22421

Правила Лопиталя. Формула Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Формула Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

Русский

2013-08-03

245 KB

21 чел.

Лекция 9. Правила Лопиталя. Формула Тейлора.

  1.  Первое правило Лопиталя.
  2.  Второе паравило Лопиталя.
  3.  Применение правил Лопиталя при раскрытии неопределенностей.
  4.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
  5.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
  6.  Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

  1.  Первое правило Лопиталя.

Теорема 1 (первое правило Лопиталя - неопределенность ). Пусть

  1.  функции  f(x) и g  (x) определены и дифференцируемы в некоторой выколотой 1 - окрестности точки а ;
  2.  
  3.   g ' (x) 0 при всех x из некоторой выколотой 2 - окрестности точки а;
  4.  существует конечный или бесконечный предел отношения  при x  a, т.е. существует предел . 

Тогда существует предел отношения при x  a и имеет место равенство.

Доказательство. Докажем теорему, используя определение Гейне. Пусть {xn}- произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к  a. Так как все члены последовательности {xn} начиная с некоторого места принадлежат  -окрестности точки a, где = min{1, 2}, то будем предполагать, что все члены последовательности {xn} принадлежат этой -окрестности. Доопределим f(x) и g (x)  в точке x = a, полагая f(a) = 0 и g  (a) = 0. Тогда функции f(x) и g (x) будут непрерывны в точке x = a, по условия функции f(x) и g(x) дифференцируема на интервале In с концами xn и a . Тогда по теореме Коши найдется такая точка n In , что выполняется равенство

                                                           (1).

Пусть в формуле (1) n  . Так как xn   а и n находится между а и xn, то n   а. Так как предел   существует и равен l, то предел . Следовательно, . Так как это справедливо для любой последовательности {xn}, сходящаяся к  a, то по определению предела по Гейне получаем.

Замечание 1. Первое правило Лопиталя имеет место и для правого и левого пределов как в конечной так и в бесконечных точках.

 Замечание 2. Первое правило Лопиталя можно применять несколько раз при условии, что последний предел существует и при каждом переходе выполняются условия теоремы 1.

Пример.

.

  1.  Второе правило Лопиталя.

Теорема 1 (первое правило Лопиталя - неопределенность ). Пусть

  1.  функции  f(x) и g  (x) определены и дифференцируемы в некоторой выколотой 1 - окрестности точки а ;
  2.  
  3.   g ' (x) 0 при всех x из некоторой выколотой 2 - окрестности точки а;
  4.  существует конечный или бесконечный предел отношения  при x  a, т.е. существует предел . 

Тогда существует предел отношения при x  a и имеет место равенство.

Доказательство. Доказательство. Докажем теорему, используя определение Гейне. Пусть {xn}- произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к  a слева (или справа). Так как все члены последовательности {xn} начиная с некоторого места принадлежат  -окрестности точки a, где = min{1, 2}, то будем предполагать, что все члены последовательности {xn} принадлежат этой -окрестности. Пусть xn и xm два произвольные члена последовательности с достаточно большими номерами с условием n > m. Тогда функции f(x) и g (x) будут функции f(x) и g(x) дифференцируема на интервале In с концами xn и xm . Тогда по теореме Коши найдется такая точка nбь In , что выполняется равенство

 .                                                          (1).

Отсюда

.                                                                       (2)

Пусть в формуле (2) n, m  . Так как xn xm   а и n,m находится между xn и xm, то n,m   а при n, m  .. Так как предел   существует и равен l, то предел . Далее для любого > 0 существует такой номер m, что для всех n > m выполняется неравенство .  

Так как то для любого фиксированного значения m  . Тогда

Следовательно, существует такой номер n0, что при n > n0 неравенство

.

Тогда

По определению предела получаем, что

.

Так как это справедливо для любой последовательности {xn}, сходящаяся к  a, то по определению предела функции по Гейне получаем.

Замечание 1. Второе правило Лопиталя имеет место и для правого и левого пределов как в конечной так и в бесконечных точках.

Замечание 2. Второе правило Лопиталя можно применять несколько раз при условии, что последний предел существует и при каждом переходе выполняются условия теоремы 1.

Пример. .

  1.  Применение правил Лопиталя при раскрытии неопределенностей.

Правило Лопиталя применяется при раскрытии неопределенностей, указанных в предыдущих параграфах видов

, и неопределенностей видов 0,   - , 1  , 0 , 00, которые сводятся к указанным двум неопределенностям.

