22419

Производная и дифференциал функции одной переменной

Лекция

Математика и математический анализ

Производная и дифференциал функции одной переменной Приращение аргумента и приращение функции. Понятие функции дифференцируемой в точке. Дифференциал функции. Производная функции.

Русский

2013-08-03

224 KB

4 чел.

110100, 110600                                           Математика                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 17. Производная и дифференциал функции одной переменной

  1.  Приращение аргумента и приращение функции. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции. 
  2.  Производная  функции.
  3.  Механический и геометрический смысл производной. Геометрический смысл дифференциала.
  4.  Правила нахождения производной.
  5.  Производная сложной функции.
  6.   Производная обратной функции.
  7.  Таблица производных.

Литература: Ильин В.А., с.105-127;  Письменный Д., с. 130-135. Ермаков В.И., с.206-217. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с.98-108.  

  1.  Приращение аргумента и приращение функции. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции.

Пусть функция f определена в некотором интервале (a, b). Возьмем точки x, x0 (a, b). Разность x - x0 называется приращением аргумента x в точке x0 и обозначается символом x. Отсюда x = x0 +x.

Разность f(x) - f(x0) соответствующих значений функции называется приращением функции f(x) в точке x0 , соответствующим приращению аргумента x, или просто приращением функции.

Приращение функции зависит от точки x0 и от приращения аргумента x. Обозначается y, или f, или        f(x0), или  f(x0, x):

y = f(x) - f(x0) = f(x0 +x) - f(x0).

Определение 1. Функция f называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение в точке можно представить в виде

y = Ax + (x)x,                                                                 (1)

где A - постоянная, не зависящая от x, (x) - бесконечно малая при x 0.

Отметим, что постоянная A и бесконечно малая (x) зависят от x0. Определение 1 с использованием   символа о-малое может быть записано в виде:

y = Ax + о(x),                                                                 (1)

при x 0. Последнее равносильно эквивалентности

y  Ax                                                                           (2)

при x 0.

Теорема 1. Если функция f дифференцируемой в точке x0, то она непрерывна в точке x0.

Доказательство. Если функция f дифференцируема в точке x0,  то имеет место равенство (1). Откуда при x 0 получаем, что y 0. Тогда функция f непрерывна в точке x0.

Замечание. Обратное неверно. Например, функция y =x, непрерывна в точке x=0, но не дифференцируема в ней. Действительно, для функции

имеем y = x0 +x - x0. Отсюда при x= 0 имеем y = x - 0 =x. Тогда для x  0 получаем y= -x+0x и для x  0 получаем y= x+0x. Получили, что коэффициенты у главных частей приращения функции справа и слева от точки x =0 различны и функция y = x  не дифференцируема в точке 0.

Имеется пример функции, которая непрерывна но дифференцируема в любой точке числовой оси.

Пример 1. Рассмотрим функцию  y = x2. Тогда

y = f(x) - f(x0) = (x0 +x)2 - x0 2 = 2x0 x + xx  = 2x0 x + о(x).

Отсюда следует, что функция дифференцируема на всей числовой оси.

Определение 2. Пусть функция f дифференцируема в точке x0,. Дифференциалом приращения  f(x0), или дифференциалом функции f в точке x0 называется линейная часть Ax приращения функции f в точке x0.

Дифференциал функции f обозначается символом df, или df(x0). По определению дифференциала для дифференцируемой функции

df(x0) = Ax.

Дифференциал df(x) можно рассматривать как функцию, зависящую от x и x.

Так как приращение функции f(x) = x равно  f = x = 1x + 0x, то по определению дифференциала функции x = dx .

Пример 2. Дифференциал функции  y = x2  равен df(x) = 2x0 x = 2x0 dx.  

  1.  Производная  функции, ее смысл в различных задачах (механический и геометрический смысл производной). Геометрический смысл дифференциала.

Определение 1. Пусть функция f определена в некотором окрестности точки x0.  Производной функции f в точке x0 называется предел отношения приращения f(x0) функции f в точке x0 к соответствующему приращению аргумента x, если приращение аргумента x стремится к нулю.

Обозначается производная функции f(x0) символами

.

Тогда по определению

.                     (1)

 Теорема 1. Если функция f дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда существует в точке x0 конечная производная, при этом коэффициент линейной части приращения функции равен f ' (x0) .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f дифференцируема в точке x0.  Тогда по определению приращение f(x0) функции f в точке x0 представляется в виде

f(x0) = Ax + (x)x,

где A - постоянная, не зависящая от x, (x) - бесконечно малая при x 0. Отсюда предел

существует, конечен и равен производной функции f  в точке x0, f ' (x0) = A.

