22424

Многочлены и рациональные дроби

Лекция

Математика и математический анализ

Многочлены и рациональные дроби План Комплексные числа. Комплексносопряженные числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрические формы комплексного числа.

Русский

2013-08-03

259 KB

5 чел.

110100, 110600                              Математика                                 Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 2. Лекция 22. Многочлены и рациональные дроби

План

  1.  Комплексные числа. Операции над комплексными чиселами. Комплексно-сопряженные числа.  
  2.  Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрические формы комплексного числа.
  3.  Корни из комплексных чисел. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера.
  4.  Многочлены. Делимость многочленов. Теорема о делении с остатком для многочленов. Корни многочлена. Теорема Безу. Кратность корней многочлена. Критерий кратности корня.
  5.   Основная теорема алгебры и следствия из нее. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на множители.
  6.  Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на простейшие дроби.

Литература: Ильин В.А., с.196-217. Письменный Д. 186-208.

§ 1. Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Комплексно-сопряженные числа

Определение 1.1. Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел (x, y).

Обозначаем z =(x, y). Множество всех комплексных чисел обозначаем символом С. 

Число x называется действительной частью, а y - коэффициентом при мнимой части комплексного числа z. Обозначаем x = Re z, y = Im z. 

Комплексно число (x, 0) отождествляется с x, т.е. x  = (x, 0). Тогда комплексные числа  (1, 0) и (0, 0) отождествляются соответственно с 1 и 0.

Если y  0, то комплексно число (x, y) называется мнимым, а число (0, y) - чисто мнимым. Число (0, 1) называется мнимой единицей и обозначается символом i. 

Определение 1.2. Два комплексных числа z1 =(x1, y1) и z2 =(x2, y2) называются равными, если соответственно равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях, x1 = x2, y1= y2.

Определение 1.3. Суммой  комплексных чисел z1 =(x1, y1) и z2 =(x2, y2) называются комплексное число z1 +  z2 =(x1 + x2, y1 + y2). 

Определение 1.4. Произведением комплексных чисел z1 =(x1, y1) и z2 =(x2, y2) называются комплексное число z1 z2 =( x1x2 - y1y2, x1 y2 + x2y1).

Определение 1.5. Разностью z1 - z2 комплексных чисел z1 и z2 называются такое комплексное число z, что z2 +  z  = z1. 

Определение 1.6. Частным z1 : z2 комплексных чисел z1 и z2 называются такое комплексное число z, что z2 z  = z1.

Примеры. (2, 1) + (3,-5) = (2+3, 1-5) = (5, -4).

(2, 1)(3,-5) = (23-1(-5), 2(-5)+13) = (11, -7).

Определение 1.7. Комплексные числа z = (x, y) и называются комплексно сопряженными.

Примеры. (2, 1) + (3,-5) = (2+3, 1-5) = (5, -4),

(2, 1)(3,-5) = (23-1(-5), 2(-5)+13) = (11, -7),

z = (x, y) (x, -y) = (xx+ y y, x(-y) + xy) = (x2 + y2, 0) = x2 + y2,

ii = (0, 1)(0, 1) = (-1, 0) = -1.

Теорема 1.1. Множество С всех комплексных чисел является полем относительно операций, определенных выше.

Доказательство. Так как для любых комплексных чисел сумма и произведение определены однозначно, то операции сложения и умножения на множестве С алгебраические. Докажем сначала, что С кольцо (проверим свойства в определениях 3.1).

  1.  Пусть z1 =(x1, y1), z2 =(x2, y2) , z3 =(x3, y3). Тогда

z1 +( z2 + z3) = (x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3) = (x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3)),

(z1 + z2) + z3 = (x1 + x2, y1 + x3) + (x3, y3) = ((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3).

По свойствам действительных чисел x1 + (x2 + x3) = (x1 + x2) + x3, y1 + (y2 + y3) = (y1 + y2) + y3. Тогда по определению 1.2 z1 +( z2 + z3) = (z1 + z2) + z3.

  1.  z1 + 0 =(x1, y1) + (0, 0) = (x1+0, y1+0) = (x1, y1) = z1.
  2.  Возьмем - z1 =(-x1, -y1). Тогда z1 + (-z1) = (x1, y1) + (-x1, -y1) = (x1+ (-x1), y1+(-y1)) = (0, 0) = 0.

