22477

ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДОВ КОДИРОВАНИЯ РЕЧЕВЫХ СИГНАЛОВ В СТАНДАРТЕ ТЕТRА ТРАНКИНГОВЫХ СЕТЕЙ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Задание Ознакомиться с общим описанием алгоритма кодирования речевого сигнала. Изучить особенности канального кодирования для различных логических каналов. Oбщее описание алгоритма кодирования речевого сигнала СЕLР Для кодирования информационного уплотнения речевых сигналов в стандарте ТЕТRА используется кодер с линейным предсказанием и многоимпульсным возбуждением от кода СЕLР Соdе Ехсited Linear Ргеdiction.

Русский

2013-08-04

961.5 KB

11 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДОВ КОДИРОВАНИЯ РЕЧЕВЫХ

СИГНАЛОВ В СТАНДАРТЕ ТЕТRА ТРАНКИНГОВЫХ СЕТЕЙ

1. Цель работы

Изучить структуру кодера ТЕТRА и канальное кодирование.

2.  Задание

  1.  Ознакомиться с общим описанием алгоритма кодирования речевого сигнала.
  2.  Изучить блок-схему декодера речевого сигнала в стандарте ТЕТRА.
  3.  Ознакомиться с канальным кодированием.
  4.  Изучить особенности канального кодирования для различных логических каналов.
  5.  Составить отчет.

3. Краткая теория

Под термином "транкинг" понимается многостанционный доступ или полнодоступное подключение большого количества абонентов к ограниченному числу каналов связи. Термин происходит от английского Тгunk (пучок), т.е. "транкинг" - это процесс "пучкования", создания пучков. Термин "Тгunking Systems" является не совсем корректным. Более точным следует считать "Тгunking Systems", который переводится как "транковые системы" и обозначает специальную систему радиосвязи предназначенную для предоставления услуг радиосвязи подвижным абонентам на основе реализации динамического многостанционного доступа с ограниченным выходом или без выхода на телефонную сеть общего пользования.

В соответствии с "Концепцией использования в России транкинговых систем связи" (Вестник связи № 9, 1995г.) транкинговая сеть может считаться сетью связи общего пользования ТСС ОП, если она отвечает ряду требований.

Данные требования соответствуют рекомендациям МСЭ Q 11001, в которых указано, что сети радиотелефонной связи общего пользования и абоненты таких сетей должны являться продолжением телефонной сети общего пользования или иметь ее нумерацию.

Несмотря на разнообразие транкинговых систем, все они построены по одним и тем же принципам. Транкинговая система может быть многозоновой и однозоновой. В каждой зоне устанавливается БС (ретрансляторы), через которую обеспечивается радиосвязь с абонентами системы. В качестве абонентских устройств в транкинговых системах используют автомобильные или портативные радиостанции, работающие в симплексном, дуплексном или полудуплексном режиме.

В транкинговых системах, как и в сотовых, обеспечивается роуминг - возможность переключения абонента на свободный канал, доступный в данный момент в новой зоне связи, с автоматической сменой частоты. Однако смена частоты иногда сопровождается потерей связи, что приводит к необходимости повторного вызова.

Одним из главных признаков транкинговой системы является возможность группирования абонентов, объединенных общими интересами, По этой причине трафик в основном замыкается внутри транкинговых сетей (до 90%) и выход большинства абонентов на ТФ ОП предполагается в исключительных, случаях. Предоставление разного набора услуг пользователям находится в зависимости от приоритетов, установленных внутри системы.

Особенностью транкинговых систем является то, что в них предусмотрена возможность обеспечения связи между абонентами системы без выхода на ретрансляторы, что в системах, ориентированных на организацию сетей связи общего пользования, отсутствует.

Стандарт ТЕТRА является первым и единственным утвержденным стандартом на цифровой транкинг в Европе. Поэтому в настоящее время ТЕТRА расшифровывается как Наземное Транкинговое Радио (TErrestrial Trunked RAdio). Стандарт установлен ЕТSI (Европейским Институтом телекоммуникационных стандартов), который координирует деятельность производителей оборудования, операторов сетей, национальных администраций и пользователей. Стандарт прошел через тщательную процедуру утверждения, что гарантирует ТЕТRА высокое качество.

