22420

Теоремы о дифференцируемых функциях. Производные и дифференциалы высших порядков

Лекция

Математика и математический анализ

Производные и дифференциалы высших порядков Возрастание и убывание функции в точке. Точки экстремума функции. Линеаризация функции. Приближенное вычисление значений функции.

Русский

2013-08-03

246.5 KB

0 чел.

110100, 110600                                                  Математика                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 18. Теоремы о дифференцируемых функциях. Производные и дифференциалы высших порядков

  1.  Возрастание и убывание функции в точке.
  2.  Точки экстремума функции. Теорема Ферма.
  3.  Теорема Ролля.
  4.  Теорема Лагранжа и ее некоторые применения. Теорема Коши.
  5.  Инвариантность формы первого дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Линеаризация функции. Приближенное вычисление значений функции.
  6.  Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.
  7.  Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков.

Литература: Ильин В.А., с.173-182, 251-261 ;  Письменный Д., с. 152-167. Ермаков В.И., с.218-230. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с. 109-125.  Мантуров О.В., Матвеев Н.М., с. 205-215, 421-426.   

  1.  Возрастание и убывание функции в точке.

Пусть внутренняя точка области определения функции f(x).

Определение 1. Функция f называется возрастающей в точке x0, если она возрастает в некоторой  - окрестности точки x0, т.е. для всех x U(x0,)  выполняется неравенства, если x <x0,, то f(x)< f(x0), если x >x0,, то f(x)> f(x0).

Легко проверить, что x0 является точкой возрастания функции f, тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки x0 выполняется условие

.

Определение 2. Функция f называется убывающей в точке x0, если она убывает в некоторой  - окрестности точки x0, т.е. для всех x U(x0,)  выполняется неравенства, если x <x0,, то f(x)> f(x0), если x >x0,, то f(x)< f(x0).

Легко проверить, что x0 является точкой убывания функции f, тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки x0 выполняется условие

.

Определение 3. Точка x0 называется точкой локального максимума функция f , если в некоторой выколотой - окрестности точки x0, выполняется неравенство f(x)< f(x0).

Определение 4. Точка x0 называется точкой локального минимума функция f , если в некоторой выколотой - окрестности точки x0, выполняется неравенство f(x)> f(x0).

Определение 5. Точка x0 называется точкой локального экстремума функция f , если она имеет в этой точке локальный максимум или минимум.

На рис.1 функция f возрастает в точке x3, убывает в точке x5. Точки x1 , x4 являются точками локального максимума, точка x2 - точкой локального минимума функции f.

Теорема 1 (лемма Дарбу- достаточное условие возрастания или убывания функции в точке). 1) Если функция f дифференцируема в точке x0  и f ' (x0) = c > 0, то точка x0 - точка возрастания функции f.

2) Если функция f дифференцируема в точке x0  и f ' (x0) = c < 0, то точка x0 - точка убывания функции f.

Доказательство. Так как

,

то существует такое число =(с/2)>0, что для всех x из проколотой - окрестности точки x0, выполняется неравенство

.

Для всех таких x имеем

.

Отсюда следует, что знаки f(x)- f(x0), x - x0,совпадают и функция возрастает в - окрестности точки x0.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

  1.  Теорема Ферма.

Определение 1. Внутренняя точка x0 области определения функции f называется точкой несобственного локального максимума  функция f , если в некоторой выколотой - окрестности точки x0, выполняется неравенство f(x)< f(x0), т.е.  f(x0) = f(x)- f(x0) 0.

Определение 2. Внутренняя точка x0 области определения функции f называется точкой несобственного локального минимума  функция f , если в некоторой выколотой - окрестности точки x0, выполняется неравенство f(x) > f(x0), т.е.  f(x0) = f(x)- f(x0) 0.

Определение 5. Точка x0 называется точкой несобственного локального экстремума функция f , если она имеет в этой точке несобственный локальный максимум или минимум.