Проверяя свойства 4, 5, 6 по аналогии со свойством 1 получим, что С - кольцо.

Проверим теперь свойства 1-3 в определении 3.4 поля.

  1.  z11 =(x1, y1)(1, 0) = (x11- y10, x10+ y11) = (x1, y1) = z1.
  2.  z1 z2 =(x1x2 - y1y2, x1 y2 + x2y1) = (x2x1 - y2y1, x2 y1 + x1y2) = z2 z1.
  3.  Покажем, что для числа z1 =(x1, y1)   (0, 0) существует такое число z =(x, y), что z1 z = 1. В силу определения 1.4 последнее равенство можно переписать в виде ( x1x - y1y, x1 y + xy1) = (1, 0). Тогда по определению 1.2 получим систему

Решая полученную систему находим Тогда    и zz-1=1.

Определение 1.7. Любое подполе поля комплексных чисел называется числовым полем.

В силу лекции 1 определения 2.5 для того, чтобы подмножество P  С, содержащее число 0, было числовым полем необходимо и достаточно, чтобы сумма, разность, произведение и частное, если знаменатель не равен нулю, любых чисел из P принадлежали бы P.

Заметим, что наименьшее числовое поле это поле Q рациональных чисел.

Разность комплексных чисел z1 =(x1, y1), z2 =(x2, y2) находится по формуле:

z1 - z2 = z1 +(-z2) = (x1 - x2, y1 - y2).                                                         (1.1)

Частное комплексных чисел z1 =(x1, y1), z2 =(x2, y2) (0, 0) находится по формуле:

z1 : z2 = z1  z2-1 = (x1, y1 ). =.                  (1.2)

В силу определений 1.3, 1.4 любое комплексное число z =(x, y) можно единственным образом записать в виде z =x + yi. Действительно,

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0)(0, 1) = =x + yi.

Запись комплексного числа в виде z =x + yi называется алгебраической формой комплексного числа. В силу сказанного выше операции над комплексными числами z1 =x1 + y1i, z2 = x2 + y2i в алгебраической форме производятся по формулам:

z1 +  z2 =(x1 + x2) + (y1 + y2)i,

z1 -  z2 =(x1 - x2) + (y1 - y2)i,

z1 z2 = (x1x2 - y1y2) + (x1 y2 + x2y1)i,

, z2   0.

Указанные формулы не обязательно запоминать, необходимо лишь помнить, что i2 = -1. Так как , то при нахождении частного достаточно умножить числитель и знаменатель дроби на число комплексно сопряженное знаменателю

Примеры.

(2 + 3i)(4 - 5i) = 8 -10i +12i - 15i2 = 23 +2i,

Теорема 2.2. Для любых комплексных чисел z1 и z2 справедливы свойства:

  1.  ,             2.   ,

3. ,                   4. ,

5.  .

Доказательство (см. доказательство теоремы 2.1).

§ 2. Изображение комплексных чисел на плоскости.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число z =x + yi изображается точкой M(x, y). Различным комплексным числам соответствуют различные точки и каждой точке M(x, y) плоскости соответствует число z =x + yi. Таким образом имеет место взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости. Называем комплексные числа точками. Будем также комплексное число изображать радиус вектором r = . При этом сумме комплексных чисел соответствует сумма соответствующих векторов.

Плоскость, где изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. При этом ось абсцисс Ox называется действительной осью, ось ординат Oy - мнимой осью.

Пусть точка M(x, y), изображающая комплексное число z =x + yi, имеет полярные координаты r и .

Определение 2.1. Модулем  комплексного числа  z  называются

полярный радиус r точки M, т.е. длина радиус вектора, изображающего комплексное число z.

Определение 2.2. Аргументом  комплексного числа  z  называются полярный угол точки M, т.е. угол между вектором и осью Ox.

