22418

Сравнения функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Лекция

Математика и математический анализ

Если предел 1 равен 0 то функция fx называется бесконечно малой более высокого порядка чем gx при x  a а функция gx называется бесконечно малой более низкого порядка чем fx при x  a. Если предел 1 равен   то функция fx является бесконечно малой болей низкого порядка чем gx при x  a а gx функция является бесконечно малой более высокого порядка чем fx при x  a. Если предел 1 равен   то функция является бесконечно большой при x  a. Тогда по свойству бесконечно малых функция бесконечно малая при...

Русский

2013-08-03

218.5 KB

1 чел.

220400                                                  Математический анализ                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 8. Сравнения функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке

  1.  Сравнения функций. Символ о и его свойства.
  2.  Символ О и его свойства.
  3.  Эквивалентные функции и их применение к отысканию пределов.
  4.  Теоремы о промежуточных значениях функций непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Больцано- Коши).
  5.  Теоремы об ограниченности и существовании наибольшего и наименьшего значений функций непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса).

Литература: Ильин В.А., с.105-127;  Письменный Д., с. 130-135. Ермаков В.И., с.199-205. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с.90-97.  

  1.  Сравнения функций. Символ о-малое и его свойства.

Пусть f(x) и g(x) две бесконечно малые функции при x  a, где a  - конечная или бесконечная точка. Пусть существует предел

.                                                                        (1)

Определение 1. Если предел (1) равен 0, то функция  f(x) называется бесконечно малой более высокого порядка чем g(x) при x  a, а  функция g(x) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем f(x) при x  a.

Определение 2. Если предел (2) конечен и не равен 0, то функции f(x) и g(x) называется бесконечно малыми одного порядка при x  a.

Теорема 1.  Если предел (1) равен  (), то функция f(x) является бесконечно малой болей низкого порядка  чем g(x) при x  a, а g(x) функция является бесконечно малой более высокого порядка, чем f(x) при x  a.

Доказательство. Если предел (1) равен (), то функция  является бесконечно большой при x  a. Тогда по свойству бесконечно малых функция  бесконечно малая при x  a. Отсюда f(x) является бесконечно малой болей низкого порядка  чем g(x) при x  a. 

Определение 3. Если предел (1) равен 0, то пишут так же f(x) = о(g(x)) и говорят, что функция f(x) о-малое ограничена или о-ограничена функцией g(x) при x  a.

Последнее определение справедливо для любых функций f(x) и g(x) в том числе и для бесконечно больших при x  a.лишь бы существовал предел (1).

Теорема 2. 1. Если f1(x) = о(g(x)) при x  a, f2(x) = о(g(x)) при x  a, то f1(x)  f2(x) = о(g(x)) при x  a.

2. Если f1(x) = о(g(x)) при x  a и функция  f2(x) ограничена при x  a , т.е. ограничена в некоторой выколотой окрестности точки а,  = о(g(x)) при x  a, то f1(x)f2(x) = о(g(x)) при x  a.

Доказательство. 1. Пусть f1(x) = о(g(x)) при x  a, f2(x) = о(g(x)) при x  a. По свойству предела имеем

Тогда по определению 3 f1(x)  f2(x) = о(g(x)) при x  a.

2. Пусть f1(x) = о(g(x)) при x  a, функция  f2(x) ограничена при x  a. По свойству бесконечно малых функция

бесконечно малая при x  a. Тогда по определению 3 f1(x)f2(x) = о(g(x)) при x  a.

Пусть существует предел

.                                                                        (1)

Определение 4. Пусть f(x) и g(x) две бесконечно малые функции при x  a, где a  - конечная или бесконечная точка, n - положительное действительное число. Функция  f(x) называется бесконечно малой n- го  порядка относительно g(x) при x  a, если существует конечный предел

,

т. е. если функции f(x) и g(x) имеют одинаковый порядок при x  a.  

Теорема 3. 1. Сумма (разность) двух бесконечно малых функций различных порядков m, n, m  n есть бесконечно малая функция порядка, равного  min{m, n}.

  1.  Сумма (разность) двух бесконечно малых функций порядка n есть бесконечно малая функция порядка не меньшего чем n.
  2.  Произведение двух бесконечно малых функций различных порядков m, n есть бесконечно малая функция порядка равного mn.

Доказательство. Пусть f1(x),  f2(x) две бесконечно малых функций порядков n, m относительно функции g(x) при x  a.

1. Пусть m  n, k = min{m, n}. По определению 4

.

