22425

Методы интегрирования

Лекция

Математика и математический анализ

Он упрощается в следующих трех случаях: Функция Rx y нечетная относительно x Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin xcos x sin x входит в нечетной степени в Rsin xcos x = R1sin2 xcos x sin x. Делаем подстановку t = cos x и получим . Функция Rx y нечетная относительно y Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin xcos x cos x входит в нечетной степени в Rsin xcos x = R1sin xcos2 x cos x. Функция Rx y четная относительно x и y Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin x cos x.

Русский

2013-08-03

115.5 KB

0 чел.

110100, 110600                              Математика                                 Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 23. Методы интегрирования

План

  1.  Интегрирование простейших дробей.
  2.  Интегрирование рациональных дробей.
  3.  Интегрирование тригонометрических выражений.
  4.  Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
  5.  Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Литература: Ильин В.А., с.217-238. Письменный Д., с. 210-220. Ермаков В.И., с.278-288. Крамер В.Ш., с.267-272.  

  1.  Интегрирование простейших дробей.

Определение 1. Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональная дроби следующих типов:

где A, a, M, N, p, q - действительные числа.

Интегралы от первых трех дробей находятся по следующим формулам:

.

Интеграл от последней дроби подстановкой  приводится к виду

где интеграл Ik вычисляется по рекуррентным формулам:

.

  1.  Интегрирование рациональных дробей. Правило интегрирования рациональных дробей.
  2.  Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.
  3.  Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, т.е. представит его в виде

                                 (4)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xr.- действительные корни многочлена f(x) соответственно кратностей k1, k2, …, kr, трехчлены x2 + p1x + q1,…, x2 + psx + qs -попарно различны и имеют отрицательные дискриминанта. Рациональную дробь разложить на простей  дроби следующего вида

                    (5)

где Ai,,Bj , Cu , Mv ,… - действительные числа. Коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов.

  1.  Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей по правилам первого параграфа.

Теорема 1. Всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях.

  1.  Интегрирование тригонометрических выражений. Пусть R(x, y) - любая рациональная функция от двух переменных x, y. Рассмотрим интеграл вида . Сделаем подстановку  . Тогда получим

,

а интеграл представится в виде

.

Указанный способ громоздкий, но всегда приводит к цели. Он упрощается в следующих трех случаях:

  1.  Функция  R(x, y) нечетная относительно x, R(-x, y) = - R(x, y), R(-sin x,cos x) = - R(sin x,cos x), sin x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R1(sin2 x,cos x) sin x. Делаем подстановку t = cos x  и получим

.

  1.  Функция  R(x, y) нечетная относительно y, R(x, -y) = - R(x, y), R(sin x,-cos x) = - R(sin x,cos x), cos x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R1(sin x,cos2 x) cos x. Делаем подстановку t = sin x  и получим

.

  1.  Функция  R(x, y) четная относительно x и y, R(-x, -y) = R(x, y), R(-sin x,-cos x) = R(sin x, cos x). cos x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R(tg x cos x ,cos x) = R1(tg x ,cos2 x). Делаем подстановку t = tg x  и получим

.

Подстановка t = tg x  интегрирует  и функции вида R(tg x).

Для нахождения интегралов вида  используется следующее правила:

  1.  если n - целое положительное нечетное число, то используется подстановка t = sin x;
  2.  если m - целое положительное нечетное число, то используется подстановка t = cos x;
  3.  если n , m - целые неотрицательные четные числа, то используем формулы понижения степени.

;

  1.   если n + m - целые отрицательное четное число, то используем формулы понижения степени.

;используется подстановка t = cos x;

Для нахождения интегралов вида  используются следующие тригонометрические формулы:

.

  1.  Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.  Дробно линейной иррациональностью называют функцию вида , где a, b, c, d - действительные числа, ad - bc  0. Производим подстановку .

Тогда получим

,

и функция интегрируема.

Биномиальным выражением называют функцию вида, где a, b - действительные числа, m, n, p - рациональные числа. Эта функция интегрируема только в следующих трех случаях.

1) p - целое число. Тогда биномиальное выражение имеет вид   , где r - наименьшее кратное знаменателей дробей m, n. Интегрируется подстановкой .

2) (m+1)/n - целое число. Тогда сделаем подстановку  z = xn. Будем иметь

.

Подынтегральная функция имеет вид   , где s - знаменатель дроби p. Интегрируется подстановкой .

3) 2) (m+1)/n + p - целое число. Подынтегральная функция имеет вид , где s - знаменатель дроби p. Интегрируется подстановкой .

