22415

Числовая последовательность и ее предел

Лекция

Математика и математический анализ

Числовая последовательность и ее предел Числовая последовательность и свойства последовательностей. Числовая последовательность и свойства последовательностей. Числовой последовательность или просто последовательность называется функция f определенная на множестве натуральных чисел N значения которой числа действительные или комплексные. Последовательность обозначаем через ее значения : x1 x2 x3 xn или кратко {xn}.

Русский

2013-08-03

211.5 KB

38 чел.

110100, 110600                                           Математика                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 13. Числовая последовательность и ее предел

  1.  Числовая последовательность и свойства последовательностей.
  2.  Предел числовой последовательности и его свойства. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности.
  3.  Арифметические свойства пределов.
  4.  Переход к пределу в неравенствах.
  5.  Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности. Число e.
  6.  Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши.  

Литература: Ильин В.А., с.58-88. Письменный Д., с. 107-111. Ермаков В.И., с.179-180. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с.30-54.  

  1.  Числовая последовательность и свойства последовательностей.

Определение 1. Числовой последовательность или просто последовательность называется функция f определенная на множестве натуральных чисел N, значения которой числа (действительные или комплексные).

Значение функции в точке n  N обозначаем символом xn=f(n). Последовательность обозначаем через ее значения : x1, x2, x3,…, xn,…  или кратко {xn}.  Последовательности задаются следующими способами:

1. Формулой общего члена последовательности. Например, равенства xn=n2, yn=1/n2 , zn= (-1)n , un= c задают соответственно последовательности {1, 4, 9,…, n2,…}, ,  {-1, 1, -1,…, (-1)n,…}, { c, c, c,…, c,…}.  Последняя последовательность называется постоянной.

  1.  Рекуррентными соотношениями. Например, последовательность чисел Фибоначчи задается соотношениями F1 = 1,  F2 = 1, при n>2,  Fn= Fn-1 + Fn-2.   

Последовательностями являются арифметическая прогрессия {an} и геометрическая прогрессии {bn}, заданные соответственно рекуррентными соотношениями: a1 = a1,  при n>1,  an= an-1 + d; b1 = b1,  при n>1,  bn= bn-1q. Арифметическую и геометрические прогрессии можно также задать формулами общего члена: an= a1 + d (n -1), bn= b1qn-1.

Определение 2. Суммой числовых последовательностей {xn}, {yn}называется последовательность {xn+ yn}. Разность, произведение и частное (yn 0) этих последовательностей определяются соответственно по формулам: {xn- yn}, {xn yn}, {xn/ yn}.

Определение 3. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если найдется такое число a, что для любого члена последовательности выполняется неравенство xn  a.

Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если найдется такое число b, что для любого n  N выполняется неравенство xn  b.

Последовательность {xn}называется ограниченной, если найдется такое число c, что для любого n  N выполняется неравенство xn  c.

Последовательность {xn}называется неограниченной, если для любого числа c найдется такое число n  N, что выполняется неравенство xn  > c.

Определение 4. Последовательностей {xn}называется возрастающей (неубывающей, убывающей, невозрастающей, если для любого n  N выполняется неравенство xn< xn+1 (соответственно xn xn+1, xn> xn+1 , xn xn+1).

2. Предел числовой последовательности и его свойства. Бесконечно малые и их свойства.

Определение 1. Число a называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного числа  найдется такое число n0  N, что для всех n > n0 выполняется неравенство

xn - a  < .                                                                                                          (1)

В этом случае говорим, что последовательность {xn} имеет предел a ( или xn стремится к a или последовательность  {xn} сходится к a), и обозначаем .

Кратко последнее определение можно записать символически:

.

Если последовательность не имеет предела, то она называется расходящейся последовательностью.

Неравенство (1) равносильно неравенствам - < xn - a < , a - < xn < a +, которые показывают, что элемент находится в -окрестности точки a. Поэтому условие, что последовательность {xn} имеет предел a обозначает, что для любой сколь угодно малой

-окрестности точки a все члены последовательности {xn}, начиная с некоторого номера попадут в эту окрестность точки a.

Замечание 1. Постоянная последовательность un= c, n2  N, имеет предел,  равный числу c, т.е. . Докажите самостоятельно.

 Теорема 1. Если последовательность сходится, то она имеет только один предел.

Доказательство. Допустим, что последовательность {xn} сходится и имеет два предела a и b, a  b. Возьмем число = a - b/2. Так как, то по определению предела существует такое число n1  N, что для всех n > n1 выполняется неравенство xn - a  < . Аналогично, существует такое число n2  N, что для всех n > n2 выполняется неравенство xn - b  < . Тогда при n > max{n1, n2} выполняются оба неравенства. Тогда при n > max{n1, n2} получаем противоречие 2 = a - xn+ xn - b xn - a +xn - b < +=2.

Определение 2. Последовательность {n}называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю, .

Определение 3. Последовательность {n}называется бесконечно большой, если для любого положительного числа  найдется такое число n0  N, что для всех n > n0 выполняется неравенство

n  > .                                                                                                          (2)

В этом случае говорим, что последовательность {xn} имеет предел  ( и пишем  ).

Теорема 2. Последовательность {n}, n 0, является бесконечно малой тогда и только тогда, когда последовательность {1/n} бесконечно большая.

Доказательство. Пусть последовательность бесконечно малая. Покажем, что последовательность бесконечно большая. Возьмем любое число > 0, и рассмотрим число 1 = 1/. Так как , то по определению предела найдется такое число n0  N, что для всех n > n0 выполняется неравенство n = n - 0 < 1.  Отсюда по свойству неравенств получаем 1/n = 1/n  > 1/1 = . Тогда по определению 3 {n} бесконечно большая.

Аналогично доказывается, что если последовательность {1/n} бесконечно большая, то последовательность {n} бесконечно малая.

Теорема 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

 Доказательство. Пусть . Тогда по определению предела найдется такое число m  N, что для всех n > m выполняется неравенство n - a < , a - < xn < a +. Полагаем с = max {a + , a - , 1, 2,…., m} . Тогда для всех n  N выполняется неравенство n  < с и по определению последовательность {n} ограничена.

Следствие. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Теорема 3. Если последовательность {n} бесконечно малая, то и последовательность {n} бесконечно малая.

Доказательство. Следует из определения бесконечно малой последовательности.

Теорема 4. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Докажем это утверждение для двух последовательностей, так как общий случай отсюда легко доказывается по индукции. Пусть {n} и {n} - бесконечно малые последовательности. Докажем, что последовательность { n  n} - бесконечно малая. Возьмем любое число > 0. Так как  , то по определению предела найдется такое число n1  N, что для всех n > n1 выполняется неравенство n < ./2. Так как  , то по определению предела найдется такое число n2  N, что для всех n > n2 выполняется неравенство n < ./2. Полагаем n0 = max { n1, n2}.  Тогда для всех n > n0 выполняются оба неравенства и тогда получим

 n  n   n  + n  < < ./2 + ./2 = ..

Отсюда по определению предела имеем . Следовательно, последовательность { n  n} - бесконечно малая.

Теорема 5. Произведение  бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть {n} - бесконечно малая последовательность, {xn} - ограниченная последовательность. Докажем, что последовательность {nxn} - бесконечно малая. По определению ограниченной последовательности найдется такое число c, что для любого n  N выполняется неравенство xn  c. Можно считать, что c >0. Возьмем любое число > 0. Так как  , то по определению предела найдется такое число n1  N, что для всех n > n1 выполняется неравенство n < ./c. Тогда для всех n > n0 выполняются оба неравенства и тогда получим

Следствие 1. Произведение  любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 6. Если последовательность {n} - бесконечно малая и постоянная, то n=0,  для любого n1  N.

Доказательство. Пусть {n} - бесконечно малая последовательность, xn =с. Если с 0, то полагая .=c, по определению предела последовательности {n}0 найдется такое число n0  N, что для всех n > n0 выполняется неравенство n <. Тогда c < c для всех n > n0 . Получаем противоречие.

