22425

Методы интегрирования

Лекция

Математика и математический анализ

Он упрощается в следующих трех случаях: Функция Rx y нечетная относительно x Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin xcos x sin x входит в нечетной степени в Rsin xcos x = R1sin2 xcos x sin x. Делаем подстановку t = cos x и получим . Функция Rx y нечетная относительно y Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin xcos x cos x входит в нечетной степени в Rsin xcos x = R1sin xcos2 x cos x. Функция Rx y четная относительно x и y Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin x cos x.

Русский

2013-08-03

115.5 KB

0 чел.

110100, 110600                              Математика                                 Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 23. Методы интегрирования

План

  1.  Интегрирование простейших дробей.
  2.  Интегрирование рациональных дробей.
  3.  Интегрирование тригонометрических выражений.
  4.  Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
  5.  Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Литература: Ильин В.А., с.217-238. Письменный Д., с. 210-220. Ермаков В.И., с.278-288. Крамер В.Ш., с.267-272.  

  1.  Интегрирование простейших дробей.

Определение 1. Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональная дроби следующих типов:

где A, a, M, N, p, q - действительные числа.

Интегралы от первых трех дробей находятся по следующим формулам:

.

Интеграл от последней дроби подстановкой  приводится к виду

где интеграл Ik вычисляется по рекуррентным формулам:

.

  1.  Интегрирование рациональных дробей. Правило интегрирования рациональных дробей.
  2.  Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.
  3.  Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, т.е. представит его в виде

                                 (4)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xr.- действительные корни многочлена f(x) соответственно кратностей k1, k2, …, kr, трехчлены x2 + p1x + q1,…, x2 + psx + qs -попарно различны и имеют отрицательные дискриминанта. Рациональную дробь разложить на простей  дроби следующего вида

                    (5)

где Ai,,Bj , Cu , Mv ,… - действительные числа. Коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов.

  1.  Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей по правилам первого параграфа.

Теорема 1. Всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях.

  1.  Интегрирование тригонометрических выражений. Пусть R(x, y) - любая рациональная функция от двух переменных x, y. Рассмотрим интеграл вида . Сделаем подстановку  . Тогда получим

,

а интеграл представится в виде

.

Указанный способ громоздкий, но всегда приводит к цели. Он упрощается в следующих трех случаях:

  1.  Функция  R(x, y) нечетная относительно x, R(-x, y) = - R(x, y), R(-sin x,cos x) = - R(sin x,cos x), sin x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R1(sin2 x,cos x) sin x. Делаем подстановку t = cos x  и получим

.

  1.  Функция  R(x, y) нечетная относительно y, R(x, -y) = - R(x, y), R(sin x,-cos x) = - R(sin x,cos x), cos x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R1(sin x,cos2 x) cos x. Делаем подстановку t = sin x  и получим

.

  1.  Функция  R(x, y) четная относительно x и y, R(-x, -y) = R(x, y), R(-sin x,-cos x) = R(sin x, cos x). cos x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R(tg x cos x ,cos x) = R1(tg x ,cos2 x). Делаем подстановку t = tg x  и получим

.

Подстановка t = tg x  интегрирует  и функции вида R(tg x).

Для нахождения интегралов вида  используется следующее правила:

  1.  если n - целое положительное нечетное число, то используется подстановка t = sin x;
  2.  если m - целое положительное нечетное число, то используется подстановка t = cos x;
  3.  если n , m - целые неотрицательные четные числа, то используем формулы понижения степени.

;

  1.   если n + m - целые отрицательное четное число, то используем формулы понижения степени.

;используется подстановка t = cos x;

Для нахождения интегралов вида  используются следующие тригонометрические формулы:

.

  1.  Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.  Дробно линейной иррациональностью называют функцию вида , где a, b, c, d - действительные числа, ad - bc  0. Производим подстановку .

Тогда получим

,

и функция интегрируема.

Биномиальным выражением называют функцию вида, где a, b - действительные числа, m, n, p - рациональные числа. Эта функция интегрируема только в следующих трех случаях.

1) p - целое число. Тогда биномиальное выражение имеет вид   , где r - наименьшее кратное знаменателей дробей m, n. Интегрируется подстановкой .