Пример 1. .

Пример 1. .

Неопределенности 1  , 0 , 00 раскрываются методом логарифмирования или использование основного логарифмического тождества и по теореме о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Например,

,

При вычислении пределов в показателе можно применять правила Лопиталя.

Пример 3.

 .

Пример 2.

 .

Пример 2. . Обозначим  и применим способ логарифмирования.

.

.

Отсюда

.

  1.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Определение 1. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки a и имеет в этой точке все производные до n-го порядка включительно. Многочленом Тейлора функции f(x) порядка n степени с центром в точке a называется следующее выражение:

       (1)

Теорема 1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть выполняются условия:

  1.  функция f(x) определена и n-1 раз дифференцируема в некоторой окрестности точки a;
  2.  имеет в точка a производную n-го порядка f(n)(a).

Тогда 

Rn(x) = f(x)-fn(a,x) = o((x-a)n) ,                                                               (2)

где символ o((x-a)n) обозначает, что Rn(x) есть величина бесконечно малая при x-a ® 0 большего порядка чем (x-a)n.

Доказательство. Применим правило Лопиталя n-1 раз при x-a ® 0 к отношению

.

Получим

(в последнем переходе мы использовали определение производной функции и существование  производной n-го порядка в точке a). Отсюда a(x) по определению есть бесконечно малая при x®a, и по определению символа o - малое Rn(x) = o((x-a)n).  

Равенство (1) удобно записать в виде:

  (3)

и его обычно называют формулой Тейлора n-го порядкас остаточным членом в форме Пеано.

Кроме этого равенство (2) утверждает, что   f(x) ~ fn(a,x) при x®a.

некоторой окрестности точки a и имеет в этой точке все производные до n-го порядка включительно.

Разность Rn(x) = f(x)-fn(a,x)  называют остаточным членом в формуле Тейлора. При a=0 формула (3) принимает вид

.                  (4)

и называется формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.

  1.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Теорема 1 (формула Тейлора с остаточным членом в общем виде). Пусть функция f(x) n+1 раз дифференцируема на интервале (x1, x2)  и пусть x, a - любые две точки из этого интервала. Тогда для любого положительного числа a существует такая точка с лежащая между точками x и a, что выполняется равенство:

.                         (1)

Доказательство. Определим функцию g(x) равенством

.

Нам надо доказать, что между точками x, a найдется такая точка , что выполняется равенство

.

Равенство, определяющее g(x), можно записать в виде

.

Рассмотрим функцию j(t), определенную на отрезке с концами x, a, равенством

.

Проверяем для этой функции j(t) условия теоремы Ролля:

  1.  .
  2.  Функция j(t) непрерывна на с концами x, a. 
  3.  Функция  дифференцируема на интервале с концами x, a.

Тогда по теореме Ролля существует такая точка , лежащая между точками , что выполняется равенство

(с) = 0.  Так как

,

то

Отсюда при t=c получаем

Следовательно,

.

Теорема доказана.

Поскольку c лежит между точками a и x, то найдется такое число q, что 0<q<1, c-a=q(x-a). При этом    c=a+q(x-a) (это верно при любом расположении чисел a и x. Таким образом формулу (3) можно переписать в виде:

                      (2)

Формула Тейлора с общим членом может быть записана в виде:

.    (3)

 Остаточный член в форме Лагранжа получается из формулы (2) при a=n+1, когда имеем

.,  (0<q<1).                                  (4)

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.        (5)

Остаточный член в форме Коши получается из формулы (2) при a=1, когда имеем

.,  (0<q<1).                                  (6)

При a=0 формула (5) принимает вид

.                               (7)

и называется формулой Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

Замечание. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа более точная, чем формула Тейлора с остаточным членом Пеано, так как она оценивает остаточный член более точно. Но для применимости формулы Тейлора с остаточным членом в Форме Лагранжа требуется выполнимость более жестких условий: формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа требует сужествования на интервале производных на два порядка выше, чем в формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

  1.  Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

Применим формулу Маклорена к разложению некоторых элементарных функций.

1. Показательная функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

                                    (1)

Поскольку для любого фиксированного n остаток стремится к нулю при n®¥,

.

2. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.                          (2)

3. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.                          (3)

3. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.                                (4)

Заметим, что Rn(x) ® 0 при n®¥, если |x|<1.

4. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.      (4)

Заметим, что Rn(x) ® 0 при n®¥, если |x|<1.