Oбщее описание алгоритма кодирования речевого сигнала СЕLР

Для кодирования (информационного уплотнения) речевых сигналов в стандарте ТЕТRА используется кодер с линейным предсказанием и многоимпульсным возбуждением от кода - СЕLР (Соdе Ехсited Linear Ргеdiction). Данный метод кодирования основан на линейной авторегрессионной модели процесса формирования и восприятия речи и входит в группу т.н. методов анализа через синтез, реализующих современные и эффективные алгоритмы информационного уплотнения речевых сигналов. Алгоритмы данного класса занимают промежуточное положение между кодерами формы сигнала, в которых сохраняется форма колебания речевого сигнала в процессе его дискретизации и квантования, и параметрическими вокодерами, основанными на процедурах оценки и кодирования небольшого числа параметров речи, объединяя преимущества каждого из них.

Линейная авторегрессионная модель процесса формирования речевых сигналов с локально постоянными на интервалах 10-30 мс параметрами получила в настоящее время наибольшее распространение. Для этой модели:

 (1),

где М - порядок модели, s(п) - последовательность отсчетов речевого сигнала, а(т) - коэффициенты линейного предсказания, характеризующие свойства голосового тракта, а х(п) - порождающая последовательность или сигнал возбуждения голосового тракта. Авторегрессионная модель речевого сигнала описывает его с достаточно высокой степенью точности и позволяет применять развитый математический аппарат линейного предсказания. При этом обеспечивается более высокое качество декодированной речи, устойчивость к входному акустическому шуму и ошибкам в канале связи, чем в системах с иными принципами кодирования.

В рамках данной модели наиболее перспективными методами кодирования считаются методы анализа через синтез с использованием многоимпульсного возбуждения от кода. Новизна многоимпульсного возбуждения заключается в том, что в сигнале остатка линейного предсказания выбираются такие его значения, которые наиболее важны для повышения качества синтезированной речи. При этом используемая в процедуре анализа через синтез схема кодирования, помимо учета ошибок квантования, включает критерии субъективной оценки качества речевого сигнала, что обеспечивает естественное звучание синтезированной речи.

При многоимпульсном возбуждении сигнал остатка линейного предсказания представляется в виде последовательности импульсов с неравномерно распределенными интервалами и с различными амплитудами (около 8-10 импульсов за 10 мс). Амплитуды и положения этих импульсов определяются на покадровой основе (кадр за кадром). Основным преимуществом многоимпульсного возбуждения является то, что оно определяется для любого речевого сегмента и при этом не требуется знаний ни о вокализованности данного сегмента, ни о периоде основного тона.

Методы анализа через синтез используют синтезатор (декодер) речевого сигнала как составную часть устройства кодирования. При этом задача анализа сводится к процедуре оценки передаваемых в канал связи параметров речи, проводимой в соответствии с некоторым критерием рассогласования между исходным и декодированным сигналами. Для учета специфики слухового восприятия в качестве критерия рассогласования обычно используется взвешенная по частоте квадратическая ошибка

  (2),

где S(f) и Sq(f) - преобразование Фурье исходного и синтезированного речевых сигналов, a W(f) -весовая функция. Принимая во внимание важность для восприятия речи не только формант, но и межформантных областей, для алгоритмов анализа речи через синтез Этолом была предложена весовая функция следующего вида

  (3),

где A-1(z) - синтезирующий фильтр, а  - параметр, регулирующий энергию ошибки или шум квантования. Фактически при таком взвешивании подчеркивается ошибка в межформантных областях и тем самым обеспечивается более равномерное по частоте распределение отношения мощности полезного сигнала к мощности ошибки кодирования.