2) (m+1)/n - целое число. Тогда сделаем подстановку  z = xn. Будем иметь

.

Подынтегральная функция имеет вид   , где s - знаменатель дроби p. Интегрируется подстановкой .

3) 2) (m+1)/n + p - целое число. Подынтегральная функция имеет вид , где s - знаменатель дроби p. Интегрируется подстановкой .

Квадратичной  иррациональностью называют функцию вида , где a, b, c - действительные числа.

Если D = b2 - 4ac < 0, то сделаем подстановку (первая подстановка Эйлера).

Если D = b2 - 4ac  0, то сделаем подстановку  (вторая подстановка Эйлера).

Интегралы вида  к которым можно свести указанные выше интегралы интегрируют с помощью подстановок : x = asin t - первый интеграл, x = atg t - второй интеграл, x = a/sin t - третий интеграл.

Интеграл называется не берущимся, если он не выражается через элементарные функции.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74524. Федеральное Собрание РФ 30.26 KB
  1994 N 3ФЗ О статусе члена Совета Федерации и статусе депутата Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации Федеральный закон от 18.2005 N 51ФЗ О выборах депутатов Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации Федеральный закон от 03.1998 N 137ФЗ О материальном обеспечении членов семьи умершего члена Совета Федерации или депутата Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации Социальные гарантии депутатам ГД членам СФ По объему социальных гарантий они приравниваются к федеральному...
74525. Правительство РФ 20.9 KB
  Взаимодействие с законодательной судебной властью Президент назначает и смещает Председателя и членов Правительства РФ федеральных министров Президент РФ вправе председательствовать на заседаниях Правительства РФ Перед вновь избранным Президентом Российской РФ Российской Федерации слагает свои полномочия...
74526. Конституционное право как отрасль российского права. Виды, принципы и свойства Конституции РФ 30.63 KB
  Виды принципы и свойства Конституции РФ Отличия отраслей права.Основы конституционного строя России суверенитет народа разделение власти верховенство Конституции. Отношения основанные на системе запретов прямой запрет определенных действий Задание Найдите примеры норм Конституции которые основаны на указанных выше методах
74527. Суверенитет народа и формы его осуществления 35.9 KB
  Запрет принуждения ко вступлению в общественные объединения и пребыванию в них. Запрет создания и деятельности общественных объединений направленных на изменение конституционного строя нарушение целостности РФ подрыв безопасности государства создание вооруженных формирований разжигание расовой социальной национальной религиозной вражды ФЗ РФ Об общественных объединениях. Признаки общественного объединения формирование граждан добровольное самоуправляемое некоммерческое общность интересов общность целей цели закреплены в...
74528. Объективная сторона преступления 130.5 KB
  Объективная сторона преступления. Понятие и содержание объективной стороны состава преступления. Факультативные признаки объективной стороны преступления и их значение. Понятие и содержание объективной стороны состава преступления.
74529. Субъект преступления 101.5 KB
  Субъект преступления Понятие и признаки субъекта преступления Вменяемость. Возраст уголовной ответственности Специальный субъект преступления. Понятие и признаки субъекта преступления Субъект преступления и его признаки определены...
74530. Субъективная сторона преступления 179.5 KB
  Субъективная сторона преступления. Понятие и значение субъективной стороны преступления. Факультативные признаки субъективной стороны преступления мотив цель эмоции. Понятие и значение субъективной стороны преступления.
74531. Объект преступления 44.5 KB
  Объект преступления. Понятие объекта преступления. Виды объектов преступления. Соотношение объекта и предмета преступления.
74532. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭВМ. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА, СОСТАВ И НАЗНАЧЕНИЕ ОСНОВНЫХ ВИДОВ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ КОМПЬЮТЕРА 17.96 KB
  Программное обеспечение это совокупность программ позволяющих осуществить на компьютере автоматизированную обработку информации. Программное обеспечение делится на системное общее и прикладное специальное. Системное программное обеспечение обеспечивает функционирование и обслуживание компьютера а также автоматизацию процесса создания новых программ. К системному программному обеспечению относятся: операционные системы и их пользовательский...