22416

Предел функции

Лекция

Математика и математический анализ

Предел функции Предел функции в точке по Коши и по Гейне. Предел функции на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. Свойства предела функции.

Русский

2013-08-03

329.5 KB

0 чел.

110100, 110600                                                  Математика                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 14. Предел функции

  1.  Предел функции в точке  по Коши и по Гейне. Предел функции на бесконечности.
  2.  Односторонние пределы.
  3.  Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
  4.  Свойства предела функции.
  5.  Пределы монотонных функций.
  6.  Замечательные пределы.

Литература: Ильин В.А., с.58-88. Письменный Д., с. 107-111. Ермаков В.И., с.179-180. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с.30-54.  

  1.  Предел функции в точке по Коши и по Гейне. Предел функции на бесконечности.

В математическом анализе рассматривается два вида точек. Конечные точки aR. Бесконечно удаленные точки , +, -. Множество вместе с бесконечно удаленным точками называется расширенной числовой осью (прямой)..  

Определение 1. Пусть  действительное число >0. -окрестностью конечной точки а называется интервал (а-, а+), обозначаемый U(a, ) (Рис. 1).

Проколотой -окрестностью конечной точки а называется множество  (а -, а) (а, а +) =  (а-, а +) \ {a}, обозначаемое символом U *(a, ) (Рис. 2).  

-окрестностью  точки  называется множество (-, -)(+, +), обозначаемый U(, ) (Рис. 3)..

-окрестностью  точки - называется множество (-, а-), обозначаемый U(-, ) (Рис. 4).

-окрестностью  точки - называется множество (а +, +), обозначаемый U(+, ) (Рис. 5).

-окрестностью бесконечной точки а есть проколотая окрестность.

Определение 2. Точка  а называется точкой сгущения области определения функции f, если в любой -окрестностью  точки а содержится бесконечно много точек области определения функции f.

Определение 3 (Коши). Пусть а - точка сгущения области определения функции f. Точка  A называется пределом функции f(x) при x стремящемся к точке а (обозначаем , если для любой -окрестностью  точки A найдется такая проколотая -окрестностью  точки а (зависящая от ) U *(a, ), что образ множестваU *(a, )D(f) принадлежит  -окрестности точки A .

На рис. 6 проиллюстрировано определение предела функции при а и А конечных. На рис. 7 проиллюстрировано определение предела функции при А конечном и при а = +. Распишем эти определения используя определения окрестностей.

Определение 3.1. Пусть число а - точка сгущения области определения функции f. Число A называется пределом функции f(x) при x стремящемся к числу а (обозначаем ), если для любой числа > 0 существует такое число > 0, зависящее от , =(), что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству 0 < x - a < , выполняется неравенство  f(x) - A  < .

Это определение символически можно записать следующим образом:

 Пример 1. Доказать, что . Возьмем любое число > 0 и покажем, что существует такое число > 0,  что для любого действительного  x, удовлетворяющего неравенству 0 < x - 2 < , выполняется неравенство  x2 - 4  < .  Так как  x2 - 4  =   x - 2   x + 2  , и при x - 2 < 1 имеем  -1< x - 2 <1, 3< x+2 <5,  x + 2  <5. Поэтому возьмем =min{1, /5}. Тогда при x - 2 < получаем   x2 - 4  =   x - 2   x + 2 < 5/5 = . Следовательно, по определению .

Определение 3.2. Число A называется пределом функции f(x) при x  + (обозначаем ), если для любой числа > 0 существует такое число ==() > 0, что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству x > , выполняется неравенство  f(x) - A  < .

Это определение символически можно записать следующим образом:

 Пример 2. Доказать, что . Возьмем любое число > 0 и покажем, что существует такое число > 0,  что для любого действительного  x, удовлетворяющего неравенству x > , выполняется неравенство.  Так как, то доказываемое неравенство равносильно неравенству . При x >0 имеем x + 1 = x + 1и доказываемое неравенство дает . Поэтому возьмем =max{0, 1/ - 1}. Тогда получаем  . Следовательно, по определению.

Упражнение.  Для того, чтобы понять и усвоить общее определение предела распишите его во всех остальных случаях (сделайте чертежи). Осталось рассмотреть случаи

Например, последний предел можно расписать следующим образом.

Определение 3.3. Пусть - точка сгущения области определения функции f. Точка - называется пределом функции f(x) при x  (обозначаем ), если для любой числа > 0 существует такое число =()>0, что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству  x   < -, выполняется неравенство  f(x) < -.