Формулы Тейлора играет важную роль в математическом анализе. Заметим, что по формуле Тейлора можно приблизительно вычислить значение функции f(x) в точке x = a + Dx. В этом случае по Формуле Тейлора получаем

.

Отсюда получаем

где абсолютная погрешность вычисления можно найти, оценив остаточный член

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21810. Модели основных функций организационно-технического управления 337 KB
  2 Модель функции контроля Задача контроля объекта управления включает решение трех частных задач: задачи наблюдения классификации и идентификации распознавания образов. Определенные заранее такие агрегированные состояния играют роль своеобразных эталонов для распознавания реальных состояний объекта в процессе его контроля. Решение задачи идентификации заключается в отыскании такого отображения которое определяет оптимальную в некотором смысле оценку состояния ОУ по реализации входных и выходных сигналов объекта. Наблюдаемое реальное...
21811. Методы прогнозирования 186.5 KB
  Методы вероятностного прогнозирования 13.3 Методы долгосрочного прогнозирования Литература 1 Анфилатов В. Методы прогнозирования основываются на предположении о сохранении в будущем существующих закономерностей развития или на предстоящих качественных изменениях системы.
21812. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 196.5 KB
  Функция полезности при наличии риска 1. Поскольку нам предстоит формировать функцию полезности определим еще раз что мы будем понимать под термином полезность функция полезности. Полезность или показатель полезности это число приписываемое конкретному результату например рабочей характеристике или состоянию системы и представляющее собой оценку значимости этого результата по восприятию определенного человека или группы людей. При наличии единственного критерия и определенной связи между вариантами решения и значением этого...
21813. ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Примеры решения задач при парной игре с нулевой суммой 91 KB
  В разных случаях числа aii могут иметь различный смысл €œвыигрыш€ €œпотери€ €œплатеж€. Игра это действительный или формальный конфликт в котором имеется по крайней мере два участника каждый из которых стремится к достижению собственных целей Правилами игры называют допустимые действия каждого из игроков направленные на достижение некоторой цели. Платежом называется количественная оценка результатов игры. если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого.
21814. ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. ИГРА С ПРИРОДОЙ 91.5 KB
  Системный анализ источников техногенной опасности 1. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ИСТОЧНИКОВ ТЕХНОГЕННОЙ ОПАСНОСТИ Системный анализ источников и факторов техногенной и экологической опасности может быть проведен на основе методологических принципов заимствованных из теории подготовки и обоснования решений по сложным проблемам. Системный анализ совокупности источников техногенной опасности целесообразно проводить с учетом определенного множества факторов в том числе факторов радиационной химической природы экономических...
21815. Козацтво в історії України (друга половина ХVІІ – ХVІІІ ст.) 115.5 KB
  Соціальні причини. До середини XVII ст. вкрай загострилася соціально-економічна ситуація, повязана з трансформацією поміщицьких господарств у фільварки. З одного боку, це сприяло зміцненню феодальної земельної власності
21816. ОСНОВНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ, ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА 171 KB
  Структура и иерархия системы 1. Второе направление связано с разработкой принципов построения и использования моделей моделирования имитирующих протекание реальных процессов способов объединения таких моделей в системы и представление системы моделей в ЭВМ. Действительно что такое система обеспечения безопасности Это совокупность людей оборудования и процедур специально разработанная применительно к промышленной или любой другой трудовой системы для увеличения безопасности работников. Элементом системы называется некоторый объект...
21817. Реализация системного анализа при решении проблем техносферы. Краткая характеристика методов СА 111.5 KB
  Показатели системы Методология системного анализа Постановка задачи Моделирование и анализ Оценка возможных вариантов решения краткая характеристика методов СА В последние годы методы СА стали широко использоваться для решения таких проблем окружающей среды и общества как:  загрязнение окружающей среды;  производственная безопасность;  транспортные потоки;  медицинское обслуживание;  образование;  криминалистика. Можно ли все это свести к определению одного параметра с помощью которого мы будем сравнивать возможные решения Вначале...
21818. Оценка вариантов решения. Выбор 92 KB
  Выбор как реализация цели В предыдущей лекции были рассмотрены два этапа задачи разработки программы системы. Таким образом важную роль здесь играет измерение переменных системы. Кратко можно перечислить следующие операции выполняемые на этапе оценки вариантов решения: определение меры для каждого показателя системы; объединение всех показателей в единое представление или функцию по которым можно выбрать наиболее желательное решение так называемую целевую функцию. Целевой функцией называется скалярное описание системы которое...