В алгоритмах кодирования с анализом через синтез повышение эффективности информационного уплотнения речевых сигналов производится, преимущественно, за счет сокращения избыточности последовательности х(п), которая осуществляет возбуждение синтезирующего фильтра A-1(z) линейного предсказания, формирующего огибающую сигнала, с коэффициентом передачи

  (4).

Для этой цели применяется также дополнительный фильтр с характеристикой

  (5),

с одним коэффициентом предсказания gp и задержкой на период основного тона Т. Он выполняет функции генератора квазипериодических колебаний голосовых связок при произношении вокализованных звуков.

В зависимости от способа описания сигнала х(п), поступающего на вход фильтра (5), можно выделить алгоритмы кодирования с возбуждением прореженной последовательностью импульсов - MPLP (Multi Pulses Linear Prediction), с самовозбуждением - SELP (Self Excited Linear Prediction), и наконец, с возбуждением от кода - CELP. Экспериментально установлено, что кодовое возбуждение обеспечивает наиболее высокое качество декодированного речевого сигнала, в том числе и при наличии входных акустических помех.

Метод CELP был предложен Этолом и Шредером в 1984 г. Наиболее эффективно применение этого метода при передаче речевого сигнала в диапазоне скоростей от 4 до 16 Кбит/с.

Базовая структурная схема передающей (а) и приемной (б) частей CELP-кодера показана на рис. 1.

Рис. 7.1. Структурная схема передающей и приемной частей CELP-кодера

По существу, в алгоритме CELP производится векторное квантование последовательности х(п), т.е. позиции импульсов и их амплитуды в сигнале многоимпульсного возбуждения оптимизируются одновременно. При этом отрезок (сегмент) сигнала возбуждения выбирается из предварительно сформированной постоянной совокупности - кодовой книги, содержащей достаточно большое количество реализаций, например, некоррелированного гауссовского шума. Выбранная реализация усиливается и подается на вход цепочки фильтров (5) и (4).

Поиск оптимальных значений gp и Т синтезатора основного тона, коэффициента усиления и номера элемента кодовой книги осуществляется посредством анализа через синтез. В целом, в канал связи передаются номер (индекс) элемента кодовой книги с соответствующим коэффициентом усиления, параметры синтезатора основного тона, а также коэффициенты линейного предсказания, характеризующие состояние голосового тракта.

Структура кодера TETRA

В стандарте TETRA используется CELP-кодер со скоростью преобразования 4,8 Кбит/с. На рис. 2 показана упрощенная блок-схема декодера (синтезатора), используемого в CELP-кодере TETRA.

Основными узлами схемы декодера являются 2 синтезирующих фильтра с большой и малой постоянной времени и алгебраическая кодовая книга.

Фильтр с большой постоянной времени выполняет функцию долговременного предиктора (Long Term Preductor), моделирует квазипериодичность (долговременные корреляции) речевого сигнала и имеет характеристику (5). Он выполнен на основе адаптивной кодовой книги, содержащей сигналы возбуждения и реализующей генерацию квазипериодических колебаний голосового тракта.

Фильтр с малой постоянной времени выполняет функцию кратковременного предиктора (Short Term Preductor), моделирует кратковременные корреляции, т.е. корреляции между отсчетами речевого сигнала, и имеет характеристику (4) с порядком предсказывающего устройства, соответствующим М=10. В синтезаторе TETRA используется весовая функция (3) со значением коэффициента =0,85.

Алгебраическая (постоянная) кодовая книга содержит совокупность векторов возбуждения, представляющих собой последовательности с белым гауссовским распределением с нулевым средним значением и единичной дисперсией. Она служит для реализации первого этапа генерации возбуждающего сигнала. На втором этапе производится коррекция возбуждающего сигнала путем добавления к нему данных из адаптивной кодовой книги. Сформированная в итоге возбуждающая последовательность поступает на вход синтезирующего фильтра A-1(z), где вычисляются значения выходного речевого сигнала в соответствии с выражением (1).