Достаточность. Пусть функция f  в точке x0 имеет производную.  Тогда по определению производной существует конечный предел

.

По свойству предела функция бесконечно малая при  x 0. Отсюда

f(x0) = Ax + (x)x,

где A - постоянная, не зависящая от x, (x) - бесконечно малая при x 0. По определению функция f дифференцируема в точке x0.

По определению дифференциала из теоремы 1 получаем следующее следствие.

Теорема 2. Если функция f имеет в точке x0 производную, дифференциал функции f  в точке x0 находится по формуле:

df(x0) = f ' (x0)x = f ' (x0)dx.                                                               (2)

Из формул (1) первого параграфа получаем следующие формулы для приращения функции

f(x0) = f ' (x0)x + (x)x = f ' (x0)x + o(x)  f ' (x0)x,                                (3)

при x 0. Так как f(x) - f(x0) =f(x0),то 

f(x) = f(x0) + f ' (x0)x + (x)x = f(x0) +f ' (x0)x + o(x)  f(x0) + f ' (x0)x,                      (3) 

при x  x0. Последнюю формулу можно использовать для приближенного вычисления функции в точках, близких к точке x0.

Определение 2. Пусть функция f определена в левой половине некотором окрестности точки x0.  Левой производной функции f в точке x0 называется левый предел отношения приращения f(x0) функции f в точке x0 к соответствующему приращению аргумента x, если приращение аргумента x стремится к нулю слева.

Тогда по определению

.

Определение 3. Пусть функция f определена в правой половине некотором окрестности точки x0.  Правой производной функции f в точке x0 называется правый предел отношения приращения f(x0) функции f в точке x0 к соответствующему приращению аргумента x, если приращение аргумента x стремится к нулю ссправа

.

 Теорема 1. Если функция f дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда существует в точке x0 конечная производная, при этом коэффициент линейной части приращения функции равен f ' (x0) .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f дифференцируема в точке x0.  Тогда по определен

3. Механический и геометрический смысл производной. Геометрический смысл дифференциала.

Определение 1.  Углом наклона прямой, лежащей на координатной плоскости Oxy, называется угол, который образует прямая с положительным направлением оси Ox (оси абсцисс).

Определение 2. Угловым коэффициентом прямой, лежащей на координатной плоскости Oxy, и неперпендикулярной оси Ox, называется тангенс угла наклона этой прямой.

 Определение 3. Касательной к графику функции y = f(x) в точке (x0 , f(x0)) координатной плоскости Oxy называется такая прямая, проходящая через эту точку (x0 , f(x0)), угловой коэффициент которой равен пределу тангенса угла наклона секущей  (прямой), проходящей через две точки (x0 ,

f(x0)) и (x0+x,  f(x0 +x)), при x 0.

Другими словами можно дать следующее определение касательной.

Определение 3'.  Касательной к графику функции y = f(x) в точке P(x0 , f(x0)) координатной плоскости Oxy, называется прямая, проходящая через точку (x0 , f(x0)), которая является предельным положением секущей PQ, когда точка Q по графику функции f стремится к точке P.

По определению углового коэффициента k касательной получаем, что

.

Поэтому получаем следующее:

Геометрический смысл производной. Производная f ' (x0) функции y = f(x) в точке x0  есть угловой коэффициент касательной  к графику функции y = f(x) на координатной плоскости Oxy в точке (x0 , f(x0)).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку (x0 , y0) имеет вид:

y =  k(x- x0) + y0.

Из сказанного выше и отсюда получаем уравнение касательной к графику дифференцируемой функции y = f(x) в точке (x0 , f(x0)):

y = f ' (x0) (x- x0) + f  (x0).

Механический смысл производной.  Пусть t - текущее время, s(t) - путь, пройденный телом за время   t - t 0 , t 0  начало отсчета. Тогда s(t) - путь, пройденный телом за время от t до t + t, т.е.

s(t) = s(t +t) - s(t ).

Отношение

есть средняя скорость тела за время  [t, t + t]. Предел средней скорости при y 0 мгновенная скорость тела в момент времени t. Таким образом, производная s' (t ) от пути по времени есть мгновенная скорость тела во момент времени t.

Аналогично можно показать, что ускорение тела в момент времени есть производная от скорости по времени.

 Геометрический смысл дифференциала. Пусть функция функции y = f(x) дифференцируема в точке x0 . Тогда существует касательная, проведенная к графику функции y = f(x) в точке   (x0 , f(x0)). Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательно. Уравнение касательной есть

y = f ' (x0) (x- x0) + f  (x0).

