22418

Сравнения функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Лекция

Математика и математический анализ

Если предел 1 равен 0 то функция fx называется бесконечно малой более высокого порядка чем gx при x  a а функция gx называется бесконечно малой более низкого порядка чем fx при x  a. Если предел 1 равен   то функция fx является бесконечно малой болей низкого порядка чем gx при x  a а gx функция является бесконечно малой более высокого порядка чем fx при x  a. Если предел 1 равен   то функция является бесконечно большой при x  a. Тогда по свойству бесконечно малых функция бесконечно малая при...

Русский

2013-08-03

218.5 KB

1 чел.

220400                                                  Математический анализ                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 8. Сравнения функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке

  1.  Сравнения функций. Символ о и его свойства.
  2.  Символ О и его свойства.
  3.  Эквивалентные функции и их применение к отысканию пределов.
  4.  Теоремы о промежуточных значениях функций непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Больцано- Коши).
  5.  Теоремы об ограниченности и существовании наибольшего и наименьшего значений функций непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса).

Литература: Ильин В.А., с.105-127;  Письменный Д., с. 130-135. Ермаков В.И., с.199-205. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с.90-97.  

  1.  Сравнения функций. Символ о-малое и его свойства.

Пусть f(x) и g(x) две бесконечно малые функции при x  a, где a  - конечная или бесконечная точка. Пусть существует предел

.                                                                        (1)

Определение 1. Если предел (1) равен 0, то функция  f(x) называется бесконечно малой более высокого порядка чем g(x) при x  a, а  функция g(x) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем f(x) при x  a.

Определение 2. Если предел (2) конечен и не равен 0, то функции f(x) и g(x) называется бесконечно малыми одного порядка при x  a.

Теорема 1.  Если предел (1) равен  (), то функция f(x) является бесконечно малой болей низкого порядка  чем g(x) при x  a, а g(x) функция является бесконечно малой более высокого порядка, чем f(x) при x  a.

Доказательство. Если предел (1) равен (), то функция  является бесконечно большой при x  a. Тогда по свойству бесконечно малых функция  бесконечно малая при x  a. Отсюда f(x) является бесконечно малой болей низкого порядка  чем g(x) при x  a. 

Определение 3. Если предел (1) равен 0, то пишут так же f(x) = о(g(x)) и говорят, что функция f(x) о-малое ограничена или о-ограничена функцией g(x) при x  a.

Последнее определение справедливо для любых функций f(x) и g(x) в том числе и для бесконечно больших при x  a.лишь бы существовал предел (1).

Теорема 2. 1. Если f1(x) = о(g(x)) при x  a, f2(x) = о(g(x)) при x  a, то f1(x)  f2(x) = о(g(x)) при x  a.

2. Если f1(x) = о(g(x)) при x  a и функция  f2(x) ограничена при x  a , т.е. ограничена в некоторой выколотой окрестности точки а,  = о(g(x)) при x  a, то f1(x)f2(x) = о(g(x)) при x  a.

Доказательство. 1. Пусть f1(x) = о(g(x)) при x  a, f2(x) = о(g(x)) при x  a. По свойству предела имеем

Тогда по определению 3 f1(x)  f2(x) = о(g(x)) при x  a.

2. Пусть f1(x) = о(g(x)) при x  a, функция  f2(x) ограничена при x  a. По свойству бесконечно малых функция

бесконечно малая при x  a. Тогда по определению 3 f1(x)f2(x) = о(g(x)) при x  a.

Пусть существует предел

.                                                                        (1)

Определение 4. Пусть f(x) и g(x) две бесконечно малые функции при x  a, где a  - конечная или бесконечная точка, n - положительное действительное число. Функция  f(x) называется бесконечно малой n- го  порядка относительно g(x) при x  a, если существует конечный предел

,

т. е. если функции f(x) и g(x) имеют одинаковый порядок при x  a.  

Теорема 3. 1. Сумма (разность) двух бесконечно малых функций различных порядков m, n, m  n есть бесконечно малая функция порядка, равного  min{m, n}.

  1.  Сумма (разность) двух бесконечно малых функций порядка n есть бесконечно малая функция порядка не меньшего чем n.
  2.  Произведение двух бесконечно малых функций различных порядков m, n есть бесконечно малая функция порядка равного mn.

Доказательство. Пусть f1(x),  f2(x) две бесконечно малых функций порядков n, m относительно функции g(x) при x  a.

1. Пусть m  n, k = min{m, n}. По определению 4

.