Рис. 2. Блок-схема декодера речевого сигнала в стандарте TETRA

В кодере TETRA производится оценка М=10 коэффициентов линейного предсказания и анализ возможных значений параметра синтезатора (индекса kc и коэффициента усиления gc алгебраической кодовой книги и индекса kp и коэффициента усиления gp адаптивной кодовой книги), целью которого является минимизация взвешенной ошибки рассогласования между входным и синтезированным речевыми сигналами. Полученные при этом оптимальные параметры синтезатора квантуются и передаются в канал связи. Обработка сигналов в кодере и декодере производится по блокам. Длительность основного блока составляет 30 мс, что соответствует 240 отсчетам при частоте дискретизации 8 кГц. Для каждого такого блока формируется кадр передаваемой в канал связи информации объемом 137 бит, что обеспечивает скорость передачи информации 4567 бит/с. Оценка коэффициентов линейного предсказания выполняется один раз на всем блоке, а оптимизация остальных параметров синтезатора выполняется на сегментах длительностью 60 отсчетов, т.е. 4 раза на блок. Поразрядное распределение информации в передаваемом кадре приведено в табл. 1.

Таблица 1.

Параметр

1-й сегмент

2-й сегмент

3-й сегмент

4-й сегмент

Всего в кадре

Коэффициенты линейного предсказания

26

Период основного тона

8

5

5

5

23

Индекс алгебраической кодовой книги

16

16

16

16

64

Коэффициенты усиления

6

6

6

6

24

Всего

137

КАНАЛЬНОЕ КОДИРОВАНИЕ

Общая структура канального кодирования

Для защиты от ошибок в каналах радиосвязи систем стандарта TETRA используется помехоустойчивое канальное кодирование сигнала, которое осуществляется путем введения в состав передаваемого сигнала достаточно большого объема дополнительной (избыточной) информации.

В стандарте TETRA канальное кодирование реализуется в виде 4-х процедур:

  •  блочного кодирования (block-encoding);
  •  сверточного кодирования (convolutiona! encoding);
  •  перемежения (interleaving);
  •  скремблирования (scrambling).

При блочном кодировании входная информация разбивается на блоки по k символов, которые преобразуются по определенному закону в п-символьные блоки, где n>k. Блочное кодирование предназначено, в основном, для обнаружения одиночных и групповых ошибок в канале связи, и в определенных случаях их исправления.

Рис. 3. Общая схема канального кодирования в стандарте TETRA

При сверточном кодировании каждый символ входной информационной последовательности, состоящий из k бит, преобразуется в п-битовый символ выходной последовательности, причем n>k. Сверточное кодирование является мощным средством борьбы с одиночными ошибками, хотя и не обеспечивает их обнаружения.

При перемежении производится изменение порядка следования символов информационной последовательности таким образом, что стоявшие рядом символы, оказываются разделенными несколькими другими. Перемежение обеспечивает преобразование групповых ошибок в канале связи в одиночные.

Скремблирование состоит в преобразовании входной информационной последовательности в выходную путем ее побитного сложения по модулю 2 со специально формируемой шифровальной последовательностью. Скремблирование используется для определенной защиты передаваемой информации, а также для аутентификации абонентов.

Структура канального кодирования, представленная на рис. 3, является общей для всех типов логических каналов, хотя параметры каждой из процедур канального кодирования для различных логических каналов, как правило, отличаются. Поэтому в дальнейшем будут приведены общие алгоритмы преобразований по каждой из процедур, а затем указаны параметры этих преобразований для каждого типа логического канала.

Стандарт TETRA описывает процесс канального кодирования как последовательное преобразование данных на 4-х уровнях, при этом входные данные обозначаются, как биты типа 1 в блоках типа 1, данные после блочного кодирования - биты типа 2 в блоках типа 2 и т.д. После блочного кодирования к битам, закодированным блочным кодом, добавляются т.н. «хвостовые» биты.

Для дальнейшего описания процедур канального кодирования введем следующие обозначения:

  •  х - Порядковый номер типа бит и блоков, х = 1, 2, 3, 4, 5;
  •  Кх - число битов, переносимых одним блоком типа х;
  •  k - номер бита, k = 1, 2, ..., Кх;
  •  bx(k) - бит типа х с номером k в блоке типа х.