Модуль r комплексного числа z изображается символом , аргумент  комплексного числа z изображается символом Arg z. Модуль r комплексного числа z неотрицателен и вычисляется по формуле:

r =.                                                                        (2.1)

Аргумент комплексного числа z  0 определяется неоднозначно, а с точностью до числа кратного 2. Аргумент числа z = 0 неопределен. Значение  0 аргумента числа z называется главным, если оно удовлетворяет неравенству 0   0 < 2, и обозначается символом arg z . Любое другое значение аргумента находится по формуле =  0 + 2k.  где k - целое число.

Из определений синуса и косинуса любого угла следуют формулы

x = r cos , y = r sin .                                                                          (2.2)

Отсюда следуют формулы для определения аргумента по данному числу z =x + yi:

.                                                         (2.3)

Подставляя в число z =x + yi  вместо x, y их выражения из формул (2.2) получим

z = r(cos  + i sin ).

Полученная форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Примеры. 2 = 2(cos 0 + i sin 0), 2i = 2(cos /2 + i sin /2), 1-i =.

Из сказанного выше вытекает теорема.

Теорема 2.1. Любое комплексное число можно представить в тригонометрической форме. Два комплексных числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на число кратное2.

Теорема 2.2. Для любых комплексных чисел z = r(cos  + i sin ), z1 = r1(cos  1 + i sin  1), z2 = =r2(cos  2 + i sin  2) любого целого числа m верны формулы:

z1z2 = r1 r2 (cos ( 1 +  2) + i sin ( 1 +  2)),

,

zm = r m(cos (m ) + i sin (m)) (формула Муавра).

 Доказательство.

z1z2 = r1(cos  1 + i sin  1)r2(cos  2 + i sin  2) =

= r1 r2 (cos  1 cos  2 - sin  1 sin  2) + i(cos  1 sin  2 + cos  2 sin  1) =

= r1 r2 (cos ( 1 +  2) + i sin ( 1 +  2)).

Аналогично доказывается вторая формула. Формула Муавра доказывается применением первой и второй формул.

Пример. (1-i)6 =.

Из неравенства треугольника и из теоремы 2.2 следует теорема.

Теорема 2.2. Для любых комплексных чисел z, z1, z2  и любого целого числа m верны соотношения:

1.;                       2. ;

3. ;                            4. ;

5. ;                    6. ;

7. .

§ 3. Корни из комплексных чисел. Показательная форма комплексного числа. Формулы Эйлера

Пусть n - натуральное число.

Определение 3.1. Корнем n - й степени из  комплексного числа  z  называются такое комплексное число w, n -я степень которого равна числу z: т.е. w n = z.

Заметим, что для числа z = 0 имеется только один корень n -й степени, который равен 0.

Теорема 3.1. Для любого комплексного числа z = r(cos. + i sin ) 0 любого натурального числа n имеется ровно корней n -й степени из z , которые вычисляются по формуле:

,                                 (3.1)

где в правой части стоит арифметический корень из числа r.

Доказательство. 1. Докажем, что каждый корень w = R(cos  + i sin ) из числа z находится по формуле (3.1). По определению корня w n = z.Отсюда находим:

z = r(cos.  + i sin ) = (R(cos + i sin ))n = R n (cos n + i sin n).

По теореме 2.1 получим r = R n, = n + 2m, где m Z. Разделим число на с остатком m = nq+k, где q, k  Z, 0  k< n. Тогда

R =,.

Тогда

.

  1.  По формуле Муавра проверяем, что числа (3.1) корни n - й степени из z:

.

3. Так как аргументы всех комплексных wk , k= 0,1,…,n-1, чисел заключены в промежутке [0, 2), то все n чисел wk попарно различны. 

Пример. Найти . Представим число -16 в тригонометрической форме -16 = 16(cos  + sin ). По формуле (3.1) находим

.

Отсюда получаем

w0 = 2, w1 = 2i, w2 = -2, w3 = -2i.

Следствие 1. Все корни n - й степени из комплексного числа z = r(cos. + i sin ) 0 изображаются на плоскости вершинами правильного n - угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат

Следствие 2. Для любых комплексных чисел  0 уравнение azn = b имеет n комплексных корней, которые являются  корнями n - й \степени из комплексного числа b/a.

Следствие 3. Все корни n - й степени из 1 находятся по формуле

.                                  (3.2)

Теорема 3.2. Все корни n - й степени из 1 образуют группу порядка n относительно операции умножения.

