22424

Многочлены и рациональные дроби

Лекция

Математика и математический анализ

Многочлены и рациональные дроби План Комплексные числа. Комплексносопряженные числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрические формы комплексного числа.

Русский

2013-08-03

259 KB

3 чел.

110100, 110600                              Математика                                 Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 2. Лекция 22. Многочлены и рациональные дроби

План

  1.  Комплексные числа. Операции над комплексными чиселами. Комплексно-сопряженные числа.  
  2.  Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрические формы комплексного числа.
  3.  Корни из комплексных чисел. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера.
  4.  Многочлены. Делимость многочленов. Теорема о делении с остатком для многочленов. Корни многочлена. Теорема Безу. Кратность корней многочлена. Критерий кратности корня.
  5.   Основная теорема алгебры и следствия из нее. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на множители.
  6.  Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на простейшие дроби.

Литература: Ильин В.А., с.196-217. Письменный Д. 186-208.

§ 1. Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Комплексно-сопряженные числа

Определение 1.1. Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел (x, y).

Обозначаем z =(x, y). Множество всех комплексных чисел обозначаем символом С. 

Число x называется действительной частью, а y - коэффициентом при мнимой части комплексного числа z. Обозначаем x = Re z, y = Im z. 

Комплексно число (x, 0) отождествляется с x, т.е. x  = (x, 0). Тогда комплексные числа  (1, 0) и (0, 0) отождествляются соответственно с 1 и 0.

Если y  0, то комплексно число (x, y) называется мнимым, а число (0, y) - чисто мнимым. Число (0, 1) называется мнимой единицей и обозначается символом i. 

Определение 1.2. Два комплексных числа z1 =(x1, y1) и z2 =(x2, y2) называются равными, если соответственно равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях, x1 = x2, y1= y2.

Определение 1.3. Суммой  комплексных чисел z1 =(x1, y1) и z2 =(x2, y2) называются комплексное число z1 +  z2 =(x1 + x2, y1 + y2). 

Определение 1.4. Произведением комплексных чисел z1 =(x1, y1) и z2 =(x2, y2) называются комплексное число z1 z2 =( x1x2 - y1y2, x1 y2 + x2y1).

Определение 1.5. Разностью z1 - z2 комплексных чисел z1 и z2 называются такое комплексное число z, что z2 +  z  = z1. 

Определение 1.6. Частным z1 : z2 комплексных чисел z1 и z2 называются такое комплексное число z, что z2 z  = z1.

Примеры. (2, 1) + (3,-5) = (2+3, 1-5) = (5, -4).

(2, 1)(3,-5) = (23-1(-5), 2(-5)+13) = (11, -7).

Определение 1.7. Комплексные числа z = (x, y) и называются комплексно сопряженными.

Примеры. (2, 1) + (3,-5) = (2+3, 1-5) = (5, -4),

(2, 1)(3,-5) = (23-1(-5), 2(-5)+13) = (11, -7),

z = (x, y) (x, -y) = (xx+ y y, x(-y) + xy) = (x2 + y2, 0) = x2 + y2,

ii = (0, 1)(0, 1) = (-1, 0) = -1.

Теорема 1.1. Множество С всех комплексных чисел является полем относительно операций, определенных выше.

Доказательство. Так как для любых комплексных чисел сумма и произведение определены однозначно, то операции сложения и умножения на множестве С алгебраические. Докажем сначала, что С кольцо (проверим свойства в определениях 3.1).

  1.  Пусть z1 =(x1, y1), z2 =(x2, y2) , z3 =(x3, y3). Тогда

z1 +( z2 + z3) = (x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3) = (x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3)),

(z1 + z2) + z3 = (x1 + x2, y1 + x3) + (x3, y3) = ((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3).

По свойствам действительных чисел x1 + (x2 + x3) = (x1 + x2) + x3, y1 + (y2 + y3) = (y1 + y2) + y3. Тогда по определению 1.2 z1 +( z2 + z3) = (z1 + z2) + z3.