Пример 1. Последовательность {qn} бесконечно малая при q<1.

Доказательство. Пусть 0 <q<1. Тогда можно представить q = 1/(1+h), где h>0. В силу неравенства Бернулли

(1+h)n > 1+hn при n> 1.  Отсюда имеем qn = 1/(1+h)n  1/(1+hn) < 1/(hn). Возьмем любое число > 0. Найдется такое число n0  N, что для всех n > n0 выполняется неравенство  qn  <. Для этого достаточно выполнимость неравенства 1/(hn)< .  Последнее неравенство равносильно неравенству  1/(h)< n . Тогда полагая n0 = [1/(h)]+1.

Покажем теперь, что при n > n0 выполняется неравенство  qn  <. Действительно, имеем

.

Следовательно, последовательность {qn} бесконечно малая.

Пусть -1 <q<0.  Тогда 0 <q<1 и по доказанному последовательность {qn} = {qn} - бесконечно малая. Отсюда по теореме 3 последовательность {qn} бесконечно малая.

  1.  Арифметические свойства пределов.  

Теорема 1. Последовательность {xn} имеет предел a тогда и только тогда, когда последовательность {xn- a} - бесконечно малая.

Доказательство. Пусть . Тогда по определению предела для любого > 0 найдется такое число n0  N, что для всех n > n0 выполняется неравенство xn - a < . По определению предела последнее означает, что .  Тогда по определению последовательность {xn- a} - бесконечно малая.     

Обратно, пусть последовательность {xn- a} - бесконечно малая. Тогда по определению предела для любого > 0 найдется такое число n0  N, что для всех n > n0 выполняется неравенство xn - a  < . Тогда по определению предела .

Теорема 2. Если последовательность {xn}, xn 0, имеет предел a 0, то последовательность {1/xn} ограничена.

Доказательство. Пусть xn 0, , a 0. Пусть = a/2. Тогда по определению предела найдется такое число n0  N, что для всех n > n0 выполняется неравенство xn - a < = a/2. Отсюда -a/2 <xn - a <  a/2, - a/2+a <xn <  a/2+a. Так как числа -a/2+a, a/2+a одного знака, то 1/(a/2+a) <1/ xn < 1/(a/2-a),  при n > n0. Из того, что при n > n0 члены последовательности ограничены, следует ограниченность последовательности ли {1/xn}.

Теорема 3. Если , то последовательность {xnyn} сходится и , т. е. предел суммы (разности) последовательностей равен сумме (разности) их пределов.

Доказательство. По теореме 1 последовательности {xn- a}, {yn- b} - бесконечно малые . Тогда по теореме 2.4 последовательность {(xn- a)(yn- b)}= {(xnyn)- (a b)} бесконечно малая. Следовательно, по теореме1 последовательность {xnyn} сходится и .

Теорема 4. Если , то последовательность {xnyn} сходится и , т. е предел произведения  последовательностей равен произведению их пределов.

Доказательство. По теореме 1 последовательности {xn- a}, {yn- b} - бесконечно малые . Тогда по теореме 2.5 последовательности {(xn- a)(yn- b)}, {(xn- a)b}, {a(yn- b)}- бесконечно малые. По теореме 2.4 последовательность  {xnyn - ab}= {(xn- a)(yn- b)+ (xn- a)b + a(yn- b)} бесконечно малая. Следовательно, по теореме 1 последовательность {xnyn} сходится и.

Теорема 5. Если , b  0, то последовательность {xn/ yn} сходится и , т. е предел частного, если знаменатель не равен нулю, равен частному их пределов.

Доказательство. По теореме 1 последовательности {xn- a}, {yn- b} - бесконечно малые . Тогда по теореме 2.5 последовательности {(xn- a)b}, {a(yn- b)} - бесконечно малые. По теореме 2 последовательность {1/byn} ограниченная. Отсюда последовательность {xn/ yn - a/b}= {(xnb - yna)/ b yn }={((xn- a)b - (yn- b)a)/byn} бесконечно малая. Следовательно, по теореме1 последовательность {xn/ yn} сходится и.