Отсюда, если k = m, получаем k < n и

Тогда порядок функции f1(x)  f2(x) равен k. Аналогично рассматривается случай k = n.

2. Пусть m = n. Тогда

Таким образом, предел равен постоянной. Следовательно,  порядок функции f1(x)  f2(x) не меньше m.

3. Так как

Следовательно,  порядок функции f1(x)f2(x) не меньше mn.

  1.  Эквивалентные функции и их применение к отысканию пределов.

Определение 1. Пусть a  - конечная или бесконечная точка. Бесконечно малые функции  f(x) и g(x) при x  a называются эквивалентными бесконечно малыми при x  a, если

,                                                                                     (1)

пишем f(x)  g(x) при x  a.

Определение 2. Пусть a  - конечная или бесконечная точка. Бесконечно большие функции  f(x) и g(x) при x  a называются эквивалентными бесконечно большими при x  a, если

,

пишем f(x)  g(x) при x  a.

Замечание 1. Эквивалентные бесконечно малые при x  a есть бесконечно малые одного порядка при x  a.

Теорема 1. Пусть f(x) и g(x) две эквивалентные  бесконечно малые (большие) функции при x  a, g(x) - некоторая функция, определенная в некоторой выколотой окрестности точки . Тогда

;                                                                     (2)

Доказательство. Используя свойства предела и определение эквивалентных бесконечно малых получаем

.

Аналогично доказываются два остальные утверждения теоремы.

Замечание 2. Теорема 1 утверждает, что при вычислении пределов произведений (частных)  при x  a можно одни бесконечно малые (большие) множители (числителя или знаменателя) заменять другими им эквивалентными при x  a.

Теорема 2. Имеют место следующие эквивалентности:

  1.  sin x  x при x  0;  
  2.  1-cos x  x2/2 при x  0;
  3.  tg x  x при x  0;
  4.  ln (1+ x)  x при x  0;
  5.  (1+ x )k - 1  kx при x  0;
  6.    x/k при x  0;
  7.   a0xk при x  , a0  0. 

Доказательство. Следует из замечательных пределов. Например, первая формула следует из первого замечательного предела

Пример 1. Вычисляем предел, заменяя бесконечно малые функции им эквивалентными.

Теорема 2. Пусть f(x) и g(x) две эквивалентные  бесконечно малые (большие) функции при x  a. Тогда функция f(x) - g(x) является бесконечно малой при x  a более высокого порядка чем , т.е. f(x) - g(x) = о(f(x)), f(x) - g(x) = о(g (x)) при x  a.

Доказательство. Имеем

.

Тогда по определению 4 первого пункта f(x) - g(x) = о(f(x)) при x  a. Аналогично доказываются второе утверждения теоремы.

Определение 2. Представление бесконечно малой функции f(x) в виде f(x) = a0xk + о(xk) при x  0 называется выделением главной части, при этом a0xk   называется главной частью f(x).

Отсюда и из теоремы 1 получаем следующее следствие

Следствие. Имеют место следующие о-оценки:

  1.  sin x = x + o(x) при x  0;  
  2.  1-cos x = x2/2 + o(x) при x  0;
  3.  tg x = x + o(x) при x  0;
  4.  ln (1+ x) = x + o(x) при x  0;
  5.  (1+ x )k - 1 = kx + o(x) при x  0;
  6.   = x/k + o(x) при x  0.
  7.  Символ О и его свойства.

Определение 1. Пусть a  - конечная или бесконечная точка. Бесконечно малая функции  f(x) называется                 O-ограниченной по отношению к бесконечно малой g(x) при x  a , если функция f(x)/g(x)  ограничена в некоторой окрестности точки a, т.е. существует такое число С, что в некоторой окрестности точки a выполняется неравенство

,                                                                                     (1)

пишем f(x) =O(g(x)) при x  a.

Определение 2. Пусть a  - конечная или бесконечная точка. Бесконечно большая функции  f(x) называется ограниченной по отношению к бесконечно большой g(x) при x  a , если функция f(x)/g(x)  ограничена в некоторой окрестности точки a, т.е. существует такое число С, что в некоторой окрестности точки a выполняется неравенство

,                                                                                     (1)

пишем f(x) =O(g(x)) при x  a.

Неравенство (1) равносильно неравенству

.

Замечание 1. Если бесконечно малые функции f(x) и g(x) сравнимы при x  a (в частности, если они эквивалентные при x  a), то каждая из функций f(x) и g(x) ограничена относительно другой при x  a.