Доказательство. Сводится к проверке свойств группы.

Пример. Выразить cos.3, sin 3 через cos., sin . По формуле Муавра получаем

(cos   + i sin )3 = cos 3 + i sin 3.

По формуле суммы кубов имеем

(cos  + i sin )3 = cos3  + 3i cos2  sin + 3i2 cos sin2  + i3sin3  =

= (cos3   - 3cos sin2 ) + i(3cos2  sin - sin3 ).

По определению равенства комплексных чисел получаем:

cos 3 = cos3   - 3cos sin2 ,  sin 3 = 3cos2  sin - sin3 .

 

Рассмотрим разложения в ряды Тейлора функций ex, cos x, sin x, которые имеют место для действительных чисел x:

,

,

.

Предполагая (не совсем законно), что эти формулы имеют место для чисто комплексных чисел iy получим:

=

+

= cos y + isiny.

Таким образом, получаем следующую формулу:

eiy = cos y + isiny,                                                            (3.3)

справедливую для любого действительного числа y, называемую формулой Эйлера.

В силу этой формулы комплексное число z = r(cos  + i sin ) может быть записано в виде:

z = r ei.                                                                         (3.4)

Полученная форма записи комплексного числа называется показательной.

Заменяя в формуле (3.3) y на -y находим

e -iy = cos y - isiny.                                                            (3.5)

Почленно складывая и вычитая формулы (3.3) и (3.4) находим еще две формулы Эйлера:

.                                              (3.6)

Пример. 2i = 2(cos. /2 + sin /2) = .

  1.  Многочлены. Делимость многочленов. Теорема о делении с остатком для многочленов. Корни многочлена. Теорема Безу. Кратность корней многочлена. Критерий кратности корня.

Определение 1. Многочленом называем функцию вида f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an, где n - неотрицательное целое число, a0,  a1, …, an - постоянные коэффициенты (действительные или комплексные числа). Если a0 0, то число n называется степенью многочлена f(x).

Определение 2. Два многочлена f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an и g(x) = b0xn + b1xn-1 + …+ bn называются равными, если равны их все соответствующие коэффициенты, т.е. ai = bi  для любого i = 1,2,…,n. Члены с нулевыми коэффициентами в записи многочлена принято опускать.

Определение 3. Суммой двух многочленов f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an и g(x) = b0xn + b1xn-1 + …+ bn называются многочлен  f(x)+ g(x) = (a0+ b0)xn + (a1+ b1)xn-1 + …+ (an+ bn).

Определение 4.  Произведением двух многочленов f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an и g(x) = b0xm + b1xm-1 + …+ bm называются многочлен  f(x)g(x) = с0xn+m + с1xn+m-1 + …+ cn+m, коэффициенты которого вычисляются по формулам

.

Определение 5. Говорят, что многочлен  f(x) делится на многочлен g(x) , если  f(x) = g(x)q(x), где q(x) - многочлен. Многочлен  f(x) называется делимым, g(x) - делителем, q(x) - частным.

Теорема 1 (о делении с остатком).  Для любых многочленов  f(x) и g(x) 0 , существует единственная пара таких многочленов q(x) и r(x), что  

 f(x) = g(x)q(x) + r(x),                                                                           (1)

где r(x)  либо равно нулю, либо ст r(x)< ст g(x).

Многочлен  f(x) называется делимым, g(x) - делителем, q(x) - неполным частным, r(x) - остатком.  Разделить многочлен f(x) на другой g(x) с остатком, значит представить f(x) в виде (1). Операции над многочленами, как и деление с остатком можно выполнять столбиком.

Рассматриваем многочлены или с действительными или с комплексными коэффициентами.

Теорема 1 (Безу). Для любого многочлена f(x) и любого cK существуют такой многочлен q(x) и число rK, что выполняется равенство f(x) = (x - c) q(x) + r, где r = f(c). Если степень многочлена больше нуля, то deg q = deg f -1.

Доказательство. Пусть f(x) = a0 + a1x + …+ anxn. Тогда f(c) = a0 + a1c + …+ ancn.  Рассмотрим разность 

f(x) - f(c) = (a0 + a1x + …+ anxn) - (a0 + a1c + …+ ancn) = a1(x - с) + a2(x2 - с2) +…+ an (xn - cn) =

= (x -с)(a1 + a2(x + с) +…+ an (xn-1 + xn-2c + xn-2c2 + …+ xc n-2 + cn-1)).