По определению все локальные экстремумы функции являются несобственными экстремумами, но обратное неверно.

Теорема 1 (теорем Ферма). Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке [a, b], x0 -  внутренняя точка отрезка [a, b]. Если точка x0 является точкой экстремума функции f (собственного или несобственного) и функция f в точке x0 имеет производную, то f ' (x0) = 0. 

Доказательство. Пусть для определенности точка x0 несобственного локального максимума. Тогда в некоторой проколотой окрестности точки x0 выполняется неравенство  f(x0) = f(x)- f(x0) 0. Так как в левой половине окрестности  x = x - x0 <0,  а в правой - x = x - x0 > 0, то для любых x из левой половине окрестности и для любых x из правой половины окрестности точки x0 получим соответственно неравенства  

.

Переходя в этих неравенствах к пределу при x 0 получим по определению производной, c одной стороны,  f '(x0)0, a с другой стороны f '(x0)0. Так как эти пределы равны, то выводим f '(x0) = 0.

Аналогично доказывается и случай, когда x0 - точка несобственного локального минимума

Замечания. 1. Из теоремы, следует, что если функция имеет в точке локальный несобственный экстремум, то касательная к графику функции в точке параллельна оси абсцисс ( см. рис. 1).

  1.  Теорема Ролля.

Теорема 1 (теорем Ролля). Пусть для функция f(x) выполняются условия:

  1.  функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b],
  2.  функция f(x) дифференцируема во всех точках интервала (a, b);
  3.  функция f(x) на концах отрезка [a, b] принимает одинаковые значения, т.е. f(a)= f(b).

Тогда на интервале (a, b) существует такая точка с, в которой f ' (с) = 0.

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b],  то она принимает на этом свое наибольшее значения. Тогда найдется такая точка x1 [a, b], в которой функция f(x) принимает наибольшее значение, и найдется такая точка x2 [a, b], в которой функция f(x) принимает наименьшее значение.

Если x1 = x2, то  наибольшее и наименьшее значения функции f(x) совпадают и функция f(x) - постоянная на отрезке  [a, b] и в любой точке с отрезка [a, b] имеем f ' (с) = 0.

Если x1  x2, то  либо f(x1) либо f(x2) не равно f(a)= f(b). Тогда та точка, для которой равенство не имеет смысла внутренняя точка отрезка [a, b] и одновременно является точкой локального экстремума функции f(x). Тогда эту точку обозначаем через с и по теореме Ферма для ее имеем f ' (с) = 0.

Замечание. Теорема Ролля иллюстрируется на рис. 2. Геометрически она обозначает, что при выполнении условий 1-3 теоремы, существует такая точка  с интервала (a, b), что касательная, проведенная к графику функции f(x) в точке с параллельна оси Ox. На рис. 3 приведены графики трех функций, ля каждой из которых одно из условий теоремы Роля нарушается и заключение теоремы неверно (нет точек интервала (a, b) касательные в них параллельной оси Ox). Поэтому все три условия, входящие в теорему Ролля, существенны.

  1.  Теорема Лагранжа и ее некоторые применения. Теорема Коши

Теорема 1 (теорем Лагранжа). Пусть для функция f(x) выполняются условия:

  1.  функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b],
  2.  функция f(x) дифференцируема во всех точках интервала (a, b).

Тогда на интервале (a, b) существует такая точка с, в которой имеет место равенство

f(b) - f(a) =  f ' (с) (b - a).                                                                                (1)

Доказательство. Рассмотрим новую функцию

.

Для функции выполняются все три условия теоремы Ролля: функция F(x) определена и непрерывна на отрезке    [a, b]; функция F(x) дифференцируема во всех точках интервала (a, b); функция F(x) на концах отрезка [a, b] принимает одинаковые значения,

.

Тогда  по теореме Ролля найдется такая точка с(a, b),  что F ' (с)=0. Имеем

.

Тогда в точке с имеем

 

Теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа.