  1.  z1 + 0 =(x1, y1) + (0, 0) = (x1+0, y1+0) = (x1, y1) = z1.
  2.  Возьмем - z1 =(-x1, -y1). Тогда z1 + (-z1) = (x1, y1) + (-x1, -y1) = (x1+ (-x1), y1+(-y1)) = (0, 0) = 0.

Проверяя свойства 4, 5, 6 по аналогии со свойством 1 получим, что С - кольцо.

Проверим теперь свойства 1-3 в определении 3.4 поля.

  1.  z11 =(x1, y1)(1, 0) = (x11- y10, x10+ y11) = (x1, y1) = z1.
  2.  z1 z2 =(x1x2 - y1y2, x1 y2 + x2y1) = (x2x1 - y2y1, x2 y1 + x1y2) = z2 z1.
  3.  Покажем, что для числа z1 =(x1, y1)   (0, 0) существует такое число z =(x, y), что z1 z = 1. В силу определения 1.4 последнее равенство можно переписать в виде ( x1x - y1y, x1 y + xy1) = (1, 0). Тогда по определению 1.2 получим систему

Решая полученную систему находим Тогда    и zz-1=1.

Определение 1.7. Любое подполе поля комплексных чисел называется числовым полем.

В силу лекции 1 определения 2.5 для того, чтобы подмножество P  С, содержащее число 0, было числовым полем необходимо и достаточно, чтобы сумма, разность, произведение и частное, если знаменатель не равен нулю, любых чисел из P принадлежали бы P.

Заметим, что наименьшее числовое поле это поле Q рациональных чисел.

Разность комплексных чисел z1 =(x1, y1), z2 =(x2, y2) находится по формуле:

z1 - z2 = z1 +(-z2) = (x1 - x2, y1 - y2).                                                         (1.1)

Частное комплексных чисел z1 =(x1, y1), z2 =(x2, y2) (0, 0) находится по формуле:

z1 : z2 = z1  z2-1 = (x1, y1 ). =.                  (1.2)

В силу определений 1.3, 1.4 любое комплексное число z =(x, y) можно единственным образом записать в виде z =x + yi. Действительно,

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0)(0, 1) = =x + yi.

Запись комплексного числа в виде z =x + yi называется алгебраической формой комплексного числа. В силу сказанного выше операции над комплексными числами z1 =x1 + y1i, z2 = x2 + y2i в алгебраической форме производятся по формулам:

z1 +  z2 =(x1 + x2) + (y1 + y2)i,

z1 -  z2 =(x1 - x2) + (y1 - y2)i,

z1 z2 = (x1x2 - y1y2) + (x1 y2 + x2y1)i,

, z2   0.

Указанные формулы не обязательно запоминать, необходимо лишь помнить, что i2 = -1. Так как , то при нахождении частного достаточно умножить числитель и знаменатель дроби на число комплексно сопряженное знаменателю

Примеры.

(2 + 3i)(4 - 5i) = 8 -10i +12i - 15i2 = 23 +2i,

Теорема 2.2. Для любых комплексных чисел z1 и z2 справедливы свойства:

  1.  ,             2.   ,

3. ,                   4. ,

5.  .

Доказательство (см. доказательство теоремы 2.1).

§ 2. Изображение комплексных чисел на плоскости.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число z =x + yi изображается точкой M(x, y). Различным комплексным числам соответствуют различные точки и каждой точке M(x, y) плоскости соответствует число z =x + yi. Таким образом имеет место взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости. Называем комплексные числа точками. Будем также комплексное число изображать радиус вектором r = . При этом сумме комплексных чисел соответствует сумма соответствующих векторов.

Плоскость, где изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. При этом ось абсцисс Ox называется действительной осью, ось ординат Oy - мнимой осью.

Пусть точка M(x, y), изображающая комплексное число z =x + yi, имеет полярные координаты r и .

Определение 2.1. Модулем  комплексного числа  z  называются

полярный радиус r точки M, т.е. длина радиус вектора, изображающего комплексное число z.

Определение 2.2. Аргументом  комплексного числа  z  называются полярный угол точки M, т.е. угол между вектором и осью Ox.

