22423

Неопределенный интеграл

Лекция

Математика и математический анализ

Функция Fx называется первообразной функцией или просто первообразной для функции fx на интервале a b если функция Fx дифференцируема в любой точке x  a b и имеет производную F ' x равную fx т. Если F1x и F2x две первообразные функции fx на интервале a b то всюду на интервале a b F2x = F1x С где С некоторая постоянная. Пусть F1x и F2x две первообразные функции fx на a b. Если F1x первообразные функции fx на интервале a b то любая ее первообразная F2x имеет вид F2x =...

Русский

2013-08-04

126.5 KB

2 чел.

110100, 110600                            Математика                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 21. Неопределенный интеграл

План

  1.  Первообразная и определение неопределенного интеграла.
  2.  Свойства неопределенного интеграла.
  3.  Табличные интегралы.
  4.  Замена переменной в неопределенном интеграле.
  5.  Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Литература: Ермаков В.И. с. 276-280. Ильин В.А., с.183-195. Шнейдер В.Е. 285-296. Кремер Н.Ш. 251-266.

  1.  Первообразная и определение неопределенного интеграла. 

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функцией (или просто первообразной) для  функции f(x) на интервале (a, b), если функция F(x) дифференцируема в любой точке x  (a, b) и имеет производную F ' (x), равную f(x), т.е. для любого x  (a, b) выполняется равенство

F ' (x) = f(x) или dF (x) = f(x)dx.

Операция нахождения первообразной - обратная по отношении к операции дифференцирования.

Теорема 2. Если F1(x) и F2(x) две первообразные функции  f(x) на интервале (a, b), то всюду на интервале (a, b) F2(x) = F1(x) + С, где С - некоторая постоянная.

Доказательство. Пусть F1(x) и F2(x) - две первообразные функции f(x) на (a, b). Рассмотрим их разность        g(x)=F2(x)- F1(x). Тогда  по свойству производной и определению первообразной получаем

g' (x)=(F2(x)- F1(x))' = F2'(x) - F1'(x) = f(x) - f(x) = 0  

для любого x  (a, b). Тогда по свойству следствию теоремы Лагранжа получаем g(x) = С - постоянная функция на . (a, b). Отсюда F2(x) = F1(x) + С.  

Следствие.  Если F1(x) -  первообразные функции  f(x) на интервале (a, b), то любая ее первообразная F2(x) имеет вид F2(x) = F1(x) + С, где С - некоторая постоянная.

Определение 2. Неопределенным интегралом от функции f(x) на интервале (a, b) называется совокупность всех первообразных функции f(x) на интервале (a, b), и обозначается символом

.

Тогда функция  f(x) называется  подынтегральной функций, f(x)dx - подынтегральным выражением. В силу сказанного выше = F(x) + С, С - любая постоянная, F(x) - одна из первообразных. Операция нахождения первообразной называется интегрированием.

  1.  Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е.   .

  1.  Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

.

3.  Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. .

  1.  Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме неопределенных интегралов от этих функций., т.е.

.

  1.  Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла,

т.е..

6. Инвариантность формулы интеграл: если то  где  u = (x) - любая непрерывная функция.

Доказательство. 1. По определению неопределенного интеграла = F(x) + С, С - любая постоянная, F(x) - одна из первообразных. По определению первообразной (F(x) + С)' = F ' (x) + С' = f(x) + 0 = f(x).

2.  По формуле для дифференциала дифференцируемой функции .  

  1.  Для дифференцируемой функции Тогда F(x) - одна из первообразных функции F' (x). Тогда по определению неопределенного интеграла .
  2.  Пусть F(x) и G(x) - первообразные соответственно функций f(x) и g(x). Тогда .  По свойству производной  (F(x)  G(x) + С)' = F ' (x)  G' (x) + С' = f(x)  g (x). Тогда по определению F(x)  G(x) + С - она из первообразных функции f(x)  g (x). Следовательно,  

.