Это определение символически можно записать следующим образом:

.

Определение предела функции на языке -, данное выше, называется определением предела функции по Коши. Часто используется другое определение предела функции, основанное на пределе последовательности.

Определение 4 (Гейне). Пусть а - точка сгущения области определения функции f. Точка  A называется пределом функции f(x) при x стремящемся к точке а, если для любой последовательности {xn}, сходящейся к a, соответствующая последовательность { f(xn)} значений функции сходится к  точке A.

Определения предела функции по Коши и по Гейне равносильны.

Теорема  1. Точка  A является пределом функции  f(x) при x  а по Коши тогда и только тогда, когда Точка  A является пределом функции  f(x) при x  а по Гейне.

Теорема 2. Если функции  f(x) при x  а сходится, то она имеет только один предел.

Доказательство. Допустим, что функция f(x) сходится и имеет два предела A и B при x  а, A  B. Предположим, что оба предела конечные и точка а  - конечная. Возьмем число = A - B/2. По определению предела существует такое число 1 >0, что для всех xD(f), удовлетворяющих условию 0<x - a  < 1 , выполняется неравенство f(x) - A  < . Аналогично, По определению предела существует такое число 2 >0, что для всех xD(f), удовлетворяющих условию 0<x - a  < 2 , выполняется неравенство f(x) - B  < . Полагаем 2 = min{1, 2}. Тогда при 0<x - a  < выполняются оба неравенства и получаем противоречие 2 = A - B= A - f(x)+ f(x) - B  f(x) - A + f(x) - В < +=2.

Теорема  3. Предел постоянной функции  f(x) при x  а по Коши тогда и только тогда, когда Точка  A является пределом функции  f(x) при x  а по Гейне.

  1.  Односторонние пределы.

Определение 1. Левой половиной --окрестностью конечной точки а называется интервал (а-, а), обозначаемый U(a-0, ). Правой половиной --окрестностью конечной точки а называется интервал (а, а +), обозначаемый U(a+0, ).

Определение 2. Точка  а называется точкой сгущения слева области определения функции f, в любой левой половине -окрестностью  точки а содержится бесконечно много точек области определения функции f. Точка  а называется точкой сгущения справа области определения функции f, в любой правой половине -окрестностью  точки а содержится бесконечно много точек области определения функции f.

Определение 3 (Коши). Пусть а - точка сгущения слева области определения функции f. Точка  A называется пределом слева функции f(x) при x стремящемся к точке а слева (обозначаем ), если для любой -окрестностью  точки A найдется такая проколотая -окрестностью  точки а (зависящая от ), что образ множестваU *(a-0, )D(f)  -окрестности точки A.

Определение 3 (Коши). Пусть а - точка сгущения справа области определения функции f. Точка  A называется пределом справа функции f(x) при x стремящемся к точке а справа (обозначаем  ), если для любой -окрестностью  точки A найдется такая проколотая -окрестностью  точки а (зависящая от ), что ее образ ее правой половины принадлежит  -окрестности точки A .

Пределы справа и слева в точке называются односторонними

На рис. 8 проиллюстрировано определение односторонних пределов функции при а и А конечных. Односторонние пределы могут не существовать, быть различными и равными.  Из определений пределов следует теорема.

Теорема 1. Функция  f(x) при x  а имеет предел тогда и только тогда, когда функция в точке а имеет правый и левый пределы и они совпадают.

На рис. 9 проиллюстрировано определение предела функции при А бесконечном и а конечном. Распишем эти определения используя определения окрестностей.

Определение 3.1. Пусть число а - точка сгущения слева области определения функции f. Число A называется пределом функции f(x) при x стремящемся к числу а слева, если для любой числа > 0 существует такое число =() > 0, что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству a - < x < a, выполняется неравенство  f(x) - A  < .

Это определение символически можно записать следующим образом:

Определение 3.2. Говорят, что предел функции f(x) при x  a+0 равен + (обозначаем ), если для любой числа > 0 существует такое число ==() > 0, что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству a < x < a+ , выполняется неравенство  f(x) > .

Это определение символически можно записать следующим образом:

 Пример 2. Доказать, что . Возьмем любое число > 0 и покажем, что существует такое число > 0,  что для любого действительного  x, удовлетворяющего неравенству 1 < x < 1+ , выполняется неравенство.  Так как 0 < x -1 <  , доказываемое неравенство равносильно неравенству . Поэтому возьмем =1/. Тогда получаем. Следовательно, по определению.

