22425

Методы интегрирования

Лекция

Математика и математический анализ

Он упрощается в следующих трех случаях: Функция Rx y нечетная относительно x Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin xcos x sin x входит в нечетной степени в Rsin xcos x = R1sin2 xcos x sin x. Делаем подстановку t = cos x и получим . Функция Rx y нечетная относительно y Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin xcos x cos x входит в нечетной степени в Rsin xcos x = R1sin xcos2 x cos x. Функция Rx y четная относительно x и y Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin x cos x.

Русский

2013-08-03

115.5 KB

0 чел.

110100, 110600                              Математика                                 Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 23. Методы интегрирования

План

  1.  Интегрирование простейших дробей.
  2.  Интегрирование рациональных дробей.
  3.  Интегрирование тригонометрических выражений.
  4.  Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
  5.  Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Литература: Ильин В.А., с.217-238. Письменный Д., с. 210-220. Ермаков В.И., с.278-288. Крамер В.Ш., с.267-272.  

  1.  Интегрирование простейших дробей.

Определение 1. Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональная дроби следующих типов:

где A, a, M, N, p, q - действительные числа.

Интегралы от первых трех дробей находятся по следующим формулам:

.

Интеграл от последней дроби подстановкой  приводится к виду

где интеграл Ik вычисляется по рекуррентным формулам:

.

  1.  Интегрирование рациональных дробей. Правило интегрирования рациональных дробей.
  2.  Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.
  3.  Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, т.е. представит его в виде

                                 (4)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xr.- действительные корни многочлена f(x) соответственно кратностей k1, k2, …, kr, трехчлены x2 + p1x + q1,…, x2 + psx + qs -попарно различны и имеют отрицательные дискриминанта. Рациональную дробь разложить на простей  дроби следующего вида

                    (5)

где Ai,,Bj , Cu , Mv ,… - действительные числа. Коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов.

  1.  Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей по правилам первого параграфа.

Теорема 1. Всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях.

  1.  Интегрирование тригонометрических выражений. Пусть R(x, y) - любая рациональная функция от двух переменных x, y. Рассмотрим интеграл вида . Сделаем подстановку  . Тогда получим

,

а интеграл представится в виде

.

Указанный способ громоздкий, но всегда приводит к цели. Он упрощается в следующих трех случаях:

  1.  Функция  R(x, y) нечетная относительно x, R(-x, y) = - R(x, y), R(-sin x,cos x) = - R(sin x,cos x), sin x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R1(sin2 x,cos x) sin x. Делаем подстановку t = cos x  и получим

.

  1.  Функция  R(x, y) нечетная относительно y, R(x, -y) = - R(x, y), R(sin x,-cos x) = - R(sin x,cos x), cos x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R1(sin x,cos2 x) cos x. Делаем подстановку t = sin x  и получим

.

  1.  Функция  R(x, y) четная относительно x и y, R(-x, -y) = R(x, y), R(-sin x,-cos x) = R(sin x, cos x). cos x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R(tg x cos x ,cos x) = R1(tg x ,cos2 x). Делаем подстановку t = tg x  и получим

.

Подстановка t = tg x  интегрирует  и функции вида R(tg x).

Для нахождения интегралов вида  используется следующее правила:

  1.  если n - целое положительное нечетное число, то используется подстановка t = sin x;
  2.  если m - целое положительное нечетное число, то используется подстановка t = cos x;
  3.  если n , m - целые неотрицательные четные числа, то используем формулы понижения степени.

;

  1.   если n + m - целые отрицательное четное число, то используем формулы понижения степени.

;используется подстановка t = cos x;

Для нахождения интегралов вида  используются следующие тригонометрические формулы:

.

  1.  Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.  Дробно линейной иррациональностью называют функцию вида , где a, b, c, d - действительные числа, ad - bc  0. Производим подстановку .

Тогда получим

,

и функция интегрируема.

Биномиальным выражением называют функцию вида, где a, b - действительные числа, m, n, p - рациональные числа. Эта функция интегрируема только в следующих трех случаях.

1) p - целое число. Тогда биномиальное выражение имеет вид   , где r - наименьшее кратное знаменателей дробей m, n. Интегрируется подстановкой .

2) (m+1)/n - целое число. Тогда сделаем подстановку  z = xn. Будем иметь

.

Подынтегральная функция имеет вид   , где s - знаменатель дроби p. Интегрируется подстановкой .

3) 2) (m+1)/n + p - целое число. Подынтегральная функция имеет вид , где s - знаменатель дроби p. Интегрируется подстановкой .

Квадратичной  иррациональностью называют функцию вида , где a, b, c - действительные числа.

Если D = b2 - 4ac < 0, то сделаем подстановку (первая подстановка Эйлера).

Если D = b2 - 4ac  0, то сделаем подстановку  (вторая подстановка Эйлера).

Интегралы вида  к которым можно свести указанные выше интегралы интегрируют с помощью подстановок : x = asin t - первый интеграл, x = atg t - второй интеграл, x = a/sin t - третий интеграл.

Интеграл называется не берущимся, если он не выражается через элементарные функции.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7342. Изучение микроконтроллера MC68HC908GP32, методики его программирования и отладки 397 KB
  Изучение микроконтроллера MC68HC908GP32, методики его программирования и отладки Цель работы: Изучение состава стенда, назначения отдельных узлов стенда. Изучение технических характеристик и состава микропроцессора MC68HC908...
7343. Режимы адресации и система команд микропроцессора 143.5 KB
  Режимы адресации и система команд микропроцессора Цель работы: Изучить систему команд микропроцессора и закрепить навыки отладки программ. Программа работы Изучить систему команд и способы адресации микропроцессора Раз...
7344. Подсистема дискретного ввода/вывода 343 KB
  Подсистема дискретного ввода/вывода Цель работы: Изучить способы организации дискретного ввода/вывода, способы управления внешними устройствами, подключенными через параллельный интерфейс. Программа работы Изучить подсистем...
7345. Широкоуниверсальный фрезерный станок модели 6Р82Ш 4.93 MB
  Современные металлорежущие станки обеспечивают исключительно высокую точность обработанных деталей. Ответственны поверхности наиболее важных деталей машин и приборов обрабатывают на станках с ЧПУ с погрешностью до доли микрометров, а шероховатость поверхности при работе алмазным инструментом не превышает сотых долей микрометра.
7346. Недвижимое имущество как объект гражданских правоотношений 59.76 KB
  Предмет исследования - совокупность правовых норм, включающих особенности возникновения, осуществления и прекращения права собственности на недвижимое имущество. Цель исследования научно обосновать теоретико-прикладные положения об особенностях гражданско-правового регулирования права собственности на недвижимое имущество.
7347. Разработка технологического процесса изготовления колеса зубчатого 200 KB
  Разработка технологического процесса изготовления колеса зубчатого. Общий раздел. Характеристика детали. Конструкторский технологический анализ детали выполнен по рабочему чертежу детали. Наименование детали - колесо зубчатое. Коле...
7348. Возникновение письменности, появление документа 145 KB
  Возникновение письменности, появление документа 1. Возникновение письменности 1.1 Основные этапы развития письма Письмо прошло длинный путь развития, который охватывает период в несколько тысяч лет. Представляя собой дополнительно к звуковому ...
7349. Сетевая организация и интернет-коммуникация 590 KB
  Сетевая организация и интернет-коммуникация Сетевое предприятие: культура, институты и организации информациональной экономики Введение Как и все исторически отчетливые формы производства, информациональная экономика характеризуется своей специфичес...
7350. Магнетизм как релятивистский эффект 91 KB
  Тема: Магнетизм как релятивистский эффект Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле...