22428

Матрицы. Системы линейных уравнений. Прямые. Плоскости. Кривые и поверхности второго порядка

Лекция

Математика и математический анализ

Прямые на плоскости Уравнение линии на плоскости. Каноническое уравнение эллипса. Каноническое уравнение гиперболы. Каноническое уравнение параболы.

Русский

2013-08-03

1.91 MB

3 чел.

100700  ОЗО      Курс: Математика     Толстиков А.В.

Лекция 2. Матрицы. Системы линейных уравнений. Прямые. Плоскости. Кривые и поверхности второго порядка

1. Сложение матриц и умножение матрицы на число.

2. Умножение матриц. Транспонирование матриц.

3. Элементарные преобразования матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Ранг матрицы.

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997, с. 17-19.

2. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики. М.:  Инфра - М, 2000. с. 56-68.

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Юнити, 2000. с. 9-16,26-35.

4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980, с. 142-148, 183-190.

Системы линейных уравнений

План

4. Основные понятия и обозначения теории систем линейных уравнений.

5. Элементарные преобразования системы линейных уравнений.

6. Метод Гаусса. Критерий разрешимости системы линейных уравнений

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997, с. 25-48.

2. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики. М.:  Инфра - М, 2000. с. 5-22

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Юнити, 2000. с. 38-56.

Прямые на плоскости

  1.  Уравнение линии на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии на плоскости. Уравнения окружности.
  2.  Различные уравнения прямой
  3.  Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
  4.  Угол между прямыми. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости
  5.  Расстояние от точки до прямой
  6.  Геометрический смысл неравенства Ax  + By + C  0

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997.

2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980.

Линии второго порядка

  1.  Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Исследование эллипса по каноническому уравнению. Эллипса и окружность. Эксцентриситет эллипса. Параметрические уравнения эллипса.
  2.  Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Исследование гиперболы по каноническому уравнению. Асимптоты гиперболы по каноническому уравнению.Равносторонняя гипербола. Эксцентриситет гипербол.
  3.  Парабола. Каноническое уравнение параболы. Исследование параболы по каноническому уравнению.
  4.   Директориальные свойства эллипса, гиперболы и параболы. Уравнение кривой второго порядка в полярной системе координат. Конические сечения.

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997.

2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980.

Плоскость и прямая в пространстве

  1.  Уравнения поверхности в пространстве. Уравнение сферы.
  2.  Различные уравнения плоскости
  3.  Взаимное расположение плоскостей. Углы между плоскостями.
  4.  Расстояние от точки до плоскости. Геометрический смысл неравенства Ax  + By + Cz + D  0.
  5.  Различные уравнения прямой в пространстве.
  6.  Взаимное расположение прямых и плоскостей. Углы между прямыми.
  7.  Расстояние между двумя прямыми.
  8.  Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Поверхности второго порядка

  1.  Поверхности второго порядка в пространстве R3 
  2.  Поверхности вращения.
  3.  Цилиндрические поверхности.
  4.  Конические поверхности.
  5.  Эллипсоиды.
  6.  Однополостные гиперболоиды и его прямолинейные образующие.
  7.  Двуполостные гиперболоиды.
  8.  Эллиптические параболоиды.
  9.  Гиперболические параболоиды и его прямолинейные образующие.
  10.  Классификация поверхностей второго порядка.

Рекомендуемая литература

  1.  Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.
  2.  Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997.
  3.  Воеводин В.В. Линейная алгебра.. М.: Наука 1980.
  4.  Сборник задач по для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П.. М.: Наука, 1981.
  5.  Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Физматлит, 2001.

  1.  Сложение матриц и умножение матрицы на число.

Определение 1. Матрицей размерности   называется прямоугольная таблица

содержащая  mn чисел, расположенных  в  m строк и  n  столбцов, числа   называются элементами матрицы. Если    , то матрица называется квадратной матрицей порядка  m . Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой матрицей. Элементы aii называются элементами главной диагонали.

Если все элементы квадратной матрицы равны нулю за исключением элементов главной диагонали, то матрица называется диагональной матрицей.

Если все элементы главной диагонали диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единицей или единичной матрицей.

Если все элементы квадратной матрицы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, то матрица называется треугольной или нижне-треугольной  матрицей.  Если все элементы квадратной матрицы, лежащие выше главной диагонали, равны нулю, то матрица называется верхне-треугольной  матрицей.  

Определение матрицы было дано в первом параграфе этой главы. Рассматриваем матрицы с элементами из некоторого коммутативного кольца K . Пусть даны две матрицы A и B равной размерности:

, .

Определение 2. Две матрицы A и B одинаковой размерности называются  равными, если соответствующие элементы матриц равны. Обозначаем .

Определение 3. Суммой двух матриц A и B одинаковой размерности называется такая матрица, обозначаемая A+B той же размерности, каждый элемент которой есть сумма соответствующих элементов матриц A и B :

.

Определение 4. Произведением матрицы A на число называется  матрица, обозначаемая A той же размерности, каждый элемент которой есть произведение числа на соответствующий элемент матрицы  A:

.

Нулевой матрицей называется такая матрица 0, все элементы которой равны нулю. Противоположной матрицей для матрицы A называется такая матрицы - A , все элементы которой противоположны соответствующим элементам матрицы A. Таким образом

.

Теорема 1. Для любых матриц А , В и С и для любых чисел ,  справедливы следующие свойства.

1. (А+В)+С=А+(В+С) - ассоциативность сложения.

2. А+В=В+А - коммутативность сложения.

3. Для любой матрицы А имеем А+0=А.

4. Для любой матрицы А имеем А+(-А)=0.

5. (+)А=А+А - дистрибутивность относительно сложения чисел.

6. (А+В)=А+В - дистрибутивность относительно сложения матриц.

7. (А)=()А - ассоциативность умножения на число.

8. 1А=А.

Доказательство. Доказательства этих свойств основываются на определениях 1-3 и свойствах операций в кольце К. Докажем, например,  свойство 6.

.

2. Умножение матриц. Отметим, что перемножать матрицы А и В можно только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Однострочная матрица называется строкой, а одно столбцовая матрица называется столбцом. Пусть даны строка А и столбец В одинаковой длины,

.

Определение 1. Произведением АВ строки А на столбец В той же длины называется сумма попарных произведений элементов строки на соответствующие элементы столбца, т.е.

.

Пусть число столбцов матрицы А равно числу столбцов матрицы В,

, .

Определение 2. Произведением АВ матрицы А размерности mn на матрицу В размерности nk  называется такая матрица С размерности    mk, каждый элемент которой сумма попарных произведений элементов i-й строки на соответствующие элементы j-го столбца, т.е.

.                         (1)

Таким образом для того, чтобы перемножить матрицы А и В необходимо умножить каждую строку матрицы А на каждый столбец матрицы В. Условие умножения двух матриц схематически можно изобразить   следующим образом:

Пример 1.

.

Пример.

.

Последний пример показывает, что операция умножения некоммутативна даже для квадратных матриц.  

Теорема 1. Для любых матриц А , В и С соответствующей размерности и для любых чисел ,  справедливы следующие свойства.

1. (АВ)С=А(ВС) - ассоциативность сложения.

2. (А+В=АС+ВС - правый дистрибутивный закон умножения относительно  сложения.

3. А(В+С)=АВ+АВ - левый дистрибутивный закон умножения относительно  сложения.

4. (АВ)=(А)В=А(В) - ассоциативность умножения на число.

Доказательство. Доказательства этих свойств основываются на определениях 1-3, 5 и свойствах операций в кольце К. Докажем, например,  свойство 1.

Пусть  матрицы соответственно размерностей mn, nk, ks (обозначены только общие элементы этих матриц). Тогда существуют и матрицы соответственно размерностей mk, ns:

,

.

Отсюда матрицы  имеют одинаковые размерности ms. Докажем, что соответствующие элементы этих матриц равны. Действительно, в силу приведенных выше формул

для . Свойство доказано.

Обозначим множество всех квадратных матриц порядка n c элементами из кольца К черех  .  называется матричным кольцом.

Транспонирование матриц.

Определение 3.  Транспонированием A матрицы называется такое ее преобразование, при котором строки матрицы становятся ее столбцами с теми же самыми номерами.

Матрица транспонированная матрице A обозначается символом :  

.

Операция транспонирования матриц обладает следующими свойствами.

Теорема 2. Для любых матриц А , В  соответствующей размерности и  любого чисела   справедливы следующие свойства.

1. .

2.   

3.

4..

Доказательство. Доказательства этих свойств основываются на определении и свойствах целых чисел. Докажем, например,  свойство 4.

Пусть  матрицы соответственно размерностей mn, nk (обозначены только общие элементы этих матриц). Тогда существуют и матрица размерности mk:

.

По определению преобразования транспонирования:

,,

.

Так как  матрицы размерностей kn, nm, то произведение  существует и

.

Свойство доказано.

3. Элементарные преобразования матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Ранг матрицы.

Определение 1. Матрицей размерности   называется прямоугольная таблица

содержащая  mn чисел, расположенных  в  m строк и  n  столбцов, числа   называются элементами матрицы. Если    , то матрица называется квадратной матрицей порядка  m . Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой матрицей. Элементы aii называются элементами главной диагонали.

Определение  2. Матрицей ступенчатого вида называется такая матрица, которая обладает свойствами:

1) в каждой строке матрицы имеется неравный нулю элемент;

2) в каждой строке матрицы, начиная со второй, первый слева неравный нулю элемент расположен правее первого слева неравного нулю элемента предыдущей строки матрицы.

      Матрицу ступенчатого вида называют также трапециидальной матрицей, а квадратную матрицу ступенчатого вида называют треугольной матрицей. Ниже показаны  две не ступенчатые матрицы и три ступенчатые матрицы (последняя матрица треугольная).

,  ,    ,    , .

Определение  3. Элементарными преобразованиями строк матрицы  называются  следующие ее преобразования:

1) перестановка любых двух строк матрицы местами;

2) умножение одной строки матрицы на  любое число ;

3) прибавление к одной строке матрицы другой ее строки умноженной на любое число k ;

(при этом все остальные строки матрицы остаются неизменными).

Аналогично можно рассматривать элементарные преобразования столбцов матрицы.

Теорема 1. Любую ненулевую матрицу конечным числом элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевой строки можно привести к матрице ступенчатого вида.

Доказательство.  Доказательство проводим методом математической индукции по числу  m  строк матрицы. Для m=1 утверждение теоремы справедливо, так как ненулевая однострочная матрица по определению имеет ступенчатый вид.

Предположим, что утверждение теоремы доказано для матриц, имеющих  m-1 строку и докажем его для матриц, в которых содержится  m строк. Пусть первый слева отличный от нуля столбец данной матрицы имеет номер  k  , так как матрица ненулевая, то такой столбец найдется, и матрица имеет вид:

.

Можем считать, что элемент , в противном случае строки матрицы можно переставить. Прибавим ко второй строке матрицы первую, умноженную на число  , к третьей  - первую , умноженную на  и т.д. , к  m-й - первую, умноженную на   . После этих преобразований матрица примет вид:

                                            .                                                                             (1)

Рассмотрим  матрицу, состоящую из последних  m-1 строк матрицы  (1):    

                                     .                                                                              (2)

Если матрица  (2)  нулевая, то все строки в матрице  (1) кроме первой нулевые. Вычеркивая  их, приходим к матрице ступенчатого вида. Если матрица (2)  ненулевая, то по индуктивному предположению конечным число элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевой строки может быть приведена к матрице ступенчатого вида:

,

где элементы  и     не равны нулю. Тогда соответствующими  преобразованиями строк матрица  (1)  преобразуется в матрицу ступенчатого вида:  

                                    ;                                                                 (3)

элементы  , ,...,  не равны нулю. Теорема доказана.

Число строк в матрице ступенчатого вида не зависит от способа приведения матрицы к ступенчатому виду и называется рангом матрицы. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю. В общем случае ранг матрицы определяется как максимальное число линейно независимых строк в матрице ступенчатого вида.

Из теоремы 2 вытекает метод вычисления ранга матрицы, называемый методом элементарных преобразований. Для того, чтобы вычислить ранг матрицы мы матрицу элементарными преобразованиями и вычеркиванием нулевых строк приводим к ступенчатому виду. Тогда по теореме 2 ранг матрицы равен числу строк в полученной матрице ступенчатого вида.

Пример 1. Вычислить ранг матрицы

.

Приводим матрицу А элементарными преобразованиями и вычеркиванием нулевых строк к ступенчатому виду

.

Ранг матрицы равен 2.

Системы линейных уравнений

4. Основные понятия и обозначения. Простейшие системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными изучаются в средней школе:

Известно, что  справедлив один из следующих трех случаев: либо система имет одно решение, либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений. В этом параграфе мы будем рассматривать общие системы линейных уравнений и установим это утверждение в общем случае кроме того изложим один из наиболее удобных методов решения систем линейных уравнений - метод последовательного исключения неизвестных или метод Гаусса по имени выдающегося немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777-1855).  

      Определение 1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными

x1 , x2,..., xn   называется система уравнений

                                                       (1)

где a11 ,a12 ,...,amn - фиксированные числа (действительные, комплексные или  принадлежащие некоторому полю) , называемые коэффициентами при неизвестных, b1 ,b2 ,...,bm - фиксированные числа, называемые свободными членами.

      Если все свободные члены в системе линейных уравнений равны нулю, то система линейных уравнений называется однородной.

Определение 2. Решением системы линейных уравнений  (1) называется такой упорядоченный набор n чисел   , при подстановке которых  в каждое из уравнений системы вместо соответственно неизвестных   x1 ,  x2 ,...,  xn   каждое из уравнений системы превращается в истинное числовое равенство.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и называется несовместной, если она не имеет решений. Совместная система называется определенной, если она имеет одно решение,  и называется неопределенной, если она не имеет решений.

Пусть S1 , S2   системы линейных уравнений с одним и тем же числом неизвестных, X1 , X2    -  множества их решений соответственно.

Определение 3.  Говорят, что система линейных уравнений S2 следствие системы  S1 и  S2 , если каждое решение системы S1 является решением системы   S2 ,т.е. . Обозначаем  .

Определение  4. Говорят, что системы  S1 и  S2  равносильны, если каждое решение системы S1 является решением системы   S2 и каждое решение системы  S2 является решением системы S1 , т.е.  . Обозначаем  .

Отношение следования и равносильности обладают следующими свойствами.

1. Если  и  , то    (транзитивность).

Действительно, если и , то по определению 3 и Отсюда по свойству включения  и по определению .

2.   (рефлексивность).

3. Если , то   - (симметричность).

4. Если  и  , то  - (транзитивность).

Свойства 2, 3, 4 доказываются аналогично.

5. Элементарные преобразования системы линейных уравнений. 

Определение  5. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются ее следующие преобразования:

1) перестановка любых двух уравнений местами;

2) умножение обеих частей одного уравнения на  любое число ;

3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число k ;

(при этом все остальные уравнения остаются неизменными). 

Нулевым уравнением называем уравнение следующего вида:

.

Теорема 1. Любая конечная последовательность элементарных преобразований и преобразование вычеркивание нулевого уравнения переводит одну систему линейных уравнений в равносильную ей другую систему линейных уравнений.

Доказательство. В силу свойства 4 предыдущего пункта достаточно доказать теорему для каждого преобразования отдельно.

1. При перестановке уравнений в системе местами сами уравнения неизменяются, поэтому по определению полученная  система равносильная первоначальной .

2. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого уравнения. Умножим первое уравнение системы  (1)  на число  , получим систему

                                                                                 (2)

   Пусть   решение системы  (1) . Тогда числа   удовлетворяют всем уравнениям системы  (1).  Так как все уравнения системы  (2)  кроме первого совпадают с уравнениями системы  (1), то  числа  удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа  удовлетворяют первому уравнению системы  (1), то имеет место верное числовое равенство:

                                         .                                                 (3)

Умножая его на число  k,  получим верное числовое равенство:

                                       ,                                              (4)

т.о. устанавливаем, что   решение системы  (2).

Обратно, если   решение системы  (2), то числа   удовлетворяют всем уравнениям системы  (2).  Так как все уравнения системы  (1)  кроме первого совпадают с уравнениями системы  (2), то  числа  удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа  удовлетворяют первому уравнению системы  (2), то справедливо числовое равенство  (4). Разделив обе его части на число ,получим числовое равенство  (3) и доказываем, что   решение системы  (1).

Отсюда по определению 4 система  (1) равносильна системе  (2).

3. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого и второго уравнения системы . Прибавим к обеим частям  первому уравнению системы соответствующие части второго умноженные на  число k , получим систему

                                     (5)

Пусть   решение системы  (1) . Тогда числа   удовлетворяют всем уравнениям системы  (1).  Так как все уравнения системы  (5)  кроме первого совпадают с уравнениями системы  (1), то  числа  удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа  удовлетворяют первому уравнению системы  (1), то имеют место верные числовые равенства:

                                        ,                                                                    (6)

                                        .                                                                   (7)

Прибавляя почленно к первому равенству второе, умноженное на число   k получим верное числовое равенство:                                                                          

                   .                              (8)

Обратно, если   решение системы  (5), то числа   удовлетворяют всем уравнениям системы  (5).  Так как все уравнения системы  (1)  кроме первого совпадают с уравнениями системы  (5), то  числа  удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа  удовлетворяют первому уравнению системы  (5), то справедливо числовое равенство  (8). Вычитая из обеих его частей соответствующие части равенства (7) умноженные на  число k получим числовое равенство  (6).

Отсюда по определению 4 система  (1) равносильна системе  (5).

4. Так как нулевому уравнению удовлетворяет любой упорядоченный набор из n чисел, то при вычеркивании нулевого уравнения в системе получим систему равносильную исходной.

Теорема доказана.

6. Метод Гаусса. Критерий разрешимости систем линейных уравнений. Системе линейных уравнений  (1)  соответствуют три матриц

   ,                            .

Первая матрица называется матрицей системы, вторая - расширенной или присойдиненной матрицей системы, третья  - столбцом свободных членов.    

Система линейных уравнений называется системой ступенчатого вида, если расширенная матрица системы есть матрица ступенчатого вида. Неизвестные с коэффициентами неравными нулю, которые стоят первыми в уравнениях системы ступенчатого вида называются главными неизвестными, а остальные неизвестные называются свободными.

   Линейное уравнение, в котором все коэффициенты равны нулю, а свободный член не равен нулю, т.е. уравнение вида:

,

не имеет решений. Действительно, если  - решение этого уравнения, то получим   противоречие с условием. Такое уравнение называем противоречивым.

Пусть не все уравнения системы (1) нулевые. Тогда и расширенная матрица системы (1) ненулевая. По теореме 2 ее можно конечным числом элементарных преобразований и преобразований выбрасывания нулевой строки можно привести к матрице ступенчатого вида. Полученной матрице соответствует система линейных уравнений ступенчатого вида. Этим преобразованиям расширенной матрицы системы (1) соответствуют такие же преобразования системы линейных уравнений (1). По теореме 1 они переводят систему (1) в равносильную систему линейных уравнений, которая будет являются системой ступенчатого вида.

Таким образом мы доказали первую часть следующей теоремы.

Теорема 1. Любую систему линейных уравнений , содержащую ненулевое уравнение конечным числом элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевого уравнения можно привести к равносильной ей системе ступенчатого вида. При этом возможны следующие три случая.

1. Если в полученной системе линейных уравнений ступенчатого вида есть противоречивое уравнение, то данная система не имеет решений.

2. Если в полученной системе линейных уравнений ступенчатого вида нет противоречивого уравнения и число уравнений в полученной системе равно числу неизвестных, то данная система имеет единственное решение.

3. Если в полученной системе линейных уравнений ступенчатого вида нет противоречивого уравнения и число уравнений в полученной системе меньше числа неизвестных, то данная система имеет бесконечно много  решение.

Доказательство.  Пусть дана система (1), содержащая ненулевое уравнение. По выше доказанному, она конечным числом элементарных преобразований она может быть преобразована к равносильной ей  системе уравнений ступенчатого вида. Возможны случаи.

В полученной системе ступенчатого вида есть противоречивое уравнение. Тогда ни один набор чисел  не удовлетворяет системе, и система (1) не имеет решений.

В полученной системе ступенчатого вида нет противоречивого уравнения. Тогда в каждом из уравнений системы ступенчатого вида содержится главное неизвестное. Отсюда получаем, что число главных неизвестных, а тем более число всех неизвестных, не менее числа  уравнений в системе ступенчатого вида. Тогда возможны под случаи:

В системе ступенчатого вида число уравнений равно числу неизвестных, т. е.  система имеет вид:

                                                        (12)  

где   Все неизвестные в системе являются главными. Из последнего уравнения находим единственное значение для неизвестного  :  . Подставляя найденное значение  в предпоследнее уравнение, находим для неизвестного  единственное значение   и т.д. Наконец из первого уравнения по найденным значениям неизвестных   из первого уравнения находим единственное значение неизвестного  . Таким образом, система (12), а поэтому и система (1) имеет единственное решение.

В системе ступенчатого вида число уравнений меньше числа неизвестных. В этом случае матрица полученной системы имеет вид (11), а

систему можно записать в виде:

                                                   (13)

где   В этой системе  r главных неизвестных    , все остальные  свободные (в системе они обзначены точками. Возьмем для свободных неизвестных произвольные значения. Тогда значения главных неизвестных   найдутся однозначно из системы  (13). Так как главные неизвестные можно выбрать бесконечным числом способов, то получим, что система (13), а поэтому и система (1) имеет бесконечно много решений.

Теорема доказана.

Следствие. Если в системе однородных уравнений число неизвестных больше числа уравнений, то система имеет бесконечно много решений.

Действительно, система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение  , и при приведении ее к ступенчатому виду всегда получим систему, в которой число неизвестных  больше числа уравнений.

Метод исследования и решения систем линейных уравнений, изложенный в доказательстве теорем 3 называется методом  Гаусса.

Пример 1. Решить систему

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

.

Составим по полученной матрице ступенчатого вида систему линейных уравнений ступенчатого вида:

В полученной системе число уравнений равно числу неизвестных и полученная система имеет единственное решение, которое двигаясь вверх последовательно находим:

Решение системы  .

Пример 2. Решить систему

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

Соответствующая система имеет противоречивое уравнение. Поэтому данная система не имеет решений.

Пример 3. Решить систему

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

Составим систему ступенчатого вида:

 

Пусть свободная неизвестная    . Тогда находим

Решение системы  , где  .

По определению, ранг матрицы равен числу строк в матрице ступенчатого вида, которая получена из данной матрицы элементарными преобразованиями строк.  По теореме 1 система линейных уравнений неразрешима тогда и только тогда, когда в полученной системе ступенчатого вида есть противоречивое уравнение, т.е. в полученной расширенной матрице ступечатого вида есть строка, в которой все элементы кроме последнего равны нулю, а последний отличен от нуля. Что соответствует тому, что ранг расширенной матрицы на 1 больше ранга матрицы системы. Получаем, что система линейных уравнений неразрешима тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы не равен рангу расширенной матрицы системы.

В остальных двух случаях система разрешима и ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы. Получаем, что система линейных уравнений разрешима тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы. При этом имеем два случая. Если в системе ступенчатого вида число уравнений равно числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если в системе ступенчатого вида число уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений.  Первое равносильно тому, что ранг матрицы систем равен числу неизвестных системы, второе – тому, что ранг матрицы системы меньше числа неизвестных. Получаем следующую теорему, содержащую критерий разрешимости систем линейных уравнений.

Теорема 2 (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений разрешима (совместна) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы. При этом справедливы два случая:

  1.  если ранг матрицы системы равен числу неизвестных в системе, то система имеет единственное решение;
  2.  если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных в системе, то система имеет бесконечно много решение.

В примере 1 rang(A) = rang(B) = 3, ранг матрицы системы равен ранг расширенной матрицы системы и равен числу неизвестных в системе, поэтому система определенная (имеет единственное решение).

В примере 2 rang(A) = 3 < rang(B) = 4, ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы системы, поэтому система несовместна (не имеет решений).

В примере 3 rang(A) = rang(B) = 2, ранг матрицы системы равен ранг расширенной матрицы системы и меньше числа неизвестных в системе, поэтому система неопределенная (имеет бесконечно много решение).

 

Прямые на плоскости

7. Уравнение линии на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии на плоскости

Определение 1. Пусть f(x,y) - функция от двух действительных переменных x, y  и на плоскости задана аффинная система координат . Уравнение

f(x,y) = 0                                                                                (1)

называется уравнением линии l в данной системе координат, если выполняются два условия:

  1.  координаты x,y любой точки M(x,y)  l удовлетворяют уравнению (1);
  2.  если координаты x,y точки M(x,y) удовлетворяют уравнению (1), то точка M(x,y)  l.

Таким образом, M(x,y) l тогда и только тогда, когда f(x,y)= 0.

Пусть

                                                        (2)

- многочлен. Степенью ненулевого одночлена  называется сумма показателей его степеней неизвестных ki + li . Степенью многочлена называется наибольшая степень его  ненулевых членов. Степень многочлена обозначаем символом deg(f).

Например, степень многочлена  равна четырем.

Определение 2. Если f(x,y) многочлен степени n, и уравнение (1) является уравнением линии l, то линия l называется линией n -го порядка (в данной системе координат).

Теорема 1. Порядок линии l в аффинной системе координат не зависит от выбора аффинной системы координат и таким образом определяется однозначно.

Основными задачами аналитической геометрии в пространстве являются следующие задачи:

  1.  по определению линии составить ее уравнение в заданной пространственной системе координат;
  2.  по уравнению линии изучить ее свойства,  установить вид линии и изобразить ее.

Определение 2. Окружностью с центром в точке C радиуса r называется геометрическое место всех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до точки C равно r.

Обозначим окружность с центром в точке C радиуса символом S(C,r).

Выведем уравнение окружности в данной прямоугольной системе координат Oxy. Пусть C(x0,y0). По определению окружности точка M(x,y) принадлежит окружности с центром в точке C радиуса r тогда и только тогда, когда

CM = r.                (5)                                        

По формуле расстояния между двумя точками равенство (5) можно представить в виде:

.

Возведем в квадрат обе части полученного уравнения и находим уравнение окружности:

,                                (6)

которое равносильное первоначальному.

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (6) принимает вид:

.                                                                    (7)

Если в уравнении (6) раскрыть скобки, то его можно представить в виде:

,                                               (8)

где A = - x0, B = - y0,  С = x02 +  y02 - r2 .  Последнее равенство доказывает первую часть теоремы.

Теорема 2. Окружность является линией второго порядка в прямоугольной системе координат, уравнение которой можно представить в виде (8). Обратно, если A2 + B2 - C > 0, то уравнение (8) определяет окружность с центром в точке (-A, -B) радиуса .

Доказательство. Для доказательства второй части теоремы выделим в правой части формулы (9) полные квадраты и представим уравнение (8) в виде

(.

Последнее уравнение является уравнение окружности только тогда, когда A2 + B2 - C  > 0.  

Замечание 1. В полярной системе координат, начало которой совпадает с центром окружности, уравнение окружности радиуса r0 задается уравнением

r = r0.

Полярная координата не входят явно в уравнение окружности:  0, 2),  -/2, /2. Тогда по формулам перехода от полярной системы координат к прямоугольной системе координат получаем параметрические уравнения окружности:

                                      .                        (9)

Упражнение 1. Проверить, что любая точка M(x,y), координаты которой находятся по формулам (9), удовлетворяют уравнению сферы .

С помощью систем уравнений и неравенств могут быть в пространстве определены различные пространственные тела.

Определение 3. Кругом с центром в точке C радиуса r называется геометрическое место всех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до точки C не больше r.  

Упражнение 2. Докажите, что круг с центром в точке C(x0,y0) радиуса r задается неравенством

.

8. Различные уравнения прямой

1. Уравнения прямой в аффинной системе координат. Пусть на плоскости задана аффинная система координат (O,e1,e2) .

Определение 1. Направляющим вектором прямой a называется ненулевой вектор s параллельный прямой а.

Пусть s = (m,l), - направляющий вектор прямой а, M0(x0,y0)- точка, принадлежащая прямой а. Пусть M(x,y), произвольная точка плоскости

.

Тогда точка M принадлежит прямой а тогда и только тогда, когда векторы , s коллинеарны. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов равен нулю. Таким образом, получаем уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0,y0), параллельной вектору s = (m,l):

 .                                         (1)

Это уравнение можно переписать в виде:

.                                                                  (2)

Уравнение (2) называется каноническим уравнением прямой. Заметим, что если знаменатель в каноническом уравнении равен нулю, то и соответствующий числитель равен нулю.

Пусть M1(x1,y1) и M2(x2,y2) - две различные точки, принадлежащие прямой а. В качестве направляющего вектора прямой а возьмем вектор . Тогда по формуле (2) получаем уравнение прямой, проходящей через две точки:

.                                                                      (3)

Пример 1. Найдем уравнение прямой с направляющими векторами s = (B,-A), где A  0 или B  0. По формуле (1) находим уравнение этой плоскости:

.

Отсюда получаем уравнение

.                                                                (4)

Рассмотрим радиус вектора ro =  и r =. Точка M принадлежит прямой а тогда и только тогда, когда векторы = r - ro и s коллинеарны. Так как вектор s ненулевой, то последнее равносильно тому, что вектор r - ro линейно выражается через вектор s, т.е.

r - ro = ts,

где t - действительное число.

Отсюда получаем так называемое векторно-параметрическое уравнение плоскости:

r  =  ro + ts,                                                                                                                            (5)

где u, v - произвольныq действительный параметр.

Так как r == (x,y), ro = = (x0,y0), то запишем это уравнение в координатной форме. Получим параметрические уравнения прямой прямой а:

                                                                            (6)

где t - произвольный действительный параметр, s = (m,l) - направляющий вектор прямой а, M0(x0,y0) - точка, принадлежащая прямой а.

Найдем уравнение прямой, которая не проходит через начало координат и пересекает координатные оси в точках M1(a,0) и M2(0,b). По формуле (3) находим уравнение этой прямой:

.

Преобразуем полученное уравнение к более простому виду

(x - a)b + ya = 0,

xb+ ya = abc,

.                                              (7)

Уравнение (5) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

2. Уравнения прямой в прямоугольной системе координат. Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Oxy.

Определение 2. Нормальным вектором прямой a называется любой ненулевой вектор n перпендикулярный прямой а.

Пусть n = (A,B)  0, -нормальный  вектор прямой а, M0(x0,y0)- точка, принадлежащая прямой а. Пусть M(x,y), произвольная точка пространства,

 .

Тогда точка M принадлежит прямой а тогда и только тогда, когда векторы  и n ортогональны. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, Последнее в ортонормированном базисе можно записать в виде:

A(x - x0) + B(y - y0)  = 0.                               (8)

Таким образом, получаем уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0,y0) и перпендикулярной вектору n = (A,B)  0.

