22425

Методы интегрирования

Лекция

Математика и математический анализ

Он упрощается в следующих трех случаях: Функция Rx y нечетная относительно x Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin xcos x sin x входит в нечетной степени в Rsin xcos x = R1sin2 xcos x sin x. Делаем подстановку t = cos x и получим . Функция Rx y нечетная относительно y Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin xcos x cos x входит в нечетной степени в Rsin xcos x = R1sin xcos2 x cos x. Функция Rx y четная относительно x и y Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin x cos x.

Русский

2013-08-03

115.5 KB

0 чел.

110100, 110600                              Математика                                 Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 23. Методы интегрирования

План

  1.  Интегрирование простейших дробей.
  2.  Интегрирование рациональных дробей.
  3.  Интегрирование тригонометрических выражений.
  4.  Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
  5.  Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Литература: Ильин В.А., с.217-238. Письменный Д., с. 210-220. Ермаков В.И., с.278-288. Крамер В.Ш., с.267-272.  

  1.  Интегрирование простейших дробей.

Определение 1. Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональная дроби следующих типов:

где A, a, M, N, p, q - действительные числа.

Интегралы от первых трех дробей находятся по следующим формулам:

.

Интеграл от последней дроби подстановкой  приводится к виду

где интеграл Ik вычисляется по рекуррентным формулам:

.

  1.  Интегрирование рациональных дробей. Правило интегрирования рациональных дробей.
  2.  Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.
  3.  Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, т.е. представит его в виде

                                 (4)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xr.- действительные корни многочлена f(x) соответственно кратностей k1, k2, …, kr, трехчлены x2 + p1x + q1,…, x2 + psx + qs -попарно различны и имеют отрицательные дискриминанта. Рациональную дробь разложить на простей  дроби следующего вида

                    (5)

где Ai,,Bj , Cu , Mv ,… - действительные числа. Коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов.

  1.  Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей по правилам первого параграфа.

Теорема 1. Всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях.

  1.  Интегрирование тригонометрических выражений. Пусть R(x, y) - любая рациональная функция от двух переменных x, y. Рассмотрим интеграл вида . Сделаем подстановку  . Тогда получим

,

а интеграл представится в виде

.

Указанный способ громоздкий, но всегда приводит к цели. Он упрощается в следующих трех случаях:

  1.  Функция  R(x, y) нечетная относительно x, R(-x, y) = - R(x, y), R(-sin x,cos x) = - R(sin x,cos x), sin x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R1(sin2 x,cos x) sin x. Делаем подстановку t = cos x  и получим

.

  1.  Функция  R(x, y) нечетная относительно y, R(x, -y) = - R(x, y), R(sin x,-cos x) = - R(sin x,cos x), cos x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R1(sin x,cos2 x) cos x. Делаем подстановку t = sin x  и получим

.

  1.  Функция  R(x, y) четная относительно x и y, R(-x, -y) = R(x, y), R(-sin x,-cos x) = R(sin x, cos x). cos x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R(tg x cos x ,cos x) = R1(tg x ,cos2 x). Делаем подстановку t = tg x  и получим

.

Подстановка t = tg x  интегрирует  и функции вида R(tg x).

Для нахождения интегралов вида  используется следующее правила:

  1.  если n - целое положительное нечетное число, то используется подстановка t = sin x;
  2.  если m - целое положительное нечетное число, то используется подстановка t = cos x;
  3.  если n , m - целые неотрицательные четные числа, то используем формулы понижения степени.

;

  1.   если n + m - целые отрицательное четное число, то используем формулы понижения степени.

;используется подстановка t = cos x;

Для нахождения интегралов вида  используются следующие тригонометрические формулы:

.

  1.  Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.  Дробно линейной иррациональностью называют функцию вида , где a, b, c, d - действительные числа, ad - bc  0. Производим подстановку .

Тогда получим

,

и функция интегрируема.

Биномиальным выражением называют функцию вида, где a, b - действительные числа, m, n, p - рациональные числа. Эта функция интегрируема только в следующих трех случаях.

1) p - целое число. Тогда биномиальное выражение имеет вид   , где r - наименьшее кратное знаменателей дробей m, n. Интегрируется подстановкой .

2) (m+1)/n - целое число. Тогда сделаем подстановку  z = xn. Будем иметь

.

Подынтегральная функция имеет вид   , где s - знаменатель дроби p. Интегрируется подстановкой .

3) 2) (m+1)/n + p - целое число. Подынтегральная функция имеет вид , где s - знаменатель дроби p. Интегрируется подстановкой .

Квадратичной  иррациональностью называют функцию вида , где a, b, c - действительные числа.

Если D = b2 - 4ac < 0, то сделаем подстановку (первая подстановка Эйлера).

Если D = b2 - 4ac  0, то сделаем подстановку  (вторая подстановка Эйлера).

