22425

Методы интегрирования

Лекция

Математика и математический анализ

Он упрощается в следующих трех случаях: Функция Rx y нечетная относительно x Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin xcos x sin x входит в нечетной степени в Rsin xcos x = R1sin2 xcos x sin x. Делаем подстановку t = cos x и получим . Функция Rx y нечетная относительно y Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin xcos x cos x входит в нечетной степени в Rsin xcos x = R1sin xcos2 x cos x. Функция Rx y четная относительно x и y Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin x cos x.

Русский

2013-08-03

115.5 KB

0 чел.

110100, 110600                              Математика                                 Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 23. Методы интегрирования

План

  1.  Интегрирование простейших дробей.
  2.  Интегрирование рациональных дробей.
  3.  Интегрирование тригонометрических выражений.
  4.  Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
  5.  Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Литература: Ильин В.А., с.217-238. Письменный Д., с. 210-220. Ермаков В.И., с.278-288. Крамер В.Ш., с.267-272.  

  1.  Интегрирование простейших дробей.

Определение 1. Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональная дроби следующих типов:

где A, a, M, N, p, q - действительные числа.

Интегралы от первых трех дробей находятся по следующим формулам:

.

Интеграл от последней дроби подстановкой  приводится к виду

где интеграл Ik вычисляется по рекуррентным формулам:

.

  1.  Интегрирование рациональных дробей. Правило интегрирования рациональных дробей.
  2.  Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.
  3.  Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, т.е. представит его в виде

                                 (4)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xr.- действительные корни многочлена f(x) соответственно кратностей k1, k2, …, kr, трехчлены x2 + p1x + q1,…, x2 + psx + qs -попарно различны и имеют отрицательные дискриминанта. Рациональную дробь разложить на простей  дроби следующего вида

                    (5)

где Ai,,Bj , Cu , Mv ,… - действительные числа. Коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов.

  1.  Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей по правилам первого параграфа.

Теорема 1. Всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях.

  1.  Интегрирование тригонометрических выражений. Пусть R(x, y) - любая рациональная функция от двух переменных x, y. Рассмотрим интеграл вида . Сделаем подстановку  . Тогда получим

,

а интеграл представится в виде

.

Указанный способ громоздкий, но всегда приводит к цели. Он упрощается в следующих трех случаях:

  1.  Функция  R(x, y) нечетная относительно x, R(-x, y) = - R(x, y), R(-sin x,cos x) = - R(sin x,cos x), sin x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R1(sin2 x,cos x) sin x. Делаем подстановку t = cos x  и получим

.

  1.  Функция  R(x, y) нечетная относительно y, R(x, -y) = - R(x, y), R(sin x,-cos x) = - R(sin x,cos x), cos x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R1(sin x,cos2 x) cos x. Делаем подстановку t = sin x  и получим

.

  1.  Функция  R(x, y) четная относительно x и y, R(-x, -y) = R(x, y), R(-sin x,-cos x) = R(sin x, cos x). cos x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R(tg x cos x ,cos x) = R1(tg x ,cos2 x). Делаем подстановку t = tg x  и получим

.

Подстановка t = tg x  интегрирует  и функции вида R(tg x).

Для нахождения интегралов вида  используется следующее правила:

  1.  если n - целое положительное нечетное число, то используется подстановка t = sin x;
  2.  если m - целое положительное нечетное число, то используется подстановка t = cos x;
  3.  если n , m - целые неотрицательные четные числа, то используем формулы понижения степени.

;

  1.   если n + m - целые отрицательное четное число, то используем формулы понижения степени.

;используется подстановка t = cos x;

Для нахождения интегралов вида  используются следующие тригонометрические формулы:

.

  1.  Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.  Дробно линейной иррациональностью называют функцию вида , где a, b, c, d - действительные числа, ad - bc  0. Производим подстановку .

Тогда получим

,

и функция интегрируема.

Биномиальным выражением называют функцию вида, где a, b - действительные числа, m, n, p - рациональные числа. Эта функция интегрируема только в следующих трех случаях.