Пример 1. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Рассмотрим сумму первых n  членов геометрической прогрессии sn = a + aq + aq2 + …+ aqn-1. Тогда qsn = qa + aq2 + aq3 + …+ aqn.  Отсюда при q<1

Так как в силу примера 1{qn} бесконечно малая при q<1.

  1.  Переход к пределу в неравенствах.

Теорема 1. Пусть . Если для всякого n имеет место неравенство xn < c (или xn  c), то a  c.

Доказательство. Допустим противное, что то a > c. Возьмем = a-c. По определению предела найдется такое число n0  N, что для всех n > n0 выполняется неравенство xn  < . Следовательно, а- <xn < а+, xn> а - a + c = c для всех n > n0. Последнее противоречит условию теоремы.

Теорема 2. Пусть . Если для всякого n имеет место неравенство xn > yn (или xn  yn), то a  b. Если для всякого n имеет место неравенство xn < yn (или xn  yn), то a  b.  

Доказательство. Докажем первое условие. Рассмотрим последовательность un = xn - yn . По условию получим, что для всякого n  xn - yn >0. Тогда по теореме 1  Так как Отсюда получим a > b.

Теорема 3. Пусть . Если для всякого n имеет место неравенство xn > yn (или xn  yn), то a  b. Если для всякого n имеет место неравенство xn < yn (или xn  yn), то a  b.  

Доказательство. (См. доказательство теоремы 2).

Теорема 4. Пусть . Если для всякого n имеет место неравенство xn  zn  yn, то последовательность {zn} сходится и

Доказательство. По условию 0  zn- xn  yn- xn , . Поэтому последовательность {yn- xn} бесконечно малая. По определению предела для любого > 0 найдется такое число n0  N, что для всех n > n0 выполняется неравенство  yn- xn  < .  Тогда выполняется и неравенство  zn- xn  < . Поэтому последовательность {zn- xn} бесконечно малая. Следовательно, .

Пример 1. Если a>1, то Представим  Тогда a = (1+ xn)n , 0< xn< (a-1)/n. По теореме 4  Следовательно,

  1.  Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Теорема 1 (Вейерштрасса). Любая неубывающая и ограниченная сверху последовательность {xn} сходится и .

Доказательство. Так как последовательность ограничена верху, то существует Пусть Докажем, что Для этого докажем, что для любого > 0 найдется такое число n0  N, что для всех n > n0 выполняется неравенство  xn- a  < .  Так как , то для > 0 найдется такое число k N, что             a -  <.xk  a, так как в противном случае число a -  являлось бы верхней гранью множества {xn}, что противоречит тому, что число a точная верхняя грань (наименьшая из всех верхних граней множества{xn}. Так как последовательность {xn}неубывающая, то для любого n > k  имеем xn .xk . Таким образом, для любого n > k  имеем a -  <.xk  xn  a. Следовательно,  xn- a  < для всех n > k. По определению предела

Теорема 3. Любая невозрастающая и ограниченная снизу последовательность {xn} сходится и .

Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 1. Докажите самостоятельно.

Теорема 3 (Лемма Кантора). Пусть дана последовательность вложенных отрезков {[an,bn]}, (nN)[anbn][an-1,bn-1]. Если {bn - an}0, то последовательности {an,}, {bn} имеют равные пределы .

Доказательство. По условию об последовательности монотонные, так как для  любого nN an-1  an bnbn-1. При этом an bn b1 , bnan,a1. Поэтому последовательность  {an,} ограничена сверху, а {bn} ограеичена снизу. По теоремам 1 и 2 последовательности {an,}, {bn} сходятся: {an,} с', {bn}  с''. Тогда

.

Поэтому с' =  с''.

Теорема 4. Последовательность (1) сходится.

Доказательство. Отметим, что при k 1 справедливо неравенство k ! = k (k -1)…21 2k-1 . По формуле бинома Ньютона получаем

Замечание. Предел последовательности (1) называют числом e или неперовым числом (Д.Непер, 1550-1617).

