22419

Производная и дифференциал функции одной переменной

Лекция

Математика и математический анализ

Производная и дифференциал функции одной переменной Приращение аргумента и приращение функции. Понятие функции дифференцируемой в точке. Дифференциал функции. Производная функции.

Русский

2013-08-03

224 KB

6 чел.

110100, 110600                                           Математика                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 17. Производная и дифференциал функции одной переменной

  1.  Приращение аргумента и приращение функции. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции. 
  2.  Производная  функции.
  3.  Механический и геометрический смысл производной. Геометрический смысл дифференциала.
  4.  Правила нахождения производной.
  5.  Производная сложной функции.
  6.   Производная обратной функции.
  7.  Таблица производных.

Литература: Ильин В.А., с.105-127;  Письменный Д., с. 130-135. Ермаков В.И., с.206-217. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с.98-108.  

  1.  Приращение аргумента и приращение функции. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции.

Пусть функция f определена в некотором интервале (a, b). Возьмем точки x, x0 (a, b). Разность x - x0 называется приращением аргумента x в точке x0 и обозначается символом x. Отсюда x = x0 +x.

Разность f(x) - f(x0) соответствующих значений функции называется приращением функции f(x) в точке x0 , соответствующим приращению аргумента x, или просто приращением функции.

Приращение функции зависит от точки x0 и от приращения аргумента x. Обозначается y, или f, или        f(x0), или  f(x0, x):

y = f(x) - f(x0) = f(x0 +x) - f(x0).

Определение 1. Функция f называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение в точке можно представить в виде

y = Ax + (x)x,                                                                 (1)

где A - постоянная, не зависящая от x, (x) - бесконечно малая при x 0.

Отметим, что постоянная A и бесконечно малая (x) зависят от x0. Определение 1 с использованием   символа о-малое может быть записано в виде:

y = Ax + о(x),                                                                 (1)

при x 0. Последнее равносильно эквивалентности

y  Ax                                                                           (2)

при x 0.

Теорема 1. Если функция f дифференцируемой в точке x0, то она непрерывна в точке x0.

Доказательство. Если функция f дифференцируема в точке x0,  то имеет место равенство (1). Откуда при x 0 получаем, что y 0. Тогда функция f непрерывна в точке x0.

Замечание. Обратное неверно. Например, функция y =x, непрерывна в точке x=0, но не дифференцируема в ней. Действительно, для функции

имеем y = x0 +x - x0. Отсюда при x= 0 имеем y = x - 0 =x. Тогда для x  0 получаем y= -x+0x и для x  0 получаем y= x+0x. Получили, что коэффициенты у главных частей приращения функции справа и слева от точки x =0 различны и функция y = x  не дифференцируема в точке 0.

Имеется пример функции, которая непрерывна но дифференцируема в любой точке числовой оси.

Пример 1. Рассмотрим функцию  y = x2. Тогда

y = f(x) - f(x0) = (x0 +x)2 - x0 2 = 2x0 x + xx  = 2x0 x + о(x).

Отсюда следует, что функция дифференцируема на всей числовой оси.

Определение 2. Пусть функция f дифференцируема в точке x0,. Дифференциалом приращения  f(x0), или дифференциалом функции f в точке x0 называется линейная часть Ax приращения функции f в точке x0.

Дифференциал функции f обозначается символом df, или df(x0). По определению дифференциала для дифференцируемой функции

df(x0) = Ax.

Дифференциал df(x) можно рассматривать как функцию, зависящую от x и x.

Так как приращение функции f(x) = x равно  f = x = 1x + 0x, то по определению дифференциала функции x = dx .

Пример 2. Дифференциал функции  y = x2  равен df(x) = 2x0 x = 2x0 dx.  

  1.  Производная  функции, ее смысл в различных задачах (механический и геометрический смысл производной). Геометрический смысл дифференциала.