Определение 3. Углом наклона прямой a называется угол , на который необходимо повернуть ось Ox, чтобы ее направление совпало с направлением  прямой а.

Определение 4. Угловым коэффициентом k прямой a, не перпендикулярной оси Ox,называется тангенс угла наклона прямой а.

Пусть s = (m,l), - направляющий вектор прямой а, M0(x0,y0)- точка, принадлежащая прямой а. Угол наклона прямой а равен углу между вектором s и ортом оси Ox. Если вектор s не перпендикулярен оси Ox, то m  0 и

k = tg  = l/m.                                                                              (9)

Тогда из канонического уравнения (2) прямой находим

,

или

.                                                            (10)

Уравнение (10) называется уравнением прямой, проходящей через точку M0(x0,y0) с угловым коэффициентом k.

Из (10) находим уравнение

y = kx + b,                                                                      (10)

где b = y0 - kx0. Заметим, что b равно отрезку. отсекаемому прямой а на оси Ox. Уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Если на прямой а заданы две различные точки M1(x1,y1),  M2(x2,y2) и x1  x2, то угловой коэффициент k прямой а находится по формуле:

.                                                                   (12)

9. Общее уравнение прямой. Частные случаи.

Рассмотрим произвольное уравнение первого порядка

Ax  + By + C = 0,                                                                      (13)

где коэффициенты одновременно не равны нулю, т.е. A2+ B2+ C2  0.

Теорема 1. Любую прямая в произвольной аффинной системе координат можно задать уравнением (13) первого порядка и обратно любое уравнение (1) первого порядка в аффинной системе координат определяет прямую.

Доказательство. В силу теоремы 1 §4 порядок линии зависит от выбора аффинной системы координат. Поэтому достаточно доказать теорему для прямоугольной системы координат. Любую прямую в прямоугольной системе координат можно задать ее нормальным вектором n = (A,B)  0 и точкой M0(x0,y0), принадлежащей прямой. Уравнение этой прямой выведено в §2.2 и имеет вид:

A(x - x0) + B(y - y0)  = 0.

отсюда получаем

Ax + By +(-Ax0 - By0 )= 0,

Ax + By +C = 0,

где С = -Ax0 - By0. Так (A,B)  0, то A2+ B2  0 и любая прямая есть линия первого порядка.

Обратно, пусть некоторая линия на плоскости определена уравнением (13). Так как не все коэффициенты равны нулю, то уравнение (13) имеет решение (x0,y0). Тогда

Ax0 + By0 + C = 0,                                                                          (14)

и точка M0(x0,y0) принадлежит линии.  Вычитая почленно из уравнения (13) равенство (14), получим уравнение

A(x - x0) + B(y - y0) = 0,

которое равносильно уравнению (13). Это уравнение в силу §5.2, определяет прямую, проходящую через точку M0(x0,y0), перпендикулярную вектору n = (A,B).

Замечания 1. Уравнение (13) называется общим уравнением прямой. Если прямая a задана общим уравнением (13) в прямоугольной системе координат, то n = (A,B) -  нормальный вектор плоскости .

2. Если прямая a задается общим уравнением (13) в произвольной аффинной системе координат и A  0 или B  0, то s = (B,-A) - направляющий вектор прямая a.

3. Если B  0, то уравнение (13) можно записать в виде

.                                                                                   (15)

Следовательно, если система координат прямоугольная, то (15) является уравнением прямой с угловым коэффициентом .

Рассмотрим частные случаи уравнения (13).

1. Пусть  C = 0. Тогда уравнение (13) принимает вид: Ax + By + C = 0 и прямая a, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат (см. Рис.2 6).

2. Пусть  B = 0, A  0. Тогда уравнение (13) принимает вид: Ax + D = 0. Рассмотрим направляющий вектор s = (0,-A) этой прямой. Так как базисный вектор е1 = (0,1) оси Oy .коллинеарен вектору s2, то прямая a, определяемая этим уравнением, параллельна оси Oy (см. Рис. 27).

Упражнение 2. Обоснуйте второй частный случай в прямоугольной системе координат, опираясь на понятие нормального вектора.

3. Пусть B  0, A = 0. Тогда уравнение (1) принимает вид: By + C = 0.  Рассмотрим направляющиq вектор s = (B,0) этой прямой. Так как базисный вектор е1 = (1,0) оси Ox.коллинеарен вектору s, то прямая a, определяемая этим уравнением, оси  Ox  (см. Рис.2 8).

4. Пусть  A = 0, B  0, C = 0. Тогда уравнение (13) принимает вид: By = 0. Прямая a, определяемая этим уравнением совпадает с осью  Ox.

5. Если  A  0, B = 0, C = 0, то прямая a, определяемая уравнением (13) совпадает с осью  Oy.

10. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

  1.   Условие параллельности двух прямыхй.

Теорема 1. Пусть a  и b две плоскости, заданные своими общими уравнениями в аффинной системе координат:

a: A1x  + B1y + C1 = 0,

b: A2x  + B2y + C2 = 0,

A12 + B12  0, A22 + B22  0;

.

Тогда справедливы утверждения:

  1.  прямые a  и b пересекаются тогда и только тогда, когда

rang A = rang A = 2;

  1.  прямые a  и b параллельны тогда и только тогда, когда

rang A = 1, rang A = 2;

  1.  прямые a  и b совпадают тогда и только тогда, когда

rang A = rang A = 1.

Доказательство. Рассмотрим систему линейных уравнений:

                                                              (1)

Применим к исследованию системы (1) теорему Кронекера-Капелли.

Рассмотрим матрицу и расширенную матрицы системы (1):

.

Так как матрица А ненулевая, то rang A   1. Имеем rang A = rang A,  rang A  rang A  2. Тогда возможны следующие случаи:

1) rang A = rang A = 2. По теореме Кронекера-Капелли система (1) имеет единственное решение, и прямые a  и b пересекаются.

2) rang A = 1, rang A = 2. Тогда система (1) не имеет решений, и прямые a  и b не имеют общих точек, а поэтому параллельны.

  1.  rang A = rang A = 1.  Тогда при приведении системы (1) к ступенчатому виду в системе останется одно из уравнений исходной системы, и система равносильна одному из уравнений системы (1). Следовательно, множество решений системы (1) совпадает с множеством решений одного из уравнений системы (1) и прямые a  и b совпадают.

Обратные утверждения легко доказываются методом от противного. Пусть прямые a  и b пересекаются. Докажем, что rang A = rang A = 2. Допустим противное. Тогда rang A = 1, rang A = 2 или rang A = rang A = 1. Отсюда, по доказанному выше, a  b или a = b. Получаем противоречие с условием. Следовательно, допущение неверно и rang A = rang A = 2. Аналогично рассматриваются случаи a   или a = b.

Нетрудно проверить, что ранг двустрочной матрицы равен 1 тогда и только тогда, когда ее строки пропорциональны (проверьте самостоятельно). Тогда из теоремы 1 получаем следующее следствие.

Следствие. 1) Прямые a  и b пересекаются тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях прямых непропорциональны:

.                                                                              (2)

2) Прямые a  и b параллельны тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях прямых пропорциональны и не пропорциональны свободным членам:

.                                                                      (3)

3) Прямые a  и b совпадают тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях прямых пропорциональны и пропорциональны свободным членам:

.                                                                     (4)

Замечания 1. Совпадающие плоскости в некоторых случаях считаются также и параллельными, и в этом случае условие параллельности прямые может быть записано в виде:

.                                                                         (5)

2. Условие (5) параллельности прямых, заданных уравнениями

y = k1x + b1, y = k2x + b2

с угловым коэффициентом, может быть записано в виде

k1 = k2.                                                                              (6)

Упражнение 1. Докажите следствие теоремы 1 в случае прямоугольной системы координат, используя то, что нормальные вектора n1, n2 прямые a  и b могут быть заданы в виде: n1 = (A1,B1), n2 = (A2,B2) (выполнить чертеж).

11. Угол между прямыми. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости

Определение 1. Углом между пересекающимися прямыми называется величина любого из углов, который образуется при пересечении прямых. Если прямые параллельны или совпадают, то угол считается равным нулю.

Пусть a  и b две прямые, заданные своими общими уравнениями в прямоугольной системе координат:

a: A1x  + B1y + C1 = 0,

b: A2x  + B2y + C2 = 0,  

A12 + B12  0, A22 + B22  0.

Рассмотрим нормальные векторы n1 = (A1,B1), n2 = (A2,B2) прямых a  и b. В силу теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами угол между прямыми a  и b равен углу между нормальными векторами n1 и n2. По определению скалярного произведения векторов

n1n2 = n1 n2cos .

Отсюда находим формулу косинуса угла между прямыми a  и b:

.                                                    (7)

По формулам синуса и тангенса угла между векторами на плоскости находим:

,                                                   (8)

.                                                            (9)

Отметим, что формула (9) наиболее удобна, так как не содержит радикалов, но не верна в том случае, когда прямые a  и b перпендикулярны.

Заметим, что прямые a  и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда нормальные векторы n1 и n2 этих прямых ортогональны. По условию ортогональности векторов последнее равносильно тому, что скалярное произведение n1n2 = 0.  Так как n1n2 = A1A2+B1B2, то получаем теорему.

 Теорема 2. Прямые a  и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда

n1n2 = A1A2+B1B2 = 0.                                                           (10)

Если прямые заданны уравнениями

y = k1x + b1, y = k2x + b2

с угловым коэффициентом, то из формулы (9) находим формулу для нахождения угла между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами:

.                                                               (11)

Условие (10) перпендикулярности прямых в этом случае принимает вид:

k1k2 + 1 = 0.                                                                   (12)

12. Расстояние от точки до прямой

Определение 2. Расстоянием от точки M0 до прямой a называется длина перпендикуляра, опущенного из точки M0 на прямую a. 

Вычислим расстояние от точки M0(x0,y0) до прямой a, заданной в прямоугольной системе координат общим уравнением

: Ax  + By + C = 0,  A2 + B2  0.

Отпустим из точки M0(x0,y0) перпендикуляр M0M1 на прямой a, M1 - основание перпендикуляра. Рассмотрим вектор

 

и нормальный вектор n = (A,B) прямой. Так как векторы и n ортогональны одной и той же прямой, то он коллинеарны. Вычислим их скалярное произведение двумя способами.

С одной стороны, так как угол между векторами  и n равен 0 или 1800, по определению скалярного произведения имеем   n = n cos  =  n = dn, где d расстояние от точки M0 до прямой a.

С дугой стороны,

 n = A(x0 - x1) + B(y0 - y1) =

= Ax0 + By0 + (-Ax1 - B y1)

Так как точка M1  , то-Ax1 - B y1 = C1. Отсюда 

dn == Ax0 + By0 +C.

Таким образом, находим формулу расстояния от точки до прямой

.                                                                       (13)

Пример 1. Найти уравнения биссектрис, образованных двумя пересекающимися прямыми:

a: A1x  + B1y + C1 = 0,

b: A2x  + B2y + C2 = 0,  

A12 + B12  0, A22 + B22  0.

Так как биссектриса является геометрическим местом точек равноудаленных от прямых, образующих угол, то по формулы (1) получаем уравнения биссектрис углов, образованных при пересечении прямых:

.                                                   (14)

13. Геометрический смысл неравенства Ax  + By + C  0

На плоскости рассматривается аффинная система координат.

Теорема 1. Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству

Ax  + By + C 0                                  (1)

A2 + B2  0, является полуплоскостью, ограниченной прямой

a: Ax  + By + C = 0                                (2)

в которой лежит конец вектора n = (A,B), отложенного от произвольной точки прямой a.

Доказательство. 1. Сначала покажем, что функция f(x,y) = Ax  + By + C принимает значения одинаковых знаков, в точках каждой из полуплоскостей, на которые прямая a разбивает плоскость.

Пусть M1(x1,y1), M2(x2,y2) любые две точки плоскости, не принадлежащие прямой a, и которые не лежат на прямой параллельной прямой a. Тогда прямая M1M2 пересекает прямую a в точке M(x,y), которая делит отрезок в некотором отношении . Координаты точки M вычисляются по формулам:

.                                                         (3)

и удовлетворяют уравнению прямой a. Тогда справедливо равенство

Отсюда находим

.

Так как точка M2  a, то . Тогда

.

Точки M1 и M2 лежат по одну сторону от прямой a тогда и только тогда, когда точка M не принадлежит отрезку M1M2. Последнее верно тогда и только тогда, когда < 0. Следовательно, точки M1 и M2 лежат по одну сторону от прямой a тогда и только тогда, когда функция f(x,y) принимает в точках M1 и M2 значения одного знака (см. рис 32).

Точки M1 и M2 лежат по разные стороны от прямой a тогда и только тогда, когда точка M принадлежит отрезку M1M2. Последнее верно тогда и только тогда, когда > 0. Следовательно, точки M1 и M2 лежат по разные стороны от прямой a тогда и только тогда, когда функция f(x,y) принимает в точках M1 и M2 значения разных знаков (см. рис 33)..

Если точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2) лежат на прямой параллельной прямой a, то они расположены также по одну строну от прямой a. Чтобы доказать это необходимо взять еще одну точку M2(x3,y3) в той же полуплоскости, не лежащую на прямой M1M2. В силу доказанного функция f(x,y) принимает в точках M1 и M3, M2 и M2 значения одного знака. Тогда и точках M1 и M2 функция принимает значения одного знака.

Таким образом, функция f(x,y) принимает значения одного знака в каждой из полуплоскостей, на которые прямая a разбивает плоскость, и в разных полуплокостях эти знаки различны.

2. Отложим, от точки M1(x1,y1) a вектор n = (A,B) и получим такую точку M2(x2,y2), что = n = (A,B)  (см. рис 21).Отсюда x2 = x1 + A, y2 = y1 + B. Подставим координаты точки M2 в левую часть уравнения (2) и получим

f(x2,y2) = Ax2 + By2 + C = A(x1 + A) + B(y1 + B) + C =

= Ax1 + By1 + C + A2 + B2.

. Так как точка M1(x1,y1) a. то Ax1 + By1 + C = 0. Поэтому

f(x2,y2) = A2 + B2 > 0.

Пример 1. Найти уравнение биссектрисы острого угла, образованного  двумя a1:3x  + 4y - 5 = 0, a2:5x  - 12y + 3 = 0.

По формуле (2) § 6 находим уравнения биссектрис углов, образованных прямыми a1 и a2:

.

Получаем две биссектрисы b1 :7x  -56y + 40 = 0, b2 :8x  - y + 5 = 0. На биссектрисе b2 выбираем точку M1(0,5). Вычислим значения левых частей данных уравнений в точке M1: 30  + 45 - 5 = 25 0, 50  - 125 + 3 = - 57 0. Отложим от точки M1 нормальные вектора n1 = (3,4), n2 = (5,-12) данных прямых. В силу теоремы 1 вектор n1 направлен в от прямой a1, а вектор n2 направлен к прямой a2 (см. рис.15). Тогда угол между векторами n1 и n2 равен углу между прямыми a1 и a2 . Так как  n1n2 =35-412= -33 < 0   , то b2 - биссектриса тупого угла. Следовательно, искомая биссектриса b1:7x  -56y + 40 = 0.

Линии второго порядка

14. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса Исследование эллипса по каноническому уравнению. Эллипса и окружность. Эксцентриситет эллипса. Параметрические уравнения эллипса.

Определение 1. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 той же плоскости есть величина постоянная, большая, чем расстояние между точками F1, F2.

Точки называются фокусами, расстояние F1F2 называется фокальным расстоянием. Обозначаем его через 2с. Через 2а обозначим сумму расстояний от любой точки эллипса до фокусов. По определению a > c.