  1.  Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши.  

Определение 1.  Пусть {xn} некоторая последовательность и пусть {kn}некоторая строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность называют  подпоследовательностью данной последовательности.

Теорема 1 (Болцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности {xn}можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Так как последовательность {xn} ограничена, то найдется такое число с, что xn  с для всех n N . Разделим отрезок I0 = [-с, c] пополам. Тогда в одной из половин, назовем ее I1, содержится бесконечно много членов последовательности {xn} . Обозначим его через I1 и в качестве первого члена искомой подпоследовательности возьмем какой-нибудь элемент  I1.  Положим y1 = .

Разделим отрезок I0 = [-с, c] пополам. Тогда в одной из половин, назовем ее I1, содержится бесконечно много членов последовательности {xn} . В качестве первого члена искомой подпоследовательности возьмем какой-нибудь элемент  I1.  Положим y1 = .

Разделим отрезок I1 пополам. Тогда в одной из половин назовем ее I2 содержится бесконечно много членов последовательности {xn} . В качестве второго члена искомой подпоследовательности возьмем какой-нибудь элемент  I2, c n2>n1.  Положим y2 = . Повторяя эту процедуру с отрезком I2, найдем отрезок I3 и член. Продолжая этот процесс получим такие подпоследовательность  {ym}=последовательности {xn} и последовательность вложенных отрезков {Im} , что ym=, ym  Im , nm < nm+1, при всех m N. 

Докажем, что {ym}сходится. В силу того, что длина dm = c/2m-1, то dm 0 при m . Следовательно по лемме Кантора последовательность {Im} вложенных отрезков стягивается и все отрезки имеют единственную общую точку a. ществует Пусть Im = [am , bm ]. Тогда . Так как am   ym  bm, то по теореме 4.4 .

Определение 2.  Последовательность {xn} некоторая фундаментальной последовательностью или последовательностью Коши, если для любого положительного числа  найдется такое число n0  N, что для всех n, m > n0 выполняется неравенство

xn - xm  < ,                                                                                                        (1)

т.е. выполняется условие:

.

Теорема 1 (Критерий Коши). Последовательность {xn}сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальная. 

Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность {xn} сходится к числу а. Пусть - любое положительное число. По определению сходимости найдется такое число n0  N, что для всех n, m > n0 выполняются неравенства xn - a < / 2 , xm - a < / 2. Отсюда при всех n, m > n0 выполняется неравенство  

xn - xm  = (xn - a) - (xm - a )  xn - a + xm - a    / 2 + / 2 = .

Отсюда по определению последовательность {xn} - фундаментальная.

Достаточность. Пусть последовательность {xn} - фундаментальная. Докажем, что она ограничена. Возьмем =1. По определению найдется такое число k  N, что для всех n, m > k выполняется неравенство xn - xm  < 1. Тогда

xn   xn - xk  +  xk   1+  xk  = c1.

Таким образом, для всех n N имеем

xn   max(x1, x2, …,  xk , c1)= c.

По теореме Болцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность {ym}= a. Возьмем любого положительного числа .  По определению сходимости для числа / 2 найдется такое число n1  N, что для всех m > m1 выполняется неравенство yn - a < / 2. По определению фундаментальной последовательности найдется такое число n2  N, что для всех n, m > n2 выполняется неравенство xn - xm  < / 2. Полагаем n0 = max(n1, n2). Тогда для всех n> n0

xn - a  xn - yk + yk - a    xn - yk + yk - a   < / 2+ / 2= .

Следовательно, последовательность {xn} сходится.