Теорема 1 (теорем Коши). Пусть для функций f(x) и g(x) выполняются условия:

  1.  функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a, b],
  2.  функции f(x) и g(x) дифференцируемы во всех точках интервала (a, b), и g' (x)0 для всех точек x (a, b).

Тогда на интервале (a, b) существует такая точка с, в которой имеет место равенство

.                                                                              (1)

Доказательство. Рассмотрим новую функцию

.

Для функции выполняются все три условия теоремы Ролля: функция F(x) определена и непрерывна на отрезке    [a, b]; функция F(x) дифференцируема во всех точках интервала (a, b); функция F(x) на концах отрезка [a, b] принимает одинаковые значения,

.

Тогда  по теореме Ролля найдется такая точка с(a, b),  что F ' (с)=0. Имеем

.

Так как g' (с)0, то в точке с имеем

  1.  Инвариантность формы первого дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Линеаризация функции. Приближенное вычисление значений функции.

Функция f называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение в точке можно представить в виде

y = Ax + (x)x,                                                                           (1)

где A - постоянная, не зависящая от x, (x) - бесконечно малая при x 0. Дифференциалом приращения  f(x0), или дифференциалом функции f в точке x0 называется линейная часть Ax приращения функции f в точке x0.

Дифференциал функции f обозначается символом df, или df(x0). По определению дифференциала для дифференцируемой функции

df(x0) = Ax.

Имеет место теорема.

Теорема 1. Если функция f имеет в точке x0 производную, дифференциал функции f  в точке x0 находится по формуле:

df(x0) = f ' (x0)x = f ' (x0)dx.                                                               (1)

Пусть функция y = F(x) = f(g(x)) - сложная функция, полученная из функций y = f(u), u = g(x). Тогда имеет место теорема

Теорема 2. Пусть функции g(x) дифференцируема в точке x0, причем g(x0) = y0 , g' (x0) = A. Далее пусть функция f(y) дифференцируема в точке y0, причем f ' (y0)= B. Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) дифференцируема в точке x0, причем  

F ' (x0) = BA,

т.е. справедлива формула

F ' (x0) = f ' (g(x0)) g' (x0).                                                                             (2)

Из этих двух теорем получаем, что

dy = dF(x) = F ' (x0) dx = f ' (g(x0)) g' (x0) dx

Так как g(x0) = u0, g' (x0) dx = du, то получаем

dy = f ' (g(x0)) g' (x0) dx = f ' (u0) du.

Получили, что дифференциал функции y = f(u) при u = g(x) равен производной функции f по переменной u, умноженный на дифференциал переменной u. Это справедливо при любом выборе функции u = g(x). Таким образом первый дифференциал не зависит от того является переменная u независимой или функцией. Таким образом имеет место формула

d f (g(x) = f ' (g(x)) g' (x) dx.

Пусть функция функции y = f(x) дифференцируема в точке x0 . Тогда существует касательная, проведенная к графику функции y = f(x) в точке   (x0 , f(x0)). Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательно. Уравнение касательной есть

y = f ' (x0) (x- x0) + f  (x0).

Тогда приращение графика касательной, соответствующей приращению аргумента x= x- x0 равно:

 f ' (x0) (x- x0) + f  (x0) -  f  (x0) = f ' (x0) (x- x0) = f ' (x0)x = d f (x0).

Следовательно, геометрический смысл дифференциала функции есть приращение графика касательной, соответствующего приращению аргумента x.

Уравнение касательной к графику дифференцируемой функции y = f(x) в точке (x0 , f(x0)):

y = f ' (x0) (x- x0) + f  (x0).

