22425

Методы интегрирования

Лекция

Математика и математический анализ

Он упрощается в следующих трех случаях: Функция Rx y нечетная относительно x Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin xcos x sin x входит в нечетной степени в Rsin xcos x = R1sin2 xcos x sin x. Делаем подстановку t = cos x и получим . Функция Rx y нечетная относительно y Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin xcos x cos x входит в нечетной степени в Rsin xcos x = R1sin xcos2 x cos x. Функция Rx y четная относительно x и y Rx y = Rx y Rsin xcos x = Rsin x cos x.

Русский

2013-08-03

115.5 KB

0 чел.

110100, 110600                              Математика                                 Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 23. Методы интегрирования

План

  1.  Интегрирование простейших дробей.
  2.  Интегрирование рациональных дробей.
  3.  Интегрирование тригонометрических выражений.
  4.  Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
  5.  Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Литература: Ильин В.А., с.217-238. Письменный Д., с. 210-220. Ермаков В.И., с.278-288. Крамер В.Ш., с.267-272.  

  1.  Интегрирование простейших дробей.

Определение 1. Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональная дроби следующих типов:

где A, a, M, N, p, q - действительные числа.

Интегралы от первых трех дробей находятся по следующим формулам:

.

Интеграл от последней дроби подстановкой  приводится к виду

где интеграл Ik вычисляется по рекуррентным формулам:

.

  1.  Интегрирование рациональных дробей. Правило интегрирования рациональных дробей.
  2.  Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.
  3.  Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, т.е. представит его в виде

                                 (4)

где a0 - старший коэффициент многочлена f(x), x1, x2, …, xr.- действительные корни многочлена f(x) соответственно кратностей k1, k2, …, kr, трехчлены x2 + p1x + q1,…, x2 + psx + qs -попарно различны и имеют отрицательные дискриминанта. Рациональную дробь разложить на простей  дроби следующего вида

                    (5)

где Ai,,Bj , Cu , Mv ,… - действительные числа. Коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов.

  1.  Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей по правилам первого параграфа.

Теорема 1. Всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях.

  1.  Интегрирование тригонометрических выражений. Пусть R(x, y) - любая рациональная функция от двух переменных x, y. Рассмотрим интеграл вида . Сделаем подстановку  . Тогда получим

,

а интеграл представится в виде

.

Указанный способ громоздкий, но всегда приводит к цели. Он упрощается в следующих трех случаях:

  1.  Функция  R(x, y) нечетная относительно x, R(-x, y) = - R(x, y), R(-sin x,cos x) = - R(sin x,cos x), sin x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R1(sin2 x,cos x) sin x. Делаем подстановку t = cos x  и получим

.

  1.  Функция  R(x, y) нечетная относительно y, R(x, -y) = - R(x, y), R(sin x,-cos x) = - R(sin x,cos x), cos x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R1(sin x,cos2 x) cos x. Делаем подстановку t = sin x  и получим

.

  1.  Функция  R(x, y) четная относительно x и y, R(-x, -y) = R(x, y), R(-sin x,-cos x) = R(sin x, cos x). cos x - входит в нечетной степени в R(sin x,cos x) = R(tg x cos x ,cos x) = R1(tg x ,cos2 x). Делаем подстановку t = tg x  и получим

.

Подстановка t = tg x  интегрирует  и функции вида R(tg x).

Для нахождения интегралов вида  используется следующее правила:

  1.  если n - целое положительное нечетное число, то используется подстановка t = sin x;
  2.  если m - целое положительное нечетное число, то используется подстановка t = cos x;
  3.  если n , m - целые неотрицательные четные числа, то используем формулы понижения степени.

;

  1.   если n + m - целые отрицательное четное число, то используем формулы понижения степени.

;используется подстановка t = cos x;

Для нахождения интегралов вида  используются следующие тригонометрические формулы:

.

  1.  Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.  Дробно линейной иррациональностью называют функцию вида , где a, b, c, d - действительные числа, ad - bc  0. Производим подстановку .

Тогда получим

,

и функция интегрируема.

Биномиальным выражением называют функцию вида, где a, b - действительные числа, m, n, p - рациональные числа. Эта функция интегрируема только в следующих трех случаях.