Определение 1. Пусть функция f определена в некотором окрестности точки x0.  Производной функции f в точке x0 называется предел отношения приращения f(x0) функции f в точке x0 к соответствующему приращению аргумента x, если приращение аргумента x стремится к нулю.

Обозначается производная функции f(x0) символами

.

Тогда по определению

.                     (1)

 Теорема 1. Если функция f дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда существует в точке x0 конечная производная, при этом коэффициент линейной части приращения функции равен f ' (x0) .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f дифференцируема в точке x0.  Тогда по определению приращение f(x0) функции f в точке x0 представляется в виде

f(x0) = Ax + (x)x,

где A - постоянная, не зависящая от x, (x) - бесконечно малая при x 0. Отсюда предел

существует, конечен и равен производной функции f  в точке x0, f ' (x0) = A.

Достаточность. Пусть функция f  в точке x0 имеет производную.  Тогда по определению производной существует конечный предел

.

По свойству предела функция бесконечно малая при  x 0. Отсюда

f(x0) = Ax + (x)x,

где A - постоянная, не зависящая от x, (x) - бесконечно малая при x 0. По определению функция f дифференцируема в точке x0.

По определению дифференциала из теоремы 1 получаем следующее следствие.

Теорема 2. Если функция f имеет в точке x0 производную, дифференциал функции f  в точке x0 находится по формуле:

df(x0) = f ' (x0)x = f ' (x0)dx.                                                               (2)

Из формул (1) первого параграфа получаем следующие формулы для приращения функции

f(x0) = f ' (x0)x + (x)x = f ' (x0)x + o(x)  f ' (x0)x,                                (3)

при x 0. Так как f(x) - f(x0) =f(x0),то 

f(x) = f(x0) + f ' (x0)x + (x)x = f(x0) +f ' (x0)x + o(x)  f(x0) + f ' (x0)x,                      (3) 

при x  x0. Последнюю формулу можно использовать для приближенного вычисления функции в точках, близких к точке x0.

Определение 2. Пусть функция f определена в левой половине некотором окрестности точки x0.  Левой производной функции f в точке x0 называется левый предел отношения приращения f(x0) функции f в точке x0 к соответствующему приращению аргумента x, если приращение аргумента x стремится к нулю слева.

Тогда по определению

.

Определение 3. Пусть функция f определена в правой половине некотором окрестности точки x0.  Правой производной функции f в точке x0 называется правый предел отношения приращения f(x0) функции f в точке x0 к соответствующему приращению аргумента x, если приращение аргумента x стремится к нулю ссправа

.

 Теорема 1. Если функция f дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда существует в точке x0 конечная производная, при этом коэффициент линейной части приращения функции равен f ' (x0) .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f дифференцируема в точке x0.  Тогда по определен

3. Механический и геометрический смысл производной. Геометрический смысл дифференциала.

Определение 1.  Углом наклона прямой, лежащей на координатной плоскости Oxy, называется угол, который образует прямая с положительным направлением оси Ox (оси абсцисс).

Определение 2. Угловым коэффициентом прямой, лежащей на координатной плоскости Oxy, и неперпендикулярной оси Ox, называется тангенс угла наклона этой прямой.

 Определение 3. Касательной к графику функции y = f(x) в точке (x0 , f(x0)) координатной плоскости Oxy называется такая прямая, проходящая через эту точку (x0 , f(x0)), угловой коэффициент которой равен пределу тангенса угла наклона секущей  (прямой), проходящей через две точки (x0 ,

f(x0)) и (x0+x,  f(x0 +x)), при x 0.

Другими словами можно дать следующее определение касательной.

Определение 3'.  Касательной к графику функции y = f(x) в точке P(x0 , f(x0)) координатной плоскости Oxy, называется прямая, проходящая через точку (x0 , f(x0)), которая является предельным положением секущей PQ, когда точка Q по графику функции f стремится к точке P.

По определению углового коэффициента k касательной получаем, что

.