Следовательно, f(x) - f(c) = (x) q(x), где q(x) = a1 + a2(x + с) +…+ an (xn-1 + xn-2c + xn-2c2 + …+ xc n-2 + cn-1). Отсюда f(x) = (x - c) q(x) + r.  Если deg f = n   1, то an  0, deg q = n-1.

Многочлен q, найденный в теореме 2, называется неполным частным, а r - остатком от деления f  на двучлен x - c. Найдем рекуррентные формулы для нахождения коэффициентов неполного частного и остатка. Пусть f = a0xn + a1xn-1 + …+ an , a0 0, n   1. Тогда по теореме 1 q(x) = b0xn-1 + b1xn-2 + …+ bn-1 и равенство f(x) = (x - c)q(x) + r представится в виде

a0xn + a1xn-1 + …+ an = (x - c)( b0xn-1 + b1xn-2 + …+ bn-1) + r.

Раскроем в правой части равенства скобки и получим

a0xn + a1xn-1 + …+ an = b0xn + (b1- b0c) xn-1 + (b2 - b1c)xn-3 + (r - bn-1c).

Отсюда по определению равенства двух многочленов получаем

a0 = b0 , a1 = b1- b0c, a2 = b2- b1c, a3 = b3 - b2c, …, an = r - bn-1c.

Тогда 

b0 = a0  , b1 = a1 + b0c, b2  = a2 + b1c, b3 = a3 + b2c, …, r = an + bn-1 c.                                                        (1)

Алгоритм нахождения коэффициентов неполного частного и остатка по рекуррентным формулам (1) называется схемой Горнера.

Определение 1. Число c С называется корнем многочлена  f(x) = a0 + a1x + …+ anxn  если  f(c) = 0.

Теорема 2 (Безу). Число c является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда многочлен делится на двучлен x - c, т. е.  f(x) = (x - c)q(x), где ст q(x) = ст f(x) -1.

Доказательство. Разделим многочлен f(x)  на x - c  с остатком и получим  f(x) = (x - c)q(x) + r, где r = f(c).  

Необходимость. Пусть c - корнь многочлена f(x) . По определению 2, r= f(c)=0. Разделим многочлен f(x)  на x - c  с остатком и получим  f(x) = (x - c)q(x) + r, где r = f(c). Тогда  f(x)= (x - c)q(x) и f(x) делится на x - c.

Достаточность. Пусть f(x) делится на x - c. Тогда f(x)= (x - c)q(x) и f(c)= (с - c)q(c)=0. По определению, c - корнем многочлена f (x).

Определение 2. Число c С называется корнем многочлена  f(x)  кратности k, если  f(x) = (x - c)kq(x), где q(c) 0.

Теорема 3. Если число c является корнем многочлена f(x) кратности k, то является корнем кратности k-1 производной  f '(x).

Доказательство. Пусть число c является корнем многочлена f(x) кратности k. Тогда по определению получаем

f(x) = (x - c)kq(x), где q(c) 0.

Вычислим производную и получим

f ' (x) = k(x - c)k -1q(x) + (x - c)k q(x) = (x - c)k -1(kq(x) + (x - c) q(x))= (x - c)k -1q1(x),

где q1(x) = kq(x) + (x - c) q(x). Так как q1(с) = kq(с) + (с - c) q(x) = kq(с) 0, то число с корень кратности k-1 многочлена   f '(x).

Следствие. Число c является корнем многочлена f(x) кратности k, тогда и только тогда, когда 

f(с)= f '(с)=…= f (k-1)(с) =0,   f (k)(с) 0.

  1.  Основная теорема алгебры и следствия из нее.  Разложение многочлена с действительными коэффициентами на множители.

Теорема 1. Любой многочлен f(x) с комплексными коэффициентами степени больше нуля имеет хотя бы один комплексный корень.

Следствие 1. Любой многочлен f(x) с комплексными коэффициентами степени n  0 можно представить в виде

f(x) = a0(x - x1) (x - x2) …(x - xn),                                                                                     (1)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xn.- корни многочлена f(x).