Блочное кодирование

Блочный кодер обозначается (К2, К1), где К1 - число символов в блоке входной последовательности, а К2 - число символов в блоке выходной последовательности. Отношение R=K1/K2 носит наименование скорости кодирования (coding rate) и характеризует меру избыточности, вносимую кодером.

При блочном кодировании в стандарте TETRA используется двоичный систематический кодер, т.е. кодер, у которого каждый символ входной и выходной последовательности соответствует одному биту, а в состав блока выходной информации полностью включается блок входной информации, который дополняется р-битовым кодом циклического контроля избыточности (CRC - Cyclic Redundancy Check). Таким образом, К1 битов типа 1 преобразуются в К2 бит типа 2, где К2 = К1 + р.

Сверточное кодирование

Сверточное кодирование обеспечивает преобразование К2 входных бит типа 2, полученных в результате блочного кодирования, в КЗ бит выходной последовательности, причем КЗ > К2. Каждый бит выходной последовательности получается как результат суммирования по модулю 2 нескольких следующих друг за другом битов входной последовательности.

Сверточные кодеры обычно обозначаются как (n, k, K), где п - количество бит в одном символе выходной последовательности, которые формируются за один такт работы кодера (соответствует числу сумматоров по модулю 2 в схеме кодера); k - количество бит в одном символе входной последовательности, поступающих на вход кодера за один такт; К - длина ограничения (constraint length), т.е. числовое значение, соответствующее длине сдвигового регистра, который участвует в формировании одного выходного символа. (Символы могут состоять из одного или нескольких бит.) При этом отношение R = k/n, как и в блочном кодере, называется скоростью кодирования.

Однако, поскольку в стандарте TETRA непосредственно сверточное кодирование дополняется процедурой прореживания полученной информации, изменяющей количество бит выходной последовательности, под скоростью кодирования будем понимать отношение суммарного количества бит входной последовательности к суммарному количеству бит выходной последовательности (К2/КЗ).

В связи с тем, что объемы блоков, а также требования по помехоустойчивости и скорости передачи информации в разных логических каналах отличны друг от друга, сверточные коды для этих логических каналов также различаются. Сверточное кодирование в стандарте TETRA состоит из двух процедур:

  •  кодирования «материнским» кодом с фиксированной скоростью (для канала речевых сообщений TCH/S она соответствует 1/3, для всех остальных каналов - 1/4);
  •  перфорирования (прореживания, выкалывания) полученной последовательности, т.е. пропуска некоторых кодированных символов с целью приведения структуры размещения бите соответствие со структурой кадра. Изменение алгоритмов перфорирования позволяет обеспечить различную скорость сверточного кодирования для разных логических каналов.

Перемежение

При перемежении обеспечивается преобразование КЗ бит входной последовательности, полученной в результате сверточного кодирования, в К4 бит выходной последовательности, причем КЗ = К4, т.е. перемежение не вносит в сигнал избыточность, а только производит перестановку битов в информационном блоке.

Перемежение используется для преобразования групповых ошибок, возникающих в канале связи из-за наличия глубоких замираний сигнала в условиях многолучевого распространения, в одиночные, с которыми легче бороться с помощью блочного и сверточного кодирования.

В стандарте ТЕТRА применяется 2 вида перемежения: блочное и перемежение по N блокам.

Блочное перемежение

Блочный перемежитель обозначается (K, J), где К означает количество бит во входном информационном блоке, a J - количество бит, на которое разносятся соседние для входного блока биты. При блочном перемежении биты выходного блока соответствуют битам входной последовательности, т.е.

b4(k) == b3(i) (i = 1, 2,…, К-1)

производится по следующему правилу:

k = 1 + ((J*i) mod К).

Работу схемы блочного перемежителя можно представить как проведение последовательной построчной записи входной информационной последовательности в матрицу, в которой длина строки соответствует J (число столбцов (К div J + 1)), а затем считывания записанной информации по столбцам.