Модуль r комплексного числа z изображается символом , аргумент  комплексного числа z изображается символом Arg z. Модуль r комплексного числа z неотрицателен и вычисляется по формуле:

r =.                                                                        (2.1)

Аргумент комплексного числа z  0 определяется неоднозначно, а с точностью до числа кратного 2. Аргумент числа z = 0 неопределен. Значение  0 аргумента числа z называется главным, если оно удовлетворяет неравенству 0   0 < 2, и обозначается символом arg z . Любое другое значение аргумента находится по формуле =  0 + 2k.  где k - целое число.

Из определений синуса и косинуса любого угла следуют формулы

x = r cos , y = r sin .                                                                          (2.2)

Отсюда следуют формулы для определения аргумента по данному числу z =x + yi:

.                                                         (2.3)

Подставляя в число z =x + yi  вместо x, y их выражения из формул (2.2) получим

z = r(cos  + i sin ).

Полученная форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Примеры. 2 = 2(cos 0 + i sin 0), 2i = 2(cos /2 + i sin /2), 1-i =.

Из сказанного выше вытекает теорема.

Теорема 2.1. Любое комплексное число можно представить в тригонометрической форме. Два комплексных числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на число кратное2.

Теорема 2.2. Для любых комплексных чисел z = r(cos  + i sin ), z1 = r1(cos  1 + i sin  1), z2 = =r2(cos  2 + i sin  2) любого целого числа m верны формулы:

z1z2 = r1 r2 (cos ( 1 +  2) + i sin ( 1 +  2)),

,

zm = r m(cos (m ) + i sin (m)) (формула Муавра).

 Доказательство.

z1z2 = r1(cos  1 + i sin  1)r2(cos  2 + i sin  2) =

= r1 r2 (cos  1 cos  2 - sin  1 sin  2) + i(cos  1 sin  2 + cos  2 sin  1) =

= r1 r2 (cos ( 1 +  2) + i sin ( 1 +  2)).

Аналогично доказывается вторая формула. Формула Муавра доказывается применением первой и второй формул.

Пример. (1-i)6 =.

Из неравенства треугольника и из теоремы 2.2 следует теорема.

Теорема 2.2. Для любых комплексных чисел z, z1, z2  и любого целого числа m верны соотношения:

1.;                       2. ;

3. ;                            4. ;

5. ;                    6. ;

7. .

§ 3. Корни из комплексных чисел. Показательная форма комплексного числа. Формулы Эйлера

Пусть n - натуральное число.

Определение 3.1. Корнем n - й степени из  комплексного числа  z  называются такое комплексное число w, n -я степень которого равна числу z: т.е. w n = z.

Заметим, что для числа z = 0 имеется только один корень n -й степени, который равен 0.

Теорема 3.1. Для любого комплексного числа z = r(cos. + i sin ) 0 любого натурального числа n имеется ровно корней n -й степени из z , которые вычисляются по формуле:

,                                 (3.1)

где в правой части стоит арифметический корень из числа r.

Доказательство. 1. Докажем, что каждый корень w = R(cos  + i sin ) из числа z находится по формуле (3.1). По определению корня w n = z.Отсюда находим:

z = r(cos.  + i sin ) = (R(cos + i sin ))n = R n (cos n + i sin n).

По теореме 2.1 получим r = R n, = n + 2m, где m Z. Разделим число на с остатком m = nq+k, где q, k  Z, 0  k< n. Тогда

R =,.

Тогда

.

  1.  По формуле Муавра проверяем, что числа (3.1) корни n - й степени из z:

.

3. Так как аргументы всех комплексных wk , k= 0,1,…,n-1, чисел заключены в промежутке [0, 2), то все n чисел wk попарно различны. 

Пример. Найти . Представим число -16 в тригонометрической форме -16 = 16(cos  + sin ). По формуле (3.1) находим

.

Отсюда получаем

w0 = 2, w1 = 2i, w2 = -2, w3 = -2i.