Отсюда, если k = m, получаем k < n и

Тогда порядок функции f1(x)  f2(x) равен k. Аналогично рассматривается случай k = n.

2. Пусть m = n. Тогда

Таким образом, предел равен постоянной. Следовательно,  порядок функции f1(x)  f2(x) не меньше m.

3. Так как

Следовательно,  порядок функции f1(x)f2(x) не меньше mn.

  1.  Эквивалентные функции и их применение к отысканию пределов.

Определение 1. Пусть a  - конечная или бесконечная точка. Бесконечно малые функции  f(x) и g(x) при x  a называются эквивалентными бесконечно малыми при x  a, если

,                                                                                     (1)

пишем f(x)  g(x) при x  a.

Определение 2. Пусть a  - конечная или бесконечная точка. Бесконечно большие функции  f(x) и g(x) при x  a называются эквивалентными бесконечно большими при x  a, если

,

пишем f(x)  g(x) при x  a.

Замечание 1. Эквивалентные бесконечно малые при x  a есть бесконечно малые одного порядка при x  a.

Теорема 1. Пусть f(x) и g(x) две эквивалентные  бесконечно малые (большие) функции при x  a, g(x) - некоторая функция, определенная в некоторой выколотой окрестности точки . Тогда

;                                                                     (2)

Доказательство. Используя свойства предела и определение эквивалентных бесконечно малых получаем

.

Аналогично доказываются два остальные утверждения теоремы.

Замечание 2. Теорема 1 утверждает, что при вычислении пределов произведений (частных)  при x  a можно одни бесконечно малые (большие) множители (числителя или знаменателя) заменять другими им эквивалентными при x  a.

Теорема 2. Имеют место следующие эквивалентности:

  1.  sin x  x при x  0;  
  2.  1-cos x  x2/2 при x  0;
  3.  tg x  x при x  0;
  4.  ln (1+ x)  x при x  0;
  5.  (1+ x )k - 1  kx при x  0;
  6.    x/k при x  0;
  7.   a0xk при x  , a0  0. 

Доказательство. Следует из замечательных пределов. Например, первая формула следует из первого замечательного предела

Пример 1. Вычисляем предел, заменяя бесконечно малые функции им эквивалентными.

Теорема 2. Пусть f(x) и g(x) две эквивалентные  бесконечно малые (большие) функции при x  a. Тогда функция f(x) - g(x) является бесконечно малой при x  a более высокого порядка чем , т.е. f(x) - g(x) = о(f(x)), f(x) - g(x) = о(g (x)) при x  a.

Доказательство. Имеем

.

Тогда по определению 4 первого пункта f(x) - g(x) = о(f(x)) при x  a. Аналогично доказываются второе утверждения теоремы.

Определение 2. Представление бесконечно малой функции f(x) в виде f(x) = a0xk + о(xk) при x  0 называется выделением главной части, при этом a0xk   называется главной частью f(x).

Отсюда и из теоремы 1 получаем следующее следствие

Следствие. Имеют место следующие о-оценки:

  1.  sin x = x + o(x) при x  0;  
  2.  1-cos x = x2/2 + o(x) при x  0;
  3.  tg x = x + o(x) при x  0;
  4.  ln (1+ x) = x + o(x) при x  0;
  5.  (1+ x )k - 1 = kx + o(x) при x  0;
  6.   = x/k + o(x) при x  0.
  7.  Символ О и его свойства.

Определение 1. Пусть a  - конечная или бесконечная точка. Бесконечно малая функции  f(x) называется                 O-ограниченной по отношению к бесконечно малой g(x) при x  a , если функция f(x)/g(x)  ограничена в некоторой окрестности точки a, т.е. существует такое число С, что в некоторой окрестности точки a выполняется неравенство

,                                                                                     (1)

пишем f(x) =O(g(x)) при x  a.

Определение 2. Пусть a  - конечная или бесконечная точка. Бесконечно большая функции  f(x) называется ограниченной по отношению к бесконечно большой g(x) при x  a , если функция f(x)/g(x)  ограничена в некоторой окрестности точки a, т.е. существует такое число С, что в некоторой окрестности точки a выполняется неравенство

,                                                                                     (1)

пишем f(x) =O(g(x)) при x  a.

Неравенство (1) равносильно неравенству

.

Замечание 1. Если бесконечно малые функции f(x) и g(x) сравнимы при x  a (в частности, если они эквивалентные при x  a), то каждая из функций f(x) и g(x) ограничена относительно другой при x  a.

2. Если функция f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a, то в силу определения имеем f(x) = О(1) при     x  a.

