22422

Исследование функции с помощью производной

Лекция

Математика и математический анализ

Исследование функции с помощью производной. Возрастание и убывание функции на промежутке. Точки экстремума функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Русский

2013-08-03

216 KB

24 чел.

110100, 110600                              Математика                                 Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 20. Исследование функции с помощью производной.

  1.  Возрастание и убывание функции на промежутке.
  2.  Точки экстремума функции. Необходимые и достаточные условия точек экстремума.
  3.  Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
  4.  Выпуклость графика функции.  Точки перегиба.
  5.  Асимптоты функции.
  6.  Общая схема исследования и построения графика функции.

Литература: Ильин В.А., с.291-316 ;  Письменный Д., с. 171-178. Ермаков В.И., с.222-245. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с. 144-156.  Мантуров О.В., Матвеев Н.М., с. 232-248, 432-440.   

  1.  Возрастание и убывание функции на промежутке.

Определение 1. Функция f называется строго возрастающей на множестве M, если для любых x1, x2  M, если x1 <x2,, то f(x1)< f(x2), т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции. 

Определение 2. Функция f называется не строго возрастающей на множестве M, если для любых x1, x2  M, если x1 <x2,, то f(x1) f(x2).

Определение 3. Функция f называется строго убывающей на множестве M, если для любых x1, x2  M, если x1 <x2,, то f(x1)> f(x2), т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. 

Определение 4. Функция f называется не строго убывающей на множестве M, если для любых x1, x2  M, если x1 <x2,, то f(x1) f(x2), т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. 

Функция y = f(x), график которой изображен на рисунке 1, возрастает на отрезках (-, x1], [x2, x4] промежутка и убывает на промежутках [x1, x2], [x4, ).

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие возрастания или убывания функции на интервале). 1) Пусть  функция f дифференцируема на интервале (a, b). Тогда справедливы утверждения:

1) Функция f  не убывает (не строго возрастает) на интервале (a, b) тогда и только тогда, когда для любого x  (a, b)   f ' (x)   0;

2) Функция f  не возрастает (не строго убывает) на интервале (a, b)  тогда и только тогда, когда для любого x  (a, b)   f ' (x)   0;

3)  Функция f  строго возрастает на (a, b)  тогда и только тогда, когда для любого x  (a, b)   f ' (x) 0, и нет под интервалов из   (a, b), на которых производная f ' (x) тождественно равна нулю;

  1.  Функция f  строго убывает на (a, b)  тогда и только тогда, когда для любого x  (a, b)   f ' (x) 0, и нет под интервалов из (a, b), на которых производная f ' (x) тождественно равна нулю.

Замечание 1. Утверждение теоремы справедливо также для любого промежутка, если концы промежутка принадлежат ему, то дополнительно нужно требовать непрерывность функции f в таких точках.

Доказательство. 1) Пусть функция f не убывает на (a, b). Тогда в любых двух точках x0, x  (a, b) знаки  f(x)- f(x0), x - x0,совпадают и отношение . Тогда по теореме о переходе к пределу под знаком неравенства .Тогда в каждой точке x  (a, b) имеем f ' (x)   0.

Обратно, пусть для любого x  (a, b)   f ' (x)   0. Возьмем любые две точки  x1, x2  (a, b), и x1 <x2,. По теореме Лагранжа найдется такая точка c  (a, b), что выполняется равенство

f  (x2) - f  (x1) = f ' (c)( x2 - x1)                                                                 (1)

Так как f ' (c) 0 ,  x2 > x1 , то f  (x2) - f  (x1) = f ' (c)( x2 - x1) 0 и f  (x2)  f  (x1). Следовательно, функция f не убывает на (a, b). Первая часть теоремы доказана.

2) Пусть функция f  строго возрастает на (a, b). Тогда по выше доказанному для любого x  (a, b)   f ' (x)   0. каждой точке x  (a, b) функция f не возрастает и тогда по лемме Дарбу f ' (x)   0. Покажем, что нет ни одного интервала (,)(a, b), для которого   f ' (x)   0. Допустим противное, что найдется такой интервал (,)(a, b), что для любого x  (,) выполняется равенство f ' (x)=0. Тогда по следствию теоремы Лагранжа функция f постоянная на (,), что противоречит тому, что функция строго возрастает на  (a, b) (в том числе и на (,)).