2. Если функция f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a, то в силу определения имеем f(x) = О(1) при     x  a.

Пример 1. Если a0  0, то = O(xk)  при x  . 

2.  (x2-2)sin x = O(x2) при x  . (x2-2)sin x = O(x) при x  0.

Теорема 1. 1. Если функция определена в некоторой окрестности точки а, то  f(x) = O(f(x)) при x  a 

2. Если f(x) = O(g(x)) при x  a, g(x) = O(h(x)) при x  a, то f(x) = O(h(x)) при x  a.

3. Если f(x) = O(h(x)) при x  a, g(x) = O(h(x)) при x  a, то f(x)  g(x) = O(h(x)) при x  a.

4. Если f(x) = O(h1(x)) при x  a, g(x) = O(h2(x)) при x  a, то f(x) g(x) = O(h1(x) h2(x)) при x  a.

Доказательство. 1. Вытекает из того, что в некоторой окрестности точки а имеем  f(x) = 1 f(x).

2. Пусть f(x) = O(g(x)), g(x) = O(h(x)) при x  a . Тогда для любого x из 1 - окрестности точки a выполняется неравенство  

,

для любого x из 2 - окрестности точки a выполняется неравенство  

.

Полагаем    = min (1, 2) и получаем, что для любого x из - окрестности точки a выполняется неравенство  

.

Последнее неравенство обозначает, что g(x) = O(h(x)) при x  a.

3. Пусть f(x) = O(h(x)), g(x) = O(h(x)) при x  a . Тогда для любого x из 1 - окрестности точки a выполняется неравенство  

,

для любого x из 2 - окрестности точки a выполняется неравенство  

.

Полагаем    = min (1, 2) и получаем, что для любого x из - окрестности точки a выполняется неравенство  

.

Последнее неравенство обозначает, что f(x)  g(x) = O(h(x)) при x  a.

Последнее утверждение теоремы доказывается аналогично.

  1.  Теоремы о промежуточных значениях функций непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Больцано- Коши).

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b]., если она непрерывна в любой точке x0 (a, b) и непрерывна справа в точке a, и непрерывна слева в точке b.

Теорема 1(первая теорема Больцано- Коши).  Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям:

  1.  f(x) определена, непрерывна на отрезке [a, b];
  2.   на концах отрезка f(x) принимает значения разных знаков, т. е. f(a) f(b) < 0.

Тогда существует такая точка c (a, b), что f(a) =0.

Доказательство.  Пусть для функции f(x) выполняются условия теоремы, и пусть для определенности f(a) < 0,  f(b) > 0. Обозначим отрезок [a, b] через  [a0, b0] и разделим его пополам точкой . Тогда либо в этой точке функция f(x) обращается в ноль, и теорема доказана, либо не обращается в ноль, и на концах одной из половин данного отрезка знаки функции f(x) противоположны. Выберем эту половину и обозначим ее через [a1, b1]. Заметим, что  f(a1) < 0,  f(b1) > 0. Разделим отрезок [a1, b1] пополам точкой . Тогда либо в этой точке функция f(x) обращается в ноль, и теорема доказана, либо не обращается в ноль, и на концах одной из половин отрезка  [a1, b1] знаки функции f(x) противоположны. Выберем эту половину и обозначим ее через [a2, b2]. Заметим, что  f(a2) < 0,  f(b2) > 0. Во втором случае процесс деления отрезка [a2, b2] пополам повторим.

В дальнейшем либо процесс прервется и мы найдем, что в одной из середин полученных отрезков функция обратиться в ноль, либо образуется бесконечная последовательность вложенных отрезков   

[a0, b0] [a1, b1] [an, bn]

Имеем f(an) < 0, f(bn) > 0. Длина n -го отрезка ln = bn - an = (b-a)/2n, ln  0 при n  .

По лемме Кантора точки an , bn  образуют две последовательности, сходящиеся к общему пределу

Так как  функция f(x) непрерывная, то {f(an)} f(c), {f(bn)} f(c) при n  .

Так как для любого nN  f(an) < 0,  f(bn) > 0, то по теореме о переходе к пределу под знаком неравенства получаем.

  1.  Следовательно, f(с) = 0. Так как f(a) f(b) < 0, то c (a, b)

Замечание 1. На рис. 1 показан график функции y = f(x), для которого выполняются условия теоремы 1. На рис. 2 показан график функции y = f(x), для которой не выполняются условие 1, и функция не обращается в ноль на интервале (a, b). На рис. 3 показан график функции y = f(x), для которой не выполняются условие 2, и функция f(x)  обращается в ноль на интервале (a, b).

