22421

Правила Лопиталя. Формула Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Формула Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

Русский

2013-08-03

245 KB

20 чел.

Лекция 9. Правила Лопиталя. Формула Тейлора.

  1.  Первое правило Лопиталя.
  2.  Второе паравило Лопиталя.
  3.  Применение правил Лопиталя при раскрытии неопределенностей.
  4.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
  5.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
  6.  Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

  1.  Первое правило Лопиталя.

Теорема 1 (первое правило Лопиталя - неопределенность ). Пусть

  1.  функции  f(x) и g  (x) определены и дифференцируемы в некоторой выколотой 1 - окрестности точки а ;
  2.  
  3.   g ' (x) 0 при всех x из некоторой выколотой 2 - окрестности точки а;
  4.  существует конечный или бесконечный предел отношения  при x  a, т.е. существует предел . 

Тогда существует предел отношения при x  a и имеет место равенство.

Доказательство. Докажем теорему, используя определение Гейне. Пусть {xn}- произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к  a. Так как все члены последовательности {xn} начиная с некоторого места принадлежат  -окрестности точки a, где = min{1, 2}, то будем предполагать, что все члены последовательности {xn} принадлежат этой -окрестности. Доопределим f(x) и g (x)  в точке x = a, полагая f(a) = 0 и g  (a) = 0. Тогда функции f(x) и g (x) будут непрерывны в точке x = a, по условия функции f(x) и g(x) дифференцируема на интервале In с концами xn и a . Тогда по теореме Коши найдется такая точка n In , что выполняется равенство

                                                           (1).

Пусть в формуле (1) n  . Так как xn   а и n находится между а и xn, то n   а. Так как предел   существует и равен l, то предел . Следовательно, . Так как это справедливо для любой последовательности {xn}, сходящаяся к  a, то по определению предела по Гейне получаем.

Замечание 1. Первое правило Лопиталя имеет место и для правого и левого пределов как в конечной так и в бесконечных точках.

 Замечание 2. Первое правило Лопиталя можно применять несколько раз при условии, что последний предел существует и при каждом переходе выполняются условия теоремы 1.

Пример.

.

  1.  Второе правило Лопиталя.

Теорема 1 (первое правило Лопиталя - неопределенность ). Пусть

  1.  функции  f(x) и g  (x) определены и дифференцируемы в некоторой выколотой 1 - окрестности точки а ;
  2.  
  3.   g ' (x) 0 при всех x из некоторой выколотой 2 - окрестности точки а;
  4.  существует конечный или бесконечный предел отношения  при x  a, т.е. существует предел . 

Тогда существует предел отношения при x  a и имеет место равенство.

Доказательство. Доказательство. Докажем теорему, используя определение Гейне. Пусть {xn}- произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к  a слева (или справа). Так как все члены последовательности {xn} начиная с некоторого места принадлежат  -окрестности точки a, где = min{1, 2}, то будем предполагать, что все члены последовательности {xn} принадлежат этой -окрестности. Пусть xn и xm два произвольные члена последовательности с достаточно большими номерами с условием n > m. Тогда функции f(x) и g (x) будут функции f(x) и g(x) дифференцируема на интервале In с концами xn и xm . Тогда по теореме Коши найдется такая точка nбь In , что выполняется равенство

 .                                                          (1).

Отсюда

.                                                                       (2)

Пусть в формуле (2) n, m  . Так как xn xm   а и n,m находится между xn и xm, то n,m   а при n, m  .. Так как предел   существует и равен l, то предел . Далее для любого > 0 существует такой номер m, что для всех n > m выполняется неравенство .  

Так как то для любого фиксированного значения m  . Тогда

Следовательно, существует такой номер n0, что при n > n0 неравенство

.

Тогда

По определению предела получаем, что

.

Так как это справедливо для любой последовательности {xn}, сходящаяся к  a, то по определению предела функции по Гейне получаем.

Замечание 1. Второе правило Лопиталя имеет место и для правого и левого пределов как в конечной так и в бесконечных точках.

Замечание 2. Второе правило Лопиталя можно применять несколько раз при условии, что последний предел существует и при каждом переходе выполняются условия теоремы 1.

Пример. .