  1.  Пусть F(x) - первообразная функции f(x). Тогда .  По свойству производной  (AF(x)+С)' = AF ' (x) + С' = Af(x). Тогда по определению AF(x) + С - она из первообразных функции Af(x). Следовательно,  

.

  1.  Пусть , где F(x) - первообразная функции f(x). По определению dF'(x)= f(x)dx. Пусть u =u(x) - функция, зависящая от переменной x. По теореме об инвариантности формы первого дифференциала имеем dF'(u)= f(u)du. Отсюда по свойству 2 .  

  1.  Табличные интегралы. Метод непосредственного интегрирования.

Часть формул получаются прямо из таблицы производных, учитывая, что операция интегрирования обратна операции дифференцирования. Для доказательства других формул достаточно показать, что производная от правой часть формулы равна подынтегральной функции. Проверьте самостоятельно формулы 12-23.

Способ вычисления неопределенного интеграла, основанный на простейших свойствах неопределенного интеграла и приводимый к одному или нескольким табличным интегралам называется методом непосредственного интегрирования. Для сведения интеграла к табличному используется прием подведения функции  под знак дифференциала, основанный на следующих формулах:

  1.  Замена переменной в неопределенном интеграле.

Теорема 1. Пусть функция t = (x) определена и дифференцируема на множестве X и пусть T множество всех значений этой функции. Пусть для функции g(t) существует на множестве T первообразная функция G(t), т.е.

= G(t) + c.

Тогда всюду на множестве X для функции g((x))'(x) существует первообразная функция, равная G((x)), т.е.

.

Доказательство. Покажем, что производная от правой часть формулы равна подынтегральной функции. По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

.

Отсюда следует утверждение теоремы.

Для вычисления неопределенного интеграламожно применять подстановку x = (t), где функция, имеющая непрерывную производную на рассматриваемом промежутке. Тогда d x = d(t) = ' (t)dt и получим формулу интегрирования подстановкой

.                                                                    (1)

После взятия неопределенного интеграла необходимо перейти от новой переменной t к старой x.

Теорема 2. Пусть F(x) - первообразная функция f(x) . Тогда

,

где k, b - некоторые числа и k  0.

Применяя метод интегрирования подстановкой получаем следующие формулы.

  1.  Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Теорема 1. Пусть каждая из функций u(x), v(x) дифференцируема на множестве X и пусть на этом множество существует первообразная функции v (x)u' (x) . Тогда на этом множестве существует первообразная функции       u(x) v' (x), причем справедлива формула

.                                                       (1)

Доказательство. По формуле дифференцирования произведения имеем

.

Тогда по определению неопределенного интеграла имеем:

.

Отсюда по свойству аддитивности неопределенного интеграла имеем

.

Поэтому

.

Формулу в силу инвариантности дифференциала можно записать в виде

                                                                                (2)

Вычисление интеграла по формуле (1) называется интегрированием по частям. Интегралы, берущиеся по частям, можно разбить на три группы.

  1.  К первой группе относим интегралы, в которых подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из функций

.

Применяем формулу (2) полагая в ней u(x) одной из указанных функций.

  1.  Ко второй группе относим интегралы вида

где a, b, k - постоянные. Они берутся -кратным интегрированием по частям в качестве u(x) берут ax+b в соответствующей степени.

  1.  К третьей группе относим интегралы вида

,

где a, b, k - постоянные. Обозначаем интеграл этой группы через и дважды применяя интегрирование по частям приводим его к решению уравнения первой степени относительно . Например, вычислим первый интеграл.