Следствие 1. Все корни n - й степени из комплексного числа z = r(cos. + i sin ) 0 изображаются на плоскости вершинами правильного n - угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат

Следствие 2. Для любых комплексных чисел  0 уравнение azn = b имеет n комплексных корней, которые являются  корнями n - й \степени из комплексного числа b/a.

Следствие 3. Все корни n - й степени из 1 находятся по формуле

.                                  (3.2)

Теорема 3.2. Все корни n - й степени из 1 образуют группу порядка n относительно операции умножения.

Доказательство. Сводится к проверке свойств группы.

Пример. Выразить cos.3, sin 3 через cos., sin . По формуле Муавра получаем

(cos   + i sin )3 = cos 3 + i sin 3.

По формуле суммы кубов имеем

(cos  + i sin )3 = cos3  + 3i cos2  sin + 3i2 cos sin2  + i3sin3  =

= (cos3   - 3cos sin2 ) + i(3cos2  sin - sin3 ).

По определению равенства комплексных чисел получаем:

cos 3 = cos3   - 3cos sin2 ,  sin 3 = 3cos2  sin - sin3 .

 

Рассмотрим разложения в ряды Тейлора функций ex, cos x, sin x, которые имеют место для действительных чисел x:

,

,

.

Предполагая (не совсем законно), что эти формулы имеют место для чисто комплексных чисел iy получим:

=

+

= cos y + isiny.

Таким образом, получаем следующую формулу:

eiy = cos y + isiny,                                                            (3.3)

справедливую для любого действительного числа y, называемую формулой Эйлера.

В силу этой формулы комплексное число z = r(cos  + i sin ) может быть записано в виде:

z = r ei.                                                                         (3.4)

Полученная форма записи комплексного числа называется показательной.

Заменяя в формуле (3.3) y на -y находим

e -iy = cos y - isiny.                                                            (3.5)

Почленно складывая и вычитая формулы (3.3) и (3.4) находим еще две формулы Эйлера:

.                                              (3.6)

Пример. 2i = 2(cos. /2 + sin /2) = .

  1.  Многочлены. Делимость многочленов. Теорема о делении с остатком для многочленов. Корни многочлена. Теорема Безу. Кратность корней многочлена. Критерий кратности корня.

Определение 1. Многочленом называем функцию вида f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an, где n - неотрицательное целое число, a0,  a1, …, an - постоянные коэффициенты (действительные или комплексные числа). Если a0 0, то число n называется степенью многочлена f(x).

Определение 2. Два многочлена f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an и g(x) = b0xn + b1xn-1 + …+ bn называются равными, если равны их все соответствующие коэффициенты, т.е. ai = bi  для любого i = 1,2,…,n. Члены с нулевыми коэффициентами в записи многочлена принято опускать.

Определение 3. Суммой двух многочленов f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an и g(x) = b0xn + b1xn-1 + …+ bn называются многочлен  f(x)+ g(x) = (a0+ b0)xn + (a1+ b1)xn-1 + …+ (an+ bn).

Определение 4.  Произведением двух многочленов f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an и g(x) = b0xm + b1xm-1 + …+ bm называются многочлен  f(x)g(x) = с0xn+m + с1xn+m-1 + …+ cn+m, коэффициенты которого вычисляются по формулам

.

Определение 5. Говорят, что многочлен  f(x) делится на многочлен g(x) , если  f(x) = g(x)q(x), где q(x) - многочлен. Многочлен  f(x) называется делимым, g(x) - делителем, q(x) - частным.

Теорема 1 (о делении с остатком).  Для любых многочленов  f(x) и g(x) 0 , существует единственная пара таких многочленов q(x) и r(x), что  

 f(x) = g(x)q(x) + r(x),                                                                           (1)

где r(x)  либо равно нулю, либо ст r(x)< ст g(x).

Многочлен  f(x) называется делимым, g(x) - делителем, q(x) - неполным частным, r(x) - остатком.  Разделить многочлен f(x) на другой g(x) с остатком, значит представить f(x) в виде (1). Операции над многочленами, как и деление с остатком можно выполнять столбиком.