  1.  Применение правил Лопиталя при раскрытии неопределенностей.

Правило Лопиталя применяется при раскрытии неопределенностей, указанных в предыдущих параграфах видов

, и неопределенностей видов 0,   - , 1  , 0 , 00, которые сводятся к указанным двум неопределенностям.

Пример 1. .

Пример 1. .

Неопределенности 1  , 0 , 00 раскрываются методом логарифмирования или использование основного логарифмического тождества и по теореме о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Например,

,

При вычислении пределов в показателе можно применять правила Лопиталя.

Пример 3.

 .

Пример 2.

 .

Пример 2. . Обозначим  и применим способ логарифмирования.

.

.

Отсюда

.

  1.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Определение 1. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки a и имеет в этой точке все производные до n-го порядка включительно. Многочленом Тейлора функции f(x) порядка n степени с центром в точке a называется следующее выражение:

       (1)

Теорема 1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть выполняются условия:

  1.  функция f(x) определена и n-1 раз дифференцируема в некоторой окрестности точки a;
  2.  имеет в точка a производную n-го порядка f(n)(a).

Тогда 

Rn(x) = f(x)-fn(a,x) = o((x-a)n) ,                                                               (2)

где символ o((x-a)n) обозначает, что Rn(x) есть величина бесконечно малая при x-a ® 0 большего порядка чем (x-a)n.

Доказательство. Применим правило Лопиталя n-1 раз при x-a ® 0 к отношению

.

Получим

(в последнем переходе мы использовали определение производной функции и существование  производной n-го порядка в точке a). Отсюда a(x) по определению есть бесконечно малая при x®a, и по определению символа o - малое Rn(x) = o((x-a)n).  

Равенство (1) удобно записать в виде:

  (3)

и его обычно называют формулой Тейлора n-го порядкас остаточным членом в форме Пеано.

Кроме этого равенство (2) утверждает, что   f(x) ~ fn(a,x) при x®a.

некоторой окрестности точки a и имеет в этой точке все производные до n-го порядка включительно.

Разность Rn(x) = f(x)-fn(a,x)  называют остаточным членом в формуле Тейлора. При a=0 формула (3) принимает вид

.                  (4)

и называется формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.

  1.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Теорема 1 (формула Тейлора с остаточным членом в общем виде). Пусть функция f(x) n+1 раз дифференцируема на интервале (x1, x2)  и пусть x, a - любые две точки из этого интервала. Тогда для любого положительного числа a существует такая точка с лежащая между точками x и a, что выполняется равенство:

.                         (1)

Доказательство. Определим функцию g(x) равенством

.

Нам надо доказать, что между точками x, a найдется такая точка , что выполняется равенство

.

Равенство, определяющее g(x), можно записать в виде

.

Рассмотрим функцию j(t), определенную на отрезке с концами x, a, равенством

.

Проверяем для этой функции j(t) условия теоремы Ролля:

  1.  .
  2.  Функция j(t) непрерывна на с концами x, a. 
  3.  Функция  дифференцируема на интервале с концами x, a.

Тогда по теореме Ролля существует такая точка , лежащая между точками , что выполняется равенство

(с) = 0.  Так как

,

то

Отсюда при t=c получаем

Следовательно,

.

Теорема доказана.

Поскольку c лежит между точками a и x, то найдется такое число q, что 0<q<1, c-a=q(x-a). При этом    c=a+q(x-a) (это верно при любом расположении чисел a и x. Таким образом формулу (3) можно переписать в виде:

                      (2)

Формула Тейлора с общим членом может быть записана в виде:

.    (3)

 Остаточный член в форме Лагранжа получается из формулы (2) при a=n+1, когда имеем

.,  (0<q<1).                                  (4)

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.        (5)

Остаточный член в форме Коши получается из формулы (2) при a=1, когда имеем

.,  (0<q<1).                                  (6)

При a=0 формула (5) принимает вид

.                               (7)

и называется формулой Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

Замечание. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа более точная, чем формула Тейлора с остаточным членом Пеано, так как она оценивает остаточный член более точно. Но для применимости формулы Тейлора с остаточным членом в Форме Лагранжа требуется выполнимость более жестких условий: формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа требует сужествования на интервале производных на два порядка выше, чем в формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

  1.  Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

Применим формулу Маклорена к разложению некоторых элементарных функций.

