22421

Правила Лопиталя. Формула Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Формула Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

Русский

2013-08-03

245 KB

20 чел.

Лекция 9. Правила Лопиталя. Формула Тейлора.

  1.  Первое правило Лопиталя.
  2.  Второе паравило Лопиталя.
  3.  Применение правил Лопиталя при раскрытии неопределенностей.
  4.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
  5.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
  6.  Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

  1.  Первое правило Лопиталя.

Теорема 1 (первое правило Лопиталя - неопределенность ). Пусть

  1.  функции  f(x) и g  (x) определены и дифференцируемы в некоторой выколотой 1 - окрестности точки а ;
  2.  
  3.   g ' (x) 0 при всех x из некоторой выколотой 2 - окрестности точки а;
  4.  существует конечный или бесконечный предел отношения  при x  a, т.е. существует предел . 

Тогда существует предел отношения при x  a и имеет место равенство.

Доказательство. Докажем теорему, используя определение Гейне. Пусть {xn}- произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к  a. Так как все члены последовательности {xn} начиная с некоторого места принадлежат  -окрестности точки a, где = min{1, 2}, то будем предполагать, что все члены последовательности {xn} принадлежат этой -окрестности. Доопределим f(x) и g (x)  в точке x = a, полагая f(a) = 0 и g  (a) = 0. Тогда функции f(x) и g (x) будут непрерывны в точке x = a, по условия функции f(x) и g(x) дифференцируема на интервале In с концами xn и a . Тогда по теореме Коши найдется такая точка n In , что выполняется равенство

                                                           (1).

Пусть в формуле (1) n  . Так как xn   а и n находится между а и xn, то n   а. Так как предел   существует и равен l, то предел . Следовательно, . Так как это справедливо для любой последовательности {xn}, сходящаяся к  a, то по определению предела по Гейне получаем.

Замечание 1. Первое правило Лопиталя имеет место и для правого и левого пределов как в конечной так и в бесконечных точках.

 Замечание 2. Первое правило Лопиталя можно применять несколько раз при условии, что последний предел существует и при каждом переходе выполняются условия теоремы 1.

Пример.

.

  1.  Второе правило Лопиталя.

Теорема 1 (первое правило Лопиталя - неопределенность ). Пусть

  1.  функции  f(x) и g  (x) определены и дифференцируемы в некоторой выколотой 1 - окрестности точки а ;
  2.  
  3.   g ' (x) 0 при всех x из некоторой выколотой 2 - окрестности точки а;
  4.  существует конечный или бесконечный предел отношения  при x  a, т.е. существует предел . 

Тогда существует предел отношения при x  a и имеет место равенство.

Доказательство. Доказательство. Докажем теорему, используя определение Гейне. Пусть {xn}- произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к  a слева (или справа). Так как все члены последовательности {xn} начиная с некоторого места принадлежат  -окрестности точки a, где = min{1, 2}, то будем предполагать, что все члены последовательности {xn} принадлежат этой -окрестности. Пусть xn и xm два произвольные члена последовательности с достаточно большими номерами с условием n > m. Тогда функции f(x) и g (x) будут функции f(x) и g(x) дифференцируема на интервале In с концами xn и xm . Тогда по теореме Коши найдется такая точка nбь In , что выполняется равенство

 .                                                          (1).

Отсюда

.                                                                       (2)

Пусть в формуле (2) n, m  . Так как xn xm   а и n,m находится между xn и xm, то n,m   а при n, m  .. Так как предел   существует и равен l, то предел . Далее для любого > 0 существует такой номер m, что для всех n > m выполняется неравенство .  

Так как то для любого фиксированного значения m  . Тогда

Следовательно, существует такой номер n0, что при n > n0 неравенство

.

Тогда

По определению предела получаем, что

.

Так как это справедливо для любой последовательности {xn}, сходящаяся к  a, то по определению предела функции по Гейне получаем.

Замечание 1. Второе правило Лопиталя имеет место и для правого и левого пределов как в конечной так и в бесконечных точках.