Поэтому получаем следующее:

Геометрический смысл производной. Производная f ' (x0) функции y = f(x) в точке x0  есть угловой коэффициент касательной  к графику функции y = f(x) на координатной плоскости Oxy в точке (x0 , f(x0)).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку (x0 , y0) имеет вид:

y =  k(x- x0) + y0.

Из сказанного выше и отсюда получаем уравнение касательной к графику дифференцируемой функции y = f(x) в точке (x0 , f(x0)):

y = f ' (x0) (x- x0) + f  (x0).

Механический смысл производной.  Пусть t - текущее время, s(t) - путь, пройденный телом за время   t - t 0 , t 0  начало отсчета. Тогда s(t) - путь, пройденный телом за время от t до t + t, т.е.

s(t) = s(t +t) - s(t ).

Отношение

есть средняя скорость тела за время  [t, t + t]. Предел средней скорости при y 0 мгновенная скорость тела в момент времени t. Таким образом, производная s' (t ) от пути по времени есть мгновенная скорость тела во момент времени t.

Аналогично можно показать, что ускорение тела в момент времени есть производная от скорости по времени.

 Геометрический смысл дифференциала. Пусть функция функции y = f(x) дифференцируема в точке x0 . Тогда существует касательная, проведенная к графику функции y = f(x) в точке   (x0 , f(x0)). Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательно. Уравнение касательной есть

y = f ' (x0) (x- x0) + f  (x0).

Тогда приращение графика касательной, соответствующей приращению аргумента x= x- x0 равно:

f ' (x0) (x- x0) + f  (x0) -  f  (x0) = f ' (x0) (x- x0) = f ' (x0)x = d f (x0).

Следовательно, геометрический смысл дифференциала функции есть приращение графика касательной, соответствующего приращению аргумента x.

4.  Правила нахождения производной и дифференциала.

Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке x0, c R. Тогда справедливы формулы

1) (c ) - производная постоянного равна нулю;

2) (c f(x)) = c f ' (x) - постоянный множитель можно выносить за знак производной;

3) (f(x) g(x)) = f ' (x) g' (x)- производная от суммы разности функций равна соответственно сумме разности этих производных этих функций;

4) (f(x) g(x)) = f ' (x)g (x) +  f(x)g' (x) - производная от суммы разности функций равна соответственно сумме разности этих производных этих функций;

5) .

6) .

Доказательство. 1. По определению производной имеем

2. Пусть f(x) = с - константа. По определению производной имеем

3. По определению производной имеем

При выводе последней формулы учитывается, что функция f(x) непрерывна в точке x, g (x+x) g (x) при x 0.

4. По определению производной имеем

5. По доказанным свойствам имеем

.

Следствие. Для любых дифференцируемых в точке функций f1, f2,…, fn справедлива формула

.

5.  Производная сложной функции.

Теорема 1. Пусть функции g(x) дифференцируема в точке x0, причем g(x0) = y0 , g' (x0) = A. Далее пусть функция f(y) дифференцируема в точке y0, причем f ' (y0)= B. Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) дифференцируема в точке x0, причем  

F ' (x0) = BA,

т.е. справедлива формула

F ' (x0) = f ' (g(x0)) g' (x0).                                                                             (1)

Доказательство. Так как функция g(x) дифференцируема в точке x0, функция f(y) дифференцируема в точке y0 , то имеют место формулы

g(x0) = Ax + (x)x,

f(y0) = By + (y)y,

где (x)- бесконечно малая при x 0, (y) - бесконечно малая при y 0, A = g' (x0), B =f ' (y0), (0) = 0, (0) = 0.

Полагаем во втором равенстве y = g(x0). Тогда получим

f(y0) = Bg(x0) + (g(x0)) g(x0) = B( Ax + (x)x) + (g(x0)) (Ax + (x)x) =

B Ax + (B (x) + A(g(x0))+ (x) (g(x0))) x.

Так как f(y0) = F(x0), то

F(x0) = B Ax + (x)x,

где

(x) = B (x) + A(g(x0))+ (x) (g(x0)).