1) p - целое число. Тогда биномиальное выражение имеет вид   , где r - наименьшее кратное знаменателей дробей m, n. Интегрируется подстановкой .

2) (m+1)/n - целое число. Тогда сделаем подстановку  z = xn. Будем иметь

.

Подынтегральная функция имеет вид   , где s - знаменатель дроби p. Интегрируется подстановкой .

3) 2) (m+1)/n + p - целое число. Подынтегральная функция имеет вид , где s - знаменатель дроби p. Интегрируется подстановкой .

Квадратичной  иррациональностью называют функцию вида , где a, b, c - действительные числа.

Если D = b2 - 4ac < 0, то сделаем подстановку (первая подстановка Эйлера).

Если D = b2 - 4ac  0, то сделаем подстановку  (вторая подстановка Эйлера).

Интегралы вида  к которым можно свести указанные выше интегралы интегрируют с помощью подстановок : x = asin t - первый интеграл, x = atg t - второй интеграл, x = a/sin t - третий интеграл.

Интеграл называется не берущимся, если он не выражается через элементарные функции.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68445. Аналіз фінансового стану неплатоспроможних підприємств і запобігання їх банкрутству 125.5 KB
  Нині діє Закон України «Про поновлення платоспроможності боржника або визнання його банкрутом», яким встановлюються умови та порядок поновлення платоспроможності суб’єкта підприємницької діяльності або визнання його банкрутом і застосування ліквідаційної процедури.
68446. Особливості фізичного виховання дітей із ослабленим здоров’ям 62.36 KB
  Дітям рекомендують додаткові оздоровчі фізичні вправи для підвищення рівня фізичної підготовленості. Тимчасово протипоказані плавання ходьба на лижах біг на ковзанах Дихальні вправи особлива увага приділяється диханню носом і подовженому видиху; вестибулярне тренування; ходьба; вправи на координацію...
68447. Особенности социально-политического и экономического развития России в начале ХХ вв. Первая мировая война. Февральская революция 1917 год 103.5 KB
  ХХ век в мировой истории Особенности социально-политического и экономического развития России в начале ХХ вв. Экономическое развитие России Российская империя оставалась самым крупным государством мира многонациональным около 100 народов и народностей и многоконфессиональным.
68448. Специфические особенности психологии как естественной и социальной науки 802.5 KB
  Наличием души пытались объяснить все непонятные явления в жизни человека. Задачи психологии наблюдение за поведением поступками реакциями человека. Психология это наука об отражательной деятельности мозга регулирующей поведение и деятельность наука об общих психических закономерностях...
68449. Русская литература начала XIX века 688.5 KB
  Цель данного пособия представить основные факты жизни и творчества писателей-классиков XIXв. Герои выбирались из простых людей идеалы извлекались из обыденной жизни. Важно высказать свое отношение к ней создать свой вымышленный образ мира часто по принципу контраста к окружающей жизни.
68450. Вплив підприємства на навколишнє середовище 148 KB
  Екологічна характеристика підприємства припускає оцінку прогресивності технологій повноту використання сировини та палива застосовані схеми очистки стічних вод та аеровикидів характеристику потоків які відходять від води та газу вилучаємої території загальну економічну оцінку шкоди яку наносить...
68451. Функції, форми та методи державного управління 132.5 KB
  Система державного управління складається із повсякденного здійснення певних функцій. Термін “функція” застосовують для позначення діяльності будь-яких державних органів незалежно від їх мети. Функціонувати – значить діяти, бути в дії, виконувати обов’язки. Функція є і обов’язок, і коло діяльності, і призначення.
68452. Товародвижение на фармацевтическом рынке. Элементы логистики. Организация деятельности оптового звена 30.56 KB
  Вторая часть пути связана с продвижением готовой продукции от производителя до конечного потребителя или пользователя и называется товародвижением. Новый объект который появился в процессе движения продукции стал предметом изучения науки логистики от греч.
68453. История развития информатики 219.5 KB
  Генетически информатика связана с вычислительной техникой, компьютерными системами и сетями, т.к. именно компьютеры позволяют порождать, хранить и автоматически перерабатывать информацию в таких количествах, что научный подход к информационным процессам становится одновременно необходимым и возможным.