x. Отображения на рис. 1.11 и 1.13 обратимы (см. также рис. 1.14).

Отметим, что не каждое отображение обратимо. Например, отображения представленные на рис.  1.10, 1.12 не обратимы.

Теорема 3.1. Пусть отображение f: XY - обратимо, f -1 – обратное отображение. Тогда y= f(x) тогда и только тогда, когда x= f -1(y) для любых x X и y Y .

Доказательство. По определению обратного бинарного отношения (x, y)  f тогда и только тогда, когда (y, x)  f -1 . В силу обозначений из этого следует утверждение теоремы.

Теорема 3.2. Пусть отображение f: XY - обратимо. Тогда  .

Доказательство. Следует из определений 1.5, 1.6 и теоремы 3.2.

Теорема 3.3. Отображение  f: XY - обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно. 

Доказательство. () Пусть отображение f: XY обратимо и f -1: YX обратное ему отображение. По определению отображения для любого  y  Y  существует единственный элемент  x X такой, что x= f -1(y) и по теореме 3.1 y= f(x). По определению 2.1 f  сюръекция.

Доказывая, что f  биекция предположим противное. Пусть найдутся такие два элемента x1,  x2  X ,  x1  x2 , что f(x1) = f(x2), y1= f(x1), y2= f(x2). Тогда y1 = y2 и по теореме 2.2 x1= f -1(y1) = f -1(y2) = x2, а это противоречит предположению.

() Пусть отображение f: XY  биективно, f -1  обратное бинарное отношение для f. По определению 2.1 для каждого y  Y существует такой элемент xX, что y= f(x),  т.е. такой, что (y, x)f -1. Покажем, что такой элемент x X единственный. Действительно, допустим, что существуют два такие элемента  x1,   x2  X ,  x1  x2 , (y, x1)f -1, (y, x2)f -1. Тогда по определению обратного бинарного отношения (x1, y)f , (x2, y)f и  f(x1) = y = f(x2), а это противоречит тому, что  f   биективно.

Если  f -1: Y  X обратное отображение для отображения f: XY, то область определения Y отображения f -1 равна множеству значений отображения f, D(f -1) = E(f), и наоборот E(f -1) = D(f). Если области определений отображений f и f -1 изображаются на оси Ox, то графики этих отображений симметричны относительно биссектрисы первого и второго координатных углов, т.е. относительно прямой  y= =x .

Например, для функции  sin: [/2,/2][1,1] обратной является функция arcsin: [1,1] [/2,/2]. По теореме 3.2 для любых x [/2,/2] и y[1,1] справедливы тождества arcsin(sin x) = x и sin(arcsin y) = y.

Упражнения: 3.1. Даны функции cos x,  tg x, ctg x, x2, log2 x . Какие из этих функций являются отображениями R в R , сюръекциями, инъекциями, биекциями?  

Сузить их области отправления и прибытия так, чтобы они стали обратимыми, найти обратные функции и построить их графики.

В каждом случае написать тождества теоремы 3.3

3.2. Доказать теорему 3.2

3.3. Доказать, что графики функций y= f(x) и y= f-1(x) симметричны относительно прямой y= x.

4. Функция. Область определения и множество значений функции. График функции. 

Определение 1.  Числовой функцией, определенной на множестве X R со значениями во множестве Y R называется любое отображение f множества X в множество Y: f : X  Y.

Функция f любому элементу x X ставит в соответствие единственный элемент y Y, обозначаемый y = f(x). Функцию записываем также в виде y = f(x) и в этом случае x называется независимой переменной или аргументом, y - зависимой переменной или функцией.

Множество X называется областью определения функции f и обозначается символом Df .

Множество Ef = { y Y  y = f(x), где x X } называется множеством значений функции f.

Определение 2. Две числовые функции f : X  Y и g : Z  W называются равными, если их области определения равны, X = Z, и все соответствующие значения их равны, т.е. ( x X )[ f(x) = g(x)].