Так как  функция g(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в точке. Поэтому g(x0))0 при x 0. Тогда по теореме о пределе сложной функции  (g(x0) - бесконечно малая при x 0. Кроме того (x)- бесконечно малая при x 0. Следовательно, по свойству бесконечно малых (x) - бесконечно малая при x 0. Тогда по определению функция F(x) = f(g(x)) дифференцируема в точке x0, и по теореме 1 второго пункта F ' (x0) = BA. 

6. Производная обратной функции.

Теорема 1. Пусть функции f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b], имеет на [a, b] обратную функцию g(y), определенную на отрезке I, концами которого являются числа f(a) и f(b). Пусть далее x0 - внутренняя точка отрезка [a, b], y0 внутренняя точка отрезка I, причем f (x0) = y0, g(y0) = x0. Далее, если функция f(x) дифференцируема в точке x0, и f ' (x0)= B, то обратная  функция g(y) дифференцируема в точке y0, и справедлива формла

  .

Доказательство. Так как для функции f(x) существует обратная функция, то функция f(x) является биекцией и поэтому функция f(x) строго монотонная на [a, b]. По теореме об обратной функции функция g(y) непрерывна и строго монотонна на I. По определению производной

если предел существует. В силу непрерывности функции f (x) в точке и по теореме о пределе обратной функции имеем g(y)g(y0) = x0 при yy0.  По определению обратной функции имеем g (y0) = x0, f (x0)= y0 . Полагаем x  = g (y). Тогда y = f(x) для любых x [a, b]. Таким образом, 

.

Таким образом, .

  1.  Таблица производных.

Вычислим производные элементарных функций, входящих в таблицу.

  1.  Производная степенной функции с натуральным показателем

  1.  Производная корня с натуральным показателем.

Функция  является обратной функцией для функции y =xn. Поэтому

.

Проводя замену переменных y x, x y получаем формулу .

  1.  Производная степенной функции с отрицательным целым показателем m=-n., nN.

  1.  Производная функции ex .

  1.  Производная показательной функции ax .

  1.  Производная функции ln x .

Функция  является обратной функцией для функции y =ex. Поэтому

.

Проводя замену переменных y x, x y получаем формулу .

  1.  Производная функции loga x .

  1.  Производная степенной функции с действительным показателем x .

  1.  Производные тригонометрических функций.

10. Производные обратных тригонометрических функций. Функция  является обратной функцией для функции y =sin x , ex. Поэтому

.

Проводя замену переменных y x, x y получаем формулу .

Аналогично находятся производные для всех остальных обратных тригонометрических функций.

  1.  Производная для гиперболического синуса и косинуса находятся легко из их определений

Далее приведены таблица производных основных элементарных функций, таблица сложных функций, полученных из элементарных подстановкой x  u (u - функция) и таблица дифференциалов.

Таблица производных

Таблица производных сложных функций

Таблица дифференциалов


Рис.
1.

y

x

O

x0

=f(x)

f(x0)

x0+x

A-

y

x

f(x0+x)

Рис.2.

y

x

O

x0

Рис.3.

y

x

O

x0

y=f(x)

f(x0)

x0+x

y

x

f(x0+x)

P

Q

B

C

Рис.4.

y

x

O

x0

y=f(x)

f(x0)

x0+x

y

x

f(x0+x)

P

Q

B

C

Рис.5.

y

x

O

x0

y=f(x)

f(x0)

x0+x

A-

y

x

f(x0+x)

