22425

Методы интегрирования

Лекция

Математика и математический анализ

Он упрощается в следующих трех случаях: Функция Rx y нечетная относительно x Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin xcos x sin x входит в нечетной степени в Rsin xcos x = R1sin2 xcos x sin x. Делаем подстановку t = cos x и получим . Функция Rx y нечетная относительно y Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin xcos x cos x входит в нечетной степени в Rsin xcos x = R1sin xcos2 x cos x. Функция Rx y четная относительно x и y Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin x cos x.

Русский

2013-08-03

115.5 KB

0 чел.

110100, 110600                              Математика                                 Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 23. Методы интегрирования

План

  1.  Интегрирование простейших дробей.
  2.  Интегрирование рациональных дробей.
  3.  Интегрирование тригонометрических выражений.
  4.  Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
  5.  Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Литература: Ильин В.А., с.217-238. Письменный Д., с. 210-220. Ермаков В.И., с.278-288. Крамер В.Ш., с.267-272.  

  1.  Интегрирование простейших дробей.

Определение 1. Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональная дроби следующих типов:

где A, a, M, N, p, q - действительные числа.

Интегралы от первых трех дробей находятся по следующим формулам:

.

Интеграл от последней дроби подстановкой  приводится к виду

где интеграл Ik вычисляется по рекуррентным формулам:

.

  1.  Интегрирование рациональных дробей. Правило интегрирования рациональных дробей.
  2.  Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.
  3.  Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, т.е. представит его в виде

                                 (4)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xr.- действительные корни многочлена f(x) соответственно кратностей k1, k2, …, kr, трехчлены x2 + p1x + q1,…, x2 + psx + qs -попарно различны и имеют отрицательные дискриминанта. Рациональную дробь разложить на простей  дроби следующего вида

                    (5)

где Ai,,Bj , Cu , Mv ,… - действительные числа. Коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов.

  1.  Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей по правилам первого параграфа.

Теорема 1. Всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях.

  1.  Интегрирование тригонометрических выражений. Пусть R(x, y) - любая рациональная функция от двух переменных x, y. Рассмотрим интеграл вида . Сделаем подстановку  . Тогда получим

,

а интеграл представится в виде

.

Указанный способ громоздкий, но всегда приводит к цели. Он упрощается в следующих трех случаях:

  1.  Функция  R(x, y) нечетная относительно x, R(-x, y) = - R(x, y), R(-sin x,cos x) = - R(sin x,cos x), sin x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R1(sin2 x,cos x) sin x. Делаем подстановку t = cos x  и получим

.

  1.  Функция  R(x, y) нечетная относительно y, R(x, -y) = - R(x, y), R(sin x,-cos x) = - R(sin x,cos x), cos x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R1(sin x,cos2 x) cos x. Делаем подстановку t = sin x  и получим

.

  1.  Функция  R(x, y) четная относительно x и y, R(-x, -y) = R(x, y), R(-sin x,-cos x) = R(sin x, cos x). cos x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R(tg x cos x ,cos x) = R1(tg x ,cos2 x). Делаем подстановку t = tg x  и получим

.

Подстановка t = tg x  интегрирует  и функции вида R(tg x).

Для нахождения интегралов вида  используется следующее правила:

  1.  если n - целое положительное нечетное число, то используется подстановка t = sin x;
  2.  если m - целое положительное нечетное число, то используется подстановка t = cos x;
  3.  если n , m - целые неотрицательные четные числа, то используем формулы понижения степени.

;

  1.   если n + m - целые отрицательное четное число, то используем формулы понижения степени.

;используется подстановка t = cos x;

Для нахождения интегралов вида  используются следующие тригонометрические формулы:

.

  1.  Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.  Дробно линейной иррациональностью называют функцию вида , где a, b, c, d - действительные числа, ad - bc  0. Производим подстановку .

Тогда получим

,

и функция интегрируема.

Биномиальным выражением называют функцию вида, где a, b - действительные числа, m, n, p - рациональные числа. Эта функция интегрируема только в следующих трех случаях.

1) p - целое число. Тогда биномиальное выражение имеет вид   , где r - наименьшее кратное знаменателей дробей m, n. Интегрируется подстановкой .

2) (m+1)/n - целое число. Тогда сделаем подстановку  z = xn. Будем иметь

.

Подынтегральная функция имеет вид   , где s - знаменатель дроби p. Интегрируется подстановкой .

