22427

Матрицы, системы линейных уравнений

Лекция

Математика и математический анализ

Матрицы системы линейных уравнений План 1. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Элементарные преобразования матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду.

Русский

2013-08-03

659 KB

4 чел.

Z100700        Курс: Математика     Толстиков А.В.

Лекция 1. Матрицы, системы линейных уравнений

План

1. Сложение матриц и умножение матрицы на число.

2. Умножение матриц. Транспонирование матриц.

3. Элементарные преобразования матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Ранг матрицы.

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997, с. 17-19.

2. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики. М.:  Инфра - М, 2000. с. 56-68.

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Юнити, 2000. с. 9-16,26-35.

4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980, с. 142-148, 183-190.

Системы линейных уравнений

План

4. Основные понятия и обозначения теории систем линейных уравнений.

5. Элементарные преобразования системы линейных уравнений.

6. Метод Гаусса. Критерий разрешимости системы линейных уравнений

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997, с. 25-48.

2. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики. М.:  Инфра - М, 2000. с. 5-22

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Юнити, 2000. с. 38-56.

  1.  Сложение матриц и умножение матрицы на число.

Определение 1. Матрицей размерности   называется прямоугольная таблица

содержащая  mn чисел, расположенных  в  m строк и  n  столбцов, числа   называются элементами матрицы. Если    , то матрица называется квадратной матрицей порядка  m . Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой матрицей. Элементы aii называются элементами главной диагонали.

Если все элементы квадратной матрицы равны нулю за исключением элементов главной диагонали, то матрица называется диагональной матрицей.

Если все элементы главной диагонали диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единицей или единичной матрицей.

Если все элементы квадратной матрицы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, то матрица называется треугольной или нижне-треугольной  матрицей.  Если все элементы квадратной матрицы, лежащие выше главной диагонали, равны нулю, то матрица называется верхне-треугольной  матрицей.  

Определение матрицы было дано в первом параграфе этой главы. Рассматриваем матрицы с элементами из некоторого коммутативного кольца K . Пусть даны две матрицы A и B равной размерности:

, .

Определение 2. Две матрицы A и B одинаковой размерности называются  равными, если соответствующие элементы матриц равны. Обозначаем .

Определение 3. Суммой двух матриц A и B одинаковой размерности называется такая матрица, обозначаемая A+B той же размерности, каждый элемент которой есть сумма соответствующих элементов матриц A и B :

.

Определение 4. Произведением матрицы A на число называется  матрица, обозначаемая A той же размерности, каждый элемент которой есть произведение числа на соответствующий элемент матрицы  A:

.

Нулевой матрицей называется такая матрица 0, все элементы которой равны нулю. Противоположной матрицей для матрицы A называется такая матрицы - A , все элементы которой противоположны соответствующим элементам матрицы A. Таким образом

.

Теорема 1. Для любых матриц А , В и С и для любых чисел ,  справедливы следующие свойства.

1. (А+В)+С=А+(В+С) - ассоциативность сложения.

2. А+В=В+А - коммутативность сложения.

3. Для любой матрицы А имеем А+0=А.

4. Для любой матрицы А имеем А+(-А)=0.

5. (+)А=А+А - дистрибутивность относительно сложения чисел.

6. (А+В)=А+В - дистрибутивность относительно сложения матриц.

7. (А)=()А - ассоциативность умножения на число.

8. 1А=А.

Доказательство. Доказательства этих свойств основываются на определениях 1-3 и свойствах операций в кольце К. Докажем, например,  свойство 6.

.

2. Умножение матриц. Отметим, что перемножать матрицы А и В можно только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Однострочная матрица называется строкой, а одно столбцовая матрица называется столбцом. Пусть даны строка А и столбец В одинаковой длины,

.

Определение 1. Произведением АВ строки А на столбец В той же длины называется сумма попарных произведений элементов строки на соответствующие элементы столбца, т.е.

.

Пусть число столбцов матрицы А равно числу столбцов матрицы В,

, .

Определение 2. Произведением АВ матрицы А размерности mn на матрицу В размерности nk  называется такая матрица С размерности    mk, каждый элемент которой сумма попарных произведений элементов i-й строки на соответствующие элементы j-го столбца, т.е.