Блочное перемежение с различными параметрами преобразования используется в каналах, SCH/HD, SCH/HU, SCH/F, BNCH, STCH, BSCH и TCH/S.

Скремблирование

Скремблирование обеспечивает преобразование К4 битов входного информационного блока, поступающего от перемежителя, в К5 бит выходного блока путем побитового сложения по модулю 2 с шифровальной последовательностью.

Порождающий полином шифровальной последовательности имеет вид

C(X)=1+X+X2+X4+X5+X7+X8+X10+X11+X12+X16+X22+X23+X26+X32, где сложение производится по модулю 2.

Инициализация 32-разрядного сдвигового регистра с обратными связями, используемого для формирования шифровальной последовательности, производится с помощью расширенной обучающей последовательности с1,с2,..,с30 и двух дополнительных бит, равных 1.

Особенности канального кодирования для различных логических каналов

Канальное кодирование каждого из логических каналов имеет свои отличия, касающиеся наличия или отсутствия отдельных процедур кодирования, видов блочного кодирования и перемежения, а также параметров всех процедур канального кодирования. На рис. 4 и 5 показана структура канального кодирования для всех логических каналов за исключением канала речевого графика TCH/S.

Особенность канального кодирования трафика речи заключается в разделении первичного информационного блока из 137 бит, поступающих с выхода речевого кодера, на 3 класса в соответствии с чувствительностью к ошибкам в канале связи. (Биты 1-го класса являются наименее чувствительными и кодируются достаточно слабо, биты класса 3 обладают высокой чувствительностью к помехам и поэтому подвергаются наиболее мощному помехоустойчивому кодированию).

Рис. 4. Структура канального кодирования логических

каналов ТСН 7,2; SCH/HD; SCH/HU; SCH/F; BNCH; STCH

Рис. 5. Структура канального кодирования логических

каналов AACH; BSCH; ТСН 4,8; ТСН 2,4

Временной кадр, как правило, включает в себя 2 речевых кадра, каждый из которых на выходе речевого кодека имеет размерность 137 бит. После канального кодирования информация с выхода речевого кодека (2*137 бит) преобразуется в информационный кадр длиной 432 бита.

1-й класс включает 51 из каждого речевого кадра (2*51), 2-й класс - 56 бит (2*56), 3-й класс - 30 бит (2*56). К наиболее чувствительному 3-му классу относятся:

  •  12 бит, содержащие 4 старших разряда 3-х 8-разрядных коэффициентов линейного предсказания;
  •  6 бит, содержащие 6 старших разрядов 8-разрядного значения периода основного тона первого (из 4-х) сегмента речевого кадра;
  •  12 бит, содержащие 3 старших разряда 4-х 6-разрядных коэффициентов усиления для каждого из сегментов речевого кадра.

Кодирование производится раздельно для каждого из классов:

  •  -биты 1-го класса подвергаются только перемежению и скремблированию;
  •  над битами 2-го класса производится сверточное кодирование, перемежение и скремблирование;
  •  -биты 3-го класса подвергаются всем видам канального кодирования: блочному и сверточному кодированию, перемежению и скремблированию.

Следует отметить, что перемежение и скремблирование производятся над полным блоком из 432 бит, в который включаются биты всех классов чувствительности.

Структура кодирования для канала речевого трафика представлена на рис. 6.

Рис. 6. Структура канального кодирования речевого трафика


4. Контрольные вопросы

  1.  Дайте общую характеристику транкинговых систем.
  2.  Какой метод кодирования речевых сигналов используется в стандарте ТЕТRА?
  3.  Поясните принцип многоимпульсного возбуждения от кода.
  4.  Поясните структурную схему передающей и приемной частей СЕ-кодера.
  5.  Поясните блок-схему декодера речевого сигнала в стандарте ТЕТRА.
  6.  Поясните структуру канального кодирования в стандарте ТЕТRА.
  7.  В чем заключается процедура блочного кодирования, сверточного кодирования?
  8.  Дайте понятие процедуры перемежения, скремблирования.
  9.  Поясните структуру канального кодирования логических каналов TCH 7,2; SCH/HD; SCH/HU; SHC/F; BNCH; STCH.
  10.  Поясните структуру канального кодирования логических каналов AACH; BSCH; TCH 4,8; TCH 2,4.
  11.  Поясните структуру канального кодирования речевого графика.