Квадратичной  иррациональностью называют функцию вида , где a, b, c - действительные числа.

Если D = b2 - 4ac < 0, то сделаем подстановку (первая подстановка Эйлера).

Если D = b2 - 4ac  0, то сделаем подстановку  (вторая подстановка Эйлера).

Интегралы вида  к которым можно свести указанные выше интегралы интегрируют с помощью подстановок : x = asin t - первый интеграл, x = atg t - второй интеграл, x = a/sin t - третий интеграл.

Интеграл называется не берущимся, если он не выражается через элементарные функции.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22069. Методика і техніка організації експерименту 70.5 KB
  Методика і техніка організації експерименту План 1.Етапи проведення експерименту. Види експерименту і методика їх проведення.Типові помилки в проведенні експерименту.
22070. Обробка, аналіз та інтерпретація отриманої інформації 313.5 KB
  Потім близькі за смислом відповіді обєднуються і кожній групі приписується певний код. Таким чином при класифікації відкритих відповідей необхідно дотримуватися наступних правил: виділяти групи відповідей у відповідності до мети дослідження; всі відповіді в одній групі повинні мати загальну логічну і смислову основу; різні групи повинні розрізнятися чітко по смислу. Наприклад: середній бал у групі де ознаки мають такі варіації 54. Наприклад аналіз відвідування занять студентами 2х груп в першій групі 20 студентів в другій 30...
22071. ОФОРМЛЕННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ ТЕОРЕТИКО-ЕКСПЕРТНОГО ДОСЛІДЖЕННЯ 21.5 KB
  Загальні вимоги до оформлення науководослідної роботи. Правила оформлення науководослідної роботи. Літературне оформлення науководослідної роботи. Організація і методика науководослідницької діяльності.
22072. ДИПЛОМНА, МАГІСТЕРСЬКА РОБОТИ ЯК КВАЛІФІКАЦІЙНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ 1.3 MB
  ТЕМА: ДИПЛОМНА МАГІСТЕРСЬКА РОБОТИ ЯК КВАЛІФІКАЦІЙНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ План 1. Загальна характеристика дипломноїмагістерської роботи. Алгоритм написання магістерської роботи. Заключний етап роботи.
22073. НАУКОВО-ПЕДАГОГІЧНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ 100 KB
  ТЕМА: НАУКОВОПЕДАГОГІЧНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ План 1. Науково педагогічне дослідження: сутність мета і завдання.Види та етапи науковопедагогічного дослідження. Педагогічні дослідження: методологічні поради молодим науковцям.
22074. ТЕОРЕТИЧНИЙ ПОШУК В ПЕДАГОГІЧНОМУ ЕКСПЕРИМЕНТІ 63 KB
  Розробка задуму наукового дослідження визначення проблеми обгрунтування її актуальності; вивчення обєкту дослідження та визначення його предмету; постановка мети та формування задач дослідження.Теоретичний пошук має велике значення у визначенні сутності експериментального дослідження. Починається теоретичний пошук з розробки задуму наукового дослідження. Задум наукового дослідження це уявлення про те нове що буде привнесено в теорію і практику в результаті дослідження закономірності перебігу і розвитку процесу практичні...
22075. ЗАГАЛЬНА МЕТОДОЛОГІЯ НАУКОВОГО ДОСЛІДЖЕННЯ 239.5 KB
  ТЕМА: ЗАГАЛЬНА МЕТОДОЛОГІЯ НАУКОВОГО ДОСЛІДЖЕННЯ План 1. методика і техніка дослідження. Методологічні основи педагогічного дослідження. Педагогічні дослідження: методологічні поради молодим науковцям.
22076. МЕТОДОЛОГІЯ ТЕОРЕТИЧНОГО ДОСЛІДЖЕННЯИ 51.5 KB
  ТЕМА: МЕТОДОЛОГІЯ ТЕОРЕТИЧНОГО ДОСЛІДЖЕННЯИ План 1. Методи наукового дослідження. Особливості теоретичного дослідження 3. Характеристика методів теоретичного дослідження.
22077. МЕТОДОЛОГІЯ ЕМПІРИЧНОГО ДОСЛІДЖЕННЯ 254.5 KB
  ТЕМА: МЕТОДОЛОГІЯ ЕМПІРИЧНОГО ДОСЛІДЖЕННЯ План 1. Сутність і особливості емпіричного дослідження. Переваги експерименту перед іншими методами дослідження. Сутність і особливості емпіричного дослідження Наукове дослідження любої предметної області починається з емпіричного рівня.