Замечание 2. Второе правило Лопиталя можно применять несколько раз при условии, что последний предел существует и при каждом переходе выполняются условия теоремы 1.

Пример. .

  1.  Применение правил Лопиталя при раскрытии неопределенностей.

Правило Лопиталя применяется при раскрытии неопределенностей, указанных в предыдущих параграфах видов

, и неопределенностей видов 0,   - , 1  , 0 , 00, которые сводятся к указанным двум неопределенностям.

Пример 1. .

Пример 1. .

Неопределенности 1  , 0 , 00 раскрываются методом логарифмирования или использование основного логарифмического тождества и по теореме о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Например,

,

При вычислении пределов в показателе можно применять правила Лопиталя.

Пример 3.

 .

Пример 2.

 .

Пример 2. . Обозначим  и применим способ логарифмирования.

.

.

Отсюда

.

  1.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Определение 1. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки a и имеет в этой точке все производные до n-го порядка включительно. Многочленом Тейлора функции f(x) порядка n степени с центром в точке a называется следующее выражение:

       (1)

Теорема 1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть выполняются условия:

  1.  функция f(x) определена и n-1 раз дифференцируема в некоторой окрестности точки a;
  2.  имеет в точка a производную n-го порядка f(n)(a).

Тогда 

Rn(x) = f(x)-fn(a,x) = o((x-a)n) ,                                                               (2)

где символ o((x-a)n) обозначает, что Rn(x) есть величина бесконечно малая при x-a ® 0 большего порядка чем (x-a)n.

Доказательство. Применим правило Лопиталя n-1 раз при x-a ® 0 к отношению

.

Получим

(в последнем переходе мы использовали определение производной функции и существование  производной n-го порядка в точке a). Отсюда a(x) по определению есть бесконечно малая при x®a, и по определению символа o - малое Rn(x) = o((x-a)n).  

Равенство (1) удобно записать в виде:

  (3)

и его обычно называют формулой Тейлора n-го порядкас остаточным членом в форме Пеано.

Кроме этого равенство (2) утверждает, что   f(x) ~ fn(a,x) при x®a.

некоторой окрестности точки a и имеет в этой точке все производные до n-го порядка включительно.

Разность Rn(x) = f(x)-fn(a,x)  называют остаточным членом в формуле Тейлора. При a=0 формула (3) принимает вид

.                  (4)

и называется формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.

  1.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Теорема 1 (формула Тейлора с остаточным членом в общем виде). Пусть функция f(x) n+1 раз дифференцируема на интервале (x1, x2)  и пусть x, a - любые две точки из этого интервала. Тогда для любого положительного числа a существует такая точка с лежащая между точками x и a, что выполняется равенство:

.                         (1)

Доказательство. Определим функцию g(x) равенством

.

Нам надо доказать, что между точками x, a найдется такая точка , что выполняется равенство

.

Равенство, определяющее g(x), можно записать в виде

.

Рассмотрим функцию j(t), определенную на отрезке с концами x, a, равенством

.

Проверяем для этой функции j(t) условия теоремы Ролля:

  1.  .
  2.  Функция j(t) непрерывна на с концами x, a. 
  3.  Функция  дифференцируема на интервале с концами x, a.

Тогда по теореме Ролля существует такая точка , лежащая между точками , что выполняется равенство

(с) = 0.  Так как

,

то

Отсюда при t=c получаем

Следовательно,

.

Теорема доказана.

Поскольку c лежит между точками a и x, то найдется такое число q, что 0<q<1, c-a=q(x-a). При этом    c=a+q(x-a) (это верно при любом расположении чисел a и x. Таким образом формулу (3) можно переписать в виде:

                      (2)

Формула Тейлора с общим членом может быть записана в виде:

.    (3)

 Остаточный член в форме Лагранжа получается из формулы (2) при a=n+1, когда имеем

.,  (0<q<1).                                  (4)

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.        (5)

Остаточный член в форме Коши получается из формулы (2) при a=1, когда имеем

.,  (0<q<1).                                  (6)

При a=0 формула (5) принимает вид

.                               (7)

и называется формулой Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

Замечание. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа более точная, чем формула Тейлора с остаточным членом Пеано, так как она оценивает остаточный член более точно. Но для применимости формулы Тейлора с остаточным членом в Форме Лагранжа требуется выполнимость более жестких условий: формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа требует сужествования на интервале производных на два порядка выше, чем в формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

  1.  Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

Применим формулу Маклорена к разложению некоторых элементарных функций.