Пример 1. Если a0  0, то = O(xk)  при x  . 

2.  (x2-2)sin x = O(x2) при x  . (x2-2)sin x = O(x) при x  0.

Теорема 1. 1. Если функция определена в некоторой окрестности точки а, то  f(x) = O(f(x)) при x  a 

2. Если f(x) = O(g(x)) при x  a, g(x) = O(h(x)) при x  a, то f(x) = O(h(x)) при x  a.

3. Если f(x) = O(h(x)) при x  a, g(x) = O(h(x)) при x  a, то f(x)  g(x) = O(h(x)) при x  a.

4. Если f(x) = O(h1(x)) при x  a, g(x) = O(h2(x)) при x  a, то f(x) g(x) = O(h1(x) h2(x)) при x  a.

Доказательство. 1. Вытекает из того, что в некоторой окрестности точки а имеем  f(x) = 1 f(x).

2. Пусть f(x) = O(g(x)), g(x) = O(h(x)) при x  a . Тогда для любого x из 1 - окрестности точки a выполняется неравенство  

,

для любого x из 2 - окрестности точки a выполняется неравенство  

.

Полагаем    = min (1, 2) и получаем, что для любого x из - окрестности точки a выполняется неравенство  

.

Последнее неравенство обозначает, что g(x) = O(h(x)) при x  a.

3. Пусть f(x) = O(h(x)), g(x) = O(h(x)) при x  a . Тогда для любого x из 1 - окрестности точки a выполняется неравенство  

,

для любого x из 2 - окрестности точки a выполняется неравенство  

.

Полагаем    = min (1, 2) и получаем, что для любого x из - окрестности точки a выполняется неравенство  

.

Последнее неравенство обозначает, что f(x)  g(x) = O(h(x)) при x  a.

Последнее утверждение теоремы доказывается аналогично.

  1.  Теоремы о промежуточных значениях функций непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Больцано- Коши).

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b]., если она непрерывна в любой точке x0 (a, b) и непрерывна справа в точке a, и непрерывна слева в точке b.

Теорема 1(первая теорема Больцано- Коши).  Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям:

  1.  f(x) определена, непрерывна на отрезке [a, b];
  2.   на концах отрезка f(x) принимает значения разных знаков, т. е. f(a) f(b) < 0.

Тогда существует такая точка c (a, b), что f(a) =0.

Доказательство.  Пусть для функции f(x) выполняются условия теоремы, и пусть для определенности f(a) < 0,  f(b) > 0. Обозначим отрезок [a, b] через  [a0, b0] и разделим его пополам точкой . Тогда либо в этой точке функция f(x) обращается в ноль, и теорема доказана, либо не обращается в ноль, и на концах одной из половин данного отрезка знаки функции f(x) противоположны. Выберем эту половину и обозначим ее через [a1, b1]. Заметим, что  f(a1) < 0,  f(b1) > 0. Разделим отрезок [a1, b1] пополам точкой . Тогда либо в этой точке функция f(x) обращается в ноль, и теорема доказана, либо не обращается в ноль, и на концах одной из половин отрезка  [a1, b1] знаки функции f(x) противоположны. Выберем эту половину и обозначим ее через [a2, b2]. Заметим, что  f(a2) < 0,  f(b2) > 0. Во втором случае процесс деления отрезка [a2, b2] пополам повторим.

В дальнейшем либо процесс прервется и мы найдем, что в одной из середин полученных отрезков функция обратиться в ноль, либо образуется бесконечная последовательность вложенных отрезков   

[a0, b0] [a1, b1] [an, bn]

Имеем f(an) < 0, f(bn) > 0. Длина n -го отрезка ln = bn - an = (b-a)/2n, ln  0 при n  .

По лемме Кантора точки an , bn  образуют две последовательности, сходящиеся к общему пределу

Так как  функция f(x) непрерывная, то {f(an)} f(c), {f(bn)} f(c) при n  .

Так как для любого nN  f(an) < 0,  f(bn) > 0, то по теореме о переходе к пределу под знаком неравенства получаем.

  1.  Следовательно, f(с) = 0. Так как f(a) f(b) < 0, то c (a, b)

Замечание 1. На рис. 1 показан график функции y = f(x), для которого выполняются условия теоремы 1. На рис. 2 показан график функции y = f(x), для которой не выполняются условие 1, и функция не обращается в ноль на интервале (a, b). На рис. 3 показан график функции y = f(x), для которой не выполняются условие 2, и функция f(x)  обращается в ноль на интервале (a, b).

