22419

Производная и дифференциал функции одной переменной

Лекция

Математика и математический анализ

Производная и дифференциал функции одной переменной Приращение аргумента и приращение функции. Понятие функции дифференцируемой в точке. Дифференциал функции. Производная функции.

Русский

2013-08-03

224 KB

4 чел.

110100, 110600                                           Математика                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 17. Производная и дифференциал функции одной переменной

  1.  Приращение аргумента и приращение функции. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции. 
  2.  Производная  функции.
  3.  Механический и геометрический смысл производной. Геометрический смысл дифференциала.
  4.  Правила нахождения производной.
  5.  Производная сложной функции.
  6.   Производная обратной функции.
  7.  Таблица производных.

Литература: Ильин В.А., с.105-127;  Письменный Д., с. 130-135. Ермаков В.И., с.206-217. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с.98-108.  

  1.  Приращение аргумента и приращение функции. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции.

Пусть функция f определена в некотором интервале (a, b). Возьмем точки x, x0 (a, b). Разность x - x0 называется приращением аргумента x в точке x0 и обозначается символом x. Отсюда x = x0 +x.

Разность f(x) - f(x0) соответствующих значений функции называется приращением функции f(x) в точке x0 , соответствующим приращению аргумента x, или просто приращением функции.

Приращение функции зависит от точки x0 и от приращения аргумента x. Обозначается y, или f, или        f(x0), или  f(x0, x):

y = f(x) - f(x0) = f(x0 +x) - f(x0).

Определение 1. Функция f называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение в точке можно представить в виде

y = Ax + (x)x,                                                                 (1)

где A - постоянная, не зависящая от x, (x) - бесконечно малая при x 0.

Отметим, что постоянная A и бесконечно малая (x) зависят от x0. Определение 1 с использованием   символа о-малое может быть записано в виде:

y = Ax + о(x),                                                                 (1)

при x 0. Последнее равносильно эквивалентности

y  Ax                                                                           (2)

при x 0.

Теорема 1. Если функция f дифференцируемой в точке x0, то она непрерывна в точке x0.

Доказательство. Если функция f дифференцируема в точке x0,  то имеет место равенство (1). Откуда при x 0 получаем, что y 0. Тогда функция f непрерывна в точке x0.

Замечание. Обратное неверно. Например, функция y =x, непрерывна в точке x=0, но не дифференцируема в ней. Действительно, для функции

имеем y = x0 +x - x0. Отсюда при x= 0 имеем y = x - 0 =x. Тогда для x  0 получаем y= -x+0x и для x  0 получаем y= x+0x. Получили, что коэффициенты у главных частей приращения функции справа и слева от точки x =0 различны и функция y = x  не дифференцируема в точке 0.

Имеется пример функции, которая непрерывна но дифференцируема в любой точке числовой оси.

Пример 1. Рассмотрим функцию  y = x2. Тогда

y = f(x) - f(x0) = (x0 +x)2 - x0 2 = 2x0 x + xx  = 2x0 x + о(x).

Отсюда следует, что функция дифференцируема на всей числовой оси.

Определение 2. Пусть функция f дифференцируема в точке x0,. Дифференциалом приращения  f(x0), или дифференциалом функции f в точке x0 называется линейная часть Ax приращения функции f в точке x0.

Дифференциал функции f обозначается символом df, или df(x0). По определению дифференциала для дифференцируемой функции

df(x0) = Ax.

Дифференциал df(x) можно рассматривать как функцию, зависящую от x и x.

Так как приращение функции f(x) = x равно  f = x = 1x + 0x, то по определению дифференциала функции x = dx .

Пример 2. Дифференциал функции  y = x2  равен df(x) = 2x0 x = 2x0 dx.  

  1.  Производная  функции, ее смысл в различных задачах (механический и геометрический смысл производной). Геометрический смысл дифференциала.

Определение 1. Пусть функция f определена в некотором окрестности точки x0.  Производной функции f в точке x0 называется предел отношения приращения f(x0) функции f в точке x0 к соответствующему приращению аргумента x, если приращение аргумента x стремится к нулю.