Упражнение.  Для того, чтобы понять и усвоить определение односторонних пределов распишите его во всех остальных случаях. 

  1.  Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

В дальнейшем под точкой будем понимать любую точку (конечную, бесконечную, одностороннюю). 

Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой при x стремящемся к точке  а, если предел функции f(x)   в точке а равен нулю, т.е. . Бесконечно малые функции называются так же бесконечно малыми величинами.

Для случая конечного а по определению предела это обозначает, что для любой числа > 0 существует такое число > 0, зависящее от , =(), что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству 0 < x - a < , выполняется неравенство  f(x)  < .

Аналогично можно определить б. м. ф. при x  a+0, x  a-0, x  +, x  -, x  .

Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно большой при x стремящемся к точке  а, если предел функции f(x)   в точке а равен (-, +), т.е. . Бесконечно большие функции называются так же бесконечно большими величинами.

Для случая конечного а по определению предела это обозначает, что для любой числа > 0 существует такое число > 0, зависящее от , =(), что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству 0 < x - a < , выполняется неравенство  f(x)  > .

Аналогично можно определить б. б. ф. при x  a+0, x  a-0, x  +, x  -, x  .

Теорема 1. Функция f(x), не обращающаяся в ноль в некоторой выколотой окрестности точки а, является бесконечно малой при x a  тогда и только тогда, когда функция 1/ f(x) является бесконечно большой при x a.

Доказательство. Пусть функция f(x) является бесконечно малой при x  а. Покажем, что функция 1/ f(x) является бесконечно большой при x a.. Возьмем любое число > 0, и рассмотрим число 1 = 1/. Так как , то по определению предела такое число =() > 0, что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству 0 < x - a < , выполняется неравенство  f(x)  < .  Отсюда по свойству неравенств получаем 1/ f(x)  = 1/ f(x)   > 1/1 = . Тогда по определению 2 функция 1/ f(x) является бесконечно большой при x a..

Аналогично доказывается, что если функция 1/ f(x) является бесконечно большой при x a., то функция f(x) является бесконечно малой при x  а.

Теорема 2. Если функция f(x) сходится к конечному пределу при x  а, то она ограничена в некоторой выколотой окрестности точки a.

 Доказательство. Пусть ,  где A - конечное число. Тогда для числа =1 найдется такая проколотая -окрестностью  точки а U*(а, ), что ее образ принадлежит  -окрестности точки A, т. е.  f(x) - A < 1. Отсюда находим, что для любого x U*(а, ) выполняется неравенство A -1 <  f(x)  < A + 1. По определению функция ограничена в выколотой -окрестностью  точки а.  

Следствие. Бесконечно малая при x  а функция f(x) ограничена в некоторой выколотой окрестности точки a.

Теорема 3. Если функция f(x) бесконечно малая при x  а, то и функция f(x)  бесконечно малая при x  а.

Доказательство. Следует из определения бесконечно малой последовательности.

Теорема 4. Алгебраическая сумма любого конечного числа функция f(x) бесконечно малая при x  а есть функция бесконечно малая при x  а.

Доказательство. Докажем это утверждение для двух функция f(x), g(x) бесконечно малая при x  а, так как общий случай отсюда легко доказывается по индукции. Докажем, что функция f(x)  g(x) бесконечно малая при x а. Возьмем любое число > 0. Так как  , то найдется такое число 1 =()>0, что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству   0 < x - a < 1, выполняется  неравенство     f(x)  < /2. Так как  , то найдется такое число 2 =()>0, что для любого действительного числа xD(g), удовлетворяющего неравенству   0 < x - a < 2, выполняется  неравенство    g(x)  < /2.  Полагаем = min { 1, 2}.  Тогда для всех xD(g), удовлетворяющих неравенству   0 < x - a < верны оба неравенства и тогда получим

 f(x)  g(x)    f(x) + g(x) < ./2 + ./2 = ..

Отсюда по определению предела имеем . Следовательно, функция f(x)  g(x) бесконечно малая при x а.

Теорема 5. Произведение функции бесконечно малой при x  а на ограниченную функцию в некоторой выколотой окрестности точки а есть бесконечно малая функции при x  а.