Определение 3. функции g : Z  W называется сужением функции f : X  Y на множество Z, если Z X  и ( x X )[ g(x) = f(x)]. Обозначаем g = f  Z.

Определение 4.  Суммой двух числовых функций f : X  Y и g : Z  W называется такая функция, обозначаемая f+g, определенная на множестве X Z, которая для любого x XZ определяется формулой ( f + g)(x) = f(x) + g(x).

Аналогично, разность, произведение, частное функций определяются соответственно для любого x XZ равенствами:

( f - g)(x) = f(x) - g(x),  ( f g)(x) = f(x)g(x),  ( f /g)(x) = f(x) /g(x), g(x) 0.

Имеют место следующие способы задания числовых функций:

Аналитический (формульный) - функцию задают с помощью одной или нескольких формул:

Естественной областью определения функции, заданной формулами, называется множество всех значений аргумента, при которых формулы имеют смысл.

 Логический (словесный) - функцию задают с помощью описания соответствия:

Табличный (матричный) - функцию задают с помощью таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих значений функции. Например расписание движения поезда на станции определяет местоположение поезда в зависимости от времени.

Определение 5.  Графиком функции  f : X  Y называется множество Гf всех точек P(x,y) координатной плоскости Oxy, координаты которых связаны зависимостью y = f(x), x X .

Графический способ - функцию задают с помощью графика, который задает зависимость между значениями аргумента и и значениями функции.  Смотри на рис. 3.

 5. Композиция функций, сложные функции.

Определение 1.  Композицией двух функций  f : X  Y и g : Y  Z называется такая функция, обозначаемая f g, определенная на множестве X , которая для любого x XZ определяется формулой (g  f)(x) = g (f (x)).

Композиция функций также называется суперпозицией функций, а резульат суперпозиции функций называется сложной функцией. При суперпозиции функций вторая функция подставляется вместо аргумента в первую функцию.

Пример 1. Функция y = sin(x2- 1) является суперпозицией функций y = x2- 1, y = sin x. Суперпозиция функций y = sin x и y = x2- 1 есть функция y = sin 2 x  - 1. Из этого примера следует некоммутативность операции суперпозиции.

6. Обратные функции. 

Определение 6.1. Обратным бинарным отношением для бинарного отношения f XY называется  бинарное отношение, обозначаемое   f -1, и состоящее из всех пар (y, x) таких, что (x, y)f .

Определение 6.2. Функция f: XY называется  обратимой, если обратное для еу бинарное отношение   f -1 является функцией. Тогда функция f -1 называется обратной функцией для функции  f и обозначается тем же символом  f -1.

Например, для функции f: [0,+) [0,+), f: xx2, обратная функция f -1: [0,+) [0,+), f -1: x.

Теорема 6.1. Пусть функция f: XY - обратима, f -1 – обратная ей функция. Тогда y= f(x) тогда и только тогда, когда x= f -1(y) для любых x X и y Y .

Доказательство. По определению обратного бинарного отношения (x, y)  f тогда и только тогда, когда (y, x)  f -1 . В силу обозначений из этого следует утверждение теоремы.

Теорема 6.2. Пусть функция f: XY - обратима. Тогда для любых x X и y Y  имеем f(f -1(y))= y, x= f -1(f(x)).

Доказательство. Следует из определений 6 и теоремы 6.1.

Теорема 6.3. Функция  f: XY - обратима тогда и только тогда, когда она биективна. 

Доказательство. () Пусть тображение f: XY обратимо и f -1: YX обратное ему отображение. По определению отображения для любого  y  Y  существует единственный элемент  x X такой, что x= f -1(y) и по теореме 6.1 y= f(x). По определению  f  сюръекция.

Доказывая, что f  биекция предположим противное. Пусть найдутся такие два элемента x1,  x2  X ,  x1  x2 , что f(x1) = f(x2), y1= f(x1), y2= f(x2). Тогда y1 = y2 и по теореме 6.1 x1= f -1(y1) = f -1(y2) = x2, а это противоречит предположению.