Выведем уравнение эллипса в прямоугольной системе координат Oxy, связанной с эллипсом. Для этого начало O системы координат поместим в середину отрезка F1F2, ось Ox направим по прямой F1F2. Такая система координат называется канонической. В выбранной системе координат фокусы имеют координаты F1(-c, 0) и F2(c, 0) .

Пусть M(x,y) произвольная точка плоскости Oxy. По определению 1 точка M принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда

MF1 + MF2 = 2c.                                   (1)

Находим

MF1 =, MF2 =.

Отсюда получим уравнение эллипса

.                    (2)

Для того, чтобы упростить это уравнение, запишем его в виде

и возведем обе его части в квадрат

или

Возведя полученное уравнение в квадрат, находим:

или

Обозначаем

и найденное выше уравнение запишем в виде

.                                                                              (3)

Мы доказали, что если точка лежит на эллипсе, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3). Докажем обратное, что если координаты точки M(x,y) удовлетворяют уравнению (3), то она принадлежит эллипсу. Для этого вычисляем расстояния MF1 и MF2.

MF1 ==

.

Из уравнения (3) получаем  ,

. Тогда

MF1 =.                                                                        (4)

Аналогично выводим, что

MF2 =.                                                                        (5)

Поэтому MF1 +MF2 =.

Таким образом, доказали, что (3) является уравнением эллипса.

Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипса. Отрезки MF1, MF2 называются фокальными радиусами точки M.

Замечание 1. Если точки F1 и F2 совпадают, то из определения 1 следует, что в этом случае эллипс превращается в окружность радиуса а. При этом уравнение (3) принимает вид x2 + y2 = a2.

Исследование эллипса по каноническому уравнению. Эллипса и окружность. Эксцентриситет эллипса. Параметрические уравнения эллипса. Выше доказано, что в канонической системе координат Oxy уравнение эллипса имеет вид:

.                                                                                      (3 )

1. Эллипс не проходит через начало системы координат, так как координаты точки О(0,0) не удовлетворяют уравнению (3 ).

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Для нахождения точки пересечения с осью Ох полагаем в уравнении (3 )  у = 0 и находим x = a. Таким образом эллипс пересекает ось Ох в  точках A1(-a, 0), A2(a, 0). Аналогично находим, что эллипс пересекает ось Оy в  точках B1(0,-b), B2(0, b).

Точки A1, A2, B1, B2 называются вершинами эллипса, отрезки A1A2, B1B2 осями эллипса; A1A2 =2a, B1B2 =2b; числа a, b называются полуосями эллипса. Так как a > b, то A1A2 называется большой осью, B1B2 - малой осью.

3. Так как  все переменные входят в уравнение (3 ) в четной степени, то вместе с точкой (x, y) эллипсу принадлежат четыре точки (x, y) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, эллипс симметричен относительно, всех координатных осей Ox, Oy и начала координат. Точка О называется центром эллипса.

4. Из уравнения эллипса находим, . Отсюда следует, что эллипс ограниченная линия, которая находится в прямоугольнике: -a  x  a, -b  y  b (см. рис. 18).

5. Исследуем поведение эллипса в первой четверти. Для этого выразим y из уравнения (3 ) через x:

.

Отсюда видим, в первой четверти  на отрезке [0, a] эллипс является графиком убывающей функции.

6. Любая прямая, проходящая через начало координат, пересекает эллипс в двух точках. Действительно, вертикальная прямая, ось Oy, пересекает эллипс в двух вершинах, любую другую прямую можно задать уравнением y = kx, k  R. Подставляя в уравнение (3 ) находим, что прямая пересекает эллипс в точках , где

Эллипса и окружность. Эксцентриситет эллипса.

Теорема 1. Любой эллипс, отличный от окружности может быть получен в результате сжатия окружности к диаметру.

Доказательство. Рассмотрим окружность с центром в точке О радиуса а, заданную уравнением . Произведем сжатие окружности к оси с коэффициентом , по формулам x = x,. Получим эллипс  c полуосями a, b. Таким образом, эллипс является образом окружности при преобразовании сжатия.  

Упражнение 1. Докажите, что любой эллипс является проекцией окружности x2 + y2 = a2, находящейся в плоскости на плоскость , которая образует с угол , cos  = b/a.  

Выведем параметрические уравнения эллипса. Рассмотрим две концентрические окружности с центром в начале координат, радиусов a и b. Рассмотрим произвольный луч, выходящий из точки О и пересекающий данные окружности соответственно в точках M1 и M2. Пусть луч образует угол t с осью Ox. Тогда точки M1 и M2 имеют координаты M1(acos t, asin t) и M2(bcos t, bsin t). Проведем через точку M1 прямую параллельную оси Oy, через M2 прямую параллельную оси Oy. Эти прямые пересекаются в точке M(acos t, bsin t). Покажем, что точка M лежит на эллипсе . Действительно, имеем

.

Теперь, чтобы доказать, что уравнения

                         (2)

являются параметрическими уравнениями эллипса достаточно показать, что координаты любой точки M(x1,y1) эллипса находятся по формулам (3 ). Так как , то найдется такое t[0,2), что  Поэтому x1 = acos t, y1 bsin t.

Замечание 1. Рассуждения, проведенные при выводе параметрических уравнений эллипса, дают способ построения сколь угодно много точек эллипса (см. рис. 20). 

Определение 1. Эксцентриситетом  эллипса называется число, равное отношению его фокального расстоянию с к длине его большей полуоси a: .

Из определения эллипса следует, что 0   < 1. Для окружности эксцентриситет равен нулю.

Так как   , то . Из этого соотношения получаем, что чем ближе к 1, тем меньше отношение b/a, при одинаковых значениях a тем более продолговатый эллипс.

15. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Исследование гиперболы по каноническому уравнению. Асимптоты гиперболы по каноническому уравнению.Равносторонняя гипербола. Эксцентриситет гипербол.

Определение 1. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек F1 и F2 той же плоскости есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между точками F1, F2.

Точки называются фокусами, расстояние F1F2 называется фокальным расстоянием. Обозначаем его через 2с. Через 2а обозначим модуль разности от любой точки гиперболы до фокусов. По определению a < c.

Выведем уравнение гиперболы в прямоугольной системе координат Oxy, связанной с гиперболой. Для этого начало O системы координат поместим в середину отрезка F1F2, ось Ox направим по прямой F1F2. Такая система координат называется канонической. В выбранной системе координат фокусы имеют координаты F1(-c, 0) и F2(c, 0) .

Пусть M(x,y) произвольная точка плоскости Oxy. По определению 1 точка M принадлежит гиперболt тогда и только тогда, когда

MF1 - MF2 = 2c.                                   (1)

Находим

MF1 =, MF2 =.

Отсюда получим уравнение гиперболы

.                    (2)

Для того, чтобы упростить это уравнение, запишем его в виде

и возведем обе его части в квадрат

или

Возведя полученное уравнение в квадрат, находим:

или

Обозначаем

и найденное выше уравнение запишем в виде

.                                                                             (3)

Мы доказали, что если точка лежит на гиперболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3). Докажем обратное, что если координаты точки M(x,y) удовлетворяют уравнению (3), то она принадлежит гиперболе. Для этого вычисляем расстояния MF1 и MF2.

MF1 ==

.

Из уравнения (3) получаем , , где знак перед скобками совпадает со знаком x. Тогда

MF1 = .                                        (4)

Аналогично выводим, что

MF2 =.                                           (5)

Поэтому MF1 +MF2 = .

Таким образом, доказали, что уравнение (3) является уравнением гиперболы.

Уравнение (3) называется каноническим уравнением гиперболы. Отрезки MF1, MF2 называются фокальными радиусами точки M.

Исследование гиперболы по каноническому уравнению. Асимптоты гиперболы по каноническому уравнению.Равносторонняя гипербола. Эксцентриситет гипербол

Выше доказано, что в канонической системе координат Oxy уравнение гиперболы имеет вид:

.                                                                                   (3)

1. Гипербола не проходит через начало системы координат, так как координаты точки О(0,0) не удовлетворяют уравнению (3 ).

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Для нахождения точки пересечения с осью Ох полагаем в уравнении (3 )  у = 0 и находим x = a. Таким образом гипербола пересекает ось Ох в  точках A1(-a, 0), A2(a, 0). Так как уравнение (3) не имеет решений при у = 0, то гипербола не пересекает ось Оy.

Точки A1, A2 называются действительными вершинами гиперболы, отрезок A1A2, B1B2 действительной осью гиперболы; A1A2 =2a; a называются действительной полуосью гиперболы. Точки B1(0,-b), B2(0, b) называются мнимыми вершинами гиперболы, отрезок B1B2 мнимой осью гиперболы; B1B2 =2b; b называются мнимой полуосью гиперболы.

3. Так как все переменные входят в уравнение (3 ) в четной степени, то вместе с точкой (x, y) гиперболе принадлежат четыре точки (x, y) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, гипербола симметрична относительно, всех координатных осей Ox, Oy и начала координат. Точка О называется центром гиперболы.

4. Из уравнения гиперболы находим, . Отсюда следует, что гипербола не ограниченная линия, которая находится в объединении полос: - < x  a, a x <+ (см. рис. 21).

5. Исследуем поведение гиперболы в первой четверти. Для этого выразим y из уравнения (3 ) через x:

.

Отсюда видим, что в первой четверти на промежутке a x <+ гипербола является графиком возрастающей функции.

6. Исследуем пересечения гиперболы с прямыми, проходящими через начало координат. Вертикальная прямая, ось Oy, не пересекает гиперболу. Рассмотрим любую другую прямую, которую можно задать уравнением y = kx, k  R. Подставляя в уравнение (3 ) находим, что прямая пересекает гиперболу только при  и пересекает ее в двух точках  где

Асимптоты гиперболы по каноническому уравнению. Равносторонняя гипербола. Эксцентриситет гипербол

Определение 1. Прямая называется асимптотой линии l, если точка по линии l, двигаясь к бесконечности, неограниченно приближается к данной прямой.

Теорема 1. Асимптотами гиперболы, заданной каноническим уравнением (3) из § 6, являются прямые .

Доказательство. В силу симметрии гиперболы относительно осей координат достаточно доказать теорему для прямой d: и точек гиперболы, лежащих в первой четверти, где она задается уравнением . Рассмотрим произвольную прямую x=x1, которая пересекает эллипс в точке M(x1,y1), где , а прямую d  в точке N(x1,y2), где .

Так как , то точка M лежит выше точки N. Пусть MP перпендикуляр, опущенный из точки M, на прямую d. Тогда имеем

.

Если x1 , то точка M стремится по гиперболе к бесконечности. При этом длина отрезка MP стремится к нулю, и прямая d является асимптотой. 

Определение 2. Эксцентриситетом  гиперболы называется число, равное отношению его фокального расстоянию с к длине его действительной полуоси a: .

Из определения гиперболы следует, что > 1. Для окружности эксцентриситет равен нулю.

Так как   , то . Из этого соотношения получаем, что чем ближе к 1, тем меньше отношение b/a, и тем меньше угол между осью Ox и асимптотами, чем больше , тем больше отношение b/a, и тем больше между осью Ox и асимптотами.

Определение 3. Гипербола называется равносторонней, если у нее действительная и мнимая полуоси равны, т. е. a = b.

Покажем, что обычная школьная гипербола, которая является графиком функции , является равносторонней. Запишем его в виде xy = k и повернем систему координат Oxy на угол  по формулам:

Получим ее уравнение в новой системе координат Oxy

или

.

Таким образом, график обратной пропорциональности равнобочная гипербола.

Замечание 1. С помощью циркуля и линейки можно построить сколь угодно много точек на гиперболе. Пусть действительная ось гиперболы A1A2, фокусы гиперболы F1, F2. Для этого произвольным радиусом r начертим окружность с центром в точке F2, и радиусом r + 2a с центром в точке F1. Точки пересечения окружностей лежат на гиперболе (см. рис. 24).

16. Парабола. Каноническое уравнение параболы.

Исследование параболы по каноническому уравнению

Определение 1. Параболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой d, которая не проходит через точку F.

Точка F называются фокусами, расстояние от фокуса параболы до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается через p.

 Выведем уравнение параболы в прямоугольной системе координат Oxy, связанной с гиперболjq. Для этого начало O системы координат поместим в середину перпендикуляра, опущенного из точки F на директрису. Ось Ox направим по прямой KF. Ось Oy - прямую проходящую через О параллельно директрисе. Такая система координат называется канонической. В выбранной системе координат фокус имеет координаты F(p/2, 0), директриса уравнение x = - p/2. 

Пусть M(x,y) произвольная точка плоскости Oxy, M1 проекция точки M на директрису. Точка M1 имеет координаты: M1(- p/2,  y). По

определению 1 точка M принадлежит параболе тогда и только тогда, когда

MF = MM1.                                   (1)

Находим

MF =, MM1 =.

Отсюда получим уравнение параболы

=.

Для того, чтобы упростить это уравнение, и возведем обе его части в квадрат

или

.                                           (2)

Мы доказали, что если точка лежит на параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению (2). Докажем обратное, что если координаты точки M(x,y) удовлетворяют уравнению (2), то она принадлежит параболе. Для этого вычисляем расстояния MF.

MF = =.

Таким образом, доказали, что уравнение (2) является уравнением параболы.

Уравнение (2) называется каноническим уравнением параболы. Отрезок MF называются фокальными радиусами точки M.

Исследуем параболу по каноническому уравнению.

1. Парабола проходит через начало системы координат, так как координаты точки О(0,0) удовлетворяют уравнению (2) и парабола пересекает оси только в начале координат и эта точка называется вершиной гиперболы.

2. Так как переменная y входит в уравнение (2) в четной степени, то вместе с точкой (x, y) параболе принадлежат две точки (x, y) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, парабола симметрична относительно координатной оси Ox.

3. Из уравнения параболы находим x  0, и она находится в полосе 0 x <+ (см. рис. 24).

4. Исследуем поведение параболы в первой четверти. Для этого выразим y из уравнения (2) через x:

.

Отсюда видим, что в первой четверти на промежутке 0 x <+ парабола является графиком возрастающей функции.

4. Исследуем пересечения гиперболы с прямыми, проходящими через начало координат. Вертикальная и горизонтальная прямые, оси Oх, Oy пересекает параболу только в начале координат. Рассмотрим любую другую прямую, которую можно задать уравнением y = kx, k  0. Подставляя в уравнение (1) находим, что прямая пересекает параболу в двух точках .

Замечание 1. С помощью циркуля и линейки можно построить сколь угодно много точек на параболе. Проведем прямую параллельную директрисе на расстоянии r, и с центром в фокусе F, радиусом r. Точки пересечения прямой и окружностей лежат на параболе (см. рис. 26).

17. Директориальные свойства эллипса, гиперболы

и параболы.. Уравнение кривой второго порядка в полярной системе координат. Конические сечения

Определение 1.  Директрисами эллипса и гиперболы называются две прямые, параллельные оси Oy канонической системы координат, и отстоящие от нее на расстоянии , - длина большой (действительно) полуоси, - эксцентриситет соответствующей кривой. Директриса, расположенная по туже сторону от оси Oy, что и фокус F называется соответственной фокусу F.

Эксцентриситет параболы считается равным 1.

Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы имеют степень 2, поэтому эти кривые являются кривыми второго порядка. Под кривой второго порядка в этом и следующем параграфах мы понимаем именно только три указанные вида кривых. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 1(директориальное свойство). Кривая второго порядка (эллипс гипербола, парабола) есть множество всех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до фокуса F к расстоянию до соответствующей директрисы d постоянно и равно эксцентриситету .