 Теорема 2 (вторая теорема Больцано- Коши).  Пусть функция f(x)  определена и непрерывна на отрезке [a, b],  m = min { f(a), f(b)}, M = max { f(a), f(b)}. Тогда для любого C (m, M) существует такая точка c (a, b), что f(c) = C..

Доказательство.  Рассмотрим функцию g(x) =  f(x) - C.  Функция g(x) определена и непрерывна на [a, b],  как разность двух непрерывных на [a, b] функций. Так как m < C < M, то

g(a) g(b) = (f(a) - C)( f(b) - C) = (m - C)(M - C) <0.

 Тогда по теореме 1 существует такая точка c (a, b), что g(с) = 0. Отсюда f(с) - C = 0 и f(с) = C. 

Замечание 1. На рис. 4 показан график функции y = f(x), для которого выполняются условия теоремы 1. На рис. 2 показан график функции y = f(x), для которой не выполняются условие непрерывности, и функция f(x) не принимает на интервале значения С (f(a), f(b)) .

  1.  Теоремы об ограниченности и существовании наибольшего и наименьшего значений функций непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса).

Теорема 1 (первая теорема Вейерштрасса).  Пусть функция f(x)  определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда функция ограничена на отрезке [a, b].

Доказательство. Пусть для функции f(x) выполняются условия теоремы. Докажем, что функция f(x) ограничена на [a, b]. Допустим противное, что f(x) не ограничена на [a, b] сверху или снизу. Пусть для определенности функция f(x) не ограничена на [a, b] сверху. Тогда для любого n  N существует такое      xn [a, b], что f(xn) > n. Последовательность {xn}[a, b] ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса выделим в ней сходящуюся подпоследовательность: c, где c [a, b].  Так как в точке c функция  f(x) непрерывна, то . Тогда последовательность  функция бесконечно малая при k  .  

Последнее невозможно, так как для любого k  N имеем  , то последовательность бесконечно большая при k  . Поэтому и последовательность бесконечно большая. Получаем противоречие, с доказанным ранее.  Поэтому функция f(x) ограничена сверху.

Аналогичным образом доказывается ограниченность функции f(x) снизу.

Теорема 2 (вторая теорема Вейерштрасса).  Пусть функция f(x)  определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда функция f(x) имеет наибольшее и наименьшее значения  на отрезке [a, b], т. е. функция f(x) достигает на отрезке [a, b] своей точной нижней или точной верхней грани.

.Доказательство. Пусть для функции f(x) выполняются условия теоремы. Точная нижняя и точная верхняя грани  множества значений функции f(x) на  [a, b] существуют по теореме о существования точных граней у ограниченного множества. Докажем, что функция f(x) достигает на отрезке [a, b] своей точной нижней или точной верхней грани

Допустим противное, что функция f(x) не достигает на отрезке  [a, b] своей точной нижней или точной верхней грани. Для определенности предположим, что для любого x [a, b] f(x) . Составим функцию . По условию M - f(x) > 0 для любого x [a, b].

Функция g(x) определена и непрерывна на [a, b].   Поэтому по теореме она ограничена на [a, b]. Поэтому существует такое число С>0, что для любого x [a, b]выполняется неравенство

.

Обе части неравенства положительны и из его получаем

.

Получаем, что число  является верхней гранью множества значений функции f(x) на  [a, b]. Последнее противоречит определению точной верхней грани. Полученное противоречие доказывает, что имеется такое число x [a, b], что  f(x) = M.

Аналогично доказывается, что функция f(x) достигает на отрезке  [a, b] своей точной нижней грани.

Замечание 1. На рис. 5 показан график функции y = f(x), которой точной нижней грани m в точке с[a, b], а точной верхней грани M в точке b.

На рис. 6 показан график функции y = f(x), для которой не выполняются условие непрерывности, и функция f(x) не достигает на отрезке [a, b] своей верхней и нижней граней.


