22421

Правила Лопиталя. Формула Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Формула Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

Русский

2013-08-03

245 KB

21 чел.

Лекция 9. Правила Лопиталя. Формула Тейлора.

  1.  Первое правило Лопиталя.
  2.  Второе паравило Лопиталя.
  3.  Применение правил Лопиталя при раскрытии неопределенностей.
  4.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
  5.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
  6.  Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

  1.  Первое правило Лопиталя.

Теорема 1 (первое правило Лопиталя - неопределенность ). Пусть

  1.  функции  f(x) и g  (x) определены и дифференцируемы в некоторой выколотой 1 - окрестности точки а ;
  2.  
  3.   g ' (x) 0 при всех x из некоторой выколотой 2 - окрестности точки а;
  4.  существует конечный или бесконечный предел отношения  при x  a, т.е. существует предел . 

Тогда существует предел отношения при x  a и имеет место равенство.

Доказательство. Докажем теорему, используя определение Гейне. Пусть {xn}- произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к  a. Так как все члены последовательности {xn} начиная с некоторого места принадлежат  -окрестности точки a, где = min{1, 2}, то будем предполагать, что все члены последовательности {xn} принадлежат этой -окрестности. Доопределим f(x) и g (x)  в точке x = a, полагая f(a) = 0 и g  (a) = 0. Тогда функции f(x) и g (x) будут непрерывны в точке x = a, по условия функции f(x) и g(x) дифференцируема на интервале In с концами xn и a . Тогда по теореме Коши найдется такая точка n In , что выполняется равенство

                                                           (1).

Пусть в формуле (1) n  . Так как xn   а и n находится между а и xn, то n   а. Так как предел   существует и равен l, то предел . Следовательно, . Так как это справедливо для любой последовательности {xn}, сходящаяся к  a, то по определению предела по Гейне получаем.

Замечание 1. Первое правило Лопиталя имеет место и для правого и левого пределов как в конечной так и в бесконечных точках.

 Замечание 2. Первое правило Лопиталя можно применять несколько раз при условии, что последний предел существует и при каждом переходе выполняются условия теоремы 1.

Пример.

.

  1.  Второе правило Лопиталя.

Теорема 1 (первое правило Лопиталя - неопределенность ). Пусть

  1.  функции  f(x) и g  (x) определены и дифференцируемы в некоторой выколотой 1 - окрестности точки а ;
  2.  
  3.   g ' (x) 0 при всех x из некоторой выколотой 2 - окрестности точки а;
  4.  существует конечный или бесконечный предел отношения  при x  a, т.е. существует предел . 

Тогда существует предел отношения при x  a и имеет место равенство.

Доказательство. Доказательство. Докажем теорему, используя определение Гейне. Пусть {xn}- произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к  a слева (или справа). Так как все члены последовательности {xn} начиная с некоторого места принадлежат  -окрестности точки a, где = min{1, 2}, то будем предполагать, что все члены последовательности {xn} принадлежат этой -окрестности. Пусть xn и xm два произвольные члена последовательности с достаточно большими номерами с условием n > m. Тогда функции f(x) и g (x) будут функции f(x) и g(x) дифференцируема на интервале In с концами xn и xm . Тогда по теореме Коши найдется такая точка nбь In , что выполняется равенство

 .                                                          (1).

Отсюда

.                                                                       (2)

Пусть в формуле (2) n, m  . Так как xn xm   а и n,m находится между xn и xm, то n,m   а при n, m  .. Так как предел   существует и равен l, то предел . Далее для любого > 0 существует такой номер m, что для всех n > m выполняется неравенство .  

Так как то для любого фиксированного значения m  . Тогда

Следовательно, существует такой номер n0, что при n > n0 неравенство

.

Тогда

По определению предела получаем, что

.

Так как это справедливо для любой последовательности {xn}, сходящаяся к  a, то по определению предела функции по Гейне получаем.

Замечание 1. Второе правило Лопиталя имеет место и для правого и левого пределов как в конечной так и в бесконечных точках.

Замечание 2. Второе правило Лопиталя можно применять несколько раз при условии, что последний предел существует и при каждом переходе выполняются условия теоремы 1.

Пример. .

  1.  Применение правил Лопиталя при раскрытии неопределенностей.