Отсюда находим

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43166. Тепловой расчет конвективной туннельной сушильной установки для зимнего (январь) и летнего (июль) периода 1.57 MB
  Выполнить тепловой расчет конвективной туннельной сушильной установки, определить длительность сушки, размеры установки, выбрать вентилятор для подачи наружного воздуха, дымосос, циклон и сожигательное устройство, на основании следующих данных.
43167. ОСКОРБЛЕНИЕ КАК ИЛЛОКУТИВНЫЙ ЛИНГВОКУЛЬТУРНЫЙ КОНЦЕПТ 194 KB
  Научная новизна данной работы заключается в применении концептологического подхода к рассмотрению лингвистических проблем права и в историко-этимологическом описании социальных явлений, которые стали основой современного толкования концепта «оскорбление». В работе была исследована дискурсная реализация этого концепта и выделена типовая базовая структура иллокутивных концептов, объясняющая прагматическую природу лингвосоциальных явлений
43168. ОБРАЗ ШЕРЛОКА ХОЛМСА В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ СЭРА АРТУРА КОНАН ДОЙЛА 248.5 KB
  При этом мироощущение и fin de siècle и неоромантизма было подчеркнуто инаким особенным что не устраивало консервативное викторианское общество – и образ Шерлока Холмса начал меняться под воздействием такого экстралитературного фактора как цензура: образ редактировался и упрощался чтобы умещаться в строгие рамки жанра семейного чтения. Таким образом образ Шерлока Холмса прошел в процессе своего формирование через влияние fin de siècle и неоромантизма чтобы прийти к викторианским традиционным ценностям. В данной работе...
43169. Дистанционное зондирование Земли из космоса 412.04 KB
  Система правового регулирования ДЗЗ в России и в мире 9 Глава 1. Общие понятия ДЗЗ 9 Глава 2. Международноправовые акты регулирующие ДЗЗ 10 Глава 3. Ранее являясь исключительно прерогативой военных структур сегодня ДЗЗ решает множество гражданских задач и является крайне важной для обеспечения защиты окружающей природной среды разведки полезных ископаемых кадастрового учета и иных направлений деятельности.
43171. Продвижение Шри-Ланки, как туристической зоны 213 KB
  Остров ШриЛанка удивителен и разносторонен на нём прекрасная природа древняя интересная культура насыщенная история и разные религии. Столицей считается Коломбо хотя на самом деле она коммерческий центр страны и крупный развивающийся город административная столица же ШриДжайяварданапура. На ШриЛанке можно отдохнуть просто пролежав под тёплым солнцем но на самом деле на этом острове есть что посмотреть и если предлагать хотя бы лёгкий вариант экскурсий туристам то они увлекутся и вернуться ещё раз и на этот раз не...
43172. Анализ и изучение налоговой системы России 255.5 KB
  Особенность налоговой системы Российской Федерации состоит еще и в том что законодательство регулирующее эту область жизни общества ещё не обрело необходимой стабильности поскольку не достигло сбалансированности чёткости и обоснованности способной удовлетворить все нужды современного российского общества. Актуальность выбранной темы характеризуется тем что одним из важнейших условий стабилизации финансовой системы любого государства является обеспечение устойчивого сбора налогов надлежащей дисциплины налогоплательщиков. В современных...
43173. Разработка 3D модели манипулятора в MASM32 1.36 MB
  В данной работе используются WinApi (Application Programming Interface) функции. Они позволяют пользователю в полной мере использовать все функции предоставленные операционной системой. Одними из областей применения этих функций являются консоли, операции с буфером обмена, управление памятью, управление окнами, файлами, процессами и потоками и т.д. Для построения модели манипулятора с помощью этих функций используется алгоритм видового преобразования, выполняющий умножение матриц и векторов.
43174. Логгер температуры 3.06 MB
  На практике для измерения температуры используют жидкостные и механические термометры термопару термометр сопротивления газовый термометр пирометр термометр сопротивления логгер температуры Так как тема дпнного курсового проекта о логгере то далее рассказ пойдет о них. Существуют несколько видов логгеров: а логгер температуры; б логгер влажности и температуры; в логгер со встроенными сенсорами; г логгер напряжения и тока; д логгер с гнездом для внешних зондов; елоггер температуры с расчетом точки росы; жлоггер для...