Обозначается производная функции f(x0) символами

.

Тогда по определению

.                     (1)

 Теорема 1. Если функция f дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда существует в точке x0 конечная производная, при этом коэффициент линейной части приращения функции равен f ' (x0) .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f дифференцируема в точке x0.  Тогда по определению приращение f(x0) функции f в точке x0 представляется в виде

f(x0) = Ax + (x)x,

где A - постоянная, не зависящая от x, (x) - бесконечно малая при x 0. Отсюда предел

существует, конечен и равен производной функции f  в точке x0, f ' (x0) = A.

Достаточность. Пусть функция f  в точке x0 имеет производную.  Тогда по определению производной существует конечный предел

.

По свойству предела функция бесконечно малая при  x 0. Отсюда

f(x0) = Ax + (x)x,

где A - постоянная, не зависящая от x, (x) - бесконечно малая при x 0. По определению функция f дифференцируема в точке x0.

По определению дифференциала из теоремы 1 получаем следующее следствие.

Теорема 2. Если функция f имеет в точке x0 производную, дифференциал функции f  в точке x0 находится по формуле:

df(x0) = f ' (x0)x = f ' (x0)dx.                                                               (2)

Из формул (1) первого параграфа получаем следующие формулы для приращения функции

f(x0) = f ' (x0)x + (x)x = f ' (x0)x + o(x)  f ' (x0)x,                                (3)

при x 0. Так как f(x) - f(x0) =f(x0),то 

f(x) = f(x0) + f ' (x0)x + (x)x = f(x0) +f ' (x0)x + o(x)  f(x0) + f ' (x0)x,                      (3) 

при x  x0. Последнюю формулу можно использовать для приближенного вычисления функции в точках, близких к точке x0.

Определение 2. Пусть функция f определена в левой половине некотором окрестности точки x0.  Левой производной функции f в точке x0 называется левый предел отношения приращения f(x0) функции f в точке x0 к соответствующему приращению аргумента x, если приращение аргумента x стремится к нулю слева.

Тогда по определению

.

Определение 3. Пусть функция f определена в правой половине некотором окрестности точки x0.  Правой производной функции f в точке x0 называется правый предел отношения приращения f(x0) функции f в точке x0 к соответствующему приращению аргумента x, если приращение аргумента x стремится к нулю ссправа

.

 Теорема 1. Если функция f дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда существует в точке x0 конечная производная, при этом коэффициент линейной части приращения функции равен f ' (x0) .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f дифференцируема в точке x0.  Тогда по определен

3. Механический и геометрический смысл производной. Геометрический смысл дифференциала.

Определение 1.  Углом наклона прямой, лежащей на координатной плоскости Oxy, называется угол, который образует прямая с положительным направлением оси Ox (оси абсцисс).

Определение 2. Угловым коэффициентом прямой, лежащей на координатной плоскости Oxy, и неперпендикулярной оси Ox, называется тангенс угла наклона этой прямой.

 Определение 3. Касательной к графику функции y = f(x) в точке (x0 , f(x0)) координатной плоскости Oxy называется такая прямая, проходящая через эту точку (x0 , f(x0)), угловой коэффициент которой равен пределу тангенса угла наклона секущей  (прямой), проходящей через две точки (x0 ,

f(x0)) и (x0+x,  f(x0 +x)), при x 0.

Другими словами можно дать следующее определение касательной.

Определение 3'.  Касательной к графику функции y = f(x) в точке P(x0 , f(x0)) координатной плоскости Oxy, называется прямая, проходящая через точку (x0 , f(x0)), которая является предельным положением секущей PQ, когда точка Q по графику функции f стремится к точке P.

По определению углового коэффициента k касательной получаем, что

.

Поэтому получаем следующее:

Геометрический смысл производной. Производная f ' (x0) функции y = f(x) в точке x0  есть угловой коэффициент касательной  к графику функции y = f(x) на координатной плоскости Oxy в точке (x0 , f(x0)).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку (x0 , y0) имеет вид:

y =  k(x- x0) + y0.

Из сказанного выше и отсюда получаем уравнение касательной к графику дифференцируемой функции y = f(x) в точке (x0 , f(x0)):

y = f ' (x0) (x- x0) + f  (x0).

