22426

Определители. Элементы векторной алгебры. Системы координат

Лекция

Математика и математический анализ

Операция сложения векторов и ее свойства. Вычитание векторов. Пространство геометрических векторов. Базис векторного геометрического пространства Базис векторов прямой.

Русский

2013-08-03

700 KB

3 чел.

107000     ОЗО                       Математика                           Толстиков А.В.

Лекции 1.

Определители. Элементы векторной алгебры. Системы координат.

План

1. Определители.

Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей. Общее определение определителя. Теорема о разложении определителя по элементам ряда. Вычисление определителей.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997, с. 7-22.

2. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики. М.:  Инфра - М, 2000. с. 56-87

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Юнити, 2000. с. 9-35.

4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980, с. 142-156.

2. Геометрические векторы

Скалярные и векторные величины. Сонаправленность лучей. Направленные отрезки. Определение геометрического вектора. Операция сложения векторов и ее свойства. Вычитание векторов. Операция умножения вектора на число и ее свойства.  Пространство геометрических векторов.

3. Базис векторного геометрического пространства

Базис векторов прямой. Базис векторов на плоскости. Базис векторов пространства.

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997, с. 7-22.

2. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики. М.:  Инфра - М, 2000. с. 72-87

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Юнити, 2000. с. 16-26.

4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980, с. 148-156.

  1.  Скалярное произведение

Числовая ось. Угол между векторами. Векторная проекция вектора на прямую. Скалярная проекция вектора.  Скалярное произведение. Условие ортогональности векторов. Ортонормированный базис.

  1.  Векторное произведение.

Ориентация векторов. Векторное произведение. Векторное произведение векторов в координатной форме.

  1.  Смешанное произведение.

Определение смешанного произведения и его свойства. 2. Смешанное произведение векторов в координатной форме.

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 197, с. 7-22.

2. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики. М.:  Инфра - М, 2000. с. 72-87

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Юнити, 2000. с. 16-26.

4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980, с. 148-156.

7. Системы координат.

Общие декартовы и аффинной системы координат на прямой на плоскости и в пространстве. Основные задачи, решаемые в аффинные системы координат. Деление отрезка в данном отношении. Прямоугольные системы координат. Формулы преобразования прямоугольных систем координат. Основные задачи, решаемые в прямоугольной  системе координат. Измерение длин, углов, площадей и объемов. Полярная система координат. Цилиндрическая система координат. Сферическая система координат

8. Примеры решения задач.

§ 1. Определители

Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.

Определителем  2-го порядка или определителем матрицы второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле:

.                                                       (1)

Примеры. 

,

Определителем  3-го порядка или определителем матрицы третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле:

.      (2)

Знаки в формулах (1) и (2) расставляются по правилам, которые описываются следующими схемами.

При n=2

              

При n=3

На этих рисунках соединены линиями элементы матрицы, составляющие произведения определителя, входящие в него со знаком + и -.

Примеры.  

При помощи формул 1 и 2 легко проверяются следующие свойства определителей второго и третьего порядков. Мы их предлагаем проверить свойства самим студентам. 

Транспонированием определителя называется такое преобразование, при котором строки определителя  становятся ее столбцами с теми же номерами.

Пример. Транспонируем определители  

и  получим  

Свойство 1.  Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, т.е. .

Свойство 2. Если в матрице поменять местами две строки, то абсолютная величина определителя не меняется, а знак определителя меняется на противоположный.

Свойство 3. Если в определителе есть две одинаковые строки, то определитель равен нулю.

Свойство 4. Если в определителе есть нулевая строка, то определитель равен нулю.

Свойство 5. Если все элементы какой-нибудь строки определителя представлены в виде двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых элементы отмеченной строки равны соответствующим первым слагаемым, во втором - вторым слагаемым.

Доказательство.  

.

Свойство 6. Если все элементы какой-нибудь строки определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя, т.е., если элементы какой-нибудь строки определителя умножить на число k , то и сам определитель умножится на число k.

 

Свойство 7. Если в определителе есть две пропорциональны строки, то он равен нулю.

Свойство 8. Если к какой-нибудь строке определителя прибавить другую строку, умноженную на число k, то определитель от этого не изменится.

Определение 1. Говорят, что i-я строка матрицы A есть линейная  комбинация остальных строк определителя, если существуют такие числа , что каждый элемент i-й строки есть сумма попарных произведений этих чисел на соответствующие элементы остальных строк матрицы, т.е.

Свойство 9. Если  какая-нибудь строка определителя есть линейная комбинация остальных строк определителя, то определитель равен нулю.

  1.  Общее определение определителя. Теорема о разложении определителя по элементам ряда.

Определение 2. Если в определителе матрицы А третьего порядка вычеркнем i-ю строку и j-й столбец, то оставшиеся элементы образуют определитель 2-го порядка, который называется дополнительным минором элемента aij и обозначается символом Mij. Число Aij = (-1)i + j Mij называется алгебраическим дополнением элемента aij.

Заметим, что алгебраическое дополнение может отличается от дополнительного минора только знаком.

Пример. Для элемента a13 матрицы дополнительный минор и алгебраическое дополнение соответственно равны: . Заметим

Получим формулу, которая сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка и позволяет дать общее определение определителя любого порядка.

Определение 3. Определитель матрицы второго порядка вычисляется по формуле (1) из параграфа 1. Определитель матрицы порядка n > 2 равен сумме по парных произведений элементов его первой строки на их алгебраические дополнения, т.е. вычисляется по формуле:

.                 (3)

Формула (1) сводит вычисление определителей n-го порядка к вычислению определителей порядка n-1.

Пример.

Определение 4. Минором (n-1)-го порядка называется определитель матрицы, которая получается из данной матрицы n-го порядка (n>1) вычеркиванием i-й строки j-го столбца. Обозначается такой минор символом  . Алгебраическим дополнением элемента  называется число  .

Пример 6. Для данного определителя найдем , и :

Теорема 1 ( о разложении определителя по элементам ряда). Определитель порядка n>1 равен сумме попарных произведений элементов какой-либо строки (или столбца) определителя на соответствующие им алгебраические дополнения , т.о. для i-й строки имеет место разложение:

,            (4)

для j-го столбца имеем :

.                              (5)

3. Вычисление определителей. Определители 2-го и 3-го порядков можно вычислять по правилу Сарюса. Вычисление определителей порядка большего трем сводится к вычислению определителей меньших порядков разложением определителя по строке или по столбцу. Обычно разлагают по тем строкам (столбцам),  в которых имеется много нулей. Для получения нулей используются свойства определителей в частности свойство 8.

Пример 8. Вычислить определитель

.

При переходе от первого определителя к второму прибавили к 1-й и к 3-й строкам 2-ю, умноженную на -2, к 4-й - 2-ю, умноженную на -3. Затем разложили определитель по первому столбцу. При переходе от третьего определителя к четвертому прибавили к 2-й строке 1-ю, умноженную на -1, к 3-й - 1-ю, умноженную на -3. Затем разложили определитель по третьему  столбцу.

Определители некоторых матриц можно вычислить в общем случае. Например, определители треугольных матриц.

Определение 5. Треугольными матрицами разываются матрицы, у которых все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю, т.о. треугольными матрицами являются следующие матрицы:

.

Теорема 2. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали, т.е. .

§ 2. Геометрические векторы

1. Скалярные и векторные величины. Если физическая или геометрическая величина характеризуется только одним неотрицательным числом, то она называется скалярной. Например, длина отрезка, площадь фигуры, объем тела, масса тела и т.д. скалярные величины.

Если физическая или геометрическая величина характеризуется не только и численным значением и направлением, то она называется векторной.  Например, скорость, ускорение, сила и т.д. векторные величины.

2. Сонаправленность лучей. Любая точка A принадлежащая прямой  a делит ее на две части. Лучом  называется часть прямой a, расположенная по одну сторону от точки A. Точка A называется началом луча. Если точка B принадлежит лучу, то он обозначается двумя точками AB.  

Определение 1. Два луча AB и CD называются сонаправленными, если либо один из лучей содержится в другом луче, либо они лежат на параллельных прямых по одну сторону от прямой AC (см. рис. 1). Обозначаем AB CD. Лучи AB и KL называются противоположно направленными, если луч сонаправлен с лучом дополнительным к лучу KL. Обозначаем AB KL.

На рис 1. лучи AB, CD, EF сонаправленные, а лучи AB, KL - противоположно направленные.

3. Направленные отрезки. Определение геометрического вектора.

Определение 2. Направленным отрезком или вектором называется отрезок AB, обозначаемый символом , у которого один конец A считается первым, а конец В вторым. Первый конец называется началом, а второй - концом направленного отрезка.

На чертеже направленный отрезок  изображается стрелкой, идущей из точки A в точку B.

Если конец и начало направленного отрезка совпадают, то он называется нулевым направленным отрезком (нулевым векторм) и изображается на чертеже точкой.

Определение 3. Длиной или модулем направленного отрезка  называется отрезка AB, обозначается символом

Определение 4. Два направленных отрезка  и  называются равными, если они сонаправлены, , и их длины равны,  =, обозначается символом  =

.

Имеют место следующие утверждения равносильные определению равенства направленных отрезков.

Теорема 1. Два направленных отрезка  и  равны тогда и только тогда , когда середины отрезков AD и CB совпадают.

Следствие 1. Два направленных отрезка  и  не лежащие на одной прямой равны тогда и только тогда, когда четырехугольник ADBC - параллелограмм.

Следствие 2. Два направленных отрезка  и  не лежащие на одной прямой равны тогда и только тогда, когда равны направленные отрезки  и .

Более точно вектором, определяемым направленным отрезком   называется класс всех равных ему  направленных отрезков, т.е. вектор это множество всех направленных отрезков, равных . Направленный отрезок  называется  представителем или изображением вектора.

Вектора будем обозначать строчными жирными буквами a, b и c или строчными буквами со стрелками вверху: , или направленным отрезком принадлежащим вектору. Сам направленный отрезок  будем называть также вектором и писать a = .

По свойствам классов эквивалентности, два вектора a и b равны тогда и только тогда, когда равны, изображающие их направленные отрезки.

Длиной или модулем вектора называем длину изображающего его направленного отрезка.

Определение 5. Два вектора a и b, которые изображаются направленными отрезками, лежащими на одной или на параллельных прямых называются коллинеарными. Обозначаем символом a  b (см. рис. 6).

Определение 6. Два вектора a и b, называются сонаправленными (противоположно направленными), если направленные отрезки, которыми изображаютс эти вектора, сонаправлены (противоположно направлены. Обозначаем символом a  b (a  b) (см. рис. 6).

Определение 7. Вектора b, называются противоположным вектору a, если они противоположно направлены и имеют одинаковую длину, т.е. a  b и a  =  b .  Обозначаем символом b =   -a (см. рис. 7).

Определение 8. Три вектора a, b, c, изображаемые направленными отрезками прямых параллельных одной плоскости, называются компланарными.

  1.  Операция сложения векторов и ее свойства.

Определение 9. Суммой двух векторов a и b, называются такой третий вектор с, обозначаемый символом a + b, который изображается направленным отрезом , построенным следующим образом: из любой точки O откладывается направленный отрезок= a, из точки А откладывается направленный отрезок = b. 

Правило сложения векторов проиллюстрировано на рис. 8 и называется правилом треугольника.

Теорема 2. Для любых векторов a, b, c справедливы свойства:

1) a + b = b + a - коммутативный закон сложения;

2) a + (b + c) = (a + b) + c  - ассоциативный закон сложения;

3) a + 0 = a - свойство нулевого вектора;

4) a + (-a) = 0 - свойство противоположно

Сумму двух неколлинеарных векторов a и b можно найти по правилу параллелограмма . Для этого необходимо из одной точки O отложить оба вектора a = и b =  и построить параллелограмм OADB на векторах и  (см. рис. 10). Тогда суммой a + b векторов a и b изображается направленным отрезком  диагонали параллелограмма.

Сумму любого конечного числа векторов можно найти по правилу многоугольника (см. рис. 12).

  1.  Вычитание векторов.

Определение 10. Разностью двух векторов a и b, называются такой третий вектор с, обозначаемый символом a - b, при сложении которого с вектором b получаем вектор a.

6. Операция умножения вектора на число и ее свойства.

Определение 11. Произведением вектора a на число  называется такой вектор b, что

1)  b  =    a 

2) если > 0, то ab, если < 0, то ab, если = 0 или a = 0, то b = 0.

Произведение вектора a на число обозначается символом  a. Числа называют также скалярными величинами или скалярами.

Теорема 3. Вектора a  0 коллинеарен вектору b тогда и только тогда, когда  найдется такое число, что b =  a. 

Доказательство.  Если , то по определения 11 следует, что векторы коллинеарны. Обратно, пусть вектора коллинеарны. Тогда, полагая  = b/a, где стоит знак "+", если ab, стоит знак "-", если  ab, по определению 11 получим b =  a.

Теорема 4. Для любых векторов a, b  и для любых чисел ,  справедливы свойства:

1) ( a) =  () a - смешенный ассоциативный закон;

2) ( + ) a =   a+  a - дистрибутивный закон;

3) (a + b) =  a +  b  - дистрибутивный закон;

4) 1 a = a - свойство умножения на единицу.

7. Пространство геометрических векторов. Множество V3 всех геометрических векторов пространства является векторным пространством на полем действительных чисел относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число (см. теоремы 6 и 9 § 1).. Также векторным пространством является множество V2  (V1) всех векторов плоскости (прямой).

Множество всех геометрических векторов, коллинеарных данному вектору a образует подпространство пространства V3 всех геометрических векторов. 

§ 3. Базис векторного геометрического пространства

1. Базис векторов прямой.

Определение 1. Некоторое множество векторов V  называется векторным пространством, если выполняются два условия:

  1.  для любых векторов a, b V  a+b V;
  2.  любого вектора a  V и любого действительного числа   a V.

Определение 2. Вектор a называется линейной комбинацией векторов a1, a2, ..., ak , если a представляется в виде a=1a1 + 2a2 + ... + kak , где коэффициенты 1, 2, ...,  k Р.  Говорят также, что вектор a линейно выражается через векторы a1, a2, ..., ak .

По свойствам векторного пространства всегда справедливо равенство

 0a1 + 0a2 + ... + 0ak = 0.

Определение 3. Базисом векторного пространства  V называется такая упорядоченная система v1, v2, ..., vn из  V , что выполняются свойства:

  1.  ни один из векторов системы не является линейной комбинацией других векторов системы;
  2.  любой вектор из V линейная комбинация векторов v1, v2, ..., vn.

Множество V1 векторов фиксированной прямой образует векторное пространство.

Теорема 1. Любой ненулевой вектор e прямой образует базис векторного пространства V1.

Теорема 2. Векторы a и b коллинеарны тогда  только тогда, когда один из них  линейно выражается через другой вектор..

Следствие 1. Векторы a и b неколлинеарны тогда  только тогда, когда ни один из векторов не выражается линейно через другой.

Следствие 2. Векторы a = (1, 2,... ,n), b = (1, 2,... ,n) неколлинеарны тогда  только тогда, когда ранг матрицы

,                                                                 (12)

составленной из координат векторов,  равен 2. Векторы a и b коллинеарны тогда и только когда ранг матрицы (12) равен 1.

Следствие 2. Векторы a = (1, 2,... ,n), b = (1, 2,... ,n) неколлинеарны тогда  только тогда, когда координаты векторов соответственно пропорциональны, т.е.

,                                                              (13)

  1.  Базис векторов на плоскости. Множество V2 векторов фиксированной плоскости образует векторное пространство.

Теорема 3. Любая упорядоченная система двух неколлинеарных векторов a, b  V2 образуют базис векторного пространства V2.

По теореме 3 базис векторов на плоскости образуют любые два неколлинеарные вектора, поэтому любой вектор на плоскости имеет две координаты. Тогда справедливо следующее утверждение.

Следствие 1. Вектора a = (1, 1), b = (2, 2) образуют базис векторов плоскости тогда и только тогда, когда

= 0.

Теорема 4. Векторы a, b и с компланарны тогда  только тогда, когда один из векторов  линейная комбинация других.

  1.  Базис векторов пространства. Рассмотрим множество V3 всех векторов пространства.

Теорема 5. Любая упорядоченная система трех некомпланарных векторов a, b, с  V3 образуют базис векторного пространства V3.

Следствие 1. Вектора a = (1, 1, 1), b = (2, 2, 2), с = (3, 3, 3) образуют базис векторов пространства тогда и только тогда, когда

.

Теорема 6. Из любых четырех векторов a, b, с, d в пространстве хотя бы один линейно выражается через другие.

Задача 1. Доказать что векторы a = (1, 2, 0), b = (3, 2, 1), с = (0, 1, -1) образуют базис в пространстве и выразить вектор d = (5, 5, 2) через векторы базиса.

Решение. Так как определитель

,

то векторы a, b, с образуют базис пространства V3.

Для того, чтобы найти координаты вектора d в базисе a, b, с составим векторное уравнение

x a + y b + z c = 0.                                                                       (14)

и запишем его в координатной форме:

Решаем эту систему линейных уравнений: x = 2, y = 2, z = -1 и находим d = 2a + b - с.

§ 4. Скалярное произведение

1. Числовая ось. Прямая l, на которой выбрано начало отсчета - точка O,  положительное направление и единичный отрезок, называется числовой осью. Числовую ось можно также задать точкой O и вектором e единичной длины, параллельным оси. Вектор e называется ортом числовой оси. В качестве единичного отрезка выбирается конец вектора  = e, отложенного от точки O.

.

2. Угол между векторами.

Определение 1. Углом  между векторами a, b называется угол между направленными отрезками , , которыми изображаются данные вектора и которые отложены из одной точки.

Угол между векторами обозначаем символом (a, b).

Если вектора a, b коллинеарны, то угол между векторами считается равным нулю. Если хотя бы один из векторов a или b нулевой,  угол между векторами a и b неопределен.

Угол меду векторами в пространстве не ориентированный. Угол меду векторами на плоскости ориентированный. Угол считается положительным, если поворот от первого вектора ко второму совершается в направлении против часовой стрелки. В противном случае угол считается отрицательным.

Нетрудно доказать, что угол меду векторами не зависит от точки O.

3. Векторная проекция вектора на прямую.

Определение 2. Проекцией точки A на прямую l называется основание A перпендикуляра AA, опущенного из точки A на прямую l.

Определение 3. Проекцией направленного отрезка на прямую l называется направленный отрезок , где A и B соответственно проекции точек A и B на прямую l.

Определение 4. Проекцией (векторной проекцией) вектора a на прямую l называется вектор, изображаемый проекцией направленного отрезок,  который изображает данный вектор a.

Векторная проекция вектора a на прямую l изображается символом прl a.

Теорема 2. Для любой прямой l, для любых векторов a, b и для любого числа справедливы следующие свойства:

  1.  прl (a + b) = прl a + прl b;
  2.  прl ( a) =  прl a.

4. Скалярная проекция вектора.

Определение 5. Пусть l числовая ось, e - орт числовой оси. Проекцией (скалярной проекцией) вектора a на ось l называется число равное координате вектора прl a в базисе e.

Проекция вектора a на ось l изображается символом прl a, или прe a . По определению проекции вектора имеем

прl a = прe ae.                                                                             (1)

Проекцию вектора a на ось l можно задать произвольным вектором b, сонаправленным с вектором e. В этом случае ее также обозначают символом прb a и называют проекцией вектора a на вектор b. И по определению имеем прb a = прe a.

В силу однозначности разложения вектора по векторам базиса проекция по этой формуле определяется однозначно. Из этой же формулы следует, что

прl a = прe a =  прl a,

где стоит знак "+", если прl a  e , знак "-", если прl a  e.

Теорема 3. Для любых векторов a, b, c и для любого числа справедливы следующие свойства:

  1.  прc (a + b) = прc a + прc b;
  2.  прc ( a) =  прc a,
  3.  прc a = a cos , где   = ( a, c).

Доказательство. В силу определения достаточно доказать теорему для того случая когда c - орт числовой оси l. По теореме 2 и формуле (1) получаем

прl(a + b) = прe (a + b) e,

прla + прlb = прeae + прebe = (прea + прeb)e.

В силу однозначности разложения вектора по векторам базиса получаем свойство 1.

Свойство 2 доказывается аналогично. Свойство 3 следует из определения косинуса угла.

5. Скалярное произведение.

Определение 6. Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между этими векторами. Если хотя бы один из векторов или нулевой, то скалярное произведение полагается равным нулю.

Скалярное произведение векторов a и b обозначается символом  a b или (a, b).   

По определению скалярного произведения имеем

a b = ab cos , где  = ( a, b).                                                              (2)

В силу свойства 3 теоремы 3 формулу (2) можно записать следующим образом:

a b = b прb a.                                                                                (3)

Теорема 4. Для любых векторов a, b, c и для любого числа справедливы следующие свойства:

  1.  a b = b a - коммутативный закон,
  2.  (a + b) c = a c + b c - дистрибутивный закон,
  3.  ( a) b = (a b) - ассоциативный закон,
  4.  a2 = a a  = a2,
  5.  a2  0, a2 = 0  a = 0.
  6.  Условие ортогональности векторов.

Определение 7. Два вектора a и b называются ортогональными (перпендикулярными), если угол между этими векторами равен 900. Обозначаем a  b. Предполагается, что нулевой вектор ортогонален любому вектору a.

Теорема 5. a  b  a b = 0.

  1.  Ортонормированный базис.

Определение 8. Базис e1, e2, …, en, векторного пространства V называется ортонормированным, если

  1.  вектора базиса попарно ортогональны, т.е. ei  ej; i, j = 1, 2, …, n, i  j.
  2.  вектора базиса имеют единичную длину, т.е. ei = 1; i = 1, 2, …, n.

В силу теоремы 5 условие ортонормированности базиса равносильно равенствам:

ei ej =

Теорема 6. Скалярное произведение двух векторов a = (1, 2,... ,n), b = (1, 2,... ,n), заданных своими координатами в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений, соответствующих координат этих векторов, т.е.

a b = x1x2 + y 1y2 + z1z2.                                                            (4)

Следствие 1.  a  b  x1x2 + y 1y2 + z1z2 = 0.

По теореме 4 свойства скалярного произведения a2 = a2. Отсюда выводим формулу для длины вектора с = (x, y, z),

с =.                                                                (6)

Если вектора a и b не нулевые, то определения скалярного произведения векторов находим формулу для косинуса угла между векторами a и b:

cos   = (a b) /(ab) = ,                           (7)

Стандартный ортонормированный базис пространства V2 обозначается буквами i, j, координаты векторов в этом базисе обозначаются буквами x, y: a = (x1, y1), b = (x2, y2), с = (x, y). Тогда имеем

a b = x1x2 + y 1y2.                                                                  (8)

Следствие 1.  a  b  x1x2 + y 1y2 = 0.

с =.                                                                (9)

Косинус угла между векторами a и b находится по формуле:

cos   = .                                                           (10)

§ 5. Векторное произведение

  1.  Ориентация векторов. В пространстве различают два вида упорядоченных троек векторов.

Определение 1. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой (левой), если эти вектора, отложенные от одного начала, располагаются так же, как расположены большой, указательный средний пальцы правой (левой) руки.

Данному правило различия правой и левой троек векторов можно придать следующие равносильные формулировки.

Правило правого винта или буравчика. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c является правой (левой), если правый (левый) винт вращать по наименьшему углу от вектора a к b, то направление винта совпадает с направлением вектора c.

Тройка a, b, c правая, если смотреть с конца вектора на плоскость векторов , то поворот a от b к по кратчайшему углу происходит против часовой стрелки.

Замечание 1. Так как в самой геометрии нет понятия правого и левого, то необходимо дать такое определение, которое основывается только на понятиях самой математики. Для этого выберем, какую-нибудь тройку векторов и назовем ее основной (правой). Далее две тройки векторов назовем ориентированными одинаково (противоположно), если определитель матрицы перехода от первой тройки ко второй >0 (<0). Тогда все тройки, ориентированные одинаково с основной тройкой назовем правыми, а остальные тройки назовем левыми.

2. Векторное произведение.

Определение 2. Векторным произведением неколлинеарных векторов a и b называется вектор с, который обладает следующими свойствам:

  1.  длина вектора с равна произведение модулей этих векторов на синус угла между этими векторами, т.е. с = ab sin ( a, b);
  2.  вектор с ортогонален векторам a и b;
  3.  векторы a, b, с образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение векторов a и b обозначается символом

a  b или [a, b].

Из определения 2 следует, что модуль векторного произведения неколлинеарных векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Если векторов a, b коллинеарны, то полагаем векторное произведение равным 0.

Теорема 1. Для любых векторов a, b, c и для любого числа справедливы следующие свойства:

  1.  a a = 0,
  2.  a b = -b  a - антикоммутативный закон,
  3.  ( a)  b = (a  b) - ассоциативный закон,
  4.  (a + b)  c = a  c + b  c - дистрибутивный закон.

3. Векторное произведение векторов в координатной форме. Пусть i, j, k ортонормированный базис пространства V3, вектора которого образуют правую тройку. Пусть a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) координаты этих векторов в базисе i, j, k. Тогда имеем

a = x1i + y1j + z1k, b = x2i + y2j + z2k.

Так как базис ортонормированный, и его вектора образуют правую тройку, то имеем следующую таблицу умножения базисных элементов i, j, k. Тогда по свойствам векторного произведения находим:

ab = (x1i + y1j + z1k)(x2i + y2j + z2k) =

=(x1x2)(ii) + (x1y2)(ij) + +(x1z2)(ik) + (y1x2)(ji) + (y1y2)(jj) + (y1z2)(jk) + (z1x2)(ki) + (z1y2)(kj) + (z1z2)(kk) =

= (y1z2 - z1y2)i - (z1x2 -x1z2)j + (x1y2 - y1x2) k .

Таким образом, получаем следующую формулу для вычисления векторного произведения векторов в ортонормированном базисе:

ab = i - j +k ,                                                    (1)

которую можно записать в виде определителя

ab = .                                                                            (2)

В силу сделанного выше замечания площадь S параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2), заданных своими координатами в ортонормированном базисе вычисляется по формуле:

S = ab= .                                                  (3)

§ 6. Смешанное произведение

  1.  Определение смешанного произведения и его свойства.

Определение 1. Смешанным произведением трех векторов  a, b, c называется скалярное произведение векторного произведения векторов a и b на вектор c. Смешенное произведение векторов a, b, c обозначается символом abc. Таким образом, по определению

abc = (ab)c.

Теорема 1. Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов a, b, c равен  объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, при этом, если тройка векторов a, b, c правая, то abc > 0, если тройка векторов a, b, c - левая, то abc < 0. 

Теорема 2. Векторы a, b, c компланарны тогда и только тогда, смешанное произведение abc = 0.

 2. Смешанное произведение векторов в координатной форме.

Пусть i, j, k ортонормированный базис пространства V3, вектора которого образуют правую тройку. Пусть a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) , с = (x3, y3, z3) координаты этих векторов в базисе i, j, k. Тогда по формулам (5) § 5 и  (1) § 6 получим

ab =( , -,),    (ab)c = x3 - y3 + z3.

Последнюю формулу по теореме о разложения определителя по строке можно записать в виде:

(ab)c =.                                                                              (2)

Так как при перестановке двух строк в определителе значение определителя меняется на противоположное, то при перестановке двух векторов в смешанном произведении его знак меняется на противоположный:

abc = -bac = bca = -bac = cab = -cba.                                               (3)

Из теоремы 1 получаем следствие. 

Следствие 1. Пусть a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) , с = (x3, y3, z3) координаты векторов в ортонормированном базисе. Тогда объем V параллелепипеда, построенного на этих векторах равен модулю определителя, составленного из координат этих векторов:

V = (ab)c =,                                                                            (4)

где стоит знак "+", если тройка векторов a, b, c правая, знак "-", если тройка векторов a, b, c - левая. 

Следствие 2. Векторы a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) , с = (x3, y3, z3) компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов равен нулю, т. е.

=0.

§ 7. Системы координат

  1.  Общие декартовы и аффинной системы координат на прямой на плоскости и в пространстве.

Определение 1. Аффинной или общей декартовой системой координат в пространстве (на плоскости или на прямой) называется точка О пространства (данной плоскости, прямой) и базис v  пространства (соответственно плоскости, прямой). Точка О называется началом системы координат.

Принято вектора базиса v откладывать от точки О и совокупность точки и базиса называть репером и обозначать символом (О,v).

 Определение 2. Аффинными координатами точки A в данной аффинной системе координат (О, v) называются координаты вектора  относительно базиса v.

Если базис v состоит из n векторов v = (v1, v2, ..., vn), то любая точка A имеет n координат (x1, x2,... , xn), которые записываются в круглых скобках рядом с точкой A(x1, x2,... , xn). Так как однозначно раскладывается по векторам базиса, то координаты любой точки A определяются однозначно.

Обратно, для любого упорядоченного набора действительных чисел (x1, x2,... , xn) существует такая единственная точка A, что вектор = x1v1 + x2v2 + ...+ xnvn. Таким образом, между всеми упорядоченными наборами (x1, x2,... , xn) действительных чисел и точками имеется взаимно однозначное соответствие.

Прямые, проходящие через точку О параллельно векторам базиса, называются координатными прямыми. Каждой координатной прямой принадлежит точка О и вектор выбранного базиса. Поэтому координатная прямая является числовой осью. Плоскости, проходящие через точку О параллельно двум векторам базиса, называются координатными плоскостями.

Аффинная система координат на прямой. В случае прямой базис состоит из одного ненулевого вектора v = (v) и система координат (О, v) изображена на рис. 4.1. В системе координат на прямой каждая точка A прямой имеет одну координату A(x), определяему разложением вектора по базису, = xv. Тогда A(0), E(1), где v = .

Систему координат на прямой можно задать еще следующими способами:

Двумя различными точками О и E данной прямой. Тогда одну из точек, например О, берем в качестве начала системы координат, а в качестве базисного вектора возьмем вектор v = (см. рис. 4.2).

Точкой О, единичным отрезком ОE и положительным направлением данной прямой, которое отмечается стрелкой.

Аффинная система координат на плоскости. В случае плоскости базис состоит из двух неколлинеарных векторов плоскости, v = (v1, v2), и система координат (О, v1, v2) изображена на рис. 4.3. В системе координат на плоскости каждая точка A плоскости имеет две  координаты A(x, y), определяемые разложением вектора по базису, = xv1+ yv2. Тогда A(0, 0), E1(1, 0), E2(0, 1), где v1 = , v2 = . Координаты точки называются соответственно абсциссой и ординатой.

Систему координат на плоскости можно задать еще следующими способами:

Тремя точками О, E1, E2 плоскости, не лежащими на одной прямой. Тогда одну из точек, например О, берем в качестве начала системы координат, а в качестве базисного вектора возьмем векторы v1 = , v2 = .

Двумя пересекающимися числовыми осями Оx, Оy данной плоскости с общим началом О. Ось Оx называется осью абсцисс, ось Оy - осью ординат.

Аффинная система координат (О, v1, v2) называется правой (левой), если поворот от вектора к вектору по кратчайшему направлению совершается против часовой стрелки (по часовой стрелке). На рис. 4.3 и 4.4 представлены правые системы координат.

Аффинная система координат в пространстве. В случае пространства базис состоит из двух некомпланарных векторов пространства, v = (v1,v2, v3), и система координат (О, v1, v2, v3) изображена на рис. 4.5. В этой системе координат каждая точка A пространства имеет три  координаты A(x,y,z), определяемые разложением вектора  по базису, = xv1+ yv2 + zv3. Тогда A(0, 0, 0), E1(1, 0, 0), E2(0, 1, 0), E3(0, 0, 1), где v1 = , v2 = , v3 = . Координаты точки называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой.

Систему координат в пространстве можно задать еще следующими способами:

Четверкой точек О, E1, E2, E3 пространства, не лежащими на одной плоскости. Тогда одну из точек, например О, берем в качестве начала системы координат, а в качестве базисного вектора возьмем векторы v1 = , v2 = , v3 = .

Тремя числовыми осями Оx, Оy, Оz, не лежащими в одной плоскости с общим началом О. Ось Оx называется осью абсцисс, ось Оy - осью ординат, ось Оz - осью аппликат.

Аффинная система координат (О, v1, v2, v3) называется правой (левой), если тройка векторов v1, v2, v3 правая (левая) На рис. 4.5 и 4.6 представлены правые системы координат, а на рис. 4.7 левая система координат.