Рассматриваем многочлены или с действительными или с комплексными коэффициентами.

Теорема 1 (Безу). Для любого многочлена f(x) и любого cK существуют такой многочлен q(x) и число rK, что выполняется равенство f(x) = (x - c) q(x) + r, где r = f(c). Если степень многочлена больше нуля, то deg q = deg f -1.

Доказательство. Пусть f(x) = a0 + a1x + …+ anxn. Тогда f(c) = a0 + a1c + …+ ancn.  Рассмотрим разность 

f(x) - f(c) = (a0 + a1x + …+ anxn) - (a0 + a1c + …+ ancn) = a1(x - с) + a2(x2 - с2) +…+ an (xn - cn) =

= (x -с)(a1 + a2(x + с) +…+ an (xn-1 + xn-2c + xn-2c2 + …+ xc n-2 + cn-1)).

Следовательно, f(x) - f(c) = (x) q(x), где q(x) = a1 + a2(x + с) +…+ an (xn-1 + xn-2c + xn-2c2 + …+ xc n-2 + cn-1). Отсюда f(x) = (x - c) q(x) + r.  Если deg f = n   1, то an  0, deg q = n-1.

Многочлен q, найденный в теореме 2, называется неполным частным, а r - остатком от деления f  на двучлен x - c. Найдем рекуррентные формулы для нахождения коэффициентов неполного частного и остатка. Пусть f = a0xn + a1xn-1 + …+ an , a0 0, n   1. Тогда по теореме 1 q(x) = b0xn-1 + b1xn-2 + …+ bn-1 и равенство f(x) = (x - c)q(x) + r представится в виде

a0xn + a1xn-1 + …+ an = (x - c)( b0xn-1 + b1xn-2 + …+ bn-1) + r.

Раскроем в правой части равенства скобки и получим

a0xn + a1xn-1 + …+ an = b0xn + (b1- b0c) xn-1 + (b2 - b1c)xn-3 + (r - bn-1c).

Отсюда по определению равенства двух многочленов получаем

a0 = b0 , a1 = b1- b0c, a2 = b2- b1c, a3 = b3 - b2c, …, an = r - bn-1c.

Тогда 

b0 = a0  , b1 = a1 + b0c, b2  = a2 + b1c, b3 = a3 + b2c, …, r = an + bn-1 c.                                                        (1)

Алгоритм нахождения коэффициентов неполного частного и остатка по рекуррентным формулам (1) называется схемой Горнера.

Определение 1. Число c С называется корнем многочлена  f(x) = a0 + a1x + …+ anxn  если  f(c) = 0.

Теорема 2 (Безу). Число c является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда многочлен делится на двучлен x - c, т. е.  f(x) = (x - c)q(x), где ст q(x) = ст f(x) -1.

Доказательство. Разделим многочлен f(x)  на x - c  с остатком и получим  f(x) = (x - c)q(x) + r, где r = f(c).  

Необходимость. Пусть c - корнь многочлена f(x) . По определению 2, r= f(c)=0. Разделим многочлен f(x)  на x - c  с остатком и получим  f(x) = (x - c)q(x) + r, где r = f(c). Тогда  f(x)= (x - c)q(x) и f(x) делится на x - c.

Достаточность. Пусть f(x) делится на x - c. Тогда f(x)= (x - c)q(x) и f(c)= (с - c)q(c)=0. По определению, c - корнем многочлена f (x).

Определение 2. Число c С называется корнем многочлена  f(x)  кратности k, если  f(x) = (x - c)kq(x), где q(c) 0.

Теорема 3. Если число c является корнем многочлена f(x) кратности k, то является корнем кратности k-1 производной  f '(x).

Доказательство. Пусть число c является корнем многочлена f(x) кратности k. Тогда по определению получаем

f(x) = (x - c)kq(x), где q(c) 0.