() Пусть отображение f: XY  биективно, f -1  обратное бинарное отношение для f. По определению для каждого y  Y существует такой элемент xX, что y= f(x),  т.е. такой, что (y, x)f -1. Покажем, что такой элемент x X единственный. Действительно, допустим, что существуют два такие элемента  x1,   x2  X ,  x1  x2 , (y, x1)f -1, (y, x2)f -1. Тогда по определению обратного бинарного отношения (x1, y)f , (x2, y)f и  f(x1) = y = f(x2), а это противоречит тому, что  f   биективно.

Если  f -1: Y  X обратное отображение для отображения f: XY, то область определения Y отображения f -1 равна множеству значений отображения f, D(f -1) = E(f), и наоборот E(f -1) = D(f). Если области определений отображений f и f -1 изображаются на оси Ox, то графики этих отображений симметричны относительно биссектрисы первого и второго координатных углов, т.е. относительно прямой  y= =x .

Например, для функции  sin: [/2,/2][1,1] обратной является функция arcsin: [1,1] [/2,/2]. По теореме 3.2 для любых x [/2,/2] и y[1,1] справедливы тождества arcsin(sin x) = x и sin(arcsin y) = y.

Теорема 6.4. График обратной функции y= f -1(x) симметричен графику функции y= f(x) относительно биссектрисы первого и второго координатных углов.

  1.  Элементарные функции, их свойства и графики.

Определение 7.1. Функция f: XY называется  четной, если

  1.  ее область определения симметрична началу координат, т.е. ( x X )[ -x X];
  2.  ( x X )[ f(-x) = f (x)].

Определение 7.2. Функция f: XY называется  нечетной, если

  1.  ее область определения симметрична началу координат, т.е. ( x X )[ -x X];
  2.  ( x X )[ f(-x) = -f (x)].

Определение 7.3. Функция f: XY называется  периодической, если найдется такое число t>0, что  

  1.   ( x X )[x+ t X];
  2.  ( x X )[ f(x+ t) = f (x)].

Наименьшее положительное число t с таким свойством называется длиной периода функции f.

Определение 7.4. Функция f: XY называется  ограниченной сверху, если множество ее значений ограничено сверху, т.е. найдется такое число с, что ( x X )[ f(x) с].

Определение 7.5. Функция f: XY называется  ограниченной снизу, если множество ее значений ограничено снизу, т.е. найдется такое число с, что ( x X )[ f(x) с].

Определение 7.6. Функция f: XY называется  ограниченной, если множество ее значений ограничено, т.е. найдутся такие числа с, d, что ( x X )[ с  f(x)  d].

Определение 7.7. Функция f: XY называется  монотонно возрастающей на множестве A,X если наибольшему значению аргумента из множества А соответствует большее значение функции, ( x1, x2, A )[ x1< x2  f(x1)  f(x2)].

Функция f: XY называется  монотонно убывающей на множестве A,X, если ( x1, x2, A )[ x1< x2  f(x1)  f(x2)].

Функция  f: XY называется  строго возрастающей на множестве A,X, если ( x1, x2, A )[ x1< x2  f(x1) < f(x2)].

Функция  f: XY называется  строго убывающей на множестве A,X, если ( x1, x2, A )[ x1< x2  f(x1) > f(x2)].

Определение 7.8. Основными элементарными функциями называются показательные функции, логарифмические функции, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, степенные функции.

Элементарными функциями называются функции, которые задаются одной формулой и получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операции композиция.

  1.  Показательная функция y = ax; a>0, a0.

Свойства показательной функции

 0 < a < 1

a > 1

Область определения

(-, +)

(-, +)

Множество

значений

(0, +)

(0, +)

Монотонность

Функция убывает.

 Функция возрастает

График

2. Логарифмическая функция обратная показательной функции  y = ax, a>0.