.                         (1)

Таким образом для того, чтобы перемножить матрицы А и В необходимо умножить каждую строку матрицы А на каждый столбец матрицы В. Условие умножения двух матриц схематически можно изобразить   следующим образом:

Пример 1.

.

Пример.

.

Последний пример показывает, что операция умножения некоммутативна даже для квадратных матриц.  

Теорема 1. Для любых матриц А , В и С соответствующей размерности и для любых чисел ,  справедливы следующие свойства.

1. (АВ)С=А(ВС) - ассоциативность сложения.

2. (А+В=АС+ВС - правый дистрибутивный закон умножения относительно  сложения.

3. А(В+С)=АВ+АВ - левый дистрибутивный закон умножения относительно  сложения.

4. (АВ)=(А)В=А(В) - ассоциативность умножения на число.

Доказательство. Доказательства этих свойств основываются на определениях 1-3, 5 и свойствах операций в кольце К. Докажем, например,  свойство 1.

Пусть  матрицы соответственно размерностей mn, nk, ks (обозначены только общие элементы этих матриц). Тогда существуют и матрицы соответственно размерностей mk, ns:

,

.

Отсюда матрицы  имеют одинаковые размерности ms. Докажем, что соответствующие элементы этих матриц равны. Действительно, в силу приведенных выше формул

для . Свойство доказано.

Обозначим множество всех квадратных матриц порядка n c элементами из кольца К черех  .  называется матричным кольцом.

Транспонирование матриц.

Определение 3.  Транспонированием A матрицы называется такое ее преобразование, при котором строки матрицы становятся ее столбцами с теми же самыми номерами.

Матрица транспонированная матрице A обозначается символом :  

.

Операция транспонирования матриц обладает следующими свойствами.

Теорема 2. Для любых матриц А , В  соответствующей размерности и  любого чисела   справедливы следующие свойства.

1. .

2.   

3.

4..

Доказательство. Доказательства этих свойств основываются на определении и свойствах целых чисел. Докажем, например,  свойство 4.

Пусть  матрицы соответственно размерностей mn, nk (обозначены только общие элементы этих матриц). Тогда существуют и матрица размерности mk:

.

По определению преобразования транспонирования:

,,

.

Так как  матрицы размерностей kn, nm, то произведение  существует и

.

Свойство доказано.

3. Элементарные преобразования матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Ранг матрицы.

Определение 1. Матрицей размерности   называется прямоугольная таблица

содержащая  mn чисел, расположенных  в  m строк и  n  столбцов, числа   называются элементами матрицы. Если    , то матрица называется квадратной матрицей порядка  m . Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой матрицей. Элементы aii называются элементами главной диагонали.

Определение  2. Матрицей ступенчатого вида называется такая матрица, которая обладает свойствами:

1) в каждой строке матрицы имеется неравный нулю элемент;

2) в каждой строке матрицы, начиная со второй, первый слева неравный нулю элемент расположен правее первого слева неравного нулю элемента предыдущей строки матрицы.

      Матрицу ступенчатого вида называют также трапециидальной матрицей, а квадратную матрицу ступенчатого вида называют треугольной матрицей. Ниже показаны  две не ступенчатые матрицы и три ступенчатые матрицы (последняя матрица треугольная).

,  ,    ,    , .

Определение  3. Элементарными преобразованиями строк матрицы  называются  следующие ее преобразования:

1) перестановка любых двух строк матрицы местами;

2) умножение одной строки матрицы на  любое число ;

3) прибавление к одной строке матрицы другой ее строки умноженной на любое число k ;

(при этом все остальные строки матрицы остаются неизменными).

Аналогично можно рассматривать элементарные преобразования столбцов матрицы.

Теорема 1. Любую ненулевую матрицу конечным числом элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевой строки можно привести к матрице ступенчатого вида.

Доказательство.  Доказательство проводим методом математической индукции по числу  m  строк матрицы. Для m=1 утверждение теоремы справедливо, так как ненулевая однострочная матрица по определению имеет ступенчатый вид.

Предположим, что утверждение теоремы доказано для матриц, имеющих  m-1 строку и докажем его для матриц, в которых содержится  m строк. Пусть первый слева отличный от нуля столбец данной матрицы имеет номер  k  , так как матрица ненулевая, то такой столбец найдется, и матрица имеет вид:

.