Следствие 2. Любой многочлен f(x) с комплексными коэффициентами степени n  0 можно представить в виде

                                                                   (2)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xr.- корни многочлена f(x) соответственно кратностей k1, k2, …, kr.

Следствие 3(формулы Виета). Если x1, x2, …, xn.- корни многочлена f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an взятые с учетом кратности, то справедливы формулы:

4

Теорема 2. Если комплексное число z = a + bi, b  0,  является корнем многочлена f(x) c действительными коэффициентами, то и комплексно сопряженное число z = a - bi  является корнем многочлена и тогда многочлен f(x) делится на квадратный трехчлен          x2 -2ax+a2 + b2 с дискриминантом меньше нуля.

Доказательство. Пусть f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an - многочлен c действительными коэффициентами число c является корнем многочлена f(x) кратности k. Пусть далее комплексное число z = a + bi корень многочлена f(x). Тогда по определению корня получим:

f(z) = a0zn + a1zn-1 + …+ an = 0.

Переходя в последнем равенстве к комплексно сопряженным числам и используя свойства комплесно сопряженных чисел, с одной стороны получаем:

.

С другой стороны, . Поэтому  и число z = a - bi корень многочлена f'(x).  

Так как b  0 , то z = a + bi  a - bi=z, и из теоремы Безу следует, что многочлен делится на двучлены x - z       и  x - z поэтому делится на их произведение (x - z)( x - z) = x2 - (z+z) x + z z  = x2 -2ax+a2 + b2. Дискриминант последнего трехчлена

. .

Следствие. Любой многочлен f(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an , a0 0, с действительными  коэффициентами степени n  0 можно представить в виде

                                 (2)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xr.- действительные корни многочлена f(x) соответственно кратностей k1, k2, …, kr, трехчлены x2 + p1x + q1,…, x2 + psx + qs -попарно различны и имеют отрицательные дискриминанта. При этом

k1+ k2+ …+ kr+ 2l1+ 2l2+ …+ 2ls = n.

  1.  Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби.

Определение 1. Дробно-рациональной функцией или рациональной дробью  называем функцию, представимую в виде частного двух многочленов

.                                                                                                    (1)

Определение 2. Рациональная дробь (1)  называется правильной, если степень ее числителя дроби меньше степени знаменателя. В противном случае дробь называется неправильной.

Определение 3. Рациональная дробь (1)  называется несократимой, если числитель и знаменатель дроби взаимно простые многочлены.

Теорема 1. Любую неправильную дробь, у которой числитель не делится на знаменатель можно представить, в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Доказательство. По теорема о делении с остатком получаем P(x) = Q(x)q(x) + R(x), где R(x) = 0, или ст R(x) < ст Q(x). Так как не делится на , то первый случай невозможен, а во втором случае получаем

,

где последняя дробь правильная.

Определение 3. Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональная дроби следующих типов:

где A, a, M, N, p, q - действительные числа.

Теорема 2. Пусть (1) - правильная несократимая дробь, знаменатель которой имеет число a корнем кратности k, т.е.       Q(x) = (x - a)kQ1(x), Q1(а) 0. Тогда для этой дроби справедливо представление

.                                                                   (2)

Теорема 3. Пусть (1) - правильная несократимая дробь, знаменатель которой имеет комплексное число a+bi корнем кратности k, т.е.       Q(x) = (x2 + px +q)kQ1(x), Q1(а) 0, p = -2a, q = a2 + b2. Тогда для этой дроби справедливо представление

.                                                                   (3)

Теорема 4. Пусть (1) - правильная несократимая дробь, знаменатель которой представляется в виде

                                 (4)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xr.- действительные корни многочлена f(x) соответственно кратностей k1, k2, …, kr, трехчлены x2 + p1x + q1,…, x2 + psx + qs -попарно различны и имеют отрицательные дискриминанта. Тогда рациональная дробь имеет разложение на простей шие дроби следующего вида

                    (5)

где Ai,,Bj , Cu , Mv ,… - действительные числа.

Разложение рациональной дроби на простейшие дроби проводят методом неопределенных коэффициентов.