Доказательство. Докажем утверждение теоремы для фокуса F1 и соответствующей директрисы d1 эллипса. Пусть M(x,y) произвольная точка эллипса,  M1 проекция точки M на директрису. Точка M1 имеет координаты: M1(- a/,  y). Вычислим расстояния. По формуле (4) § 1  MF1 =. Далее  MM1=. Поэтому .

Обратно M(x,y) произвольная точка плоскости, M1 проекция точки M на директрису и . Имеем MF1 =, MM1= =.  Отсюда находим

=.

Преобразуя это уравнение и возводя обе части его в квадрат, получаем  

.

Так как , то полученное уравнение преобразуем к виду

Так как  , то приходим к выводу, что координаты точки M удовлетворяют уравнению эллипса, и она принадлежит эллипсу.

Упражнение 1. Проверьте справедливость утверждения теоремы для фокуса F2 и директрисы d2. Докажите теорему для гиперболы и параболы.

Замечание 1. Утверждение теоремы по сути дает общее определение кривой второго порядка.

Уравнение кривой второго порядка в полярной системе координат

Пусть кривая второго порядка задана фокусом F и соответствующей директрисой d. Выведем уравнение кривой второго в полярной системе координат определенно следующим образом. В качестве полюса полярной системы координат возьмем фокус F, а полярную ось направим перпендикулярно и сторону противоположную директрисе (см. рис. 29).

Через фокус проведем прямой параллельной директрисе, который пересекает кривую в двух точках K K . Длину отрезка FK назовем фокальным параметром кривой второго порядка, и обозначим через p.

По теореме 1 § 8 точка M принадлежит кривой второго порядка тогда и только тогда когда , - эксцентриситет кривой, M1 - проекция точки M на директрису. Отсюда получаем

.                                          (1)

Аналогичное равенство имеет место и для точки . Отсюда находим .

Пусть точка M имеет полярные координаты M(r, ). Тогда из (1) получим

,                           (2)

где точка A пересечения прямых FK и MM1. Далее AM1 = KK1 = p/, и MM1 = rcos . Тогда из (2) получим уравнение кривой второго порядка

.                                      (3)

Можно показать, что если полярные координаты точки M(r, ) удовлетворяют уравнению (3), то выполняется равенство (1), и  точка M принадлежит кривой второго порядка. Нетрудно доказать (докажите!), что 1- cos   0. Тогда уравнение (3) можно преобразуем к виду:

.                                                                             (4)

Для эллипса 0 < < 1. Если принимает все значения из промежутка  [0, 2), то получим все точки эллипса.

Для параболы = 1. Если принимает все значения из промежутка  (0, 2), то получим все точки все точки параболы.

Для гиперболы > 1. Если принимает все значения из промежутка  (-, ), где - угол наклона асимптоты, то получаем все точки только одной ветви гиперболы.

Конические сечения

Определение 2.  Пусть в пространстве даны две прямые a и b пересекающиеся в точке S. Круговой конической поверхностью называем поверхность, которая получается вращением, прямой a относительно прямой b. Прямая a называется образующей, b- осью, точка S - вершиной  конической поверхности (см. рис. 29).

Докажем теорему.

Теорема 2. Любое сечение конической поверхности плоскостью, не проходящей через вершину конической поверхности кривая второго порядка.

Доказательство. Пусть плоскость не проходит через вершину S пересекает коническую поверхность по линии l  (на рис.2  плоскость пересекает все образующие одной половины конической поверхности). Предполагаем, что плоскость не перпендикулярна оси конической поверхности. Действительно, если плоскость перпендикулярна оси конической поверх

ность, то в сечении получается окружность. Впишем в коническую поверхность сферу так, что она касается плоскости (точка F - точка касания). Сфера касается конической поверхности по окружности k, которая лежит в плоскости , перпендикулярной оси конической поверхности. Плоскости и пересекаются по прямой d. Докажем по теореме 1 , что линия l является кривой второго порядка с фокусом F и директрисой d.

Возьмем произвольную точку M на линии l. Соединим точку с точками и . Прямая пересекает окружность в точке . По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности MF = MB. Пусть C - проекция точки на плоскость, D - проекция точки на прямую, и соответственно угол между плоскостями и и угол между плоскостью и образующими конической поверхности.. Тогда имеем

.                  (1)

По  теореме 1 § 8, что линия l является кривой второго порядка с фокусом.

Из формулы (1) следует, что эксцентриситет кривой второго порядка, лежащей в коническом сечении находится по формуле . Далее монотонно возрастающая функция в первой четверти. Отсюда получаем:

Если 0< < 1, то < , и в сечении получается эллипс. Это будет в случае, когда сечение пересекает все образующие одной половины конической поверхности (см. рис 31).

Если = 1, то = , и в сечении получается парабола. Это будет в случае, когда сечение параллельно одной из образующих конической поверхности (см. рис 32)..

Если 0< < 1, то > , и в сечении получается гипербола. Это будет в случае, когда сечение пересекает обе половины конической поверхности (см. рис 33).

18 Классификация кривых второго порядка.

                                                        (1)

Рассмотрим четыре числа, связанных с кривой второго порядка для кривой второго порядка, заданной уравнением (1):

и .

Теорема 1. Числа I, и  кривой второго порядка не изменяются при преобразованиях поворота плоскости.

Доказательство. определители , то отсюда получаем, = A С и  = -A С F , F = -/. 

При  0 условие F =0 равносильно тому, что =0. Получаем следующую теорему.

Теорема 1. Если  > 0, то кривая второго порядка является либо эллипс при , либо мнимым эллипсом при , либо точкой при = 0. Если  < 0, то кривая второго порядка является либо гиперболой   0 либо парой пересекающихся прямых при = 0.

 После выделения полных квадратов в случае 2 матрицы уравнения будут иметь вид:

и .

Так как используемые в доказательстве теоремы 1 § 11 преобразования не меняют определители , то отсюда получаем, = 0 и  = -D С D. 

При  = 0 условие D =0 равносильно тому, что =0. Повторив рассуждения первого случая получаем следующую теорему.

Теорема 2. Если  = 0, то кривая второго порядка является либо параболой при   0, либо парой прямых (параллельных, пара мнимых параллельных прямых, пара совпадающих прямых) = 0.

Определитель называется дискриминантом кривой второго порядка. В зависимости от  кривые разделяются на три класса.

  1.   > 0. Кривые эллиптического типа.   2.  < 0. Кривые гиперболического типа. 3.  = 0. Кривые параболического типа.

В зависимости от  кривые разделяются на два класса.

  1.    0. Невырожденные кривые. 2.  = 0. Вырожденные кривые.

Если   0, то кривые являются центрально симметричными и имеют один центр симметрии. Из уравнения (1) § 11 замечаем, что кривая будет центрально симметричной тогда и только тогда, когда существует такой параллельный перенос системы координат x = x0 + + x, y = y0 + y,  при котором в нуль члены первые степени неизвестных. Подставляя в уравнение (1) § 11 получаем, что это будет только тогда, когда (x0, y0) - решение системы уравнений:

                                                                                 (2)

Отсюда получают следующий алгоритм приведения кривой к каноническому виду.

Если   0, то решая систему (2) находим центр кривой O(x0, y0) и приводим параллельным переносом осей координат кривую к виду ,затем осуществляя поворот осей координат, приводим ее к каноническому виду.

Если  = 0, то сначала проводим поворот осей координат и приводим кривую к виду (7) § 11 , затем параллельный перенос осей координат, приводим ее к каноническому виду. 

Доказывается, что для любая кривая 2-го порядка принадлежит к одному из 9 следующих типов кривых:

  1.  Эллипс. Каноническое уравнение его: .
  2.  Точка. Каноническое уравнение ее .
  3.  Мнимый эллипс. Уравнение его .

4)   Гиперболоид. Уравнение ее .

5) Пара пересекающихся прямых. Уравнение ее .

  1.  Парабола. Уравнение ее  .
  2.  Пара параллельных прямых. Уравнение ее .
  3.  Пара совпадающих прямых. Уравнение ее .
  4.  Пара мнимых параллельных прямых. Уравнение ее .

Плоскость и прямая в пространстве

17. Уравнения поверхности в пространстве. Уравнение сферы.

Определение 1. Пусть f(x,y,z) - функция от трех действительных переменных x, y, z  и в пространстве задана аффинная система координат . Уравнение

f(x,y,z) = 0                                                                        (1)

называется уравнением поверхности  в данной системе координат, если выполняются два условия:

  1.  координаты x,y,z любой точки M(x,y,z)  удовлетворяют уравнению (11);
  2.  если координаты x,y,z точки M(x,y,z) удовлетворяют уравнению (11), то точка M(x,y,z) .

Таким образом, M(x,y,z) тогда и только тогда, когда f(x,y,z)= 0.

Если f(x,y,z) многочлен степени n, то поверхность называется поверхность n - го порядка.

Основными задачами аналитической геометрии в пространстве являются следующие задачи:

  1.  по определению поверхности составить ее уравнение в заданной пространственной системе координат;
  2.  по уравнению поверхности изучить ее свойства,  установить вид поверхности и изобразить ее.

Определение 2. Сферой с центром в точке C радиуса r называется геометрическое место всех точек пространства, для каждой из которых расстояние до точки C равно r. 

Обозначим сферу с центром в точке C  радиуса символом S(C,r).

Выведем уравнение сферы в данной прямоугольной системе координат Oxyz. Пусть C(x0,y0,z0). По определению сферы точка M(x,y,z) принадлежит сфере с центром в точке C радиуса r тогда и только тогда, когда

CM = r.                                             (2)                                        

По формуле расстояния между двумя точками равенство (2) можно представить в виде:

.

Возведем в квадрат обе части полученного уравнения и находим уравнение сферы:

,           (3)

которое равносильное первоначальному.

Если центр сферы совпадает с началом координат, то уравнение (3) принимает вид:

.                                       (4)

С помощью систем уравнений и неравенств могут быть в пространстве определены различные пространственные тела.

Определение 3. Шаром с центром в точке C радиуса r называется геометрическое место всех точек пространства, для каждой из которых расстояние до точки C не больше r.  

Шар с центром в точке C(x0,y0,z0) радиуса r задается неравенством

.

18. Различные уравнения плоскости

Пусть в пространстве R 3 задана прямоугольная система координат Oxyz.

Определение 1. Нормальным вектором плоскости  называется любой ненулевой вектор n перпендикулярный плоскости .

Пусть n = (A,B,C)  0, -нормальный  вектор плоскости , M0(x0,y0,z0)- точка, принадлежащая плоскости . Пусть M(x,y,z), произвольная точка пространства,

.

Тогда точка M принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда векторы  и n ортогональны. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, Последнее в ортонормированном базисе можно записать в виде:

A(x - x0) + B(y - y0) +C(z - z0) = 0 .                                                                         (1)

Таким образом, получаем уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору n = (A,B,C)  0.

Рассмотрим произвольное уравнение первого порядка

Ax  + By + Cz + D = 0,                                                                                    (2)

где коэффициенты одновременно не равны нулю, т.е. A2+ B2+ C2  0.

Теорема 1. Любую плоскость в произвольной аффинной системе координат можно задать уравнением (1) первого порядка и обратно любое уравнение (1) первого порядка в аффинной системе координат определяет плоскость.

Доказательство. Достаточно доказать теорему для прямоугольной системы координат. Любую плоскость в прямоугольной системе координат можно задать ее нормальным вектором n = (A,B,C)  0 и точкой M0(x0,y0,z0), принадлежащей плоскости. Уравнение этой плоскости выведено в §2.2 и имеет вид:

A(x - x0) + B(y - y0) +C(z - z0) = 0.

отсюда получаем

Ax + By +Cz +(-Ax0 - By0 - Cz0)= 0,

Ax + By +Cz + D= 0,

где D = -Ax0 - By0 - Cz0. Так (A,B,C)  0, то A2+ B2+ C2  0 и любая плоскость есть поверхность первого порядка.

Обратно, пусть некоторая поверхность в пространстве определена уравнением (1). Так как не все коэффициенты равны нулю, то уравнение (1) имеет решение (x0,y0,z0). Тогда

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0,                                                               (3)

и точка M0(x0,y0,z0) принадлежит поверхности.  Вычитая почленно из уравнения (1) равенство (2), получим уравнение

A(x - x0) + B(y - y0) +C(z - z0) = 0,

равносильное уравнению (1). Это уравнение в силу §2.2, определяет плоскость, проходящую через точку M0(x0,y0,z0), перпендикулярную вектору n = (A,B,C).

Определение 2. Направляющими векторами плоскости  называется пара неколлиниарных векторов s1 и s2 параллельных плоскости .

Пусть s1 = (m1,k1,l1), s2 = (m2,k2,l2)  -направляющие вектора плоскости , M0(x0,y0,z0)- точка, принадлежащая плоскости . Пусть M(x,y,z), произвольная точка пространства,

.

Тогда точка M принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда векторы , s1 и s2 компланарны. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов равен нулю. Таким образом, получаем уравнение плоскости по двум направляющим векторам и точке, принадлежащей плоскости 

 .                                                              (4)

Пример 1. Найдем уравнение плоскости с направляющими векторами s1 = (B,-A,0), s2 = (C,0,-A), где A  0. Так как векторы s1 и s2 неколлиниарны, то формуле (4) находим уравнение этой плоскости:

.

Отсюда находим

.

Сократим на A  0  и получаем уравнение

.                                                   (5)

Рассмотрим радиус вектора ro =  и r =. Точка M принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда векторы = r - ro, s1 и s2 компланарны. Так как векторы s1 и s2 неколлинеарны, то последнее равносильно тому, что вектор r - ro линейная комбинация векторов s1 и s2, т.е. r - ro = us1 +vs2, где u, v - действительные числа.

Отсюда получаем так называемое векторно-параметрическое уравнение плоскости.

r  =  ro + us1 +vs2,                                                                                                               (6)

где u, v - произвольные действительные параметры.

Так как r == (x,y,z), ro = = (x0,y0,z0), то запишем это уравнение в координатной форме. Получим параметрические уравнения плоскости:

                                         (7)

где u, v - произвольные действительные параметры, s1 = (m1,k1,l1), s1 = (m2,k2,l2) - направляющие вектора плоскости, M0(x0,y0,z0)- точка, принадлежащая плоскости.

Пусть даны три точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3) плоскости , которые не принадлежат одной прямой. Тогда векторы ,    

являются направляющими векторами плоскости . Применяя формулу (4) получим уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

.                                  (8)

   Пусть плоскость не проходит через начало координат и пересекает оси Ox, Oy, Oz соответственно в точках M1(a,0,0), M2(0,b,0), M3(0,0,c). По формулу (8) находим уравнение плоскости, проходящей через эти три точки

.

Вычислим этот определитель и преобразуем полученное уравнение к более простому виду

(x - a)bc + yac + zab = 0,

xbc + yac + zab = abc,

.                                                                    (9)

Уравнение (5) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

.Замечание 1. Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости. Если плоскость задается общим уравнением (1) в прямоугольной системе координат, то n = (A,B,C) -  нормальный вектор плоскости .

Если плоскость задается общим уравнением (1) в произвольной аффинной системе координат и A  0, то s1 = (B,-A,0), s2 = (C,0,-A) направляющие вектора плоскости .

Рассмотрим частные случаи уравнения (1).

1. Пусть  D = 0. Тогда уравнение (1) принимает вид: Ax + By + Cz = 0 и плоскость, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат (см. Рис. 6).