Обратно, пусть для любого x  (a, b)   f ' (x)   0 и нет ни одного интервала (,)(a, b), для которого   f ' (x)   0. По доказанному выше функция f не убывает на (a, b). Докажем, что f строго возрастает на (a, b). Возьмем любые две точки  x1, x2  (a, b), и x1 <x2,. По сказанному выше f  (x2)  f  (x1). Докажем, что f  (x2) > f  (x1). Допустим противное, что f  (x2) = f  (x1). Так как функция f не убывает на (x1, x2), то отсюда следует, что постоянная на (x1, x2). Тогда по следствию теоремы  Лагранжа f ' (x)   0 на (x1, x2). Получаем противоречие условию. Вторая часть теоремы доказана.

Подобным образом доказываются две остальные части.

Определение 5. Точка x0 , в которой функция f определена, а производная равна нулю, f ' (x0) = 0, называется стационарной точкой функции f.

Определение 5. Точка x0 , в которой функция f определена, а производная равна нулю или не существует называется критической точкой функции f.

Алгоритм исследования функцию f на монотонность:

  1.  найти область определения функции f;
  2.  вычислить производную функции f;
  3.  найти все критические точки функции f;
  4.  найти знаки производной во каждом из промежутках области определения, где нет критических точек.

Тогда по теореме 1 на тех промежутках, где производная больше нуля функция f будет строго возрастать, где производная меньше нуля функция f  будет убывать.

  1.  Точки экстремума функции. Необходимые и достаточные условия точек экстремума.

Определение 1. Точка x0 называется точкой локального максимума функция f , если в некоторой выколотой - окрестности точки x0, выполняется неравенство f(x)< f(x0).

Определение 2. Точка x0 называется точкой локального минимума функция f , если в некоторой выколотой - окрестности точки x0, выполняется неравенство f(x)> f(x0).

Определение 3. Точка x0 называется точкой локального экстремума функция f , если она имеет в этой точке локальный максимум или минимум.

На рис.1 функция f возрастает в точке x3, убывает в точке x5. Точки x1 , x4 являются точками локального максимума, точка x2 - точкой локального минимума функции.

Нами была доказана теорема Ферма, содержащая необходимое условие точки экстремума функции.

Теорема 1 (теорем Ферма - необходимое условие экстремума функции). Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке [a, b], x0 -  внутренняя точка отрезка [a, b]. Если точка x0 является точкой экстремума функции f (собственного или несобственного) и функция f в точке x0 имеет производную, то f ' (x0) = 0. 

Замечания 1. Геометрически равенство f ' (x0) = 0 обозначает, что в точке экстремума x =x0 дифференцируемой функции f касательная параллельна оси Ox.

2. Условие f ' (x0) = 0 не является достаточным, для того, чтобы точка x =x0 являлась точкой экстремума функции f . Например, для функции y = x 3 в точке x = 0 производная  y' = 3x 2 обращается в ноль, а точка x = 0 не является точкой экстремума этой функции.

3. Существуют функции, например, , для которых в точке экстремума производная не существует.

Следствие. Непрерывная функция может иметь экстремумы только в критических точках.

Теорема 2 (первое достаточное условие экстремума функции). Пусть функция f непрерывна в некоторой окрестности критической точки x0 и дифференцируема в выколотой окрестности точки x0. Тогда:

  1.  если f ' (x) > 0 слева от точки x0 и f ' (x) < 0 справа от точки x0, то точка x0 - точка строгого локального максимума функции f;
  2.   если f ' (x) < 0 слева от точки x0 и f ' (x) > 0 справа от точки x0, то точка x0 - точка строгого локального минимума функции f;
  3.  если f ' (x)  слева и справа от точки x0, имеем один и тот же знак, то точка x0  не является точкой экстремума не в широком ни в узком смысле.

Замечания 1. Данную теорему можно сформулировать следующим образом: если при переходе через критическую точку x0 производная функции f меняет свой знак с - на + , то точка x0 - точка локального максимума функции f; если меняет свой знак с + на -, то точка x0 - точка локального минимума функции f; если сохраняет знак, то локального экстремума в точке x0 нет.

Доказательство. 1) По теореме Лагранжа для любой точки x  U*(x2, ) найдется такая точка c, лежащая между точками x  и x0,что выполняется равенство

f  (x)= f  (x0) + f ' (c)( x - x0) .                                                                (1)

Если x < x0, то x - x0 <0, c < x0 и по условию f ' (c) > 0. Отсюда f ' (c)( x - x0) < 0. Если x > x0, то x - x0 > 0 и c > x0 по условию f ' (c) < 0 и f ' (c)( x - x0) < 0. Поэтому всегда f ' (c)( x - x0) < 0 и из формулы (1) следует, что f  (x) < < f  (x0). По определению точка x0 - точка максимума.