(

а

а-

а+

xn

x1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29091. Принципы и функции гражданского права 34 KB
  Принципы и функции гражданского права. Принципы – руководящие основополагающие начал которыми должны находится в канве более конкретных положении. Особенности: Принципы связанны с интерпретацией толкования Принципы нужно выводить из действующих норм права Принцип действует на стадии правоприменения Виды принципов: свободу договора субъекты гражданского оборота свободны в решении вступления в договорные отношения или воздержания от заключения гражданскоправовых договоров; неприкосновенность собственности никто не может быть лишен...
29092. Источники гражданского права. Гражданское законодательство. Действие гражданских законов 37 KB
  Источники гражданского права. Источники гражданского права – внешнее выражение гражданскоправовых норм. Являются источниками гражданского права: Конституция РФ ГК РФ ФЗ и законы субъектов Подзаконные акты Указы президента Постановления правительства Ведомственные акты Общепризнанные принципы и нормы международного права Обычаи делового оборота Не являются источниками гражданского права постановления Пленумов Верховного Суда РФ постановления Высшего Арбитражного Суда РФ. При этом нормы гражданского права содержащиеся в других...
29093. Гражданское правоотношение (понятие, структура, виды) 31 KB
  Гражданское правоотношение это урегулированное нормами гражданского права правоотношение возникающее между юридически равными субъектами по поводу имущества а также нематериальных благ выражающаяся в наличие у них субъективных прав и обязанностей. Структура гражданских правоотношений: Субъект: Физические лица граждане иностранцы лица без гражданства Юридические лица российские иностранные Публичноправовые образования органы МСУ Объект: Имущественные вещи деньги ценные бумаги Интеллектуальные права Личные...
29094. Юридические факты в гражданском праве. Законодательные основания возникновения гражданских прав и обязанностей 31 KB
  Юридические факты делятся на: события обстоятельства не зависящие от воли человека стихийные бедствия действия обстоятельства зависящие от воли человека.
29095. Физические лица как субъекты гражданского права (правоспособность, дееспособность, ограничение и лишение дееспособности, эмансипация) 33.5 KB
  Физические лица как субъекты гражданского права правоспособность дееспособность ограничение и лишение дееспособности эмансипация. Физические лица как субъекты гражданского права: граждане РФ иностранцы лица без гражданства Правосубъектность способность лица иметь и осуществлять непосредственно или через представителя юридические права и обязанности т. быть субъектом права. Правосубъектность включает в себя: Правоспособность потенциальная способность физического лица иметь гражданские права и нести обязанности возможность иметь...
29096. Понятие и признаки юридического лица 13.33 KB
  лица: организационное единство внутренняя структура организации факт государственной регистрации наличие органов управления наличие учредительных документов имущественная обособленность обязательный учёт имущества на самостоятельном балансе либо по смете наличие имущества правовой режим имущественного допуска право собственности у большинства право оперативного управления Рап РФ право хозяйственного ведения Муниципальных унитарных предприятий самостоятельная имущественная ответственность возможность обращения кредиторами...
29097. Теории создания и юридических лиц 24.5 KB
  Теория фикции – юридическое лицо – это искусственное образование фактически не существующее так как за ним стоит лицо его создавшее. Фридрих фон Савинье Реалистическая теория – особый организм с собственной волей. Теория социалистической реальности – юридическое лицо служит решению государственных задач Генкин Теория коллектива – работники воспринимаются как единое целое имеющие много прав. Теория директора – руководитель представляет юридическое лицо.
29098. Классификация юр.лиц 13.31 KB
  В зависимости от формы собственности: государственные частные негосударственные По составу учредителей: Юридические лица учредителями которых являются только юридические лица союзы и ассоциации Только государственные унитарные предприятия Любые субъекты гражданского права все остальные юридические лица В зависимости от форм собственности: оперативного управления на имущество учреждения казённые предприятия хозяйственного ведения государственные и муниципальные предприятия кроме казённых собственности на имущество все...
29099. Признаки и виды некоммерческих предприятий 13.83 KB
  Виды некоммерческих организаций: потребительских кооперативов общественных или религиозных организаций объединений учреждений благотворительных и иных фондов а также в других формах предусмотренных законом. Допускается создание объединений коммерческих и или некоммерческих организаций в форме ассоциаций и союзов. Признаки некоммерческой организации: не имеющая в качестве основной цели своей деятельности извлечение прибыли и не распределяющая полученную прибыль между участниками могут создаваться для достижения социальных...