Интегралы вида  к которым можно свести указанные выше интегралы интегрируют с помощью подстановок : x = asin t - первый интеграл, x = atg t - второй интеграл, x = a/sin t - третий интеграл.

Интеграл называется не берущимся, если он не выражается через элементарные функции.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21996. Средневековая культура 107 KB
  Не откажите прислать с подателем сего письма деньги а также туфли и чулки. появилось деление на семестры – большой ординарный учебный период – magnus ordinaries – с октября день св. Поскольку смех был изгнан из официальной жизни то поэтому появились праздники дураков которые проводились на Новый год день невинноубиенных младенцев Богоявление Иванов день. Здесь и страдающий Христос окруженный мальчикамиангелами; Тайная вечеря где присутствовал и Фома Аквинский борьба архангела Михаила с демонами источник бьющий вином гроб...
21997. Средневековый город 107.5 KB
  – речь идет о функциях и свойствах города его месте в средневековом обществе. В средние века официально городом считалось поселение получившее от властей статус города закрепленный особыми грамотами имеющее внешние атрибуты – стены ров укрепления много улиц жителей ратушу собор церкви большие здания порт рынки административные учреждения скопление властей уличную толпу. Существует свыше десятка теорий происхождения средневекового города: романистическая идея непрерывного развития города от римских времен до нового времени...
21998. Столетняя война (1137-1453) 60.5 KB
  Можно рассматривать и как феодальную войну за наследство земли но и как освободительную борьбу о стороны Франции и как первый общеевропейский международный конфликт. Но во Франции сославшись на LXIX титул Lex Salica лилии не прядут престол отдали представителю боковой линии французского дома Капетингов – племяннику Филиппа Красивого – Филиппу Валуа Филипп VI 13281350 и кузену Карла IV. Эдуард III начал войну в которую втянулись империя Фландрия Арагон Португалия – на стороне Англии Кастилия Шотландия папство – на стороне...
21999. Страны Северной Европы в XVI-первой половине XVII вв. 120.5 KB
  В Швеции в 1570е гг. Это было основным занятием населения в прибрежных областях Швеции и Финляндии особенно на севере. среди натуральных податей Северной Швеции до 60 составляла рыба. власти поощряли возделывание заброшенных земель но в Швеции начался конфликт изза королевских лесов которые были захвачены крестьянамилесокрадами.
22000. Тридцатилетняя война 1618-1648 гг. 128.5 KB
  Интересы Габсбургов сталкивались также в Южной Германии. Рейне и угроза усиления католического лагеря в Германии таили предпосылки обострения конфликта Габсбургов с Францией. сохранения политической раздробленности Германии и всемерной поддержки внутренней борьбы происходившей в ней между протестантскими и католическими князьями. Французские политики стремились не допустить усиления Австрийских Габсбургов в Германии.
22001. Франкское государство 82.5 KB
  Военные предводители франков короли герцоги завоевали земли от Рейна до Соммы затем между Сеной и Луарой продвигаясь к югу вытеснили готов за Пиренеи. Так же была размещена и общая для всей деревни площадь пахотной земли которая в свою очередь делилась на различные поля так называемые геванны или коны по качеству почвы. Хлодвиг присвоил себе земли бывшего императорского фиска. Его преемники прихватили все свободные земли бывшие достоянием общины.
22002. Франция в XI-XV вв. 269.5 KB
  Серв получал свободу только через отпуск для чего требовалась еще и санкция вышестоящего сеньора или короля. должность графа равно как и прочие бенефиции полученные от короля становилась наследственным достоянием их обладателей. на дворянский отряд осуществлявший в Бовези реквизицию продуктов у крестьян стали осаждать рыцарские замки сжигать или захватывать поместья было разрушено не менее 100 замков или домов уничтожать списки повинностей и требовать истребления всех дворян кроме короля. Города разными путями добивались...
22003. Франция в XVI-XVIII вв. 183 KB
  Во Франции в XVIXVII вв. Парижский бассейн – самая развитая область Франции урожайность – 15 цт с 1 га сам5; на юге – чуть ниже; трехполье; для сравнения – урожайность в Англии составляла 13 цт с 1 га. в некоторых местностях Северной Франции появилась новая форма аграрных отношений – краткосрочная аренда более или менее крупных земельных комплексов. – климат характеризуется потеплением и преобладанием урожайных лет над неурожайными а война велась вне пределов Франции и сопровождалась умеренным ростом налогов.
22004. Україна у складі Російської та Австро-Угорської імперій (кінець ХVІІІ – початок ХХ ст.) 56 KB
  Український суспільно-політичний рух опирався не тільки на внутрішні джерела, а й на зовнішні чинники. Йдеться, зокрема, про відчутний вплив на цей рух Французької революції, зокрема її концепції вільної нації.