2. Основные задачи, решаемые в аффинные системы координат. Деление отрезка в данном отношении.

Определение координат вектора по координатам его концов. Пусть в пространстве дана аффинная система координат (О, v1, v2, v3) и точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2). Требуется найти координаты вектора  . По определению координат точки = x1v1+ y1v2 + z1v3, = x2v1+ y2v2 + z2v3. Тогда

=- = (x2 - x1)v1+ (y2 - y1)v2 + (z2 - z1)v3.

 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).                               (2.1)

Координаты вектора в базисе аффинной системе координат равны разности соответствующих координат точек B и A. Отметим, что аналогичное утверждение имеет место для векторов плоскости и прямой.

Деление отрезка в данном отношении.

Определение 3. Говорят, что точка C делит отрезок AB в данном отношении   1, если =.

Заметим точка, что C принадлежит отрезку AB, при > 0 она лежит внутри отрезка AB, при < 0 она лежит вне отрезка AB.

Пусть в пространстве дана аффинная система координат (О, v1, v2, v3) и точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2). Требуется найти координаты точки C(x, y, z), которая делит отрезок AB в отношении   1.

По формуле (2.1) находим = (x - x1, y - y1, z - z1), = (x2 - x, y2 - y, z2 - z). Так как=, то по условию равенства векторов в координатной форме получим равенства

x - x1 = ( x2 - x), y - y1 = ( y2 - y), z - z1 = ( z2 - z),

 из которого находим координаты точки C:

.                                        (2.2)

Формулы (2.2) называются формулами деления отрезка в данном отношении.

При = 1 точка делит отрезок пополам. По формулам (2.2) находим координаты середины отрезка AB:

.                                             (2.3)

Принадлежность трех точек прямой. Пусть в пространстве дана аффинная система координат (О, v1, v2, v3) и точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), С(x3, y3, z3). Требуется выяснить, когда эти три точки лежат на одной прямой.

По формуле (2.1) находим = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1). Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.  Последнее равносильно тому, что координаты этих векторов пропорциональны.

.

4. Принадлежность четырех точек плоскости. Пусть в пространстве дана аффинная система координат (О, v1, v2, v3) и точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) ), С(x3, y3, z3) , С(x4, y4, z4). Требуется выяснить, когда эти четыре точки лежат на одной плоскости.

По формуле (2.1) находим = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1) , = (x4 - x1, y4 - y1, z4 - z1). Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы , и  компланарны.  Последнее равносильно тому, что определитель, составленный из координат этих векторов равен нулю

=0.

3. Прямоугольные системы координат

Определение 4. Аффинная система координат называется прямоугольной, если базис, определяющий систему координат ортонормированный, т.е. вектора базиса попарно ортогональны и имеют единичную длину.

Отметим, что  прямоугольная система координат является частным случаем аффинной системы координат. В пространстве ортонормированный базис обозначается буквами i, j, k, а прямоугольная  система координат обозначается символом (O, i, j, k).

Прямоугольную систему координат в пространстве можно задать тремя взаимно перпендикулярными числовыми осями Оx, Оy, Оz с общим началом О, и равными единичными отрезками по осям. Она обозначается символом Oxyz.

На рис. 4.13 и 4.14 соответственно изображены правая и левая прямоугольные системы координат в пространстве.

На плоскости ортонормированный базис обозначается буквами i, j, прямоугольная система координат обозначается символом (O, i, j).

Прямоугольную систему координат на плоскости можно задать двумя взаимно перпендикулярными числовыми

осями Оx, Оy с общим началом О, и равными единичными отрезками по осям, обозначается символом Oxy.

На рис. 4.15, 4.16 изображены правые прямоугольные системы координат на плоскости, а на рис. 4.17 - левая система координат.

На прямой ортонормированный базис обозначается буквой i, прямоугольная система координат обозначается символом (O, i). Прямоугольную систему координат на прямой задает любая числовая ось прямой.

4. Формулы преобразования прямоугольной системы координат. Для прямоугольной системы координат имеют место все формулы, имеющие место для произвольной аффинной системы координат.

Рассмотрим случай преобразования прямоугольных систем координат на плоскости. Пусть на плоскости даны две прямоугольные системы координат (О, i, j) и (О, i, j). Пусть точка О в системе (О, i, j) имеет координаты O(x0, y0), а T = (tij) матрица перехода от базиса старой системы координат к базису новой. Пусть точка A имеет в старой и соответственно в новой системах координат координаты A(x,y) и A(x,y). По формуле (3.4) имеем

.                                 (4.1)

Чтобы применить эти формулы, разложим вектора i, j по векторам i, j. Для этого обозначим через угол между векторами i, i. Отсюда получим

i= cos  i +sin  j,

j= cos (  /2) i +sin (  /2) j = -sin  i +cos   j,

где число , равно 1 или -1 в соответствии с тем базисы i, j  и  i, j ориентированны одинаково или противоположно (см. рис. 4.20, 4.21). Тогда  получим матрицу  перехода от первого базиса ко второму, а из формулы (4.1) следуют формулы преобразования прямоугольных координат плоскости

,                                               (4.2)

где число , равно 1 или -1 в соответствии с тем новая и старая системы координат ориентированны одинаково или противоположно.

Если начала и ориентации старой и новой систем координат совпадают,  то одна система получается из другой поворотом на угол . В этом случае формулы (4.2) принимают вид

.                                                      (4.3)

и называются формулами поворота прямоугольной системы координат.

5. Основные задачи, решаемые в прямоугольной  системе координат. Измерение длин, углов, площадей и объемов.

В прямоугольной системе координат решаются все те задачи, которые решаются в аффинной системе координат, а решаются так называемые метрические задачи, связанные с измерением отрезков, углов, площадей и объемов.

Измерение длины отрезка. Найти расстояние между точками

A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) в прямоугольной системе координат Oxyz. Расстояние меду точками и равно длине вектора

= (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).                                 (5.1)

По формуле для длины вектора находим

.                     (5.2)

Для точек A(x1, y1), B(x2, y2) плоскости Oxy формула (5.2) принимает вид

,                                  (5.3)

а для точек A(x1), B(x2) прямой Ox -

.                                                    (5.4)

Измерение углов. Угол A в треугольнике ABC равен углу между векторами a =  и b = . Угол между ненулевыми векторами a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) легко находится из определения скалярного произведения векторов ab  = abcos  и формулы для скалярного произведения векторов в координатной форме:

.             (5.5)

Для векторов плоскости формула (5.5) принимает вид:

.                                   (5.6)

Из формулы для определения модуля векторного произведения векторов легко найти формулу для синуса угла между векторами a и b.

