22421
Правила Лопиталя. Формула Тейлора
Лекция
Математика и математический анализ
Формула Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.
Русский
2013-08-03
245 KB
21 чел.
Лекция 9. Правила Лопиталя. Формула Тейлора.
Теорема 1 (первое правило Лопиталя - неопределенность ). Пусть
Тогда существует предел отношения при x a и имеет место равенство.
Доказательство. Докажем теорему, используя определение Гейне. Пусть {xn}- произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к a. Так как все члены последовательности {xn} начиная с некоторого места принадлежат -окрестности точки a, где = min{1, 2}, то будем предполагать, что все члены последовательности {xn} принадлежат этой -окрестности. Доопределим f(x) и g (x) в точке x = a, полагая f(a) = 0 и g (a) = 0. Тогда функции f(x) и g (x) будут непрерывны в точке x = a, по условия функции f(x) и g(x) дифференцируема на интервале In с концами xn и a . Тогда по теореме Коши найдется такая точка n In , что выполняется равенство
(1).
Пусть в формуле (1) n . Так как xn а и n находится между а и xn, то n а. Так как предел существует и равен l, то предел . Следовательно, . Так как это справедливо для любой последовательности {xn}, сходящаяся к a, то по определению предела по Гейне получаем.
Замечание 1. Первое правило Лопиталя имеет место и для правого и левого пределов как в конечной так и в бесконечных точках.
Замечание 2. Первое правило Лопиталя можно применять несколько раз при условии, что последний предел существует и при каждом переходе выполняются условия теоремы 1.
Пример.
.
Теорема 1 (первое правило Лопиталя - неопределенность ). Пусть
Тогда существует предел отношения при x a и имеет место равенство.
Доказательство. Доказательство. Докажем теорему, используя определение Гейне. Пусть {xn}- произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к a слева (или справа). Так как все члены последовательности {xn} начиная с некоторого места принадлежат -окрестности точки a, где = min{1, 2}, то будем предполагать, что все члены последовательности {xn} принадлежат этой -окрестности. Пусть xn и xm два произвольные члена последовательности с достаточно большими номерами с условием n > m. Тогда функции f(x) и g (x) будут функции f(x) и g(x) дифференцируема на интервале In с концами xn и xm . Тогда по теореме Коши найдется такая точка nбь In , что выполняется равенство
. (1).
Отсюда
. (2)
Пусть в формуле (2) n, m . Так как xn xm а и n,m находится между xn и xm, то n,m а при n, m .. Так как предел существует и равен l, то предел . Далее для любого > 0 существует такой номер m, что для всех n > m выполняется неравенство .
Так как то для любого фиксированного значения m . Тогда
Следовательно, существует такой номер n0, что при n > n0 неравенство
.
Тогда
По определению предела получаем, что
.
Так как это справедливо для любой последовательности {xn}, сходящаяся к a, то по определению предела функции по Гейне получаем.
Замечание 1. Второе правило Лопиталя имеет место и для правого и левого пределов как в конечной так и в бесконечных точках.
Замечание 2. Второе правило Лопиталя можно применять несколько раз при условии, что последний предел существует и при каждом переходе выполняются условия теоремы 1.
Пример. .
Правило Лопиталя применяется при раскрытии неопределенностей, указанных в предыдущих параграфах видов
, и неопределенностей видов 0, - , 1 , 0 , 00, которые сводятся к указанным двум неопределенностям.
Пример 1. .
Пример 1. .
Неопределенности 1 , 0 , 00 раскрываются методом логарифмирования или использование основного логарифмического тождества и по теореме о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Например,
,
При вычислении пределов в показателе можно применять правила Лопиталя.
Пример 3.
.
Пример 2.
.
Пример 2. . Обозначим и применим способ логарифмирования.
.
.
Отсюда
.
Определение 1. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки a и имеет в этой точке все производные до n-го порядка включительно. Многочленом Тейлора функции f(x) порядка n степени с центром в точке a называется следующее выражение:
(1)
Теорема 1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть выполняются условия:
Тогда
Rn(x) = f(x)-fn(a,x) = o((x-a)n) , (2)
где символ o((x-a)n) обозначает, что Rn(x) есть величина бесконечно малая при x-a ® 0 большего порядка чем (x-a)n.
Доказательство. Применим правило Лопиталя n-1 раз при x-a ® 0 к отношению
.
Получим
(в последнем переходе мы использовали определение производной функции и существование производной n-го порядка в точке a). Отсюда a(x) по определению есть бесконечно малая при x®a, и по определению символа o - малое Rn(x) = o((x-a)n).
Равенство (1) удобно записать в виде:
(3)
и его обычно называют формулой Тейлора n-го порядкас остаточным членом в форме Пеано.
Кроме этого равенство (2) утверждает, что f(x) ~ fn(a,x) при x®a.
некоторой окрестности точки a и имеет в этой точке все производные до n-го порядка включительно.
Разность Rn(x) = f(x)-fn(a,x) называют остаточным членом в формуле Тейлора. При a=0 формула (3) принимает вид
. (4)
и называется формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.
Теорема 1 (формула Тейлора с остаточным членом в общем виде). Пусть функция f(x) n+1 раз дифференцируема на интервале (x1, x2) и пусть x, a - любые две точки из этого интервала. Тогда для любого положительного числа a существует такая точка с лежащая между точками x и a, что выполняется равенство:
. (1)
Доказательство. Определим функцию g(x) равенством
.
Нам надо доказать, что между точками x, a найдется такая точка , что выполняется равенство
.
Равенство, определяющее g(x), можно записать в виде
.
Рассмотрим функцию j(t), определенную на отрезке с концами x, a, равенством
.