3) 2) (m+1)/n + p - целое число. Подынтегральная функция имеет вид , где s - знаменатель дроби p. Интегрируется подстановкой .

Квадратичной  иррациональностью называют функцию вида , где a, b, c - действительные числа.

Если D = b2 - 4ac < 0, то сделаем подстановку (первая подстановка Эйлера).

Если D = b2 - 4ac  0, то сделаем подстановку  (вторая подстановка Эйлера).

Интегралы вида  к которым можно свести указанные выше интегралы интегрируют с помощью подстановок : x = asin t - первый интеграл, x = atg t - второй интеграл, x = a/sin t - третий интеграл.

Интеграл называется не берущимся, если он не выражается через элементарные функции.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74506. История развития компьютерных сетей. Глобальные и локальные сети 263 KB
  История развития компьютерных сетей Компьютерные сети являются логическим результатом эволюции развития компьютерных технологий. Такие многотерминальные централизованные системы внешне напоминали локальные вычислительные сети до создания которых в действительности нужно было пройти еще большой путь. Терминалы в этом случае соединялись с компьютером через телефонные сети с помощью специальных устройств модемов. Компьютеры получили возможность обмениваться данными в автоматическом режиме что является базовым механизмом любой компьютерной сети.
74507. Технические средства и системное программное обеспечение корпоративных информационных систем 5.37 MB
  Описание архитектуры фон Неймана В настоящее время используются разнообразные принципы логической и структурной организации ЭВМ. Исторически первыми но не утратившими своего значения являются однопроцессорные ЭВМ фоннеймановской архитектуры. В основу архитектуры положены традиционные принципы построения однопроцессорной ЭВМ сформулированные Дж. Как показывает дальнейшее развитие и совершенствование компьютеров такая архитектура построения ЭВМ является препятствием для дальнейшего роста производительности компьютера.
74508. ИНФОРМАЦИОННЫЕ РЕСУРСЫ КОРПОРАТИВНЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ 1.09 MB
  Весь процесс производства с точки зрения информатики представляет собой непрерывный процесс порождения обработки изменения хранения и распространения информации. Современное предприятие можно рассматривать как эффективный информационный центр источниками информации которого являются внешняя и внутренняя деловая среда.
74509. Предмет и основные понятия корпоративных информационных систем 1.1 MB
  Понятие информационной системы. Корпоративные информационные системы. Структура корпоративной информационной системы. Цель изучения дисциплины Корпоративные информационные системы подготовка к использованию современных информационных технологий в рамках КИС как инструмента для решения научных и практических задач в своей предметной области на высоком профессиональном уровне а также к участию в разработке и внедрении этих систем.
74510. ПРИКЛАДНОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КОРПОРАТИВНЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ 2.7 MB
  Посмотрим каким критериям должна удовлетворить концепция КИС: концепция КИС должна быть полностью формализована и ясна с точки зрения реализации обеспечивается технологиями ООП; созданная КИС не должна требовать частых переделок КИС меняется Пользователем на пользовательском уровне Разработчик в этом участвует значительно реже только подменяя ядро КИС на более эффективное; КИС должна иметь форму коробочного продукта КИС реализованная на принципах ООП близка этой форме; КИС должна требовать минимальной настройки под конкретное...
74511. ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОРПОРАТИВНЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ 192.5 KB
  Более подробно жизненный цикл КИС корпоративной информационной системы можно представить следующим образом: Этап анализа на котором происходит сбор предложений требований пожеланий аналогий фактов примеров эскизов сценариев и т. Этап управления вариантами системы необходим чтобы не утонуть в накапливаемом аналитическом материале. Этап конструирования знаменуют собой начало синтеза первых очертаний системы. Здесь происходит разработка вариантов архитектуры системы концептуальных моделей системы диаграмм взаимодействия подсистем...
74512. Сетевое обеспечение корпоративных информационных систем 6.39 MB
  Корпоративные сети. Целесообразность создания компьютерной сети обуславливается следующим: возможностью использования территориально распределенного программного обеспечения информационных баз данных и баз знаний находящихся у различных пользователей; возможностью организации распределенной обработки данных путем привлечения ресурсов многих вычислительных машин; оперативному перераспределению нагрузки между компьютерами включенными в сеть и ликвидации пиковой нагрузки за счет перераспределения ее с учетом часовых поясов; специализацией...
74514. Корпоративные базы данных 3.81 MB
  Корпоративная база данных является центральным звеном корпоративной информационной системы и позволяет создать единое информационное пространство корпорации. Корпоративные базы данных