Рис.
2.

b

y

O

y=f(x)

f(b)

Рис.3.

y

x

O

f(a)

y=f(x)

a

b

a

f(a)

f(b)

Рис.1.

y

x

O

y=f(x)

b

a

f(a)

f(b)

С

С

Рис.4.

y

x

O

y=f(x)

b

a

f(a)

f(b)

с

С

Рис.6.

y

x

O

y=f(x)

b

a

f(a)

f(b)

с

С

Рис.5.

y

x

O

y=f(x)

b

a

f(a)

f(b)

с

M

m

c


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75717. Организация обучения, проверки знаний и проведения инструктажей по безопасности труда на л/х предприятиях 19.28 KB
  Стандарт является основополагающим в комплексе государственных стандартов руководящих и методических документов по обучению работающих и изучению дисциплин по безопасности труда и других видов деятельности.
75718. Виды инструктажей по безопасности труда и очередность их проведения 16.67 KB
  Виды инструктажей по безопасности труда и очередность их проведения Виды инструктажей по охране труда: Вводный проводится всем принимаемым на работу лицам а также командированным на предприятие работникам и работникам сторонних организаций выполняющих работу на выделенном участке учащимся и студентам проходящим производственную практику до начала работы. Проводит инженер по охране труда по программе инструкции утвержденной работодателем и согласованной с профсоюзным комитетом. Первичный инструктаж проводит руководитель...
75719. Порядок проведения вводного инструктажа 14 KB
  Порядок проведения вводного инструктажа Вводный проводится всем принимаемым на работу лицам а также командированным на предприятие работникам и работникам сторонних организаций выполняющих работу на выделенном участке учащимся и студентам проходящим производственную практику до начала работы. Для работников сторонних организаций разрабатывается отдельная программа вводного инструктажа включающая опасные и вредные факторы на данном предприятии маршруты служебных проходов места нахождения бытовых помещений столовой мест для курения...
75720. Организация проведения первичного и повторного инструктажа на рабочем месте 13.6 KB
  Организация проведения первичного и повторного инструктажа на рабочем месте Первичный инструктаж на рабочем месте проводится после проведения вводного инструктажа со всеми работниками принятыми на предприятие или переводимыми с одного подразделения в другое в том числе с временными и сезонными работниками а также совместителями; с работниками выполняющими новую для них работу; командированными работниками сторонних организаций; со студентами и учащимися проходящими производственную практику. Повторный инструктаж...
75721. Организация и проведение внепланового и целевого инструктажа 14.71 KB
  Организация и проведение внепланового и целевого инструктажа Внеплановый инструктаж проводят: При введении в действие новых или пересмотренных стандартов правил инструкций по охране труда; При вводе нового или изменении технологического процесса оборудования подвижного состава приспособлений инструмента и других факторов влияющих на безопасность труда; При нарушении работниками требований безопасности труда которые могут привести или привели к травме аварии крушению взрыву пожару и др. ЧП на данном предприятии; По...
75722. Причины, вызывающие производственный травматизм и профессиональные заболевания на лесохозяйственном предприятии 15.33 KB
  Причины вызывающие производственный травматизм и профессиональные заболевания на лесохозяйственном предприятии. Различают острые и хронические профессиональные заболевания. К острым относят профессиональные заболевания возникшие внезапно в течение одной рабочей смены из-за воздействия вредных производственных факторов с большим превышением предельно допустимого уровня или предельно допустимой концентрации. Хронические профессиональные заболевания развиваются после многократного и длительного воздействия вредных производственных факторов...
75723. Порядок расследования и учета несчастных случаев на производстве 20.58 KB
  Порядок расследования и учета несчастных случаев на производстве. Расследование обстоятельств и причин несчастного случая на производстве который не является групповым и не относится к категории тяжелых или со смертельным исходом проводится комиссией в течение 3 дней. Расследование группового несчастного случая на производстве тяжелого несчастного случая на производстве и несчастного случая на производстве со смертельным исходом проводится комиссией в течение 15 дней. Несчастный случай на производстве о котором не было своевременно...
75724. Первоочередные меры, применяемые в связи с несчастным случаем на производстве 18.56 KB
  При групповом несчастном случае на производстве 2 и более человек тяжелом несчастном случае на производстве по схеме определения тяжести несчастных случаев на производстве утверждаемой Министерством здравоохранения Российской Федерации по согласованию с Министерством труда и социального развития Российской Федерации несчастном случае на производстве со смертельным исходом работодатель или уполномоченное им лицо в течение суток по форме установленной Министерством труда и социального развития Российской Федерации обязаны сообщить: а о...
75725. Порядок расследования одиночного несчастного случая на производстве 19.73 KB
  Порядок расследования одиночного несчастного случая на производстве. Производственный травматизм и профессиональные заболевания это сложные многофакторные явления обусловленные действием на человека в процессе его трудовой деятельности опасных вызывающих травмы и вредных вызывающих заболевание факторов. Расследование и учет несчастных случаев на производстве необходимы для разработки и осуществления мероприятий по профилактике травматизма улучшению состояния условий и охраны труда. Несчастный случай на производстве это случай...