2. Пусть  С = 0, A  0. Тогда уравнение (1) принимает вид: Ax + By + D = 0. Рассмотрим направляющие вектора s1 = (B,-A,0) и s2 = (0,0,-A) этой плоскости. Так как базисный вектор е3 = (0,0,1) оси Oz .коллинеарен вектору s2, то плоскость , определяемая этим уравнением, параллельна оси Oz  (см. Рис. 7).

3. Пусть  B=0, С = 0, A  0. Тогда уравнение (1) принимает вид: Ax + D = 0. Рассмотрим направляющие вектора s1 = (0,-A,0) и s2 = (0,0,-A) этой плоскости. Так как базисные векторы е2 = (0,1,0), е3 = (0,0,1) .коллинеарны соответственно векторам  вектору s1, s2, то плоскость , определяемая этим уравнением, параллельна координатной плоскости Ozy (см. Рис. 8).

19.  Взаимное расположение плоскостей. Углы между плоскостями.

Теорема 1. Пусть   и  две плоскости, заданные своими общими уравнениями в аффинной системе координат:

: A1x  + B1y + C1z + D1 = 0,

: A2x  + B2y + C2z + D2 = 0,

A12 + B12+ C12  0, A22 + B22+ C22  0;

.

Тогда справедливы утверждения:

  1.  плоскости и  пересекаются тогда и только тогда, когда

rang A = rang A = 2;

  1.  плоскости и  параллельны тогда и только тогда, когда

rang A = 1, rang A = 2;

  1.  плоскости и  совпадают тогда и только тогда, когда

rang A = rang A = 1.

Доказательство. Рассмотрим систему линейных уравнений:

                                                          (1)

Применим к исследованию системы (1) теорему Кронекера-Капелли.

Рассмотрим матрицу и расширенную матрицы системы (1):

.

Так как матрица А ненулевая, то rang A   1. Имеем rang A = rang A,  rang A  rang A  2. Тогда возможны следующие случаи:

1) rang A = rang A = 2. По теореме Кронекера- Капелли система (1) разрешима и плоскости и имеют общие точки. Так как при решении системы (1) методом Гаусса число свободных неизвестных равно 1, а не двум, то не все решения системы (1) являются решениями первого уравнения системы и плоскости и не совпадают. Следовательно, плоскости  и  пересекаются. 

2) rang A = 1, rang A = 2. Тогда система (1) не имеет решений, и плоскости и не имеют общих точек, а поэтому параллельны.

  1.  rang A = rang A = 1.  Тогда при приведении системы (1) к ступенчатому виду в системе останется одно из уравнений исходной системы, и система равносильна одному из уравнений системы (1). Следовательно, множество решений системы (1) совпадает с множеством решений одного из уравнений системы (1) и плоскости и  совпадают.

Обратные утверждения легко доказываются методом от противного. Пусть плоскости пересекаются. Докажем, что rang A = rang A = 2. Допустим противное. Тогда rang A = 1, rang A = 2 или rang A = rang A = 1. Отсюда, по доказанному выше,      или = . Получаем противоречие с условием. Следовательно, допущение неверно и rang A = rang A = 2. Аналогично рассматриваются случаи    или = .

Нетрудно проверить, что ранг двухстрочной матрицы равен 1 тогда и только тогда, когда ее строки пропорциональны (проверьте самостоятельно). Тогда из теоремы 1 получаем следующее следствие.

Следствие. 1) Плоскости и  пересекаются тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях плоскостей непропорциональны:

                                                (2)

2) Плоскости и  параллельны тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях плоскостей пропорциональны и не пропорциональны свободным членам:

.                                                             (3)

3) Плоскости  и  совпадают тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях плоскостей пропорциональны и пропорциональны свободным членам:

.                                                              (4)

Замечание 1. Совпадающие плоскости в некоторых случаях считаются также и параллельными, и в этом случае условие параллельности плоскостей может быть записано в виде:

.

Взаимное расположение трех плоскостей. 

Пусть , и три плоскости, заданные своими общими уравнениями в аффинной системе координат:

: A1x  + B1y + C1z + D1 = 0,  

: A2x  + B2y + C2z + D2 = 0,  

: A3x  + B3y + C3z + D3 = 0,  

A12 + B12+ C12  0, A22 + B22+ C22  0, A32 + B32+ C32  0. Рассмотрим систему трех уравнений

                                                                   (5)

и матрицы

.

Заметим, что rang A  rang A и ранги матриц A и A могут отличаться только на единицу. Тогда возможны следующие случаи:

1. rang A = rang A = 3. Тогда система (5) имеет единственное решение и плоскости  , , пересекаются в одной точке (см. Рис. 10).

2. rang A = rang A = 2. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости  , , пересекаются по прямой. При этом, если строки матрицы непропорциональны, то среди плоскостей , , нет совпадающих (см. рис 11). Если две строки матрицы пропорциональны, то соответствующие плоскости совпадают (см. Рис. 12).

3. rang A = rang A = 1. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости  , , совпадают (см. рис 14).

4. rang A =2, rang A = 3. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A нет пропорциональных, то все три плоскости пересекаются друг с другом и не пересекаются вместе (см. рис 15). Если две из строк матрицы A пропорциональны, то две из плоскостей параллельны и третья их пересекает (см. рис 16).

 5. rang A =1, rang A = 2. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A есть пропорциональных, то все две плоскости совпадают друг с другом, а третья им параллельна (см. рис. 17). Если среди строк матрицы A нет пропорциональных строк, то все три параллельны друг с другу (см. рис. 18).

Угол между плоскостями.

Определение 1. Углом между пересекающимися плоскостями называется величина любого из двухгранных углов, который образуется при пересечении плоскостей.

Пусть  и две плоскости, заданные своими общими уравнениями в прямоугольной системе координат:

: A1x  + B1y + C1z + D1 = 0,

: A2x  + B2y + C2z + D2 = 0,  

A12 + B12+ C12  0, A22 + B22+ C22  0.

Рассмотрим нормальные векторы n1 = (A1,B1,C1), n2 = (A2,B2,C2) плоскостей  и . В силу теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами угол между плоскостями  и равен углу между нормальными векторами n1 и n2. По определению скалярного произведения векторов

n1n2 = n1 n2cos .

Отсюда находим формулу косинуса угла между плоскостями  и :

.                    (6)

Заметим, что плоскости  и перпендикулярны тогда и только тогда, когда нормальные векторы n1 и n2 этих плоскостей ортогональны. По условию ортогональности векторов последнее равносильно тому, что скалярное произведение n1n2 = 0.  Так как n1n2 = A1A2+B1B2+C1C2, то получаем теорему.

 Теорема 2. Плоскости   и  перпендикулярны тогда и только тогда, когда

n1n2 = A1A2+B1B2+C1C2 = 0.                                                         (7)

20. Расстояние от точки до плоскости. Геометрический смысл неравенства Ax  + By + Cz + D  0.

Определение 1. Расстоянием от точки M0 до плоскости  называется длина перпендикуляра, опущенного из точки M0 на плоскость . 

Вычислим расстояние от точки M0(x0,y0,z0) до плоскости , заданной в прямоугольной системе координат общим уравнением

: Ax  + By + Cz + D = 0,  A2 + B2+ C2  0.

Отпустим из точки M0(x0,y0,z0) перпендикуляр M0M1 на плоскость , M1 - основание перпендикуляра. Рассмотрим вектор

 

и нормальный вектор n = (A,B,C) плоскости. Так как векторы и n ортогональны одной и той же плоскости, то он коллинеарны. Вычислим их скалярное произведение двумя способами.

С одной стороны, так как угол между векторами  и n равен 0 или 1800, по определению скалярного произведения имеем   n = n cos  =  n = dn, где d расстояние от точки M0 до плоскости .

С дугой стороны,

 n = A(x0 - x1) + B(y0 - y1) +C(z0 - z1) =

= Ax0 + By0 +Cz0 + (-Ax1 - B y1 -C z1)

Так как точка M1  , то-Ax1 - B y1 -C z1 = D. Отсюда

dn == Ax0 + By0 +Cz0 + D.

Таким образом, находим формулу расстояния от точки до плоскости

.                                                               (1)

Геометрический смысл неравенства Ax  + By + Cz + D  0.

В пространстве рассматривается произвольная аффинная система координат.

Теорема 2. Множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют неравенству

Ax  + By + Cz + D  0                                                                          (2)

A2 + B2+ C2  0, является полупространством, ограниченным плоскостью

: Ax  + By + Cz + D = 0                                                                   (3)

в которой лежит конец вектора n = (A,B,C), отложенного от произвольной точки плоскости .

Доказательство. 1. Сначала покажем, что функция f(x,y,z) = Ax  + By + Cz + D принимает значения одинаковых знаков, в точках каждой из полупространств, на которые плоскость разбивает пространство.

Пусть M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) любые две точки пространства, не принадлежащие плоскости , и которые не лежат на прямой параллельной плоскости . Тогда прямая M1M2 пересекает плоскость в точке M(x,y,z), которая делит отрезок в некотором отношении . Координаты точки M вычисляются по формулам:

                                                         (4)

и удовлетворяют уравнению плоскости . Тогда справедливо равенство

Отсюда находим

.

Так как точка M2 , то . Тогда

.

Точки M1 и M2 лежат по одну сторону от плоскости тогда и только тогда, когда точка M не принадлежит отрезку M1M2. Последнее верно тогда и только тогда, когда < 0. Следовательно, точки M1 и M2 лежат по одну сторону от плоскости тогда и только тогда, когда функция f(x,y,z) принимает в точках M1 и M2 значения одного знака (см. рис 21).

Точки M1 и M2 лежат по разные стороны от плоскости тогда и только тогда, когда точка M принадлежит отрезку M1M2. Последнее верно тогда и только тогда, когда > 0. Следовательно, точки M1 и M2 лежат по разные стороны от плоскости тогда и только тогда, когда функция f(x,y,z) принимает в точках M1 и M2 значения разных знаков (см. рис 22).

Если точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) лежат на прямой параллельной плоскости , то они также расположены по одну строну от плоскости . Для того, чтобы это доказать, необходимо взять еще одну точку M2(x3,y3,z3) в том же полупространстве, не лежащую на прямой M1M2. В силу доказанного функция f(x,y,z) принимает в точках M1 и M3, M2 и M2 значения одного знака. Тогда в точках M1 и M2 функция принимает значения одного знака.

Таким образом, функция f(x,y,z) принимает значения одного знака в каждом из полупространств, на которые плоскость разбивает пространство, и в разных полупространствах эти знаки различны.

2. Отложим, от точки M1(x1,y1,z1) вектор n = (A,B,C) и получим такую точку M2(x2,y2,z2), что = n = (A,B,C)  (см. рис 23). Отсюда x2 = x1 + A, y2 = y1 + B, z2 = z1 + C. Подставим координаты точки M2 в левую часть уравнения (2) и получим

f(x2,y2,z2) = Ax2 + By2 + Cz2 + D = A(x1 + A) + B(y1 + B) + C(z1 + C)+ D =

= Ax1 + By1 + Cz1+ D + A2 + B2 + C2.

. Так как точка M1(x1,y1,z1). то Ax1 + By1 + Cz1+ D = 0. Поэтому

f(x2,y2,z2) = A2 + B2 + C2 > 0.

21. Различные уравнения прямой в пространстве

Пусть в пространстве задана аффинная система координат (O,e1,e2,e3) .

Определение 1. Направляющим вектором прямой a называется ненулевой вектор s, параллельный прямой a.

Пусть s = (m,k,l) -направляющие вектора прямой а, M0(x0,y0,z0)- точка, принадлежащая прямой а. Пусть M(x,y,z), произвольная точка пространства,

.

Точка M принадлежит прямой а тогда и только тогда, когда векторы и s коллинеарны. Последнее равносильно тому, что координаты этих векторов пропорциональны. Отсюда получаем уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0,y0,z0), параллельной вектору s = (m,k,l):  

.                                                          (1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением прямой. Заметим, что если знаменатель в каноническом уравнении равен нулю, то и соответствующий числитель равен нулю.

Пусть M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2) - две различные точки, принадлежащие прямой а. В качестве направляющего вектора прямой а возьмем вектор . Тогда по формуле (1) получаем уравнение прямой, проходящей через две точки:

.                                                  (2)

Рассмотрим радиус вектора ro =  и r =. Точка M принадлежит прямой а тогда и только тогда, когда векторы = r - ro и s коллинеарны. Так как вектор s ненулевой, то последнее равносильно тому, что вектор r - ro линейно выражается через вектор s, т.е.

r - ro = ts,

где t - действительное число.

Отсюда получаем так называемое векторно-параметрическое уравнение плоскости:

r  =  ro + ts,                                                                                                                 (3)

где t - произвольный действительный параметр.

Так как r == (x,y,z), ro = = (x0,y0,z0), то запишем это уравнение в координатной форме. Получим параметрические уравнения прямой прямой а:

                                                                              (4)

где t - произвольный действительный параметр, s = (m,k,l) - направляющий вектор прямой а, M0(x0,y0,z0) - точка, принадлежащая прямой а.

Прямую можно также представить как линию пересечения двух пересекающихся плоскостей и :

,                                                          (5)

где A12 + B12+ C12  0, A22 + B22+ C22  0;

Чтобы перейти от уравнений (4) прямой к каноническим уравнениям прямой необходимо найти точку M0 этой прямой и направляющий вектор этой прямой. Решив систему (4) и найдем одно ее частное решение (x0,y0,z0), M0(x0,y0,z0)- точка, принадлежащая прямой а.

Наиболее легко направляющий вектор прямой находится в прямоугольной системе координат исходя из определения векторного произведения векторов. Для этого рассмотрим нормальные вектора n1 = (A1,B1,C1), n2 = (A2,B2,C2) плоскостей  и . Направляющим вектором прямой пересечения плоскостей  и является векторное произведение векторов n1 , n2.

Находим векторное произведение векторов

n1  n2 = .

Таким образом, каноническое уравнение прямой (4) имеет вид:

.                                             (5)

  1.  Взаимное расположение прямых и плоскостей. Углы между прямыми.

Пусть две прямые a и b в пространстве, в некоторой аффинной системе координат заданные каноническими уравнениями

a:,                                               (1) b:.                                              (2)

Эти прямые a и b задаются своими направляющими векторами s1 = (m1,k1,l1), s2 = (m2,k2,l2) и точками M1(x1,y1,z1), M2(x1,y1,z1) которые принадлежат этим прямым. Рас-сотрим вектор .

Рассмотрим матрицу, составленную из координат этих векторов,

.

1. Прямые a и b скрещиваются тогда и только тогда, когда векторы , s1, s2  некомпланарны. Последнее равносильно тому, что det A не равен нулю, т.е. rang A = 3.

2. Прямые a и b пересекаются тогда и только тогда, когда векторы , s1, s2 компланарны, а векторы s1 и s2 неколлинеарны. Последнее равносильно тому, что det A =0, а и вторая и третья строки матрицы A непропорциональны,  т.е. rang A = 2, а ранг матрицы, составленной из двух последних строк равен 2.

3. Прямые a и b параллельны тогда и только тогда, когда векторы s1 и s2 коллинеарны, а векторы и s1 неколлинеарны. Последнее равносильно тому, что в матрице А вторая и третья строки пропорциональны, т.е. rang A = 2, а ранг матрицы, составленной из двух последних строк равен 1.