.                                 (5.7)

Для случая пространства углы между векторами неориентированные и не имеют знака. Для случая плоскости углы между векторами ориентированные и имеют знак. Угол ( a, b) называется положительным, если поворот от вектора к по наименьшему углу совершается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

По определению косинуса и синуса произвольного угла имеем

.

Так как =   , , то получаем

.

Последнюю формулу можно записать в виде

.                                              (5.8)

Из формул (5.6) и (5.8) получаем формулу для тангенса угла между векторами

.                                                   (5.9)

Измерение площадей. Любой многоугольник можно диагоналями разбить на треугольники, поэтому вычисление площади любого многоугольника сводится к вычислению площади треугольника. Вычислим площадь треугольника ABC, у которого заданы координаты вершин A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) , С(x3, y3, z3) в прямоугольной системе координат Oxyz. Рассмотрим векторы  = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1). По определению векторного произведения векторов площадь s треугольника ABC,  вычисляется по формуле . Тогда получаем

.                              (5.10)

Отсюда находим

.

Площадь плоского треугольника ABC, у которого заданы координаты вершин A(x1, y1), B(x2, y2) , С(x3, y3) в прямоугольной системе координат Oxy можно найти, используя формулу синуса угла между векторами

,         (5.11)

где стоит знак "+", если поворот от вектора  к вектору  по наименьшему углу осуществляется против часовой стрелки, т.е. обход треугольника ABC осуществляется против часовой стрелки, знак "-" - в противном случае. В первом случае говорят, что треугольник ориентирован положительно, а во втором - отрицательно.

Измерение объемов. Любой многогранник можно плоскостями разбить на треугольные пирамиды, поэтому вычисление объема любого многогранника сводится к вычислению объема треугольной пирамиды. Вычислим объем треугольной пирамиды ABCD, у которой заданы координаты вершин A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) , С(x3, y3, z3), , С(x4, y4, z4) в прямоугольной системе координат Oxyz. Рассмотрим векторы  = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1) , = (x4 - x1, y4 - y1, z4 - z1). По свойству смешенного произведения векторов модуль смешенного произведения векторов площадь объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Отсюда об]ем v треугольной пирамиды ABCD,  вычисляется по формуле . Тогда получаем

.                             (5.12)

6. Полярная система координат

Полярная система координат на данной плоскости задается точкой Р, которая называется полюсом, и лучом, выходящим из точки Р,  который называется полярным лучом или полярной осью. Любая точка M данной плоскости, отличная от полюса, имеет две координаты. Первая координата r равна длине радиус  ектора , вторая  и называется полярным расстоянием точки M. Вторая координата равна  ориентированному углу , который образует радиус вектор  с полярной осью. Этот угол называется полярным углом точки M. Отметим, что для полюса Р полярный угол не определен, а полярный радиус равен нулю. То, что точка A имеет полярные координаты r,  обозначаем символом A(r, ).

Полярное расстояние r может меняться в промежутке [0, +), а полярный угол - в промежутке (-, +). Но в этом случае между точками и их координатами нет взаимно однозначного соответствия. Поэтому предполагают, что полярный угол меняется или на промежутке 0,2) или на (-, ].

Рассмотрим правую прямоугольную систему координат Oxy, начало O, которой совпадает с полюсом P, ось Ox направлена по полярной оси p (cм. рис. 4.26). Пусть точка A(r, ) имеет полярные координаты r и . Тогда по определению синуса и косинуса произвольного угла имеем  , .  Отсюда находим прямоугольные координаты x и y точки A:

, .                                (6.1)

Из формул (6.1) находим формулы

, ,                                         (6.2)

которые выражают полярные координаты r и  точки A через ее прямоугольные координаты x и y.

7. Цилиндрическая система координат

Цилиндрическая система координат в пространстве задается  точкой O, которая называется началом цилиндрической системы координат, лучом l, выходящим из точки O, и вектором n единичной длины, перпендикулярным l. Через точку O   проведем плоскость , перпендикулярную вектору n.

Пусть дана точка M. Опустим из ее перпендикуляр MM  на плоскость . Тогда цилиндрические координаты (r,,h) точки M определяются следующим образом: r,  - полярные координаты точки M  на плоскости по отношению полюсу O и полярной оси l, h - проекция вектора  на вектор n. Координата r меняется на промежутке [0, +), координата   - на промежутке 0,2) или на (-, ], координата h - на промежутке (-, +).

Рассмотрим правую прямоугольную систему координат Oxyz c началом в точке O, ось Ox направлена по  оси l, направление оси Oz совпадает с направлением вектора n (cм. рис. 4.28). Пусть (r, , h) - цилиндрические координаты точки A, (x, y, z) - прямоугольные координаты точки A. Как и в предыдущем параграфе находим формулы:

, , z = h                                    (7.1)

Из формул (7.1) находим

, h  = z, ,                                  (7.2)

которые выражают цилиндрические координаты r, , h точки A через ее прямоугольные координаты x, y, z.

8. Сферическая система координат

Сферическая система координат в пространстве задается также как и цилиндрическая точкой O, которая называется началом сферической системы координат, лучом l, выходящим из точки O, и вектором n единичной длины, перпендикулярным l. Через точку O   проведем плоскость , перпендикулярную вектору n.

Пусть дана точка M. Опустим из ее перпендикуляр MM  на плоскость . Тогда цилиндрические координаты (r,,) точки M определяются следующим образом: r -расстояние OM,  - полярный угол проекции M точки M  на плоскости по отношению полюсу O и полярной оси l, - угол между вектором  и плоскостью . Координата r меняется на промежутке [0, +), координата   - на промежутке 0,2) или на (-, ], координата - на промежутке -/2, /2.

Рассмотрим правую прямоугольную систему координат Oxyz c началом в точке O, ось Ox направлена по  оси l, направление оси Oz совпадает с направлением вектора n (cм. рис. 4.30). Пусть (r, , ) - сферические координаты точки A, (x, y, z) - прямоугольные координаты точки A. Тогда, как и в предыдущем параграфе, находим формулы: OM = r cos ,

,,z = r sin ,                    (8.1)

Из формул (1) находим

,  ,                     (8.2)

которые выражают цилиндрические координаты r, , h точки A через ее прямоугольные координаты x, y, z.

13


A

Рис. 1.