1. Показательная функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

                                    (1)

Поскольку для любого фиксированного n остаток стремится к нулю при n®¥,

.

2. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.                          (2)

3. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.                          (3)

3. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.                                (4)

Заметим, что Rn(x) ® 0 при n®¥, если |x|<1.

4. Функция . Имеем

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид:

.      (4)

Заметим, что Rn(x) ® 0 при n®¥, если |x|<1.

Формулы Тейлора играет важную роль в математическом анализе. Заметим, что по формуле Тейлора можно приблизительно вычислить значение функции f(x) в точке x = a + Dx. В этом случае по Формуле Тейлора получаем

.

Отсюда получаем

где абсолютная погрешность вычисления можно найти, оценив остаточный член

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40482. Календарная обрядовая поэзия 22 KB
  Перемены происходят так медленно что за время жизни одного человека они практически незаметны. Святки – месяц перед крещением 6 декабря – 6 января – время отдыха и праздника у крестьян. Веселое и страшное время: самое тёмное время разрядка после тяжелого года бога надо любить и бояться Бог на радостях что сын родился открыл двери ада и выпустил нечисть погулять Рождество Христово – мистическое пришествие Христа в наш мир. Жанры: колядки – песни которые пели во время колядования.
40483. Литература и фольклор 21 KB
  Литературы всех народов мира сложились на основе устного народного творчества которое возникло и развилось значительно ранее письменности. Использование фольклора с развитием литературы становилось все более глубоким творческим. В истории литературы и фольклора любого народа существовали периоды сближения и отдаления: в период классицизма литература и фольклор стояли довольно далеко друг от друга. в период романтизма связи литературы и фольклора значительно расширяются что определялось принципами национальной самобытности осуществление...
40484. Миф и фольклор 28.5 KB
  Зооморфные мифы – человек отождествляется с тем или иным животным. Космогонические мифы – мифы о сотворении мира. Древние мифы исчезают = отношение к ним исчезает. Пустые мифы – первые фольклорные тексты.
40485. Мифологическая школа в русской фольклористике 21 KB
  В XIX веке существовали две теории что такое миф: солярная – мифы – обожествление небесных светил метеорологическая – мифы – обожествление природных явлений Недостатки Фольклор только память о мифе – это преувеличенная точка зрения.
40486. Народная несказочная проза 22.5 KB
  Также бывают историкопатриотические легенды. Классификация легенд: легенды о сотворении мира о происхождении солнца месяца звезд земли и неба; легенды о животных; легенды о Боге Христе святых; легенды о наказании злых и прощении грешников; социальноутопические легенды; семейные легенды; легенды с сатирическими мотивами.
40487. Натурфилософия русской волшебной сказки 20 KB
  1 Борьба добра и зла где: добро – бескорыстие благородство качества Ивана Дурака; жизнь зло – отсутствие этих качеств старшие братья; смерть. 2 Жизнь порождает новую жизнь.
40488. Образ Бабы Яги 21.5 KB
  Баба Яга живет в избушке находящейся на границе двух миров в тёмном лесу. Баба Яга безусловно злой персонаж но делает добрые дела. Костяная нога лежит на печи: нос в потолок врос а пятки в дверь упираются атрибуты смерти – Баба Яга живет в гробу С одной стороны Баба Яга окружена атрибутами смерти а с другой – атрибуты кухни. В XVIII веке в Европе – добрая волшебница и злая колдунья; в России – одна Баба Яга.
40489. Образ врагов в былинах 20 KB
  Образ врагов в былинах. Эволюция образа: Змей Горыныч – самый древний зооморфный СоловейРазбойник – промежуточный образ терратоморфный Тугарин – человек но остается змеиное – крылья от Горыныча антропоморфный король литовский Калин – антропоморфные сам богатырь если отпадет от земли русской – Дунай.
40490. Образ Ивана Дурака 24 KB
  Образ Ивана Дурака. Иван Дурак открывает ряд литературных персонажей который заканчивается Христом. В волшебной сказке Иван – дурак в архетипичном смысле слова. Иван Дурак – высокий дурак ср.