О

y

x

Рис. 1

M(x,y)

1

z

(z)

z2

z1+ z2

r


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43894. АПРОБАЦІЯ СИСТЕМИ УПРАВЛІННЯ ЯКІСТЮ ПРОДУКЦІЇ У ФАРМАЦЕВТИЧНИХ КОМПАНІЯХ НА ПРИКЛАДІ ЗАТ «БІОЛІК» 1.37 MB
  З іншого боку важливим чинником що визначає спрямованість України до правової держави та верховенства права є її європейський вибір та вступ до СОТ. Такою зокрема є фармацевтична i медична діяльність бізнессередовище тобто діяльність у сфері обігу виробництва виготовлення збуту обліку призначення продажу введення тощо лікарських засобів далі – ЛЗ важливими аспектами якої є забезпечення належної якості та ефективності ЛЗ засобами державного контролю Міністерство внутрішніх справ України Міністерство охорони здоров’я...
43895. Финансовая (бухгалтерская) отчетность организации, ее место в системе экономической информации на примере ЗАО БалаковоВолгоэнергомонтаж 258 KB
  Способы анализа баланса. Анализ ликвидности баланса. Собственникам руководителям организации данные баланса необходимы для контроля за наличием и структурой хозяйственных средств и их источников для определения сумеет ли предприятие в ближайшее время выполнить свои обязательства перед третьими лицами акционерами инвесторами кредиторами покупателями поставщиками и другими или оно находится на грани финансовых затруднений. Покупатели и держатели акций предприятия в большей мере оценивают финансовую устойчивость организации...
43896. Проектування автодороги Кіровоград – Кривий Ріг на обході с.м.т. Новгородка 1.06 MB
  Інтенсивність дорожнього руху. Взаємозв’язок коефіцієнту зчеплення з транспортно експлуа таційним станом покриття та режимами руху. Рекомендації БЕЗПЕКА ТА ОРГАНІЗАЦІЯ РУХУ. Оцінка безпеки руху методом підсумкових коефіцієнтів безпеки.
43897. Теоретические и практические аспектам маркетинговой деятельности СОАО «ВСК» и разработки стратегии дальнейшего развития 1.03 MB
  Во второй части работы проведен финансовый анализ СОАО ВСК в том числе дается характеристика предприятия проанализирована динамика и структура страховых услуг представлен анализ прибыли и рентабельности дается оценка финансовой устойчивости проведен анализ динамики и структуры бухгалтерского баланса. Он включает в себя: 1 определение размера страхового покрытия перечня страхуемых рисков а также страховых сумм и условий осуществления выплат; 2 расчет страховой премии и определение...
43898. Анализ и выявление пути совершенствования внешнеэкономической деятельности РУП «Гродноэнерго» 1.16 MB
  При обретении независимости в 1991 году Беларусь была одной из богатейших республик СНГ по показателям доходов на душу населения, что отражало устойчивый рост, происходивший в республике в 70-е и начале 80-х годов. Она развила промышленность, доля которой в ВВП превратила Беларусь в одну из самых индустриализированных стран мира.
43899. Разработка рекомендаций по совершенствованию методики оценки кредитоспособности заемщика ОАО «Московский индустриальный банк» 5.4 MB
  Первый вопрос связан с анализом финансового состояния предприятия а второй носит юридический характер а также связан с личными качествами руководителя предприятия. Способность своевременно возвращать кредит оценивается путем анализа баланса предприятия на ликвидность эффективного использования кредита и оборотных средств уровня рентабельности а готовность определяется посредством изучения дееспособности заемщика перспектив его развития деловых качеств руководителей предприятий. В связи с тем что предприятия значительно различаются по...
43900. Особенности мотивации и стрессоустойчивости операторов связи 160.5 KB
  Особенности мотивации и стрессоустойчивости операторов связи Современное состояние проблемы мотивации и стрессоустойчивости операторов связи Подходы к изучению мотивации.
43901. Учет затрат на производство 29.45 KB
  Расходами организации согласно ПБУ 10/99 признается уменьшение экономических выгод в результате выбытия активов и возникновения обязательств, приводящее к уменьшению капитала организации, за исключением уменьшения вкладов по решению собственников имущества.