Доказательство. Пусть функция f(x) - бесконечно малая при x  а, , g(x) - ограниченную функцию в выколотой окрестности U*(а, 1) точки а. Докажем, что f(x)g(x) бесконечно малая при x  а. По определению ограниченной функции найдется такое число c, что для любого x  U*(а, 1) выполняется неравенство  g(x)  c. Можно считать, что c >0. Возьмем любое число > 0. Так как  , то по определению предела найдется такое число 2 =()>0, что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству   0 < x - a < 2, выполняется  неравенство     f(x)  < /c. Полагаем = min { 1, 2}.  Тогда для всех xD(g), удовлетворяющих неравенству   0 < x - a < верны оба неравенства и тогда получим

f(x)g(x) = f(x)   g(x) < ./2 c = ..

Отсюда по определению предела имеем . Следовательно, функция f(x) g(x) бесконечно малая при x а.

Следствие 1. Произведение  любого конечного числа функций бесконечно малая при x  а есть функция бесконечно малая при x  а.

Теорема 6. Если функций f(x) бесконечно малая при x  а и постоянная, то f(x) тождественно равна нулю.

Доказательство. Пусть f(x) бесконечно малая при x  а, f(x) =с. Если с 0, то полагая .=c, по определению предела последовательности f(x)0 при x  а найдется такое число =()>0, что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству   0 < x - a < , выполняется  неравенство     f(x)  < =c. Тогда c < c для всех xD(f), удовлетворяющего неравенству 0 < x - a < . Получаем противоречие.

  1.  Свойства предела функции.   

Теорема 1. Число   A является  пределом функции f(x) при x  а тогда и только тогда, когда функция  f(x) - A - бесконечно малая при x  а.

Доказательство. Пусть . Тогда по определению предела для любой числа > 0 существует такая выколотая -окрестность точки a, что для любого действительного числа xD(f), xU*(а, ), выполняется неравенство  f(x) - A  < . Тогда по определению предела и функция f(x) - a есть бесконечно малая при x  а.

Обратно, функция f(x) - a есть бесконечно малая при x  а. Тогда по определению б. м. ф. . По определению предела для любой числа > 0 существует такая выколотая -окрестность точки a, что для любого действительного числа xD(f), xU*(а, ), выполняется неравенство  f(x) - A  < . Последнее по определению предела функции означает, что .

Теорема 2. Если функция f(x) сходится к конечному пределу 0 при x  а, то функция 1/ f(x) ограничена в некоторой выколотой окрестности точки a.

Доказательство. Пусть , A 0. Пусть = A/2. Тогда по определению существует такая выколотая -окрестность точки a, что для любого действительного числа xD(f), xU*(а, ), выполняется неравенство  f(x) - A  < =A/2. Отсюда -A/2 < f(x) - a <  A/2, - a/2+a < f(x) <  a/2+a. Так как числа -a/2+a, a/2+a одного знака, то 1/(a/2+a) <1/ f(x)  < 1/(a/2-a),  при любом xU*(а, ). Тогда по определению функция f(x) ограничена в проколотой окрестности U*(а, ).

Теорема 3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, т.е.

Доказательство. Пусть . По теореме 1 функции (x) = f(x) - A , (x) = g(x) - B - бесконечно малые при x  а. Тогда по теореме 3.4 функция (x)  (x)= (f(x) - A) (g(x) - B) = (f(x)  g(x)) - (A   B) - бесконечно малые при x  а. Следовательно, по теореме1 функция f(x)  g(x)  сходится к A   B при x  а .

Теорема 4. Предел произведения функций равен произведению  их пределов, т.е.

 

Доказательство. Пусть . По теореме 1 функции (x) = f(x) - A , (x) = g(x) - B - бесконечно малые при x  а. Тогда по теореме 3.5 функция (x)(x)= (f(x) - A)(g(x) - B) - бесконечно малые при x  а. Так как f(x)g(x) - A B  = (f(x) - A)(g(x) - B) + (f(x) - A)B + A(g(x) - B). По теореме 3.5 функции (f(x) - A)B, A(g(x) - B) бесконечно малые при x  а.  Следовательно, по теореме3.4 функция f(x)g(x) - A B бесконечно малые при x  а. сходится к A   B при x  а . Таким образом, по теореме 1 функция f(x)g(x) сходится к A B при x  а. 

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

 Доказательство.

Следствие 2. Предел степени функции с натуральным показателем равен той же степени предела функции, т.е.

 Доказательство.

Теорема 5. Предел частного двух функций, если предел знаменателя не равен нулю, равен частному их пределов, т.е.