Если x < x0, то x - x0 <0, c < x0 и по условию f ' (c) < 0. Отсюда f ' (c)( x - x0) > 0. Если x > x0, то x - x0 > 0 и c > x0 по условию f ' (c) > 0 и f ' (c)( x - x0) > 0. Поэтому всегда f ' (c)( x - x0) > 0 и из формулы (1) следует, что f  (x) > f  (x0). По определению точка x0 - точка минимума.

Если f ' (x0)>0 слева и справа от точки x0. Отсюда имеем f  (x1) < f  (x0) < f  (x2) при x1 < x0 < x2, что и требовалось доказать. Случай f ' (x0)<0 рассматривается аналогично.  

Теорема 3 (второе достаточное условие экстремума функции). Пусть функция f дважды дифференцируема в точке x0. и x0 - стационарная точка функции f , т.е. f ' (x0) = 0 . Тогда:

  1.  если f '' (x0) < 0 , то точка x0 - точка строгого локального максимума функции f;
  2.  если f '' (x0) > 0 , то точка x0 - точка строгого локального минимума функции f.

Доказательство. 1) Пусть f '' (x0) < 0. Тогда  точка x0 - точка убывания функции f ' (x). Поскольку f ' (x0) = 0, то слева от точки x0 имеем f ' (x) > 0, а справа от точки f ' (x) < 0. Таким образом, при переходе через стационарную точку x0 производная функции f меняет свой знак с + на - , и точка x0 - точка локального максимума функции f.

2) Пусть f '' (x0) > 0. Тогда  точка x0 - точка возрастания функции f ' (x). Поскольку f ' (x0) = 0, то слева от точки x0 имеем f ' (x) < 0, а справа от точки f ' (x) > 0. Таким образом, при переходе через стационарную точку x0 производная функции f меняет свой знак с - на + , и точка x0 - точка локального минимума функции f.

Теорема 4 (третье достаточное условие экстремума функции). Пусть функция f  2k раз дифференцируема в x0. и

.                                  (2)

Тогда:

  1.  если , то точка x0 - точка  локального максимума функции f;
  2.  если, то точка x0 - точка  локального минимума функции f.

Доказательство. 1) Пусть . Так как для k=1 по теореме 3 утверждение теоремы верно, то докажем его при k>1. Для доказательства теоремы разложит f ' (x) в точке x0 по формуле Тейлора 2k порядка с остаточным членом в форме Лагранжа:

где 0 < < 1. По условию (2) получаем

,

где с находится между точками x и x0. Так как , то убывает в точке x0 и поэтому меняет знак + на - при переходе через точку x0. Следовательно, и f ' (x) меняет знак с + на - при переходе через точку x0. Поэтому точка x0 - точка локального максимума функции f.

2)  Вторая утверждения теоремы доказывается аналогично.  

Алгоритм нахождения локальных экстремумов функцию f ;

  1.  найти область определения функции f;
  2.  вычислить производную функции f;
  3.  найти все критические точки функции f;
  4.  найти знаки производной во каждом из промежутках области определения, где нет критических точек.

Далее можно воспользоваться теоремой 2; если при переходе через критическую точку x0 производная функции f меняет свой знак с - на + , то точка x0 - точка локального максимума функции f; если меняет свой знак с + на -, то точка x0 - точка локального минимума функции f; если сохраняет знак, то локального экстремума в точке x0 нет.

  1.  Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

По свойству непрерывных функций, если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения. При этом это значение будут достигаться либо в концевых точках отрезка [a, b] либо во внутренних точках отрезка [a, b]. Если наибольшее или наименьшее значение функции f достигается во внутренней точке отрезка [a, b], то такая точка по определению будет являться экстремальной точкой функции f. Следовательно, по теореме 1 является критической точкой функции f. Таким образом наибольшее и наименьшее значение функция f принимает либо в концевых точках отрезка [a, b] либо в критических точках функции f, принадлежащих интервалу (a, b).

Отсюда вытекает алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f на отрезке [a, b], непрерывной  на нем;  

  1.  вычислить производную функции f;
  2.  найти все критические точки x1, x2,…, xm функции f; принадлежащие интервалу (a, b);
  3.  найти значения функции f на концах отрезка [a, b] и в найденных выше критических точках.

Тогда.

  1.  Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Определение 1. Функция f называется выпуклой вниз на интервале (a, b) или просто выпуклой, если график функции лежит над касательной в любой точке данного интервала.