4. Прямые a и b совпадают тогда и только тогда, когда векторы , s1 и s2 попарно коллинеарны. Последнее равносильно тому, что все строки матрицы А попарно пропорциональны, т.е. rang A = 1.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть прямые a и b заданы каноническими уравнениями (1) и (2). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) a и b скрещиваются тогда и только тогда когда rang A = 3;

2) a и b пересекаются тогда и только тогда, когда rang A = 2, а вторая и третья строки матрицы A непропорциональны;

3) a и b параллельны тогда и только тогда, когда rang A = 2, а вторая и третья строки матрицы A пропорциональны;

  1.  a и b совпадают тогда и только тогда, когда rang A = 1.

Угол между прямыми в пространстве.

Определение 1. Углом между двумя прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным прямым.

Пусть две прямые a и b  в пространстве, в некоторой прямоугольной системе заданы каноническими уравнениями (1) и (2) из § 6.

Угол  между прямыми a и b равен углу между их направляющими векторами s1 = (m1,k1,l1), s2 = (m2,k2,l2). По определению скалярного произведения векторов

s1s2 = s1 s2cos .

Отсюда находим формулу косинуса угла между прямыми a и b:

.                                    (3)

Заметим, что прямыми a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы s1 и s2 ортогональны. По условию ортогональности векторов последнее равносильно тому, что скалярное произведение s1s2 = 0.  Так как s1s2 = m1m2+k1k2+l1l2, то получаем теорему.

 Теорема 2. Прямые a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда

n1n2 = m1m2+k1k2+l1l2 = 0.                                                                  (4)

23. Расстояние между двумя прямыми

Определение 1. Расстоянием между двумя прямыми a и b называется кратчайшее расстояние между точками этих прямых

Если прямые a и b пересекаются или совпадают, то расстояние между прямыми равно нулю. Если прямые параллельны или скрещиваются, то кратчайшее расстояние между ними равно длине общего перпендикуляра, проведенного к эти прямым.

Пусть прямые a и b  в пространстве, в некоторой прямоугольной системе заданы каноническими уравнениями (1) и (2) из § 6. Эти прямые a и b задаются своими направляющими векторами s1 = (m1,k1,l1), s2 = (m2,k2,l2) и точками M1(x1,y1,z1), M2(x1,y1,z1) которые принадлежат этим прямым, вектор . Рассмотрим два случая.

Прямые a и b параллельны.  Рассмотрим вектор = s1 и построим параллелограмм M1ABM2. Тогда расстояние d между прямыми a и b равно высоте h параллелограмма M1ABM2, опущенной на сторону M1A. По формуле площади S параллелограмма находим S = M1A h. Далее по определению векторного произведения имеем S =  . Следовательно,

.

Подставляя сюда координаты векторов получаем, что расстояние между параллельными прямыми находится по формуле.

Прямые a и b скрещиваются.  Через точки M1 и M2 проведем прямые a и b параллельные соответственно прямым a и b. От точки M1 отложим векторы, = s1 и = s2, на этих векторах построим параллелепипед M1AСBM2ABС. Расстояние между прямыми a и b равно расстоянию между плоскостями, в которых лежат основания M1AСB, M2ABС параллелепипеда, т.е. равно высоте h параллелепипеда. С одной стороны, объем параллелепипеда M1AСBM2ABС можно вычислить по формуле: V = Sh, где S - площадь основания M1AСB. С другой стороны, по свойству смешенного произведения V =. По определению векторного произведения S = . Отсюда получаем, что

.

Подставляя сюда координаты векторов получаем, что расстояние между скрещивающимися прямыми находится по формуле:

.

24. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Пусть в пространстве прямя a, в некоторой аффинной системе координат задана параметрическими уравнениями:

                                                                   (1)

плоскость задана общим уравнением:

: Ax  + By + Cz + D = 0.                                                                  (2)

Исследуем взаимное расположение прямой и плоскости. Для этого подставим из уравнений (1) в уравнения (2) и получим

A(x0 + mt) + B(y0 + kt) + C(z0 + lt) + D = 0,

 (Am + Bk + Cl)t + Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.                                                               (3)

Отсюда и из теоремы о линейном уравнении получаем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть дана прямая a и плоскость , заданные соответственно уравнениями (1) и (2). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) прямая и плоскость пересекаются тогда и только тогда, когда 

Am + Bk + Cl  0;                                                                      (4)

2) прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда

Am + Bk + Cl = 0, Ax0 + By0 + Cz0 + D 0;                                           (5)

  1.  прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда

Am + Bk + Cl = 0, Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.                                    (6)

Пусть в пространстве прямя a, в некоторой прямоугольной системе координат задана каноническими уравнениями:

а:,                                                             (7)

а плоскость задана общим уравнением:

: Ax  + By + Cz + D = 0.                                                                    (8)

Определение 1. Углом, между прямой а и плоскостью , которые пересекаются, называется угол между прямой а и ее проекцией на плоскость . Если прямая а и плоскость параллельны, то угол считается равным нулю.

Рассмотрим угол между направляющим вектором s = (m,k,l) - прямой а и нормальным вектором n = (A,B,C) плоскости . Тогда угол между прямой а и плоскостью равен   2 - . Тогда из формулы для скалярного произведения векторов находим, что

sin  = cos  =.

Отсюда находим, что

.                                                        (9)

Прямая а и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор s = (m,k,l) прямой a коллиниарен нормальному вектору n = (A,B,C) плоскости . Последнее равносильно условию . Получаем условие перпендикулярности прямой и плоскости

Am + Bk + Cl = 0.                                                                                 (10)

Поверхности второго порядка

  1.  Поверхности второго порядка в пространстве R3

Поверхностью второго порядка в пространстве R3 называется поверхность , определяемая в системе координат Ox1x2x3 уравнением вида:

 .                                                  (1)

где aij  =  aji, Ai ; i, j = 1,2,…,n i, j = 1,2,…,n, B - заданные постоянные числа, коэффициенты при старших членах не все равны нулю. Старшие члены образуют квадратичную форму

f(x1, x2, x3) = ,

называемую квадратичной формой поверхности.

Сначала изучим частные виды поверхностей второго порядка, а затем рассмотрим преобразование общей поверхности к частным случаям.

26. Поверхности вращения.

Определение 1. Пусть в пространстве дана прямая a  и линия l, которая не лежит в плоскости, перпендикулярной прямой a. Поверхность , которая получается вращением линии l относительно прямой a, называется поверхностью вращения. Линия l называется образующей поверхности вращения, прямые называется осью вращения.

Поверхность вращения состоит из окружностей, которые получаются вращением точек линии l относительно прямой a, и которые лежат в плоскостях перпендикулярных прямой a, с центрами на прямой a.

Пусть образующая l поверхности вращения  лежит координатной плоскости Oyz, и задана уравнением

f(y,z) = 0, x = 0;                                                     (1)

равнение поверхности вращения линии l относительно оси Oz:

.                                      (3.2)

Пример 1. Поверхности вращения эллипса относительно оси Oz:

.                                (3.3)

Полученная поверхность называется эллипсоидом вращения и изображена на рис. 2. 

27. Цилиндрические поверхности.

Определение 1. Пусть в пространстве дана линия l и вектор s. Цилиндрической поверхностью с направляющей l и образующими параллельными s называется множество всех точек прямых параллельных вектору s и пересекающих кривую l. Линия l называется направляющей цилиндрической поверхности , прямые, из которых состоит цилиндрическая поверхность, называются образующими цилиндрической поверхности .

Пусть направляющая l цилиндрической поверхности  лежит в плоскости, параллельной координатной плоскости Oxy, и задана уравнением

f(x,y) = 0, z = h;                                        (2)

направляющий вектор s = (m,k,n) не параллелен плоскости Oxy, система координат аффинная.. Уравнение цилиндрической поверхности:

.                      (3)

Пример 1. Поверхность, определяемая уравнением

,

является цилиндрической и называется эллиптическим цилиндром (см. рис. 4).

Поверхность, определяемая уравнением

,

является цилиндрической и называется гиперболическим цилиндром (см. рис. 5).

Поверхность, определяемая уравнением

,

является цилиндрической и называется параболическим цилиндром (см. рис. 6).

28. Конические поверхности.

Определение 1. Пусть в пространстве дана линия l и точка S. Конической поверхностью с направляющей l и вершиной S называется множество всех точек прямых проходящих через точку S и пересекающих кривую l. Линия l называется направляющей конической поверхности , прямые, из которых состоит коническая поверхность, называются образующими конической поверхности .

Пусть направляющая l конической поверхности  лежит в плоскости, параллельной координатной плоскости Oxy, и задана уравнением

f(x,y) = 0, z = h;                                                   (1)

S(x0,y0, z0) - вершина конической поверхности, система координат аффинная.

Уравнение конической поверхности

.                             (6)

Уравнение конической поверхности, направляющая которой задается уравнениями:

f(x,y) = 0 , z = h,

а вершина которой находится в начале координат S(0,0,0). Тогда по формуле (6) находим уравнение конической:

.                                         (7)

Пример 1. Уравнение конуса, направляющая которого является эллипсом:

, z = с,

имеет вид

.                                                                 (8)

29. Эллипсоиды

Определение 1. Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат имеет уравнение

,                                                                                (9)

называется эллипсоидом, a > 0, b > 0, c > 0. Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида.

Исследуем поверхность эллипсоида по уравнению (9). Так как  все переменные входят в уравнение (9) в четной степени, то вместе с точкой (x, y, z) эллипсоиду принадлежат все восемь точек (x, y, z) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, эллипсоид симметричен относительно, всех трех координатных плоскостей и начала координат.  Эллипсоид пересекает координатные оси Ox, Oy, Oz соответственно в точках (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c), которые называются вершинами эллипсоида.

Из уравнения эллипсоида находим, . Отсюда следует, что эллипсоид ограниченная поверхность: -a  x  a, -b  y  b, -c  z  c.

Исследуем методом сечений поверхность эллипсоида, проведя его сечения плоскостями, параллельными координатным. Например, пересекая эллипсоид плоскостями z = h (-c  h  c), параллельными плоскости Oxy. При -c < h < c получим в сечении эллипсы  

,

с полуосями .

Эллипсы, лежащие в сечениях, наибольшие полуоси имеют при h = 0. При h = с в сечении получается точка. Аналогичная картина будет при сечении эллипсоида плоскостями, параллельными плоскостям Oxz и Oyz.

Если, какие-нибудь две из полуосей a, b, c эллипсоида равны друг другу, то он является эллипсоидом вращения. Если a = b = c, то эллипсоид является сферой x2 + y2 = a2.

30. Однополостные гиперболоиды и его прямолинейные образующие.

Определение 1. Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат имеет уравнение

,                                                               (10)

называется однополостным гиперболоидом, a > 0, b > 0, c > 0. Числа a, b, c называются полуосями однополостным гиперболоидом.

Исследуем поверхность однополостного гиперболоида по уравнению (10). Так как  все переменные входят в уравнение (10) в четной степени, то вместе с точкой (x, y, z) однополостному гиперболоиду принадлежат все восемь точек (x, y, z) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, однополостной гиперболоид симметричен относительно, всех трех координатных плоскостей и начала координат.  Он пересекает координатные оси Ox, Oy соответственно в точках (a, 0, 0), (0, b, 0), которые называются вершинами однополостного гиперболоида.

Исследуем методом сечений поверхность однополостного гиперболоида, проведя его сечения плоскостями, параллельными координатным. Пересекая однополостный гиперболоид плоскостями z = h (- < h < +), параллельными плоскости Oxy, получим в сечении эллипсы.

Эллипсы, лежащие в сечениях, наименьшие полуоси имеют при h = 0. Это сечение называется горловиной однополостного гиперболоида.

Пересекаем однополостный гиперболоид плоскостями x = h (- < h < +), параллельными плоскостям Oyz и Oxz Получим в сечении гиперболы. стями, параллельными плоскости Oxz.

Уравнение однополостного гиперболоида  (1) можно записать в виде

.                                                     (12)

Составим две системы уравнений первой степени

,                                           (13)

где m и n произвольные действительные параметры, которые одновременно не равны нулю.

Для любых m и n одновременно не равных нулю каждая из систем (13) определяет прямую и эти прямые пересекаются (проверить это). Если мы перемножим уравнения в каждой из систем (13) почленно и сократим, полученное равенство, на mn, то получим уравнение (12). Поэтому любая точка (x, y, z) , принадлежащая прямым (13), находится на поверхности (12).

Прямые, принадлежащие каждому из двух семейств прямых, определяемых системами (13) называются прямолинейными образующими однополостного гиперболоида (см рис. 10). При нахождении прямолинейных образующих можно один из двух параметров m или n в системах (13) полагать равным единице.

31. Двуполостные гиперболоиды

Определение 1. Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат имеет уравнение

,                                                           (15)

называется двуполостным гиперболоидом, a > 0, b > 0, c > 0. Числа a, b, c называются полуосями двуполостным гиперболоидом.

Исследуем поверхность двуполостного гиперболоида по уравнению (15). Так как  переменные входят в уравнение (15) в четной степени, то вместе с точкой (x, y, z) двуполостному гиперболоиду принадлежат все восемь точек (x, y, z) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, двуполостной гиперболоид симметричен относительно, всех трех координатных плоскостей и начала координат.  Он пересекает координатные оси Oz, Oy соответственно в точках (a, 0, 0), (0, b, 0), которые называются вершинами двуполостного гиперболоида.

Исследуем методом сечений поверхность двуполостного гиперболоида, проведя его сечения плоскостями, параллельными координатным. Пересекая его плоскостями z = h (- < h < +), параллельными плоскости Oxy, получим при h > c и h < -c и в сечении эллипсы, при -c <h < c - мнимый эллипс.

Пересекаем двуполостной гиперболоид плоскостями x = h (- < h < +), параллельными плоскости Oyz. Получим в сечении гиперболы. Аналогичная картина будет при сечении двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости Oxz.

32. Эллиптические параболоиды.

Определение 1. Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат имеет уравнение

,                                                                    (17)

называется эллиптическим параболоидом, p > 0, q > 0, c > 0. Числа p и q называются параметрами эллиптического параболоида.

Исследуем поверхность эллиптического параболоида по уравнению (17). Так как  переменные x и y входят в уравнение (17) в четной степени, то вместе с точкой (x, y, z) эллиптическому параболоиду принадлежат четыре точки (x, y, z) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, эллиптический параболоид симметричен относительно, координатных плоскостей Oxz и Oyz.  Он пересекает координатные оси в начале координат. Эта точка называется вершиной эллиптического параболоида.

Исследуем методом сечений поверхность эллиптического параболоида, проведя его сечения плоскостями, параллельными координатным. Пересекая его плоскостями z = h (- < h < +), параллельными плоскости Oxy, получим при h > 0 в сечении эллипсы, при h < 0 - мнимый эллипс.

Пересекаем эллиптический параболоид плоскостями x = h (- < h < +), параллельными плоскости Oyz. Получим в сечении параболу . Аналогичная картина будет при сечении эллиптического параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oxz.

33. Гиперболические параболоиды и его прямолинейные образующие

Определение 1. Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат имеет уравнение

,                                         (19)

называется гиперболическим параболоидом p > 0, q > 0. Числа p, q называются параметрами гиперболического параболоида.

Исследуем поверхность гиперболического параболоида по уравнению (19). Так как переменные x и y входят в уравнение (19) в четной степени, то вместе с точкой (x, y, z) гиперболическому параболоиду принадлежат четыре точки (x, y, z) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, гиперболический параболоид симметричен относительно координатных плоскостей Oxz, Oyz.  Он пересекает координатные оси в начале координат. Эта точка называется вершиной гиперболического параболоида.

Исследуем методом сечений поверхность гиперболического параболоида, проведя его сечения плоскостями, параллельными координатным. Пересекая гиперболический параболоид плоскостями z = h (- < h < +), параллельными плоскости Oxy, получим при h  0 в сечении гиперболы.