Проверяем для этой функции j(t) условия теоремы Ролля:
Тогда по теореме Ролля существует такая точка , лежащая между точками , что выполняется равенство
j¢(с) = 0. Так как
,
то
Отсюда при t=c получаем
Следовательно,
.
Теорема доказана.
Поскольку c лежит между точками a и x, то найдется такое число q, что 0<q<1, c-a=q(x-a). При этом c=a+q(x-a) (это верно при любом расположении чисел a и x. Таким образом формулу (3) можно переписать в виде:
(2)
Формула Тейлора с общим членом может быть записана в виде:
. (3)
Остаточный член в форме Лагранжа получается из формулы (2) при a=n+1, когда имеем
., (0<q<1). (4)
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:
. (5)
Остаточный член в форме Коши получается из формулы (2) при a=1, когда имеем
., (0<q<1). (6)
При a=0 формула (5) принимает вид
. (7)
и называется формулой Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.
Замечание. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа более точная, чем формула Тейлора с остаточным членом Пеано, так как она оценивает остаточный член более точно. Но для применимости формулы Тейлора с остаточным членом в Форме Лагранжа требуется выполнимость более жестких условий: формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа требует сужествования на интервале производных на два порядка выше, чем в формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Применим формулу Маклорена к разложению некоторых элементарных функций.
1. Показательная функция . Имеем
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:
(1)
Поскольку для любого фиксированного n остаток стремится к нулю при n®¥,
.
2. Функция . Имеем
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:
. (2)
3. Функция . Имеем
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:
. (3)
3. Функция . Имеем
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:
. (4)
Заметим, что Rn(x) ® 0 при n®¥, если |x|<1.
4. Функция . Имеем
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:
. (4)
Заметим, что Rn(x) ® 0 при n®¥, если |x|<1.
Формулы Тейлора играет важную роль в математическом анализе. Заметим, что по формуле Тейлора можно приблизительно вычислить значение функции f(x) в точке x = a + Dx. В этом случае по Формуле Тейлора получаем
.
Отсюда получаем
где абсолютная погрешность вычисления можно найти, оценив остаточный член
.
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
69953. | Современные тенденции в области компьютерного моделирования инженерных задач. Обзор существующих CAD/CAE систем и их возможности | 321.5 KB | |
В возникшем контекстном меню указать имя панели которую требуется вывести на экран или удалить с экрана. На запрос указать расстояние задаем расстояние сдвига 40. на запрос указать объект указываем мышью горизонтальную ось. | |||
69954. | ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ КОРРЕКЦИЯ ДЕВИАНТНОГО ПОВЕДЕНИЯ В ПОДРОСТКОВОМ И РАННЕМ ЮНОШЕСКОМ ВОЗРАСТЕ | 63 KB | |
В статье рассматриваются актуальные вопросы психологии отклоняющегося поведения. Анализируются факторы влияющие на формирование отклоняющегося поведения методы психолого-педагогической профилактики и коррекции девиантного поведения несовершеннолетних. | |||
69955. | КОРРЕКЦИЯ ПСИХИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ БЕРЕМЕННЫХ ЖЕНЩИН В ПРОЦЕССЕ МУЗЫКОТЕРАПИИ | 32.72 KB | |
В статье рассматриваются результаты экспериментального исследования музыкотерапии в коррекции психического состояния беременных женщин. Выявлено влияния музыкотерапии на психическое состояние беременных с учетом их индивидуальных свойств. | |||
69956. | ТРАНСФОРМАЦИЯ НОВЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ТЕЛЕ И ТЕЛЕСНОСТИ В СИСТЕМЕ ФИЗИЧЕСКОГО ВОСПИТАНИЯ | 77 KB | |
Автором рассмотрены основные научные подходы к определению смыслообразующего и ценностного философского понимания телесности человека в аспекте значимости данного направления научного исследования. Следует отметить что включение человека с его соматическими характеристиками... | |||
69957. | ВЫЯВЛЕНИЕ СФОРМИРОВАННОСТИ ОБРАЗОВ ИСТОРИЧЕСКОГО ПРОШЛОГО | 754.5 KB | |
Рассматривается дидактическая целесообразность применения категории образы исторических событий. Приводится пример комплекса разноуровневых заданий и их образец ориентированные на выявление уровня сформированности у учащихся образов исторических событий как... | |||
69958. | СОЦИАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БУДУЩИХ ПЕДАГОГОВ О ПСИХОЛОГИЧЕСКОМ НАСИЛИИ | 179 KB | |
Анкета была направлена на изучение следующих аспектов знаний приобретенных студентами в рамках учебных дисциплин и в процессе самообразования: сущность формы признаки причины последствия и эффективность психологического насилия. | |||
69959. | КОМПЕТЕНЦИИ ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ТВОРЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ЛИЧНОСТИ СПЕЦИАЛИСТА ВОЕННОГО ПРОФИЛЯ | 73.5 KB | |
В статье определены понятия специалист военного профиля профессионально-творческое развитие личности проанализирована система общих профессиональных творческих компетенций в подготовке специалиста. Выявлены компетенции профессионально-творческого развития личности специалиста военного профиля. | |||
69960. | СТИГМАТИЗАЦИЯ ДЕТЕЙ В ГРУППЕ ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА | 78.5 KB | |
Данная статья посвящена рассмотрению феномена стигматизации среди детей в группе старшего дошкольного возраста. В данной статье рассматривается проблема стигматизации детей в дошкольной группе а также личностные черты стигматизирующих стигматизированных и наблюдателей. | |||
69961. | «Якоря карьеры» студентов заочного отделения Белорусского национального технического университета | 68 KB | |
В статье авторы раскрывают понятия «мотивация», «профессиональная мотивация», «карьера», их виды, структуру, рассматривают различные научные подходы в их изучении. Статья содержит подробное описание методики Э. Шейна «Якоря карьеры». | |||