Касательная к графику функции является более простой линией, чем график функции. Касательная, в точках близких к точке касания (x0 , f(x0)) хорошо приближается к графику функции y = f(x) и отражает поведение функции в достаточно малой окрестности точки касания. Иногда можно заменить исследование функции исследованием касательной. Так как касательная к графику функции является линейной функцией, то такая замена называется линеаризацией.  Таким в окрестности точки x0 имеет место приближенное равенство

 f  (x)  f ' (x0) (x- x0) + f  (x0).                                                                         (1)

Смысл этого равенства следует из определения дифференцируемой функции

 f  (x0) = f  (x) - f  (x0) = f ' (x0)x + о(x).

Формула (1) используется для приближенного вычисления значения функции f  (x) в окрестности точки x0 .

Пример 1. Вычислить . Рассмотрим функцию f  (x)=  . Вычисляем  . 

  1.  Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.

Пусть зависимость между двумя переменными x и y задана параметрически в виде двух уравнений

                                                                                       (1)

где t- вспомогательная переменная - параметр. Найдем производную функции  y по переменной x, предполагая, что обе функции дифференцируемы и функция имеет обратную функцию . Тогда сложная функция и по правилу дифференцирования сложной функции находим

.

Так как функция дифференцируемы и имеет обратную функцию , то по правилу дифференцирования обратной функции имеем

.

Тогда из указанных двух формул получаем

.                                                 (2)

Пример 1. Вычислить производную функции , заданной параметрически

Так как , то по формуле (2) имеем

.

Если функция задана уравнением вида , то говорят, что она задана в явном виде.

Пусть зависимость между двумя переменными x и y задана уравнением вида

,                                                                                    (3)

если при подстановке функции в это уравнение вместо x, получается тождество  по переменной x, определенное на некотором множестве, то говорят, что функция задана неявно уравнением (3). Если функция задана уравнением вида , то говорят, что она задана в явном виде.

Если функция задана неявно уравнением (2), то для нахождения производной  достаточно это уравнение продифференцировать по x, считая  y функцией от x. После этого полученное уравнение необходимо разрешить относительно .

Пример 2. Вычислить производную функции , заданной неявно уравнением

Продифференцируем это уравнение по x, считая  y функцией от x.

,

Полученное уравнение разрешая относительно находим.

.

  1.  Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков.

Производная   дифференцируемой на некотором множестве функции  называется производной первого порядка.

Если функция  дифференцируема на некотором множестве, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается символом  или   .

Если функция  дифференцируема на некотором множестве, то ее производная называется производной третьего порядка и обозначается символом  или   .

Производной  n - го порядка называется производная от производной (n -1) - го порядка:

.

Производные второго порядка и выше называются производными высших порядков.

Пример 1. Вычислить производную третьего порядка от функции . По таблице производных вычисляем

Механический смысл производной второго порядка. Пусть по прямой движется точка по закону s = s(t). Производная s' = s' (t). равна скорости точки в момент времени t.

Пусть в моменты времени t и t + t скорости точки соответственно равны v и v. За время t скорость изменилась на величину v. Отношение называется средним ускорением точки за время t . Предел этого отношения при называется ускорением точки в момент времени t. Таким образом ускорение точки равно .

Таким образом механическим смыслом производной второго порядка от пути s(t). по времени t является ускорением прямолинейного движения точки.

Пусть зависимость между двумя переменными x и y задана уравнением вида

.                                                                                    (4)

Если функция задана неявно уравнением (2), то для нахождения производной  достаточно это уравнение (4) продифференцировать дважды по x, считая  y функцией от x. После этого в полученное уравнение поставляется . Аналогично находят производные третьего порядка и выше.

Пример 1. Вычислить производную третьего порядка от функции . Дифференцируем это уравнение дважды по по x, считая  y функцией от x 

Пусть зависимость между двумя переменными x и y задана параметрически в виде двух уравнений

                                                                                       (1)

где t- вспомогательная переменная - параметр. Первая производная функции  y по переменной x находится по формуле:

.

Найдем вторую производную от этой функции. Имеем

.