Тогда приращение графика касательной, соответствующей приращению аргумента x= x- x0 равно:

f ' (x0) (x- x0) + f  (x0) -  f  (x0) = f ' (x0) (x- x0) = f ' (x0)x = d f (x0).

Следовательно, геометрический смысл дифференциала функции есть приращение графика касательной, соответствующего приращению аргумента x.

4.  Правила нахождения производной и дифференциала.

Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке x0, c R. Тогда справедливы формулы

1) (c ) - производная постоянного равна нулю;

2) (c f(x)) = c f ' (x) - постоянный множитель можно выносить за знак производной;

3) (f(x) g(x)) = f ' (x) g' (x)- производная от суммы разности функций равна соответственно сумме разности этих производных этих функций;

4) (f(x) g(x)) = f ' (x)g (x) +  f(x)g' (x) - производная от суммы разности функций равна соответственно сумме разности этих производных этих функций;

5) .

6) .

Доказательство. 1. По определению производной имеем

2. Пусть f(x) = с - константа. По определению производной имеем

3. По определению производной имеем

При выводе последней формулы учитывается, что функция f(x) непрерывна в точке x, g (x+x) g (x) при x 0.

4. По определению производной имеем

5. По доказанным свойствам имеем

.

Следствие. Для любых дифференцируемых в точке функций f1, f2,…, fn справедлива формула

.

5.  Производная сложной функции.

Теорема 1. Пусть функции g(x) дифференцируема в точке x0, причем g(x0) = y0 , g' (x0) = A. Далее пусть функция f(y) дифференцируема в точке y0, причем f ' (y0)= B. Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) дифференцируема в точке x0, причем  

F ' (x0) = BA,

т.е. справедлива формула

F ' (x0) = f ' (g(x0)) g' (x0).                                                                             (1)

Доказательство. Так как функция g(x) дифференцируема в точке x0, функция f(y) дифференцируема в точке y0 , то имеют место формулы

g(x0) = Ax + (x)x,

f(y0) = By + (y)y,

где (x)- бесконечно малая при x 0, (y) - бесконечно малая при y 0, A = g' (x0), B =f ' (y0), (0) = 0, (0) = 0.

Полагаем во втором равенстве y = g(x0). Тогда получим

f(y0) = Bg(x0) + (g(x0)) g(x0) = B( Ax + (x)x) + (g(x0)) (Ax + (x)x) =

B Ax + (B (x) + A(g(x0))+ (x) (g(x0))) x.

Так как f(y0) = F(x0), то

F(x0) = B Ax + (x)x,

где

(x) = B (x) + A(g(x0))+ (x) (g(x0)).

Так как  функция g(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в точке. Поэтому g(x0))0 при x 0. Тогда по теореме о пределе сложной функции  (g(x0) - бесконечно малая при x 0. Кроме того (x)- бесконечно малая при x 0. Следовательно, по свойству бесконечно малых (x) - бесконечно малая при x 0. Тогда по определению функция F(x) = f(g(x)) дифференцируема в точке x0, и по теореме 1 второго пункта F ' (x0) = BA. 

6. Производная обратной функции.

Теорема 1. Пусть функции f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b], имеет на [a, b] обратную функцию g(y), определенную на отрезке I, концами которого являются числа f(a) и f(b). Пусть далее x0 - внутренняя точка отрезка [a, b], y0 внутренняя точка отрезка I, причем f (x0) = y0, g(y0) = x0. Далее, если функция f(x) дифференцируема в точке x0, и f ' (x0)= B, то обратная  функция g(y) дифференцируема в точке y0, и справедлива формла

  .

Доказательство. Так как для функции f(x) существует обратная функция, то функция f(x) является биекцией и поэтому функция f(x) строго монотонная на [a, b]. По теореме об обратной функции функция g(y) непрерывна и строго монотонна на I. По определению производной

если предел существует. В силу непрерывности функции f (x) в точке и по теореме о пределе обратной функции имеем g(y)g(y0) = x0 при yy0.  По определению обратной функции имеем g (y0) = x0, f (x0)= y0 . Полагаем x  = g (y). Тогда y = f(x) для любых x [a, b]. Таким образом, 

.

Таким образом, .

  1.  Таблица производных.

Вычислим производные элементарных функций, входящих в таблицу.

  1.  Производная степенной функции с натуральным показателем

  1.  Производная корня с натуральным показателем.

Функция  является обратной функцией для функции y =xn. Поэтому

.

Проводя замену переменных y x, x y получаем формулу .

  1.  Производная степенной функции с отрицательным целым показателем m=-n., nN.

  1.  Производная функции ex .

  1.  Производная показательной функции ax .

  1.  Производная функции ln x .

Функция  является обратной функцией для функции y =ex. Поэтому

.

Проводя замену переменных y x, x y получаем формулу .