1. Показательная функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

                                    (1)

Поскольку для любого фиксированного n остаток стремится к нулю при n®¥,

.

2. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.                          (2)

3. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.                          (3)

3. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.                                (4)

Заметим, что Rn(x) ® 0 при n®¥, если |x|<1.

4. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.      (4)

Заметим, что Rn(x) ® 0 при n®¥, если |x|<1.

Формулы Тейлора играет важную роль в математическом анализе. Заметим, что по формуле Тейлора можно приблизительно вычислить значение функции f(x) в точке x = a + Dx. В этом случае по Формуле Тейлора получаем

.

Отсюда получаем

где абсолютная погрешность вычисления можно найти, оценив остаточный член

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5991. Зміст та функціональна структура логістики підприємства 164.5 KB
  Підприємство - логістична система. Метод, предмет та об'єкти логістики підприємств. Концепція та функції логістики. Функціональна структура логістики підприємства. Піраміда та конфлікт цілей в логістиці підприємства
5992. Матеріальні потоки і логістичні операції 109 KB
  Матеріальні потоки і логістичні операції Поняття матеріального потоку. Види матеріальних потоків. Логістичні операції. Поняття матеріального потоку Поняття матеріального потоку є ключовим у логістиці. Матеріальні потоки утворюють...
5993. Инвентаризация основных средств и учет продовольственных товаров предприятия 152.39 KB
  Введение Бухгалтерский учет является специальной дисциплиной, раскрывающий теоретические основы и практические вопросы организации, принципы и методы ведения учетной работы. Целью выполнения данной курсовой работы является закрепление и углубл...
5994. Экономическая информация как часть информационного ресурса общества 52.07 KB
  Экономическая информация как часть информационного ресурса общества: Данные, информация, знания экономическая информация. Формы существования информации. Семиотический аспект рассмотрения информации. Свойства данных, информации и знаний. Экономика ...
5995. Ассортимент и эргономические показатели качества шерстяных одеял 1.1 MB
  Ассортимент одеял Человек одну треть своей жизни проводит во сне, поэтому очень большое значение имеет выбор шерстяного одеяла. Согласно ГОСТ Р 51554 одеяло - это текстильное изделие из числа постельных принадлежностей, спроектированное и...
5996. Механика. Термодинамика. Молекулярная физика 383.23 KB
  Механика. Молекулярная физика. Термодинамика Содержание: Основные понятия кинематики Перемещение точки и пройденный путь. Скорость. Вычисление пройденного пути Ускорение при криволинейном движении Нормальное, тангенциальное и полное ускорение Кинема...
5997. Создать метод и измерительную систему, обеспечивающие НК температурных характеристик структурных переходов 578.5 KB
  Актуальность темы исследования. Полимерные материалы (ПМ) находят широкое применение, что обусловлено разнообразием их свойств, которые можно изменять при применении новых технологий. Информация о структурных переходах (фазовых, релаксационных) в ПМ...
5998. Исследование физических процессов, возникающих в структурах металл-диэлектрик-полупроводник 639.5 KB
  Актуальность работы. Разрушения изделий, аппаратов, конструкций, связанные с нарушением прочности материалов, приводят к серьезным последствиям, а в некоторых отраслях и технологических процессах они просто недопустимы. Следовательно, при эксплуатац...
5999. Планирование маркетинга строительства 153 KB
  На современном этапе социально-экономического развития все большую роль приобретает такая отрасль экономического знания, как экономика строительства. Это вполне закономерно, если учитывать то влияние, которое оказывает строительство на экон...