Механический смысл производной.  Пусть t - текущее время, s(t) - путь, пройденный телом за время   t - t 0 , t 0  начало отсчета. Тогда s(t) - путь, пройденный телом за время от t до t + t, т.е.

s(t) = s(t +t) - s(t ).

Отношение

есть средняя скорость тела за время  [t, t + t]. Предел средней скорости при y 0 мгновенная скорость тела в момент времени t. Таким образом, производная s' (t ) от пути по времени есть мгновенная скорость тела во момент времени t.

Аналогично можно показать, что ускорение тела в момент времени есть производная от скорости по времени.

 Геометрический смысл дифференциала. Пусть функция функции y = f(x) дифференцируема в точке x0 . Тогда существует касательная, проведенная к графику функции y = f(x) в точке   (x0 , f(x0)). Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательно. Уравнение касательной есть

y = f ' (x0) (x- x0) + f  (x0).

Тогда приращение графика касательной, соответствующей приращению аргумента x= x- x0 равно:

f ' (x0) (x- x0) + f  (x0) -  f  (x0) = f ' (x0) (x- x0) = f ' (x0)x = d f (x0).

Следовательно, геометрический смысл дифференциала функции есть приращение графика касательной, соответствующего приращению аргумента x.

4.  Правила нахождения производной и дифференциала.

Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке x0, c R. Тогда справедливы формулы

1) (c ) - производная постоянного равна нулю;

2) (c f(x)) = c f ' (x) - постоянный множитель можно выносить за знак производной;

3) (f(x) g(x)) = f ' (x) g' (x)- производная от суммы разности функций равна соответственно сумме разности этих производных этих функций;

4) (f(x) g(x)) = f ' (x)g (x) +  f(x)g' (x) - производная от суммы разности функций равна соответственно сумме разности этих производных этих функций;

5) .

6) .

Доказательство. 1. По определению производной имеем

2. Пусть f(x) = с - константа. По определению производной имеем

3. По определению производной имеем

При выводе последней формулы учитывается, что функция f(x) непрерывна в точке x, g (x+x) g (x) при x 0.

4. По определению производной имеем

5. По доказанным свойствам имеем

.

Следствие. Для любых дифференцируемых в точке функций f1, f2,…, fn справедлива формула

.

5.  Производная сложной функции.

Теорема 1. Пусть функции g(x) дифференцируема в точке x0, причем g(x0) = y0 , g' (x0) = A. Далее пусть функция f(y) дифференцируема в точке y0, причем f ' (y0)= B. Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) дифференцируема в точке x0, причем  

F ' (x0) = BA,

т.е. справедлива формула

F ' (x0) = f ' (g(x0)) g' (x0).                                                                             (1)

Доказательство. Так как функция g(x) дифференцируема в точке x0, функция f(y) дифференцируема в точке y0 , то имеют место формулы

g(x0) = Ax + (x)x,

f(y0) = By + (y)y,

где (x)- бесконечно малая при x 0, (y) - бесконечно малая при y 0, A = g' (x0), B =f ' (y0), (0) = 0, (0) = 0.

Полагаем во втором равенстве y = g(x0). Тогда получим

f(y0) = Bg(x0) + (g(x0)) g(x0) = B( Ax + (x)x) + (g(x0)) (Ax + (x)x) =

B Ax + (B (x) + A(g(x0))+ (x) (g(x0))) x.

Так как f(y0) = F(x0), то

F(x0) = B Ax + (x)x,

где

(x) = B (x) + A(g(x0))+ (x) (g(x0)).

Так как  функция g(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в точке. Поэтому g(x0))0 при x 0. Тогда по теореме о пределе сложной функции  (g(x0) - бесконечно малая при x 0. Кроме того (x)- бесконечно малая при x 0. Следовательно, по свойству бесконечно малых (x) - бесконечно малая при x 0. Тогда по определению функция F(x) = f(g(x)) дифференцируема в точке x0, и по теореме 1 второго пункта F ' (x0) = BA. 

6. Производная обратной функции.