Правило Лопиталя применяется при раскрытии неопределенностей, указанных в предыдущих параграфах видов

, и неопределенностей видов 0,   - , 1  , 0 , 00, которые сводятся к указанным двум неопределенностям.

Пример 1. .

Пример 1. .

Неопределенности 1  , 0 , 00 раскрываются методом логарифмирования или использование основного логарифмического тождества и по теореме о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Например,

,

При вычислении пределов в показателе можно применять правила Лопиталя.

Пример 3.

 .

Пример 2.

 .

Пример 2. . Обозначим  и применим способ логарифмирования.

.

.

Отсюда

.

  1.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Определение 1. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки a и имеет в этой точке все производные до n-го порядка включительно. Многочленом Тейлора функции f(x) порядка n степени с центром в точке a называется следующее выражение:

       (1)

Теорема 1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть выполняются условия:

  1.  функция f(x) определена и n-1 раз дифференцируема в некоторой окрестности точки a;
  2.  имеет в точка a производную n-го порядка f(n)(a).

Тогда 

Rn(x) = f(x)-fn(a,x) = o((x-a)n) ,                                                               (2)

где символ o((x-a)n) обозначает, что Rn(x) есть величина бесконечно малая при x-a ® 0 большего порядка чем (x-a)n.

Доказательство. Применим правило Лопиталя n-1 раз при x-a ® 0 к отношению

.

Получим

(в последнем переходе мы использовали определение производной функции и существование  производной n-го порядка в точке a). Отсюда a(x) по определению есть бесконечно малая при x®a, и по определению символа o - малое Rn(x) = o((x-a)n).  

Равенство (1) удобно записать в виде:

  (3)

и его обычно называют формулой Тейлора n-го порядкас остаточным членом в форме Пеано.

Кроме этого равенство (2) утверждает, что   f(x) ~ fn(a,x) при x®a.

некоторой окрестности точки a и имеет в этой точке все производные до n-го порядка включительно.

Разность Rn(x) = f(x)-fn(a,x)  называют остаточным членом в формуле Тейлора. При a=0 формула (3) принимает вид

.                  (4)

и называется формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.

  1.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Теорема 1 (формула Тейлора с остаточным членом в общем виде). Пусть функция f(x) n+1 раз дифференцируема на интервале (x1, x2)  и пусть x, a - любые две точки из этого интервала. Тогда для любого положительного числа a существует такая точка с лежащая между точками x и a, что выполняется равенство:

.                         (1)

Доказательство. Определим функцию g(x) равенством

.

Нам надо доказать, что между точками x, a найдется такая точка , что выполняется равенство

.

Равенство, определяющее g(x), можно записать в виде

.

Рассмотрим функцию j(t), определенную на отрезке с концами x, a, равенством

.

Проверяем для этой функции j(t) условия теоремы Ролля:

  1.  .
  2.  Функция j(t) непрерывна на с концами x, a. 
  3.  Функция  дифференцируема на интервале с концами x, a.

Тогда по теореме Ролля существует такая точка , лежащая между точками , что выполняется равенство

(с) = 0.  Так как

,

то

Отсюда при t=c получаем

Следовательно,

.

Теорема доказана.

Поскольку c лежит между точками a и x, то найдется такое число q, что 0<q<1, c-a=q(x-a). При этом    c=a+q(x-a) (это верно при любом расположении чисел a и x. Таким образом формулу (3) можно переписать в виде:

                      (2)

Формула Тейлора с общим членом может быть записана в виде:

.    (3)

 Остаточный член в форме Лагранжа получается из формулы (2) при a=n+1, когда имеем

.,  (0<q<1).                                  (4)

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.        (5)

Остаточный член в форме Коши получается из формулы (2) при a=1, когда имеем

.,  (0<q<1).                                  (6)

При a=0 формула (5) принимает вид

.                               (7)

и называется формулой Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

Замечание. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа более точная, чем формула Тейлора с остаточным членом Пеано, так как она оценивает остаточный член более точно. Но для применимости формулы Тейлора с остаточным членом в Форме Лагранжа требуется выполнимость более жестких условий: формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа требует сужествования на интервале производных на два порядка выше, чем в формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

  1.  Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

Применим формулу Маклорена к разложению некоторых элементарных функций.

1. Показательная функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

                                    (1)

Поскольку для любого фиксированного n остаток стремится к нулю при n®¥,

.

2. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.                          (2)

3. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.                          (3)

3. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.                                (4)

Заметим, что Rn(x) ® 0 при n®¥, если |x|<1.

4. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.      (4)

Заметим, что Rn(x) ® 0 при n®¥, если |x|<1.

Формулы Тейлора играет важную роль в математическом анализе. Заметим, что по формуле Тейлора можно приблизительно вычислить значение функции f(x) в точке x = a + Dx. В этом случае по Формуле Тейлора получаем

.

Отсюда получаем

где абсолютная погрешность вычисления можно найти, оценив остаточный член

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69953. Современные тенденции в области компьютерного моделирования инженерных задач. Обзор существующих CAD/CAE систем и их возможности 321.5 KB
  В возникшем контекстном меню указать имя панели которую требуется вывести на экран или удалить с экрана. На запрос указать расстояние задаем расстояние сдвига 40. на запрос указать объект указываем мышью горизонтальную ось.
69954. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ КОРРЕКЦИЯ ДЕВИАНТНОГО ПОВЕДЕНИЯ В ПОДРОСТКОВОМ И РАННЕМ ЮНОШЕСКОМ ВОЗРАСТЕ 63 KB
  В статье рассматриваются актуальные вопросы психологии отклоняющегося поведения. Анализируются факторы влияющие на формирование отклоняющегося поведения методы психолого-педагогической профилактики и коррекции девиантного поведения несовершеннолетних.
69955. КОРРЕКЦИЯ ПСИХИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ БЕРЕМЕННЫХ ЖЕНЩИН В ПРОЦЕССЕ МУЗЫКОТЕРАПИИ 32.72 KB
  В статье рассматриваются результаты экспериментального исследования музыкотерапии в коррекции психического состояния беременных женщин. Выявлено влияния музыкотерапии на психическое состояние беременных с учетом их индивидуальных свойств.
69956. ТРАНСФОРМАЦИЯ НОВЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ТЕЛЕ И ТЕЛЕСНОСТИ В СИСТЕМЕ ФИЗИЧЕСКОГО ВОСПИТАНИЯ 77 KB
  Автором рассмотрены основные научные подходы к определению смыслообразующего и ценностного философского понимания телесности человека в аспекте значимости данного направления научного исследования. Следует отметить что включение человека с его соматическими характеристиками...
69957. ВЫЯВЛЕНИЕ СФОРМИРОВАННОСТИ ОБРАЗОВ ИСТОРИЧЕСКОГО ПРОШЛОГО 754.5 KB
  Рассматривается дидактическая целесообразность применения категории образы исторических событий. Приводится пример комплекса разноуровневых заданий и их образец ориентированные на выявление уровня сформированности у учащихся образов исторических событий как...
69958. СОЦИАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БУДУЩИХ ПЕДАГОГОВ О ПСИХОЛОГИЧЕСКОМ НАСИЛИИ 179 KB
  Анкета была направлена на изучение следующих аспектов знаний приобретенных студентами в рамках учебных дисциплин и в процессе самообразования: сущность формы признаки причины последствия и эффективность психологического насилия.
69959. КОМПЕТЕНЦИИ ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ТВОРЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ЛИЧНОСТИ СПЕЦИАЛИСТА ВОЕННОГО ПРОФИЛЯ 73.5 KB
  В статье определены понятия специалист военного профиля профессионально-творческое развитие личности проанализирована система общих профессиональных творческих компетенций в подготовке специалиста. Выявлены компетенции профессионально-творческого развития личности специалиста военного профиля.
69960. СТИГМАТИЗАЦИЯ ДЕТЕЙ В ГРУППЕ ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА 78.5 KB
  Данная статья посвящена рассмотрению феномена стигматизации среди детей в группе старшего дошкольного возраста. В данной статье рассматривается проблема стигматизации детей в дошкольной группе а также личностные черты стигматизирующих стигматизированных и наблюдателей.
69961. «Якоря карьеры» студентов заочного отделения Белорусского национального технического университета 68 KB
  В статье авторы раскрывают понятия «мотивация», «профессиональная мотивация», «карьера», их виды, структуру, рассматривают различные научные подходы в их изучении. Статья содержит подробное описание методики Э. Шейна «Якоря карьеры».