5. Содержание отчета

  1.  Название и цель работы.
  2.  Зарисовать блок-схему декодера речевого сигнала в стандарте ТЕТRА.

Литература

  1.  Бабков В.Ю., Вознюк М.А., Дмитриев В.И. Системы мобильной связи. СПб.: ВУС, 1999.
  2.  Бабков В.Ю., Воробьев О.В., Певцов Н.В., Петров Д.А., Сиверс М.А. Транкинговые системы связи. СПб.: Судостроение, 2000.
  3.  Овчинников А.М., Воробьев С.В., Сергеев С.И. Открытые стандарты цифровой транкинговой радиосвязи. Серия изданий «Связь и бизнес», 2000.

12


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29528. Лидерство в организации 65.5 KB
  Он нашел свою концептуализацию в рамках проектного менеджмента и привел к признанию проектной команды в качестве центральной ячейки современной организации. Второй подход более сконцентрирован на принципах проектирования команды и распределения в ней ролей. Его можно назвать проектированием команды и распределением ролей в ней tem design nd role distribution. Определение команды В социальной психологии весьма популярными являются исследования малых групп.
29529. Дифференциал функции. Приложения производной 389 KB
  Дифференциал функции записывается в виде . Дифференциалом 2ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается т. Если независимая переменная то для нахождения дифференциала функции справедлива формула .
29530. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора 300.5 KB
  Если функция непрерывна на отрезке дифференцируема на интервале и то на существует точка такая что . Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале то на существует точка такая что формула Лагранжа. Если функции и непрерывны на отрезке дифференцируемы на интервале и при всех то на интервале существует точка такая что формула Коши.150 Проверить выполняется ли теорема Ролля для следующих функций и если выполняется то для каких значений : а на отрезке ; б на отрезке ;...
29531. Правило Лопиталя 234.5 KB
  Правило Лопиталя. Правило Лопиталя используют для раскрытия неопределённостей видов и . На каждом этапе применения правила Лопиталя следует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразованиями а также комбинировать это правило с любыми другими приёмами вычисления пределов.
29532. Исследование функций и построение графиков 409 KB
  Точка принадлежащая области определения функции называется критической точкой функции если в этой точке или не существует. Критические точки функции разбивают её область определения на интервалы монотонности интервалы возрастания и убывания. Если точка экстремума функции то или не существует.246 Наибольшее и наименьшее значения функции.
29533. Функции нескольких переменных (область определения, частные производные, дифференциал) 442 KB
  Естественной областью определения функции называется множество точек для координат которых формула имеет смысл. Графиком функции в прямоугольной системе координат называется множество точек пространства с координатами представляющее собой вообще говоря некоторую поверхность в . Линией уровня функции называется линия на плоскости в точках которой функция принимает одно и тоже значение .
29534. ФНП (неявная производная, градиент, производная по направлению, эластичность, локальные и глобальные экстремумы) 487.5 KB
  63 Найти производную для функций заданных неявно: а ; б ; в ; г .64 Найти производные указанного порядка для функций заданных неявно: а если ; б если .65 Найти частные производные для функций заданных неявно: а ; б ; в ; г 6.66 Найти дифференциал функции заданной неявно в указанной точке если: а ; б .
29535. ФНП (производная сложной функции, условные экстремумы, касательная плоскость и нормаль, выпуклость) 418.5 KB
  Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений , удовлетворяющих соотношениям () и не равных одновременно нулю:
29536. Векторный анализ. Теория поля 102.5 KB
  Векторные функции действительной переменной. Если каждому значению действительной переменной поставлен в соответствие вектор то говорят что на множестве задана векторфункция действительной переменной . Задание векторфункции равносильно заданию трёх числовых функций координат вектора : или кратко .