Пересекаем гиперболический параболоид плоскостями x = h (- < h < +), параллельными плоскости Oyz. Получим в сечении параболу.  

Пересекаем гиперболический параболоид плоскостями y = h (- < h < +), параллельными плоскости Oxz. Получим в сечении параболу . Применим полученные исследования к построению поверхности гиперболического параболоида (см. рис. 13).

Уравнение гиперболического параболоида  (19) можно записать в виде

.                                                         (20)

Составим две системы уравнений первой степени

,                                          (21)

где m и n произвольные действительные параметры, которые одновременно не равны нулю.

Для любых m и n, одновременно не равных нулю, каждая из систем (21) определяет прямую, и эти прямые пересекаются (проверить это). Если мы перемножим уравнения в каждой из систем (21) почленно и сократим, полученное равенство, на mn, то получим уравнение (19). Поэтому любая точка (x, y, z) , принадлежащая прямым (3), находится на поверхности (19).

Прямые, принадлежащие каждому из двух семейств прямых, определяемых системами (21) называются прямолинейными образующими гиперболического параболоида (см. рис. 14). При нахождении прямолинейных образующих можно один из двух параметров m или n в системах (21) полагать равным единице.

34. Поверхности второго порядка в пространстве R3.  Классификация поверхностей второго порядка.

Поверхностью второго порядка в пространстве R3 называется поверхность , определяемая в системе координат Ox1x2x3 уравнением вида:

 .                                                  (1)

где aij  =  aji, Ai ; i, j = 1,2,…,n i, j = 1,2,…,n, B - заданные постоянные числа, коэффициенты при старших членах не все равны нулю. Старшие члены образуют квадратичную форму

f(x1, x2, x3) = ,

называемую квадратичной формой поверхности.

Сначала изучим частные виды поверхностей второго порядка, а затем рассмотрим преобразование общей поверхности к частным случаям.

2. Поверхности вращения.

Определение 1. Пусть в пространстве дана прямая a  и линия l, которая не лежит в плоскости, перпендикулярной прямой a. Поверхность , которая получается вращением линии l относительно прямой a, называется поверхностью вращения. Линия l называется образующей поверхности вращения, прямые называется осью вращения.

Поверхность вращения состоит из окружностей, которые получаются вращением точек линии l относительно прямой a, и которые лежат в плоскостях перпендикулярных прямой a, с центрами на прямой a.

Пусть образующая l поверхности вращения  лежит координатной плоскости Oyz, и задана уравнением

f(y,z) = 0, x = 0;                                                     (1)

равнение поверхности вращения линии l относительно оси Oz:

.                                      (3.2)

Пример 1. Поверхности вращения эллипса относительно оси Oz:

.                                (3.3)

Полученная поверхность называется эллипсоидом вращения и изображена на рис. 2. 

3. Цилиндрические поверхности.

Определение 1. Пусть в пространстве дана линия l и вектор s. Цилиндрической поверхностью с направляющей l и образующими параллельными s называется множество всех точек прямых параллельных вектору s и пересекающих кривую l. Линия l называется направляющей цилиндрической поверхности , прямые, из которых состоит цилиндрическая поверхность, называются образующими цилиндрической поверхности .

Пусть направляющая l цилиндрической поверхности  лежит в плоскости, параллельной координатной плоскости Oxy, и задана уравнением

f(x,y) = 0, z = h;                                        (2)

направляющий вектор s = (m,k,n) не параллелен плоскости Oxy, система координат аффинная.. Уравнение цилиндрической поверхности:

.                      (3)

Пример 1. Поверхность, определяемая уравнением

,

является цилиндрической и называется эллиптическим цилиндром (см. рис. 4).

Поверхность, определяемая уравнением

,

является цилиндрической и называется гиперболическим цилиндром (см. рис. 5).

Поверхность, определяемая уравнением

,

является цилиндрической и называется параболическим цилиндром (см. рис. 6).

4. Конические поверхности.

Определение 1. Пусть в пространстве дана линия l и точка S. Конической поверхностью с направляющей l и вершиной S называется множество всех точек прямых проходящих через точку S и пересекающих кривую l. Линия l называется направляющей конической поверхности , прямые, из которых состоит коническая поверхность, называются образующими конической поверхности .

Пусть направляющая l конической поверхности  лежит в плоскости, параллельной координатной плоскости Oxy, и задана уравнением

f(x,y) = 0, z = h;                                                   (1)

S(x0,y0, z0) - вершина конической поверхности, система координат аффинная.

Уравнение конической поверхности

.                             (6)

Уравнение конической поверхности, направляющая которой задается уравнениями:

f(x,y) = 0 , z = h,

а вершина которой находится в начале координат S(0,0,0). Тогда по формуле (6) находим уравнение конической:

.                                         (7)

Пример 1. Уравнение конуса, направляющая которого является эллипсом:

, z = с,

имеет вид

.                                                                 (8)

5. Эллипсоиды

Определение 1. Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат имеет уравнение

,                                                                                (9)

называется эллипсоидом, a > 0, b > 0, c > 0. Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида.

Исследуем поверхность эллипсоида по уравнению (9). Так как  все переменные входят в уравнение (9) в четной степени, то вместе с точкой (x, y, z) эллипсоиду принадлежат все восемь точек (x, y, z) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, эллипсоид симметричен относительно, всех трех координатных плоскостей и начала координат.  Эллипсоид пересекает координатные оси Ox, Oy, Oz соответственно в точках (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c), которые называются вершинами эллипсоида.

Из уравнения эллипсоида находим, . Отсюда следует, что эллипсоид ограниченная поверхность: -a  x  a, -b  y  b, -c  z  c.

Исследуем методом сечений поверхность эллипсоида, проведя его сечения плоскостями, параллельными координатным. Например, пересекая эллипсоид плоскостями z = h (-c  h  c), параллельными плоскости Oxy. При -c < h < c получим в сечении эллипсы  

,

с полуосями .

Эллипсы, лежащие в сечениях, наибольшие полуоси имеют при h = 0. При h = с в сечении получается точка. Аналогичная картина будет при сечении эллипсоида плоскостями, параллельными плоскостям Oxz и Oyz.

Если, какие-нибудь две из полуосей a, b, c эллипсоида равны друг другу, то он является эллипсоидом вращения. Если a = b = c, то эллипсоид является сферой x2 + y2 = a2.

6. Однополостные гиперболоиды и его прямолинейные образующие.

Определение 1. Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат имеет уравнение

,                                                               (10)

называется однополостным гиперболоидом, a > 0, b > 0, c > 0. Числа a, b, c называются полуосями однополостным гиперболоидом.

Исследуем поверхность однополостного гиперболоида по уравнению (10). Так как  все переменные входят в уравнение (10) в четной степени, то вместе с точкой (x, y, z) однополостному гиперболоиду принадлежат все восемь точек (x, y, z) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, однополостной гиперболоид симметричен относительно, всех трех координатных плоскостей и начала координат.  Он пересекает координатные оси Ox, Oy соответственно в точках (a, 0, 0), (0, b, 0), которые называются вершинами однополостного гиперболоида.

Исследуем методом сечений поверхность однополостного гиперболоида, проведя его сечения плоскостями, параллельными координатным. Пересекая однополостный гиперболоид плоскостями z = h (- < h < +), параллельными плоскости Oxy, получим в сечении эллипсы.

Эллипсы, лежащие в сечениях, наименьшие полуоси имеют при h = 0. Это сечение называется горловиной однополостного гиперболоида.

Пересекаем однополостный гиперболоид плоскостями x = h (- < h < +), параллельными плоскостям Oyz и Oxz Получим в сечении гиперболы. стями, параллельными плоскости Oxz.

Уравнение однополостного гиперболоида  (1) можно записать в виде

.                                                     (12)

Составим две системы уравнений первой степени

,                                           (13)

где m и n произвольные действительные параметры, которые одновременно не равны нулю.

Для любых m и n одновременно не равных нулю каждая из систем (13) определяет прямую и эти прямые пересекаются (проверить это). Если мы перемножим уравнения в каждой из систем (13) почленно и сократим, полученное равенство, на mn, то получим уравнение (12). Поэтому любая точка (x, y, z) , принадлежащая прямым (13), находится на поверхности (12).

Прямые, принадлежащие каждому из двух семейств прямых, определяемых системами (13) называются прямолинейными образующими однополостного гиперболоида (см рис. 10). При нахождении прямолинейных образующих можно один из двух параметров m или n в системах (13) полагать равным единице.

7. Двуполостные гиперболоиды

Определение 1. Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат имеет уравнение

,                                                           (15)

называется двуполостным гиперболоидом, a > 0, b > 0, c > 0. Числа a, b, c называются полуосями двуполостным гиперболоидом.

Исследуем поверхность двуполостного гиперболоида по уравнению (15). Так как  переменные входят в уравнение (15) в четной степени, то вместе с точкой (x, y, z) двуполостному гиперболоиду принадлежат все восемь точек (x, y, z) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, двуполостной гиперболоид симметричен относительно, всех трех координатных плоскостей и начала координат.  Он пересекает координатные оси Oz, Oy соответственно в точках (a, 0, 0), (0, b, 0), которые называются вершинами двуполостного гиперболоида.

Исследуем методом сечений поверхность двуполостного гиперболоида, проведя его сечения плоскостями, параллельными координатным. Пересекая его плоскостями z = h (- < h < +), параллельными плоскости Oxy, получим при h > c и h < -c и в сечении эллипсы, при -c <h < c - мнимый эллипс.

Пересекаем двуполостной гиперболоид плоскостями x = h (- < h < +), параллельными плоскости Oyz. Получим в сечении гиперболы. Аналогичная картина будет при сечении двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости Oxz.

8. Эллиптические параболоиды.

Определение 1. Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат имеет уравнение

,                                                                    (17)

называется эллиптическим параболоидом, p > 0, q > 0, c > 0. Числа p и q называются параметрами эллиптического параболоида.

Исследуем поверхность эллиптического параболоида по уравнению (17). Так как  переменные x и y входят в уравнение (17) в четной степени, то вместе с точкой (x, y, z) эллиптическому параболоиду принадлежат четыре точки (x, y, z) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, эллиптический параболоид симметричен относительно, координатных плоскостей Oxz и Oyz.  Он пересекает координатные оси в начале координат. Эта точка называется вершиной эллиптического параболоида.

Исследуем методом сечений поверхность эллиптического параболоида, проведя его сечения плоскостями, параллельными координатным. Пересекая его плоскостями z = h (- < h < +), параллельными плоскости Oxy, получим при h > 0 в сечении эллипсы, при h < 0 - мнимый эллипс.

Пересекаем эллиптический параболоид плоскостями x = h (- < h < +), параллельными плоскости Oyz. Получим в сечении параболу . Аналогичная картина будет при сечении эллиптического параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oxz.

9. Гиперболические параболоиды и его прямолинейные образующие

Определение 1. Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат имеет уравнение

,                                                                       (19)

называется гиперболическим параболоидом p > 0, q > 0. Числа p, q называются параметрами гиперболического параболоида.

Исследуем поверхность гиперболического параболоида по уравнению (19). Так как переменные x и y входят в уравнение (19) в четной степени, то вместе с точкой (x, y, z) гиперболическому параболоиду принадлежат четыре точки (x, y, z) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, гиперболический параболоид симметричен относительно координатных плоскостей Oxz, Oyz.  Он пересекает координатные оси в начале координат. Эта точка называется вершиной гиперболического параболоида.

Исследуем методом сечений поверхность гиперболического параболоида, проведя его сечения плоскостями, параллельными координатным. Пересекая гиперболический параболоид плоскостями z = h (- < h < +), параллельными плоскости Oxy, получим при h  0 в сечении гиперболы.

Пересекаем гиперболический параболоид плоскостями x = h (- < h < +), параллельными плоскости Oyz. Получим в сечении параболу.  

Пересекаем гиперболический параболоид плоскостями y = h (- < h < +), параллельными плоскости Oxz. Получим в сечении параболу . Применим полученные исследования к построению поверхности гиперболического параболоида (см. рис. 13).

Уравнение гиперболического параболоида  (19) можно записать в виде

.                                                         (20)

Составим две системы уравнений первой степени

,                                          (21)

где m и n произвольные действительные параметры, которые одновременно не равны нулю.

Для любых m и n, одновременно не равных нулю, каждая из систем (21) определяет прямую, и эти прямые пересекаются (проверить это). Если мы перемножим уравнения в каждой из систем (21) почленно и сократим, полученное равенство, на mn, то получим уравнение (19). Поэтому любая точка (x, y, z) , принадлежащая прямым (3), находится на поверхности (19).

Прямые, принадлежащие каждому из двух семейств прямых, определяемых системами (21) называются прямолинейными образующими гиперболического параболоида (см. рис. 14). При нахождении прямолинейных образующих можно один из двух параметров m или n в системах (21) полагать равным единице.

  1.  Классификация поверхностей второго порядка.

Доказывается, что для любая поверхности 2-го порядка принадлежит к одному из 17 следующих типов поверхностей:

  1.  Эллипсоид. Уравнение ее в соответствующей системе координат имеет вид: (см. рис. 2).
  2.  Точка. Уравнение ее .

  1.  Мнимый эллипсоид. Уравнение ее .
  2.  Однополостный гиперболоид. Уравнение ее (см. рис. 9).
  3.  Двуполостный гиперболоид. (см. рис. 11).
  4.  Конус. Уравнение в соответствующей системе координат (см. рис. 8).
  5.  Эллиптический параболоид. (см. рис. 12).
  6.  Гиперболический параболоид.  

(см. рис. 13).

  1.  Эллиптический цилиндр. Уравнение ее  (см. рис. 4).
  2.  Прямая. Уравнение ее .
  3.  Мнимый эллиптический цилиндр. Уравнение ее .
  4.  Гиперболический цилиндр. Уравнение ее  (см. рис. 5).
  5.  Пара пересекающихся плоскостей. Уравнение ее  (см. рис. 15).
  6.  Параболический цилиндр. Уравнение ее  (см. рис. 6).

15) Пара параллельных плоскостей. Уравнение ее  (см. рис. 16).

  1.  Пара мнимых параллельных плоскостей. Уравнение ее .

Пара совпадающих параллельных плоскостей. Уравнение ее  (совпадает с плоскостью Oyz).

34


k                                           

B                                           

A                                           

n                                           

m                                           

m                                           

=                                           

k                                           

AB                                           

                                          

Y

X

O

C(x0,y0)

M(x,y)

r

Рис. 21

e1

O

M0(x0,y0)

M(x,y)

e1

e2

s

r0

r

a

Рис. 22

x

O

y

b

a

Рис23

x

y

n

O

M0

M

Рис. 24

x

y

s

O

M2

M1

а

Рис. 25

k

m

y

y

x

x

O

s

e2

Рис. 27

x

e2

Рис. 28

s

y

O

a

Рис. 6

e2

Рис. 26

e1

e1

e1

a

a

O

a

a = b

b

ab

b

Рис. 29

a

a

b

b

a

b

n2

n1

Рис. 30

а

M0

M1

n

Рис. 31

M1

Рис. 33

а

M2

M

< 0

M

M1

M1

Рис. 32

> 0

> 0

Рис. 34

M1

n

M1

M2

а

а

b1

M0

M1

n1

Рис. 35

b2

a2

a111

n2

x

Рис. 18

y

O

A1

F1

F2

A2

B1

B2

x

Рис. 19

y

O

M

a

M1

b

M2

t

x

Рис. 20

y

O

a

b

x

Рис. 21

y

O

A1

F1

F2

A2

B1

B2

x

Рис. 22