  1.  Производная функции loga x .

  1.  Производная степенной функции с действительным показателем x .

  1.  Производные тригонометрических функций.

10. Производные обратных тригонометрических функций. Функция  является обратной функцией для функции y =sin x , ex. Поэтому

.

Проводя замену переменных y x, x y получаем формулу .

Аналогично находятся производные для всех остальных обратных тригонометрических функций.

  1.  Производная для гиперболического синуса и косинуса находятся легко из их определений

Далее приведены таблица производных основных элементарных функций, таблица сложных функций, полученных из элементарных подстановкой x  u (u - функция) и таблица дифференциалов.

Таблица производных

Таблица производных сложных функций

Таблица дифференциалов


Рис.
1.

y

x

O

x0

=f(x)

f(x0)

x0+x

A-

y

x

f(x0+x)

Рис.2.

y

x

O

x0

Рис.3.

y

x

O

x0

y=f(x)

f(x0)

x0+x

y

x

f(x0+x)

P

Q

B

C

Рис.4.

y

x

O

x0

y=f(x)

f(x0)

x0+x

y

x

f(x0+x)

P

Q

B

C

Рис.5.

y

x

O

x0

y=f(x)

f(x0)

x0+x

A-

y

x

f(x0+x)

P

A

B

C

df


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79050. Наука как познавательная деятельность 24.5 KB
  Особенности науки и ее взаимосвязи с другими способами познавательной деятельности и культуры находят свое выражение в 3х основных аспектах ее существования и функционирования. Как и другие способы познания наука возникает из практической деятельности людей. Основными системообразующими факторами способствующими превращению науки в важнейший и определяющий способ познавательной деятельности являются: ориентация на объективный характер закономерностей изучаемых предметов и открывает возможность опережающего изучения объектов неохваченных...
79052. Наука как особая сфера культуры 24 KB
  Не следует также забывать что в своем развитии наука взаимодействует и с другими формами общественного сознания искусство мораль философия религия а также и с социальными институтами общества. Поэтому правильное представление о роли и месте науки в общей системе культуры можно получить только тогда когда будут учитываться вопервых многообразные ее связи и взаимодействия с другими компонентами культуры вовторых раскрыты специфические особенности отличающие ее от других форм культуры способов познания и социальных институтов....
79053. Вклад позитивизма в становление философии науки 30 KB
  Вклад позитивизма в становление философии науки. Огюст Конт 1798 1857 родоначальника позитивизма позитивной философии в тех аспектах которые были связаны с высокой оценкой научности как важнейшего качества знания. Понятие ldquo;позитивизмrdquo; обозначает призыв философам отказаться от метафизических абстракций т. Отчасти позитивизм заключается в антифилософской реакции против рационализма идеализма спиритуализма и обращается в тоже время к материализму.
79054. Проблема «опыта» и истины в философии науки нач. 20 в. (Э. Мах, Авинариус, А. Пуанкаре) 34.5 KB
  Проблема опыта и истины в философии науки нач. Эмпириокритицизм философская система чистого опыта критический эмпиризм который стремиться ограничить философию изложением данных опыта при полном исключении всякой метафизики с целью выработки и естественного понятия о мире. Нейтральный элемент опыта одновременное включение духовного и материального начала. Авенариусом буквально означает критику опыта.
79055. Вклад неопозитивизма в развитии логики и методологии науки 37 KB
  Вклад неопозитивизма в развитии логики и методологии науки. Логика науки – применение идей методов и аппарата логики в анализе научного познания. Развитие логики всегда было тесно связано с практикой теоретического мышления и прежде всего с развитием науки. Методология науки в традиционном понимании это учение о методах и процедурах научной деятельности а также раздел общей теории познания в особенности теории научного познания эпистемологии и философии науки.
79056. Концепция философии науки Т. Куна 25.5 KB
  Концепция философии науки Т. Важнейшей характеристикой знания является его динамика его рост изменение развитие В современной западной философии проблема роста развития знания является центральной в философии науки. переход к новому периоду нормальной науки . Причем последние гораздо более редки в истории развития науки по сравнению с первыми.
79057. Концепция философии науки К. Поппера 28.5 KB
  Карл Поппер предложил в 1967 году различать следующие три мира: во-первых мир физических объектов или физических состояний; во-вторых мир состояний сознания мыслительных ментальных состояний в-третьих мир объективного содержания мышления мир научных идей проблем поэтических мыслей и произведений искусства. Этот третий мир вполне объективен и осязаем. Это мир книг библиотек географических карт мир произведений живописи. Концепция Поппера подчёркивает своеобразие и загадочность знания как объекта исследования: для того чтобы...