Определение 2. Функция f называется выпуклой вверх на интервале (a, b) или просто вогнутой, если график функции лежит под касательной в любой точке данного интервала.

Определение 3. Точки x0  области определения функции f называется точками перегиба для функции f, если  в этих точках график функции f меняет свою выпуклость на противоположную.

Функция y = f(x), изображенная на рисунке 2 выпукла вверх (вогнута) на интервалах (х1, х2), (х3, х4), выпукла вниз (выпукла) на интервале (х2, х3), точки х2, х3 являются точками перегиба графика функции f.

Если х0 произвольная фиксированная точка интервала (a, b) и

,

то уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке  (х0 , f0)) задается формулой y = f1(x). Тогда по определению получаем:

если функция f(х) выпукла вниз на интервале (a, b), то для любого x  (a, b) имеем f(х)  f1(x) ;

если функция f(х) выпукла  вверх на интервале (a, b), то для любого x  (a, b)имеем f(х)  f1(x).

Теорема 1 (второе достаточное условие выпуклости функции). Пусть функция f дважды дифференцируема на интервале (a, b). Тогда:

  1.  если f '' (x) 0 на (a, b), то функция f выпукла вниз на интервале (a, b);
  2.  если f '' (x) 0 на (a, b), то функция f выпукла вверх на интервале (a, b)

Доказательство. 1) Пусть f '' (x) 0 на (a, b). По формуле Тейлора имеем

,

где с находится между точками a и b. Так как f '' (c) 0, то получаем, что  для любого x  (a, b). Тогда функция f(х) выпукла вниз на интервале (a, b).

2) Пусть f '' (x) 0 на (a, b). По формуле Тейлора имеем

,

где с находится между точками a и b. Так как f '' (c) 0, то получаем, что  для любого x  (a, b). Тогда функция f(х) выпукла вверх на интервале (a, b).

Теорема 2. Если f '' (x0) < 0 и f '' (x) непрерывна в точке x0, то существует -окрестность точки x0,, в которой функция выпукла вверх.

Если f '' (x0) > 0 и f '' (x) непрерывна в точке x0, то существует -окрестность точки x0,, в которой функция выпукла вниз.

Доказательство. 1) Поскольку функция f '' (x) непрерывна в точке x0, и f '' (x0) < 0, по свойству непрерывных функций найдется такая -окрестность точки x0, что в ней выполняется неравенство f '' (x) < 0. Тогда по теореме 1 функция выпукла вверх в этой -окрестность точки x0 .

Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.

Определение 1. Точка x0  области определения функции f называется точкой перегиба графика функции ( или просто функции) f, если  в этой точке график функции f меняет свою выпуклость на противоположную, т. е. существует такая проколотая окрестность точки x0, что в левой и правой полуокрестностях точки x0 функция f имеет разную выпуклость.

Лемма 1. Пусть функция f имеет производную в  -окрестности точки x0, причем эта производная непрерывна в точке . Тогда,

1) если на интервале (x0, x0 + ) функция f выпукла вверх (вниз), то всюду в пределах интервала (x0, x0 + ) график функции лежит не ниже (не выше) касательной к графику, проведенной в точке M(x0, f  (x0)).

2) если на интервале (x0 -  , x0)  функция f выпукла вверх (вниз), то всюду в пределах интервала (x0 -  , x0)  график функции лежит не выше (не ниже) касательной к графику, проведенной в точке M(x0, f  (x0)).

Доказательство. 1) Рассмотрим последовательность точек {xn} интервала (x0, x0 + ), сходящихся к точке x0. Через каждую точку Mn(xn, f (xn)) графика функции f проведем касательную к этому графику, т.е. прямую

Так как по условию функция на интервале (x0, x0 + ) выпукла вниз (вверх), то для любого номера n и любой фиксированной точки x(x0, x0 + ) выполняется неравенство

.                                     (1)

Из условия непрерывности функции f ' (x) и тем более непрерывности функции f  (x) вытекает существование предела

Из существования этого предела в силу неравенства (1) получаем

.

Так как

есть уравнение касательной, проходящей через точку M(x0, f  (x0)), то последнее неравенство перепишется в виде

.

Это обозначает, что график функции лежит не ниже (не выше) касательной, проведенной через точку M(x0, f  (x0)).

Аналогично доказывается вторая часть утверждения леммы.