Теорема 1. Пусть функции f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b], имеет на [a, b] обратную функцию g(y), определенную на отрезке I, концами которого являются числа f(a) и f(b). Пусть далее x0 - внутренняя точка отрезка [a, b], y0 внутренняя точка отрезка I, причем f (x0) = y0, g(y0) = x0. Далее, если функция f(x) дифференцируема в точке x0, и f ' (x0)= B, то обратная  функция g(y) дифференцируема в точке y0, и справедлива формла

  .

Доказательство. Так как для функции f(x) существует обратная функция, то функция f(x) является биекцией и поэтому функция f(x) строго монотонная на [a, b]. По теореме об обратной функции функция g(y) непрерывна и строго монотонна на I. По определению производной

если предел существует. В силу непрерывности функции f (x) в точке и по теореме о пределе обратной функции имеем g(y)g(y0) = x0 при yy0.  По определению обратной функции имеем g (y0) = x0, f (x0)= y0 . Полагаем x  = g (y). Тогда y = f(x) для любых x [a, b]. Таким образом, 

.

Таким образом, .

  1.  Таблица производных.

Вычислим производные элементарных функций, входящих в таблицу.

  1.  Производная степенной функции с натуральным показателем

  1.  Производная корня с натуральным показателем.

Функция  является обратной функцией для функции y =xn. Поэтому

.

Проводя замену переменных y x, x y получаем формулу .

  1.  Производная степенной функции с отрицательным целым показателем m=-n., nN.

  1.  Производная функции ex .

  1.  Производная показательной функции ax .

  1.  Производная функции ln x .

Функция  является обратной функцией для функции y =ex. Поэтому

.

Проводя замену переменных y x, x y получаем формулу .

  1.  Производная функции loga x .

  1.  Производная степенной функции с действительным показателем x .

  1.  Производные тригонометрических функций.

10. Производные обратных тригонометрических функций. Функция  является обратной функцией для функции y =sin x , ex. Поэтому

.

Проводя замену переменных y x, x y получаем формулу .

Аналогично находятся производные для всех остальных обратных тригонометрических функций.

  1.  Производная для гиперболического синуса и косинуса находятся легко из их определений

Далее приведены таблица производных основных элементарных функций, таблица сложных функций, полученных из элементарных подстановкой x  u (u - функция) и таблица дифференциалов.

Таблица производных

Таблица производных сложных функций

Таблица дифференциалов


Рис.
1.

y

x

O

x0

=f(x)

f(x0)

x0+x

A-

y

x

f(x0+x)

Рис.2.

y

x

O

x0

Рис.3.

y

x

O

x0

y=f(x)

f(x0)

x0+x

y

x

f(x0+x)

P

Q

B

C

Рис.4.

y

x

O

x0

y=f(x)

f(x0)

x0+x

y

x

f(x0+x)

P

Q

B

C

Рис.5.

y

x

O

x0

y=f(x)

f(x0)

x0+x

A-

y

x

f(x0+x)