Доказательство. Пусть По теореме 1 функции (x) = f(x) - A , (x) = g(x) - B - бесконечно малые при x  а. По теореме 3.5 функции (f(x) - A)B, A(g(x) - B) бесконечно малые при x  а. По теореме 4 функция g(x)B при x  а  имеет конечный предел B2 0. По теореме 3 функция g(x)B ограничена в некоторой выколотой -окрестности U*(а, ) точки а. Отсюда по теоремам 3.4, 3.5 функция

бесконечно малые при x  а. Следовательно, по теореме1 

Теорема 6. Пусть . Тогда существует предел сложной функции g(f(x)) при  x  а и он равен В, т.е.

 Доказательство. Рассмотрим любую последовательность {xn}, сходящейся к a. Так как , то по определению предела по Гейне соответствующая последовательность {yn} = { f(xn)} значений функции f(x) сходится к  точке A. Так как , то снова по определению предела по Гейне соответствующая последовательность {g(yn)}={g(f(xn))} значений функции g(x) сходится к  точке B. Так как это справедливо для любой последовательности {xn}, сходящейся к a, то по определению предела по Гейне  

  1.  Пределы монотонных функций.

Теорема 1. Пусть . Если для всех x из некоторой выколотой окрестности точки а имеет место неравенство f(x) < c (или f(x)  c), то A  c. Если для всех x из некоторой выколотой окрестности точки а имеет место неравенство f(x) > c (или f(x)  c), то A  c.

Доказательство. Докажем первое утверждение. Пусть для всех xU*(а, 1), выполняется неравенство  f(x) < c. Докажем, что A  c. Допустим противное, что то A > c. Возьмем = A-c. По определению предела существует такая выколотая -окрестность точки a, что для любого действительного числа xD(f), xU*(а, ), выполняется неравенство  f(x) - A  < =A/2. Следовательно, A - < f(x) < A +, f(x)> A - A + c = c для всех xU*(а, ). Тогда для всех xU*(а, )U*(а, 1 ) выполняется неравенство f(x)>  c, а последнее противоречит условию теоремы.

Теорема 2. Пусть . Если для всех x из некоторой выколотой окрестности точки а имеет место неравенство f(x) < g(x) (или f(x)  g(x)), то A  B. Если для всех x из некоторой выколотой окрестности точки а имеет место неравенство f(x) > g(x) (или f(x)  g(x)), то A  B.

Доказательство. Докажем первое условие. Рассмотрим функцию h(x) = f(x) - g(x) . По условию получаем, что для всех x из некоторой выколотой окрестности точки а имеет место неравенство f(x) - g(x) < 0 (или f(x) - g(x) 0). Тогда по теореме 1 . По свойству предела . Следовательно, A  B.

Теорема 4 (о пределе промежуточной функции). Если функция h(x) в некоторой выколотой окрестности точки а заключена между двумя другими функциями f(x) и g(x) , имеющими один и тот же предел при x  а, то она также имеет тот же предел при x  а, т. е. если

1. ;

2. для всех x из некоторой выколотой окрестности точки а имеет место неравенство f(x)  h(x) g(x),

то .

Доказательство. По условию 0h(x)-f(x)g(x)-f(x) . По условию 1 . Поэтому функция g(x)-f(x) бесконечно малая при x  а. Возьмем любое число > 0. По определению предела существует такая выколотая -окрестность точки a, что для любого действительного числа xD(f), xU*(а, ), выполняется неравенство g(x)-f(x)  < .  Тогда из неравенства выше следует неравенство  h(x)-f(x)  < . По определению функция h(x)-f(x) бесконечно малая при x  а.

.

Теорема 5 (о пределе монотонной функции). Если функция f(x) монотонна и ограничена в левой (правой) половине некоторой выколотой окрестности точки а, то существует ее левый предел  (или соответственно правый предел). 

Доказательство. Докажем теорему для случая, когда функция f(x) монотонно возрастает и ограничена в левой  половине некоторой выколотой окрестности U = U*(а-0, 1) точки а.  Отсюда множество значений функции f(x) на множестве ограничено сверху и существует их точная верхняя грань    . Покажем, что . Для этого докажем, что для любой числа > 0 существует такое число =() > 0, что для любого действительного числа xD(f), удовлетворяющего неравенству a - < x < a, выполняется неравенство  f(x) - A  < .

Выберем <1. Так как, то для > 0 найдется такое число x0  U, что  A -  <. f(x0)  A,  так как в противном случае число a -  являлось бы верхней гранью множества {xn}, что противоречит тому, что число A точная верхняя грань (наименьшая из всех верхних граней множества значений функции на (a - , a ).  Так как функция монотонно возрастает на промежутке (a - , a ), то для любого x  (x0 , a) имеем f(x0)  f(x)  A. Поэтому, полагая   = a - x0 > 0, устанавливаем, что для любого x  (a -  , a) имеем A -  <. f(x)  A.