Лемма 2. Пусть функция f имеет производную в некоторой окрестности точки x0, причем эта производная непрерывна в точке x0. Тогда, если x0  точка перегиба графика функция f, то существует такая  -окрестность точки x0, что график функции f слева и справа от точки x0 лежит по разные стороны от  касательной, проведенной к графику функции f  через точку M(x0, f  (x0)).   

Доказательство. Выберем такую  -окрестность точки x0, что в левой и правой полуокрестностях точки x0 функция f имеет разную выпуклость, т.е. на интервале (x0 -  , x0) и (x0, x0 + )  функция f разное направление выпуклости. Пусть для определенности в левой половине   -окрестности, т.е. на интервале (x0 -  , x0)  функция f выпукла вверх, а в правой половине окрестности, т.е. на интервале (x0, x0 + ) функция f выпукла вниз (см. на рис. 1 точку x2). Тогда по лемме 2 на интервале (x0 -  , x0)  график функция f находится ниже касательной, на интервале (x0, x0 + ) график функция f находится выше касательной.

Аналогично рассматривается случай, когда на интервале (x0 -  , x0)  функция f выпукла вниз, а на интервале (x0, x0 + ) функция f выпукла вверх (см. на рис. 1 точку x3).

Теорема 1 (необходимое условие точки перегиба графика функции). Если в точке  x0  функция f имеет вторую производную  f '' (x0) и точка x0 является точкой перегиба графика функции f , то f '' (x0)=0.

Доказательство. Пусть

уравнение касательной к графику функции f, проходящей через точку M(x0, f  (x0)). Рассмотрим функцию

.

Эта функция r  имеет в точке x0  вторую производную и поэтому имеет первую производную в некоторой  -окрестности точки x0. При этом первая производная непрерывна в  -окрестность точки x0,. Тогда по лемме 2 график функции f слева и справа от точки x0 лежит по разные стороны от  касательной, проведенной к графику функции f  через точку M(x0, f (x0)). Следовательно, функция r в малой окрестности точки x0 имеет слева и справа от точки x0 разные знаки. Тогда точка x0 не является точкой локального экстремума функции r.

Докажем, что f '' (x0)=0. Предположим противное, что f '' (x0) 0. Так как

то выполняются условия

и функция r по второму достаточному условию имеет в точке x0 локальный экстремум. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и получаем f '' (x0)=0.   

Теорема 2 (первое достаточное условие точки перегиба графика функции). Пусть функция f дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x0. и  f '' (x0) = 0 . Тогда, если в пределах этой окрестности вторая производная f '' (x) имеет разные знаки слева и справа от точки x0,, то точка x0 является точкой перегиба графика функции f.

Доказательство.  Так как в точке x0 функция f имеет вторую производную, то она имеет в точке x0 и первую производную, и поэтому существует касательная к графику функции f  в точке x0. Так как вторая производная f ''(x) имеет слева и справа от точки x0 разные знаки, то  по теореме предыдущей лекции слева и справа от точки x0 направления выпуклости функции f различные. Тогда x0 - точка перегиба графика функции f.

Замечание. Условие равенства f '' (x0) = 0 значения второй производной функции f в точке x0 нулю не является достаточным для того, чтобы точка стала точкой перегиба графика функции f. Например, для функции f (x) = x4  имеем

f '' (x) = 12x2 , f '' (0) = 0, но точка x = 0 не является точкой перегиба функции f (x) = x4.  

Теорема 3 (второе достаточное условие точки перегиба графика функции). Пусть функция f трижды дифференцируема в  точке x0. и  f '' (x0) = 0, f ''' (x0) 0. Тогда, если в пределах этой окрестности вторая производная f '' (x) имеет разные знаки слева и справа от точки x0, то точка x0  является точкой перегиба графика функции f.

Доказательство.  Так как f ''' (x0) 0, то в точке x0 функция f '' (x) либо возрастает, если f ''' (x) > 0, либо убывает, если            f ''' (x) < 0.  Так как f '' (x0) = 0 , то существует такая окрестность точки x0, в пределах которой вторая производная f '' (x) имеет разные знаки слева и справа от точки x0. Следовательно, по теореме 2 точка x0 является точкой перегиба графика функции f.

Теорема 4 (третье достаточное условие точки перегиба графика функции). Пусть функция f  2k раз дифференцируема в некоторой окрестности точки  x0. и имеет производную порядка  2k +1 в точке x0. Пусть далее

.                                  (2)

Тогда точка x0  является точкой перегиба графика функции f.

Доказательство. Так как , то точка является точкой возрастания или убывания для функции . Рассмотрим проколотую  - окрестность U точки x0, в которой  меняет знак при переходе через точку x0 и сохраняет знак внутри каждой ее полуокрестности.