P

A

B

C

df


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43137. Какова сущность, функции и структура морали 35.5 KB
  Всем известно, что человек — это индивид, умеющий себя ограничивать. Все мы живем в мире сплошных ограничений. Можно с уверенностью сказать, что человек и человеческое общество возникли тогда, когда научились себя ограничивать. Так, например первыми законами были законы, запрещающие браки между родственниками.
43138. Методика викладання теми “Основні поняття алгоритмізації” у 8 класах 2.21 MB
  У житті ми постійно складаємо опис деякої послідовності дій для досягнення бажаного результату, тому поняття алгоритму не є для нас чимось новим і незвичайним. Кожен із нас використовує сотні різних алгоритмів. Але рішення завдання на комп'ютері неможливо без створення алгоритму. Вміння виконувати завдання, розробляти стратегію її вирішення, висувати і доводити гіпотези досвідченим шляхом, прогнозувати результати своєї діяльності, аналізувати і знаходити раціональні способи вирішення завдання шляхом оптимізації, деталізації створеного алгоритму дозволяють судити про рівень розвитку алгоритмічного мислення школярів. Тому необхідно особливу увагу приділяти алгоритмічному мисленню підростаючого покоління.
43139. Програмування. Методичні вказівки 206 KB
  Тема першого завдання використання візуальних компонентів із вкладок компонентів Stndrt System dditionl при роботі з масивами даних. Оброблений масив список даних вивести в таблицю MS Word створену за допомогою Delphi. Друге завдання створення баз даних та обробка інформації з них. База даних створюється за допомогою утілити Dtbse Desktop або за допомогою інших програм створення баз даних наприклад MS ccess.
43140. Синтез автомата по заданому алгоритму роботи 1.49 MB
  Система з чотирьох перемикальніх функцій задана таблицею 2.1 таблиця істиності заданих функцій Необхідно виконати сумісну мінімізацію функцій f1 f2 f3. Отримати операторні представлення для реалізації системи функцій на програмувальних логічних матрицях. 4 Етапи проектування і терміни їх виконання 1 Розмітка станів автомата 2 Формування вхідного та вихідного алфавітів 3 Побудова графа автомата 4 Побудова таблиці переходів 5 Побудова структурної таблиці автомата 6 Синтез комбинаційних схем для функцій збудження тригерів і вихідних...
43141. Туристский потенциал Вологодской области 108 KB
  Эмпирическую базу курсовой работы составили российские правовые акты; нормативные документы; отчетность и аналитические материалы региональных органов власти (Департамента развития муниципальных образований Вологодской области, Департамента культуры и охраны культурного наследия Вологодской области, Департамента международных, межрегиональных связей и туризма Вологодской области); официальные статистические данные в сфере туризма.
43142. Топонимика как наука о географических названиях 260 KB
  Топонимика как наука о географических названиях В современном русском языке существуют сотни тысяч нарицательных слов обозначающих предметы и их свойства явления природы и другие реалии нашей жизни. Кроме них существует и другой особый мир слов выполняющих функцию выделения индивидуализации и представляющих собой разнообразные имена и названия. Географические названия окружают человека всюду. Таким образом географические названия отражают не только историю природные условия данной местности языковые особенности народа но и могут...
43143. Функциональное зонирование городских земель и анализ негативных процессов на них 9.58 MB
  Функциональное зонирование городских земель и анализ негативных процессов на них. Функциональное зонирование городских земель. Выделение состава городских земель и расчет их баланса.
43144. Создание автоматизированной системы управления персоналом для предприятия ОАО «КЗПК» 189 KB
  С появлением первых средств автоматизации были разработаны и первые программы учета и управления персоналом, число которых как в России, так и в других странах мира исчисляется сейчас сотнями. Если говорить о России, то каждое уважающее себя предприятие или организация, имевшие собственный отдел АСУ, еще в 1980-е гг. пользовались программами учета персонала собственной разработки. Эти программы опирались на различные аппаратные платформы (начиная от мэйнфреймов и заканчивая ПК) и инструментальные средства (начиная от PL-1 и заканчивая Clipper и FoxPro).
43145. Разработка пакета автоматизации делопроизводства предприятия 36 KB
  Создать шаблон включающий: логотип рисунок надпись MS Wordrt. В шаблоне создать и или модифицировать стили не менее 5. Создать базу данных в которой реализован автоматизированный учет продаж оказания услуг аналогично тому который реализован в книге Учет MS Excel. Создать таблицы схему данных обеспечить подстановку.