Можем считать, что элемент , в противном случае строки матрицы можно переставить. Прибавим ко второй строке матрицы первую, умноженную на число  , к третьей  - первую , умноженную на  и т.д. , к  m-й - первую, умноженную на   . После этих преобразований матрица примет вид:

                                            .                                                                             (1)

Рассмотрим  матрицу, состоящую из последних  m-1 строк матрицы  (1):    

                                     .                                                                              (2)

Если матрица  (2)  нулевая, то все строки в матрице  (1) кроме первой нулевые. Вычеркивая  их, приходим к матрице ступенчатого вида. Если матрица (2)  ненулевая, то по индуктивному предположению конечным число элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевой строки может быть приведена к матрице ступенчатого вида:

,

где элементы  и     не равны нулю. Тогда соответствующими  преобразованиями строк матрица  (1)  преобразуется в матрицу ступенчатого вида:  

                                    ;                                                                 (3)

элементы  , ,...,  не равны нулю. Теорема доказана.

Число строк в матрице ступенчатого вида не зависит от способа приведения матрицы к ступенчатому виду и называется рангом матрицы. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю. В общем случае ранг матрицы определяется как максимальное число линейно независимых строк в матрице ступенчатого вида.

Из теоремы 2 вытекает метод вычисления ранга матрицы, называемый методом элементарных преобразований. Для того, чтобы вычислить ранг матрицы мы матрицу элементарными преобразованиями и вычеркиванием нулевых строк приводим к ступенчатому виду. Тогда по теореме 2 ранг матрицы равен числу строк в полученной матрице ступенчатого вида.

Пример 1. Вычислить ранг матрицы

.

Приводим матрицу А элементарными преобразованиями и вычеркиванием нулевых строк к ступенчатому виду

.

Ранг матрицы равен 2.

Системы линейных уравнений

4. Основные понятия и обозначения. Простейшие системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными изучаются в средней школе:

Известно, что  справедлив один из следующих трех случаев: либо система имет одно решение, либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений. В этом параграфе мы будем рассматривать общие системы линейных уравнений и установим это утверждение в общем случае кроме того изложим один из наиболее удобных методов решения систем линейных уравнений - метод последовательного исключения неизвестных или метод Гаусса по имени выдающегося немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777-1855).  

      Определение 1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными

x1 , x2,..., xn   называется система уравнений

                                                       (1)

где a11 ,a12 ,...,amn - фиксированные числа (действительные, комплексные или  принадлежащие некоторому полю) , называемые коэффициентами при неизвестных, b1 ,b2 ,...,bm - фиксированные числа, называемые свободными членами.

      Если все свободные члены в системе линейных уравнений равны нулю, то система линейных уравнений называется однородной.

Определение 2. Решением системы линейных уравнений  (1) называется такой упорядоченный набор n чисел   , при подстановке которых  в каждое из уравнений системы вместо соответственно неизвестных   x1 ,  x2 ,...,  xn   каждое из уравнений системы превращается в истинное числовое равенство.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и называется несовместной, если она не имеет решений. Совместная система называется определенной, если она имеет одно решение,  и называется неопределенной, если она не имеет решений.

Пусть S1 , S2   системы линейных уравнений с одним и тем же числом неизвестных, X1 , X2    -  множества их решений соответственно.

Определение 3.  Говорят, что система линейных уравнений S2 следствие системы  S1 и  S2 , если каждое решение системы S1 является решением системы   S2 ,т.е. . Обозначаем  .

Определение  4. Говорят, что системы  S1 и  S2  равносильны, если каждое решение системы S1 является решением системы   S2 и каждое решение системы  S2 является решением системы S1 , т.е.  . Обозначаем  .

Отношение следования и равносильности обладают следующими свойствами.

1. Если  и  , то    (транзитивность).

Действительно, если и , то по определению 3 и Отсюда по свойству включения  и по определению .

2.   (рефлексивность).

3. Если , то   - (симметричность).

4. Если  и  , то  - (транзитивность).

Свойства 2, 3, 4 доказываются аналогично.

5. Элементарные преобразования системы линейных уравнений. 

Определение  5. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются ее следующие преобразования:

1) перестановка любых двух уравнений местами;

2) умножение обеих частей одного уравнения на  любое число ;

3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число k ;

(при этом все остальные уравнения остаются неизменными). 