Пусть - дифференцируемая функция, аргумент x - независимая переменная. Тогда его первый дифференциал   есть функция от x и можно найти дифференциал этой функции. Этот дифференциал называется дифференциалом  второго порядка и обозначается символом  или   . По определению

.

Так  не зависит от х то считаем его при дифференцировании постоянным. Найдем формулу для дифференциала второго порядка.

.

Если функция  дифференцируема на некотором множестве, то дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от дифференциала второго порядка. Аналогично указанному выше находим

.

.

дифференциалом   n - го порядка называется дифференциал от дифференциала (n -1) - го порядка:

.

Дифференциалы второго порядка и выше называются дифференциалами высших порядков.

Все указанные выше формулы справедливы только в том случае, когда х независимая переменная. Если х зависимая переменная, то формулы не имеют места. Дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности и вычисляются по другим формулам.

Пример 1. Найти  , если .

Если бы было справедливо свойство инвариантности второго дифференциала, то мы бы получили

.

Это показывает, что дифференциалы второго порядка не обладают свойством инвариантности.


Рис. 1

x2

x1

O

x

x5

x4

x3

y=f(x)

Рис. 2

b

x1

O

y

x

b

a

c

y=f(x)

Рис. 3

a

O

y

x

y=f(x)

b

a

O

y

x

b

a

O

y

x

y=f(x)

y=f(x)

x5

df

C

B

A

P

f(x0+x)

x

y

A-

x0+x

f(x0)

y=f(x)

x0

O

x

y

Рис.2.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41200. Стимулированное плазмой осаждение из газовой фазы пленок переходных металлов и их силицидов 137.5 KB
  Осаждение пленок вольфрама. Чистый WF6 непригоден для использования в стимулированных плазмой процессах осаждения вольфрама из – за того что при температуре подложки выше 900С преобладает травление а не осаждение слоя поскольку атомы фтора являются основными травящими агентами вольфрама. Действительно в результате соударения с электроном генерируются атомы фтора и предельные фториды вольфрама: е WF6 ↔ WF6х хF е . 1 Если атомы фтора не удаляются из зоны реакции или не связываются каким – либо методом то происходит...
41204. ПРОБЛЕМА ЯЗЫКА И СОЗНАНИЯ 165 KB
  Все это позволяет считать что у человека есть гораздо более сложные формы получения и переработки информации чем те которые даются непосредственным восприятием. Я имею в виду тот опыт который известен как опыт Бойтендайка и который лучше других показывает отличия мышления человека от мышления животных. Такая особенность и характеризует сознание человека отличая его от психики животных. Эта черта способность человека переходить за пределы наглядного непосредственного опыта и есть фундаментальная особенность его сознания.
41205. СЛОВО И ЕГО СЕМАНТИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ 143.5 KB
  Прежде всего нас будет интересовать слово и его семантическое строение т. слово как носитель определенного значения. Как известно слово является основным элементом языка.
41206. РАЗВИТИЕ ЗНАЧЕНИЯ СЛОВ В ОНТОГЕНЕЗЕ 119 KB
  Первый из них мы обозначили как предметную отнесенность понимаемую как функция слова заключающаяся в обозначении предмета признака действия или отношения. Вторым основным компонентом слова является его значение которое мы понимаем как функцию выделения отдельных признаков в предмете обобщения их и введения предмета в известную систему категорий. Сейчас мы продолжим это рассуждение и остановимся на одном из важнейших открытий советской психологической науки которое показало что оба этих компонента предметная отнесенность слова и...
41207. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЙ И МЕТОДЫ ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ 165.5 KB
  Мы сказали далее что если в раннем возрасте значение слова носит у ребенка аффективный характер то к концу дошкольного и к началу школьного возраста за значением слова кроются конкретные впечатления от реального практического наглядного опыта а на дальнейших этапах за словом начинают уже стоять сложные системы отвлеченных связей и отношений и слово начинает вводить данный предмет в известную категорию иерархически построенных понятийных систем. Это положение принципиально важно для современной психологической науки потому что оно...