 Теорема 2 (вторая теорема Больцано- Коши).  Пусть функция f(x)  определена и непрерывна на отрезке [a, b],  m = min { f(a), f(b)}, M = max { f(a), f(b)}. Тогда для любого C (m, M) существует такая точка c (a, b), что f(c) = C..

Доказательство.  Рассмотрим функцию g(x) =  f(x) - C.  Функция g(x) определена и непрерывна на [a, b],  как разность двух непрерывных на [a, b] функций. Так как m < C < M, то

g(a) g(b) = (f(a) - C)( f(b) - C) = (m - C)(M - C) <0.

 Тогда по теореме 1 существует такая точка c (a, b), что g(с) = 0. Отсюда f(с) - C = 0 и f(с) = C. 

Замечание 1. На рис. 4 показан график функции y = f(x), для которого выполняются условия теоремы 1. На рис. 2 показан график функции y = f(x), для которой не выполняются условие непрерывности, и функция f(x) не принимает на интервале значения С (f(a), f(b)) .

  1.  Теоремы об ограниченности и существовании наибольшего и наименьшего значений функций непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса).

Теорема 1 (первая теорема Вейерштрасса).  Пусть функция f(x)  определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда функция ограничена на отрезке [a, b].

Доказательство. Пусть для функции f(x) выполняются условия теоремы. Докажем, что функция f(x) ограничена на [a, b]. Допустим противное, что f(x) не ограничена на [a, b] сверху или снизу. Пусть для определенности функция f(x) не ограничена на [a, b] сверху. Тогда для любого n  N существует такое      xn [a, b], что f(xn) > n. Последовательность {xn}[a, b] ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса выделим в ней сходящуюся подпоследовательность: c, где c [a, b].  Так как в точке c функция  f(x) непрерывна, то . Тогда последовательность  функция бесконечно малая при k  .  

Последнее невозможно, так как для любого k  N имеем  , то последовательность бесконечно большая при k  . Поэтому и последовательность бесконечно большая. Получаем противоречие, с доказанным ранее.  Поэтому функция f(x) ограничена сверху.

Аналогичным образом доказывается ограниченность функции f(x) снизу.

Теорема 2 (вторая теорема Вейерштрасса).  Пусть функция f(x)  определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда функция f(x) имеет наибольшее и наименьшее значения  на отрезке [a, b], т. е. функция f(x) достигает на отрезке [a, b] своей точной нижней или точной верхней грани.

.Доказательство. Пусть для функции f(x) выполняются условия теоремы. Точная нижняя и точная верхняя грани  множества значений функции f(x) на  [a, b] существуют по теореме о существования точных граней у ограниченного множества. Докажем, что функция f(x) достигает на отрезке [a, b] своей точной нижней или точной верхней грани

Допустим противное, что функция f(x) не достигает на отрезке  [a, b] своей точной нижней или точной верхней грани. Для определенности предположим, что для любого x [a, b] f(x) . Составим функцию . По условию M - f(x) > 0 для любого x [a, b].

Функция g(x) определена и непрерывна на [a, b].   Поэтому по теореме она ограничена на [a, b]. Поэтому существует такое число С>0, что для любого x [a, b]выполняется неравенство

.

Обе части неравенства положительны и из его получаем

.

Получаем, что число  является верхней гранью множества значений функции f(x) на  [a, b]. Последнее противоречит определению точной верхней грани. Полученное противоречие доказывает, что имеется такое число x [a, b], что  f(x) = M.

Аналогично доказывается, что функция f(x) достигает на отрезке  [a, b] своей точной нижней грани.

Замечание 1. На рис. 5 показан график функции y = f(x), которой точной нижней грани m в точке с[a, b], а точной верхней грани M в точке b.

На рис. 6 показан график функции y = f(x), для которой не выполняются условие непрерывности, и функция f(x) не достигает на отрезке [a, b] своей верхней и нижней граней.