Нулевым уравнением называем уравнение следующего вида:

.

Теорема 1. Любая конечная последовательность элементарных преобразований и преобразование вычеркивание нулевого уравнения переводит одну систему линейных уравнений в равносильную ей другую систему линейных уравнений.

Доказательство. В силу свойства 4 предыдущего пункта достаточно доказать теорему для каждого преобразования отдельно.

1. При перестановке уравнений в системе местами сами уравнения неизменяются, поэтому по определению полученная  система равносильная первоначальной .

2. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого уравнения. Умножим первое уравнение системы  (1)  на число  , получим систему

                                                                                 (2)

   Пусть   решение системы  (1) . Тогда числа   удовлетворяют всем уравнениям системы  (1).  Так как все уравнения системы  (2)  кроме первого совпадают с уравнениями системы  (1), то  числа  удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа  удовлетворяют первому уравнению системы  (1), то имеет место верное числовое равенство:

                                         .                                                 (3)

Умножая его на число  k,  получим верное числовое равенство:

                                       ,                                              (4)

т.о. устанавливаем, что   решение системы  (2).

Обратно, если   решение системы  (2), то числа   удовлетворяют всем уравнениям системы  (2).  Так как все уравнения системы  (1)  кроме первого совпадают с уравнениями системы  (2), то  числа  удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа  удовлетворяют первому уравнению системы  (2), то справедливо числовое равенство  (4). Разделив обе его части на число ,получим числовое равенство  (3) и доказываем, что   решение системы  (1).

Отсюда по определению 4 система  (1) равносильна системе  (2).

3. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого и второго уравнения системы . Прибавим к обеим частям  первому уравнению системы соответствующие части второго умноженные на  число k , получим систему

                                     (5)

Пусть   решение системы  (1) . Тогда числа   удовлетворяют всем уравнениям системы  (1).  Так как все уравнения системы  (5)  кроме первого совпадают с уравнениями системы  (1), то  числа  удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа  удовлетворяют первому уравнению системы  (1), то имеют место верные числовые равенства:

                                        ,                                                                    (6)

                                        .                                                                   (7)

Прибавляя почленно к первому равенству второе, умноженное на число   k получим верное числовое равенство:                                                                          

                   .                              (8)

Обратно, если   решение системы  (5), то числа   удовлетворяют всем уравнениям системы  (5).  Так как все уравнения системы  (1)  кроме первого совпадают с уравнениями системы  (5), то  числа  удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа  удовлетворяют первому уравнению системы  (5), то справедливо числовое равенство  (8). Вычитая из обеих его частей соответствующие части равенства (7) умноженные на  число k получим числовое равенство  (6).

Отсюда по определению 4 система  (1) равносильна системе  (5).

4. Так как нулевому уравнению удовлетворяет любой упорядоченный набор из n чисел, то при вычеркивании нулевого уравнения в системе получим систему равносильную исходной.

Теорема доказана.

6. Метод Гаусса. Критерий разрешимости систем линейных уравнений. Системе линейных уравнений  (1)  соответствуют три матриц

   ,                            .

Первая матрица называется матрицей системы, вторая - расширенной или присойдиненной матрицей системы, третья  - столбцом свободных членов.    

Система линейных уравнений называется системой ступенчатого вида, если расширенная матрица системы есть матрица ступенчатого вида. Неизвестные с коэффициентами неравными нулю, которые стоят первыми в уравнениях системы ступенчатого вида называются главными неизвестными, а остальные неизвестные называются свободными.

   Линейное уравнение, в котором все коэффициенты равны нулю, а свободный член не равен нулю, т.е. уравнение вида:

,

не имеет решений. Действительно, если  - решение этого уравнения, то получим   противоречие с условием. Такое уравнение называем противоречивым.

Пусть не все уравнения системы (1) нулевые. Тогда и расширенная матрица системы (1) ненулевая. По теореме 2 ее можно конечным числом элементарных преобразований и преобразований выбрасывания нулевой строки можно привести к матрице ступенчатого вида. Полученной матрице соответствует система линейных уравнений ступенчатого вида. Этим преобразованиям расширенной матрицы системы (1) соответствуют такие же преобразования системы линейных уравнений (1). По теореме 1 они переводят систему (1) в равносильную систему линейных уравнений, которая будет являются системой ступенчатого вида.