Следовательно, по определению предела слева .

  1.  Замечательные пределы.

Теорема 1 (первый замечательный предел). Предел отношения  при x  0 существует и равен 1, т.е.

.                                                                                  (1)

Доказательство. Рассмотрим круг радиуса 1, через x обозначаем радианную меру угла DOB (см. рис. 10). Пусть угол лежит в первой четверти, т.е. 0 < x < /2. Тогда AD = sin x, OD = cos x, CB = tg x, величина дуги цетрального угла x. Докажем сначала, что    . Так как 0 < AD < длины дуги BD, 0< sin x < x. Так как  x  0, 0  0, то по теореме 5 получаем .

Так как cos x = 1 - 2*sin2(x/2), то по свойствам пределов получаем

.

Сравниваем площади треугольников DOA, COB и сектора DOB и получим SDOA,< ScektDOB <  SCOB. Применяя формулы для площадей плоских фигур и то, что ОD = 1,  получаем  

.

Разделим неравенство на , находим .

Так как , то применяя теорему о пределе промежуточной функции получаем

Пусть x < 0. Имеем , где -x > 0. Поэтому  Так как оба односторонние предела равны 1, то .

Теорема 2 (Замечательные пределы). Имеют место соотношения

  1.  ;  2.  ;  3.  4.

Доказательство. 1. Пусть x  +. Справедливо неравенство n  x  n+1, где n =[x] - целая часть числа x. Отсюда имеем . Если x  +, то n  +. Поэтому имеем

.

По теореме о пределе промежуточной функции получим

.                                                                                   (2)

Пусть x  -. Сделаем подстановку t = -x и  получим

(3)

Из равенств (2) и (3) вытекает утверждение теоремы 2.

2. Если в равенстве (1) положить , то учитывая, что 0 при x  , получим предел

.                                                                                  (1)

3-4. Свойства будут доказаны далее.


U(
a,)

(

a-

)

a+

a

Рис. 1.

(

a-

)

a+

a

Рис. 2.

U*(a,)

(

-

)

+

Рис. 3.

U*(,)

(

-

Рис. 4.

U*(-,)

)

+

Рис. 5.

U*(+,)

Рис.6.

a

y

x

O

(

a-

y=f(x)

A-

)

a+

A-

A+

A

y

x

O

y=f(x)

A-

(

A-

A+

A

Рис.7.

O

Рис.8.

a

y

x

O

(

a-

y=f(x)

A-

)

a+

A-

A+

A

B

Рис.9.

a

y

x

O

(

a-1

=f(x)

-

)

a+2

x

sin x

cos x

D

C

B

A

y

t

O

1

1

1

Рис. 10


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9090. Философия эпохи Возрождения: антропоцентризм 73 KB
  Философия эпохи Возрождения: антропоцентризм Начиная с XIV-XV веков в странах Западной Европы происходит целый ряд изменений, знаменующих начало новой эпохи, которая вошла в историю под именем Возрождения. Эти перемены были связаны прежде всего с пр...
9091. Античная философия: космоцентризм 143 KB
  Античная философия: космоцентризм. Космологизм ранней греческой философии Спецификой древнегреческой философии, особенно в начальный период ее развития, является стремление понять сущность природы, космоса, мира в целом. Не случайно первых греческ...
9094. Проектування класів та їх методів 86 KB
  Проектування класів та їх методів 1. Мета работи Засвоїти поняття конструктора, деструктора та функцій-членів класів. 2. Теми для попереднього вивчення Введення у класи Структура класу и функції 3. Варіанти індивідуальних завдань...
9096. Податкова система країн стародавнього світу 101 KB
  Податкова система країн стародавнього світу. Історія виникнення податків. Види податків. Податкові органи. Відповідальність за ухилення від сплати податків. Історія виникнення податків. Виникнення податків своїм корінн...
9097. Держава і право Англії Новітнього періоду 123 KB
  Держава і право Англії Новітнього періоду. План Основні зміни в економіці, політичній системі та в державному устрої в першій половині ХХст. Криза Британської колоніальної імперії після першої та другої світових воєн. Основні джере...
9098. Виникнення і розвиток буржуазної держави і права в Англії 172 KB
  Виникнення і розвиток буржуазної держави і права в Англії. ПЛАН. Передумови, етапи та особливості англійської буржуазної революції. Проголошення республіки. Державний устрій. Реставрація монархії. Розвиток конституційно...