Свойства логарифмической функции

 0 < a < 1

a > 1

Область определения

(0, +)

(0, +)

Множество

значений

(-, +)

(-, +)

Монотонность

Функция убывает.

 Функция возрастает

График

3. Тригонометрические функции.

Синус: y = sin x

Косинус: y = cos x

Тангенс: y = tg x

Котангенс: y = ctg x

Четность

Нечетная

четная

нечетная

нечетная

Период

2

2

Область определения

(-,+)

(-,+)

x /2+k, kZ

x k, kZ

Область значений

[-1, 1]

[-1, 1]

(-,+)

(-,+)

График

4. Обратные тригонометрические функции.

Обратная функция

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arcctg

Определение

Арксинусом числа х называется такой угол [-/2,/2], си-нус которого равен х

Арккосинусом числа х называется такой угол [0, ], косинус которого равен х

Арктангенсом числа х называется такой угол (-/2, /2), тангенс которого равен х

Арккотангенсом числа х называется такой угол (0,) котангенс которого равен х

Основные тождества

arcsin sin = ,

sin arcsin x =x

[-/2,/2], x[-1, 1]

arccos cos = ,

cos. arccos x =x

[0,], x[-1, 1]

arctg tg = ,

tg arctg x =x

(-/2,/2), x(-,+)

arcctgctg = ,

ctgarcctg x =x

(0,),x(-,+)

Область определения

[-1, 1]

[-1, 1]

(-,+)

(-,+)

Область значений

[-/2,/2]

[0,]

(-/2,/2)

(0,)

График

5. Степенная функция.

В некоторых случаях графики одних функций удобно строить из уже известных графиков функций с помощью геометрических преобразований. Основные преобразования графиков отражены в указанной ниже таблице.

Геометрическое преобразование графиков функций.


2

44

3

5

6

b

c

a

X

Y

f

Рис. 2.1

x

y

-2

4

0

Рис. 2.3

2

44

3

5

b

c

a

X

Y

f

Рис.2.2

2

X=R, Y=R,

 y = x2

X

Y

f(x)

f(X)

x

Рис.2.4

A

f(A)

B

f -1(B)

Y

W

X

x

y=f(x)

w= g(f(x))

f

g

gf

Рис.2.5

2

44

3

5

6

b

c

a

X

Y

f

Рис. 2.6

y

x

-1

1

0

Рис. 2.7

1

X=R, Y=R,

 y = x3

f

1

44

b

5

6

c

e

a

X

Y

Рис. 2.9

a

44

c

5

6

d

e

b

X

Y

Рис. 2.8

f

f

1

44

b

5

6

c

e

a

X

Y

Рис. 2.10

a

14

c

3

2

4

e

b

X

Y

f -1

y

x

-1

1

-1

0

Рис. 2.11

1

-/2

/2

y = sin x

y = arcsin x

-/2

/2

1

-1

y = logax (0<a<1)

y = ax (0<a<1)

-1

x

y

O

1

1

-1

y = ax (a>1)

-1

x

y

O

1

1

-1

y = ax (0<a<1)

-1

x

y

O

1

1

-1

-1

-2

2

1

x

y = [x]

O

y

y = x

1

O

y

x

-1

y = ax (a>1)

y = logax (a>1)

-

0

-

0

-

0

-

0

0

0

1

-1

-/2

/2

0

-1

1

/2

0

-/2

-/2

/2

O

y

x

y = k/x

k<0

k>0

Обратная пропорциональность

k>0

O

y

x

y = kx+b

k<0

k=0

Линейная функция

O

y

x

y = ax2+bx+c

a<0

a>0

Квадратичная функция

x0 = -b/2a

y0 = ax02+bx0+c

A(x0, y0)