P

A

B

C

df


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29013. Поверхностное уплотнение грунтов укаткой, вибрацией и тяжёлыми трамбовками. Понятие об оптимальной влажности уплотняемого грунта 36 KB
  Понятие об оптимальной влажности уплотняемого грунта. Уплотняемость грунтов особенно пылеватоглинистых в значительной степени зависит от их влажности и определяется максимальной плотностью скелета уплотнённого грунта ρdmax и оптимальной влажностью w0. Эти параметры находятся по методике стандартного уплотнения грунта при различной влажности 40 ударами груза весом 215 Н сбрасываемого с высоты 30 см. По результатам испытания строится график зависимости плотности скелета уплотнённого грунта ρd от влажности грунта w рис.
29014. Глубинное уплотнение грунтов с помощью песчаных и грунтовых свай. Область применения указанных методов 51.5 KB
  Песчаные сваи применяют для уплотнения сильно сжимаемых пылеватоглинистых грунтов рыхлых песков и заторфованных грунтов на глубину до 18. Песчаные сваи изготовляют следующим образом. Вокруг песчаной сваи грунт также находится в уплотнённом состоянии рис. Уплотнение грунта песчаными сваями обычно производится под всем сооружением Сваи располагаются в шахматном порядке как это показано на рис.
29015. Уплотнение грунтов основания водопонижением. Ускорение процесса уплотнения с помощью электроосмоса 33.5 KB
  Площадь основания где намечено уплотнение грунтов окружается иглофильтрами или колодцами из которых производится откачка воды водопонизительными установками рис. Понижение уровня подземных вод приводит к тому что в пределах зоны водопонижения снимается взвешивающее действие воды на скелет грунта. При пропускании через грунт постоянного электрического тока происходит передвижение воды к иглофильтрукатоду и эффективный коэффициент фильтрации увеличивается в 10.
29016. Закрепление грунтов инъекциями цементных или силикатных растворов, битума, синтетических смол. Область применения указанных методов 34 KB
  Закрепление грунтов инъекциями цементных или силикатных растворов битума синтетических смол. Закрепление грунтов заключается в искусственном преобразовании строительных свойств грунтов в условиях их естественного залегания разнообразными физикохимическими методами. Это обеспечивает увеличение прочности грунтов снижение их сжимаемости уменьшение водопроницаемости и чувствительности к изменению внешней среды особенно влажности. Цементация грунтов.
29017. Термическое закрепление грунтов. Область применения и методы контроля качества работ 33.5 KB
  В результате этого образуются прочные водостойкие структурные связи между частицами и агрегатами грунта. Отметим что температура газов которыми производится обработка грунта не должна превышать 750.12 суток в результате чего получается упрочнённый конусообразный массив грунта диаметром поверху 15. Образуется как бы коническая свая из обожжённого непросадочного грунта с прочностью до 10 МПа.
29018. Что называется грунтом, его составные элементы 25 KB
  Структурные связи между частицами грунта. Грунтами называют любые горные породы коры выветривания земли сыпучие или связные прочность связей у которых между частицами во много раз меньше чем прочность самих минеральных частиц или эти связи между частицами отсутствуют вовсе. Вода и газы находятся в порах между твердыми частицами минеральными и органическими. Газообразные включения пары газы всегда в том или ином количестве содержатся в грунтах и могут находиться в следующих состояниях: замкнутом или защемленном располагаясь в...
29019. Назовите виды давления грунта на подпорную стенку в зависимости от ее поступательного движения. Какой вид имеет диаграмма давления грунта на стенку в зависимости от ее перемещения 31.5 KB
  Какой вид имеет диаграмма давления грунта на стенку в зависимости от ее перемещения В зависимости от поступательного движения подпорной стенки на нее могут действовать следующие виды давления грунта: активное давление; пассивное давление; давление покоя. Активным называется минимальное из всех возможных для данной стенки давление на нее грунта проявляющееся в том случае если стенка имеет возможность переместиться в сторону от засыпки рис. Активное давление иногда называют распором. Пассивным называется максимальное из всех возможных...
29020. Напряжения, возникающие в массиве грунта от действия сооружения, накладываются на поле начальных напряжений, к которым относятся напряжения от собственного веса грунта 28 KB
  Напряжения возникающие в массиве грунта от действия сооружения накладываются на поле начальных напряжений к которым относятся напряжения от собственного веса грунта. Как вычислить вертикальные напряжения в массиве грунта от его собственного веса в следующих случаях: однородное основание; многослойное основание; при наличии в толще грунта уровня подземных вод; при наличии ниже уровня подземных вод водоупорного слоя. Вертикальное напряжение от собственного веса грунта σz представляют собой вес столба грунта над рассматриваемой точкой...
29021. От чего зависит глубина заложения фундамента 31.5 KB
  Глубина заложения фундаментов является одним из основных факторов обеспечивающих необходимую несущую способность и деформации основания не превышающие предельных по условиям нормальной эксплуатации здания или сооружения. От чего зависит глубина заложения фундамента Допускается ли закладывать подошвы соседних фундаментов на разных отметках Глубина заложения фундамента определяется: инженерногеологическими условиями площадки строительства физикомеханические свойства грунтов характер напластования и пр.; гидрогеологическими условиями...