Таким образом мы доказали первую часть следующей теоремы.

Теорема 1. Любую систему линейных уравнений , содержащую ненулевое уравнение конечным числом элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевого уравнения можно привести к равносильной ей системе ступенчатого вида. При этом возможны следующие три случая.

1. Если в полученной системе линейных уравнений ступенчатого вида есть противоречивое уравнение, то данная система не имеет решений.

2. Если в полученной системе линейных уравнений ступенчатого вида нет противоречивого уравнения и число уравнений в полученной системе равно числу неизвестных, то данная система имеет единственное решение.

3. Если в полученной системе линейных уравнений ступенчатого вида нет противоречивого уравнения и число уравнений в полученной системе меньше числа неизвестных, то данная система имеет бесконечно много  решение.

Доказательство.  Пусть дана система (1), содержащая ненулевое уравнение. По выше доказанному, она конечным числом элементарных преобразований она может быть преобразована к равносильной ей  системе уравнений ступенчатого вида. Возможны случаи.

В полученной системе ступенчатого вида есть противоречивое уравнение. Тогда ни один набор чисел  не удовлетворяет системе, и система (1) не имеет решений.

В полученной системе ступенчатого вида нет противоречивого уравнения. Тогда в каждом из уравнений системы ступенчатого вида содержится главное неизвестное. Отсюда получаем, что число главных неизвестных, а тем более число всех неизвестных, не менее числа  уравнений в системе ступенчатого вида. Тогда возможны под случаи:

В системе ступенчатого вида число уравнений равно числу неизвестных, т. е.  система имеет вид:

                                                        (12)  

где   Все неизвестные в системе являются главными. Из последнего уравнения находим единственное значение для неизвестного  :  . Подставляя найденное значение  в предпоследнее уравнение, находим для неизвестного  единственное значение   и т.д. Наконец из первого уравнения по найденным значениям неизвестных   из первого уравнения находим единственное значение неизвестного  . Таким образом, система (12), а поэтому и система (1) имеет единственное решение.

В системе ступенчатого вида число уравнений меньше числа неизвестных. В этом случае матрица полученной системы имеет вид (11), а

систему можно записать в виде:

                                                   (13)

где   В этой системе  r главных неизвестных    , все остальные  свободные (в системе они обзначены точками. Возьмем для свободных неизвестных произвольные значения. Тогда значения главных неизвестных   найдутся однозначно из системы  (13). Так как главные неизвестные можно выбрать бесконечным числом способов, то получим, что система (13), а поэтому и система (1) имеет бесконечно много решений.

Теорема доказана.

Следствие. Если в системе однородных уравнений число неизвестных больше числа уравнений, то система имеет бесконечно много решений.

Действительно, система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение  , и при приведении ее к ступенчатому виду всегда получим систему, в которой число неизвестных  больше числа уравнений.

Метод исследования и решения систем линейных уравнений, изложенный в доказательстве теорем 3 называется методом  Гаусса.

Пример 1. Решить систему

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

.

Составим по полученной матрице ступенчатого вида систему линейных уравнений ступенчатого вида:

В полученной системе число уравнений равно числу неизвестных и полученная система имеет единственное решение, которое двигаясь вверх последовательно находим:

Решение системы  .

Пример 2. Решить систему

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

Соответствующая система имеет противоречивое уравнение. Поэтому данная система не имеет решений.

Пример 3. Решить систему

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

Составим систему ступенчатого вида:

 

Пусть свободная неизвестная    . Тогда находим

Решение системы  , где  .

По определению, ранг матрицы равен числу строк в матрице ступенчатого вида, которая получена из данной матрицы элементарными преобразованиями строк.  По теореме 1 система линейных уравнений неразрешима тогда и только тогда, когда в полученной системе ступенчатого вида есть противоречивое уравнение, т.е. в полученной расширенной матрице ступечатого вида есть строка, в которой все элементы кроме последнего равны нулю, а последний отличен от нуля. Что соответствует тому, что ранг расширенной матрицы на 1 больше ранга матрицы системы. Получаем, что система линейных уравнений неразрешима тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы не равен рангу расширенной матрицы системы.