1) p - целое число. Тогда биномиальное выражение имеет вид   , где r - наименьшее кратное знаменателей дробей m, n. Интегрируется подстановкой .

2) (m+1)/n - целое число. Тогда сделаем подстановку  z = xn. Будем иметь

.

Подынтегральная функция имеет вид   , где s - знаменатель дроби p. Интегрируется подстановкой .

3) 2) (m+1)/n + p - целое число. Подынтегральная функция имеет вид , где s - знаменатель дроби p. Интегрируется подстановкой .

Квадратичной  иррациональностью называют функцию вида , где a, b, c - действительные числа.

Если D = b2 - 4ac < 0, то сделаем подстановку (первая подстановка Эйлера).

Если D = b2 - 4ac  0, то сделаем подстановку  (вторая подстановка Эйлера).

Интегралы вида  к которым можно свести указанные выше интегралы интегрируют с помощью подстановок : x = asin t - первый интеграл, x = atg t - второй интеграл, x = a/sin t - третий интеграл.

Интеграл называется не берущимся, если он не выражается через элементарные функции.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12863. Программа адаптации выпускников начальной школы к среднему звену 32 KB
  Программа адаптации выпускников начальной школы к среднему звену Каминская Ольга Николаевна педагогпсихолог Из года в год возникает проблема адаптации учащихся при переходе из начального в среднее звено школы. Несмотря на то что ученики уже привыкли к школе...
12864. Путешествие в страну Детства 54.5 KB
  Занятие для учащихся 5х классов Путешествие в страну Детства Цель: развитие эмоциональноволевой сферы детей. Задачи: развитие способности понимать эмоциональное состояние другого человека; развитие умения справляться с чувством страха; развитие ко
12865. Репортаж от одноклассника. Психологическая игра-проект 307.5 KB
  Психологическая играпроект Репортаж от одноклассника Психологическая служба любого образовательного учреждения ставит перед собой задачу выстраивания взаимодействия на решение комплексных задач школы которые реализуются всеми специалистами. Это взаимодействи...
12866. Тренинговые занятия. Я И МЫ 277.5 KB
  Я И МЫ Тренинговые занятия по формированию социальных навыков для учащихся 5го класса Начало учебы в 5м классе особый этап в школьной жизни ребенка. Перед каждым учеником стоит задача адаптации к непривычным условиям обучения: к множеству учебных предметов к новы
12867. ВОЛШЕБНЫЕ ПРИКЛЮЧЕНИЯ 34 KB
  ВОЛШЕБНЫЕ ПРИКЛЮЧЕНИЯ СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ Тренинг Волшебные приключения строится как интерактивное игровое общение ровесников. Включает активнодвигательные упражнения и творческие задания направленные на переосмысление и открытие новых способов самовыражен
12868. Невероятное путешествие 44.5 KB
  Большая психологическая игра Невероятное путешествие При переходе в старшее звено могут возникнуть проблемы: в классе сложилось несколько группировок постоянно происходят конфликты учащиеся не могут найти €œобщий язык€ нельзя провести коллективное мероприятие
12869. Большая психологическая игра Новоселье 42 KB
  Большая психологическая игра Новоселье 1. Название: €œНовоселье€. 2. Задачи игры: создать условия для взаимодействия ребят друг с другом способствующие формированию навыка сотрудничества; развитие рефлексии. 3. Описание проблем или задач развития на решение кото...
12870. ПРИКЛЮЧЕНИЯ В ШКОЛЕ ВОЛШЕБНЫХ НАУК 54.5 KB
  ПРИКЛЮЧЕНИЯ В ШКОЛЕ ВОЛШЕБНЫХ НАУК Зал празднично украшен. Ребята проходят в зал их встречают педагоги помогают занять зрительские и командноигровые места. Занавес закрыт. Фоновая музыка. Вступительное слово: Добрый день Мы рады приветствовать всех собравшихся н...
12871. Праздник в снежном городке 46 KB
  Большая психологическая игра Праздник в снежном городке Задачи игры: дать участником опыт проектирования в рамках совместной практической деятельности; развивать навыки сотрудничества и кооперации; развивать навыки коммуникации: взаимопонимания слуш