Вычислим производную и получим

f ' (x) = k(x - c)k -1q(x) + (x - c)k q(x) = (x - c)k -1(kq(x) + (x - c) q(x))= (x - c)k -1q1(x),

где q1(x) = kq(x) + (x - c) q(x). Так как q1(с) = kq(с) + (с - c) q(x) = kq(с) 0, то число с корень кратности k-1 многочлена   f '(x).

Следствие. Число c является корнем многочлена f(x) кратности k, тогда и только тогда, когда 

f(с)= f '(с)=…= f (k-1)(с) =0,   f (k)(с) 0.

  1.  Основная теорема алгебры и следствия из нее.  Разложение многочлена с действительными коэффициентами на множители.

Теорема 1. Любой многочлен f(x) с комплексными коэффициентами степени больше нуля имеет хотя бы один комплексный корень.

Следствие 1. Любой многочлен f(x) с комплексными коэффициентами степени n  0 можно представить в виде

f(x) = a0(x - x1) (x - x2) …(x - xn),                                                                                     (1)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xn.- корни многочлена f(x).

Следствие 2. Любой многочлен f(x) с комплексными коэффициентами степени n  0 можно представить в виде

                                                                   (2)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xr.- корни многочлена f(x) соответственно кратностей k1, k2, …, kr.

Следствие 3(формулы Виета). Если x1, x2, …, xn.- корни многочлена f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an взятые с учетом кратности, то справедливы формулы:

4

Теорема 2. Если комплексное число z = a + bi, b  0,  является корнем многочлена f(x) c действительными коэффициентами, то и комплексно сопряженное число z = a - bi  является корнем многочлена и тогда многочлен f(x) делится на квадратный трехчлен          x2 -2ax+a2 + b2 с дискриминантом меньше нуля.

Доказательство. Пусть f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an - многочлен c действительными коэффициентами число c является корнем многочлена f(x) кратности k. Пусть далее комплексное число z = a + bi корень многочлена f(x). Тогда по определению корня получим:

f(z) = a0zn + a1zn-1 + …+ an = 0.

Переходя в последнем равенстве к комплексно сопряженным числам и используя свойства комплесно сопряженных чисел, с одной стороны получаем:

.

С другой стороны, . Поэтому  и число z = a - bi корень многочлена f'(x).  

Так как b  0 , то z = a + bi  a - bi=z, и из теоремы Безу следует, что многочлен делится на двучлены x - z       и  x - z поэтому делится на их произведение (x - z)( x - z) = x2 - (z+z) x + z z  = x2 -2ax+a2 + b2. Дискриминант последнего трехчлена

. .

Следствие. Любой многочлен f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an , a0 0, с действительными  коэффициентами степени n  0 можно представить в виде

                                 (2)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xr.- действительные корни многочлена f(x) соответственно кратностей k1, k2, …, kr, трехчлены x2 + p1x + q1,…, x2 + psx + qs -попарно различны и имеют отрицательные дискриминанта. При этом

k1+ k2+ …+ kr+ 2l1+ 2l2+ …+ 2ls = n.

  1.  Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби.

Определение 1. Дробно-рациональной функцией или рациональной дробью  называем функцию, представимую в виде частного двух многочленов

.                                                                                                    (1)

Определение 2. Рациональная дробь (1)  называется правильной, если степень ее числителя дроби меньше степени знаменателя. В противном случае дробь называется неправильной.

Определение 3. Рациональная дробь (1)  называется несократимой, если числитель и знаменатель дроби взаимно простые многочлены.

Теорема 1. Любую неправильную дробь, у которой числитель не делится на знаменатель можно представить, в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Доказательство. По теорема о делении с остатком получаем P(x) = Q(x)q(x) + R(x), где R(x) = 0, или ст R(x) < ст Q(x). Так как не делится на , то первый случай невозможен, а во втором случае получаем

,

где последняя дробь правильная.

Определение 3. Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональная дроби следующих типов:

где A, a, M, N, p, q - действительные числа.