Для k=1 утверждение теоремы следует из теоремы 2. Поэтому  докажем теорему для k2. Пусть x U ля доказательства теоремы разложит f '' (x) в точке x0 по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

где 0 < < 1. По условию (2) получаем

,

где с находится между точками x и x0 и  поэтому принадлежит U. Далее (x - x0)(c- x0) >0.  Так как сохраняет знак в окрестности U и меняет знак при переходе через точку x0, то   f '' (x) меняет знак при переходе через точку x0 . Следовательно, по теореме 2 точка x0 является точкой перегиба графика функции f.

Алгоритм нахождения  точек перегиба графика  функцию f ;

  1.  найти область определения функции f;
  2.  вычислить первую и вторую производные функции  f;
  3.  найти все критические точки первой производной f ' , т.е. такие точки, в которых вторая производная или не существует или обращается в ноль.
  4.  найти знаки второй производной на каждом из промежутках области определения, где нет критических точек.

Далее можно воспользоваться теоремой 2; если при переходе через критическую точку x0 производной вторая производная функции f меняет свой знак, то точка  x0 - точка перегиба графика функции f.

  1.  Асимптоты функции.

Определение 1. Прямая x = a на плоскости Oxy называется вертикальной асимптотой графика функции f, если хотя бы один из пределов

равен  .

Пример. Для функции  прямая x = 0 является вертикальной асимптотой.

Определение 2. Прямая y  = kx + b на плоскости Oxy называется наклонной  асимптотой графика функции f при x+ (или просто функции), если

.

Прямая y  = kx + b на плоскости Oxy называется наклонной  асимптотой графика функции f при x - (или просто функции), если

.

Пример 1. График функции, изображенный на рис.2 имеет две вертикальные и две наклонные асимптоты.

Теорема 1. Прямая y  = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f при x- тогда и только тогда, когда существуют два предела:

  1.  ,
  2.  .

Замечание. Аналогичное утверждение имеет место и для наклонных асимптот при x -.

Доказательство. Необходимость. Пусть прямая y  = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f при x+. Тогда по определению 2 . Отсюда - бесконечно малая величина при x+. Тогда

Достаточность. Пусть существуют пределы 1) и 2) в условии теоремы. Докажем, что прямая y  = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f при x+. Из второго условия теоремы следует, что

.

Тогда по определению 2 прямая y  = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f при x+.

Алгоритм нахождения  асимптот графика функции  f :

  1.  найти точки все конечные граничные точки области определения функции f;
  2.  вычислить правый и левый пределы функции   f в каждой конечные граничной точке a области определения функции f, если хотя бы один из пределов равен  , то прямая x = a вертикальная асимптота функции f.;
  3.  найти пределы 1) и 2) в теореме 1 при x + (x -);
  4.  если хотя бы один из пределов 1), 2) при x + не существует, то наклонной асимптоты при x + нет, если оба предела существуют то прямая y  = kx + b наклонная асимптота при x + ;
  5.  если хотя бы один из пределов 1), 2) при x - не существует, то наклонной асимптоты при x - нет, если оба предела существуют то прямая y  = kx + b наклонная асимптота при x - ;

  1.  Общая схема исследования и построения графика функции.

Для исследования и построения графика функции f (x) можно пользоваться следующей схемой:

  1.  Найти область определения функции f (x).
  2.  Установить четность, нечетность, периодичность функции и найти точки пересечения графика функции с координатными осями.
  3.  Установить поведение функции в граничных точках области определения и точках разрыва. Найти вертикальные асимптоты.
  4.  Найти наклонные асимптоты функции.
  5.  Определить участки монотонности  функции и локальные экстремумы функции.
  6.  Найти промежутки выпуклости функции и точки перегиба графика функции.


Рис. 1

x2

x1

O

x

x5

x4

x3

y=f(x)

Рис. 2

x2

y

x

x4

x1

x3

y=f(x)

Рис. 1

x2

y

x

x4

x1

x3

y=f(x)

Рис. 2

l2

y

l2

l1

l3

y=f(x)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75844. Ожоги. Морфологические изменения в коже и тканях при ожогах разной степени тяжести 60.5 KB
  Во время катастроф аварий войн с применением зажигательных смесей ядерного оружия ожоги могут быть превалирующим видом поражения. Ожоги это повреждения вызванные термической химической или лучевой энергией. Термические ожоги в результате воздействия на ткани высокой температуры.