B

C

D

E

F

K

L

ab

C1

D1

D

с

b

C

A1

B1

a

O

Рис. 26

В

A

i

j

k

i

0

k

-j

j

-k

0

i

k

j

-i

0

y

Рис.4.3.

x

Рис. 3

C

D

B

A

K

C

D

B

A

K

A

O

E1

v

x

0

1

Рис. 4.1

A

E

O

0

Рис. 6

c

a

 

b

ab

c

Рис. 7

a

 

b

b = -a

О

В

Рис. 8

c = a + b

А

a

b

О

1

x

x

Рис. 4.2

A

E

O

b

a

ab 

C

A

Рис. 6

О

В

Рис. 10

a + b

А

a

b

D

b

a

b + a

D

О

В

Рис. 11

a + b

А

a

b

c

(a+b) + c = a+(b + c)  

B

A

O

Рис. 12

a

c

b

d

E

C

О

В

a - b

А

a

b

Рис. 13

А

О

a - b

-b

a

C 

Рис. 14

O

В

D

c

b

a

O

c

b

a

O

Рис. 5

x

x

E2

y

Рис. 4.4

x

A

O

v2

v1

z

Рис. 4.6

O

E2

v3

x

z

Рис. 4.7

O

v1

v2

A

y

E3

y

E1

A

y

v3

v2

v1

z

Рис.4.5

A

O

b

a

Рис. 2

В

О

A 

E 

O 

e

x 

Рис. 1

O

O

i

i

j

j

Рис.1.20

O

O

i

Рис.1.19

O

1

A

j

i

Рис.1.18

A

O

x

x

1

y

Рис.4.17

O

1

1

A

1

y

Рис.4.16

O

1

A

j

i

Рис.4.15

A

O

x

x

1

y

z

Рис.4.14

O

1

1

A

y

k

j

i

z

Рис.4.13

A

O

x

x

D

Рис. 4.11

C

B

A

Рис. 4.10

C

A

B

C

Рис. 4.9

B

A

B

O

v3

v2

v1

Рис. 4.8.

A

j

 

j

i

i

O

O

Рис.1.21

j

j

i

i

O

O

j

 

j

i

A

Рис.4.22

B

A

Рис.4.23

B

B

b

a

C

A

Рис.4.24

x

B

b

a

O

y

A

Рис.4.24

B

C

Рис.4.25

P

p

M

r

Рис. 4.26

P

p

M

r

x

y

O

Рис. 4.27

O

M

l

M

n

r

Рис. 4.28

O

M

l

M

n

r

x

y

z

Рис. 4.29

O

M

l

M

n

r

Рис. 4.30

O

M

l

M

n

r

x

y

z


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21096. Культура України 30-х рр. XX ст. «Розстріляне відродження» 28.22 KB
  Українізацію було повністю згорнуто а найпомітніших діячів національної культури ніби на підтвердження пророчих слів одного з персонажів сатиричної комедії М. становлять собою не тільки одну з найтрагічніших сторінок української історії але й відвертий злочин проти традиційної селянської культури життя і господарювання на зв’язках з якою розвивалася вся попередня національна культурна традиція. Однак добре розвивалася лише технічна і природознавча діяльність тоді як гуманітарні науки викладалися вкрай тенденційно і обмежено що пізніше...
21097. Культура України в 40-80-х рр. XX ст 25.78 KB
  Культура України в 4080х рр. Всього за межі України було вивезено понад 40 тис. Брутальній критиці та обвинуваченням у перекрученнях буржуазнонаціоналістичного характеру були піддані роботи істориків України Короткий курс історії України Нарис історії України. Рильського за його доповідь Київ в історії України Річниця Шевченка поетичні твори Київські октави.
21098. Культура незалежної України 23.73 KB
  Культура незалежної України Проголошення незалежності України 24 серпня 1991 р. Верховна Рада України ухвалила Основи законодавства про культуру якими передбачені заходи подальшого розвитку української національної культури. Верховна Рада України провела слухання на тему Культурна політика в Україні: пріоритети принципи та шляхи реалізації. показав що українська мова є рідною для 675 населення України.
21099. Визначення поняття «культура», її структура та основні функції 19.29 KB
  Термін культура вперше зустрічається в одному з творів знаменитого римського оратора Цицерона 45 р. Як самостійна наукова категорія культура фіксується вперше у працях німецького юриста С. У подальшому слово культура отримало ще більш узагальнене значення яке охоплювало собою сукупність створених людськими спільнотами традиційних благ і цінностей.
21100. Перші паростки культури на українських землях у найдавніші часи 17.16 KB
  Перші паростки культури на українських землях у найдавніші часи. Виникнення культури нерозривно пов’язано з появою людини. Загальні закономірності розвитку культури у первісну добу на українських землях були такими самими як в інших регіонах земної кулі проте були й деякі особливості. З огляду на це питання про генетичні витоки української культури має сьогодні неабияке значення і викликає у своєму розв’язанні доволі гострі зумовлені актуальними проблемами в житті нашого суспільства суперечки.
21101. Трипільська культура 18.72 KB
  Трипільська культура. Найбільшого розвитку в цей час в добу енеоліту досягла трипільська культура названа так від с. Потретє за своїм походженням трипільська культура хоч і була пов’язана з БалканоНижньодунайським регіоном але в процесі поширення на нові східні території включала в себе на різних етапах елементи місцевих неолітичних та енеолітичних культур. Почетверте трипільська культура відзначається розташуванням поселень певними зосередженими групами з проміжними менш заселеними територіями.
21102. Кімерійці, скіфи, сармати, їх культура та світогляд 19.74 KB
  Але історичні відомості про скіфів містяться в іноземних джерелах. Одним із перших про скіфів написав Геродот який присвятив їм окрему книгу своєї Історії і не лише яскраво змалював побут і звичаї тих народів які заселяли українські землі під назвою скіфів а й навів дані про їх релігійні погляди міфологію. У випадку скіфів такою ознакою послужила характерна форма півсферичних посудинчаш характерних для кочівників і більш позаднього часу. Поховання кочівницьких скіфів відрізняються від поховань осідлого населення.
21103. Давньогрецька культура на теренах України 15.24 KB
  Північне Причорномор’я входило до сфери колонізації руху греків яких привертали сюди родючі землі велика кількість риби в гирлах річок можливість вести широку торгівлю з племенами північних причорноморських степів – скіфами синдами меотами та ін. Античні міста Північного Причорномор’я жили самостійним життям зберігаючи проте торгові та культурні зв’язки зі своїми метрополіями. Велику роль в їх економічному житті відігравала торгівля з містами Греції та Малої Азії а також з племенами причорноморських степів. В містах Північного...
21104. Язичницька культура давніх слов’ян 22.85 KB
  Язичницька культура давніх слов’ян. Релігійні вірування давніх слов’ян давно привертають пильну увагу дослідників. Однак жодну з сучасних реконструкцій світу давньослов’янських вірувань не можна вважати остаточно доведеною. А подруге кожне слов’янське плем’я імовірно визнавало своїх богів культ яких не поширювався на значні території.