Теорема 2. Пусть (1) - правильная несократимая дробь, знаменатель которой имеет число a корнем кратности k, т.е.       Q(x) = (x - a)kQ1(x), Q1(а) 0. Тогда для этой дроби справедливо представление

.                                                                   (2)

Теорема 3. Пусть (1) - правильная несократимая дробь, знаменатель которой имеет комплексное число a+bi корнем кратности k, т.е.       Q(x) = (x2 + px +q)kQ1(x), Q1(а) 0, p = -2a, q = a2 + b2. Тогда для этой дроби справедливо представление

.                                                                   (3)

Теорема 4. Пусть (1) - правильная несократимая дробь, знаменатель которой представляется в виде

                                 (4)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xr.- действительные корни многочлена f(x) соответственно кратностей k1, k2, …, kr, трехчлены x2 + p1x + q1,…, x2 + psx + qs -попарно различны и имеют отрицательные дискриминанта. Тогда рациональная дробь имеет разложение на простей шие дроби следующего вида

                    (5)

где Ai,,Bj , Cu , Mv ,… - действительные числа.

Разложение рациональной дроби на простейшие дроби проводят методом неопределенных коэффициентов.


О

y

x

Рис. 1

M(x,y)

1

z

(z)

z2

z1+ z2

r


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3710. Кредитные отношения между коммерческим банком и Нимировским спиртзаводом 1.66 MB
  Банковская система - одна из важнейших и неотъемлемых структур рыночной экономики. Поэтому сегодня, в условиях перехода Украины к рыночным отношениям, резко возрастает к ней внимание и интерес. Это обусловлено тем, что в Украине совершается...
3711. Особенности банковского аудита 163 KB
  Сущность, необходимость и виды аудита. Профессия аудитора известна с глубокой древности. Еще примерно в 200 г. до н.э. квесторы (должностные лица, ведавшие финансовыми и судебными делами Римской империи) осуществляли контроль за государственными ...
3712. Бактериологическое (биологическое) оружие 135.5 KB
  Бактериологическое оружие (биологическое) является средством массового поражения людей, животных и уничтожения сельскохозяйственных культур. Основу его поражающего действия составляют бактериальные средства, к которым относятся болезнетворн...
3713. Current asset management in the enterprise 172.91 KB
  Current asset management in the enterprise The crisis of 2008 still affects business-to-business companies. Many of them have problems with current assets in general and with accounts receivable in particular. In a given paper a field research is co...
3714. Флористическое разнообразие мезмайской котловины (Северо-Западный Кавказ) 258.41 KB
  Флористическое разнообразие мезмайской котловины (Северо-Западный Кавказ) Введение Северо-Западный Кавказ - один из богатейших во флористическом отношении регионов Российской Федерации, насчитывающий около 2500 видов дикорастущих аборигенных растени...
3715. Теоретические основы специальной (коррекционной) педагогики как науки 207 KB
  Теоретические основы специальной (коррекционной) педагогики как науки Тема 1. Введение. Специальная (коррекционная) педагогика как наука Тема 2. Связь специальной (коррекционной) педагогики с другими науками Тема 3. Понимание отклонений в разви...
3716. Позакласна робота зі світової літератури 37.27 KB
  Позакласна робота зі світової літератури План Значення й принципи організації позакласної роботи з літератури. Форми позакласної роботи: систематичні й епізодичні. Посібники для вчителя з проблеми організації позакласної роботи із ...
3717. ДНК-маркеры и их применение в генетике, селекции и растениеводстве кукурузы 123 KB
  ДНК-маркеры и их применение в генетике, селекции и растениеводстве кукурузы Вступление Одним из основных продуктов питания употребляемых мировым обществом являются культурные злаковые растения, среди которых кукуруза находится в списке лидеров по пр...
3718. Міжнародно-правова регламентація залізничних перевезень вантажів згідно Угоди про міжнародне залізничне вантажне сполучення 1951 року (УМВС) 185.5 KB
  Міжнародно-правова регламентація залізничних перевезень вантажів згідно Угоди про міжнародне залізничне вантажне сполучення 1951 року (УМВС). Характеристика Угоди Угода про міжнародне залізничне вантажне сполучення (УМВС) є відомчим міжнародним норм...