Рис.
2.

b

y

O

y=f(x)

f(b)

Рис.3.

y

x

O

f(a)

y=f(x)

a

b

a

f(a)

f(b)

Рис.1.

y

x

O

y=f(x)

b

a

f(a)

f(b)

С

С

Рис.4.

y

x

O

y=f(x)

b

a

f(a)

f(b)

с

С

Рис.6.

y

x

O

y=f(x)

b

a

f(a)

f(b)

с

С

Рис.5.

y

x

O

y=f(x)

b

a

f(a)

f(b)

с

M

m

c


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45059. Документація з кадрово-контрактних питань 77 KB
  Документація з кадровоконтрактних питань ПЛАН Заява. ЗАЯВА Заява – це вид документів з кадрово-контрактних питань. Заява – це офіційне повідомлення в усній доповідь або письмовій документ формі в якому викладається певне прохання рідше пропозиція окремої особи чи організації. Розрізняють два основних види заяв: особиста заява яка містить прохання звертання до керівної посадової особи складається власноручно в одному примірнику; службова заява що укладається посадовою особою від власного імені або від організації...
45060. Автобіографія. Документація з кадрово-контрактних питань 124.5 KB
  Після закінчення 1987 р. Після закінчення у 1993 р. Після закінчення коледжу у 1996 р. дотепер – викладач екологічної безпеки Харківського реґіонального інституту післядипломної освіти вчителів.
45061. Довідково-інформаційні документи. Довідка, клопотання, службові записки, звіт. Складні слова в діловій українській мові 135.5 KB
  Утворення і правопис складних слів Складні слова можуть утворюватись за допомогою сполучних звуків і без них. УВАГА З цими словами не слід змішувати складних слів перша частина яких є вищий ступінь прислівника на Е: вищезгаданий нижчепідписаний. При цьому перша основа може закінчуватись: 1 на голосний звук: всюдихід кількаразовий радіокомітет; у словах із числівниками одно дво три чотири: одноденний двозначний триніжок чотирикутник; також у словах із...
45062. Державна мова – мова професійного спілкування 144.5 KB
  Поняття національної та літературної мови. Головні ознаки літературної мови. Отже основною метою нормативної дисципліни “Українська мова професійного спілкування†є усвідомлення системи української мови і розкриття особливостей її функціонування передусім у межах ділового і наукового стилів професійного спілкування. При цьому специфіка курсу полягатиме у тому що він спиратиметься на розмежування культурного і політичного аспектів життя мови.
45063. Поняття про функціональні стилі мови. Стилі сучасної української літературної мови у професійному спілкуванні 227.5 KB
  Стилі сучасної української літературної мови у професійному спілкуванні План Поняття про функціональні стилі мови. Стилістична диференціація сучасної української мови. Функціональні стилі української мови та сфера їх застосування. Специфіка мови професійного спілкування.
45064. Професійна сфера як інтеграція офіційно-ділового, наукового і розмовного стилів 144 KB
  Поняття професійна мова€ охоплює три функціональні різновиди літературної мови – НАУКОВИЙ та ОФІЦІЙНОДІЛОВИЙ стилі. Дослідження історії їх становлення характеру лексичних та граматичних структурних компонентів жанрового багатства специфіки усної та писемної форм вираження – основна мета курсу української мови професійного спілкування. Науковий стиль сучасної української літературної мови почав розвиватися з середини ХІХ ст. не беручи до уваги старої української мови основні традиції якої в науковому стилі втратилися в середині ХVІІІ...
45065. Українська термінологія в професійному спілкуванні, Загальнонаукова, міжгалузева і вузькоспеціальна термінологія 81 KB
  Термінологія - розділ мовознавства що вивчає терміни у цьому значенні все частіше використовують поняття термінознавство як наука що вивчає українську термінологію; 2 сукупність термінів певної мови або однієї певної галузі знання чи з усіх галузей знання. Системність термінології зумовлена двома типами зв’язків які надають сукупності термінів системного характеру: логічним коли між поняттями певної галузі науки існують системні зв’язки – а вони є в кожній науці терміни що називають ці поняття мають бути системно пов’язаними;...
45066. Основи культури української мови 256.5 KB
  Словники у професійному мовленні. Типи словників. Роль словників у підвищенні культури мови. Таким чином точність мовлення великою мірою залежить від глибини знань інтелектуального рівня мовця та ерудиції особистості володіння логікою думки законами її мовного вираження а також від багатства активного словникового запасу мовця.
45067. Острые и транзиторные психотические расстройства (F23) 32 KB
  В этом смысле к данной группе относятся острые и отчасти затяжные реактивные психозы. Острый психоз продолжается от одной до двух недель. Психозы этой группы часто связаны со стрессом поэтому при диагностике указывают ассоциирован психоз со стрессом или нет. Острые транзиторные психозы ассоциированные со стрессом обозначались ранее как реактивные.