Степенная функция

k>0,k-чет

O

y

x

y = xk

k<0,k-неч

k>0

k<0,k-чет

k>0,k-неч

O

y

x

y = f(x)

k<0

k=0

Исходная функция

O

y

x

y = f(x-a)

a<0

a>0

Параллельный перенос по оси Ox  на а

O

y

x

y = f(x)+b

b<0

b>0

Параллельный перенос по оси Oy  на b

O

y

x

y = -f(x)

Симметрия относительно оси Ox

O

y

x

y = f(kx)

0<k<1

k>1

Сжатие по оси Ox с коэффициентом k

y = f(kx)

0<k<1

O

y

x

k>1

Растяжение по оси Oу с коэффициентом k

O

y

x

y = f(x)

Функция четная Симметрия относительно оси Oy

O

y

x

y = f(-x)

Симметрия относительно оси Oy

O

y

x

y = f(x)

Функция неотрицательная. Симметрия относительно оси Oy


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46160. АДМИНИСТРАТИВНОЕ ПРАВО РОССИИ 797 KB
  Формы и методы государственного управления. Формы государственного управления. Методы государственного управления Правовые акты государственного управления Административно-правовое регулирование в сферах и отраслях управления.
46163. Традиции благотворительности и милосердия в России 60.96 KB
  Деятельность Благотворительного фонда Абсолют-Помощь плане благотворительность это помощь другим людям за счет личного благосостояния либо свободного времени и при условии что оказание данной помощи никаким образом не наносит вреда другим лицам и исполняется легально. Приведенная информация дает определенную характеристику народу способному не только сострадать но и оказывать помощь тем кто попал в беду. Благотворительные фонды оказывают помощь части общества с низким уровнем дохода что повышает общий уровень благосостояния...
46164. Противоэрозионная организация территории АО «Маяк» бригада III 156 KB
  Составление карты категорий эрозионноопасных земель. К факторам рельефа относятся: наличие пересеченного рельефа склоновых земель. Система противоэрозионной организации территории включает прогнозирование планирование и проектирование эрозионноопасных и эродированных земель определяет организационнохозяйственные технические действия по осуществлению противоэрозионных мероприятий на ближайшие годы. В этих документах особым образом выделяются не только...
46165. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИЧНОСТИ 748 KB
  Развитие личности ребенка в учебно-воспитательном процессе развитие его индивидуальных особенностей внутри каждого возрастного периода потребностей и интересов склонностей и способностей самооценки и самосознания установок жизненных и ценностных ориентаций задача чрезвычайно сложная имеющая как теоретический прикладной так и практический характер. Поскольку физическое и психологическое развитие явление 1 природы и общественной жизни им...
46166. ОТЧЕТ по производственной практике по информационным технологиям на ООО «Ромашка» 154.5 KB
  Общая технико-экономическая характеристика предприятия Общая технико-экономическая характеристика предприятия Название предприятия: ООО Ромашка зарегистрированное ИФНС №33 РФ Свидетельство о регистрации от 7 августа 2003г. Для предприятия понятие материально-технической базы учитывает состояние компонентов: наличие и приспособленность производственных площадей возраст парка оборудования соответствие наличных материальных ресурсов производственной программе. За это время организационная структура предприятия категорично не изменялась.
46167. Товароведение непродовольственных товаров 37.82 KB
  Режим хранения это совокупность климатических и санитарно гигиенических требований обеспечивающих сохраняемость товаров. При небрежном обращении несоблюдении сроков и условий транспортировки хранения и реализации состав и качество продовольственных товаров ухудшаются. При хранении продовольственных товаров протекают физические химические биохимические и биологические процессы.
46168. Методы социально-экономического прогнозирования 1.71 MB
  Прогноз относительно будущей цены бензина не однозначен что связано с особенностями изначальных данных и разработанных моделей. Предварительная обработка данных. Использование данных методов для построения моделей описывающих изменение цен на бензин. Описание используемого математического аппарата при проведении расчетов Регрессионный анализ Регрессионный анализ метод моделирования измеряемых данных и исследования их свойств.