В остальных двух случаях система разрешима и ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы. Получаем, что система линейных уравнений разрешима тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы. При этом имеем два случая. Если в системе ступенчатого вида число уравнений равно числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если в системе ступенчатого вида число уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений.  Первое равносильно тому, что ранг матрицы систем равен числу неизвестных системы, второе – тому, что ранг матрицы системы меньше числа неизвестных. Получаем следующую теорему, содержащую критерий разрешимости систем линейных уравнений.

Теорема 2 (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений разрешима (совместна) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы. При этом справедливы два случая:

  1.  если ранг матрицы системы равен числу неизвестных в системе, то система имеет единственное решение;
  2.  если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных в системе, то система имеет бесконечно много решение.

В примере 1 rang(A) = rang(B) = 3, ранг матрицы системы равен ранг расширенной матрицы системы и равен числу неизвестных в системе, поэтому система определенная (имеет единственное решение).

В примере 2 rang(A) = 3 < rang(B) = 4, ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы системы, поэтому система несовместна (не имеет решений).

В примере 3 rang(A) = rang(B) = 2, ранг матрицы системы равен ранг расширенной матрицы системы и меньше числа неизвестных в системе, поэтому система неопределенная (имеет бесконечно много решение).

 


k                                           

                                          

A                                           

n                                           

m                                           

m                                           

=                                           

k                                           

AB                                           

                                          


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44191. Теоретическая и прикладная лингвистика 187 KB
  Избранная тема необязательно должна быть абсолютно новаторской. Каждое исследование базируется на известных научных достижениях, являющихся опорой в поисковой работе, которая предполагает получение новых результатов, самостоятельные наблюдения и выводы.
44192. Кормление собак с заболеванием почек 76 KB
  Холестатический синдром подразумевает под собой нарушение секреции и выделение желчи, что проявляется кожным зудом, желтухой, склонностью к экзематозному поражению кожи, обесцвечиванием кала.
44194. ОРГАНІЗАЦІЯ ВИКОНАННЯ КВАЛІФІКАЦІЙНИХ РОБІТ У НАЦІОНАЛЬНІЙ МЕТАЛУРГІЙНІЙ АКАДЕМІЇ УКРАЇНИ 1.67 MB
  Будуть корисними при організації виконання інших видів індивідуальних завдань курсові проекти роботи; реферати домашні завдання тощо Відповідальний за випуск О.2 Структура дипломної роботи .3 Структура випускної роботи магістра .3 Відомість проекту або роботи .
44195. Системні науки та кібернетика. Методичні рекомендації 4.62 MB
  Правильне виявлення, постановка та чітке формулювання проблеми сприятиме усвідомленню реальних можливостей її вирішення, великою мірою визначає стратегію дослідження. Сформулювати проблему – означає показати вміння відокремити головне від другорядного, виявити те, що вже відомо, але не має свого вирішення.
44196. Выпускная квалификационная работа требования и методические рекомендации 367.5 KB
  Выполнение дипломной работы является одним из основных видов самостоятельной работы студентов на заключительном этапе обучения направленной на расширение и закрепление теоретических знаний формирование навыков решения творческих задач в ходе самостоятельного научного исследования или проектирования по определенной теме. Целью дипломной работы является определение степени готовности студента к самостоятельному решению профессиональных задач проверка научнотеоретической и практической подготовки выпускаемых специалистов и присвоение им...
44197. Особенности совместной деятельности младшего школьного возраста в зависимости от уровня диалогической речи 282.5 KB
  В психологии развития исследования совместной мыслительной деятельности проводились преимущественно на детях младшего возраста. Остаются открытыми и мало исследованными вопросы, связанные с изучением специфики развития совместной мыслительной деятельности в младшем школьном возрасте: особенности коммуникации и диалогов, взаимодействия и кооперации
44198. СТРУКТУРА, ПРАВИЛА ПОДГОТОВКИ И ОФОРМЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ УЧЕБНОЙ И НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ 231 KB
  Курсовая работа проект Курсовые работы проекты являются составной частью учебного процесса одной из самостоятельных форм деятельности студента. Курсовые работы выполняемые студентами II III и IV курсов дневного и заочного отделений на кафедре документоведения и библиотековедения занимают определенное место в системе профессиональной подготовки специалистов высшей квалификации. Общий характер курсовых работ: Специальность Библиотечноинформационная деятельность На 2 курсе дневного и заочного отделения студенты выполняют...